专题40 用二分法求方程的近似解知识点一二分法的概念对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．知识点二用二分法求方程近似解的步骤给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下：(1)确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)f(b)＜0.(2)求区间(a，b)的中点C．(3)计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：①若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；②若f(a)f(c)＜0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；③若f(c)f(b)＜0(此时x0∈(c，b))，则令a＝C．(4)判断是否达到精确度ε：若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．知识点三新知拓展1．用二分法求函数零点近似值的方法仅适用于函数的变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号变号)，对函数的不变号零点(曲线通过零点时，函数值的符号不变号)不适用．如求函数f(x)＝(x－1)2的零点近似值就不能用二分法．2．用二分法求函数零点的近似值时，要根据函数的性质尽可能地找到含有零点的更小的区间，这样可以减少用二分法的次数，减少计算量．3．二分法采用逐步逼近的思想，使区间逐步缩小，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是逐渐逼近函数的零点．当区间长度小到一定程度时，就得到近似值．4．由|a－b|<ε，可知区间[a，b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值．为了方便，这里统一取区间端点a(或b)作为零点的近似值．精确度与精确到是不一样的概念．比如得数是1.25或1.34，精确到0.1都是通过四舍五入后保留一位小数得1.3.而“精确度为0.1”指零点近似值所在区间[a，b]满足|a－b|<0.1，比如零点近似值所在区间[1.25,1.34]．若精确度为0.1，则近似值可以是1.25，也可以是1.34.5．在第一步中要使区间[a，b]的长度尽量小，且f(a)·f(b)<0.6．由函数的零点与相应方程根的关系，我们可用二分法来求方程的近似解．对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数F(x)零点近似值的步骤求解．题型一二分法的适用条件1．下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()[解析]按定义，f(x)在[a，b]上是连续的，且f(a)·f(b)<0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点．故结合各图象可得选项B，C，D满足条件，而选项A不满足，在A中，图象经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解．故选A．2．已知函数f(x)的图象如图所示，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A．4,4B．3,4C．5,4 D．4,3[解析]图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以用二分法求解的个数为3，故选D.3．下列函数图象中表示的函数能用二分法求零点的是()[解析]由于只有C满足图象连续，且f(a)·f(b)<0，故只有C能用二分法求零点．4．下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()A B C D[解析]二分法的理论依据是零点存在定理，必须满足零点两侧函数值异号才能求解．而选项B图中零点两侧函数值同号，即曲线经过零点时不变号，称这样的零点为不变号零点．另外，选项A，C，D零点两侧函数值异号，称这样的零点为变号零点．答案为B5．已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则不能利用二分法求解的零点是________．[解析]因为x3左右两侧的函数值同号，故其不能用二分法求解．6．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()A．x1 B．x2C．x3D．x4[解析]由二分法的原理可知，x3不能用二分法求出，因为其左右两侧的函数值同负．7．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是()A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3C．f(x)＝|x| D．f(x)＝ln x[解析]对于选项C而言，令|x|＝0，得x＝0，即函数f(x)＝|x|存在零点，但当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)>0，所以f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点，但零点两侧函数值同号，所以不能用二分法求零点的近似值．8．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是()①f(x)在区间[a，b]上是连续不断的；②f(a)·f(b)<0；③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0.A．①②B．①③C．①④D．②[解析]由二分法的定义知①②正确.9．下列函数不宜用二分法求零点的是()A．f(x)＝x3－1 B．f(x)＝ln x＋3C．f(x)＝x2＋22x＋2 D．