北师大版线段的垂直平分线 PPT (2)

（2）当点P在线段AB外时，如右图所示. ∵PA=PB， ∴△PAB是等腰三角形. 过顶点P作PC⊥AB，垂足为点C， ∴底边AB上的高PC也是底边AB上的中线. 即 PC⊥AB，且AC=BC. ∴直线PC是线段AB的垂直平分线， 此时点P也在线段AB的垂直平分线上.
P
A
C
B
归纳总结 1．判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上． 2．条件：点到线段两端点距离相等； 3．结论：点在线段垂直平分线上． 4．几何语言：如图，∵PA＝PB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上． 5．作用： ①作线段的垂直平分线的根据； ②可用来证线段垂直、相等．
第一章 三角形的证明 3.线段的垂直平分线
情境导入
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头， 使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?
学习目标
1.探索证明线段垂直平分线的性质和判定. 2.能运用线段垂直平分线性质和其判定解决实际问题. 3.经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，进一步体会证明的 必要性，增强证明意识和能力，发展推理能力.
2．作用：可用来证明两线段相等．
随堂练习
1.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为
E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，则BC的长为( C )
A. 5cm
B.10cm
C. 15cm
D. 17.5cm
解析：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm， 又∵DE垂直平分AB， ∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm. ∵AC＝AD＋DC＝20cm， ∴BC＝35－20＝15(cm).
我有哪些收获呢？ 与大家共分享！
课堂总结

新知探究
练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB 的垂直平分线，点P 为直线CD上的一
点，且PA=5，则线段PB 的长为（ B）
A. 6
B. 5
C. 4
C
P
D. 3
A
D E
A 图① D
B
B
C
图②
2.如图②所示，在△ABC 中，BC=8cm，边AB 的垂直平分线交AB 于点D，交
边AC 于点E, △BCE 的周长等于18cm，则AC的长是10cm .
课堂小结
线段的垂直 平分的性质
和画法
性质 画法
内容
线段的垂直平分线上的点到线 段的两个端点的距离相等 .
作 用 见垂直平分线，得线段相等 .
1、分别以线段的两个端点为圆心，以大于 二分之一线段的长为半径作弧，两弧在线 段两侧交于两点； 2、连接两个交点，即可作出所求线段的垂 直平分线 .
课堂小测
P2
P1
A
B
P3A _＝___ P3B
l
新知探究
猜想：点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 由此你能得到什么结论？ 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 你能验证这一结论吗？
新知探究
验证结论 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在直线l 上． 求证：PA =PB．
D.三边垂直平分线的交点
课堂小测
3.已知线段AB，在平面上找到三个点D，E，F，使DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，
这样的点的组合共有 无数 种. 4.下列说法： ①若点P，E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有 ① ② ③ （填序号）.

4.判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 垂直平分
线 上.
几何语言：
∵ AP＝BP ，
⁠
∴点P在AB的垂直平分线上．
⁠
5.如图，直线PO与AB交于点O，PA＝PB，则下列结论中正确的是
（D）
A.AO＝BO
B.PO⊥AB
C.PO是AB的垂直平分线
D.点P在AB的垂直平分线上
例2
如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，且OB＝
∠ = ∠，
证明：在△ABM和△ABN中， = ，
∠ = ∠，
∴△ABM≌△ABN( ASA )．
∴AM＝AN，BM＝BN.
∴点A，B都落在MN的垂直平分线上．
∴AB垂直平分MN.
7．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分
线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12.
点．已知PA＝4，则线段PB的长为 4 ．
⁠
2．如图，若AC＝AD，BC＝BD，则（ B ）
A．CD垂直平分AB
B．AB垂直平分CD
C．CD平分∠ACB
D．以上均不对
3．如图，AD⊥BC于点D，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，
则AB，AC，CE的长度关系为（ D ）
A．AB＞AC＝CE
B．AB＝AC＞CE
数学(RS版)
八年级下册
第一章 三角形的证明
第7课
线段垂直平分线的性质与判定
新课学习
线段垂直平分线的性质
1.性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 相等 ．
⁠
几何语言：
∵CD是AB的垂直平分线，
∴ AC＝BC ．

