下载文档原格式
第三章空间向量与立体几何3.2.3直线与平面的夹角高中数学选修2-1·精品课件引入课题空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证.求空间角是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一.复习回顾直线的方向向量与平面的法向量lab anα知识点一：直线与平面所成的角(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为90°.(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，规定这条直线与平面的夹角为0°.(3)平面的一条斜线与平面的夹角如何定义呢？如图，已知OA 是平面α的斜线段，O 是斜足，线段AB 垂直于α，B 是垂足，则直线OB 是斜线OA 在平面α内的正射影。
设OM 是α内通过点O 的任一直线，OA 与OB 所成的角为θ1，OB 与OM 所成的角为θ2，OA 与OM 所成的角为θ，用向量的运算来研究θ，θ1，θ2之间的关系.θ2θ1θmMBO Aα在直线OM上取单位向量m，则BA⊥m，即BA·m=0，∵OA=OB+BA，∴OA·m=OB·m+BA·m，因此OA·m=OB·m，即|OA|cosθ=|OB|cosθ2，得cosθ=|OB||OA|cosθ2，又因为|OB||OA|=cosθ1，∴cosθ=cosθ1·cosθ2，θ2θ1θm MBOAα在上述公式中，因为0≤cos θ2≤1，所以cos θ≤cos θ1.因为θ和θ1都是锐角，所以θ1≤θ.则：斜线和它在平面内射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角.斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线与平面所成的角(或斜线和平面的夹角).θ2θ1θmMBO Aα知识点二：向量法求直线与平面所成的角如何用向量表示直线与平面所成的角？向量的夹角就是直线与平面所成的角吗？设直线l 与平面α所成的角为θ，l 的方向向量a ,α的法向量为naθn αlθ=90°－<a ,b >或θ=<a ,b >－90°⇒sin θ=±cos<a ,b >⇒sin θ=|cos<a ,b >|例1 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角θ．C 1CA BA 1B 1zyx建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，0，0)，C 1(－32a ，a2，2a )，∴AC 1=(－32a ，a 2，2a )，xyABCa32a a 2解：易求法向量求坐标非常关键C (－32a ，a2，0)，显然可取面ABBA1的一个法向量为n=(1,0,0)，1a，则|AC1|=3a，AC1·n=－32，∴cos<AC1，n>=−12即sinθ=1，2又θ∈(0°，90°)，∴θ=30°.1.已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为2a ，M 为A 1B 1的中点，求BC 1与平面AMC 1所成角的正弦值．C 1CA A 1B 1z y x B O M解：取AC 的中点O ，如图建立坐标系，则A (a 2,0,0),C 1(-a 2,0,2a ),B (0,32a ,0)，A 1(a 2,0,2a ),B 1(0,32a ,2a )，∵M 为A 1B 1的中点，∴M (a 4,34a ,2a )，∴AM =(a 4,34a,2a ),AC 1=−a,0,2a ，BC 1=(-a 2, -32a ,2a ).则BC1·n=(-a2, -32a,2a)·(4, -43, 22)=8a，又|BC1|=3a，|n|=62，∴cos<BC1,n>=8a3a×62=269，∴所求角的正弦值为269.设面AMC1的法向量为n=(x,y,z)由AM·n=0，AC1·n=0，得a4x+34a y+2az=0，-ax+2az=0，即x4+34y+2z=0，-x+2z=0，令z=22，得x=4，y=-43，∴n=(4, -43, 22)，典例分析例2 已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成角的大小．解：∵OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°，∴AB＝AC＝a.∵BC＝a，∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC为等腰直角三角形．同理，△BOC也为等腰直角三角形．过A作AH⊥α于H，连OH，则OH为AO在平面α内的射影，∠AOH为OA与平面α所成的角．∵AO＝AB＝AC，∴OH＝BH＝CH，H为△BOC的外心，∴H在BC上，且H为BC的中点．∵在Rt△AOH中，AH＝22a，∴sin∠AOH＝AHAO ＝22，∴∠AOH＝45°，∴OA与平面α所成角的大小为45°.跟踪训练2.已知直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，直角边AB，AC分别和α成30°和45°角．求斜边BC上的高AD与平面α所成角的大小．解：如图，作AO⊥α，O为垂足，连接OB，OC，OD，则∠ABO，∠ACO，∠ADO分别为AB，AC，AD与α所成的角，则∠ABO＝30°，∠ACO＝45°.设AO＝h，则AC＝2h，AB＝2h.∴BC＝6h，∴AD＝AC∙ABBC ＝23h.∴Rt△AOD中，sin∠ADO＝AOAD ＝32，∠ADO＝60°.∴AD与平面α所成角的大小为60°.归纳小结用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.（回到图形问题）再见。
