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4．会用上述不等式证明一些简单问题．能够利用均值不等式、柯西不等式求一些特 定函数的极值．
5．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．
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知识要点梳理
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1．柯西不等式 (1)柯西不等式的二维形式 ① 柯 西 不 等 式 的 代 数 形 式 ： 设 a1 ， a2 ， b1 ， b2 均 为 实 数 ， 则 (a12 ＋ a22)(b12 ＋ b22)≥________(当且仅当 a1b2＝a2b1 时，等号成立)．
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[强化训练 2.1] (2019 年海南省海南中学高三联考)(1)若 a＞0，b＞0，求证：(a＋ b)1a＋1b≥4；
(2)设 a，b，c，d 均为正数，且 a＋b＝c＋d，若 ab＞cd，求证： a＋ b＞ c＋ d.
证明：(1)∵a＞0，b＞0， ∴a＋b≥2 ab＞0， 1a＋1b≥2 a1b＞0， ∴(a＋b)1a＋1b≥2 ab·2
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【反思·升华】 (1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的证明技巧．常见的放缩
方法有：
①
变
换
分
式
的
分
子
和
分
母
，
如
1 k2
<
1 k（k－1）
，
1 k2
>
1 k（k＋1）
，
1 k<
2 k＋
k－1
，
1 k
> k＋2 k＋1.上面不等式中 k∈N*，k>1；②利用函数的单调性；③利用结论：“若 0<a<b，
m>0，则ab<ab＋ ＋mm”．
(2)使用绝对值不等式的性质证明不等式时，常与放缩法结合在一起应用，利用放缩法
时要目标明确，通过添、拆项后，适当放缩，将所证不等式中的某些项适当放大或缩小(主 要方法是拆分、配凑、增减项等)，可使有关项之间的不等关系更加明晰，更加强化，且有
利于式子的代数变形、化简，从而达到证明的目的．这种方法灵活性较大，技巧性较强．
≥3 3 （x－y）2（x－1y）2＝3. 所以 2x＋x2－21xy＋y2≥2y＋3.
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【反思·升华】 比较法是证明不等式的最基本的方法：①作差比较法一般适用于式 子为多项式、对数式、三角式结构，证明步骤：作差——变形——判定符号——结论．其 中变形的目的是判断出差式的符号，常用分解因式和配方两种方法变形．证明含有变量 的不等式时，还需对变量进行分类讨论．
②柯西不等式的向量形式：设 α，β 为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|.当且仅当 β 是零向量或存在实数 k，使 α＝kβ 时，等号成立．
③二维形式的三角不等式：设 x1，y1，x2，y2∈R，那么 x12＋y12＋ x22＋y22≥ （x1－x2）2＋（y1－y2）2，当且仅当 x1y2＝x2y1 时，等号成立．
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【反思·升华】 (1)利用综合法证明不等式时，常用的不等式有①a2≥0；②|a|≥0； ③a2＋b2≥2ab；它的变形形式又有(a＋b)2≥4ab，a2＋2 b2≥a＋2 b2等；④a＋2 b≥ ab(a≥0， b≥0)，它的变形形式又有 a＋1a≥2(a>0)，ba＋ab≥2(ab>0)，ba＋ab≤－2(ab<0)等．
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2．证明不等式的常用方法 (1)比较法 ①求差比较法：知道 a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明 a>b，只要证明________ 即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法：由 a>b>0⇔ab>1 且 a>0，b>0，因此当 a>0，b>0 时，要证明 a>b，只 要证明ab>1 即可，这种方法称为求商比较法． (2)分析法 从所要证明的________出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知 条件或一个明显成立的事实，从而得到要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即 “执果索因”的证明方法．
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(2)一般形式的柯西不等式 设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a12＋a22＋…＋an2)(b12＋b22 ＋…＋bn2)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当 bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数 k， 使得 ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．
a1b＝4.
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(2)要证 a＋ b＞ c＋ d， 只需证( a＋ b)2＞( c＋ d)2， 只需证 a＋b＋2 ab＞c＋d＋2 cd， 由题设，有 a＋b＝c＋d， 故只需证 ab＞ cd， 只需证 ab＞cd， 又由题设，ab＞cd 显然成立， 所以 a＋ b＞ c＋ d得证．
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＝|a－b|，
∴|f(a)－f(b)|<|a－b|.
