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同济大学高等数学知识点总结高考数学解答题部分主要考查七大主干知识：第一，函数与导数。
主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。
第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。
这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。
第三，数列及其应用。
这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。
第四，不等式。
主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。
是高考的重点和难点。
第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。
第七，解析几何。
是高考的难点，运算量大，一般含参数。
高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。
针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。
以不变应万变。
对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。
对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，所有数学考试最终落在解题上。
考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求，而解题训练是提高能力的必要途径，所以高考复习必须把解题训练落到实处。
训练的内容必须根据考纲的要求精心选题，始终紧扣基础知识，多进行解题的回顾、总结，概括提炼基本思想、基本方法，形成对通性通法的认识，真正做到解一题，会一类。
在临近高考的数学复习中，考生们更应该从三个层面上整体把握，同步推进。
1.知识层面也就是对每个章节、每个知识点的再认识、再记忆、再应用。
数学高考内容选修加必修，可归纳为12个章节，75个知识点细化为160个小知识点，而这些知识点又是纵横交错，互相关联，是“你中有我，我中有你”的。
第五篇 向量代数与空间解析几何第八章 向量代数与空间解析几何解析几何得基本思想就是用代数得方法来研究几何得问题,为了把代数运算引入几何中来,最根本得做法就就是设法把空间得几何结构有系统得代数化,数量化、 平面解析几何使一元函数微积分有了直观得几何意义,所以为了更好得学习多元函数微积分,空间解析几何得知识就有着非常重要得地位、本章首先给出空间直角坐标系,然后介绍向量得基础知识,以向量为工具讨论空间得平面与直线,最后介绍空间曲面与空间曲线得部分内容、第1节 空间直角坐标系1、1 空间直角坐标系用代数得方法来研究几何得问题,我们需要建立空间得点与有序数组之间得联系,为此我们通过引进空间直角坐标系来实现、1、1、1 空间直角坐标系过定点,作三条互相垂直得数轴,这三条数轴分别叫做x 轴(横轴)、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴),它们都以为原点且具有相同得长度单位、 通常把x 轴与y 轴配置在水平面上,而z 轴则就是铅垂线;它们得正方向要符合右手规则:右手握住轴,当右手得四指从x 轴得正向转过角度指向y 轴正向时,大拇指得指向就就是z 轴得正向,这样就建立了一个空间直角坐标系(图81),称为直角坐标系,点叫做坐标原点、图81在直角坐标系下,数轴Ox ,,Oz 统称为坐标轴,三条坐标轴中每两条可以确定一个平面,称为坐标面,分别为,,,三个坐标平面将空间分为八个部分,每一部分叫做一个卦限(图82),分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示、图821、1、2 空间点得直角坐标设为空间中得任一点,过点分别作垂直于三个坐标轴得三个平面,与轴、轴与轴依次交于、、三点,若这三点在轴、轴、轴上得坐标分别为,,,于就是点就唯一确定了一个有序数组,则称该数组为点在空间直角坐标系中得坐标,如图83.,,分别称为点得横坐标、纵坐标与竖坐标.图83反之,若任意给定一个有序数组,在轴、轴、轴上分别取坐标为,,得三个点、、,过这三个点分别作垂直于三个坐标轴得平面,这三个平面只有一个交点,该点就就是以有序数组为坐标得点,因此空间中得点就与有序数组之间建立了一一对应得关系.注:、、这三点正好就是过点作三个坐标轴得垂线得垂足.1、2 空间中两点之间得距离设两点,,则与之间得距离为(811) 事实上,过点与作垂直于平面得直线,分别交平面于点与,则∥,显然,点得坐标为,点得坐标为(如图84).图84由平面解析几何得两点间距离公式知,与得距离为:.过点作平行于平面得平面,交直线于,则∥,因此得坐标为,且,在直角三角形中,,所以点与间得距离为2122122122222)()()(||||z z y y x x N N MN d -+-+-=+=.例1 设与为空间两点,求与两点间得距离. 解 由公式(811)可得,与两点间得距离为.例2 在轴上求与点与等距得点.解 由于所求得点在轴上,因而点得坐标可设为,又由于,由公式(811),得.从而解得,即所求得点为.习题811.讨论空间直角坐标系得八个卦限中得点得坐标得符号.2.在坐标轴上得点与在坐标平面上得点得坐标各有何特点？3.在空间直角坐标系中,画出下列各点: ;;;.4.求点关于各坐标平面对称得点得坐标.5.求点关于各坐标轴对称得点得坐标.6.求下列各对点间得距离: (1) 与; (2) 与.7.在坐标平面上求与三点、与等距得点.8.求点与原点、各坐标平面与各坐标轴得距离.9、 证明以为顶点得三角形△ABC 就是一等腰三角形、第2节 空间向量得代数运算2、1 空间向量得概念在日常生活中,我们经常会遇到一些量,如质量、时间、面积、温度等,它们在取定一个度量单位后,就可以用一个数来表示.这种只有大小没有方向得量,叫做数量(或标量).但有一些量,如力、位移、速度、电场强度等,仅仅用一个实数就是无法将它们确切表示出来,因为它们不仅有大小,而且还有方向,这种既有大小又有方向得量,叫做向量(或矢量).在数学上,我们用有向线段来表示向量,称为向量得起点,称为向量得终点,有向线段得长度就表示向量得大小,有向线段得方向就表示向量得方向.通常在印刷时用黑体小写字母,,,…来表示向量,手写时用带箭头得小写字母来记向量、向量得长度称为向量得模,记作或,模为得向量叫做单位向量,模为得向量叫做零向量,记作0,规定:零向量得方向可以就是任意得.本章我们讨论得就是自由向量,即只考虑向量得大小与方向,而不考虑向量得起点,因此,我们把大小相等,方向相同得向量叫做相等向量,记作、规定:所有得零向量都相等、与向量大小相等,方向相反得向量叫做得负向量(或反向量),记作. 平行于同一直线得一组向量称为平行向量(或共线向量).平行于同一平面得一组向量,叫做共面向量,零向量与任何共面得向量组共面、 2、2 向量得线性运算 2、2、1 向量得加法我们在物理学中知道力与位移都就是向量,求两个力得合力用得就是平行四边形法则,我们可以类似地定义两个向量得加法.定义1 对向量,,从同一起点作有向线段、分别表示与,然后以、为邻边作平行四边形,则我们把从起点到顶点得向量称为向量与得与(图85),记作.这种求与方法称为平行四边形法则.图85 图86若将向量平移,使其起点与向量得终点重合,则以得起点为起点,得终点为终点得向量就就是与得与(图86),该法则称为三角形法则.多个向量,如、、、首尾相接,则从第一个向量得起点到最后一个向量得终点得向量就就是它们得与 (图87).图87对于任意向量,,,满足以下运算法则:(1)(交换律).(2) (结合律).(3).2、2、2 向量得减法定义2向量与得负向量得与,称为向量与得差,即.特别地,当时,有、由向量减法得定义,我们从同一起点作有向线段,分别表示,,则.也就就是说,若向量与得起点放在一起,则,得差向量就就是以得终点为起点,以得终点为终点得向量(图88).图882、2、3数乘向量定义3 实数与向量得乘积就是一个向量,记作,得模就是,方向: 当时,与同向;当时,与反向;当时,.对于任意向量,以及任意实数,,有运算法则: (1) . (2) . (3) .向量得加法、减法及数乘向量运算统称为向量得线性运算,称为,得一个线性组合.特别地,与❒a 同方向得单位向量叫做❒a 得单位向量,记做,即、上式表明:一个非零向量除以它得模得结果就是一个与原向量同方向得单位向量、 例1 如图89,在平行六面体中,设,试用来表示对角线向量图89解 ; 、由于向量与平行,所以我们通常用数与向量得乘积来说明两个向量得平行关系、即有, 定理1 向量与非零向量平行得充分必要条件就是存在一个实数,使得、 2、3 向量得坐标表示2、3、1向量在坐标轴上得投影设为空间中一点,过点作轴得垂线,垂足为,则称为点在轴上得投影(图810).图810若为空间直角坐标系中得一点,则在轴、轴、轴上得投影为、、,如图811所示.图811设向量得始点与终点B在轴u得投影分别为、,那么轴u上得有向线段得值叫做向量在轴u上得投影,记作,轴u称为投影轴、图812当与轴同向时,投影取正号,当与轴反向时,投影取负号.注 (1) 向量在轴上投影就是标量.(2)设为空间直角坐标系中得一个向量,点得坐标为,点得坐标为,显然,向量在三个坐标轴上得投影分别为,,.2、3、2向量得坐标表示取空间直角坐标系,在轴、轴、轴上各取一个与坐标轴同向得单位向量,依次记作,它们称为坐标向量.空间中任一向量,它都可以唯一地表示为数乘之与.事实上,设,过、作坐标轴得投影,如图813所示..由于与平行,与平行,与平行,所以,存在唯一得实数,使得,,,即. (821)图 813我们把(821)式中系数组成得有序数组叫做向量得直角坐标,记为,向量得坐标确定了,向量也就确定了.显然,(821)中得就是向量分别在轴、轴、轴上得投影.因此,在空间直角坐标系中得向量得坐标就就是该向量在三个坐标轴上得投影组成得有序数组.例2 在空间直角坐标系中设点,,求向量及得直角坐标.解 由于向量得坐标即为向量在坐标轴上得投影组成得有序数组,而向量得各投影即为终点坐标与起点坐标对应分量得差.所以向量得坐标为,向量得坐标为.