函数临界点的计算及其类型的判断

临界点求解三个数字在数学中，临界点是指一个函数在某一点的导数发生变化的点。

临界点的求解对于函数的最值、导数的正负性以及函数的图像有着重要的指导作用。

让我们深入探讨一下临界点的求解，并以三个数字为例进行说明。

1. 首先，让我们考虑一个简单的函数f(x) = x²。

我们希望找出这个函数的临界点来确定它的最值。

为了找到临界点，我们需要计算函数的导数。

对于f(x) = x²而言，它的导数是f'(x) = 2x。

现在我们来解方程2x = 0，得到x = 0。

这个临界点x = 0告诉我们函数的导数发生了变化，从正数变为零。

也就是说，在x = 0处，函数的增长速度突然变缓，从而确定了函数的最小值。

2. 接下来，考虑一个更加复杂的函数g(x) = 3x³ - 4x² + 2x + 1。

同样地，我们希望找到函数g(x)的临界点来确定其最值。

计算函数g(x)的导数g'(x)，我们得到g'(x) = 9x² - 8x + 2。

现在，我们来解方程9x² - 8x + 2 = 0。

通过求解这个二次方程，我们得到两个解：x = 0.359 和 x = 0.879。

这两个临界点告诉我们在这两个位置，函数的导数发生了变化。

根据导数的变化情况，我们可以确定函数在这两个临界点处的最值。

3. 最后，让我们考虑一个有限区间上的函数h(x) = sin(x) +cos(x)。

我们将寻找这个函数在区间[0,2π]上的临界点。

计算函数h(x)在区间[0,2π]上的导数h'(x)，我们得到h'(x) = cos(x) -sin(x)。

我们需要找到导数等于零的点，即cos(x) - sin(x) = 0。

通过数学计算，我们可以得知这个方程在x = π/4和x = 5π/4处有解，即这两个点是函数h(x)的临界点。

这个结果告诉我们在这两个临界点处，函数h(x)的增长速度发生了变化，从而可以确定函数在该区间上的最值。

高中物理中的临界与极值问题令狐文艳宝鸡文理学院附中何治博一、临界与极值概念所谓物理临界问题是指各种物理变化过程中，随着条件的逐渐变化，数量积累达到一定程度就会引起某种物理现象的发生，即从一种状态变化为另一种状态发生质的变化（如全反射、光电效应、超导现象、线端小球在竖直面内的圆周运动临界速度等），这种物理现象恰好发生（或恰好不发生）的过度转折点即是物理中的临界状态。

与之相关的临界状态恰好发生（或恰好不发生）的条件即是临界条件，有关此类条件与结果研究的问题称为临界问题，它是哲学中所讲的量变与质变规律在物理学中的具体反映。

极值问题则是指物理变化过程中，随着条件数量连续渐变越过临界位置时或条件数量连续渐变取边界值（也称端点值）时，会使得某物理量达到最大（或最小）的现象，有关此类物理现象及其发生条件研究的问题称为极值问题。

临界与极值问题虽是两类不同的问题，但往往互为条件，即临界状态时物理量往往取得极值，反之某物理量取极值时恰好就是物理现象发生转折的临界状态，除非该极值是单调函数的边界值。

因此从某种意义上讲，这两类问题的界线又显得非常的模糊，并非泾渭分明。

高中物理中的临界与极值问题，虽然没有在教学大纲或考试说明中明确提出，但近年高考试题中却频频出现。

从以往的试题形式来看，有些直接在题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，要抓住这些特定的词语发掘其内含的物理规律，找出相应的临界条件。

也有一些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，周密讨论状态的变化。

可用极限法把物理问题或物理过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显性化；或用假设的方法，假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理；也可用数学函数极值法找出临界状态，然后抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。

求临界点和取值范围问题的解析临界点和取值范围问题是中考数学常考内容之一，一般与几何、函数一起考查，而取值范围问题，可能涉及不等式和代数式有意义的问题。

我们今天简单看一下临界点问题和取值范围常考哪些内容。

（1）求取值范围：①根据判别式求取值范围：例：已知x²-2mx+m+6=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围思路：显然有两个不相等的实数根需满足△=b²-4ac＞0，本式中a=1，b=-2m，c=m+6。

