最值与范围(教师)

（1）如果两个正整数的和一定，那么这两个正整数的差越小，它们的乘积越大；两个正整数的差越大，它们的乘积越小。

（2）如果两个正整数的乘积一定，那么这两个正整数的差越小，那么它们的和也越小；两个正整数的差越大，那么它们的和也越大。

（3）把一个正整数分拆成若干个正整数之和，如果要使这若干个正整数的乘积最大，这些正整数应该都是2或3，且2最多不要超过两个。

（4）遇到一些其他类似的问题，求最大或最小还要根据实际的条件解决问题。

a 、b 是1,2,3，…，99,100中两个不同的数，求）－（）（b a b a ÷+的最大值。

（四年级培优底稿） 分析：要使ba b a -+的值最大，必须让分母最小，分子最大。

可以判断出b a -的最小值应是1，即a 、b 是两个连续自然数；b a +的最大值是199，即100=a ,99=b 。

解：当100=a ,99=b 时，b a b a -+有最大值1999910099100=-+。

（题中a 、b 是两个变量，通过对它们的控制，使得分数的分子最大，分母最小，从而确保分数的值最大。

考察了极端情形的方法）难度系数：Aa 、b 是5,7,9,…,195,197,199中两个不同的数，求(b a +)-(b a -)的最大值。

（底稿） 分析：要使(b a +)-(b a -)的值最大，必须让被减数最大，减数最小。

可以知道b a +的最大值是197+199=396，b a -的最小值是2。

即199=a ,197=b 。

解：当199=a ,197=b 时，(b a +)-(b a -)有最大值 ()()394197199197199=--+ 难度系数：A“12345678910111213……484950”是一个位数很多的多位数，从中划去80个数字，使剩下的数字（先后顺序不变）组成一个多位数，问这个多位数最大是多少？（三年级竞赛底稿）解析：首先注意观察这个多位数，它是由1至50的连续自然数排列而成的，共有数字1×9+2×41=91（个），划去80个数字，剩下的将是一个11位数。