f(x)＝－x2＋4x－1[解析]因为f(x)＝x2＋22x＋2＝(x＋2)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．题型二用二分法求方程的近似解(函数零点的近似值)1．下面关于二分法的叙述中，正确的是()A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只能用二分法求函数的零点[解析]用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误，故选B.2．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是( )A ．“二分法”求方程的近似解一定可将y ＝f (x )在[a ，b ]内的所有零点得到B ．“二分法”求方程的近似解有可能得不到y ＝f (x )在[a ，b ]内的零点C ．应用“二分法”求方程的近似解，y ＝f (x )在[a ，b ]内有可能无零点D ．“二分法”求方程的近似解可能得到f (x )＝0在[a ，b ]内的精确解[解析]二分法求零点，则一定有且能求出，故B ，C 不正确；零点左侧与右侧的函数值符号相同的零点不能用二分法得到，故A 不正确，故选D.3．用二分法求函数f (x )＝x 3＋5的零点可以取的初始区间是( )A ．[－2，－1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[1,2][解析]∵f (－2)＝－3<0，f (－1)＝4>0，f (－2)·f (－1)<0，可取[－2，－1]作为初始区间，用二分法逐次计算． 4．函数f (x )的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f (x )＝0在(1,2)内近似解的过程可得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的解所在区间为( )A ．(1.25,1.5)B ．(1,1.25)C ．(1.5,2)D ．不能确定[解析]由于f (1.25)·f (1.5)<0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)．5．用二分法求函数f (x )＝2x ＋3x －7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为( )A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(2,3)D ．(2,4)[解析] 因为f (0)＝20＋0－7＝－6<0，f (4)＝24＋12－7>0，f (2)＝22＋6－7>0，所以f (0)·f (2)<0，所以零点在区间(0,2)内．6．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算，f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，f (0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.68B ．0.72C ．0.7D ．0.6[解析]已知f (0.64)＜0，f (0.72)＞0，则函数f (x )的零点的初始区间为[0.64,0.72]，又0.68＝12(0.64＋0.72)，且f (0.68)＜0，所以零点在区间[0.68,0.72]，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此，0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．答案C7．用二分法求函数y ＝f (x )在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f (2)·f (4)<0.取区间的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0∈________(填区间)． [解析]因为f (2)·f (3)<0，所以零点在区间(2,3)内．8．在用“二分法”求函数f (x )零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是()A ．[1,4]B ．[－2,1] C.⎣⎡⎦⎤－2，52 D.⎣⎡⎦⎤－12，1 [解析]∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]， ∴第三次所取的区间可能为⎣⎡⎦⎤－2，－12，⎣⎡⎦⎤－12，1，⎣⎡⎦⎤1，52，⎣⎡⎦⎤52，4.答案D 9．若函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A ．1.25B ．1.375C ．1.42D ．1.5[解析]由表格可得，函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的零点在(1.406 25,1.437 5)之间．结合选项可知，方 程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似根(精确度为0.05)可以是1.42.故选C. 10．用二分法求函数f (x )＝3x －x －4的一个零点，其参考数据如下：[解析] f (1.562 5)≈0.003>0，f (1.556 2)≈－0.029<0，方程3x －x －4＝0的一个近似解在(1.556 2，1.562 5)上，且满足精确度为0.01，所以所求近似解可取为1.562 5.11．在用二分法求方程f (x )＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.687 5)<0，即得出方程的一个近似解为________．(精确度为0.1)[解析]∵f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.687 5)<0，∴方程的解在(0.687 5,0.75)上，而|0.75－0.687 5|<0.1，∴方程的一个近似解为0.687 5.（答案不唯一）12．