所以有（-2m）²-4（m+6）=4（m-3）（m+2）>0易知 m的取值范围为m<-2或m>3②有无数解问题：例：❶若ax²+ax+1>0恒成立，求a的取值范围。

【一般不等式均有无数解，这里我们说是恒成立】思路：实际上是考查对二次函数图像的认识，因为不等方程是＞0，所以二次函数需满足开口向上即a>0,且与x轴无交点，即判别式△<0,易知0<a<4例：❷关于x的不等式2x+5-a>1-bx恒成立，试确定a，b的取值范围。

思路：对于任意的方程ax+b=0，只有在a和b同时为0的时候，方程有无数解（为什么？因为a=0，则ax恒为0，与x的取值无关）。

而对于不等式ax+b>0，则必须是在a=0，b>0，时才可能恒成立。

所以此题先移项化为（2+b）x+4-a>0，则有b=-2,a<4。

②无解问题（二次函数问题不再举例）：例：❶思路：不等式组无解的思路是让两个不等式解到的解无公共部分例如（不存在x>1且x<0的值）。

本题中x-3（x-2）≤4，解得x≥1，第二个分式不等式解得x＜a，所以只需保证a不大于1即可，即a≤1。

（注意对于a是否能取1，不熟练时单独拿出来分析一下）❷我们将上一题略微改动：思路：注意改动的位置，第一个不等式不等式改变，则解变为了x≤1，而整个不等式组的解也是x≤1，所以第二个不等式解到的解必须是x<b,且b需要时大于1的数。

函数的极值与最值的求解（导数法）函数的极值与最值是数学中重要的概念，它们在数学建模、优化问题等方面具有广泛的应用。

在本文中，我们将介绍如何使用导数法求解函数的极值与最值问题。

一、函数的极值与最值在介绍如何求解函数的极值与最值之前，我们首先需要明确这两个概念的定义。

对于函数f(x)，如果存在一个区间I，对于区间内的任意x，都有f(x)≤f(x0)（或f(x)≥f(x0)），那么f(x0)就是函数在区间I内的极小值（或极大值）。

而函数f(x)在整个定义域内的最小值和最大值则被称为函数的最小值和最大值。

二、导数法求解极值与最值导数法是求解函数极值与最值常用的方法之一。

通过求解函数的导数和判断导数的正负，可以找到函数的极值点及其对应的极值。

1. 求解函数的极值点首先，我们需要求解函数f(x)的导数，并令导数等于零，即f'(x)=0。

解这个方程可以得到函数的临界点（即导函数为零的点），也就是可能的极值点。

2. 判断极值类型在求得了函数的临界点之后，我们需要判断每个临界点对应的极值类型，即是极小值还是极大值。

我们可以通过求解导数的二阶导数来判断，即求解f''(x)，其中f''(x)表示函数f(x)的二阶导数。

若f''(x) > 0，则说明该临界点对应的极小值；若f''(x) < 0，则说明该临界点对应的极大值；若f''(x) = 0，则需要进行其他方法进一步判断。

3. 比较端点值除了求解临界点之外，我们还需要比较函数在区间的端点值，并找出其中的最大值和最小值。

三、实例分析为了更好地理解导数法求解极值与最值的过程，我们举一个实例来进行说明。

假设我们要求解函数f(x)=x^3-3x^2+2x在区间[-1, 3]的极值和最值。

1. 求解导数和临界点首先，求解函数f(x)的导数，得到f'(x)=3x^2-6x+2。

函数临界点
函数的临界点是指函数图像上的转折点或拐点，也被称为驻点或拐点。

在临界点，函数的导数为零或不存在，因此临界点是确定函数极值和拐点的关键点。

对于一个函数 f(x)，它的临界点可以通过求导数 f'(x) 并令其等于零来求出。

当 f'(x) 在某个点 x=c 处等于零或不存在时，该点为函数的临界点。

在求出临界点后，可以通过一些方法来确定函数在临界点处的极值和拐点。

例如，可以通过二阶导数 f''(x) 的符号来确定临界点的分类：当 f''(x)<0 时，临界点为函数的局部最大值；当
f''(x)>0 时，临界点为函数的局部最小值；当 f''(x)=0 时，需要进一步分析来确定临界点的类型。