所以 AC = CE．所以 AB = AC = CE．
所以 AB + BD = CE + DC，即 AB + BD = DE.
3.如图，A，B，C 三点表示三个工厂，现要建一供
水站，使它到这三个工厂的距离相等，请在图中标
出供水站的位置 P，并说明理由.
A
●
提示：连接 AB，AC，分别
作 AB，AC 的垂直平分线， B
线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( B )
A. 6
B. 5
C
C. 4
D. 3
P
A
D
B
2. 如图，AB 是△ABC 的一条边，DE 是 AB 的垂直平 分线，垂足为 E，并交 BC 于点 D，已知 AB = 8 cm， BD = 6 cm，那么 EA =___4__cm，DA =___6__cm.
A
D E
B
C
2. 如图，AD⊥BC，BD = DC，点 C 在 AE 的垂直
平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？
AB + BD 与 DE 有什么关系？
A
解：因为 AD⊥BC，BD = DC，
所以 AD 是 BC 的垂直平分线.
所以 AB = AC．
B DC
E
因为点 C 在 AE 的垂直平分线上，
2
两弧相交于点 C 和 D；
A•
B•
•D
2. 作直线 CD．直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线.
做一做
利用尺规作如图所示的 △ABC 的重心.
•
三角形的三条中线交于一点，
这点称为三角形的重心.
C
•
A

探究新知
归纳总结
定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点， 并且这一点到三个顶点的距离相等.
点P称为三角形的外心 几何语言：
在△ABC中，
c
∵a，b，c分别是BC，AC，AB的垂直平分线，
B
∴a，b，c相交于点P，且PA=PB=PC.
A
b P
a
C
探究新知
例.在联欢晚会上，三名同学站在一个非等边三角形的三个顶点A， B，C位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个凳子， 谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，凳子(用点P表示)应放在哪 个位置？请用尺规作图找出点P.
随堂练习
2. 如图，D是线段AC，AB的垂直平分线的交点，若∠ACD＝ 30°，∠BAD＝50°，则∠BCD的大小是( A ) A．10° B．20° C．30° D．40°
随堂练习
3.如图,已知线段a,h,作等腰三角形ABC,使AB=AC,且BC=a,BC边
上的高AD=h.张红的作法是:(1)作线段BC=a;(2)作线段BC的垂直
△ABC为所求作的等腰三角形.
注意：点A关于BC的对称点A′也符合题意.
A BD C
探究新知
已知直线l和l上一点P，利用尺 规作l的垂线，使它经过点P .
m
如果点P在直线l外呢？ m
P
A
P
l B
l
A
B
随堂练习
1.三角形三边的垂直平分线的交点( B ) A.到三角形三边的距离相等 B.到三角形三个顶点的距离相等 C.到三角形三个顶点与三条边的距离相等 D.不能确定
新课标 北师大版 八年级下册
第一章 三角形的证明 1.3.2线段的垂直平分线（2）
学习目标

第一章 三角形的证明
第一章 三角形的证明
1.3线段的垂直平分线（第2课时）
学习目标
1.掌握和证明三角形的三条边的垂直平分线的性 质定理。（重点） 2.已知底边和底边上的高，能用尺规作等腰三角 形。（难点）
知识回顾
用尺规作线段的垂直平分线.
已知:线段AB,（如图）. 求作:线段AB的垂直平分线.
作法： 1.分别以点A和B为圆心,以大于 AB 长为半径作弧,两弧交于点C和D. 2
6.如果三角形三条边的中垂线的交点在三角形
的外部，那么，这个三角形是（ C ）
A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形
7.底边AB=a的等腰三角形有___无__数____个，符合条件 的顶点C在线段AB的__垂__直__平__分__线____上．
8.①线段垂直平分线上任一点到线段两端距离相
如图,在△ABC中,
∵c,a,b分别是AB,BC,AC的垂直平分线
c
∴c,a,b相交于一点P,且PA=PB=PC
B
aA b
P C
合作探究
分别作出直角三角形、锐角三角形、钝 角三角形三边的垂直平分线，说明交点分别在 什么位置.
锐角三角形三边的垂直平分线交点在三角形内； 直角三角形三边的垂直平分线交点在斜边上； 钝角三角形三边的垂直平分线交点在三角形外。
等；②线段上任一点到垂直平分线两端距离相等；
③经过线段中点的直线只有一条；④点P在线段AB
外且PA=PB，过P作直线MN，则MN是线段AB的垂直平
分线；⑤过线段上任一点可以作这条线段的中垂线.
正确的有（ A ）
A.1个 B.2个
C.3个
D.4个
9.在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与边AC所 在的直线相交所成锐角为50°，△ABC的底角∠B 的大小为___2_0°_或__7_0_°__

