垂直平分线的作图方法

D
提示:
因为直线CD与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也用 这种方法作线段的中点.
回顾
思考 ２
线段的垂直平分线的 性质定理
M
定理 线段垂直平分线上的点到这
条线段两个端点距离相等.
如图, ∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点 (已知), A ∴PA=PB (线段垂直平分线上的点到这 条线段两个端点距离相等).
所作出的三角形都全等吗? 若已知等腰三角形的底及底边上的高,
你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个?
做一做
初 露 锋 芒
已知底边及底边上的高,利用尺规作等腰三角形
a
h
已知:线段a,h(如图).
求作: △ABC,使AB=AC,且BC=a,高AD=h.
你能亲自写出作法吗？
随堂练习
已知:线段a,h(如图).
N
提示:这个结论是经常用来证明点在直线上
(或直线经过某一点)的根据之一.
试一试
小 试 牛 刀
1、已知直线和直线上一点P,利用尺规作直线
的垂线,使它经过点P.
C C
●
P B
A
D
l
想 一 想
学 无 止 境
1、已知直线和直线外一点P,利用尺规作直线 的垂线,使它经过点P.
P
●
l
想一想,做一做
利用尺规作出三角 形三条边的垂直平分线.
P
C
N
B
提示:
这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.
回顾
思考 ３
线段的垂直平分线的 性质定理的逆定理
P
逆定理 到一条线段两个端点距离相等的点,在 这条线段的垂直平分线上. M 如图,

对应练习
4、公路 l 同侧的A，B两村，共同出资在公路边修建一个停靠
站C，使停靠站到A，B两村距离相等.请你确定停靠站C的位置.
解：作AB的垂直平分线，交直线 l 于点C， 则点C就是停靠
站的位置.
B村
A村
C
l
5、如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅 小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建 于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
知识拓展：
M
条件： 点在线段的垂直平分线上.
P
结论： 这个点到线段两端点的距离相等.
A
B
N
归纳总结 垂直平分线的性质：
定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
几何语言：
∵ 点 P 在线段AB的垂直平分线上 ∴ PA=PB (线段垂直平分线上的点到线段
两端的距离相等.)
知识拓展： 用线段的垂直平分线的性质可直接证明
必须要证明直线上有两点到线段两个端点的距离相等.
1、如图，在 △ABC 中，∠ACB＝90°，AD 平分 ∠BAC， DE⊥AB 于 E . 求证：直线 AD 是 CE 的垂直平分线．
证明： ∵ AD平分∠BAC ∴ ∠EAD＝∠CAD ∵ ∠ACB＝90°，DE⊥AB ∴ ∠AED＝∠ACB＝90° 在 △AED 和 △FCE 中 ∠EAD＝∠CAD ∵ ∠AED＝∠ACB AD=AD (公共边） ∴ △ADE≌△ADC (AAS）
探究新知
问题：怎样作出线段的垂直平分线？
方法一： 折叠法
通过折纸，使线段AA'的两个
端点互相重合， 得到的折痕 l就
A (A')
是线段AA'的垂直平分线.

∵AE+EC=AC,
∴BE+EC=AC.
∵AC=17，BC=16.
D
E
∴ △BCD的周长=BE+EC+BC=AC+BC=17+16=33.
练习3、如右图，△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂 直平分线ED交AC于D点. (1)当AE=13cm时，BE= cm； (2)当△BEC的周长为26cm时，则BC= cm； (3)当BC=15cm，则△BEC的周长是 cm.
C
A
O
B
线段垂直平分线的判定定理
定理 到线段两端距离相等的点在线段 的垂直平分线上.
P
几何语言 如图，
∵ PA=PB（已知）
∴点P在线段AB的垂直平分线上 （到线段两端距离相等的点在 A 线 段的垂直平分线上.）
线段垂直平分线的判定定理
B
练习1、
已知:如图,AC=AD，BC=BD， 求证：AB垂直平分CD。
E
交流与小结 本节课你学到了什么呢？
• • • • • 线段垂直平分线的折法 线段垂直平分线的画法 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线的判定 线段垂直平分线的应用
尺规作图 三角板取中点 画垂线
五、线段垂直平分线的判定
线段垂直平分线的性质定理 •线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等. • 思考：你能写出上面定理的逆命题吗？ • 它是真命题吗？如何证明呢？ 命题 到线段两端距离相等的点在 这条线段的垂直平分线上. •
<一>操作：画线段垂直平分线 方法一
尺规画法
1
①分别以点A、B为圆心，大于 ½ AB长为半径画弧交于点E、F 则直线EF就是线段AB的垂直平分 线(如图) 方法二 利用三角板过中点画垂线