例3(定比分点公式) 设与为两已知点,有向线段上得点将它分为两条有向线段与,使它们得值得比等于数,即,求分点得坐标、图814 解 如图814,因为与在同一直线上,且同方向,故,而 ,所以 ,, 解得当λ=1, 点得有向线段得中点, 其坐标为, , 、2、3、3向量得模与方向余弦得坐标表示式向量可以用它得模与方向来表示,也可以用它得坐标式来表示,这两种表示法之间得就是有联系得、设空间向量与三条坐标轴得正向得夹角分别为,规定: ,称为向量❒a 得方向角、 图815因为向量❒a公式(8、2、2)中出现得cos ,cos αβ❒a 得方向余弦、而就是与向量❒a 同方向得单位向量、而❒a =, ,故向量得模为(823)从而向量得方向余弦为cos a αβγ===(824)并且 、例4 已知两点与,求向量得模、方向余弦与方向角、 解; ; 、例5 已知两点与,求与同方向得单位向量、 解 因为所以 于就是2、4 向量得数量积在物理中我们知道,一质点在恒力得作用下,由点沿直线移到点,若力与位移向量得夹角为,则力所作得功为.类似得情况在其她问题中也经常遇到.由此,我们引入两向量得数量积得概念. 定义1 设,为空间中得两个向量,则数叫做向量与得数量积(也称内积或点积),记作,读作“点乘”.即(825)其中表示向量与得夹角,并且规定.两向量得数量积就是一个数量而不就是向量,特别地当两向量中一个为零向量时,就有、由向量数量积得定义易知: (1) ,因此.(2) 对于两个非零向量,,与垂直得充要条件就是它们得数量积为零,即.注 数量积在解决有关长度、角度、垂直等度量问题上起着重要作用. 数量积得运算满足如下运算性质: 对于任意向量,及任意实数,有 (1) 交换律:. (2) 分配律:.(3) 与数乘结合律:.(4) 当且仅当时,等号成立. 例6 对坐标向量,,,求, ,,,,.解 由坐标向量得特点及向量内积得定义得, .例7 已知,,,求,,.解 由两向量得数量积定义有..,因此.在空间直角坐标系下,设向量,向量,即,.则.由于,,所以.(826)也就就是说,在直角坐标系下,两向量得数量积等于它们对应坐标分量得乘积之与.同样,利用向量得直角坐标也可以求出向量得模、两向量得夹角公式以及两向量垂直得充要条件,即设非零向量,向量,则. (827). (828). (829) 例8在空间直角坐标系中,设三点,,.证明:就是直角三角形.证明由题意可知,,则,所以.即就是直角三角形.2、5向量得向量积在物理学中我们知道,要表示一外力对物体得转动所产生得影响,我们用力矩得概念来描述.设一杠杆得一端固定,力作用于杠杆上得点处,与得夹角为,则杠杆在得作用下绕点转动,这时,可用力矩来描述.力对得力矩就是个向量,得大小为.得方向与及都垂直,且,,成右手系,如图816所示.图8162、5、1向量积得定义在实际生活中,我们会经常遇到象这样由两个向量所决定得另一个向量,由此,我们引入两向量得向量积得概念.定义2 设,为空间中得两个向量,若由,所决定得向量,其模为. (8210) 其方向与,均垂直且,,成右手系(如图817),则向量叫做向量与得向量积(也称外积或叉积).记作,读作“叉乘”.注 (1) 两向量与得向量积就是一个向量,其模得几何意义就是以,为邻边得平行四边形得面积.(2)这就是因为夹角θ=0,所以图817(3)对两个非零向量与,与平行(即平行)得充要条件就是它们得向量积为零向量.∥.向量积得运算满足如下性质:对任意向量,及任意实数λ,有(1) 反交换律:.(2) 分配律:,.(3) 与数乘得结合律:.例9对坐标向量,,,求,,,,,.解 .,,.2、5、2向量积得直角坐标运算在空间直角坐标系下,设向量,向量,即,,因为.,,,,,.则121212121212()()+()()()()x y y x y z z y x z z x -⨯-⨯--⨯=i j j k k i .为了便于记忆,借助于线性代数中得二阶行列式及三阶行列式有.注 设两个非零向量,,则∥,.若某个分母为零,则规定相应得分子为零.例10 设向量,,求得坐标. 解 .因此得直角坐标为.例11 在空间直角坐标系中,设向量,,求同时垂直于向量与得单位向量. 解 设向量,则同时与,垂直.而,所以向量得坐标为.再将单位化,得,即与为所求得向量.例12 在空间直角坐标系中,设点,,,求得面积.解 由两向量积得模得几何意义知:以、为邻边得平行四边形得面积为,由于,,因此,所以.故得面积为.2、6向量得混合积定义3 给定空间三个向量,如果先作前两个向量与得向量积,再作所得得向量与第三个向量得数量积,最后得到得这个数叫做三向量得混合积,记做或、说明:三个不共面向量得混合积得绝对值等于以为棱得平行六面体得体积、定理 如果,,,那么习题821.,,,,,().ABCD AB AD AC DB MA M ==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点a b.a b12.,().2M AB O OM OA OB =+u u u r u u u u r u u u r u u u r设为线段的中点,为空间中的任意一点证明2223.?(1)()();(2)();(3)()().==⨯=⨯g g g g g g 对于任意三个向量与判断下列各式是否成立a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b5、设为单位向量,且满足,求6、7、已知三点得坐标、模、方向余弦与方向角、8、一向量得终点在点B(2,1,7),它在x轴、y轴与z轴上得投影依次为4,4与7、求这向量得起点A得坐标、9.设,,,求,,.10.设向量,,两两垂直,且,,,求向量得模及.11.在空间直角坐标系中,已知,,求:(1); (2) ;(3) ;(4).12、已知向量,计算(1)(2)(3)、13.设向量,得直角坐标分别为与,若,求得值.14.设向量,,求以为邻边构造得平行四边形面积.15.求同时垂直于向量与纵轴得单位向量.16.已知三角形三个顶点,,,求得面积.第3节空间中得平面与直线方程在本节我们以向量为工具,在空间直角坐标系中讨论最简单得曲面与曲线——平面与直线、3、1平面及其方程首先利用向量得概念,在空间直角坐标系中建立平面得方程,下面我们将给出几种由不同条件所确定得平面得方程.3、1、1平面得点法式方程若一个非零向量垂直于平面,则称向量为平面得一个法向量.显然,若就是平面得一个法向量,则 (为任意非零实数)都就是得法向量,即平面上得任一向量均与该平面得法向量垂直.由立体几何知识知道,过一个定点且垂直于一个非零向量有且只有一个平面.设为平面上得任一点,由于,因此.由两向量垂直得充要条件,得,而,,所以可得. (831) 由于平面上任意一点都满足方程(831),而不在平面上得点都不满足方程(831),因此方程(831)就就是平面得方程.由于方程(831)就是给定点与法向量所确定得,因而称式(831)叫做平面得点法式方程.图818例1 求通过点且垂直于向量得平面方程.解由于为所求平面得一个法向量,平面又过点,所以,由平面得点法式方程(614)可得所求平面得方程为,整理,得.例2 求过三点,, 得平面得方程.解所求平面得法向量必定同时垂直于与.因此可取与得向量积为该平面得一个法向量.即.由于,,因此,因此所求平面得方程为,化简得一般地,过三点得平面方程为称为平面得三点式方程。
高等数学下册（同济大学第七版）知识点高等数学下册知识点下册预备知识第八章 空间解析几何与向量代数（一） 向量及其线性运算1、 向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、共面；2、 线性运算：加减法、数乘；3、 空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标分解式；4、 利用坐标做向量的运算：设),,(z y x a a a a = ，),,(z y x b b b b = ， 则 ),,(z z y y x x b a b a b a b a ±±±=±, ),,(z y x a a a a λλλλ= ；5、 向量的模、方向角、投影：1） 向量的模：222z y x r ++= ；2） 两点间的距离公式：212212212)()()(z z y y x x B A -+-+-=3） 方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角γβα,,4） 方向余弦：rz r y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα5） 投影：ϕcos Pr a a j u =，其中ϕ为向量a 与u 的夹角。
（二） 数量积，向量积1、 数量积：θcos b a b a=⋅1）2a a a =⋅高等数学（下）知识点 2）⇔⊥b a 0=⋅b az z y y x x b a b a b a b a ++=⋅2、 向量积：b a c⨯= 大小：θsin b a ，方向：c b a ,,符合右手规则1）0=⨯a a 2）b a //⇔0=⨯b a z y x z y x b b b a a a k j i b a =⨯ 运算律：反交换律 b a a b⨯-=⨯（三） 曲面及其方程1、 曲面方程的概念：0),,(:=z y x f S2、 旋转曲面： yoz 面上曲线0),(:=z y f C ，绕y 轴旋转一周：0),(22=+±z x y f 绕z 轴旋转一周：0),(22=+±z y x f3、 柱面：0),(=y x F 表示母线平行于z 轴，准线为⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x F 的柱面 4、 二次曲面1）椭圆锥面：22222zbyax=+2）椭球面：1222222=++czbyax旋转椭球面：1222222=++czayax3）单叶双曲面：1222222=-+czbyax4）双叶双曲面：1222222=--czbyax5）椭圆抛物面：zbyax=+22226）双曲抛物面（马鞍面）：zbyax=-22227）椭圆柱面：12222=+byax8）双曲柱面：12222=-byax9）抛物柱面：ay x=2（四）空间曲线及其方程1、 一般方程：⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F 2、 参数方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x ，如螺旋线：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===btz