在一些应用中，函数的临界点也可以表示某些过程的关键节点。

例如，对于质量变化曲线，临界点可以表示材料的变化点；对于价格变化曲线，临界点可以表示市场的转折点。

因此，函数的临界点在数学和实际应用中都具有重要的意义。

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朝阳二模第27题得分率统计图100%80%20%0%50%100%150%第（1）问第（2）问第（3）问得分率得分率直线与图象M 始终有两个公共点，请你写出b 的取值范围_________．教学 环节教师活动学生活动 设计意图问题引入上周我们进行了第二次模拟考试，27函数综合题的得分率统计：从数据中发现大家在解答第（1）（2）问求函数解析式和特殊点时基本没有问题，在第（3）问求直线平移后与抛物线的临界点的参数取值时只有4位同学做对，所以本节课我们将专题复习这一类——与函数有关的临界点问题。

这是一种较综合的代数题型，也是北京中考的一个热点（如2014年第23题和2015年的第27题）。

这类题的题型特点是：利用图形的运动变化来找到满足条件的临界状况，再由临界点这一条件求出临界状况时的参数值，最后由临界状况时的参数值确定满足已知条件的参数的取值范围. 但它涉及的知识点较多且面较广，思维的要求较高，综合性较强，难度比较大，因此对不少同学来说它是还未解决的一个题型创设情景，引出本节复习的专题内容。

专题研究下面以海淀一模27题（改编）的第（3）问为例进行研究。

例1：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y1=x2-2x-3的顶点为A(1,-4)，与x轴交于B（-1,0），C(3,0)两点,与y轴交于点D．将抛物线在C，D之间的部分记为图象G（包含C，D两点）．若直线y2=x+b与图像G有两个交点，结合函数的图象，求b的取值范围．通过上题，我们来总结一下解题步骤：第一步：“画一画”确定的图形第二步：“找一找”运动图形中确定临界点第三步：“算一算”计算临界时参数的值，并确定参数的取值范围。

第四步：“验一验”检验临界值是否可取。

教师带领学生画图并分析，学生自主总结，小组合作，畅所欲言，相互补充。

引导学生分析解决与函数有关的临界点问题变式训练刚才在“找一找”步骤中我们提到了“运动方式”，那么这一类临界点问题还有哪些运动方式呢？通过下面的一些变式训练，我们来总结一下。

三角函数的极值问题的求解方法三角函数是数学中的重要概念，广泛应用于物理、工程等领域。

在三角函数中，极值问题是一个常见而重要的求解方法。

本文将介绍三角函数的极值问题的求解方法，以帮助读者更好地理解和应用三角函数。

首先，我们先回顾一下三角函数的基本概念。

三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数，分别记作sin(x)、cos(x)和tan(x)。

