第八章空间解析几何与向量代数PPT课件

第八章空间解析几何与向量代数 公共数学教研室空间解析几何主要研究空间几何图形, 把数学研究的两个基本对象“数”和“形”统一起来, 达到用代数方法解决几何问题, 用几何方法解决代数问题.本章引进向量及其代数运算, 讨论向量的各种运算规律, 介绍空间曲面和空间曲线, 以向量为工具来研究平面和空间直线, 最后介绍二次曲面.8.1 向量及其线性运算 8.2 向量的数量积8.3 向量的向量积混合积 8.4 平面及其方程8.5 空间直线及其方程 8.6 直线平面之间的关系 8.7 曲面及其方程8.8 空间曲线和向量函数8.1 向量及其线性运算vector and linear operation8.1.1 空间直角坐标系在空间中任取一点O, 作互相垂直的数轴Ox, Oy, Oz, 分别叫做x 轴 (横轴), y 轴 (纵轴), z 轴 (竖轴), 统称坐标轴, 三个坐标轴符合右手法则. 这样的三条坐标轴组成一个空间直角坐标系, 点O 叫做坐标原点 (或原点).三条坐标轴中的任意两条确定一个平面, 分别称为xOy 面, yOz 面及zOx 面. 三个坐标面把空间分成八个部分, 每一部分叫做一个卦限.x 轴, y 轴, z 轴上点的坐标分别表示为 (0, 0, z ), (0, y , 0), (0, 0, z ); xOy 面, yOz 面, zOx 面上点的坐标分别表示为 (x , y , 0), (0, y , z ), (x , 0, z ).22212212121||()()().M M x x y y z z =-+-+- 设有序数 (x , y , z ) 与空间点 M 一一对应, 依次称 x , y 和 z 为点M 的横坐标, 纵坐标和竖坐标. 点 M 通常记为 M (x , y , z ).空间中两点M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) 间的距离公式为设 M 为空间中一点, 过 M 作三个平面分别垂直于 x 轴, y 轴, z 轴, 与 x 轴, y 轴, z 轴的交点依次为 P , Q , R , 这三个点在 x 轴, y 轴, z 轴的坐标依次为 x , y , z . 于是 M 唯一地确定了一个有序数组 (x , y , z ); 反之, 一有序数组 (x , y , z ) 唯一确定空间一点 M . 这样, 就建立了空间的点 M 和有序数组 (x , y , z ) 之间的一一对应关系. x z y ⑻O⑷⑶⑵⑴⑺⑹⑸R P QO x z y8.1.2 向量的概念及其坐标表示只有大小的量称为数量 (或标量), 如时间, 温度, 长度等. 既有大小又有方向的量称为向量 (或矢量), 例如位移 , 速度 , 加速度 , 力 等.s v a F 向量包含两个要素 — 大小和方向. 有向线段也具有这两个要素, 因此可用有向线段 表示向量, 其大小是有向线段的长度, 其方向是从 A 到 B 的方向, A 是向量的起点, B 是向量的终点. 若记 则称 为的一个几何表示 . AB ,v AB AB v 向量 的大小, 叫做向量的模或长度, 记为v ||.v向量仅由其大小和方向确定, 与其位置无关, 故向量被称为自由向量. 因此, 若两个向量大小相等, 方向相同, 称这两个向量相等.将两个向量移到同一始点, 如果它们位于一条直线上, 且两个终点分布在始点的同一侧, 则称这两个向量方向相同; 如果它们位于一条直线上, 且两个终点分布在始点的两侧, 则称这两个向量方向相反. 长度是零的向量称为零向量, 记为 , 零向量的方向可以认为是任意的.如图, 向量 位置不同, 但它们的长度相同, 且它们所在的线段有相同的斜率,即它们的方向相同, 所以,,OP AB CD P (2, 1)O C (1, 3)D (3, 4)A (- 3, - 3)B (- 2, - 2)x y .OP AB CD == 向量具有平移不变性, 若将向量 平移, 使其起点与原点 O 重合, 终点位于 P , 则 故 可由 P 的座標確定.AB ,AB OP = AB 定义 8-1 一个二元有序实数组 {a , b } 称为一个二维向量, 二维向量的全体记作 V 2. 一个三元有序实数组 {a , b , c } 称为一个三维向量. 三维向量的全体记作 V 3, 其中实数 a , b , c 称为向量的分量, 也称为向量的坐标.2121{,}v x x y y =-- 定义 8-2 若 M 1 (x 1, y 1), M 2 (x 2, y 2) 为平面上两点, 则二维向量 表示由有向线段 所表示的向量. 12M M 212121{,,}v x x y y z z =--- 若 M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) 为空间中两点, 则三维向量表示由有向线段 所表示的向量. 