t a y t a x sin cos 3、 空间曲线在坐标面上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，消去z ，得到曲线在面xoy 上的投影⎪⎩⎪⎨⎧==00),(z y x H（五） 平面及其方程1、 点法式方程：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A法向量：),,(C B A n = ，过点),,(000z y x2、 一般式方程：0=+++D Cz By Ax 截距式方程：1=++cz b y a x 3、 两平面的夹角：),,(1111C B A n = ，),,(2222C B A n = ，222222212121212121cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ⇔∏⊥∏21 0212121=++C C B B A A⇔∏∏21// 212121C C B B A A ==4、 点),,(0000z y x P 到平面0=+++D Cz By Ax 的距离：222000C B A DCz By Ax d +++++=（六） 空间直线及其方程1、 一般式方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 2、 对称式（点向式）方程：p z z n y y m x x 000-=-=-方向向量：),,(p n m s = ，过点),,(000z y x3、 参数式方程：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mt x x 000 4、 两直线的夹角：),,(1111p n m s = ，),,(2222p n m s = ，222222212121212121cos p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=ϕ⇔⊥21L L 0212121=++p p n n m m⇔21//L L 212121p p n n m m ==5、 直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，222222sin p n m C B A CpBn Am ++⋅++++=ϕ⇔∏//L 0=++Cp Bn Am⇔∏⊥L pC n B m A ==第九章 多元函数微分法及其应用（一） 基本概念（了解）1、 距离，邻域，内点，外点，边界点，聚点，开集，闭集，连通集，区域，闭区域，有界集，无界集。
462第八章 向量代数与空间解析几何一、预习导引第一节 向量及其线性运算1. 中学阶段已经学习了向量的概念、线性运算及运算规律.阅读本节前两部分的内容，从中找出与你以前学过的向量有关内容不同之处.2. 尝试自己画出空间直角坐标系的图形，确认每一个卦限的方位.你能找出坐标轴上的点、坐标面上的点及各卦限内的点的坐标的特点吗？空间任意一个向量你能用坐标表示吗？阅读本节第三部分内容，从中找出答案.3. 在空间直角坐标系中，向量可以用坐标来表示，那么向量的线性运算是否也可以利用坐标作运算？点的坐标表示与向量的坐标表示有区别吗？利用坐标进行向量运算要注意什么问题？仔细阅读本节第四部分内容，你将会正确解答这些问题.4. 在空间直角坐标系中画出向量()1,2,2OM =，利用本节第三部分知识，求向量OM 的模及它与,,x y z 三个坐标轴的夹角（分别设为,,αβγ，称为向量的方向角）的余弦cos ,cos ,cos αβγ，并考察向量的模、方向余弦与其坐标的关系.这种关系式可以推广到空间任意向量吗？阅读本节第五部分的1、2，验证你的结论是否正确.在书上画出来空间任意两点间的距离公式.5 .阅读本节第五部分的3，细心体会向量在轴上的投影概念.向量(),,OM x y z =在三个坐标轴上的投影分别是什么？与向量OM 在三个坐标轴上的分向量有什么区别？注意向量投影的性质.第二节 数量积 向量积 *混合积1. 中学阶段我们已经学习了平面上两向量的数量积的定义、坐标表示及运算规律，请你尝试把数量积的定义、坐标表示及运算规463 律推广到空间向量.阅读本节第一部分内容，验证你的推论.2. 两向量的向量积是一个向量，怎样确定这个向量的模、方向及向量积如何用坐标表示、有什么运算规律？带着这些问题阅读本节第二部分，从中找出答案.3. 向量的混合积顾名思义，是指既含有向量积又含有数量积的向量运算，即()a b c ⨯⋅.根据本节前两部分所学知识，用坐标表示向量的混合积()a b c ⨯⋅；混合积()a b c ⨯⋅的几何意义是什么？阅读本节第三部分内容，检验你的结论.第三节 平面及其方程1. 在平面解析几何中，把平面曲线看作动点的轨迹，建立了曲线和二元方程之间的关系，那么空间曲面或曲线是否也可以看作动点的几何轨迹，建立三元方程或方程组之间的关系？阅读曲面方程与空间曲线方程的概念，从你熟悉的学习和生活实践中举例说明这些概念.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---垂直于向量(),,n A B C =.把(),,M x y z 看作动点，满足0M M n ⊥的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把n 换为2n ，0M M n ⊥的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以n 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，揣摩用平面的点法式方程求解的问题类型.3. 平面方程0Ax By Cz D +++=中，,,,A B C D 中任意一个为零、任意两个为零及,,A B C 中任意两个为零且0D =时，它们对应的几何图形分别有什么特点？阅读本节第三部分，总结特殊的三元一次方程所表示的平面的特点．4. 阅读本节第四部分，弄清楚两平面的夹角的概念，夹角取值的范围，并用向量的坐标表示两平面的夹角.思考如何判断两平面的位置关系.推导空间中的点到平面的距离公式.第四节 空间直线及其方程4641. 从几何的角度看，两张相交平面确定一条直线L ，直线L 用动点的坐标表示，即由两个三元一次方程构成的方程组.通过空间一条直线L 的平面有多少？L 的方程唯一吗？阅读本节第一部分，从中找出答案.2. 用坐标表示向量()0000,,M M x x y y z z =---平行于向量(),,s m n p =.把(),,M x y z 看作动点，满足0//M M s 的点M 的集合在空间表示怎样的图形？如果把s 换为2s ，0//M M s 的坐标表示式会变吗？换为任意非零常数乘以s 呢？仔细阅读本节第二部分，回答上述问题，在书上画出直线的对称式方程和参数式方程.3. 阅读本节第三部分，弄清楚两直线夹角的取值范围.如何计算两直线的夹角？如何判断两直线的位置关系？4. 阅读本节第四部分，弄清楚直线与平面的夹角的取值范围.如何计算直线与平面的夹角？如何判断直线与平面的位置关系？分析平面束方程与三元一次方程的关系.第五节 曲面及其方程1. 阅读本节第一部分内容，通过例1与例2仔细揣摩：已知空间曲面如何建立其方程；已知坐标,,x y z 间的一个方程怎样研究它所表示的曲面的形状.2. 阅读本节第二部分内容，找出在进行旋转曲面方程的推导过程中，变化的量和不变的量，总结旋转曲面的方程的特点.思考给定一个三元二次方程，你能判断出它是否是旋转曲面？如果是，你能给出它的母线的方程和轴吗？它的母线唯一吗？3. 柱面方程的特点是什么？它的图形有什么特点？柱面方程与平面曲线方程有什么区别与联系？带着这些问题，阅读本节第三部分内容，从中找出答案.4. 阅读本节第四部分内容，从中找出下列问题的答案，怎样方程表示的曲面是二次曲面？常见的二次曲面有哪些？它们的图形是怎样的？。
-。
b与a的差b a．向量加法的性质〔运算律〕②结合律+的模一般地不等于a的模加b的模，而有a b a ba b+≤+，即三角形两边之和大于等于第三向量与数的乘法Array、向量的定义：向量a与数m的乘积是一个向量，它的模等于m a，方向与a相同〔假设反〔假设m<0〕。
、向量与数量乘法的性质(运算律)②分配律≠，则向量b平行于a得充分必要条件是：存在唯一实数λ，使b=λa。
a0在实际问题中，有些向量与其起点有关，有些向量与其起点无关。
由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量〔以后简称向量〕，即只考虑向量的大小和方向，而不管它的起点在什么地方。
当遇到与起点有关的向量时〔例如，谈到某一质点的运动速度时，这速度就是与所考虑的那一质点的位置有关的向量〕，可在一般原则下作特别处理。
上的射影。
投影向量的定义：AB 的始点A B ''就定义AB 在轴u 上的投影向量。
向量在轴上的投影：向量A B ''在轴AB 在轴u 上的投影，记为投影AB 。
向量在轴上的投影性质：性质1〔投影定理〕AB =cos AB ϕ与向量AB 的夹角。
推论：相等矢量在同一轴上的射影相等。
性质2：Prj(12a a +)=Prj 1a +Prj 2a 。
性质2可推广到有限个向量的情形。
性质3：Prj u λa =λPrj u a 。
向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标：向量a 在坐标轴上的投影向量,,y z i a j a k 称为向量在坐标轴上的分向量。
向量a 在三条坐标轴上的投影,y z a a 叫做向量的坐标，记为：a ={,,x y a a 由向量在轴上的投影定义，a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标{,,x y z a a a a ，由此可知，向量的投影具有与坐标相同的性质。
利用向量的坐标，可得向量的加法、减法以及向量与数的乘法的运算如下：a ={,x y a a ，{,,}x y zb b b b =利用向量加法的交换律与结合律，以及向量与数乘法的结合律与分配律，有{,x y z z a b a b b a b +=+++{x a b a b -=-{,}x y a a a λλλ=由此可见，对向量进行加、减及与数相乘，只须对向量的各个坐标分别进行相应的数量运算就行了。