16.2线段的垂直平分线 （尺规作图）
永年县第四中学 吴睿
课前回顾
M P
1.垂直平分线的定义： ∵MN是AB的垂直平分线 AD＝BD； ∴ MN⊥AB ， A D B 2.垂直平分线的性质： N ∵MN是AB的垂直平分线 ∴ PA＝PB （ 线段垂直平分线上点与这条线段两个端点的距离相等 ） 3.垂直平分线的判定： ∵PA＝PB ∴ P在AB的垂直平分线上 （ 到线段两端距 离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 ）
先分别作出不同形状的三角形,再按要求去作图.
驶向胜利 的彼岸
作线段的垂直平分线
如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？
如果两个图形成轴对 称，其对称轴是任何一对 对应点所连线段的垂直平 分线．因此，只要找到任 意一组对应点，作出对应 点所连线段的垂直平分线， 就得到此图形的对称轴．
小结
1．说说线段垂直平分线的作法； 2．画成轴对称的图形的对称轴的几种常见方 法： (1)将图形对折； (2)用尺规作图； (3)用刻度尺先取一对对称点连线的中点，然 后画垂线．
（3）由DE是BC的垂直平分线得：BD＝CD；所以AD＋CD＝ AD＋BD＝AB. （4）由（2）中式子－（1）中式子得BC＝10cm.
课堂练习
练习4 如图，过点P 画∠AOB 两边的垂线，并和 同桌交流你的作图过程． A
P O
B
独立作业
1
习题1.5
1.利用尺规作出三角形三条边的垂直平分线.
老师期望:
课堂练习
练习3：如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？ 画出它们的对称轴.
思考
两个成轴对称的图形，不经过折叠，你用什 么方法画出它的对称轴? 我们已经知道，如果两个图形关于某条直线 对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线 段的垂直平分线．因此我们只要找到这两个 图形的一对对应点，然后画出以这两个对应 点为端点的线段的垂直平分线就可以了． 提问：如何画一条线段的垂直平分线呢?

• （2）在（1）的条件下，连接AD，求证： △ABC∽△EDA．
例2
2．如图，在△ABC中，∠ABC=60°， ∠C=45°． （1）作∠ABC的平分线BD，与AC交于点D； （用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，证明：△ABD为等 腰三角形．
A
B
C
典例精析,没有直接应用五个基本 尺规作图，比较复杂的作图题
时成立。 • 4.作好图后，下结论。 • 5.作图痕迹要清晰。
• 3．如图，已知在△ABC中，AB=AC，将 △ABC沿BC翻折得到△A1BC．
（1）用直尺和圆规作出△A1BC；(保留作图 痕迹，不要求写作法和证明)
（2）请判断四边形AB A1C的形状，并证明
你例精析,没有直接应用五个基本 尺规作图，比较复杂的作图题
• 如图，已知在△ABC中，∠A＝90°。 • （1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在
例3 如图，107国道OA和320国道OB在某市相交于
点O，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个
货站P，使P到OA、OB的距离相等且PC=PD，用尺
规作出货站P的位置(不写作法,保留作图痕迹，写出
结论)．
A
O
实际作图
D
C
B
几何作图
例3的解答
E
G
P
则点P为所求作的货站位置
如何做好一道作图题
• 1.首先掌握好五个基本尺规作图 • 2.看清该题是直接作图还是间接作图题 • 3.间接作图题要综合考虑，满足多个条件同
置，并说明理由.
A
C
B
2. 如图, △ABC，在图中找一点O,使T 它到△ABC的三边距离都相等. 点O应 在何处？请在图中标出点O的位置，并 说明理由.

