《解析几何》第10讲 椭圆及其标准方程

椭圆及标准方程椭圆是平面上到定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

设F1(-c,0)，F2(c,0)，点P(x,y)，则PF1+PF2=2a。

椭圆的标准方程为，x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。

椭圆的性质：1.椭圆的离心率0<e<1，焦点到中心的距离为ae。

2.椭圆的长轴2a，短轴2b，焦距2ae。

3.椭圆的离心角θ满足e=cosθ，离心率e与离心角θ的关系为e=cosθ。

4.椭圆的面积为πab。

5.椭圆的焦点到直径的距离等于直径的一半。

6.椭圆的焦点到切线的距离等于焦点到法线的距离。

7.椭圆的切线与法线的交点坐标分别为(x1,y1)和(x1,-y1)。

8.椭圆的渐近线方程为y=±b/ax。

9.椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。

10.椭圆的极坐标方程为r=a(1-e^2)/(1+ecosθ)。

椭圆的标准方程推导：设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，中心为O(0,0)，点P(x,y)。

则有PF1+PF2=2a，根据两点之间的距离公式可得。

√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=2a。

整理得到。

(√((x+c)^2+y^2))^2+(√((x-c)^2+y^2))^2=4a^2。

化简得到。

x^2/a^2+y^2/b^2=1。

从而得到椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程性质：1.椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。

2.椭圆的中心在原点O(0,0)。

3.椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上。

4.椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，离心率e=c/a。

5.椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距2ae。

6.椭圆的面积为πab。

7.椭圆的离心角θ满足e=cosθ，离心率e与离心角θ的关系为e=cosθ。

8.椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。

椭圆的标准方程\(\frac{(x h)^2}{a^2} + \frac{(y k)^2}{b^2} = 1\)。

其中，\(h\)和\(k\)分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标，\(a\)和\(b\)分别是椭圆在x轴和y轴上的半轴长。

椭圆的标准方程是通过平移坐标系和缩放轴的长度得到的。

通过标准方程，我们可以轻松地确定椭圆的中心、半轴长和长短轴的方向。

接下来，我们将详细解释椭圆的标准方程及其相关概念。

首先，椭圆的中心坐标为\((h, k)\)，其中\(h\)和\(k\)分别代表椭圆中心在x轴和y轴上的坐标。

通过平移坐标系，我们可以将椭圆的中心移动到坐标原点，即\((0, 0)\)，这样椭圆的标准方程可以简化为：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。

接下来，我们来解释椭圆的半轴长\(a\)和\(b\)。

在椭圆上任意一点\((x, y)\)，其到两个焦点的距离之和等于常数，即\(2a\)。

因此，\(a\)代表椭圆在x轴上的半轴长，而\(b\)代表椭圆在y轴上的半轴长。

通常情况下，\(a > b\)，因此椭圆在x轴上的半轴长大于在y轴上的半轴长。

此外，椭圆的标准方程还能告诉我们椭圆的长短轴的方向。

如果\(a > b\)，则椭圆的长轴与x轴平行，短轴与y轴平行；如果\(a < b\)，则椭圆的长轴与y轴平行，短轴与x轴平行。

最后，我们来看一个例子。

假设椭圆的标准方程为\(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\)，我们可以通过比较标准方程和实际方程的形式，得出椭圆的中心坐标为\((0, 0)\)，长轴在x轴上，长轴的长度为\(2 \times 4 = 8\)，短轴在y轴上，短轴的长度为\(2 \times 3 = 6\)。

通过以上的解释，我们对椭圆的标准方程及其相关概念有了更深入的理解。

希望本文能够帮助读者更好地掌握椭圆的基本知识，加深对数学的理解和应用。

椭圆及其标准方程椭圆是一种特殊的曲线，与圆形相似，但略有变形。

它在数学、几何学和物理学等领域中具有重要的应用。

本文将介绍椭圆及其标准方程，包括椭圆的定义、性质、参数方程和标准方程。

椭圆的定义：椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的集合。

这两个固定点称为焦点，它们确定了椭圆的形状和大小。

椭圆的形状由椭圆的离心率确定，离心率是焦点距离的比例离心率小于1，等于1时是一个圆形，大于1时是一个双曲线。

椭圆的性质：1.对于给定的两个焦点和恒定的距离之和，椭圆上的所有点到两个焦点的距离之和始终相等。

2.椭圆的中心是两个焦点的中点。

3.椭圆的长轴是两焦点之间的距离，短轴是椭圆的纵坐标轴上的最大距离。

4.椭圆的离心率定义为焦距除以长轴。

离心率小于1，等于1时是一个圆，大于1时是一个双曲线。

5.椭圆的标准方程是(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长轴和短轴。

椭圆的参数方程：椭圆的参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点。

假设椭圆的中心是原点，长轴平行于x轴，短轴平行于y轴。

则椭圆的参数方程为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中t的取值范围是[0,2π]，每个t对应椭圆上的一个点。