直线与平面的夹角直线与平面是几何学中的两个基本概念，它们之间的夹角是研究二者关系的重要内容之一。
本文将从不同角度探讨直线与平面的夹角，包括夹角的定义、计算方法以及在实际问题中的应用。
一、夹角的定义与性质夹角是指由两条直线或者由一条直线和一个平面所形成的角度。
在几何学中，夹角的度量单位通常采用弧度制。
夹角的定义具体如下：定义1：直线与平面的夹角是两者之间的最小的正向的角，这个角是由直线在相交点上方和平面上方所划分的。
根据这个定义，我们可以得到夹角的一些基本性质：性质1：夹角的度数大小不受直线或平面的方向而改变。
性质2：夹角的度数范围为0到180度（或0到π弧度）。
性质3：如果两条直线平行于同一个平面，那么它们与该平面的夹角为零。
二、计算计算直线与平面的夹角可以借助向量的概念来进行，具体步骤如下：步骤1：设定一条直线L和一个平面P，并选择直线L上的一个点A以及平面P上的一个点B。
步骤2：从点A到平面P作垂线，垂足为C。
步骤3：将向量AC和向量BC分别标记为向量a和向量b。
步骤4：计算向量a和向量b的夹角，即夹角的余弦值。
步骤5：夹角的度数可以通过反余弦函数来表示，即夹角的度数为arccos(cosine)，其中cosine是步骤4中计算得到的夹角余弦值。
需要注意的是，在计算夹角时，我们需要确保向量a和向量b之间的夹角范围在0到π之间，以便得到直线与平面的最小夹角。
三、直线与平面夹角的应用直线与平面的夹角在几何学和物理学中有着广泛的应用。
以下列举几个相关的应用例子：例子1：光的反射与折射当光线从一个介质进入另一个介质时，会发生折射和反射现象。
直线与平面的夹角可以帮助我们计算光线在介质之间的折射角和反射角，从而理解和预测光的传播路径。
例子2：建筑和工程设计在建筑和工程设计中，直线与平面的夹角可以帮助工程师确定建筑物的结构和材料的选择。
例如，太阳光的入射角可以影响建筑物的采光和能量效率。
例子3：航天与导航航天器和导航系统通常会使用直线与平面的夹角来确定飞行轨迹和导航目标。
第三章 空间向量与立体几何3.2.3 直线与平面的夹角高中数学选修2-1·精品课件引入课题空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法，解题时，可用定量的计算代替定性的分析，从而避免了一些繁琐的推理论证.求空间角是立体几何的一类重要的问题，也是高考的热点之一.复习回顾直线的方向向量与平面的法向量lα知识点一：直线与平面所成的角(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为90°.(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，规定这条直线与平面的夹角为0°.(3)平面的一条斜线与平面的夹角如何定义呢？如图，已知OA是平面α的斜线段，O是斜足，线段AB垂直于α，B是垂足，则直线OB是斜线OA在平面α内的正射影。
设OM是α内通过点O的任一直线，OA与OB所成的角为θ1，OB与OM所成的角为θ2，OA与OM所成的角为θ，用向量的运算来研究θ，θ1，θ2之间的关系.在上述公式中，因为0≤cosθ2≤1，所以cosθ≤cosθ1.因为θ和θ1都是锐角，所以θ1≤θ.则：斜线和它在平面内射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角.斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线与平面所成的角(或斜线和平面的夹角).知识点二：向量法求直线与平面所成的角如何用向量表示直线与平面所成的角？向量的夹角就是直线与平面所成的角吗？θαlC1CABA1B1zyxxyABCa解：易求法向量求坐标非常关键C1CA A 1B 1zy x B OM典例分析例2 已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA与平面α所成角的大小．解：∵OA＝OB＝OC＝a，∠AOB＝∠AOC＝60°，∴AB＝AC＝a.∵BC＝a，∴AB2＋AC2＝BC2，∴△ABC为等腰直角三角形．同理，△BOC也为等腰直角三角形．过A作AH⊥α于H，连OH，则OH为AO在平面α内的射影，∠AOH为OA与平面α所成的角．跟踪训练2.已知直角三角形ABC的斜边BC在平面α内，直角边AB，AC分别和α成30°和45°角．求斜边BC上的高AD与平面α所成角的大小．归纳小结用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”.(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.（回到图形问题）。