第5讲 三角形中的范围（最值）问题 江苏省扬州中学 张慧玲知识储备：1、 三角形的任意两边之和大于第三边2、 三角形的内角和等于π3、正弦定理CcB b A a sin sin sin ==4、余弦定理A bc c b a cos 2222-+= 5、大边对大角，小边对小角6、求基本不等式、函数(三角函数)最值的方法课本溯源[苏教版教材必修5 第24页思考与运用第7题]问题探究：如图，已知A ∠为定角，Q P ,分别在A ∠的两边上，PQ 为定长.当Q P ,处于什么位置时，APQ ∆面积最大？问题1：在△ABC 中，若2=c ，3π=C ，则ABC S ∆最大值？思考1ab C ab S ABC43sin 21==∆思考2：h h c S ABC=⋅=∆21思路1.通过引入边元，转化为不等式或函数问题思路2.通过引入角元，利用正余弦定理转化为三角函数问题 思路3.利用数形结合的思想求最值 你还能想到研究那些量的最值或范围？ 变1.△ABC 的周长最大值？分析：法1：角元法2)sin (sin 22++=++=++B A R b a c b a3,2π==C AB 解：由正弦定理得：R B b A a C c 234232sin sin sin =====))32sin((sin 34)sin (sin 2A A B A R b a -+=+=+∴π=)6sin(4)sin 23cos 234π+=+A A A （ )32,0(π∈A )65,0(6ππ∈+A ]1,0()6sin(∈+∴πA ]4,0()6sin(4∈+=+∴πA b a]6,2(∈++∴c b a法2.“边元”，由余弦定理：ab b a C ab b a c -+=-+==22222cos 24 目标b a +五遇五想：遇多元想统一 ab b a ab b a 3)(222-+=-+22)2(3)(b a b a +-+≥ 2)(414b a +≥∴ 4≤+∴b a ]6,2(∈++∴c b a 变2.在△ABC 中，若AB ＝2，6π=C ，则BC AC 3+最大值？分析：)sin 3(sin 23A B R a b +=+“角元”RC c 24212sin ===解：由正弦定理得：=-+=+=+∴))65sin(sin 3(4)sin 3(sin 23A A A B R a b π)sin(74)sin 233cos 214ϕ+=+=A A A （74≤其中14213cos ,147sin ==ϕϕ 真题感悟问题2.（2018北京，2019南师附中） 在△ABC 中，已知)43222b c a S ABC -+=∆（，且C 为钝角，则ac 的取值范围? 析：ac acb c a b c a S ABC⋅-+=-+=∆223)43222222（ B ac B ac cos 23sin 21⋅⋅=∴ 33tan π=⇒=∴B BC 为钝角)6,0(2ππ∈∴<+∴A B A )31,0(tanA ∈∴ 2212321tan 23sin cos 23sin 21sin )3sin(sin )sin(sin sin =+>+=+=+=+==∴A AAA A A AB A AC a c π ),2(+∞∈∴ac问题3.(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，△ABC ＝120°，BD 是△ABC 的平分线，交AC 于点D ，且BD ＝1，求4a ＋c 的最小值？ 解法1（角元）设∠BDC ＝θ，易得60°<θ<120°， 在△BDC 中，BC sin θ＝BD sin C，因为BD ＝1，sin C ＝sin (θ＋60°)，所以a ＝sin θsin （θ＋60°），同理c ＝sin θsin （θ－60°）.所以4a ＋c ＝4sin θsin （θ＋60°）＋sin θsin （θ－60°）＝4sin θ12sin θ＋32cos θ＋sin θ12sin θ－32cos θ＝81＋3tan θ＋21－3tan θ≥（22＋2）2（1＋3tan θ）＋（1－3tan θ）＝9.当且仅当22(1－3tan θ)＝2(1＋3tan θ)时取等号，即tan θ＝33时4a ＋c 取最小值9.解法2边元：由S △ABD ＋S △CBD ＝S △ABC ，得12c·1·sin 60°＋12a·1·sin 60°＝12ac sin 120°，所以，a ＋c ＝ac.即1a ＋1c ＝1.所以4a ＋c ＝(4a ＋c)(1a ＋1c )＝5＋c a ＋4ac ≥5＋2c a ·4ac＝9. 当且仅当c ＝2a 即a ＝32，c ＝3取等号，所以4a ＋c 的最小值为9.解法3（坐标法）以B 为坐标原点，BC 为x 轴正方向，建立平面直角坐标系，则A 落在第二象限， 设直线AC 的方程为y －32＝k(x －12)，其中－3<k<0， 令y ＝0得x C ＝k －32k >0，即a ＝k －32k ，由于直线BA 的方程为y ＝－3x 代入y －32＝k(x －12)，解得x A ＝k －32（k ＋3）<0， 所以c ＝－2x A ＝3－k（k ＋3）>0，BACD则4a ＋c ＝2（k －3）k ＋3－k 3＋k ＝1＋23(1－k ＋1k ＋3)≥1＋23×（1＋1）2－k ＋k ＋3＝9.当且仅当－k·1＝(k ＋3)·1，即k ＝－32时取等号， 所以4a ＋c 的最小值为9.解法4（平几法）如图作DE ∥AB 交BC 点E ，为所以∠EDB ＝∠DBA ＝∠DBE ＝60°，因为BD ＝1，所以△BDE 是边长1的正三角形，CE CB ＝DEAB ，即a －1a ＝1c，变形得a ＋c ＝ac ，变形得44a ＋1c＝1.于是1＝44a ＋1c ≥（2＋1）24a ＋c，解得4a ＋c ≥9，当且仅当4a ＝2c ，当且仅当c ＝2a 即a ＝32，c ＝3时取等号，所以4a ＋c 的最小值为9.方法形成1. 边角转化2. 元的个数3. 最值视角考题导航例1 .在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c.若a 2＋b 2＋2c 2＝8，则△ABC 面积最大值为________．解析：方法一：由题设得c 2＝4－12(a 2＋b 2)，从而cos C ＝a 2＋b 2－4＋12（a 2＋b 2）2ab ＝32（a 2＋b 2）－42ab ≥3ab －42ab ＝32－2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，所以S ＝12ab sin C ＝12ab·1－cos 2C ≤12ab·1－⎝⎛⎭⎫32－2ab 2，平方得S 2≤－5a 2b 216＋32ab －1＝－516⎝⎛⎭⎫ab －1252＋45， 当ab ＝125时，S 2max ＝45，故S max ＝255. 方法二：由三角形面积公式可得S ＝12ab sin C ，即S 2＝14a 2b 2(1－cos 2C)，即S 2＝14a 2b 2[1－⎝⎛⎭⎫a 2＋b 2－c 22ab 2]．因为a 2＋b 2＋2c 2＝8，所以a 2＋b 2＝8－2c 2， 所以S 2＝14a 2b 2[1－⎝⎛⎭⎫8－3c 22ab 2]＝14a 2b 2－（8－3c 2）216≤（a 2＋b 2）216－（8－3c 2）216＝－516c 4＋c 2， 当且仅当a ＝b 时，等号成立．当c 2＝85时，－516c 4＋c 2取得最大值45，所以S max ＝255.方法三：取线段AB 的中点为原点、线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系xOy.设A(－m ，0)，B(m ，0)，C(x ，y)，则8m 2＋(x －m)2＋y 2＋(x ＋m)2＋y 2＝8，化简得x 2＋y 2＋5m 2＝4，不妨设y>0，又S ＝12·2m ||y ＝my ，从而x 2＋y 2＋5·S 2y2＝4，于是由基本不等式得25S ≤y 2＋5·S 2y 2＝4－x 2≤4，故S max ＝255.【点评】学生容易想到的方法，主要是方法一和方法二，其实质是化为边的函数．变式 ：已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c.若△ABC 的面积是12c 2，则a 2＋b 2＋c 2ab 的最大值为________．解析：因为在△ABC 中，S ＝12ab sin C ＝12c 2，所以c 2＝ab sin C ．由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，所以a 2＋b 2＝c 2＋2ab cos C ， 所以a 2＋b 2＋c 2ab ＝2c 2＋2ab cos C ab ＝2sin C ＋2cos C ＝22sin ⎝⎛⎭⎫C ＋π4， 所以当C ＝π4时，a 2＋b 2＋c 2ab取得最大值2 2.【点评】本题考查了余弦定理，正弦函数的图象与性质，属于中档题．例2 . 在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________． 解析：方法一：由sin A ＝2sin B sin C ，A ＝π－B －C ，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ， 因为三角形ABC 是锐角三角形，cos B ≠0，cos C ≠0，所以tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ．tan A tan B tan C ＝tan (π－B －C)tan B tan C ＝－tan B ＋tan C1－tan B tan C×tan B tan C ，由tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，得tan A tan B tan C ＝－2（tan B tan C ）21－tan B tan C，令tan B tan C ＝t ，因三角形ABC 是锐角三角形，tan A>0，tan B>0，tan C>0， 所以t>1，所以tan A tan B tan C ＝2t 2t －1＝21t －⎝⎛⎭⎫1t 2＝2－⎝⎛⎭⎫1t －122＋14≥8， 当且仅当t ＝2时取等号，此时tan B ＝2＋2，tan C ＝2－2，tan A ＝4或tan B ＝2－2，tan C ＝2＋2，tan A ＝4.方法二：由方法一得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C ，从而目标函数tan A tan B tan C ＝tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ＋2tan B tan C ≥22tan A tan B tan C ， 令t ＝tan A tan B tan C ，则t ≥22t ，解得 t ≥22，即tan A tan B tan C ≥8. 