第八章：空间解析几何与向量代数一、重点与难点1重点① 向量的基本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； ② 数量积（是个数）、向量积（是个向量）； ③ 几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；④ 平面的几种方程的表示方法（点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程） 的夹角；⑤ 空间直线的几种表示方法（参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程） 两直线的夹角、直线与平面的夹角；2、难点① 向量积（方向）、混合积（计算）；② 掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程和二次曲面所对应的图形； ③ 空间曲线在坐标面上的投影；④ 特殊位置的平面方程（过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等； ）⑤ 平面方程的几种表示方式之间的转化； ⑥ 直线方程的几种表示方式之间的转化；二、基本知识1、向量和其线性运算① 向量的基本概念：向量 既有大小 又有方向的量；向量表示方法：用一条有方向的线段（称为有向线段）来表示向量有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向 .；向量的符号 以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作表示 也可用上加箭头书写体字母表示例如a 、r 、v 、F 或a 、r 、v 、F ；向量的模 向量的大小叫做向量的模 向量a 、a 、AB 的模分别记为|a|、|a|、|AB |单位向量模等于1的向量叫做单位向量;向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反就称这两个向量平行向量a 与b平行 记作a // b 零向量认为是与任何向量都平行； 两向量平行又称两向量共线零向量 模等于0的向量叫做零向量记作0或0 零向量的起点与终点重合 它的方向可以看作是任意的共面向量：设有k （k 3）个向量 当把它们的起点放在同一点时如果k 个终点和公共起点在一个平面上 就称这k 个向量共面；，两平面AB 向量可用粗体字母两向量夹角：当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时两个向量之间的不超过的夹角称为向量a 与b 的夹角 记作(a ：b)或(b ：a)如果向量a 与b 中有一个是零向量 规定它们的夹角可以在 0与 之间任意取值；② 向量的线性运算向量的加法(三角形法则)：设有两个向量a 与b 平移向量使b 的起点与a 的终点重合 此 时从a 的起点到b 的终点的向量c 称为向量a 与b 的和 记作a+b 即 c a+b .平行四边形法则 向量a 与b 不平行时 平移向量使a 与b 的起点重合 以a 、b 为邻边作一平行四边形 从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a b向量的加法的运算规律(1)交换律abba(2)结合律(a b) c a (b c)负向量 设a 为一向量 与a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量 记为a把向量a 与b 移到同一起点 0则从a 的终点A 向b 的终点B 所引向量AB 便是向量b 与a 的差b a向量a 与实数 的乘积记作规定 a 是一个向量 方向当＞0时与a 相同 当＜0时与a 相反 当 向量这时它的方向可以是任意的a③ 空间直角坐标系在空间中任意取定一点 O 和三个两两垂直的单位向量 i 、j 、k 就确定了三条都以 O 为 原点的两两垂直的数轴依次记为x 轴(横轴卜y 轴(纵轴卜z 轴(竖轴)统称为坐标轴 它们 构成一个空间直角坐标系称为Oxyz 坐标系注：(1)通常三个数轴应具有相同的长度单位(2) 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上 而z 轴则是铅垂线(3) 数轴的的正向通常符合右手规则坐标面 在空间直角坐标系中 任意两个坐标轴可以确定一个平面 这种平面称为坐标面x 轴和y 轴所确定的坐标面叫做xOy 面 另两个坐标面是 yOz 面和zOx 面 卦限三个坐标面把空间分成八个部分每一部分叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限它位于xOy 面的上方在xOy 面的上方按逆时针方向排列着第二卦限、 第三卦限和第四卦限 在xOy 面的下方 与第一卦限对应的是第五卦限 按逆时针方向还排列着第六卦限、 第七卦限和第八卦限 八个卦限分别用字母I 、II 、III 、IV 、V 、VI 、VII 、VIII 表示向量的坐标分解式任给向量r 对应有点M 使OM r 以OM 为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 有 r OM OP PN NM OP OQ OR向量的减法 向量与数的乘法: 它的模| a| | ||a|它的 0时| a| 0即a 为零运算规律(1)结合律 (a) ( a) ( )a ；(2)分配律()a a a ； (a b) a b 向量的单位化 设a0则向量看是与a 同方向的单位向量记为e a ，于是a |a|e a定理1 设向量a 0那么向量b 平行于a 的充分必要条件是存在唯一的实数设 OP Xi OQ yj OR zk 贝U r OM xi yj zk上式称为向量r 的坐标分解式xi 、yj 、zk 称为向量r 沿三个坐标轴方向的分向量点M 、向量r 与三个有序x 、y 、z 之间有一一对应的关系M r OM xi yj zk (x, y, z)投影的性质性质1 (a)u |a|cos (即Prj u a |a|cos )其中 为向量与u 轴的夹角 性质 2 (a b)u (a)u (b)u (即 Prj u (a b) Prj u a Prj u b) 性质 3 ( a)u (a)u (即 Prj u ( a) Prj u a)有序数x 、y 、z 称为向量 r （在坐标系Oxyz ）中的坐标 记作r (x y z) 向量r OM 称为点M 关于原点O 的向径 ④ 利用坐标作向量的线性运算设 a (a x a y a z ) b (b x b y b z )a b (a x b x a y b y a z b z ) a b (a x b x a y b y a z b z ) a ( a x a y a z )利用向量的坐标判断两个向量的平行设 a (a x a y a z ) 0 b (b x b y b z )向量 b//a b a即 b//a (b x b y b z )(a x a y a z )于是 bx b y axaybzaz⑤ 向量的模、方向角、投影 设向量r （x y z ）作OM r 则 向量的模长公式|r| ..x 2 y 2 z 2设有点 A(x i y i z i )、B(x y 2 z 2) AB OB OA(x 2 y 2 Z 2)(X 1 y 1 Z 1)(X 2 X 1 y 2 y 1 Z 2 z”A 、B 两点间的距离公式为： |AB| |AB|、（X 2 %）2 （y 2 yj 2厶 乙）2方向角:非零向量r 与三条坐标轴的夹角 称为向量r 的方向角设 r (x y z) 则 x |r|cos y |r|cos z |r|coscos 、cos 、cos 称为向量 r 的方向余弦cos x cos|r|从而(cos ,cos 1,COS ) F|r e r2 2 2cos cos cos 12、数量积、向量积、混合积① 两向量的数量积数量积 对于两个向量a 和b 它们的模|a|、|b|和它们的夹角 的 余弦的乘积称为向量 a 和b 的数量积记作ab 即a b |a| |b| cos数量积的性质⑴ a a |a| 2(2)对于两个非零向量 a 、b 如果a b 0贝U a b;反之如果a b 则a b 0如果认为零向量与任何向量都垂直 则a b a b 0两向量夹角的余弦的坐标表示设 (a 人b)则当a 0、b 0时有数量积的坐标表示设 a (a x a y a z ) b (b x b y b z )贝U a b a x b x a y b y a z b z 数量积的运算律 (1) 交换律 a b b a;⑵分配律 (a b) c a c b c(3) ( a) b a ( b) (a b)(a) (• b) (a b)、为数② 两向量的向量积向量积 设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出c 的模|c| |a||b|sin其中 为a 与b 间的夹角；c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面 c 的指向按右手规则从 a 转向b 来确定那么 向量c 叫做向量a 与b 的向量积 记作a b 即c a b向量积的性质(1) a a 0(2) 对于两个非零向量 a 、b 如果a b 0则a//b 反之 如果a//b 则a b 0 如果认为零向量与任何向量都平行 则a//b a b 0数量积的运算律(1) 交换律a b b a (2) 分配律(a b) c a c b c (3) ( a) b a ( b) (a b)(为数)数量积的坐标表示 设a (a x a y a z ) b (b x b y b z )a b (a yb z a z b y ) i ( a z b xa xb z ) j (a xb y a y b x ) kcosa xb x a y b y a z b z|a||b|X a 2 a z为了邦助记忆利用三阶行列式符号 上式可写成a yb z i a z b x j a x b y k a y b x k a x b z j a z b y ii j k a x a y a z b x b y b z(a y b z a z b y ) i ( a z b x a x b z ) j ( a x b y a y b x ) k③三向量的混合积混合积的几何意义： 混合积[abc]是这样一个数，它的绝对值表示以向量a 、b 、c 为棱的平行六面体的体积，如果向量a 、b 、c 组成右手系，那么混合积的符号是正的，如果a 、b 、c 组成左手系，那么混合积的符号是负的。