3．2.3 直线与平面的夹角1．直线和平面所成的角思考：直线l 的方向向量s 与平面的法向量n 的夹角一定是直线和平面的夹角吗？[提示] 不是．直线和平面的夹角为⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－〈s ，n 〉.2．最小角定理1．若直线l 的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l 与平面α所成的角等于( )A ．120°B ．60°C ．30°D ．以上均错C [设直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 120°|＝12，又∵0<θ≤90°，∴θ＝30°.]2．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量，若cos 〈m ，n 〉＝－12，则直线l 与平面α所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° A [由cos 〈m ，n 〉＝－12，得〈m ，n 〉＝120°，∴直线l 与平面α所成的角为|90°－120°|＝30°.] 3．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD -A1B 1C 1D 1中，E 为CC 1的中点，则直线A 1B 与平面BDE 所成的角为( )A.π6B.π3C.π2D.5π6B [以D 为原点，DA →，DC →，DD 1→的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系(图略)，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，B (1,1,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，所以DB →＝(1,1,0)，DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，易得平面BDE 的法向量n ＝(1，－1,2)，而BA 1→＝(0，－1,1)， ∴cos 〈n ，BA 1→〉＝1＋223＝32，∴〈n ，BA 1→〉＝π6.∴直线A 1B 与平面BDE 所成角为⎪⎪⎪⎪⎪⎪π2－π6＝π3.]【例1】 已知三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，PA ＝AC ＝12AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别是PB ，BC 的中点．(1)证明：CM ⊥SN ；(2)求SN 与平面CMN 所成的角的大小．[思路探究] 建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标，向量的坐标，计算CM →，SN →的数量积，证明(1)；求出平面CMN 的法向量，求线面角的余弦，求得线面角．[解] 如图，设PA ＝1，以A 为原点，直线AB ，AC ，AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，S ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，0. (1)证明：CM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，12，SN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12，0， 因为CM →·SN →＝－12＋12＋0＝0，所以CM ⊥SN . (2)NC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1，0，设a ＝(x ，y ，z )为平面CMN 的一个法向量． 由a ·CM →＝0，a ·NC →＝0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋12z ＝0，－12x ＋y ＝0，令x ＝2，得a ＝(2,1，－2)，∵|cos 〈a ，SN →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－1－123×22＝22，∴SN 与平面CMN 所成角为45°.用向量法求线面角的步骤(1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量AB →； (3)求平面的法向量n ；(4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝|n ·AB →||n |·|AB →|.1．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上的一点，CP ＝m ，试确定m ，使直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正切值为3 2.[解] 建立如图所示的空间直角坐标系．则A (1,0,0)，B (1,1,0)，P (0,1，m )，C (0,1,0)，D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)，所以BD →＝(－1，－1,0)， BB 1→＝(0,0,1)，AP →＝(－1,1，m )，AC →＝(－1,1,0)， 又由AC →·BD →＝0，AC →·BB 1→＝0， 知AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量， 设AP 与平面BB 1D 1D 所成的角为θ. 则sin θ＝|AP →·AC →||AP →||AC →|＝22＋m 2·2＝22＋m 2. cos θ＝1－sin 2θ＝m 2＋m2，依题意2m ＝32，解得m ＝13，故当m ＝13时，直线AP 与平面BDD 1B 1所成角的正切值为3 2.1．