方法三(切化弦)：由sin A ＝2sin B sin C ，知sin B·sin C ＝12sin A ，因为cos A ＝－cos (B ＋C)＝－cos B cos C ＋sin B sin C ， 所以cos B cos C ＝sin B sin C －cos A ＝12sin A －cos A ，从而tan A tan B tan C ＝sin A sin B sin C cos A cos B cos C ＝sin 2A 2cos A cos B cos C ＝sin 2Acos A （sin A －2cos A ）＝tan 2A tan A －2＝tan A －2＋4tan A －2＋4≥8，当且仅当tan A ＝4时取等号．变式： 若不等式k sin 2B ＋sin A sin C>19sin B sin C 对任意△ABC 都成立，则实数k 的最小值为________．解析：因为k sin 2B ＋sin A sin C>19sin B sin C ，由正弦定理知kb 2＋ac>19bc ，即k>19bc －ac b 2，又19bc －ac b 2＝c b ⎝⎛⎭⎫19－a b ， 因为c<a ＋b ，所以c b <1＋a b ，即c b (19－ab )<⎝⎛⎭⎫1＋a b ⎝⎛⎭⎫19－a b ≤⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1＋a b ＋⎝⎛⎭⎫19－a b 24＝100， 当且仅当ab＝9时取得等号． 课堂小结第5讲 三角形中的范围（最值）问题（巩固练习5）1.在△ABC 中，已知2222c b a =+，求C cos 的最小值_______.2.在△ABC 中，已知C B A sin 2sin 2sin=+，求C cos 的最小值为_______.3. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对边的长，sin A sin B cos C ＝sin C sin A cos B ＋sin B sin C cos A ，则abc 2的最大值为________．4.在△ABC 中，BC 边上的高AD ＝BC ，角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c ，则b c ＋cb 的取值范围是__________．5. 在斜三角形ABC 中，若1tan A ＋1tan B ＝4tan C，则sin C 的最大值为________．6.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，设△ABC 的面积为S ，若3a 2＝2b 2＋c 2，则Sb 2＋2c 2的最大值为________．7.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足a sin A －4b sin C ＝0，A 为锐角，则sin B ＋sin C2sin A 的取值范围为__________．8.已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋2bc sin A ，0<A<π2，则tan A －4tanB 的最小值为________．9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2(tan A ＋tan B)＝tan A cos B ＋tan Bcos A. (1) 求证：a ＋b ＝2c ； (2) 求cos C 的最小值．10.已知锐角三角形A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于钝角三角形A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，其中A 2>π2，若B 2C 2＝1，求22A 2B 2＋3A 2C 2的最大值？1.21解析:212222cos 2222222=≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-+=-+=ab ab ab b a b a ab c b a C ，当且仅当b a =取等号.2.42-6 析：S1:统一“边”c b a C B A 22sin 2sin 2sin=+⇒=+（正弦定理）abc b a C 2cos 222-+=（余弦定理） S2:统一“元”abab b ab b a b a ab c b a C 82223a 2222cos 22222222-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+= S3；基本不等式求解822-6282223a cos 22≥-+=ab ab b C 3.32解析：由正余弦定理及已知条件得ab·a 2＋b 2－c 22ab ＝ac·a 2＋c 2－b 22ac ＋bc·c 2＋b 2－a 22bc ，化简得a 2＋b 2＝3c 2，则abc 2＝3aba 2＋b 2≤3ab 2ab ＝32.4.[]2，5解析：因为b>0，c>0，所以b c ＋c b ≥2，当且仅当b ＝c 时取等号，即b c ＋c b 的最小值为2.又S ＝12bc sin A ＝12a·AD＝12a 2，所以a 2bc ＝sin A ．由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以b c ＋c b ＝b 2＋c 2bc ＝b 2＋c 2－a 2bc ＋a 2bc ＝2cos A ＋sin A ＝5sin (A ＋φ)≤5，综上可得b c ＋cb 的取值范围是[]2，5.5.223解析：由1tan A ＋1tan B ＝4tan C ，切化弦可得sin B cos A ＋cos B sin A sin A sin B ＝4cos C sin C ，即sin （B ＋A ）sin A sin B ＝4cos C sin C ，即sin 2C ＝4sin A sin B cos C ．根据正弦定理及余弦定理可得c 2＝4ab·a 2＋b 2－c 22ab，整理得2(a 2＋b 2)＝3c 2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝a 2＋b 2－23a 2－23b 22ab ＝13（a 2＋b 2）2ab ≥13，当且仅当a ＝b 时，等号成立，则sin C ＝1－cos 2C≤1－19＝223，即sin C 的最大值为223. 6.1424解析：由题得3a 2＝3b 2－b 2＋3c 2－2c 2，所以b 2＋2c 2＝3()b 2＋c 2－a 2＝6bc cos A ，所以S b 2＋2c 2＝12bc sin A 6bc cos A ＝112tan A ．由题得a 2＝2b 2＋c 23，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝b 2＋c 2－2b 2＋c 232bc ＝b 2＋2c 26bc ≥22bc 6bc ＝23，所以tan A＝1cos 2A －1≤92－1＝142，当且仅当b ＝2c 时取等号，所以S b 2＋2c2的最大值为1424. 7. ⎝⎛⎭⎫64，22 解析：由a sin A －4b sin C ＝0，结合正弦定理可得a 2＝4bc ，且sin B ＋sin C 2sin A ＝b ＋c 2a ，因为A 为锐角，所以0<cos A<1，即0<b 2＋c 2－a 22bc <1，所以0<b 2＋c 2－4bc2bc <1，所以0<b 2＋c 2－4bc<2bc ，6bc<b 2＋c 2＋2bc<8bc ，所以6<（b ＋c ）2bc <8，即616<（b ＋c ）216bc <816，616<（b ＋c ）24a 2<816，据此可得64<b ＋c 2a <22，则sin B ＋sin C 2sin A 的取值范围为⎝⎛⎭⎫64，22.8. －12解析：由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 及a 2＝b 2＋2bc sin A 得c 2－2bc cos A ＝2bc sin A ，即c －2b cos A ＝2b sin A ，再由正弦定理，得sin C －2sin B cos A ＝2sin B sin A ，即sin (A ＋B)－2sin B cos A ＝2sin B sin A ，即sin A cos B －cos A sin B ＝2sin B sin A ，所以tan A －tan B ＝2tan A tan B ，所以tan B ＝tan A2tan A ＋1，所以tan A－4tan B ＝tan A －4tan A 2tan A ＋1＝12(2tan A ＋1)＋22tan A ＋1－52≥212（2tan A ＋1）×22tan A ＋1－52＝－12，当且仅当12(2tan A ＋1)＝22tan A ＋1，即tan A ＝12时，取等号，所以tan A －4tan B 的最小值为－12.9. 解析：(1) 由题意知2⎝⎛⎭⎫sin A cos A ＋sin B cos B ＝sin A cos A cos B ＋sin Bcos A cos B ，化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A)＝sin A ＋sin B ，即2sin (A ＋B)＝sin A ＋sin B. 因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin (A ＋B)＝sin (π－C)＝sin C ， 所以sin A ＋sin B ＝2sin C. 由正弦定理得a ＋b ＝2c. (2) 由(1)知c ＝a ＋b2，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋b 2－⎝⎛⎭⎫a ＋b 222ab＝38(a b ＋b a )－14≥12， 当且仅当a ＝b 时，等号成立，故cos C 的最小值为12.10. 10解析：因为锐角△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于钝角△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，所以不妨设cos A 1＝sin A 2，cos B 1＝sin B 2，cos C 1＝sin C 2，又A 2为钝角，所以B 2，C 2为锐角，结合诱导公式可知A 2＝A 1＋90°，B 2＝90°－B 1，C 2＝90°－C 1，由三角形内角和定理得A 2＋B 2＋C 2＝(A 1＋90°)＋(90°－B 1)＋(90°－C 1)＝A 1＋B 1＋C 1＝180°，所以A 1＝45°，A 2＝135°，因为B 2C 2＝1，所以由正弦定理得c 2sin （45°－B 2）＝b 2sin B 2＝122＝2，所以b 2＝2sin B 2，c 2＝2sin (45°－B 2)，所以22A 2B 2＋3A 2C 2＝22c 2＋3b 2＝4sin (45°寒假名师课程 高三数学 －B 2)＋32sin B 2＝4⎝⎛⎭⎫22cos B 2－22sin B 2＋32sin B 2＝22cos B 2＋2sin B 2＝10sin (B 2＋φ)≤10(其中tan φ＝2)．。