这些函数的图像在数学坐标系中呈现出周期性的波动，具有许多特点和性质。

在三角函数的极值问题中，我们需要找到函数的最大值和最小值。

首先，我们需要了解函数在何处取得极值。

对于周期性的三角函数来说，它们的极值一般出现在一个周期的起点和终点，即在x=0和x=2π处。

这是因为三角函数的周期是2π，所以在一个周期内，函数的值会先增后减或先减后增。

其次，我们需要找到函数的临界点。

临界点是指函数的导数为零或不存在的点。

对于三角函数来说，我们可以通过求导的方法来找到临界点。

以sin(x)为例，它的导数是cos(x)。

当cos(x)=0时，即x=π/2或x=3π/2时，sin(x)的导数为零，所以这两个点是sin(x)的临界点。

在求解极值问题时，我们还需要考虑边界条件。

边界条件是指函数的定义域范围内的端点。

对于三角函数来说，边界条件一般是定义域的起点和终点。

以sin(x)为例，它的定义域是(-∞, +∞)，所以边界条件是x→-∞和x→+∞时的极限值。

在解决三角函数的极值问题时，我们可以采用以下方法：1. 使用图像法：通过绘制函数的图像，观察函数在定义域内的波动情况，找到极值点的大致位置。

这种方法适用于简单的三角函数，如sin(x)和cos(x)。

2. 使用导数法：通过求函数的导数，找到导数为零或不存在的点，即临界点。

然后，通过临界点和边界条件来判断函数的极值。

这种方法适用于复杂的三角函数，如tan(x)。

3. 使用数值法：通过计算函数在定义域内的一系列点的值，找到函数的最大值和最小值。

利用导数研究函数的极值最值导数是研究函数的极值、最值的重要工具之一、通过计算函数的导数，我们可以找到函数的临界点，进而确定函数的极值和最值。

极值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。

极大值是函数在其中一点上取得的最大值，极小值是函数在其中一点上取得的最小值。

首先，我们可以通过计算函数的导数来找到函数的临界点。

临界点是函数导数等于0的点，也包括导数不存在的点。

然后，通过进一步的分析，可以确定临界点中的极值点。

假设函数f(x)在区间[a,b]上连续且可导。

首先，我们需要计算函数f(x)的导数f'(x)。

然后，我们找出导数f'(x)等于0的点，这些点就是函数f(x)的临界点。

接下来，我们进一步分析导数f'(x)的符号。

在临界点两侧，如果导数f'(x)由正变负，则表明在该点上函数f(x)取得极大值；如果导数f'(x)由负变正，则表明在该点上函数f(x)取得极小值。

当然，也可能存在导数f'(x)不存在的点，这些点也是函数的临界点。

最值是函数在定义域内取得的最大值或最小值。

最大值是函数在定义域内所有点上取得的最大值，最小值是函数在定义域内所有点上取得的最小值。

通过求解函数的导数，我们可以找到函数的临界点。

然后，通过分析函数在临界点、定义域的边界点和导数不存在的点上的取值，可以确定函数的最值。

当函数在闭区间[a,b]上连续时，最大值和最小值一定在定义域的边界点上或者在临界点上取得。

因此，在求解函数最值时，我们需要计算函数在闭区间的端点上的取值，并将其和临界点上的取值相比较。

需要注意的是，导数仅能帮助我们找到函数的临界点，但临界点未必都是极值点。

为了判断极值点是否为极大值或极小值，我们还需要进行二阶导数测试。

如果二阶导数大于0，则表示该点为极小值；如果二阶导数小于0，则表示该点为极大值；如果二阶导数等于0，则需要进行其他方法的分析。

总之，利用导数研究函数的极值、最值是一种有效的方法。

临界值数学符号临界值数学符号在数学中，我们经常会遇到临界值这一概念，它用于描述一个函数或者算式的临界点。

临界值通常表示一个转折点或者特殊情况，其在数学问题的解决中具有重要作用。

今天，我们将探讨临界值的一些常见数学符号以及它们在不同领域中的应用。

首先，让我们来介绍一些常见的临界值符号。

在微积分中，我们经常用到的符号之一是“≥”和“≤”。

这两个符号分别表示大于等于和小于等于的关系。

当我们需要确定一个函数在某一点的临界值时，这些符号将帮助我们判断函数在该点是否达到最大值或最小值。

举个例子，当我们研究一个工程问题时，可能需要找到某个材料的最适温度范围。

这时，我们可以使用“≥”符号来表示材料在某一温度下的最低可用温度。

另一个常见的临界值符号是“=”。

在数学中，我们用“=”来表示两个量相等的关系。

当我们需要确定一个方程的根时，通常会将方程化简为等式形式，然后通过求解该等式来找到根的临界值。

例如，在求解线性方程时，我们将方程转化为等式形式，然后通过代入法或其他方法找到方程的解。

除了上述符号外，还有一些其他数学常用的符号可以用于表示临界值。

比如，“<”和“>”这两个符号分别表示小于和大于的关系，它们在判断函数的境界时很有用。

另外，“≈”符号表示近似相等的关系，在计算机科学和工程领域中尤其常见。