用定义法求直线与平面夹角的关键是什么？[提示] 寻找直线与平面的夹角，即准确确定直线在平面内的投影． 2．定义法求直线与平面夹角的基本思路是什么？[提示] ①若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面的夹角为0； ②若直线与平面垂直，则直线与平面的夹角为π2；③若直线与平面相交但不垂直，设直线与平面的交点为O，在直线上任取异于O点的另一点P，过P作平面的垂线PA，A为垂足，则OA即为直线在平面内的投影，∠AOP即为直线与平面的夹角，然后通过解三角形求出直线与平面夹角的大小．【例2】如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)若D为PB的中点，试求AD与平面PAC夹角的正弦值．[思路探究](1)证明BC和平面PAC内的两条相交直线垂直．(2)作出AD在平面PAC内的射影后，构造三角形求解．[解](1)因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.又∠BCA＝90°，所以AC⊥BC，又AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.(2)取PC的中点E，连接DE.因为D为PB的中点，所以DE∥BC，所以DE⊥平面PAC.连接AE，AD，则AE是AD在平面PAC内的投影，所以∠DAE是直线AD 与平面PAC的夹角．设PA＝AB＝a，在直角三角形ABC中．因为∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，所以BC＝a2，DE＝a 4，在直角三角形ABP中，AD＝22a，所以sin ∠DAE ＝DE AD ＝a 422a ＝24.即AD 与平面PAC 夹角的正弦值为24.1．(改变问法)若本例条件不变，问题(2)改为：D 为PB 上的一点，且BD ＝13PB ，试求AD 与平面PAC 夹角的正弦值．[解] 由已知BC ⊥AC ，BC ⊥PA ，AC ∩PA ＝A ， 所以BC ⊥平面PAC ，BC ⊥PC ，过PB 的三等分点D 作DE ∥BC ，则DE ⊥平面PAC ，连接AE ，AD ，则∠DAE 为AD 与平面PAC 的夹角，不妨设PA ＝AB ＝1， 因为∠ABC ＝60°，所以BC ＝12，DE ＝23×12＝13，PB ＝2，BD ＝23.在△ABD 中AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos 45°＝59，AD ＝53，所以sin ∠DAE＝DE AD ＝1353＝55.即AD 与平面PAC 夹角的正弦值为55. 2．(改变问法)若本例的题(2)条件不变，求AD 与平面PBC 的夹角的正弦值，结果如何？[解] 由例题(1)知BC ⊥平面PAC ， 所以平面PAC ⊥平面PBC . 过A 作AE ⊥PC .所以AE ⊥平面PBC .连接ED ，则∠ADE 为AD 与平面PBC 的夹角．设PA ＝2a ，AB ＝2a ，所以PB ＝22a .故AD ＝2a .在△APC 中AP ＝2a ， AC ＝AB ·sin 60°＝2a ×32＝3a ， 所以PC ＝3a 2＋4a 2＝7a ，设∠ACP ＝θ，则AE ＝AC ·sin θ＝AC ×APPC ＝3a ×2a 7a ＝237a ＝2217a ，所以sin ∠ADE ＝AE AD ＝221a 72a ＝427.即AD 与平面PBC 夹角的正弦值为427.作直线与平面夹角的一般方法：在直线上找一点，通过这个点作平面的垂线，从而确定射影，找到要求的角.其中关键是作平面的垂线，此方法简称为“一作，二证，三计算”.＝60°，OA ＝OB ＝OC ＝a ，BC ＝2a ，求OA 与平面α所成的角．[思路探究] 根据定义或cos θ＝cos θ1·cos θ2求解． [解] 法一：∵OA ＝OB＝OC ＝a ，∠AOB ＝∠AOC ＝60°， ∴AB ＝AC ＝a . 又∵BC ＝2a ，∴AB 2＋AC 2＝BC 2.∴△ABC 为等腰直角三角形． 同理△BOC 也为等腰直角三角形． 取BC 中点为H ，连接AH ，OH ， ∴AH ＝22a ，OH ＝22a ，AO ＝a ， AH 2＋OH 2＝AO 2.∴△AHO 为等腰直角三角形．∴AH ⊥OH . 又∵AH ⊥BC ，OH ∩BC ＝H ， ∴AH ⊥平面α.∴OH 为AO 在α平面内的射影，∠AOH 为OA 与平面α所成的角． 在Rt △AOH 中，∴sin ∠AOH ＝AH AO ＝22.∴∠AOH ＝45°.∴OA 与平面α所成的角为45°. 法二：∵∠AOB ＝∠AOC ＝60°， ∴OA 在α内的射影为∠BOC 的平分线， 作∠BOC 的角平分线OH 交BC 于H . 又OB ＝OC ＝a ，BC ＝2a ，∴∠BOC ＝90°. 故∠BOH ＝45°，由公式cos θ＝cos θ1·cos θ2， 得cos ∠AOH ＝cos ∠AOB cos ∠BOH ＝22，∴OA 与平面α所成的角为45°.求线面角关键是确定斜线在平面上射影的位置，只有确定了射影，才能将空间角转化为平面角．在本例中，也可以直接作AH ⊥BC 于H ，进而证明AH ⊥平面α，从而证明H 是点A 在平面α内的射影．解法二则灵活应用公式cos θ＝cos θ1·cos θ2求线面角，也是常用的方法．2．如图所示，四棱锥P -ABCD 中，ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD .若∠PBC ＝60°，求直线PB 与平面ABCD 所成的角θ.[解] 由题意得∠CBD ＝45°，∠PBD 即为直线PB 与平面ABCD 所成的角θ. ∵cos ∠PBC ＝cos θ·cos ∠CBD ，∠PBC ＝60°. 即cos 60°＝cos θ·cos 45°，∴cos θ＝22，θ＝45°.1．思考辨析(1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角． ( ) (2)斜线和它在平面内的射影所成的角是锐角． ( ) (3)直线与平面的夹角的范围是[0°，90°]． ( )[提示] (1) × 角的度数还可以是零度． (2)√ (3)√2．若直线l 与平面α所成角为π3，直线a 在平面α内，且与直线l 异面，则直线l 与直线a 所成角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2π3 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2 D [由最小角定理知直线l 与直线a 所成的最小角为π3，又l ，a 为异面直线，则所成角的最大值为π2.]2019-2020年人教B 版数学选修2-1讲义：第3章+3.2+3.2.3+直线与平面的夹角及答案- 11 - / 11 3．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为侧面BCC 1B 1的中心，则AO 与平面ABCD 所成角的正弦值为( ) A.33 B.12 C.66 D.36C [取BC 中点M ，连接AM ，OM ，易知∠OAM 即为AO 与平面ABCD 所成的角，可求得sin ∠OAM ＝66.] 4．若平面α的一个法向量n ＝(2,1,1)，直线l 的一个方向向量为a ＝(1,2,3)，则l 与α所成角的正弦值为________．216 [cos 〈a ，n 〉＝a·n |a||n |＝1×2＋2×1＋3×11＋4＋9·4＋1＋1＝2＋2＋314×6＝216，所以l 与平面α所成角的正弦值为216.]。
案例（二）----精析精练课堂合作探究重点难点突被知识点一公式cosθ=cosθ1·cosθ2如右图,已知OA是平面a的一条斜线,AB⊥a,则OB是OA在平面a内的射影,设OM是a 内通过点O的任意一条直线,OA与OB所成的角为θ1,OB与OM所成的角为θ2,OA与OM所成的角为θ,则有cosθ=cosθ1·cosθ2,我们简称此公式为三余弦公式,它反映了三个角的余弦值之间的关系.在上述公式中,因为0≤cosθ2≤1，所以cosθ<cosθ1,因为θ1和θ都是锐角,所以θ1≤0,由此我们可以得到最小角定理:斜线和它在平面内的射影所成的角,是斜线和这个平面内所有直线所成的角中最小的角.知识点二斜线和平面所成的角(1)定义:斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角).(2)斜线和平面所成角的范围:(0,2π).(3)直线和平面所成角的范围:[O,2π],其中当一条直线与一个平面垂直时,这条直线与平面的夹角为,当一条直线与个平面平行或在平面内时,这条直线与平面的夹角为0.(4)直线和平面所成角的求法:①几何法:用几何法求直线和平面所成角的步骤:i)找(或作)出直线和平面所成的角；ii)计算,即解三角形；iii)结论,即点明直线和平面所成角的大小.②向量法:若直线AB 与平面a 所成的角为θ,平面a 的法向量为n,直线与向量n 所成的角为ϕ，则θ+ϕ=2π,利用向量的夹角公式求出cos ϕ=ABn AB ,再根据sin θ=|cos ϕ|求出θ③利用公式cos θ=cos θ1cos 2求解.典型例题分析题型1 几何法求直线和平面的夹角 【例1】 如下图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=4,BC=3,AA 1=5,试求B 1D 1与面A 1BCD 1所成角的正弦值 解析 作出B 1点在平面A 1BCD 1上的射C 影,从而得到B 1D 1在平面上的射影.又因为平面A 1B 1D ⊥面A 1BCD 1,故只要过B 1作A 1B 的垂线,垂足就是B 1的射影.答案 作B 1E ⊥A 1B,又因为A 1D 1⊥平面ABB 1A 1,∴A 1D 1⊥B 1E. 由B 1E ⊥A 1B 及B 1E ⊥A 1D 1得知B 1E ⊥面A 1BCD 1,所以,D 1E 就是D 1B 1在平面A 1BCD 1上的射影,从而∠B 1D 1E 就是D 1B 1与面A 1BCD 1所成的角.在Rt △B 1D 1E 中,有sin ∠B 1D 1E=111B D EB 上的射影. 但D1B1=211211D A B A +=915+=5,又11BB A S ∆=21A 1B 1·EB 1=21A 1B 1·BB 1,A 1B=1625+=14, ∴EB 1=4154⨯=420,∴sin ∠B 1D 1E=54120=41414.方法指导 如果随意地在直线B 1D 1上取一点,然后过这一点向平面A 1BCD 1作垂线,虽然也可以找出直线B 1D 1和平面A 1BCD 1所成的角,但面临的一个问题是如何求出这个角,因此“作、证、求”三者是紧密联系在一起的,必须系统地统筹考虑.【变式训练1】 已知直角三角形ABC 的斜边BC 在平面a 内,直角边AB,AC 分别和a 成30°和45°角.求斜边BC 上的高AD 与平面a 所成角的大小.