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不等式的证明、柯西不等式与排序不等式 课件
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【最新考纲】
1．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明． (1)柯西不等式的向量形式：|α|·|β|≥|α·β|. (2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2. (3) （x1－x2）2＋（y1－y2）2＋ （x2－x3）2＋（y2－y3）2 ≥ （x1－x3）2＋（y1－y3）2. (此不等式通常称为平面三角不等式) 2．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形： ∑i＝n1ai2·∑i＝n1bi2≥(∑i＝n1aibi)2. 3．会用向量递归方法讨论排序不等式．
(2)用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析的过程是寻 求结论成立的充分条件，而不一定是充要条件，同时要正确使用“要证”“只需证”这 样的连接“关键词”．
(3)在对不等式证明题进行分析，寻找解(证)题的途径时，要提倡综合法和分析法同 时使用，如同打山洞一样，由两头向中间掘进，这样可以缩短条件与结论的距离，是数 学解题分析中最有效的方法之一．
高频考点 3 利用放缩法证明不等式 【例 3.1】 已知 a>0，b>0，c>0，a＋b>c. 求证：1＋a a＋1＋b b>1＋c c.
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【证明】 ∵a>0，b>0， ∴1＋a a>1＋aa＋b，1＋b b>1＋ba＋b. ∴1＋a a＋1＋b b>1＋a＋a＋b b. 而函数 f(x)＝1＋x x＝1－1＋1 x在(0，＋∞)上递增， 且 a＋b>c，c>0， ∴f(a＋b)>f(c)，即1＋a＋a＋b b>1＋c c， 所以1＋a a＋1＋b b>1＋c c，即原不等式成立．
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(3)综合法 从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得 出命题成立，这种证明方法称为综合法，即“由因寻果”的方法． (4)放缩法 在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不 等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法． (5)反证法的步骤 ①作出否定________的假设；②进行推理，导出________；③否定________，肯定 ________．
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1．(1)(a1b1＋a2b2)2 2．(1)①a－b>0 (2)结论 (5)①结论 ②矛盾 ③假设 结论
答案
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高频考点透析
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高频考点 1 利用比较法证明不等式 【例 1.1】 已知 x，y 均为正数，且 x>y，求证：2x＋x2－21xy＋y2≥2y＋3. 【证明】 因为 x>0，y>0，x－y>0， 所以 2x＋x2－21xy＋y2－2y＝2(x－y)＋（x－1y）2 ＝(x－y)＋(x－y)＋（x－1 y）2
②作商比较法一般适用于式子为乘积、幂结构．
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[强化训练 1.1] (2019 年江苏省南通市高三测试) 已知 a，b 是正实数，
求证： a ＋ b ≥ ba
a＋
b.
证明：∵a，b 是正实数，
a＋ b
ba－(
a＋
b)＝a
a＋b
b－a ab
b－b
a
（ ＝
a－
b）（a－b）
ab
（ ＝
a－
b）2（ ab
a＋
b）≥0，
∴a＋b≥ ba
a＋
b成立．
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高频考点 2 利用综合法、分析法证明不等式 【例 2.1】 (2017 年高考·课标全国卷Ⅱ)已知 a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2.
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【证明】 (1)(a＋b)(a5＋b5) ＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4) ＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 ＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3（a＋4 b）2·(a＋b) ＝2＋3（a＋4 b）3， 所以(a＋b)3≤8，因此 a＋b≤2.
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[强化训练 3.1] 已知 f(x)＝ 1＋x2，a≠b，求证：|f(a)－f(b)|<|a－b|.
证明：|f(a)－f(b)|＝| 1＋a2－ 1＋b2|
＝
1＋|aa22＋－b21| ＋b2＝
|a－b||a＋b| 1＋a2＋ 1＋b2
≤|a－1＋b|a（2＋|a|＋1|＋b|）b2<|a－b|a（2＋|a|＋b2|b|）