当我们需要处理大量数据时，使用“≈”符号可以帮助我们判断两个数据是否在误差范围内相等，进而确定是否达到临界值。

临界值在各个学科中都有重要的应用。

在统计学中，临界值用于确定显著性水平，即判断一个观察结果是否在正常范围内。

在这种情况下，我们可以使用“≤”和“≥”符号来表示观察值是否达到了临界值。

在物理学中，临界值常用于描述物质的相变过程，比如水的沸点和凝固点。

通过确定物质在不同温度下的临界状态，我们可以了解物质的性质和特征。

总之，临界值是数学中一个常见且重要的概念，它通过一系列数学符号来帮助我们确定特殊点或转折点。

高中物理中的临界与极值问题宝鸡文理学院附中 何治博一、临界与极值概念 所谓物理临界问题是指各种物理变化过程中，随着条件的逐渐变化，数量积累达到一定程度就会引起某种物理现象的发生，即从一种状态变化为另一种状态发生质的变化（如全反射、光电效应、超导现象、线端小球在竖直面内的圆周运动临界速度等），这种物理现象恰好发生（或恰好不发生）的过度转折点即是物理中的临界状态。

与之相关的临界状态恰好发生（或恰好不发生）的条件即是临界条件，有关此类条件与结果研究的问题称为临界问题，它是哲学中所讲的量变与质变规律在物理学中的具体反映。

极值问题则是指物理变化过程中，随着条件数量连续渐变越过临界位置时或条件数量连续渐变取边界值（也称端点值）时，会使得某物理量达到最大（或最小）的现象，有关此类物理现象及其发生条件研究的问题称为极值问题。

临界与极值问题虽是两类不同的问题，但往往互为条件，即临界状态时物理量往往取得极值，反之某物理量取极值时恰好就是物理现象发生转折的临界状态，除非该极值是单调函数的边界值。

因此从某种意义上讲，这两类问题的界线又显得非常的模糊，并非泾渭分明。

高中物理中的临界与极值问题，虽然没有在教学大纲或考试说明中明确提出，但近年高考试题中却频频出现。

从以往的试题形式来看，有些直接在题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，要抓住这些特定的词语发掘其内含的物理规律，找出相应的临界条件。

也有一些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，周密讨论状态的变化。

可用极限法把物理问题或物理过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显性化；或用假设的方法，假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理；也可用数学函数极值法找出临界状态，然后抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。

极值点问题知识点总结在数学中，极值点问题是一个重要的研究领域。

极值点是指函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。

这个问题在实际应用中具有广泛的意义，比如在优化问题中，我们常常需要找到一个函数的极值点来确定最优解。

在本文中，我们将介绍极值点问题的基本概念、求解方法以及一些常见的应用。

1.极值点的定义极值点是函数在某一区间内取得最大值或最小值的点。

如果函数在某一点的邻域内的函数值都小于（或大于）该点的函数值，那么这个点就是函数的极小值点（或极大值点）。

如果函数在某一点的邻域内存在比它更小（或更大）的函数值，那么这个点就不是极值点。

2.极值点的判定条件为了判断一个点是否为函数的极值点，我们可以使用驻点条件和二阶导数测试。

驻点条件是指函数导数为零的点，也就是函数的临界点。

通过计算函数在临界点的二阶导数，我们可以判断这个点是极小值点、极大值点还是鞍点。

3.极值点的求解方法求解极值点的方法有很多种，其中最常用的方法是求解函数的导数为零的方程。

首先，我们需要对函数进行求导，然后解方程求得临界点。

接下来，我们可以通过计算二阶导数或者绘制函数图像来进一步判断这些临界点是极大值点还是极小值点。

4.极值点问题的应用极值点问题在实际应用中有着广泛的应用。

例如，在经济学中，我们常常需要通过求解某个函数的极值点来确定最大化利润或最小化成本的策略。

在工程学中，求解函数的极值点可以帮助我们设计出最优化的系统或组件。

在物理学中，通过求解函数的极值点，我们可以找到使得能量达到最小或最大的状态。

总结起来，极值点问题是数学中的一个重要研究领域。

通过掌握极值点的基本概念和判定条件，以及掌握求解极值点的方法，我们可以在实际应用中应用这些知识来解决各种优化问题。

探索极值点问题的知识将使我们更好地理解数学的应用和实际问题的解决方法。

参考文献： - 斯图尔特. 高等代数与初等代数讲义[M]. 高等教育出版社, 2012. -郑兴东, 赵金保. 数学分析教程[M]. 高等教育出版社, 2019.。

