第三章 力系的平衡方程及其应用3-3在图示刚架中，已知kN/m 3=m q ，26=F kN ，m kN 10⋅=M ，不计刚架自重。
求固定端A 处的约束力。
032242234,0022,0022,01)(1i =∙-∙+--==-==-+=∑∑∑F F F M M MF F Fiy F F F FA FA AY AX x解得m kN 12kN 60⋅===A Ay Ax M F F ，，3-4杆AB 及其两端滚子的整体重心在G 点，滚子搁置在倾斜的光滑刚性平面上，如图所示。
对于给定的θ角，试求平衡时的β角。
B解：解法一：AB 为三力汇交平衡，如图所示ΔAOG 中βs i nl AO =， θ-︒=∠90AOG ，β-︒=∠90OAG ，βθ+=∠AGO 由正弦定理：)90sin(3)sin(sin θβθβ-︒=+l l ，)cos 31)sin(sin θβθβ=+l 即 βθβθθβs i n c o s c o s s i n c o s s i n3+= 即 θβt a n t a n2= )t a n 21a r c t a n(θβ= 解法二：：0=∑x F ，0sin R =-θG F A（1）第三章 力系的平衡方程及其应用0=∑y F ，0cos R =-θG F B（2）0)(=∑F A M ，0sin )sin(3R =++-ββθl F lG B （3）解（1）、（2）、（3）联立，得 )t a n 21a r c t a n (θβ=3-5 由AC 和CD 构成的组合梁通过铰链C 连接。
支承和受力如图所示。
已知均布载荷强度kN/m 10=q ，力偶矩m kN 40⋅=M ，不计梁重。
解：取CD 段为研究对象，受力如图所示。
0)(=∑F CM，024=--q M F D ；kN 15=D F取图整体为研究对象，受力如图所示。
0)(=∑F AM ，01682=--+q M F F D B；kN 40=B F 0=∑yF ，04=+-+D BAyF q F F ；kN 15-=Ay F0=∑x F ，0=AxF解得kN 15kN 5kN 40kN 15===-=D C B A F F F F ；；；3-6如图所示，组合梁由AC 和DC 两段铰接构成，起重机放在梁上。
已知起重机重P1 = 50kN ，重心在铅直线EC 上，起重载荷P2 = 10kN 。
如不计梁重，求支座A 、B 和D 三处的约束反力。
解：（1）取起重机为研究对象，受力如图。
0)(=∑F F M ，0512P R =--W F F G ，kN 50R =G F（2）取CD 为研究对象，受力如图0)(=∑F C M ，016'R R =-G D F F ，kN 33.8R =D F（3）整体作研究对象，受力图（c ）0)(=∑F A M ，0361012R P R =+--B D F F W F ，kN 100R =B F0=∑x F ，0=Ax F0=∑y F ，kN 33.48-=Ay F3-7 构架由杆AB ，AC 和DF 铰接而成，如图所示。
在DEF 杆上作用一矩为M 的力偶。
不计各杆的重量，求AB 杆上铰链A ，D 和B 所受的力。
解 对整体（图（a ）），有∑∑=--===02,0)00M aF F M F X By CBx（，解得 aM F F By Bx 2,0-== 再研究DEF 杆（图（b ）），有∑∑∑=++==++==+=0,00,002,0)(AyDyByAxDxBxDxBxAF F F Y F F F X aF aF F M 解得 aM F F F Ay Dx Ax 2,0-===3-8 图示构架中，物体P 重1200N ，由细绳跨过滑轮E 而水平系于墙上，尺寸如图。
不计杆和滑轮的重量，求支承A 和B 处的约束力，以及杆BC 的内力F BC 。
解：（1）整体为研究对象，受力图（a ），W F =T0=∑A M ，0)5.1()2(4T R =--+-⋅r F r W F B ，N 1050R =B F0=∑x F ，N 1200T ===W F F Ax 0=∑y F ，N 501=Ay F（2）研究对象CDE （BC 为二力杆），受力图（b ）0=∑D M ，0)5.1(5.1sin T =-+⋅+⨯r F r W F BC θN 1500541200sin -=-=-=θW F BC （压力）3-9 图示结构中，A 处为固定端约束，C 处为光滑接触，D 处为铰链连接。
已知N 40021==F F ，m N 300⋅=M ，mm 400==BC AB ，mm 300==CE CD ，︒=45α，不计各构件自重，求固定端A处与铰链D处 的约束力。
解 先研究DCE 杆，如图（a ），由,0)(,00011x =∙--∙==-+===∑∑∑DE F M CD FF M F FF Y F X NcDDy NcD ，解得 N F N F F NC D y D x 1800,1400,0=-==再研究ABC 杆，如图（b ），由45sin ,0)(045sin ,0045cos 0222=∙++︒∙==-︒-==︒-=∑∑∑AB F MAC F F M F F F Y F F X ANCANCAyAx，解得 m N M N F N F A Ay Ax ∙-===1178,2083,22003-10 图示结构由直角弯杆DAB 与直杆BC 、CD 铰接而成，并在A 处与B 处用固定铰支座和可动铰支座固定。