（2）由结论想到哪个定理？
D
Байду номын сангаас
E P
B
C
线段垂直平分线的性质的逆定理
证明：连接PA、PB、PC.
∵ 点P在AB、AC的垂直平分线上（已知）
A
∴ PA＝PB，PA＝PC
D
（线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等） B
∴ PB＝PC（等量代换）
E P
C
∴ 点P在BC的垂直平分线上（与线段两端距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上)
∴AB=CE． ∴AB=AC=CE．
B DC
E
∵BD=DC，∴AB+BD=CE+DC=DE.
变式练习2 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、 BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F. 求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
解析：(1)根据AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再
变式练习1 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平分线上， AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
解：AB=AC=CE ;AB+BD=DE .理由如下：
∵ AD⊥BC，BD =DC，
∴AD 是BC 的垂直平分线，
A
∴AB=AC．
∵点C 在AE 的垂直平分线上，
解： ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5. (1)∵△BCD的周长为8， ∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3. (2)∵BC＝4， ∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.
【名师点睛】本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD的长 转化成AD的长，从而把未知的BD与CD的长度和转化成已知的线段AC 的长．本题中AC的长、BC的长及△BCD的周长三者可互相转化，已知两 个即可求得第三个．

第2章 三角形
2.4 线段的垂直平分线 第2课时 线段的垂直平分线的作法
提示：点击 进入习题
答案显示
新知笔记 1 点；线段的垂直平分线 2 垂直平分线
1D
2C
3A
43
5 见习题
6C 11 B
7C
8A
9D
10 B
12 见习题 13 见习题 14 见习题
1．作线段的垂直平分线：关键是要找出到线段两端距离相等的 ____点____ ， 其 依 据 是 到 线 段 两 端 距 离 相 等 的 点 在 _线__段__的__垂__直__平__分__线___上．
(2)测量小车从A点出发到达B点所花费的时间，如果 过了B点才停止计时，所测AB段 的平均速度vAB会偏__小__。
基础巩固练
【点拨】由题图可知，小球从 D 点运动到 F 点的路程 s＝ 12.50 cm－4.50 cm＝8.00 cm＝0.08 m，时间 t＝2×0.2 s＝ 0.4 s，速度 v＝st＝00.0.48 sm＝0.2 m/s。
能力提升练
6．[中考·江苏常州节选]某列高铁的时刻表如表所示。从上 海 至 北 京 的 全 程 时 间 为 ___4_._5___h ， 全 程 平 均 速 度 是 _3_0_0_km/h。
基础巩固练
3．[中考·广西钦州]如图所示是测量小车运动平均速度的实 验装置示意图，让小车从静止开始沿斜面向下运动，关 于小车通过前半段路程s1、后半段路程s2和全程s的平均 速度的判断，正确的是( B ) A．小车通过s1的平均速度最大 B．小车通过s2的平均速度最大 C．小车通过s1的平均速度大于通过s的平均速度 D．小车通过s2的平均速度小于通过s的平均速度
习题链接
1 8.00；0.2 2B 3B