高中物理临界极值模型临界现象在物理学中是一个十分重要的概念，尤其在研究相变、相平衡等物理过程中有着广泛的应用。

其中，极值分析法是分析临界现象的一种重要方法。

下面将介绍高中物理中的临界极值模型。

一、基本概念1. 临界现象在物理系统中，如果系统参数变化到了某一点，系统性质会发生剧烈变化，这就是临界现象。

例如，液体在沸腾的时候，温度达到一定值时，液体的气泡会快速增加，这就是液体沸腾的临界现象。

2. 极值分析法在研究临界现象时，需要使用一种数学工具——极值分析法。

这种方法可以找到物理系统性质变化的关键点，即临界点。

临界点通常是由一些物理量组成的函数的最值点。

3. 一些相关概念a. 极值：当函数的值在某个点附近达到最小值或最大值的时候，该点就是函数的极值点。

b. 关于极值判定的方法：函数的一阶导数为0，则该点为极值点；函数的二阶导数大于0，则该点是极小值点；函数的二阶导数小于0，则该点是极大值点。

c. 拐点：函数二阶导数为0的点称为拐点。

拐点是函数凸凹性改变的点，这在临界分析中也是很有用的。

1. 模型介绍临界极小值模型是高中物理教学中的一种基本模型，它可以用于研究相变物质的临界现象。

在这个模型中，我们将相变物质的温度、压强、体积等参数视为自变量，而将相变物质的热容、熵变等参数视为因变量，然后通过对函数的极值点和拐点进行分析，找到相变的临界点。

2. 模型应用临界极小值模型在物理实验和理论预测中都有广泛应用，例如：a. 计算热力学性质：通过对相变物质热容、熵、吸热等物理量的测量，并使用临界极小值模型进行拟合，可以预测物质的热力学性质，并验证理论模型的正确性。

b. 极值探测：在实验中，可以通过测量物质的某些物理量，并对拟合函数进行极值分析，找到物质在相变过程中的临界点，并确定临界现象的发生条件和规律。

c. 新材料设计：临界极小值模型可以用于分析许多物质的相变和相平衡问题，例如有机化合物的热力学性质、金属的相变、化合物的聚合等等。

函数的单调性与临界点函数是数学中一个重要的概念，是用来描述两个变量之间的关系的。

函数的单调性是指函数在定义域内的增减情况，而临界点则是函数在定义域内的特殊点，具有重要的意义。

本文将围绕函数的单调性与临界点展开讨论。

一、函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的变化趋势，可以分为单调递增和单调递减两种情况。

1. 单调递增如果对于定义域内的任意两个不同的实数x1和x2，都有f(x1) ≤f(x2)，则称函数f(x)在该定义域内是单调递增的。

2. 单调递减如果对于定义域内的任意两个不同的实数x1和x2，都有f(x1) ≥f(x2)，则称函数f(x)在该定义域内是单调递减的。

二、临界点临界点是函数图像上的特殊点，具有一些特殊的性质。

对于凸函数和凹函数，临界点是函数图像的拐点。

1. 极值点在函数的定义域内，如果存在一个点x0，使得在x0的某个邻域内，函数值f(x)≥f(x0)或者f(x)≤f(x0)对于任意的x都成立，那么x0就是函数的一个极值点。

极小值点的定义为f(x)≤f(x0)，极大值点的定义为f(x)≥f(x0)。

2. 驻点在函数的定义域内，如果存在一个点x0，使得函数的导数f'(x0)=0或者导数不存在，那么x0就是函数的一个驻点。

驻点是函数的可能的极值点的候选点，但不一定是极值点。

三、单调性与临界点的关系在一般情况下，函数的单调性与临界点是有关联的。

1. 单调递增与极小值点如果一个函数在某个定义域内是单调递增的，那么该函数不存在极小值点。

因为在单调递增的情况下，函数的值只会增长而不会减小。

2. 单调递减与极大值点如果一个函数在某个定义域内是单调递减的，那么该函数不存在极大值点。

因为在单调递减的情况下，函数的值只会减小而不会增长。

3. 单调递增与驻点对于一个函数在某个定义域内是单调递增的情况，如果在该定义域内存在驻点，那么该驻点就是函数的极小值点。

4. 单调递减与驻点对于一个函数在某个定义域内是单调递减的情况，如果在该定义域内存在驻点，那么该驻点就是函数的极大值点。

初中数学运动时的临界点策略需要针对不同形式的问题，建立不同的解题思维模式，以便在解题时能够准确地定位到临界点。

1、建立函数图象思维模式在解决函数相关的问题时，要建立函数图象思维模式，先找出函数的极值点，再考虑极值点的性质，总的来说就是要学会借助函数图象来分析问题和定位临界点。