与1．一能条用线尺段规两作个已(端1知点)线用距段离尺的相垂等规直的平作点分，图线在．这的(难条点方线）段法的垂在直直平分线线上l上． 求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；
问题2：不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？
特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.
相同，你能确定出仓库P应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计．(尺规作图，不
写作法，保留作图痕迹) 解：如图所示：
M
A
P
O
N
B
方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的
点在两点连线的垂直平分线上.
作轴对称图形的对称轴
想一想：下图中的五角星有几条对称轴？如何作出这些对称轴呢？
2．进一步了解尺规作图的一般步骤和作图语言，理解作图的依据．
例1 如图，已知点AAB、点垂B以直及平直线分l. 线与公路的交点便是.
B
方法总结：对于轴对称图形，只要找到任意一组对称点，作出对称点所连线段的垂直平分线，即能得此图形的对称轴.
线段垂直平分线的有关作图
A
公共汽车站
问题2：不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？
线段垂直平分线的判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
应用格式： ∵ PA =PB， ∴ 点P 在AB 的垂直平分线上．A
P B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
问题1：有时我们感觉一（两）个平面图形是轴对称的，如何验证呢？
通过折叠，如果这（两）个图形能够互相重合，则这（两）个图形是轴对称的.
方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上.

(3)你对上述建议有何评论?你对选址有什么建议？
1.证明了定理:三角形三条边的垂
直平分线相交于一点,并且这一
点到三个顶点的距离相等。
c 2.已知等腰三角形的底边和底边
上的高作等腰三角形
B
aA b
PC
剪一个三角形纸片通过折叠找出每条 边的垂直平分线。 结论：三角形三条边的垂直平分线相 交于一点。
怎样证明这个 结论呢?
点拨：要证明三条直线相交于一 点，只要证明其中两条直线的交 点在第三条直线上即可
命题:三角形三条边的垂直平分线相交于一点。
已知：如图,在△ABC中,AB,BC的垂直平分线相交于点P,
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内； 直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上； 钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外。
2．已知：△ABC中，AB=AC，AD是 BC边上的中线，AB的垂直平分线 交AD于O 求证：OA=OB=OC．
证明： ∵AB=AC，AD是BC的中线， ∴AD垂直平分BC(等腰三角形底 B
1.3 线段的垂直平分线(2)
1.掌握和证明三角形的三条边的垂直平分线的性质定理。 2.已知底边和底边上的高，能用尺规作等腰三角形。
回顾 思考

1.线段的垂直平分线的性质定理和
判断定理。
A
B
2.线段的垂直平分线的作法。
D
利用尺规作三角形三条边的垂直平分线做完之后，你发 现了什么？
发现：三角形三边的垂直平分线 交于一点．这一点到三角形三个 顶点的距离相等．
求证：点P也在AC的垂直平分线上
证明：连接AP,BP,CP. A
∵点P在线段AB的垂直平分线上,
∴PA=PB
同理,PB=PC. ∴PA=PC.

第2章 三角形
2.4 线段的垂直平分线 第2课时 线段的垂直平分线的作法
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答案显示
新知笔记 1 点；线段的垂直平分线 2 垂直平分线
1D
2C
3A
43
5 见习题
6C 11 B
7C
8A
9D
10 B
12 见习题 13 见习题 14 见习题
1．作线段的垂直平分线：关键是要找出到线段两端距离相等的 ____点____ ， 其 依 据 是 到 线 段 两 端 距 离 相 等 的 点 在 _线__段__的__垂__直__平__分__线___上．
(2)测量小车从A点出发到达B点所花费的时间，如果 过了B点才停止计时，所测AB段 的平均速度vAB会偏__小__。
基础巩固练
【点拨】由题图可知，小球从 D 点运动到 F 点的路程 s＝ 12.50 cm－4.50 cm＝8.00 cm＝0.08 m，时间 t＝2×0.2 s＝ 0.4 s，速度 v＝st＝00.0.48 sm＝0.2 m/s。
能力提升练
6．[中考·江苏常州节选]某列高铁的时刻表如表所示。从上 海 至 北 京 的 全 程 时 间 为 ___4_._5___h ， 全 程 平 均 速 度 是 _3_0_0_km/h。
基础巩固练
3．[中考·广西钦州]如图所示是测量小车运动平均速度的实 验装置示意图，让小车从静止开始沿斜面向下运动，关 于小车通过前半段路程s1、后半段路程s2和全程s的平均 速度的判断，正确的是( B ) A．小车通过s1的平均速度最大 B．小车通过s2的平均速度最大 C．小车通过s1的平均速度大于通过s的平均速度 D．小车通过s2的平均速度小于通过s的平均速度
习题链接
1 8.00；0.2 2B 3B