高等数学教学教案第8章 向量代数与空间解析几何授课序号01教 学 基 本 指 标教学课题 第8章 第1节 向量及其运算 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 数量积、向量积、混合积，两个向量垂直、平行的条件教学难点 两个向量垂直、平行的条件参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置大纲要求 1.理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.2.掌握向量的运算（向量运算、数量积、向量积、混合积），了解两个向量垂直、平行的条件.3.理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用表达式进行向量运算的方法.教 学 基 本 内 容一．空间直角坐标系1.直角坐标系，点叫做坐标原点.2.在直角坐标系下，数轴统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为三个坐标平面将空间分为八个部分,每一部分叫作一个卦限，分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.3.数组为点在空间直角坐标系中的坐标，其中分别称为点的横坐标、纵坐标和竖坐标．二．空间两点间的距离设，为空间两点，则与之间的距离为.三．向量的概念1. 向量:既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）．O Oxyz 111(, , )M x y z 222(, , )N x y z M N 212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=Oxyz Oz Oy Ox ,,zOx yOz xOy ,,(, , )x y z M Oxyz z y x ,,M2. 向量的模:向量的长度称为向量的模，记作或.3. 单位向量:模为的向量叫做单位向量.4. 零向量:模为的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的．5. 相等向量:大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作.规定：所有的零向量都相等.6.负向量:与向量大小相等，方向相反的向量叫做的负向量(或反向量)，记作．7. 平行向量:平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）．8. 共面向量:平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量共面.四．向量的线性运算1. 向量的加法定义 对向量，，从同一起点作有向线段、分别表示与，然后以、为邻边作平行四边形，则我们把从起点到顶点的向量称为向量与的和，记作．这种向量求和方法称为平行四边形法则．若将向量平移，使其起点与向量的终点重合，则以的起点为起点，的终点为终点的向量就是与的和，该法则称为三角形法则．对于任意向量，，，满足以下运算法则：(1)(交换律)． (2) (结合律)． (3)．2.向量的减法定义 向量与的负向量的和，称为向量与的差，即．特别地，当时，有.若向量与的起点放在一起，则，的差向量就是以的终点为起点，以的终点为终点的向量.3.数乘向量定义 实数与向量的乘积是一个向量，记作，的模是，方向：当时，与同向；当时，与反向；当时，．对于任意向量，以及任意实数，，有下列运算法则：(1) ． (2) ． (3) ．向量的加法、减法及数乘向量运算统称为向量的线性运算，称为，的一个线性组合．特别地，与同方向的单位向量叫做的单位向量，记作，即. 定理 向量与非零向量平行的充分必要条件是存在唯一的实数，使得.a AB10b a =a a -a a b A AB AD a b AB ADABCD A C ACa b b a +b a a b c a b a b c a +b =b +a ()()a +b +c =a +b +c 0a +=a a b -b a b ()--a b =a +b b =a ()-0a +a =a b a b b a λa λa λa λa 0λ>λa a 0λ<λa a 0λ=λ0a =a b λμ()()λμλμa =a ()+λμλμ+a =a a ()+λλλ+a b =a b λμa +b a b (, )R λμ∈a a a e ||a ae a =a b λλa =b例7 已知向量，，求.例8 已知三角形的顶点分别是，求三角形的面积.授课序号02教 学 基 本 指 标教学课题 第8章 第2节 空间平面和直线 课的类型 新知识课 教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 平面方程和直线方程及其求法，平面与平面，平面与直线，直线与直线之间的夹角教学难点 利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决问题参考教材 同济七版《高等数学》下册作业布置大纲要求 1.掌握平面方程和直线方程及其求法.2.会求平面与平面，平面与直线，直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题.3.会求点到直线以及点到平面的距离.教 学 基 本 内 容一．空间平面方程1.平面方程的各种形式（1）若一个非零向量垂直于平面，则称向量为平面的一个法向量．（2）平面的点法式方程：过点，法向量为的平面方程为．（3）平面的三点式方程：过三点的平面方程为 称为平面的三点式方程.（4）平面的截距式方程：过三点，，的平面的方程为}2,1,3{--=a }1,2,1{-=b b a 2⨯ABC (1,1,1)(1,2,3)(2,3,4)、、A B C ABC n ∏n ∏0000(, , )M x y z {, , }A B C n =000()()()0A x x B y y C z z -+-+-=(,,)(1,2,3)k k k k M x y z k =1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=---(, 0, 0)A a (0, , 0)B b (0, 0, )C c (0)abc ≠例8将直线的一般式方程化为点向式方程和参数方程．例9求直线和的夹角. 例10求直线与平面的夹角.授课序号03教 学 基 本 指 标教学课题 第8章 第3节 空间曲面和曲线 课的类型 新知识课教学方法 讲授、课堂提问、讨论、启发、自学 教学手段 黑板多媒体结合教学重点 以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程教学难点 空间曲线在坐标平面上的投影及其方程参考教材 同济七版《高等数学》下册 作业布置大纲要求 1.理解曲线方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程. 2.了解空间曲线的参数方程和一般方程.3.了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程.教 学 基 本 内 容一．空间曲面定义 如果曲面与方程满足如下关系： (1) 曲面上每一点的坐标都满足方程； (2) 以满足方程的解为坐标的点都在曲面上． 则称方程为曲面的方程，而称曲面为此方程的图形．几个常见的曲面方程.1.球面（1）以坐标原点为球心，以为半径的球面方程为．（2）以为球心，以为半径的球面方程为. （3）一般方程.2310,32120,x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩113:141x y z l -+==-220:20x y l x z ++=⎧⎨+=⎩300x y z x y z ++=⎧⎨--=⎩10x y z --+=∑(, , )0F x y z =∑(, , )0F x y z =(, , )0F x y z =∑(, , )0F x y z =∑∑R 2222R z y x =++000(,,)x y z R 2222000()()()x x y y z z R -+-+-=0222=++++++D Cz By Ax z y x组称作空间曲线的一般方程.2.空间曲线的参数方程对于空间曲线，若上的动点的坐标可表示成为参数的函数随着的变动可得到曲线上的全部点，此方程组叫做空间曲线的参数方程.3.空间曲线在坐标面上的投影（1）设空间曲线的一般方程为消去变量之后所得到的方程,表示一个母线平行于轴的柱面，因此，此柱面必定包含曲线.以曲线为准线，母线平行于轴的柱面叫做关于面的投影柱面.投影柱面与面的交线叫做空间曲线在面上的投影曲线，该曲线的方程可写成（2）消去方程组中的变量或，再分别与或联立，我们便得到了空间曲线在或面上的投影曲线方程：或（3）确定一个空间立体或空间曲面在坐标面上的投影.一般来说，这种投影往往是一个平面区域，我们称它为空间立体或空间曲面在坐标面的投影区域..投影区域可以利用投影柱面与投影曲线来确定.三．二次曲面1.椭圆锥面由方程所确定的曲面称为椭圆锥面.2.椭球面(,,)0,(,,)0.F x y z G x y z =⎧⎨=⎩C C x y z ,,t ⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(t z z t y y t x x t C C (,,)0,(,,)0.F x y z G x y z =⎧⎨=⎩z (,)0H x y =z C C z xoy xoy C xoy (,)0,0.H x y z =⎧⎨=⎩(,,)0,(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩x y 0x =0y =C yoz xoz (,)0,0,R y z x =⎧⎨=⎩(,)0,0.T x z y =⎧⎨=⎩22222x y z a b+=由方程 ()所确定的曲面称为椭球面，称为椭球面的半轴，此方程称为椭球面的标准方程．3.单叶双曲面由方程()所确定的曲面称为单叶双曲面．4.双叶双曲面由方程()所确定的曲面称为双叶双曲面．注 方程和也都是单叶双曲面;方程和也都是双叶双曲面．5.椭圆抛物面由方程 ()所确定的曲面称为椭圆抛物面．6.双曲抛物面由方程 ()所确定的曲面称为双曲抛物面．双曲抛物面的图形形状很象马鞍，因此也称马鞍面．四．例题讲解例1建立球面的中心是点，半径为的球面方程. 例2 方程表示怎样的曲面？ 例3 分析方程表示怎样的曲面？例4 双曲线型冷却塔是电厂、核电站的循环水自然通风冷却的一种建筑物, 如图8.24所示.试分析双曲线型冷却塔外表面的数学模型.1222222=++cz b y a x 0, 0, 0a b c >>>, , a b c 1222222=-+cz b y a x 0, 0, 0a b c >>>1222222-=-+c z b y a x 0, 0, 0a b c >>>1222222=+-c z b y a x 1222222=++-cz b y a x 1222222-=+-c z b y a x 1222222-=++-cz b y a x 2222by a x z +=0, 0, 0a b c >>>2222by a x z -=0, 0, 0a b c >>>),,(0000z y x M R 024222=+-++y x z y x 222R y x =+8.24 图8.25坐标面上的双曲线分别绕绕另一条与相交的直线旋转一周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点为圆锥面的12222=-by c z L。