用二分法求方程ln(2x ＋6)＋2＝3x 的根的近似值时，令f (x )＝ln(2x ＋6)＋2－3x ，并用计算器得到下表：[解析]因为f (1.25)·f (1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f (x )的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5,1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解．13．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经过计算得f (0)＜0，f (0.5)＞0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．[解析] ∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴x 0∈(0,0.5)，故第二次应计算f (0.25)．14．已知函数f (x )＝ln x ＋2x －6有一个零点，求这个零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过14(不能用计算器)．[解析] ∵f (2)<0，f (3)>0，∴f (x )的零点x 0∈(2,3)．取x 1＝52，∵f ⎝⎛⎭⎫52＝ln 52－1＝ln 52－ln e<0， ∴f ⎝⎛⎭⎫52f (3)<0，∴x 0∈⎝⎛⎭⎫52，3.取x 2＝114，∵f ⎝⎛⎭⎫114＝ln 114－12＝ln 114－ln e12 >0， ∴f ⎝⎛⎭⎫114f ⎝⎛⎭⎫52<0，∴x 0∈⎝⎛⎭⎫52，114.而⎪⎪⎪⎪114－52＝14≤14，∴⎝⎛⎭⎫52，114即为符合条件的一个区间． 15．已知方程2x ＋2x ＝5.(1)判断该方程解的个数以及所在区间； (2)用二分法求出方程的近似解(精确度0.1)．参考数值：[解析](1)令f (所以函数f (x )＝2x ＋2x －5至多有一个零点．因为f (1)＝21＋2×1－5＝－1<0，f (2)＝22＋2×2－5＝3>0， 所以函数f (x )＝2x ＋2x －5的零点在(1,2)内． (2)用二分法逐次计算，列表如下：因为|1.375－1.25|＝所以函数的零点近似值为1.312 5，即方程2x ＋2x ＝5的近似解可取为1.312 5. 16．用二分法求方程x 2－5＝0的一个近似正解．(精确度为0.1)[解析]令f (x )＝x 2－5，因为f (2.2)＝－0.16<0，f (2.4)＝0.76>0，所以f (2.2)·f (2.4)<0， 即这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x 0，取区间(2.2,2.4)的中点x 1＝2.3，f (2.3)＝0.29，因为f (2.2)·f (2.3)<0，所以x 0∈(2.2,2.3)， 再取区间(2.2,2.3)的中点x 2＝2.25，f (2.25)＝0.062 5，因为f (2.2)·f (2.25)<0， 所以x 0∈(2.2,2.25)，由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，所以原方程的近似正解可取为2.25. 17．求方程lg x ＝2－x 的近似解．(精确度为0.1)[解析]在同一平面直角坐标系中，作出y ＝lg x ，y ＝2－x 的图象如图所示， 可以发现方程lg x ＝2－x 有唯一解，记为x 0，并且解在区间(1,2)内．设f (x )＝lg x ＋x －2，则f (x )的零点为x 0.用计算器计算得f (1)<0，f (2)>0⇒x 0∈(1,2)； f (1.5)<0，f (2)>0⇒x 0∈(1.5,2)；f (1.75)<0，f (2)>0⇒x 0∈(1.75,2)，f (1.75)<0，f (1.875)>0⇒x 0∈(1.75,1.875)；f (1.75)<0，f (1.8125)>0⇒x 0∈(1.75,1.8125)． ∵|1.8125－1.75|＝0.0625<0.1，∴方程的近似解可取为1.8125. 18．求函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1的一个负零点(精确度0.01)．[解析] 确定一个包含负数零点的区间(m ，n )，且f (m )·f (n )<0.因为f (－1)>0，f (－2)<0，所以可以取区间(－2，－1)作为计算的初始区间，当然选取在较大的区间也可以．用二分法逐步计算， 列表如下：端点(中点)端点或中点的函数值 取值区间f (－1)>0，f (－2)<0 (－2，－1) x 0＝－1－22＝－1.5f (x 0)＝4.375>0 (－2，－1.5) x 1＝－1.5－22＝－1.75 f (x 1)≈2.203>0 (－2，－1.75) x 2＝－1.75－22＝－1.875 f (x 2)≈0.736>0 (－2，－1.875) x 3＝－1.875－22＝－1.937 5 f (x 3)≈－0.097 4<0 (－1.937 5，－1.875) x 4＝－1.875－1.937 52＝－1.906 25f (x 4)≈0.328 0>0 (－1.937 5，－1.906 25) x 5＝－1.937 5－1.906 252＝－1.921 875f (x 5)≈0.117 4>0 (－1.937 5，－1.921 875) x 6＝－1.937 5－1.921 8752＝－1.929 687 5f (x 6)≈0.010 5>0(－1.937 5，－1.929 687 5)由于|19．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内的零点用二分法按精确度为ε求出的结果与精确到ε求出的结果相等，则称函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内的零点为“和谐零点”．试判断函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2在区间(1,1.5)上按ε＝0.1用二分法逐次计算求出的零点是否为“和谐零点”．