答案 如下图,作AO ⊥a,O 为垂足,连结OB,OC,OD,则∠ABO,∠ACO,∠ADO 分别为AB,AC,AD 与a 所成的角,则∠ABO=30°,∠ACO=45°. 设AO=h,则AC=2h,AB=2h.∴BC=6h, ∴AB=32=•BCAB AC h.∴Rt △AOD 中,sin ∠ADO=23=ADAO ,∠ADO=60°.∴AD 与平面a 所成的角的大小为60°.【例2】 如下图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,求直线AA 1与平面A 1BD 所成的角.解析 在确定A 在平面上的射影时,既可以利用线面垂直,也可以分析四面体A 1-ABD 的性质.答案 解法一:连结AC,设AC∩BD=O,连结A 1O,在△A 1AO 内作AH ⊥A 1O,H 为垂足.∵A 1A ⊥平面ABCD,BD ⊂平面ABCD, ∴A 1A ⊥BD.又BD ⊥AC,AC∩A 1A=A, ∴BD ⊥平面A 1AD,∴BD ⊥AH.又AH ⊥A 1O,A 1O∩B D=O, ∴AH ⊥平面A 1BD,∴∠AA 1H 为斜线A 1A 与平面A 1BD 所成的角. 在Rt △A 1AO 中,A 1A=1,AO=22,∴A 1O=26. ∵:A 1A·AO=A 1O·AH,∴AH=332622111=⨯=•OA AOA A .∴sin ∠AA 1H=331=A A AH .∠AA 1H=arc sin 33. ∴A 1A 平面A 1BD 所成角的大小为arc sin 33. 解法二:∵AA 1=AD=AB,∴点A 在平面A 1BD 上的射影H 为△A 1BD 中心,连结A 1H,则A 1H 为正△A 1BD 外接圆半径, ∵正△A 1BD 边长为2,∴A 1H=33·2=36. Rt △AHA 1中,cos ∠AA 1H=AA HA 11=36. ∵∠AA 1H 为AA 1与平面A 1BD 所成的角, ∴A 1A 与平面A 1BD 所成角的大小为 arc sin33. 解法三:同解法二分析,A 1H 为∠BA 1D 的平分线, ∴∠BA 1H=30°,又∠AA 1B=45°,∴由最小角原理公式 cos ∠AA 1B=cos ∠AA 1H·cos ∠BA 1H,得cos ∠AA 1H=︒︒=∠∠30cos 45cos cos cos 11H BA B AA =36∴∠AA 1H=arc cos36 方法指导 在研究空间图形时,基本元素的位置关系和数量关系是密不可分、相互转化的.解法二在数量关系AA 1=AD=AB 的基础上,得到A 在平面A 1BD 上的射影的性质,解法三在找到基本图形-----三棱锥A 1-ABD 后,利用最小角原理公式,最小角原理公式是立体几何的重要公式之一,解法三利用该公式,解法简捷明了.【变式训练2】 如下图,在四棱锥P 一ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD,PD ⊥DC,E 是PC 的中点.(1) 证明PA ∥平面EDB ；(2) 求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值. 答案 (1)连结AC,AC 交BD 于O.连结EO. ∵底面ABCD 是正方形,∴点O 是AC 的中点. 在△PAC 中,EO 是中位线,∴PA ∥EO. 而EOC ⊂平面EDB 且PA ⊄平面EDB, 所以PA ∥平面EDB.(3) 作EF ⊥DC 交DC 于F,连结BF,设正方形ABCD 的边长为a. ∵PD ⊥底面ABCD,∴PD ⊥DC. ∴EF ∥PD,F 为DC 的中点∴EF ⊥底面ABCD,BF 为BE 在底面ABCD 内的射影,故∠EBF 为直线EB 与底面ABCD 所成的 角.在Rt △BCF 中,BF=a a a CF BC 25)2(2222=+=+. ∴EF=21PD=2a ,∴在Rt △EFB 中,tan ∠EBF=55252==a aBF EF . 所以EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为 题型2 向量法求直线与平面的夹角【例3】 在以边长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 和F 分别是BC 和C 1D 1上的点,BE=C 1F=31，试求EF 与平面A 1BD 所成的角的余弦值. 解析 如下图建立恰当的空间直角坐标系,用坐标向量及平面的法向量求解.答案 以A 为原点,分别以AB ,AD ,1AA 方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向而建立坐标系,如上图所示,则A 1(0,0,1),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,1),E(1,31,0),F(32,1,1). 1AC =(1,1,1),B A 1=(1,0,-1),D A 1(0,1,-1). 由于1AC ·B A 1=(1,1,1)·(1,0,-1)=1-1=0, ∴1AC ⊥B A 1,1AC .D A 1=(1,1,1)·(0,1,-1)=1-1=0, ∴1AC ⊥D A 1,∴1AC ⊥平面A 1BD,故1AC 是平面A 1BD 的法向量.又=(-31,32,1),·1AC =(-31,32,1)·(1,1,1)=34,||=314,|1AC |=3.记ϕ为与1AC 之间所成之角则cos ϕ424331443=•.以θ记与平面A 1BD 所成之角,则θ=ϕπ-2,∴cos=θ=cos(2π-ϕ)=sin ϕ=21273211342161cos 12==-=-ϕ. 