同济大学(高等数学)_第八章_向量代数与解析几何-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第五篇 向量代数与空间解析几何第八章 向量代数与空间解析几何解析几何的基本思想是用代数的方法来研究几何的问题，为了把代数运算引入几何中来，最根本的做法就是设法把空间的几何结构有系统的代数化，数量化. 平面解析几何使一元函数微积分有了直观的几何意义，所以为了更好的学习多元函数微积分，空间解析几何的知识就有着非常重要的地位.本章首先给出空间直角坐标系，然后介绍向量的基础知识，以向量为工具讨论空间的平面和直线，最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第1节 空间直角坐标系1.1 空间直角坐标系用代数的方法来研究几何的问题，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现.1.1.1 空间直角坐标系过定点O ，作三条互相垂直的数轴，这三条数轴分别叫做x 轴(横轴）、y 轴(纵轴)、z 轴(竖轴)，它们都以O 为原点且具有相同的长度单位. 通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，而z 轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则：右手握住z 轴，当右手的四指从x 轴的正向转过2角度指向y 轴正向时，大拇指的指向就是z 轴的正向，这样就建立了一个空间直角坐标系（图8-1），称为Oxyz 直角坐标系，点O 叫做坐标原点.图8-1在Oxyz 直角坐标系下，数轴Ox ,Oy ,Oz 统称为坐标轴，三条坐标轴中每两条可以确定一个平面，称为坐标面，分别为xOy ，yOz ，zOx ，三个坐标平面yxzO将空间分为八个部分，每一部分叫做一个卦限（图8-2），分别用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.图8-21.1.2 空间点的直角坐标设M 为空间中的任一点，过点M 分别作垂直于三个坐标轴的三个平面，与x 轴、y 轴和z 轴依次交于A 、B 、C 三点，若这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标分别为x ，y ，z ，于是点M 就唯一确定了一个有序数组(, , )x y z ，则称该数组(, , )x y z 为点M 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标，如图8-3．x ，y ，z 分别称为点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标．图8-3反之，若任意给定一个有序数组(, , )x y z ，在x 轴、y 轴、z 轴上分别取坐标为x ，y ，z 的三个点A 、B 、C ，过这三个点分别作垂直于三个坐标轴的平yxz O y xz A B C(,,)M x y z面，这三个平面只有一个交点M ，该点就是以有序数组(, , )x y z 为坐标的点，因此空间中的点M 就与有序数组(, , )x y z 之间建立了一一对应的关系．注：A 、B 、C 这三点正好是过M 点作三个坐标轴的垂线的垂足．1.2 空间中两点之间的距离设两点111(, , )M x y z ，222(, , )N x y z ，则M 与N 之间的距离为212212212)()()(z z y y x x d -+-+-= （8-1-1）事实上，过点M 和N 作垂直于xOy 平面的直线，分别交xOy 平面于点1M 和1N ，则1MM ∥1NN ，显然，点1M 的坐标为11(, , 0)x y ，点1N 的坐标为22(, , 0)x y （如图8-4）．图8-4由平面解析几何的两点间距离公式知，1M 和1N 的距离为：21221211)()(||y y x x N M -+-=．过点M 作平行于xOy 平面的平面，交直线1NN 于2N ，则11M N ∥2MN ，因此2N 的坐标为221(, , )x y z ，且212212112)()(||||y y x x N M MN -+-==，在直角三角形N MN 2中，||||122z z N N -=，所以点M 与N 间的距离为2122122122222)()()(||||z z y y x x N N MN d -+-+-=+=． 例1 设(1, 2, 0)A -与(1, 0, 2)B --为空间两点，求A 与B 两点间的距离． 解 由公式（8-1-1）可得，A 与B 两点间的距离为d ==例2 在z 轴上求与点(3, 5, 2)A -和(4, 1, 5)B -等距的点M ．解 由于所求的点M 在z 轴上，因而M 点的坐标可设为(0, 0, )z ，又由于MA MB =，由公式（8-1-1），得222222)5(1)4()2(53z z -++-=--++．从而解得72=z ，即所求的点为2(0, 0, )7M ．习题8-11．讨论空间直角坐标系的八个卦限中的点的坐标的符号． 2．在坐标轴上的点和在坐标平面上的点的坐标各有何特点？ 3．在空间直角坐标系中，画出下列各点：(2, 0, 0)A ；(0, 3, 0)B -；(3, 0, 1)C ；(3, 2, 1)D -． 4．求点(1, 2, 3)-关于各坐标平面对称的点的坐标． 5．求点(1, 2, 3)关于各坐标轴对称的点的坐标． 6．求下列各对点间的距离： (1) (0, 1, 3)A -与(2, 1, 4)B ；(2) (1, 4, 2)C -与D(2, 7, 3)．7．在坐标平面yOz上求与三点(3, 1, 2)C等距A、(4,2,2)B--和(0, 5, 1)的点．8．求点(12,3, 4)A-与原点、各坐标平面和各坐标轴的距离．A4,3,1,B7,1,2,C5,2,3为顶点的三角形△ABC是一等腰三角9. 证明以()()()形.第2节空间向量的代数运算2.1 空间向量的概念在日常生活中，我们经常会遇到一些量，如质量、时间、面积、温度等，它们在取定一个度量单位后，就可以用一个数来表示．这种只有大小没有方向的量，叫做数量（或标量）．但有一些量，如力、位移、速度、电场强度等，仅仅用一个实数是无法将它们确切表示出来，因为它们不仅有大小，而且还有方向，这种既有大小又有方向的量，叫做向量（或矢量）．在数学上，我们用有向线段AB来表示向量，A称为向量的起点，B称为向量的终点，有向线段的长度就表示向量的大小，有向线段的方向就表示向量的方向．通常在印刷时用黑体小写字母a，b，c，…来表示向量，手写时用带箭头的小写字母, ,,a b c来记向量.向量的长度称为向量的模，记作a或AB，模为1的向量叫做单位向量，模为0的向量叫做零向量，记作0，规定：零向量的方向可以是任意的．本章我们讨论的是自由向量，即只考虑向量的大小和方向，而不考虑向量的起点，因此，我们把大小相等，方向相同的向量叫做相等向量，记作a=b.规定：所有的零向量都相等.与向量a大小相等，方向相反的向量叫做a的负向量(或反向量)，记作a．平行于同一直线的一组向量称为平行向量（或共线向量）．平行于同一平面的一组向量，叫做共面向量，零向量与任何共面的向量组共面.2.2 向量的线性运算2.2.1 向量的加法我们在物理学中知道力与位移都是向量，求两个力的合力用的是平行四边形法则，我们可以类似地定义两个向量的加法．定义1对向量a，b，从同一起点A作有向线段AB、AD分别表示a与b，然后以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD，则我们把从起点A到顶点C 的向量AC称为向量a与b的和（图8-5），记作a+b．这种求和方法称为平行四边形法则．图8-5 图8-6若将向量b 平移，使其起点与向量a 的终点重合，则以a 的起点为起点，b 的终点为终点的向量c 就是a 与b 的和(图8-6），该法则称为三角形法则．多个向量，如a 、b 、c 、d 首尾相接，则从第一个向量的起点到最后一个向量的终点的向量就是它们的和a +b +c +d （图8-7）．图8-7对于任意向量a ，b ，c ，满足以下运算法则： (1) a +b =b +a (交换律)．(2) ()()a +b +c =a +b +c (结合律)． (3) 0a +=a ．2.2.2 向量的减法定义2 向量a 与b 的负向量-b 的和，称为向量a 与b 的差，即()--a b =a +b ．特别地，当b =a 时，有()-0a +a =.abcda +b +c +dabAabc =a +b由向量减法的定义，我们从同一起点O 作有向线段OA ，OB 分别表示a ，b ，则()OA OB OA OB --=+-a b =OA BO BA =+=．也就是说，若向量a 与b 的起点放在一起，则a ，b 的差向量就是以b 的终点为起点，以a 的终点为终点的向量（图8-8）．图8-82.2.3数乘向量定义3 实数λ与向量a 的乘积是一个向量，记作λa ，λa 的模是λa ，方向：当0λ>时，λa 与a 同向；当0λ<时，λa 与a 反向；当0λ=时，λ0a =．