研究含参函数的极值与最值问题（1）一、课堂目标1．掌握含参一次型导函数、含参二次型导函数的几种类型．2．熟练“含参一次型导函数”、“含参二次型导函数”的原函数的单调性与极值最值的求解．【备注】【教师指导】1.本讲重点是掌握含参一次型导函数、含参二次型导函数的几种类型；难点是求解“含参一次型导函数”、“含参二次型导函数”的原函数的单调性与极值最值，最难的地方主要是对单调性的求解，会涉及讨论、数形结合的思想，对参数的讨论实际是对单调性及单调区间的讨论，从而求得相应的极值最值.注：本堂课提到的类型，例如“含参一次型导函数”，“含参二次型导函数”是指函数求导后的有效部分，举个例子：，求导后，则可把""看成含参一次型导函数.2.本讲的前置知识是导数与函数的单调性、极值及最值问题，后置知识是利用导数求解导函数为“含参指对型导函数”“含参三角型导函数”原函数的极值最与值的方法．二、知识讲解1. 具体函数求单调性、极值与最值的步骤【备注】【教师指导】教师请注意，这部分作为知识回顾，是由于有些版本没有放置《导数与函数的单调性、极值与最值》这一讲内容，如果前面已经放置了这讲内容，回顾这部分知识可以不讲.知识精讲（1）利用导数求解函数单调性的步骤①确定的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围.当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减函数.知识精讲（2）利用导数求极值的步骤：①求导数；②求方程的所有实数根；③检验在方程的根的左右两侧的值的符号：如果是左正右负，则在这个根处去的极大值；如果是左负右正，则在这个根处去的极小值；如果是左右同号，则在这个根处无极值.知识精讲（3）求函数在上的最值的步骤①求函数在区间上的极值；②将函数的各极值点与端点处的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.经典例题A. B. C. D.1.函数在区间的最大值为（）．【答案】A【解析】，∴在上单调递增，上单调递减，∴，故选．【标注】【知识点】直接求函数的最值（不含参）【备注】【教师指导】本题是对上述知识回顾内容的综合考察.巩固练习2.已知函数．求的最值．【答案】（1）．【解析】（1），令，，，，，，∴．【标注】【知识点】直接求函数的最值（不含参）；利用导数证明不等式恒成立问题2. 求解“含参一次型导函数”的原函数单调性、极值与最值知识精讲（1）讨论单调性含参一次型导函数，有两种类型，如下：①参数在一次项系数上②参数不在一次项系数上针对上述类型，我们需要确定定义域并求导后，对参数进行讨论，分别是三种情况.【备注】【教师指导】下面是上述类型的相关例题，教师可在讲解时为学生举例说明.①含参一次型导函数，参数只在一次项系数上如：，，（1）当时，，增区间为；（2）当时，由，得，增区间是；由，得，减区间是．（3）当时，由，得，增区间是；由，得，减区间是．②含参一次型导函数，参数只常数项上如：，，（1）当时，恒成立，增区间为；（2）当时，由，得，增区间为；由，得，减区间为．③含参一次型导函数，参数既在一次项系数上又在常数项上如：，，（1）当时，，无单调区间；（2）当时，由，得，增区间是；由，得，减区间是．（3）当时，由，得，增区间是；由，得，减区间是．（2）求解极值与最值的步骤①对函数求导、合并、整理；②针对含参一次型导函数进行关于原函数单调性的分类讨论，并确定极值点；③将函数的极值点与端点处的横坐标，进行关于位置关系的分类讨论，在每种情况下确定端点处的图像趋势，从而最终确定其中所对应的最大值与最小值．经典例题3.已知，函数．求在区间上的最小值．【答案】（1）当时，在区间上无最小值；当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为．【解析】（1）因为，所以，．令，得．①若，则，在区间上单调递增，此时无最小值．②若，当时，，在区间上单调递减，当时，，在区间上单调递增，所以当时，取得最小值．③若，则当时，，在区间上单调递减，所以当时，取得最小值．综上可知，当时，在区间上无最小值；当时，在区间上的最小值为；当时，在区间上的最小值为．【标注】【知识点】求函数最值（含参一次型导函数）【备注】【教师指导】本题考查的是“含参一次型导函数，参数只常数项上”类型，需要对单调性进行讨论后，求出最值.要注意与的位置关系.巩固练习4.设函数．试求在上的最大值．【答案】（1）当时，．当时，．【解析】（1）令，得．所以当时，时恒成立，单调递增；当时，时恒成立，单调递减；当时，时，单调递减；时，单调递增．综上，无论为何值，当时，最大值都为或．，，．所以当时，，．当时，，．【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题；二阶导问题；求函数最值（含参一次型导函数）【备注】【教师指导】本题需要先求导，,然后把”看作一次函数.经典例题（1）（2）5.已知函数．求函数的单调区间．当时，求函数在上的最小值．【备注】【教师指导】本题考查的是“含参一次型导函数，参数只在一次项系数上”类型，对于单调性的讨论问题，从而求解极值点问题.要讨论极值点与所给区间端点的位置关系.【答案】（1）（2）函数的单调递增区间为，单调递减区间为．当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值是．【解析】（1）（2），①当时，，即函数的单调增区间为，②当时，令，可得，当时，；当时，，故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．当，即时，函数在区间上是减函数，所以的最小值是．当，即，函数在区间上是增函数，所以的最小值是．当，即时，函数在上是增函数，在上是减函数．又 ，所以当时，最小值是；当时，最小值为．综上可知，当时，函数的最小值是；当时，函数的最小值是．【标注】【知识点】求函数最值（含参一次型导函数）巩固练习6.已知函数，．讨论函数的单调区间．【答案】（1）①当时,的递减区间是,无递增区间；②当时,的递增区间是,递减区间是．【解析】（1）在区间上,．①若,则,是区间上的减函数；②若,令得．在区间上,,函数是减函数；在区间上,,函数是增函数；综上所述,①当时,的单调递减区间是，无单调递增区间；②当时,的单调递增区间是，单调递减区间是．【标注】【知识点】利用导数解决不等式恒成立问题；求函数单调区间（含参一次型导函数）【思想】分类讨论思想3. 求解“含参二次型导函数”的原函数单调性、极值与最值知识精讲（1）讨论单调性——含参二次型导函数，无一次项型这种类型通常分为两种情况，需要确定定义域并求导后，对参数进行讨论，分别是三种情况：①如果参数不在二次项系数上，无一次项，则参数影响导函数图象与轴交点个数，从而影响单调区间.例如：，对导函数图象的影响如下：【备注】【教师指导】下面是“参数不在二次项系数上，无一次项”的相关题目，教师可为学生举例讲解：如：，，①当时，恒成立，增区间为；②当时，由，得或，增区间为，；由，得，减区间为．②如果参数在二次项系数上，无一次项，则参数影响导函数的开口方向，从而影响单调区间.例如：，对导函数图象的影响如下：【备注】【教师指导】下面是“参数在二次项系数上，无一次项”，教师可为学生举例讲解.如：，，①当时，恒成立，增区间为；②当时，，增区间为；③当时，由，得，增区间为(,)；由，得或，减区间为()，(,+ .求解极值与最值的步骤①对函数求导、合并、整理；②针对含参二次型导函数进行关于原函数单调性的分类讨论，并确定极值点；③将函数的极值点与端点处的横坐标，进行关于位置关系的分类讨论，在每种情况下确定端点处的图像趋势，从而最终确定其中所对应的最大值与最小值．【备注】【教师指导】下面每一个类型的求极值最值的步骤都相同，都是需要先对单调性进行讨论，然后在每种情况下进行求解.由于后面每种类型的求解方法都一致，因此后面将不再赘述.经典例题7.已知函数．求函数在上的最大值和最小值．【答案】（1）当时，最小值，最大值；当时，最小值，最大值；当时，最小值．【解析】（1），①当时，，在单调递增，所以时，取得最小值．时，取得最大值．②当时，，在单调递减，所以，时，取得最小值．时，取得最大值．③当时，令，解得，，，在区间的变化情况如下：单调递减↗极小值单调递增↘由上表可知，当时，取得最小值；由于，，当时，在处取得最大值，当时，在处取得最大值．【标注】【知识点】求函数最值（含参二次型导函数）【备注】【教师指导】首先，本题考查的是含参二次型导函数，参数不在二次项系数上，并且无一次项；其次，根据上述方法对导函数进行讨论，求出单调区间；最后，根据单调区间的不同，求出最值.巩固练习8.已知函数求在区间上的最小值．【答案】（1）见解析【解析】（1）由由及定义域为，令①若在上，，在上单调递增，；若在上，，单调递减；在上，，单调递增，因此在上，；若在上，，在上单调递减，综上，当时，当时，当时，【标注】【知识点】已知切线方程求参数；导数的几何意义；利用导数求函数的单调性、单调区间；利用导数求函数的最值经典例题（1）（2）9.已知函数，．求函数的单调区间；若函数在区间的最小值为，求的值．【答案】（1）（2）当时，函数的单调减区间是，当时，函数的单调减区间是，单调增区间为．．【备注】【教师指导】本题考查的是参数在二次项系数上，无一次项的情况，第一问需要先对进行讨论，从而对单调性进行讨论；第二问是在第一问的基础上，找到最小值，从而得到的值.【解析】（1）（2）函数的定义域是，．（1）当时，，故函数在上单调递减．（2）当时，恒成立，所以函数在上单调递减．（3）当时，令，又因为，解得．①当时，，所以函数在单调递减．②当时，，所以函数在单调递增．综上所述，当时，函数的单调减区间是，当时，函数的单调减区间是，单调增区间为．（1）当时，由（Ⅰ）可知，在上单调递减，所以的最小值为，解得，舍去．（2）当时，由（Ⅰ）可知，①当，即时，函数在上单调递增，所以函数的最小值为，解得．②当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为，解得，舍去．③当，即时，函数在上单调递减，所以函数的最小值为，得，舍去．综上所述，．【标注】【知识点】求函数单调区间（含参二次型导函数）；已知最值情况求参数值或解析式巩固练习（1）（2）10.已知函数，其中．求的单调区间；若在上的最大值是，求的值．【答案】（1）（2）时，在上单调递增．当时，单调增区间是；单调减区间是．．【解析】（1）（2）．当时，，从而函数在上单调递增．当时，令，解得，舍去．此时，与的情况如下：所以，的单调增区间是；单调减区间是．①当时，由（Ⅰ）得函数在上的最大值为．令，得，这与矛盾，舍去．②当时，，由（Ⅰ）得函数在上的最大值为．令，得，这与矛盾，舍去．③当时，，由（Ⅰ）得函数在上的最大值为．令，解得，适合．综上，当在上的最大值是时，．