已知：如图，AC=BC，MN⊥AB，P是MN上任 意一点. 求证：PA=PB．
证明：∵MN⊥AB，
M P
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC，
A
C
B
∴△PCA≌△PCB（SAS）；
N
∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）．
讲授新课
性质定理：线段垂直平分线上的点到 这条线段的两端点的距离相等．
比一比：你的写作过程完整吗？
巩固训练
讲授新课
3. 已知：如图AB=AC，BD=CD， P是AD上一点，
求证：PB=PC．
本题综合运用了线段垂 直平分线的性质定理和
B
判定定理，认真写出过
程哦！
A P
C D
巩固训练
3.已知：如图，AB=AC，BD=CD，P是AD上一点。
求证：PB=PC
证明：
∵AB=AC
∴A在线段BC的垂直平分线上
∵BD=CD
∴ D在线段BC的垂直平分线上
∴ AD是线段BC的垂直平分线
B
∵P是AD上一点
∴PB=PC。
A P
C D
归纳小结
1.线段垂直平分线的定理及证明 2.线段垂直平分线的逆定理及证明 3.两个定理之间的区别与联系
再见
1、只要有坚强的意志力，就自然而然地会有能耐、机灵和知识。2、你们应该培养对自己，对自己的力量的信心，百这种信心是靠克服障碍，培养意志和锻炼意志而获得的。 3、坚强的信念能赢得强者的心，并使他们变得更坚强。4、天行健，君子以自强不息。5、有百折不挠的信念的所支持的人的意志，比那些似乎是无敌的物质力量有更强大 的威力。6、永远没有人力可以击退一个坚决强毅的希望。7、意大利有一句谚语：对一个歌手的要求，首先是嗓子、嗓子和嗓子……我现在按照这一公式拙劣地摹仿为：对 一个要成为不负于高尔基所声称的那种“人”的要求，首先是意志、意志和意志。8、执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。9、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 10、发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志，并把研究继续下去。11、我的本质不是我的意志的结果， 相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。12、公共的利益，人类的福利，可以使可憎的工作变为可 贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。13、立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。14、意志的出现不是对愿 望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识水平上。15、无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。16、即使 遇到了不幸的灾难，已经开始了的事情决不放弃。17、最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。18、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下 去。19、意志若是屈从，不论程度如何，它都帮助了暴力。20、有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。21、意志坚强，就会战胜恶运。22、只有刚强的人，才有神 圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。23、卓越的人的一大优点是：在不利和艰难的遭遇里百折不挠。24、疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。25、能 够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。26、钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中 锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。27、只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。28、立志不坚，终不济事。29、功崇惟志，业广惟勤。30、一个崇高 的目标，只要不渝地追求，就会居为壮举；在它纯洁的目光里，一切美德必将胜利。31、书不记，熟读可记；义不精，细思可精；惟有志不立，直是无着力处。32、您得相 信，有志者事竟成。古人告诫说：“天国是努力进入的”。只有当勉为其难地一步步向它走去的时候，才必须勉为其难地一步步走下去，才必须勉为其难地去达到它。33、 告诉你使我达到目标的奥秘吧，我唯一的力量就是我的坚持精神。34、成大事不在于力量的大小，而在于能坚持多久。35、一个人所能做的就是做出好榜样，要有勇气在风 言风语的社会中坚定地高举伦理的信念。36、即使在把眼睛盯着大地的时候，那超群的目光仍然保持着凝视太阳的能力。37、你既然期望辉煌伟大的一生，那么就应该从今 天起，以毫不动摇的决心和坚定不移的信念，凭自己的智慧和毅力，去创造你和人类的快乐。38、一个有决心的人，将会找到他的道路。39、在希望与失望的决斗中，如果 你用勇气与坚决的双手紧握着，胜利必属于希望。40、富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈。41、生活的道路一旦选定，就要勇敢地走到底，决不回头。42、生命里最重 要的事情是要有个远大的目标，并借助才能与坚持来完成它。43、事业常成于坚忍，毁于急躁。我在沙漠中曾亲眼看见，匆忙的旅人落在从容的后边；疾驰的骏马落在后头， 缓步的骆驼继续向前。44、有志者事竟成。45、穷且益坚，不坠青云之志。46、意志目标不在自然中存在，而在生命中蕴藏。47、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。 48、思想的形成，首先是意志的形成。49、谁有历经千辛万苦的意志，谁就能达到任何目的。50、不作什么决定的意志不是现实的意志；无性格的人从来不做出决定。我终 生的等待，换不来你刹那的凝眸。最美的不是下雨天，是曾与你躲过雨的屋檐。征服畏惧、建立自信的最快最确实的方法，就是去做你害怕的事，直到你获得成功的经验。 真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。生活真象这杯浓酒，不经三番五次的提炼呵，就不会这样可口！人格的完善是本，财富的确立是末能力可以慢 慢锻炼，经验可以慢慢积累，热情不可以没有。不管什么东西，总是觉得，别人的比自己的好！只有经历过地狱般的折磨，才有征服天堂的力量。只有流过血的手指才能弹 出世间的绝唱。对时间的价值没有没有深切认识的人，决不会坚韧勤勉。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。不要因为寂寞而恋爱，孤独是为了幸福而 等待。每天清晨，当我睁开眼睛，我告诉自己：我今天快乐或是不快乐，并非由我所遭遇的事情造成的，而应该取决于我自己。我可以自己选择事情的发展方向。昨日已逝，

M P
C N
B
PCA=PCB（已证）
PC=PC（公共边）
∴△PCA≌△PCB（SAS） ∴PA=PB（全等三角形的对应边相等）
定理：
线段垂直平分线上的点到 线段两端点的距离相等
几何语言： ∵AC=BC,MN⊥AB ∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条
线段两个端点距离相等).
பைடு நூலகம்
M
P
A
●
C
B
N
线段垂直平分线上的点到这 条线段两端点的距离相等
1.汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？ 它的最高时速是多少？ 答：汽车从出发到最后停止共经过了24分钟， 汽车的最高时速是90千米/时。
2.汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是少 答：出发后，在2分到6分，18分到22分之间汽 车匀速行驶，速度分别是30千米/时和90千米/时。
3.出发后8分到10分之间可能发生了什么情况？ 答：出发后8分到10分速度为0，所以汽车是静止的， 可能是遇到了红灯，也可能停下来买早点等。
y
o
x
A
B
C
D
1.洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水 、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗 衣机中的水量y（升）与时间x（分钟）之间满足某 种函数关系，其函数图象大致为（ D ）
通过今天的学习，你有什 么收获和体会？
2.水滴进的玻璃容器如下图所示（水滴的速
度是相同的），那么水的高度 h 是如何随着 时间 t 变化的，请选择匹配的示意图与容器。
15min ； 回家用的时间为_______
900
距离/m
0
20
40
55 时间/min
（3）小明去小亮家和由小亮家回家的步行 速度各是多少？