杆DC 受均布载荷q 的作用，杆BC 受矩为2qa M =的力偶作用。
不计各构件的自重。
求铰链D 受的力。
解先研究BC杆，受力如图（b），由0=-=∑MaFFMCxB，）（得qaFCx=CD杆受力如图（a），由∑∑=-==+=2,0)(xDyCCxDaFaqaFMFFX，解得qaFqaFqaFDDyDx25,21,==-=3-11 图示构架，由直杆BC，CD及直角弯杆AB组成，各杆自重不计，载荷分布及尺寸如图。
在销钉B上作用载荷P。
已知q、a、M、且2qaM=。
求固定端A的约束力及销钉B对BC 杆、AB杆的作用力。
解 先研究CD 杆如图（b ），由02a 0=-=∑aqa F F M Cx D ，）（ 解得 qa F Cx 21=研究BC 杆（包括销钉B ），受力如图（d ），由∑∑∑=∙-+-==-==-∙+=03213,0)(0003210y x x aa q aF aF M F M F F Y F a q F X BAxBAy A A BAy A BA A ，，解得A 处约束反力a qa P M qa P F qa F A Ay Ax )(,,+=+=-=研究销钉B 如图（e ），图中x BC F 、BCy F 是BC 杆对销钉B 的作用力,000=-+==+=∑∑P F FY F F X BCy BAyBCx BAx，解得 qa F qa F BCy BCx -=-=,213－12无重曲杆ABCD 有两个直角，且平面ABC 与平面BCD 垂直。
杆的D 端为球铰支座，A 端为轴承约束，如图所示。
在曲杆的AB 、BC 和CD 上作用三个力偶，力偶所在平面分别垂直于AB 、BC 和CD 三线段。
已知力偶矩M 2和M 3 ，求使曲杆处于平衡的力偶矩M 1和D A 、处的约束力。
解：如图所示：∑==0,0D x xF F∑=0yM ，012=⋅-d F M Az ，12d M F Az=∑=0z F ，12d M F Dz -= ∑=0zM，013=⋅+d F M Ay ，13d M F Ay-= ∑=0yF13d M F Dy =∑=0x M 0231=⋅+⋅--d F d F M Az Ay ，2123131M d dM d d M +=3－13在图示转轴中，已知：Q=4KN ，r=0.5m ，轮C 与水平轴AB 垂直，自重均不计。
试求平衡时力偶矩M 的大小及轴承A 、B 的约束反力。
解：m KN M Qr M M y∙==-=∑2,0,00,0==∑AYN Y026,0=∙-∙=∑Q N M BzxKN N BZ 34=∑==0,0BXzN M 0,0==∑AX N XKN N Q N N Z AZ BzAZ38,0,0==-+=∑3－14匀质杆AB 重Q 长L ，AB 两端分别支于光滑的墙面及水平地板上，位置如图所示，并以二水平索AC 及BD 维持其平衡。
试求（1）墙及地板的反力；（2）两索的拉力。
解：Q NZ B==∑0∑=0XM06030sin 2130sin =︒∙-︒∙-︒∙BDtg S BD Q BD N c B Q S C 144.0=∑=0YM06060sin 2160sin =︒∙+︒∙+︒∙-BDtg N BD Q BD N A B Q N A 039.0=0=∑Y 060cos =+︒-C BS SQ S B 288.0=3－14 平面悬臂桁架所受的载荷如图所示。
求杆1，2和3的内力。
解 用截面法取分离如图（b ），由4222,0)(0642,0)211=--+-∙-==---∙-=∑∑F F F F CD F F M F F F AB F F M CA （解得 F F F F 2,333.521=-=再研究节点B ，受力如图（c ）由,0sin 032=-+=∑F F FY θ，得F F 667.13-=3－15 平面桁架的支座和载荷如图所示。
ABC 为等边三角形，E ，F 为两腰中点，又AD=DB 。
求杆CD 的内力CD F 。
ED 为零杆，取BDF 研究，F CD =-0.866F3－16 桁架受力如图所示，已知kN 101=F ，kN 2032==F F 。
试求桁架4，5，7，10各杆的内力。
解 先研究整体如图（a ），由2.14260sin 5,0)(060sin ,0060cos 0321213x=---︒==︒+--==+︒-=∑∑∑aF aFaF aF F M F F F F Y F F F X BABAyBA ，解得KNF KN F KN F Ay Ay B 197.568.5,64.28=-==再用截面法取分离体如图（b ）,由cos ,00sin ,002.1,0)(87676=+++==+==-∙-=∑∑∑F F F F X F F Y aF F a F M AxAyAyEθθ解得KNF KN F KN F 35.14771.6,33.4876=-=-=最后研究节点G ，如图（c ），由0,00019810=-==-=∑∑F F Y F F X ，解得 KN F KN F 35.14,10109==3－17 平面桁架的支座和载荷如图所示，求杆1，2和3的内力。