椭圆的标准方程：椭圆的标准方程是一种用代数表达式来描述椭圆的方程。

标准方程基于椭圆的中心和长轴短轴的定义。

假设椭圆的中心是(h,k)，长轴和短轴的长度分别是2a和2b。

则椭圆的标准方程为：(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1标准方程的推导：为了推导椭圆的标准方程，我们可以先考虑椭圆的定义。

由于椭圆上的任意一点到焦点的距离之和等于常数，我们可以设椭圆上一个点的坐标为(x,y)。

根据焦点的位置，我们可以得到以下两个方程：√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=2a其中c为焦点到原点的距离。

由于离心率的定义为e=c/a，我们可以得到c=ea。

第一节 椭圆1．椭圆的定义(1) 第一定义：|)|2(2||||2121F F a a PF PF >=+ （21,F F 为焦点，c F F 2||21=为焦距） 注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是 ．②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．（2）第二定义：)10(,||<<=e e dPF注：第二定义中焦点与准线应对应2．椭圆的标准方程（中心在原点，对称轴为坐标原点）(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+by ax ，其中( > >0，且=2a )(2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12222=+bx a y ，其中a ，b 满足： ．说明：（1）焦点在22,y x 分母大的对应的坐标轴上； （2）222c b a +=及c b a ,,的几何意义 （3）标准方程的统一形式：),0,0(122n m n m nymx≠>>=+适用于焦点位置未知的情形（4）参数方程：⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x 3．椭圆的几何性质(对12222=+by ax ,a > b >0进行讨论)(1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤(2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ．(3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；(4)离心率：=e ( 与 的比)，∈e ，e 越接近1，椭圆越 ；e 越接近0，椭圆越接近于 ．(5) 椭圆的准线方程为 ．【课前预习】1．若方程11322=-+-k ykx为焦点在y 轴上的椭圆，则k 的取值范围是_______________2．已知椭圆的长轴长是8，离心率是43，则此椭圆的标准方程是_____________3．若椭圆1222=+myx的离心率为21，则实数=m ______4．已知21,F F 为椭圆1422=+yx的左、右焦点，弦AB 过1F ，则AB F 2∆的周长为______85．已知椭圆121622yx+=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 是椭圆上一点，N 是MF 1的中点，若6||2=MF ，则|ON|的长等于 .1 【例题讲解】例1：根据下列条件求椭圆方程（1）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P （3，0），求椭圆的方程； （2）中心在原点的椭圆，一条准线方程为5=y ，且它的离心率55=e ；（3）已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为534和532，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；（4）中心在原点，以坐标轴为对称轴的椭圆，经过两点)2,3(),1,6(21--P P 小结：求椭圆的方法 例2：（1）椭圆1162522=+yx上一点P 到它的左焦点1F 的距离为6，则点P 到椭圆右准线的距离为_________（2）已知21,F F 是椭圆148:22=+yxC 的焦点，在C 上满足21PF PF ⊥的点P 的个数为________2小结：（3）椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，这个椭圆的方程是_________________1129,19122222=+=+yxyx（4）已知椭圆192522=+yx的焦点21,F F ，P 是椭圆上一点，9021=∠PF F ，则=∆21PF F S _______变式1： 6021=∠PF F ，则=∆21PF F S _______变式2：θ=∠21PF F ，则=∆21PF F S _______变式3：已知椭圆12222=+bya x的焦点21,F F ，椭圆上存在一点P ，使6021=∠PF F ，则离心率e 的取值范围是____________ 例3：关于离心率的运算（1）设椭圆的两个焦点分别为21,F F ，过2F 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点B A ,，若1ABF ∆为正三角形，则椭圆的离心率为_________ （2）在平面直角坐标系中，椭圆12222=+by ax (a ＞b ＞0)的焦距为2，以O 为圆心，a 为半径作圆，过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,2c a 作圆的两切线互相垂直，则离心率e= .（3）在ABC ∆中，187cos ,-==B BC AB ，若以B A ,为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e=(4) 以椭圆12222=+by ax 的右焦点F 为圆心，a 为半径的圆与椭圆的右准线交于不同的两点，则e 的取值范围是_______________1215<<-e小结： 例4：（最值问题） （1）设P 是椭圆1162522=+yx上任意一点，F A ,分别为椭圆的左顶点和右焦点，则AFPA PF PA ⋅+⋅41的最小值为________-9变式：P 为椭圆13422=+yx上任一点，A 为右顶点，B 为下顶点则AB PA ⋅最大值为________（2）椭圆1162522=+yx内有两点)0,3(),2,2(B A P 为椭圆上一动点则||35||PB PA +的最小值为____319变式：若)0,3(-C 则||||PC PA +最大值为__________510+例5：设椭圆()22221,0x y a b ab+=>>的左右焦点分别为12,F F，离心率2e =，点2F 到右准线为l 的距离为1）求,a b 的值；（2）设,M N 是l 上的两个动点，120F M F N ⋅=，证明：当M N 取最小值时，12220F F F M F N ++=。