规律总结 利用向量法求直线与平面所成角的解题步粟可以分解为:①根据题设条件,图形特征建立适当的空间直角坐标系；②得到相关点的坐标,进而求出相关向量的坐标；③利用分式cos<a,b>=ba ba •,进行计算,其中向量a 是直线的方向向量,b 可以是平面的法向量,可以是直线在平面内射影的方向向量；④将(a,b)转化为所求的线面角. 这里要注意的是:平面的斜线的方向向量与平面法向量所成的锐角是平面的斜线与平面所成角的余角.【变式训练3】 如下图所示,已知直角梯形ABCD,其中AB=BC=2AD,AS ⊥平面ABCD,AD ∥BC,AB ⊥BC 且AS=AB.求直线SC 与底面ABCD 的夹角的余弦值.答案 由题设条件知,可建立以AD 为x 轴,AB 为y 轴,AS 为z 轴的空间直角坐标系,如下图所示,设AB=1,则A(0,0,0),B(0,1,0),C(1,1,0),D(21,0,0),S(0,0,1).∴AS =(0,0,1),CS =(-1,-1,1).显然AS 是底面的法向量,它与已知向量的夹角β=90°-θ,故有sin θ=cos β33311=⨯=,于是 cos θ=36sin 12=-θ. 【例4】 如下图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA 1=2,D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点,点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G.求A 1B 与平面ABD 所成角的大小.(结果用反三角函数值表示) 解析 求线面角关键在于找到平面的一个法向量,法向量与直线所在的向量夹角的互余的角,即为所求的角,因此结合图形的特征,可以先建立空间直角坐标系,求出平面ABD 的法向量,再按公式求解. 答案 以C 为原点,CA 所在直线为x 轴建立空间直角坐标系,设AC 的长为a,则A(a,0,0),B(0,a,0)D(0,0,1)A1(a,0,2,)则点G(3a ,3a ,31),E(2a ,2a,1).由于E 在面ABD 内的射影为G 点,所以 GE ⊥面ABD.又DA =(a,0,-1),AB =(-a,a,0)GE =(6a ,6a ,32),,由AB ·GE =0及 DA ·GE =0可得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-,066,0326222a a a 解得a=2. 取=(6a ,6a ,32)=(31,31,32,)为平面ABD 的法向量,A 1=(-2,2,-2).设A 1B 和平面ABD 所成的角为θ,则sin θ=32222949191|343232|222=++++-+-. 故所求A1B 和平面ABD 所成的角为arin2方法指导 本题也可以不用向量方法求解,而用传统的几何方法求解,但处理的过程不像向量法简单直接.请读者用传统方法试着处理一下.规律 方法 总结(1)利用平面a 的法向量n 求斜线AB 与平面a 的夹角θ时,应注意关系,sin θ=|cos<,n>),其中θ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π，不要认为<,n>或<,n>就是θ角；(2)求直线与平面夹角的常见方法:①当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角为90°,当直线与平面平行或在平面内时,直线与平面所成的角为0°；②当直线与平面斜交时,用以下三种方法求角：方法一:定义法:在直线上任取不同于斜足的一点作面的垂线,确定射影,找出斜线与平面所成的角,通过解三角形求得；方法二:向量法:建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,由向量夹角公式,求出法向量n 与斜线对应向量的夹角θ(锐角),则所求线面角为2π-θ；方法三:由公式cos θ=cos θ1·cos θ2,求斜线与平面所成的角.定时 巩固 检测基础训练1.平面的一条斜线和这个平面所成角θ的范围是 （ ）A.0°<θ<90°B.0°≤θ≤90°C.0°<θ≤90D.0°<θ<180°【答案】 A(点拨:由与平面相交但不垂直的直线为平面的斜线知0°<θ<90°.)2.一条直线与平面a 所成的角为30°,则它和平面a 内所有直线所成的角中最小的角是 （ ）A.30°B.60°C.90°D.150°【答案】 A(点拨:本题考查最小角定理,斜线与平面所成的角是斜线与平面内直线所成角中最小的角.)3.如下图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中BC 1与对角面BB 1D 1D 所成的角是 （ ）A.∠C 1BB 1 B ∠C 1BD C.∠C 1BD 1 D.∠C 1BO【答案】 D(点拨:∵O 是点C 1在平面BB 1D 1D 上的射影,∴BO 为BC 1在平面BB 1D 1D 内的射影.∵∠C1BO 为所求.)4.PA,PB,PC 是从P 点引出的三条射线,每两条夹角都为60°,则直线PC 与平面APB 所成角的余弦值为 （ ）A. 21 B.36 C.33 D.23 【答案】 C(点拨,设PC 与平面APB 所成角为θ,则由cos60°=cos θ·cos30°得cos θ=33.) 5.