【标注】【知识点】已知最值情况求参数值或解析式；求函数单调区间（含参二次型导函数）知识精讲（2）讨论单调性——含参二次型导函数，能因式分解这种类型通常分为两种情况：①参数不在二次项系数上，通常确定定义域并求导后，可以把导函数化简为，然后比较与的大小，分为,,，画出导函数简图，从而求得函数的单调区间.例如：，此时导函数有两个根，,，两根的大小对导函数图象的影响如下：【备注】【教师指导】下面是“参数不在二次项系数上，能因式分解”的相关题目，教师可为学生进行举例讲解：如：，，①当时，恒成立且不恒为0，增区间为；②当时，由，得或，增区间为，；由，得，减区间为．③当时，由，得或，增区间为，；由，得，减区间为．②参数在二次项系数上，通常可以确定定义域并求导后，把导函数化简为，可按如下步骤讨论：首先，先对进行讨论（分别是三种情况），然后再对与的大小（分为,,）进行讨论分析，画出导函数的简图，得到函数的单调区间.【备注】【教师指导】（此类题型画简图的方式同参数不在二次项系数上能因式分解类似）下面是“参数在二次项系数上，能因式分解型”相关例题，教师可为学生进行举例讲解如：，，①当时，恒成立，为常函数；②当时，由，得或，的增区间是，；由，得，的减区间为．③，且不恒为0，减区间为；④时，由，得，的增区间是；由，得或，的减区间是，．⑤时，由，得，的增区间是；由，得或，的减区间是，．经典例题11.设，函数．求函数在上的最小值．【答案】（1）当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为．【解析】（1）令，解得或．①，则当时，，函数在上单调递减，所以，当时，函数取得最小值，最小值为．②，则当时，当变化时，，的变化情况如下表：所以，当时，函数取得最小值，最小值为．③，则当时，，函数在上单调递增，所以，当时，函数取得最小值，最小值为．综上，当时，的最小值为；当时，的最小值为；当时，的最小值为．【标注】【知识点】求在某点处的切线方程；导数的几何意义；利用导数求函数的单调性、单调区间【备注】【教师指导】本题考查的是参数不在二次项系数上，能因式分解的情况，让学生体会求导后，可进行因式分解，然后讨论两根大小.本题求导后可整理为巩固练习（1）（2）12.已知函数，．讨论函数的单调区间．当时，若函数在区间上的最大值为，求的取值范围．【答案】（1）（2）当时，在和内单调递增，在内单调递减，当时，在单调递增，当时，在和内单调递增，在内单调递减．．【解析】（1）（2），令得，，（ｉ）当，即时，，在单调递减；（ⅱ）当，即时，当或时，，在和内单调递增，当时，，在内单调递减；（ⅲ）当，即时，当或时，在和内单调递增，当时，，在内单调递减，综上，当时，在和内单调递增，在内单调递减，当时，在单调递增，当时，在和内单调递增，在内单调递减．当时，，，，令，得，，将，，变化情况列表如下：极大极小由此表可得，，又，故区间内必须含有，即的取值范围是．【标注】【知识点】已知最值情况求参数范围经典例题（1）（2）13.已知，其中．求的单调区间．若在上的最大值是，求的取值范围．【答案】（1）（2）当时，的单调递减区间是，；单调递增区间为：．当时，的单调递减区间是，；单调递增区间为：．当时，的单调递减区间是．．【解析】（1）令，解得，或．①当时，，与的变化情况如表：减极小值增极大值减∴的单调递减区间是，；单调递增区间为：．②当时，，，故的单调递减区间是．【备注】【教师指导】本题较难，考查的是参数在二次项系数上，能因式分解的情况，需要先求导然后进行因式分解，在进行讨论，让学生感受讨论的过程.（2）③当时，，与的变化情况如下表：减极小值增极大值减∴的单调递减区间是，，单调递增区间为：．综上，当时，的单调递减区间是，；单调递增区间为：．当时，的单调递减区间是，；单调递增区间为：．当时，的单调递减区间是．由（）可知：①当时，在的最大值是，但，∴不合题意；②当时，在上单调递减，，可得在上的最大值为，符合题意．∴在上的最大值为时，的取值范围是．【标注】【知识点】已知最值情况求参数值或解析式；求函数单调区间（含参二次型导函数）巩固练习14.已知函数，其中，求函数的单调区间．【答案】①当时，在区间，内为减函数，在区间内为增函数．②当时，在区间，内为增函数，在区间内为减函数．【解析】．，若，，在区间单调递增，单调递减；若，以下分两种情况讨论．①当时，令，得，．当变化时，的变化情况如下表：极小值极大值所以在区间，内为减函数，在区间内为增函数．②当时，令，得到，，当变化时，的变化情况如下表：极大值极小值所以在区间，内为增函数，在区间内为减函数．【标注】【知识点】利用导数求函数的单调性、单调区间，，，知识精讲（3）讨论单调性——含参二次型导函数，不能因式分解型这种类型通常分为两种情况：①导函数参数不在二次项系数上，不能因式分解型，可按如下步骤讨论：首先，确定定义域并求导后，算出二次函数的；讨论两种情况，即导函数与轴没有或只有一个交点、二次函数与轴有两个不同交点；从而根据导函数图象得到函数的单调区间.例如：，，,，根据讨论情况的图象如下：，＞【备注】【教师指导】下面是“参数不在二次项系数上，不能因式分解型”，教师可为学生举例讲解如：，，（1）当，即时，恒成立且不恒为0，增区间是．（2）当，即或时，由，得或增区间是，；由，得减区间是．②导函数参数在二次项系数上，不能因式分解型，可按如下步骤讨论：首先确定定义域并求导后，对参数进行讨论，分为,,，即开口向上、开口向下、退化成一次函数三类；在,两种情况基础上，再分别算出二次函数的；利用两种情况进行第二步分类讨论，即二次函数与轴没有或只有一个交点、二次函数与轴有两个不同交点；从而根据导函数图象得到函数的单调区间.，＞【备注】【教师可见】此类型画图方式，同“导函数参数不在二次项系数上，不能因式分解型”类似.下面是“参数在二次项系数上，不能因式分解型”相关例题，教师可为学生进行举例讲解如：，，（1）当时，由，得，的增区间是；由，得，的减区间是（2）当时，（i）当时，即恒成立且不恒为0，的增区间是；（ii）当时，即由，得或的增区间是，;由，得的减区间是．（3）当时，由，得的增区间是．由，得或的减区间是，．经典例题15.已知函数（其中是实数）．求的单调区间．【答案】（1）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间．当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．【解析】（1）∵（其中是实数），∴的定义域为，，令，，对称轴，，当，即时，，∴函数的单调递增区间为，无单调递减区间．当，即或时，①若，则恒成立，【备注】【教师指导】本题考查的是参数不在二次项系数上，不能因式分解型的情况，需要对进行讨论.∴的单调递增区间为，无减区间．②若，令，得，，当时，，当时，．∴的单调递增区间为，，单调递减区间为．综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间．当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．【标注】【知识点】直接求函数的最值（不含参）；利用韦达定理解决双变量问题16.设，当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值．【答案】【解析】方法一：方法二：令，即∵解得：，则，，的情况如下：减极小增极大减∴在，上单调递减，在上单调递增∵∴∴在上单调递增，在上单调递减所以的最大值为∵，∴解得，，∴的最大值为．已知，∴，已知，在上的最小值为，【备注】【教师指导】本题较难，需要由判定，再判断导函数两根的大小与题目所给区间的关系，在求解最值，需要让学生感受“判断导函数两根的大小与题目所给区间的位置关系”，题集中也有相关练习.而的图象开口向下，且对称轴，，，则必有一点，使得，此时函数在上单调递增，在上单调递减，又，，∴，此时，由或（舍去），所以函数在上的最大值为．【标注】【知识点】求函数最值（含参二次型导函数）巩固练习17.已知函数．判断的单调性．【答案】（1）当时，函数在上单调递减．当或时，函数在上单调递增，在和上单调递减．【解析】（1）因为，所以，令，，即时，恒成立，此时，所以函数在上为减函数．，即或时，有不相等的两根，设为，，则，，当或时，，此时，所以函数在和上为减函数．当时，，此时，所以函数在上为增函数．综上所述，当时，函数在上单调递减．当或时，函数在上单调递增，在和上单调递减．【标注】【知识点】求解函数极值；利用导数求函数的单调性、单调区间经典例题18.设函数．求函数单调区间．【答案】（1）见解析【解析】（1）因为，①当时，由得；由得．所以函数在区间单调递增, 在区间单调递减．②当时，设，方程的判别式i)当时，此时．由得,或；由得．所以函数单调递增区间是和,单调递减区间．ii)当时，此时．所以，所以函数单调递增区间是．iii)当时，此时．由得；由得,或．【备注】【教师指导】本题是参数在二次项系数上，不能因式分解型的情况，需要先讨论，在讨论.所以当时，函数单调递减区间是和,单调递增区间．vi)当时，此时，，所以函数单调递减区间是．【标注】【知识点】求函数单调区间（含参指对型导函数）；求在某点处的切线方程巩固练习19.已知函数．求函数的单调区间．【答案】（1）答案见解析．【解析】（1），令．函数的定义域为，设，（）当时，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减，（）当时，，（i）若，由，即，得或，由，即，得，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．（ii）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递增．【标注】【知识点】导数的几何意义；求在某点处的切线方程；利用导数求函数的单调性、单调区间三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本节课所学吧！【备注】四、出门测20.已知函数．求函数的单调区间．【答案】（1）当，函数的单调递增区间为，当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是．【解析】（1）函数的定义域为，，若，，所以函数的单调递增区间为．若，令，解得，，当时，，的变化情况如下表：极大值∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是．当时，，的变化情况如下表：极大值∴函数的单调递增区间是，单调递减区间是．【标注】【知识点】不等式中的恒成立与能成立问题；含字母系数的不等式；利用导数求函数的单调性、单调区间21.已知函数．讨论函数的单调性．【答案】（1）①若，在单调递减；②若，在区间递增，在区间和递减；③若，在区间递增，在区间递减．【解析】（1），①若，，在单调递减；②若，由得；由得；由得．即在区间递增，在区间和递减．③若，在区间递增，在区间递减．韦达定理解决双变量问题。