2、建立极限思维模式极限思维模式是求解函数临界点的重要手段，在求函数的极限时，要学会分析函数x趋近于某个值对函数的影响，判断极限的性质，推断和验证函数极限。

3、建立不等式思维模式不等式可以用来判断函数极值的性质，只要考虑函数的一阶导数和二阶导数，根据不等式的原理，可以准确地定位函数的极值点，并判断极值点的性质，从而推断函数临界点。

二、完成解题步骤1、分析问题：首先要仔细分析问题，弄清楚问题的性质，确定解决问题的方法；2、构造函数：根据问题的性质，把相关参数表示为一个函数；3、解函数：构造函数的目的是为了求解问题，故可以采用函数图象思维模式、极限思维模式或不等式思维模式，从函数图象分析问题，定位函数的极值点；4、判断极值：根据不等式或极限的性质，可以判断极值点是极大值还是极小值；5、推断函数：根据极值点的性质，推断函数的取值范围，从而确定函数的临界点；6、检验结果：最后要对推断出的结果进行检验，确定函数的临界点。

三、临界点的应用1、在几何图形中，可以用临界点来确定曲线的下降趋势和上升趋势的分界点；2、在数分类论中，可以使用临界点来判断函数是否有极值；3、在代数学中，可以使用临界点来确定和解决多项式的系数；4、在微积分中，可以使用临界点来求函数的极值点；根据上述内容，可以看出临界点在学习数学运动方面起着重要作用。

如果学会了正确的临界点策略，不但可以提高学习效率，而且能够有效地解决问题。

高中物理中的临界与极值问题欧阳光明（2021.03.07）宝鸡文理学院附中何治博一、临界与极值概念所谓物理临界问题是指各种物理变化过程中，随着条件的逐渐变化，数量积累达到一定程度就会引起某种物理现象的发生，即从一种状态变化为另一种状态发生质的变化（如全反射、光电效应、超导现象、线端小球在竖直面内的圆周运动临界速度等），这种物理现象恰好发生（或恰好不发生）的过度转折点即是物理中的临界状态。

与之相关的临界状态恰好发生（或恰好不发生）的条件即是临界条件，有关此类条件与结果研究的问题称为临界问题，它是哲学中所讲的量变与质变规律在物理学中的具体反映。

极值问题则是指物理变化过程中，随着条件数量连续渐变越过临界位置时或条件数量连续渐变取边界值（也称端点值）时，会使得某物理量达到最大（或最小）的现象，有关此类物理现象及其发生条件研究的问题称为极值问题。

临界与极值问题虽是两类不同的问题，但往往互为条件，即临界状态时物理量往往取得极值，反之某物理量取极值时恰好就是物理现象发生转折的临界状态，除非该极值是单调函数的边界值。

因此从某种意义上讲，这两类问题的界线又显得非常的模糊，并非泾渭分明。

高中物理中的临界与极值问题，虽然没有在教学大纲或考试说明中明确提出，但近年高考试题中却频频出现。

从以往的试题形式来看，有些直接在题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，要抓住这些特定的词语发掘其内含的物理规律，找出相应的临界条件。

也有一些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，周密讨论状态的变化。

可用极限法把物理问题或物理过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显性化；或用假设的方法，假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理；也可用数学函数极值法找出临界状态，然后抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。

高中物理中的临界与极值问题宝鸡文理学院附中何治博一、临界与极值概念所谓物理临界问题是指各种物理变化过程中，随着条件的逐渐变化，数量积累达到一定程度就会引起某种物理现象的发生，即从一种状态变化为另一种状态发生质的变化（如全反射、光电效应、超导现象、线端小球在竖直面内的圆周运动临界速度等），这种物理现象恰好发生（或恰好不发生）的过度转折点即是物理中的临界状态。