12M M 22212212121||||()()()v M M x x y y z z ==-+-+-给定向量任意取定 A (x 0, y 0, z 0), 记 B = (x + x 0, y + y 0, z + z 0), P = P (x , y , z ),则{,,},r x y z = .r AB OP == 称为点 P (x , y , z ) 的位置向量,{,,}r x y z = 222|||{,,}|r x y z x y z ==++ 222||02(1) 5.AB =++-= 例 1 已知 A (1, 0, 2), B (1, 2, 1) 是空间两点, 求向量 和它的模.AB 解{11,20,12}{0,2,1},AB =---=-对三维向量 8.1.3 向量的线性运算 定义 8-3 设 是两个二维向量, 称向量 {a x + b x , a y + b y }为向量 和的和, 记作 即{,},{,}x y x y a a a b b b == a b ,a b + {,}{,}{,}.x y x y x x y y a b a a b b a b a b +=+=++ {,,},{,,},x y z x y z a a a a b b b b == 类似有{,,}{,,}{,,}.x y z x y z x x y y z z a b a a a b b b a b a b a b +=+=+++几何上, 向量加法服从三角形法则及平行四边形法则.A yx O B a x b x a y b y a b a b + A y O a x a y b y C xB b x a b a b +定义 8-4 设向量 c 为实数, 称向量 { c a x , c a y } 为向量 与数量 c 的乘积. 记作 即其模{,},x y a a a = a ,c a {,}{,},x y x y c a c a a c a c a == ||||||.c a c a = 对于三维向量, 类似有c {a x , a y , a z } = {c a x , c a y , c a z }. c > 0 时, c 与平行, 且方向相同; c < 0 时 c 与 平行, 且方向相反.a a a a 称 为 的负向量.(1)a a -=- a 与 的和称为 与的差, 记为 b a b - a .a b -证 仅需证明必要性. 设则存在 λ, 使得 ,a b .b a λ= 若又有则 故 所以 λ = μ .,b a μ= ()0,a λμ-= |||||0|0,a λμ-== 定理 1 设 是两个向量, 且 则 的充分必要条件是存在唯一常数 λ 使得 ,a b a b .b a λ= 0≠a向量的加法运算和数乘运算统称为向量的线性运算. 向量的线性运算满足下列法则 :(1) (交换律) .a b b a +=+ (2) (结合律) ()().a b c a b c ++=++ (4) ()0.a a +-= (6) ().a a a λμλμ+=+ (7) ()().a a λμλμ= (8) 1.a a ⋅= (5) ().ab a b λλλ+=+ (3) a a =+0由于向量的加法符合交换律和结合律, 故 n 个向量相加可写成,||.||a a a e a a e a == 12.n a a a +++ n 个向量相加复合多边形法则 : 使前一向量的终点与后一向量的起点重合, 相继作向量 再以第一向量的起点为起点, 最后一向量的终点为终点作一向量, 这个向量即和向量.12,,,,n a a a 模为 1 的向量称为单位向量. 记非零向量 的单位化向量为则a ,a eV 3 中, 与 x 轴, y 轴, z 轴的正向同向的单位向量记为{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1}.i j k === 称 为 V 3 中的一组标准基.,,i j k a 设 则 可由 线性表示, 即{,,},x y z a a a a = ,,i j k {1,0,0}{0,1,0}{0,0,1}.x y z x y z a a a a a i a j a k =++=++ {1,0},{0,1}i j == 二维的情形,是 V 2 的一组标准基.例 2 设 求{1,1,3},{2,1,2},a b =-=- (1) 32;c a b =- (2) 用标准基 表示向量,,i j k ;c (3) 求与同方向的单位向量.c 解 (1)323{1,1,3}2{2,1,2}{34,32,94}{1,1,5}.c a b =-=---=--+-=-- (2)5.c i j k =--+ 所以 222(3)||(1)(1)533,c =-+-+= {1,1,5}.||33c c e c ==--解 作 12(),OP OP OP OP λ-=- 例 3 设两点 P 1 (x 1, y 1, z 1), P 2 (x 2, y 2, z 2). 在线段 P 1 P 2 上求一点 P (x , y , z ), 使由 P 分成的两个有向线段 的的比为定数 λ ( ≠ - 1), 即 12,P P PP 12.P P PP λ= O P 1P 2P 11112222{,,},{,,},{,,},OP x y z OP x y z OP x y z === 由于 及12,P P PP λ= 1122,,P P OP OP PP OP OP =-=-121212,,.111x x y y z z x y z λλλλλλ+++===+++所以 12(1),OP OP OP λλ+=+ 这就是定比分点公式.得到 121OP OP OP λλ+=+ ，得点 P 的坐标例 4 证明平行四边形的对角线互相平分.11(),22AE AC AB BC ==+ 解 设 ABCD 为平行四边形, AC , BD 的中点分别 为 E 及 F , 则D A FE B C 由定比分点公式 (λ = 1) 得1(),2AF AB AD =+ 即 E 与 F 重合, 即 AC 与 BD 互相平分.11()().22AF AB AD AB BC AE =+=+= 所以。