第11讲 平面向量中的最值范围问题题型一 利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题平面向量基本定理是向量坐标的理论基础,通过建立平面直角坐标系,将点用坐标表示,利用坐标相等列方程,寻找变量的等量关系,进而表示目标函数,转化为函数的最值问题． 【例1】已知1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,其中实数,λμ满足12λμ≤+≤,0,0λμ≥≥,则点C 所形成的平面区域的面积为( )A B C ．D 【答案】B 【解析】 由题：1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,作2,2OP OA OQ OB ==，OC 与线段AB 交于D ，设OCxOD =，如图：OC OA OB λμ=+，0,0λμ≥≥，所以点C 在图形QOP ∠内部区域，根据平面向量共线定理有,1ODmOA nOB m n =++=，,1OC xOD xmOA xnOB m n ==++=，OC OA OB λμ=+，所以,xm u xn λ==，12λμ≤+≤，即12xm xn ≤+≤，即12x ≤≤，OC xOD =，所以点C 所在区域为梯形APQB 区域，其面积1122sin 6011sin 6022APQB OPQ OAB S S S ︒︒∆∆=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选：B 【玩转跟踪】1.已知RtABC ，3AB =，4BC =，5CA =，P 为ABC △外接圆上的一动点，且AP xAB y AC =+，则x y+的最大值是（ ）A ．54B ．43C ．D ．53【答案】B 【解析】解：以AC 的中点为原点，以AC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则ABC △外接圆的方程为2225()2xy +=，设P 的坐标为55cos ,sin 22θθ⎛⎫⎪⎝⎭，过点B 作BD 垂直x 轴，∵4sin 5A =，3AB = ∴12sin 5BD AB A ==，39cos 355AD AB A =⋅=⨯=，∴5972510OD AO AD =-=-=，∴712,105B ⎛⎫-⎪⎝⎭，∵5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，5,02C ⎛⎫⎪⎝⎭∴912,55AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5,0AC =，555cos ,sin 222AP θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵AP xAB y AC =+∴555912cos ,sin ,22255x θθ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()9125,05,55y x y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∴559cos 5225x y θ+=+，512sin 25x θ=，∴131cos sin 282y θθ=-+，25sin 24x θ=， ∴()12151cos sin sin 23262x y θθθϕ+=++=++，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，当()sin 1θϕ+=时，x y +有最大值，最大值为514623+=，故选：B ．2.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3 B ．2CD ．2【答案】A【解析】,如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径r=，即圆C 的方程是()22425x y -+=， ()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x zy =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.3.如图，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，0OA OB ⋅=，1OA OB ==，若OC OA OB x y =+，则2x y+的最小值是（ ）A．B ．1 C ．2D【答案】B 【解析】 由题：OC OA OB x y =+，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，则0,0x y >>，则()22OC xOA yOB=+，即()()2222OC xOA yOBxyOA OB =++⋅，0OA OB ⋅=，1OA OB ==化简得：221xy +=，令cos ,sin ,[0,]2x y θθθπ==∈，2sin 2cos ),sin [0,]2x y θθθϕϕϕϕπ+=+=+==∈因为[0,]2πθ∈，[0,]2πϕ∈，2πϕθϕϕ≤+≤+，sin()θϕ+先增大后减小，所以sin()θϕ+的最小值为sin ,sin()2πϕϕ+较小值，sin()cos 2πϕϕ+==即sin()θϕ+，所以2)x y θϕ+=+的最小值为1.故选：B题型二 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例2】【2018年天津理科08】如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝AB cos60°，BN＝AB sin60°，∴DN＝1，∴BM，∴CM＝MB tan30°，∴DC＝DM+MC，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴（﹣1，m），（，m），0≤m，∴m2m＝（m）2（m）2，当m时，取得最小值为．故选：A．【玩转跟踪】1.【2017年新课标2理科12】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（）的最小值是（）A．﹣2 B．C．D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P （x ，y ），则（﹣x ，y ），（﹣1﹣x ，﹣y ），（1﹣x ，﹣y ），则•（）＝2x 2﹣2y +2y 2＝2[x 2+（y ）2]∴当x ＝0，y 时，取得最小值2×（），故选：B ．2.已知腰长为2的等腰直角ΔABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值为（ ）A ．24-B ．24+C ．48-D ．48+【答案】C【解析】以,CA CB 为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,1)C A B M ，设(,)P x y ，则(2,),(,2)PA x y PB x y =--=--，(,),(1,1)PC x y PM x y =--=--，(2)(2)PA PB x x y y ⋅=----2222x x y y =-+-，PC PM ⋅=22(1)(1)x x y y x x y y ----=-+-，∵2PC =，∴224x y +=，设2cos ,2sin xy θθ==，则2cos 2sin )4x y πθθθ+=+=+，∴x y -≤+≤()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅2(4224)(4)2(4)x y x y x y =--+--=+-，∴x y +=()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅取得最小值24)48=-故选：C 。