对于任意向量a ，b 以及任意实数λ，μ，有运算法则： (1) ()()λμλμa =a ． (2) ()+λμλμ+a =a a ．(3) ()+λλλ+a b =a b ．向量的加法、减法及数乘向量运算统称为向量的线性运算，λμa +b 称为a ，b 的一个线性组合(, )R λμ∈．aabb-a b BAC特别地，与 a 同方向的单位向量叫做a 的单位向量，记做a e ，即aa e a=.上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.例1 如图8-9，在平行六面体///ABCD B C D /—A 中，设/=AA ,a AD =b AB =c ,试用,,a b c 来表示对角线向量//,.AC A C图8-9解 ''AC AB BC CC =++'AB BC AA =++a b c =++；'''ACA A AB BC AA AB AD =++=-++a b c =++. 由于向量λa 与a 平行，所以我们通常用数与向量的乘积来说明两个向量的平行关系.即有,定理1 向量a 与非零向量b 平行的充分必要条件是存在一个实数λ，使得λa =b .2.3 向量的坐标表示2.3.1向量在坐标轴上的投影设A 为空间中一点，过点A 作轴u 的垂线，垂足为'A ，则'A 称为点A 在轴u 上的投影(图8-10)．图8-10若M 为空间直角坐标系中的一点，则M 在x 轴、y 轴、z 轴上的投影为A 、B 、C ，如图8-11所示．图8-11设向量AB 的始点与终点B 在轴u 的投影分别为A '、B '，那么轴u 上的有向线段A B ''的值A B ''叫做向量AB 在轴u 上的投影，记作u prj AB A B ''=，轴u 称为投影轴.图8-12当A B ''与轴u 同向时，投影取正号，当A B ''与轴u 反向时，投影取负号． 注 (1) 向量在轴上投影是标量．yxzOA B CM(2) 设MN 为空间直角坐标系中的一个向量，点M 的坐标为111(, , )x y z ，点N 的坐标为222(, , )x y z ，显然，向量MN 在三个坐标轴上的投影分别为12x x -，12y y -，12z z -．2.3.2向量的坐标表示取空间直角坐标系Oxyz ，在x 轴、y 轴、z 轴上各取一个与坐标轴同向的单位向量，依次记作, , i j k ，它们称为坐标向量．空间中任一向量a ，它都可以唯一地表示为, , i j k 数乘之和． 事实上，设MN a =，过M 、N 作坐标轴的投影，如图8-13所示．MN =MA+AP +PN =MA+MB +MC a =．由于MA 与i 平行，MB 与j 平行，MC 与k 平行，所以，存在唯一的实数, , x y z ，使得MA x =i ，MB y =j ，MC z =k ，即x y z a =i +j +k ． (8-2-1)图 8-13我们把(8-2-1)式中, , i j k 系数组成的有序数组(, , )x y z 叫做向量a 的直角坐标，记为{, , }x y z a =，向量的坐标确定了，向量也就确定了．显然，(8-2-1)中的, , x y z 是向量a 分别在x 轴、y 轴、z 轴上的投影．因此，在空间直角坐标系中的向量a 的坐标就是该向量在三个坐标轴上的投影组成的有序数组．例2 在空间直角坐标系中设点(3, 1, 5)M -，(2, 3, 1)N -，求向量MN 及NM 的直角坐标．解 由于向量的坐标即为向量在坐标轴上的投影组成的有序数组，而向量的各投影即为终点坐标与起点坐标对应分量的差．所以向量MN 的坐标为{5, 4, 4}--，向量NM 的坐标为{5, 4, 4}-． 例3(定比分点公式) 设111(,,)A x y z 和222(,,)B x y z 为两已知点，有向线段AB 上的点M 将它分为两条有向线段AM 和MB ，使它们的值的比等于数(1)λλ≠-，即AMMBλ=，求分点(,,)M x y z 的坐标. 图8-14解 如图8-14，因为AM 与MB 在同一直线上，且同方向，故AM MB λ=⋅，而122{,,}AM x x y y z z =---， 222{,,}MB x x y y z z =--- 222{(),(),()}MB x x y y z z λλλλ=---所以 12()x x x x λ-=-，12()y y y y λ-=-，12()z z z z λ-=- 解得121212,,.111x x y y z z x y z λλλλλλ+⋅+⋅+⋅===+++当λ=1, 点M 的有向线段→AB 的中点, 其坐标为221x x x +=, 221yy y +=, 221z z z +=. 2.3.3向量的模与方向余弦的坐标表示式向量可以用它的模与方向来表示，也可以用它的坐标式来表示，这两种表示法之间的是有联系的.设空间向量12a M M =与三条坐标轴的正向的夹角分别为,,αβγ，规定：0,0,0απβπγπ≤≤≤≤≤≤,称,,αβγ为向量a 的方向角.图8-15因为向量a 的坐标就是向量在坐标轴上的投影，因此12cos cos x a M M a αα=⋅=⋅ 12cos cos y a M M a ββ=⋅=⋅ 12cos cos z a M M a γγ=⋅=⋅公式(8.2.2)中出现的cos ,cos αβ量a 的方向余弦.而{,,}{cos ,cos ,cos }x y z a a a a a a a αβγ==⋅⋅⋅{cos ,cos ,cos }a a a e αβγ=⋅=⋅{cos ,cos ,cos }a e αβγ=是与向量a 同方向的单位向量.而 a =M M =12,,x y z M P a M Q a M R a ===111，故向量a 的模为 xa a a =+2(8-2-3)从而向量a 的方向余弦为cos a αβγ===(8-2-4)并且 222cos cos cos 1αβγ++=.例4 已知两点1M 和()21,3,0M ,求向量12M M的模、方向余弦和方向角.解 12(12,32,0(1,1,M M =--=-2)2(1)1(222=-++-=；11cos ,cos ,cos 222αβγ=-==-；23,,334πππαβγ===. 例5 已知两点(4,0,5)A 和(7,1,3)B ，求与AB 同方向的单位向量e . 解 因为{74,10,35}{3,1,2},AB =---=-所以 23AB ==于是}.e =2.4 向量的数量积在物理中我们知道，一质点在恒力F 的作用下，由A 点沿直线移到B 点，若力F 与位移向量AB 的夹角为θ，则力F 所作的功为||||cos W F AB θ=⋅⋅．类似的情况在其他问题中也经常遇到．由此，我们引入两向量的数量积的概念．定义1 设a ，b 为空间中的两个向量，则数cos ,a b a b叫做向量a 与b 的数量积(也称内积或点积)，记作⋅a b ，读作“a 点乘b ”．即cos ,⋅a b =a b a b （8-2-5）其中,a b 表示向量a 与b 的夹角，并且规定0, π≤≤a b ．两向量的数量积是一个数量而不是向量，特别地当两向量中一个为零向量时，就有0⋅a b =.由向量数量积的定义易知： (1) 2⋅a a =a ，因此=a(2) 对于两个非零向量a ，b ，a 与b 垂直的充要条件是它们的数量积为零，即⊥a b ⇔0⋅a b =．注 数量积在解决有关长度、角度、垂直等度量问题上起着重要作用． 数量积的运算满足如下运算性质： 对于任意向量a ，b 及任意实数λ，有 (1) 交换律：⋅⋅a b =b a ．(2) 分配律：()⋅⋅⋅a b +c =a b +a c ．(3) 与数乘结合律：()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ． (4) 0⋅≥a a 当且仅当0a =时，等号成立．例6 对坐标向量i ，j ，k ，求⋅i i ，⋅j j ，⋅k k ，⋅i j ，⋅j k ，⋅k i ． 解 由坐标向量的特点及向量内积的定义得1⋅⋅⋅i i =j j =k k =， 0⋅⋅⋅i j =j k =k i =．例7 已知2=a ，3=b ，2, 3π=a b ，求a b ⋅，(2)()-+a b a b ⋅，+a b ．解 由两向量的数量积定义有2cos , 23cos 3π⋅=⨯⨯a b =a b a b 123()=32=⨯⨯--．(2)()=22-⋅+⋅⋅-⋅-⋅a b a b a a +a b b a b b22=2-⋅-a a b b 222(3)23=11=---⨯-．2()()+=⋅+a b a +b a b =⋅⋅+⋅+⋅a a +a b b a b b222=+⋅+a a b b2222(3)3=7=+⨯-+，因此+=a b在空间直角坐标系下，设向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，即111x y z ++a =i j k , 222x y z ++b =i j k ．则111222()()x y z x y z ⋅++⋅++a b =i j k i j k121212()()+()x x x y x z ⋅+⋅⋅=i i i j i k 121212()()+()y x y y y z ⋅+⋅⋅+j i j j j k 121212()()+()z x z y z z ⋅+⋅⋅+k i k j k k ．1⋅⋅⋅i i =j j =k k =， 0⋅⋅⋅i j =j k =k i =，所以121212x x y y z z ⋅++a b =． (8-2-6)也就是说，在直角坐标系下，两向量的数量积等于它们对应坐标分量的乘积之和．同样，利用向量的直角坐标也可以求出向量的模、两向量的夹角公式以及两向量垂直的充要条件，即设非零向量111{,,}x y z a =，向量222{,,}x y z b =，则==a (8-2-7)cos ||||⋅=a ba,b a b=． (8-2-8)⊥a b ⇔1212120x x y y z z ++=． (8-2-9)例8 在空间直角坐标系中，设三点(5, 4, 1)A -，(3, 2, 1)B ，(2, 5, 0)C -．证明:ABC ∆是直角三角形．证明 由题意可知{2, 6, 0}AB =-，={3, 1, 1}AC ---，则(2)(3)6(1)0(1)0AB AC ⋅=-⨯-+⨯-+⨯-=，AB AC ⊥．即ABC ∆是直角三角形．