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,O 为侧面BCC 1B 1的中心,则AO 与平面ABCD 所成角的正弦值为 ( )A.33B.21 C.66 D.23 【答案】 C(点拨:取BC 中点M,连AM,OM,易知∠OAM 即为AO 与平面6.)ABCD所成的角,可求得sin∠OAM=6能力提升6.如右图所示,点P是△ABC所在平面外的一点,若PA、PB、PC与平面a所成的角均相等,则点P在平面a上的射影P′是△ABC的（）A.内心B.外心C.重心D.垂心【答案】B(点拨:由于PA、PB、PC与平面a所成的角均相等,所以这三条由点P出发的平面ABC的斜线段相等,故它们在平面ABC 内的射影P′A、P′B、P′C也都相等,故点P是△ABC的外心,因此,应选B.)7.从同一点O引出不共面的三条射线OA,OB,OC且两两成60°角,OA 与平面BOC的夹角为3(点拨:设OA与平面BOC的夹角为θ,由上述分【答案】arc cos33,所以OA与.平面BOC的夹析可得cos60°=cosθ·cos30°,即cosθ=33.)角为arc cos38.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是AB、C1D1的中点,求A1B1与平面A1MCN所成角的大小.【答案】 法一:分别以DA,DC,DD 1所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系如上图,设正方体的棱长为1,则A 1(1,0,1),M(1,21,1),N(0,21,1),B 1(1,1,1),所以11B A =(0,1,0),M A 1=(0,21,-1),N A 1=(-1,21,0).设平面A 1MCN 的一个法向量为n=(x,y,z),则有⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥,,11M A n N A n 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+-.021,021z y y x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==y z y x 2121， 令y=2,则x=z=1,所以n=(1,2,1).cos<11B A ,n)=6121111⨯=••n B A n B A =36. 所以直线A 1B 1与平面A 1MCN 所成的角为arc cos36. 法二:连接MN,B 1C,A 1D,A 1C,如右图、所示,由三垂线定理可得MN ⊥A 1B 1,MN ⊥B 1C,所以MN ⊥平面A 1B 1CD,又MN ⊂平面A 1MCN,所以平面A 1MCN ⊥平面A 1B 1CD,又平面A 1MCN 与平面A 1B 1CD 的交线是A 1C,故点B 1在平面A 1MCN 内的射影在直线A 1C 上,所以∠B 1A 1C 就是A 1B 1与平面A 1MCN 所成的角,在Rt △B 1A 1C 中,tan ∠B 1A 1C=111B A C B =2,即A 1B 1与平面A 1MCN 所成的角的大小是arc tan 2. 9.如右图在矩形ABCD 中,2AB=BC,沿对角线AC 将 △ACB 折起到ACB ′的位置,使平面ADB ′⊥平面ACD.(1)求证:平面ACB ′⊥平面CBD ；(2)求AD 与平面ACB ′所成角的大小.【答案】 (1) ⎪⎭⎪⎬⎫='⊥'⊥AD ACD B AD ACD B AD ADCD 平面平面平面平面I ⇒CD ⊥平面ADB ′⇒平面ACB ′⊥平面CB ′D.(2) 作DE ⊥B ′C 于E,连接AE.如图,由(1)知平面ACB ′⊥平面CB ′D,所以DE ⊥平面ACB ′.所以∠DAE 为AD 与平面ACB ′所成的角. 设CD=1,则BC=2,在Rt △B ′DC 中,∠CDB ′=90°,B ′C=BC=2,CD=1,所以B ′D=3,所以DE=′CD BD ′CB •=23所以在R △AED 中,sin ∠DAE=ADDE =223=43,故直线AD 与平面ACB ′所成的角为 arcsin=43. 10.P 是△ABC 所在平面外一点,PA,PB,PC 两两互相垂直,且PA=10,PB=8,PC=6,求PA 与平面ABC 所成的角.【答案】∵AP ⊥PB,PA ⊥PC,∴PA ⊥平面PBC,PA ⊥BC,过A 作AD ⊥BC 于D,连接PD,那么BC ⊥平面PAD,过P 作PO ⊥AD 于O.∴PO ⊥AD;BC ⊥PO,∴PO ⊥面ABC,∠PAO 就是PA 与面ABC 所成的角,∵PB=8,PC=6,∴BC=10,PD=BC PC PB •=524,tan ∠PAD=10524=2512, 因此PA 与面ABC 所成的角为arctan 2512. 11.如下图,在四棱锥P 一ABCD 中,底面为直角梯形,AD ∥BC,∠BAD=90°,PA ⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M 、N 分别为PC 、PB 的中点.求:CD 与平面ADMN 所成的角.【答案】建立如下图所示的空间直角坐标系Axyz,设PA=2,则P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,1,0),则=(2,0,-2),=(0,2,0),=(2,-1,0).因为·=(2,0,-2)·(0,2,0)=0,所以PB ⊥AD.又因为由三垂线定理可得PB ⊥DM,所以PB ⊥平面ADMN.因此<,>的余角即是CD 与平面ADMN 所成的角.因为cos(,DC510,所以CD 与平面ADMN 所成的角为arcsin510.。
