高中数学选修2-1(人教A版)第三章空间向量与立体几何3.1知识点总结含同步练习及答案

描述：高中数学选修2-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算一、学习任务1. 了解空间向量与平面向量的联系与区别；了解向量及其运算由平面向空间推广的过程．2. 了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件；了解空间向量的基本定理及其意义；理解空间向量的正交分解及其坐标表示．3. 理解空间向量的线性运算及其性质；理解空间向量的坐标运算．4. 理解空间向量的夹角的概念；理解空间向量的数量积的概念、性质和运算律；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断两非零向量是否垂直．二、知识清单空间向量的概念与表示空间向量的坐标运算三、知识讲解1.空间向量的概念与表示空间向量的概念及表示方法与平面向量一样，在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector），向量的大小叫做向量的长度或模（modulus）．向量可以用有向线段来表示，也可用 ， 等表示，还可以用有向线段的起点与终点字母表示，如 ．长度为 的向量叫做零向量（zero vector），记为 ．模为 的向量称为单位向量（unitvector）．与向量 长度相等而方向相反的向量，称为 的相反向量，记为 ．方向相同且模相等的向量称为相等向量（equal vector）．空间向量的加减运算①空间向量的加减运算满足三角形法则和平行四边形法则；②空间向量的加 减运算满足交换律及结合律：，．空间向量的数乘运算与平面向量一样，实数 与空间向量 的乘积 仍然是一个向量，称为向量的数乘（multiplication of vector by scalar）．当 时， 与向量 方向相同；当 时， 与向量 方向相反； 的长度是 的长度的 倍．空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：分配律：，结合律：．空间向量基本定理（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量（colliner vectors）或平行向量（parallel vectors）．a →b →AB −→−00→1a →a →−a →+=+a →b →b →a →(+)+=+(+)a →b →c →a →b →c →λa →λa →λ>0λa →a →λ<0λa →a →λa →a →|λ|λ(+)=λ+λa →b→a →b →λ(μ)=(λμ)a →a →vector）．（1）；（2）；（3）AP N A 1，则 ∠BA =∠DA =A 1A 16013−−√23−−√高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。

空间向量及其线性运算
．空间向量的概念及表示
()与平面向量一样，我们把空间中具有和的量叫做空间向量，向量的叫做向量的长度或模．
()与平面向量一样，空间向量也用表示．起点是，终点是的向量也可以记作.其模记作.
()的向量叫做零向量，记为；模为的向量叫做单位向量．
()的向量称为相等向量．与向量
的向量称为的相反向量，记为.
．空间向量的线性运算
空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样．
()加法满足平行四边形法则，加法和减法满足三角形法则，加法的交换律、结合律都成立．
()实数λ与向量的乘积λ是一个向量，λ时，λ与方向相同，λ时，λ与方向相反，λ时，λ＝，其方向是任意的，λ＝.
设λ、μ是实数，则有
①分配律：λ(＋)＝
②结合律：λ(μ)＝.。

•3.1空间向量及其运算•3.1.3空间向量的数量积运算自主学习新知突破目标导航•1.掌握空间向量的数量积的概念、有关简单性质以及数量积运算的运算律.•2.能运用向量的数量积，判断向量的共线与垂直，并用于证明两直线平行与垂直.入门答疑•为了帮助地震灾区重建家园，某施工队需要移动一个大型均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件，已知它的质量为5 000 kg,在它的顶点处分别受大小相同的力件，F2,耳并且每两个力之间的夹角都是60°.（其中g=10N/kg）•［问题1］向量“和一巧夹角为多少？•［提示1］120°.•［问题2］每个力最小为多少时，才能提起这+41汩宦丄土皿片o块混凝土构件？［提示2］每个力大小为IFol,合力为IFI, .•.IFI2=(F1+F2+F3)-(F1+F2+F3)=(F1+F2+F3)2=6IF O I2・•・ \F\=y［6\F0\走进教材空间向量的夹角互相垂直日丄b•如果〈°,方〉=,那么向量a, b ___________ 记作❹思维启迪〕对空间向量夹角的认识⑴通常规定OW〈a, b) W TT,这样两个向量的夹角是唯一确定的，且〈a, b) = {b, a}.(2)作向量。

与〃的夹角时，必须使力，亦为同起点的向量，例如：在正四面体ABCD中，＜AB, AC) =60°,而〈赢BC) =120°.空间向量的数量积❶思维启迪〕•对空间向量的数量积的理解-(1)数量积是数量(数值)，可以为正，可以为负，也可以为零；•(2＞力二Ooa丄〃(a , 〃为非零向量)；•(3)向量a , 〃的夹角(a f b)与点的坐标(a z 6不同；•(4)a力的几何意义:a与方的数量积等于a的长度⑷与〃在a的方向上的投影血cos 0的乘积・自主练习1.下列各命题中，不正确的命题的个数为（②加(加)•方=(mX)a・b(m,久W R)；③a・(b+c) = e+c)・a；®(Tb—lra.A・4 B・3C・2D・1•解析:•答案:命题①②③正确/④不正确•2・在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为135°的是（）A.历与dZB.石与cFC.布与4彷D.旋与B G解析：<AB, A f C f ) = {AB, AC) =45°,〉=180°- <AB, AC) =135°,〈赢4'力〉=〈赢AD) =90°,〈赢B f~A f〉= 180°・答案：B7T 7T3.设a丄b,〈a, c} =y {b, c) =g,且lal=l, I方1=2, lcl = 3,则向量a+b+c的模是 __________________ .解析：因为la+b+cF = (a+b+c)2= \a\2-\-\b\2~\~\c\2-\-2(a-b~\~a-c-\~b-c)( 1 、问)= l+4+9 + 2^0+lX3X-+2X3X^j= 17 + 6^3, 所以la+b+cl =寸17+6寸§.答案：寸17+6帝• 4・如图所示，平行六面^ABCD-A i B i C i D i 中，AB=l, AD=2, AA] = 3, ABAD—90° ,/BAA]=z£>AAi=60° ,求AC】的长.解析：因^AC X=AB+M)+AA X,所以AC\=(^+AD+AA^=葫+必+荷+2(ikib+葫萬+巫彼). 因为ZBAD=90°, ZBAAi = ZDAAi = 60。

高中数学选修2-1-第三章第一节《3.1空间向量及其运算》全套教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN空间向量及其运算课时分配:第一课空间向量及其加减运算 1个课时第二课空间向量的数乘运算 1个课时第三课空间向量的数量积运算 1个课时第四课空间向量运算的坐标表示1个课时3. 1.1 空间向量及其加减运算【教学目标】1．了解向量与平面平行、共面向量的意义，掌握向量与平面平行的表示方法；2．理解共面向量定理及其推论；掌握点在已知平面内的充要条件；3．会用上述知识解决立体几何中有关的简单问题。

【教学重点】点在已知平面内的充要条件。

共线、共面定理及其应用。

【教学难点】对点在已知平面内的充要条件的理解与运用。

b a AB OA OB+=+=；b a OB OA BA-=-=；)(R a OP ∈=λλ3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a 到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱。

4．平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量。

由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量。

向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa 。

这个定理称为平面向量共线定理，要注意其中对向量a 的非零要求。

条有向线段来表示。

思考：运算律：（1）加法交换律：a b b a+=+ （2）加法结合律：)()(c b a c b a++=++（3）数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(C BAOb bb aa a C'B'A'D'DABC数t 满足等式t OA OP +=a。

其中向量a 叫做直线l 的方向向量。