与之相关的临界状态恰好发生（或恰好不发生）的条件即是临界条件，有关此类条件与结果研究的问题称为临界问题，它是哲学中所讲的量变与质变规律在物理学中的具体反映。

极值问题则是指物理变化过程中，随着条件数量连续渐变越过临界位置时或条件数量连续渐变取边界值（也称端点值）时，会使得某物理量达到最大（或最小）的现象，有关此类物理现象及其发生条件研究的问题称为极值问题。

临界与极值问题虽是两类不同的问题，但往往互为条件，即临界状态时物理量往往取得极值，反之某物理量取极值时恰好就是物理现象发生转折的临界状态，除非该极值是单调函数的边界值。

因此从某种意义上讲，这两类问题的界线又显得非常的模糊，并非泾渭分明。

高中物理中的临界与极值问题，虽然没有在教学大纲或考试说明中明确提出，但近年高考试题中却频频出现。

从以往的试题形式来看，有些直接在题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，要抓住这些特定的词语发掘其内含的物理规律，找出相应的临界条件。

也有一些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，周密讨论状态的变化。

可用极限法把物理问题或物理过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显性化；或用假设的方法，假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理；也可用数学函数极值法找出临界状态，然后抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。

在Excel 中，临界值函数是一类用于根据条件选择性计算的函数。

这些函数通常用于比较值与特定临界值之间的关系，并返回相应的结果。

以下是一些常见的Excel 临界值函数：
1. IF 函数：根据给定的条件进行逻辑判断，并返回不同的结果。

其语法如下：
```
=IF(条件, 结果为真时的值, 结果为假时的值)
```
2. MIN 函数和MAX 函数：返回给定一组数值中的最小值和最大值。

其语法如下：
```
=MIN(值1, 值2, ...)
=MAX(值1, 值2, ...)
```
3. AVERAGE 函数：返回给定一组数值的平均值。

其语法如下：
```
=AVERAGE(值1, 值2, ...)
```
4. COUNTIF 函数：统计符合指定条件的单元格数量。

其语法如下：
```
=COUNTIF(范围, 条件)
```。

匀变速运动中的临界极值相关问题的解读临界问题，是指一种物理过程转变为另一种物理过程，或一种物理状态转变为另一种物理状态时，处于两种过程或两种状态的分界处的问题，叫临界问题。

处于临界状的物理量的值叫临界值。

物理量处于临界值时：①物理现象的变化面临突变性。

②对于连续变化问题，物理量的变化出现拐点，呈现出两性，即能同时反映出两种过程和两种现象的特点。

在质点做匀变速运动中涉及到临界与极值的问题主要有“相遇”、“追及”、“最大距离”、“最小距离”、“最大速度”、“最小速度”等。

例 1.一列客车以速度1v 前进，司机发现前方在同一轨道上有一列货车正在以速度2v 匀速前进，且12>v v ，货车车尾与客车车头相距0s ，客车立即刹车做匀减速运动，而货车仍保持匀速运动。

求客车的加速度a 符合什么条件两车才不会撞上？分析：这一类问题一般用数学方法（解析法）来求解。

若要客车不撞上货车，则要求客车尽可能快地减速，当客车的速度减小到与货车速度相等时两车相对静止，若以后客车继续减速，则两车的距离又会增大；若以后客车速度不变，则两车将一直保持相对静止。

可见，两车恰好相碰时速度相等是临界状态，即两车不相碰的条件是：两车速度相等时两车的位移之差△S ≤S 0。

下面用两种方法求解。

解法一：以客车开始刹车时两车所在位置分别为两车各自位移的起点，则，客车：21112s v t at =-①，货车：22s v t =②，两车不相撞的条件：21=-v v at ③120s s s -≤④，联立以上各式有：2120()2v v a s -≥。

解法二：客车减速到2v 的过程中客车的位移为：1212v v s t +=①，经历的时间为：12v v t a-=② 货车的位移为：22s v t =③，两车不相撞则：120s s s -≤④，联立以上四式有：2120()2v v a s -≥。

归纳：正确分析物体的运动过程，找出临界状态是解题的关键。