2.5向量的向量积在物理学中我们知道，要表示一外力对物体的转动所产生的影响，我们用力矩的概念来描述．设一杠杆的一端O 固定，力F 作用于杠杆上的点A 处，F 与OA 的夹角为θ，则杠杆在F 的作用下绕O 点转动，这时，可用力矩M 来描述．力F 对O 的力矩M 是个向量，M 的大小为||||||sin OA OA =M F ,F ．M 的方向与OA 及F 都垂直，且OA ，F ，M 成右手系，如图8-16所示．图8-162.5.1向量积的定义在实际生活中，我们会经常遇到象这样由两个向量所决定的另一个向量，由此，我们引入两向量的向量积的概念．定义2 设a ，b 为空间中的两个向量，若由a ，b 所决定的向量c ，其模为sin , c =a b a b ． (8-2-10)其方向与a ，b 均垂直且a ，b ，c 成右手系（如图8-17），则向量c 叫做向量a 与b 的向量积(也称外积或叉积)．记作⨯a b ，读作“a 叉乘b ”．FMθ注 (1) 两向量a 与b 的向量积⨯a b 是一个向量，其模⨯a b 的几何意义是以a ，b 为邻边的平行四边形的面积．(2)⨯0a a =这是因为夹角θ=0，所以⨯0a a = 图8-17(3)对两个非零向量a 与b ，a 与b 平行(即平行)的充要条件是它们的向量积为零向量．a ∥b ⇔⨯0a b =．向量积的运算满足如下性质： 对任意向量a ，b 及任意实数λ，有 (1) 反交换律：⨯-⨯a b =b a ． (2) 分配律: ()⨯⨯⨯a b +c =a b +a c ，()⨯⨯⨯a +b c =a c +b c ．(3) 与数乘的结合律：()()()λλλ⨯⨯⨯a b =a b =a b ．例9 对坐标向量i ，j ，k ，求⨯i i ，⨯j j ，⨯k k ，⨯i j ，⨯j k ，⨯k i ．解 ⨯⨯⨯0i i =j j =k k =．⨯i j =k ，⨯j k =i ，⨯k i =j ．2.5.2向量积的直角坐标运算在空间直角坐标系下，设向量111{, , }x y z a =，向量222{, , }x y z b =，即111x y z ++a =i j k ，222x y z ++b =i j k ，因为⨯⨯⨯0i i =j j =k k =． ⨯i j =k ，⨯j k =i ，⨯k i =j ， ⨯-j i =k ，⨯-k j =i ，⨯-i k =j ．则111222()()x y z x y z ⨯++⨯++a b =i j k i j k121212()()+()x x x y x z ⨯+⨯⨯=i i i j i k 121212()()+()y x y y y z ⨯+⨯⨯+j i j j j k 121212()()+()z x z y z z ⨯+⨯⨯+k i k j k k121212121212()()+()()()()x y y x y z z y x z z x -⨯-⨯--⨯=i j j k k i 121212121212()()+()y z z y x z z x x y y x ----=i j k ．为了便于记忆，借助于线性代数中的二阶行列式及三阶行列式有111111222222y z x z xy y z x z x y ⨯-a b =i j +k 111222x y z x y z =i j k ． 注 设两个非零向量111{, , }x y z a =，222{, , }x y z b =，则a ∥b ⇔⨯0a b =，⇔212121z z y y x x ==． 若某个分母为零，则规定相应的分子为零．例10 设向量{1,2,1}--a =，{2,0,1}b =，求⨯a b 的坐标．解 211112121012120201----⨯--=-ijka b =i j +k 234=--i j +k ． 因此⨯a b 的直角坐标为{2, 3, 4}--．例11 在空间直角坐标系中，设向量{3, 0, 2}a =，{1, 1, 1}--b =，求同时垂直于向量a 与b 的单位向量．解 设向量⨯c =a b ，则c 同时与a ，b 垂直．而32111⨯--ij kc =a b =23=-+i j +k ，所以向量c 的坐标为{2, 1, 3}-．再将c 单位化，得02,1,3}={=-c ，即{与-- 为所求的向量． 例12 在空间直角坐标系中，设点(4, 1, 2)A -，(1, 2, 2)B -，(2, 0, 1)C ，求ABC ∆的面积．解 由两向量积的模的几何意义知：以AB 、AC 为邻边的平行四边形的面积为AB AC ⨯，由于{3, 3, 4}AB =--，{2, 1, 1}AC =--，因此33453211AB AC ⨯=--=++--ijki j k ，所以21AB AC ⨯==故ABC ∆的面积为235=∆ABC S ．2.6向量的混合积定义3 给定空间三个向量,,a b c ，如果先作前两个向量a 与b 的向量积，再作所得的向量与第三个向量c 的数量积，最后得到的这个数叫做三向量,,a b c的混合积，记做()a b c ⨯⋅或abc ⎡⎤⎣⎦.说明：三个不共面向量,,a b c 的混合积的绝对值等于以,,a b c 为棱的平行六面体的体积V .定理 如果111a X i Y j Z k =++，222b X i Y j Z k =++，333c X i Y j Z k =++，那么 111222333.X Y Z abc X Y Z X Y Z ⎡⎤=⎣⎦ 习题8-21.,,,,,().ABCD AB AD AC DB MA M ==设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点a b.a b12.,().2M AB O OM OA OB =+设为线段的中点,为空间中的任意一点证明2223.?(1)()();(2)();(3)()().==⨯=⨯对于任意三个向量与判断下列各式是否成立a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b4.:(1);(2)(3).利用向量证明三角形的余弦定理正弦定理；勾股定理5.设,,a b c 为单位向量,且满足0a b c ++=,求.a b b c c a ++6.1(3,2,2),(1,3,2),(8,6,2),322a b c a b+ c.求=-==--7.已知三点(3,0,2),A B AB ==求的坐标、模、方向余弦和方向角.8.一向量的终点在点B(2,-1,7),它在x 轴、y 轴和z 轴上的投影依次为4，-4和7.求这向量的起点A 的坐标.9．设2=a ，4=b ，3πa,b =，求⋅a b ，(2)-⋅a b b ，-a b ． 10．设向量a ，b ，c 两两垂直，且1=a ，2=b ，3=c ，求向量d =a +b +c 的模及d,a ．11．在空间直角坐标系中，已知{1,2,3}-a = ，{2,2,1}-b = ，求： (1) ⋅a b ；(2) 25⋅a b ；(3) a ；(4) cos a,b ．12.已知向量2332和,,a i j k b i j k c i j =-+=-+=-，计算 （1）()();a b c a c b -（2）()();a b b c +⨯+（3）()a b c ⨯.13．设向量a ，b 的直角坐标分别为{1, 3, 2}--和{2, 4, }k -，若a b ⊥，求k 的值．14．设向量{2, 1, 1}-a =，{1, 3, 0}-b =，求以、a b 为邻边构造的平行四边形面积．15．求同时垂直于向量{3, 2, 4}-a =和纵轴的单位向量．16．已知三角形三个顶点(4, 1, 2)A -，(3, 0, 1)B -，(5, 1, 2)C ，求ABC ∆的面积．第3节 空间中的平面与直线方程在本节我们以向量为工具，在空间直角坐标系中讨论最简单的曲面和曲线——平面和直线.3.1平面及其方程首先利用向量的概念，在空间直角坐标系中建立平面的方程，下面我们将给出几种由不同条件所确定的平面的方程．3.1.1平面的点法式方程若一个非零向量n 垂直于平面π，则称向量n 为平面π的一个法向量． 显然，若n 是平面π的一个法向量，则λn (λ为任意非零实数)都是π的法向量，即平面上的任一向量均与该平面的法向量垂直．由立体几何知识知道，过一个定点0000(, , )M x y z 且垂直于一个非零向量{, , }A B C n =有且只有一个平面π．设(, , )M x y z 为平面π上的任一点，由于π⊥n ，因此0M M ⊥n ．由两向量垂直的充要条件，得00M M =⋅n ,而0000{, , }M M x x y y z z =---，{, , }A B C n =，所以可得0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ． (8-3-1)由于平面π上任意一点(, , )M x y z 都满足方程(8-3-1)，而不在平面π上的点都不满足方程(8-3-1)，因此方程(8-3-1)就是平面π的方程．由于方程(8-3-1)是给定点0000(, , )M x y z 和法向量{, , }A B C n =所确定的，因而称式(8-3-1)叫做平面π的点法式方程．图8-18例1 求通过点0(1, 2, 4)M -且垂直于向量{3, 2, 1}-n =的平面方程． 解 由于{3, 2, 1}-n =为所求平面的一个法向量，平面又过点0(1, 2, 4)M -，所以，由平面的点法式方程(6-14)可得所求平面的方程为3(1)2(2)1(4)=0x y z --⋅++⋅-，整理，得32110x y z -+-=．例2 求过三点()12,1,4M -，()2M 1,3,2--，()3M 0,2,3 的平面π的方程． 解 所求平面π的法向量必定同时垂直于12M M 与13M M ．因此可取12M M 与13M M 的向量积1213M M M M ⨯为该平面的一个法向量n ．即1213n =M M M M ⨯．由于12{3, 4, 6}M M =--，13{2, 3, 1}M M =--，因此1213-631ij kn =M M M M =342⨯---149i j k,=+-,因此所求平面π的方程为0419214=--++-)()()(z y x ，化简得.015914=--+z y x一般地，过三点(,,)(1,2,3)k k k k M x y z k =的平面方程为1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=--- 称为平面的三点式方程。