椭圆中的参数范围及最值1.点N x 0,y 0 是曲线Γ:ax 2+by 2=1上任一点，已知曲线Γ在点N x 0,y 0处的切线方程为ax 0x +by 0y =1．如图，点P 是椭圆C :x 22+y 2=1上的动点，过点P 作椭圆C 的切线l 交圆O :x 2+y 2=4于点A 、B ，过A 、B 作圆O 的切线交于点M ．(1)求点M 的轨迹方程；(2)求△OPM 面积的最大值．【答案】(1)x 28+y 216=1;(2)22【解析】(1)设P m ,n ，则AB :mx2+ny =1，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则MB :x 1x +y 1y =4，MA :x 2x +y 2y =4，设M s ,t ，则x 1s +y 1t =4,x 2s +y 2t =4，故AB :sx +ty =4即AB :s 4x +t4y =1，所以s 4=m2t 4=n即s 2=m t 4=n所以s 28+t 216=1即M 的轨迹方程为：x 28+y 216=1.(2)由(1)可得M 2m ,4n ，故直线OM :2nx -my =0.P 到OM 的距离为2nm -mn4n 2+m 2=nm4n 2+m 2，故△OPM 面积S =12×nm 4n 2+m 2×2×4n 2+m 2=nm ，因为m 22+n 2=1，故1≥2m 2n 22即mn≤22，当且仅当m =±1,n =±22时等号成立，故△OPM 面积的最大值为22.2.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0的离心率为223，且经过点6,33 ．(1)求C 的方程；(2)动直线l 与圆O :x 2+y 2=1相切，与C 交于M ，N 两点，求O 到线段MN 的中垂线的最大距离．【答案】(1)x 29+y 2=1;(2)43【解析】(1)由题知：e =c a =2236a 2+13b 2=1a 2=b 2+c 2，解得a =3b =1c =22.所以C 的方程为x 29+y 2=1．(2)当l 的斜率不存在时，线段MN 的中垂线为x 轴，此时O 到中垂线的距离为0．当l 的斜率存在时，设l :y =kx +m (k ≠0)，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ．因为l 与圆x 2+y 2=1相切，则O 到l 的距离为|m |1+k2=1，所以m 2=k 2+1．联立方程x 29+y 2=1y =kx +m，得1+9k 2 x 2+18kmx +9m 2-9=0，则x 1+x 2=-18km 1+9k 2，可得MN 的中点为-9km 1+9k 2,m1+9k 2．则MN 的中垂线方程为y =-1k x +9km 1+9k 2 +m 1+9k 2，即x +ky +8km1+9k 2=0．因此O 到中垂线的距离为d =8km1+9k 21+k 2=|8k |1+9k 2=89|k |+1|k |≤43(当且仅当k =13，m =103时等号成立)．综上所述，O 到线段MN 的中垂线的最大距离为43．3.在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到直线x =2的距离和点P 到点C 1,0 的距离的比为2，记点P 的轨迹为Γ.(1)求Γ的方程；(2)若不经过点C 的直线l 与Γ交于M ，N 两点，且∠OCM =∠xCN ，求△CMN 面积的最大值.【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)24【解析】(1)设P x ,y ，P 到直线x =2的距离记为d ，则dPC=2，依题意，2-x =2x -1 2+y 2，化简得x 2+2y 2=2，即x 22+y 2=1.(2)设直线l ：x =my +t ，t ≠1，M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，由x =my +tx 22+y 2=1得：m 2+2 y 2+2mty +t 2-2=0，则Δ=(2mt )2-4m 2+2 t 2-2 =8m 2+2-t 2 >0，可得m 2+2>t 2，所以y 1+y 2=-2mt m 2+2，y 1y 2=t 2-2m 2+2.法一：由∠MCO =∠xCN ，则k CM +k CN =y 1x 1-1+y 2x 2-1=0，所以x 2y 1+x 1y 2=y 1+y 2，即2my 1y 2+t -1 y 1+y 2 =0，所以2m t 2-2 m 2+2+t -1-2mt m 2+2=0，可得t =2，所以直线l 经过定点T 2,0 .因为△CMN 面积S =12CT y 1-y 2 =12y 1-y 2 ，所以S =2m 2+2-t 2m 2+2=2m 2-2m 2+2=2-4m 2+2 2+1m 2+2，当1m 2+2=18，即m =±6时，S 有最大值为24.法二：作M 点关于x 轴的对称点M x 1,-y 1 ，因为∠OCM =∠xCN ，则∠OCM =∠xCN ，故∠OCM +OCN =180°，所以M ，C ，N 三点共线，所以CM⎳CN ，因为CM =x 1-1,-y 1 ，CN =x 2-1,y 2 ，所以x 1-1 y 2--y 1 x 2-1 =0，即x 2y 1+x 1y 2=y 1+y 2，所以2my 1y 2+t -1 y 1+y 2 =0，则2m t 2-2 m 2+2+t -1(-2mt )m 2+2=0，可得t =2，所以直线l 经过定点T 2,0 ，因为△CMN 面积S =12CT y 1-y 2 =12y 1-y 2 ，所以S =2m 2+2-t 2m 2+2=2m 2-2m 2+2，设m 2-2=u ，则m 2=u 2+2，则S =2u u 2+4=21u +4u≤24，当u =2，即m =±6时，S 有最大值为24.4.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦距为2，点P 1,32 在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，且直线PM ，PN 的倾斜角互补，求△OMN 面积的最大值.【答案】(1)x 24+y 23=1;(2)3【解析】(1)设椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，因为焦距为2，P 1,32所以2c =2且PF 1⊥x 轴，故b 2a =32又由于a 2=b 2+c 2=b 2+1，所以解得a =2，b =3故椭圆C 方程为x 24+y 23=1；(2)设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，直线MN 的方程为y =kx +m ，由于直线PM ，PN 的倾斜角互补，故k PM +k PN =0联立方程y =kx +m x 24+y 23=1，整理得3+4k 2 x 2+8kmx +4m 2-12=0，故Δ=8km 2-43+4k 2 4m 2-12 =483+4k 2-m 2 >0，即m 2<3+4k 2且x 1+x 2=-8km 3+4k 2，x 1x 2=4m 2-123+4k 2k PM +k PN =y 1-32x 1-1+y 2-32x 2-1=2k +k +m -32 1x 1-1+1x 2-1=2k +k +m -32 x 1+x 2-2x 1x 2-x 1+x 2 +1=2k -k +m -32 8k 2+8km +64m 2+4k 2+8km -9 =2k -8k 2+8km +622m +2k +3 =12k -622m +2k +3=0，所以k =12，故MN 的方程为y =12x +m ，且0≤m 2<3+4k 2=4所以弦长MN =1+12 2x 1-x 2 =52(x 1+x 2)2-4x 1x 2=52×34-m 2原点到直线MN ：x -2y +2m =0的距离为d =2m5，所以S △OMN =12MN d =32m 24-m 2 =32-m 2-2 2+4≤3 故当且仅当m =±2时，△OMN 的面积的最大值为 3.5.已知椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且经过点A (-2,0)，B(2,0)，过点M -23,0 作直线l 与椭圆交于点P ，Q (点P ，Q 异于点A ，B )，连接直线AQ ，PB 交于点N .(1)求椭圆的方程；(2)当点P 位于第二象限时，求tan ∠PNQ 的取值范围.【答案】(1)x 24+y 2=1；(2)0,13.