(参考数据：f (1.25)≈－0.984，f (1.375)≈－0.260，f (1.4375)≈0.162，f (1.4065)≈－0.052)[解析] 函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2在区间(1,1.5)上有f (1)＝－2<0，f (1.5)>0，故f (x )在(1,1.5)内有零点． 又f (x )＝0，即x 3＋x 2－2x －2＝0，所以(x ＋1)(x －2)(x ＋2)＝0， 所以f (x )在(1,1.5)内的零点为2，故精确到ε＝0.1的零点为1.4.而根据二分法，将(1,1.5)分为(1,1.25)，(1.25,1.5)，因f (1.25)≈－0.984<0，故f (x )的零点在(1.25,1.5)内，此时区间长度为0.25>ε，继续下去，f (x )的零点在(1.375,1.4375)内，此时区间长度为0.0625<ε，此时零点的近似解可取1.375或1.4375，显然不等于1.4，故求出的零点不为“和谐零点”．题型三 二分法的实际应用1．已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)>0，f (1)>0，证明a >0，并利用二分法证明方程f (x )＝0在区间[0,1]内有两个实根．[解析] ∵f (1)>0，∴3a ＋2b ＋c >0，即3(a ＋b ＋c )－b －2c >0.∵a ＋b ＋c ＝0，∴－b －2c >0，则－b －c >c ，即a >c .∵f (0)>0，∴c >0，则a >0. 在区间[0,1]内选取二等分点12，则f ⎝⎛⎭⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a <0. ∵f (0)>0，f (1)>0，∴函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12和⎝⎛⎭⎫12，1上各有一个零点． 又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0,1]内有两个实根． 2．已知函数f (x )＝13x 3－x 2＋1.(1)证明方程f (x )＝0在区间(0,2)内有实数解；(2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f (x )＝0(x ∈[0,2])的实数解x 0在哪个较小的区间内． [解析](1)∵f (0)＝1>0，f (2)＝－13<0，∴f (0)·f (2)＝－13<0，由函数的零点存在性定理可得方程f (x )＝0在区间(0,2)内有实数解．(2)取x 1＝12(0＋2)＝1，得f (1)＝13>0，由此可得f (1)·f (2)＝－19<0，下一个有解区间为(1,2)．再取x 2＝12(1＋2)＝32，得f ⎝⎛⎭⎫32＝－18<0，∴f (1)·f ⎝⎛⎭⎫32＝－124<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫1，32. 再取x 3＝12⎝⎛⎭⎫1＋32＝54，得f ⎝⎛⎭⎫54＝17192>0，∴f ⎝⎛⎭⎫54·f ⎝⎛⎭⎫32<0，下一个有解区间为⎝⎛⎭⎫54，32. 故f (x )＝0的实数解x 0在区间⎝⎛⎭⎫54，32内．3．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一架天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．[解析]从26枚金币中取18枚，将这18枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，(1)若天平不平衡，则假币一定在质量小的那9枚金币里面．从这9枚金币中拿出6枚，然后将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则假币一定在剩下的那3枚金币里；若不平衡，则假币一定在质量小的那3枚金币里面，从含有假币的3枚金币里取两枚，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一枚是假币，若不平衡，则质量小的那一枚是假币．(2)若天平平衡，则假币在剩下的8枚金币里，从这8枚金币中取6枚，将这6枚金币平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，假币在剩下的两枚里，若天平不平衡，假币在质量小的3枚里．在含有假币的金币里取2枚分别放在天平左右，即可找到假币．综上可知，最多称3次就可以发现这枚假币．故填3.4．现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？[解析]先在天平左右各放4个球．有两种情况：(1)若平，则“坏球”在剩下的4个球中．取剩下的4个球中的3个球放天平的一端，取3个好球放天平的另一端，①若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；②若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是重．任取其中2个球分别放在天平左右两端，无论平还是不平，均可确定“坏球”．(2)若不平，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端较重．从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看天平，有三种可能．①若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重；②若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左端移到右端的3个球中，并且偏轻；③若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．显然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重．。