椭圆及其标准方程椭圆是平面上的一个几何图形，它由到两个给定点的距离之和等于常数的点构成。

这两个点通常被称为焦点，相应的常数被称为焦距。

椭圆是一个非常重要的几何图形，出现在许多数学和科学领域中，如天文学、工程学和物理学等。

一个椭圆可以通过其标准方程来描述。

椭圆的标准方程是一个关于x 和y的二次方程，它在平面上表示一个椭圆。

标准方程的形式为：(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1其中（h，k）是椭圆的中心点坐标，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴长度。

半长轴是椭圆上离中心最远的点到中心的距离，半短轴是椭圆上离中心最近的点到中心的距离。

椭圆的形状由半长轴和半短轴的比例确定。

当a>b时，椭圆的形状更接近于一个圆，当a=b时，椭圆变成一个圆，当a<b时，椭圆更加扁平。

椭圆的离心率是一个重要的参数，对于椭圆而言，离心率的取值范围是0到1之间。

离心率越小，椭圆越接近于一个圆。

离心率等于1的情况下，椭圆退化成两条互相平行的直线。

椭圆的焦点是椭圆上特殊的点，它们具有特殊的性质。

对于任意椭圆上的点P，它到两个焦点的距离之和等于椭圆的焦距。

椭圆的焦距为2a，其中a是半长轴长度。

此外，椭圆的两条主轴是两个焦点之间的直线。

主轴上的点距离中心点的距离等于半长轴的长度。

除了标准方程，椭圆还可以通过其他形式的方程来进行描述。

一般方程形式为：Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0其中A、B、C、D、E和F是任意实数，且A和C不能同时为零。

这是一个二次曲线的一般方程，当方程表示一个椭圆时，A和C满足A和C的符号相同。

椭圆在日常生活和科学研究中都有广泛的应用。

在天文学中，行星和卫星的轨道通常被建模为椭圆。

在工程学中，椭圆被用于设计喷泉和游泳池的形状，以及船体和飞机的外形设计。

在物理学中，椭圆被用于描述电磁波的传播和光学系统中的电子轨道。

椭圆及标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。

这两个定点称为椭圆的焦点，距离为2c。

椭圆的长轴是通过焦点的直线段，短轴是长轴的垂直平分线段。

椭圆的标准方程是(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(a>b)。

椭圆的标准方程可以通过椭圆的几何特征进行推导。

首先，我们知道椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。

根据点到直线的距离公式，可以得到椭圆上任意一点P(x,y)到焦点F1和F2的距离之和为2a的方程，√((x+c)²+ y²) + √((x-c)² + y²) = 2a。

然后，我们可以对这个方程进行整理，得到椭圆的标准方程。

椭圆的标准方程中，(h,k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示长轴和短轴的长度。

通过标准方程，我们可以直观地得到椭圆的中心、长轴、短轴等信息。

同时，我们也可以通过标准方程来求解椭圆的焦点坐标和离心率等参数。

在实际问题中，椭圆的标准方程可以帮助我们进行图形的分析和计算。

例如，当我们需要绘制椭圆的图形时，可以通过标准方程来确定椭圆的中心、长轴、短轴，进而绘制出准确的图形。

另外，当我们需要求解椭圆上的点的坐标或者求解椭圆的焦点坐标时，也可以通过标准方程来进行计算。

除了标准方程外，椭圆还有其他形式的方程，例如参数方程和一般方程。

参数方程可以通过参数t来表示椭圆上的点的坐标，而一般方程则是通过平移、旋转等变换得到的一般形式的方程。

这些不同形式的方程都可以帮助我们更好地理解和应用椭圆的性质和特点。

总之，椭圆及其标准方程是解析几何中重要的内容，它不仅具有丰富的几何性质，而且在实际问题中有着广泛的应用。

通过深入理解椭圆的标准方程，我们可以更好地理解椭圆的几何特征，从而更好地应用椭圆解决实际问题。