【解析】(1)由题意知，a =2，又a 2=b 2+c 2，e =c a =32，所以c =3，b =1，故椭圆的标准方程为x 24+y 2=1;(2)设直线PB 倾斜角为α，斜率为k 1，直线AQ 倾斜角为β，斜率为k 2，直线PQ 的方程为：x =my -23，则x 24+y 2=1x =my -32，消去x ，得(m 2+4)y 2-43my -329=0，Δ=169+4×329(m 2+4)>0，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，y 1+y 2=4m 3(m 2+4)，y 1y 2=-329(m 2+4)，有my 1y 2=-83(y 1+y 2)，所以k 2k 1=y 2x 2+2y 1x 1-2=y 2(x 1-2)y 1(x 2+2)=y 2my 1-23-2 y 1my 2-23+2 =my 1y 2-83y 2my 1y 2+43y 1=-163y 2-83y 1-83y 2-43y 1=2，即k 2=2k 1，则tan ∠PNQ =tan (α-β)=tan α-tan β1+tan α⋅tan β=k 1-k 21+k 1k 2=k 1-2k 11+2k 12=-k 11+2k 12=-11k 1+2k 1，因为点P 位于第二象限，则k 1∈-12,0 ，所以1k 1+2k 1∈(-∞,-3)，故tan ∠PNQ =-11k 1+2k 1∈0,13 .6.已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为63，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作不平行于坐标轴的直线交Γ于A ，B 两点，且△ABF 1的周长为4 6.(1)求Γ的方程；(2)若AM ⊥x 轴于点M ，BN ⊥x 轴于点N ，直线AN 与BM 交于点C ，求△ABC 面积的最大值．【答案】(1)x 26+y 22=1;(2)34【解析】(1)由椭圆定义可知△ABF 1的周长为4a =46，即a =6，因为离心率e =c a =63，所以c =2，又因为b 2=a 2-c 2，所以b 2=2，故Γ的方程为x 26+y 22=1．(2)依题意，设直线AB 方程为x =my +2(m ≠0)．联立x =my +2x 26+y 22=1，得m 2+3 y 2+4my -2=0，易知Δ=16m 2+8m 2+3 =24m 2+1 >0设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-4m m 2+3,y 1⋅y 2=-2m 2+3．因为AM ⊥x 轴，BN ⊥x 轴，所以M x 1,0 ,N x 2,0 ．所以直线AN ：y =y 1x 1-x 2x -x 2 ①，直线BM ：y =y 2x 2-x 1x -x 1 ②，联立①②解得x C =x 1y 2+x 2y 1y 1+y 2=my 1+2 y 2+my 2+2 y 1y 1+y 2=2+2my 1y 2y 1+y 2=3．因为S △ABC =12|BN |⋅x C -x 1 =12y 2 ⋅3-x 1 =12y 2-my 1y 2 ，又my 1y 2y 1+y 2=12，则S △ABC =12y 1-y 1+y 22=14y 1-y 2 =14y 1-y 2 2=62m 2+1m 2+3，设m 2+1=t >1，则S △ABC =62⋅t t 2+2=62⋅1t +2t≤34，当且仅当t =2t，即m =±1时，等号成立，故△ABC 面积的最大值为34．7.已知点F 为椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线x4+y 2=1与椭圆E 有且仅有一个公共点M .(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线x4+y 2=1与y 轴交于点P ，过点P 的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，若PM 2⋅PF 2=λPA ⋅PB ，求实数λ的取值范围.【答案】(1)x 24+y 23=1;(2)5,254【解析】(1)由题意，得a =2c ，b =3c ，则椭圆E 为x 24c 2+y 23c 2=1，由x 24+y 23=c 2x 4+y 2=1 ，得x 2-2x +4-3c 2=0，因为直线x4+y 2=1与椭圆E 有且仅有一个交点M ，所以Δ=4-44-3c 3 =0，解得c 2=1，所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)由(1)知：M 1,32 ，P 0,2 ，所以PM 2=54，PF 2=5，当直线l 与x 轴垂直时，PA ⋅PB =2+3 2-3 =1，由PM 2⋅PF 2=λPA ⋅PB ，得λ=254.当直线l 与x 轴不垂直时，设直线方程为y =kx +2，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，联立y =kx +23x 2+4y 2-12=0，得3+4k 2 x 2+16kx +4=0，则x 1x 2=43+4k2，Δ=484k 2-1 >0，即k 2>14.所以，PA ⋅PB =1+k 243+4k 2=254λ，所以λ=2541-14+4k 2，因为k 2>14，所以，5<λ<254.综上，实数λ的取值范围为5,254 .8.定义：若点(x 0,y 0)，(x 0,y 0)在椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)上，并且满足x 0x 0a 2+y 0y 0 b2=0，则称这两点是关于M 的一对共轭点，或称点(x 0,y 0)关于M 的一个共轭点为(x 0 ,y 0).已知点A (3,1)在椭圆M :x 212+y 24=1，O 坐标原点.(1)求点A 关于M 的所有共轭点的坐标；(2)设点P ，Q 在M 上，且PQ ∥OA，求点A 关于M 的所有共轭点和点P ，Q 所围成封闭图形面积的最大值.【答案】(1)A 13,-3 或A 2-3,3 ;(2)83【解析】(1)设点A (3,1)在椭圆M :x 212+y 24=1的共轭点为(x ,y )，则3x 12+y 4=0，且x 212+y 24=1，解得x =3y =-3 或x =-3y =3 ，所以点A 关于M 的所有共轭点的坐标为A 13,-3 或A 2-3,3(2)因为PQ ∥OA ，k OA =13，所以设直线PQ 的方程为y =13x +m ，P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，，将y =13x +m 代入x 212+y 24=1中，化简得4x 2+6mx +9m 2-36=0，由Δ=36m 2-16(9m 2-36)>0，得0≤m 2<163，x 1+x 2=-3m 2,x 1x 2=9m 2-364，所以PQ =1+19(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1039m 24-9m 2+36=10216-3m 2，设A 1，A 2到直线PQ 的距离分别为d 1,d 2，因为PQ ∥OA ，所以d 1+d 2等于A 1，A 2到直线OA :y =13x 的距离和，所以d 1+d 2=3+33 1+9+-3-33 1+9=8310，所以S =S △A 1PQ +S △A 2PQ =12d 1+d 2 PQ=12×10216-3m 2×8310=23×16-3m 20≤m 2<163 ，令t =m 2，则y =16-3t 在0≤t <163上单调递减，所以当t =0时，即m =0时，y 取最大值16，所以当m =0时，S 的最大值为23×16=839.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的右焦点为F 2,0 ，离心率为63，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设点P 3,m m >0 ，过F 作PF 的垂线交椭圆于A ，B 两点．求△OAB 面积的最大值．【答案】(1)x 26+y 22=1；(2) 3.【解析】(1)由右焦点为F 2,0 ，可得c =2，又离心率为63，∴a =6，b 2=a 2-c 2=6-4=2，∴椭圆C 的标准方程为x 26+y 22=1.(2)由题可知k PF =m3-2=m ，∴k AB =-1m，故直线AB 为y =-1mx -2 ，即x =-my +2，由x 26+y 22=1x =-my +2，可得3+m 2 y 2-4my -2=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则y 1+y 2=4m 3+m 2,y 1y 2=-23+m 2，∴y 1-y 2 =y 1+y 2 2-4y 1y 2=4m 3+m 2 2-4⋅-23+m 2=261+m 23+m 2，∴△OAB 面积为S =12×OF ×y 1-y 2 =261+m 23+m 2，令t =1+m 2>1，∴S =26t 2+t 2=262t+t ≤2622=3，当且仅当2t =t ，即t =2,m =1时取等号，∴△OAB 面积的最大值为 3.10.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，点A -1,32 在椭圆C 上，点P 是y 轴正半轴上的一点，过椭圆C 的右焦点F 和点P 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)求PM +PNPF的取值范围.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)85,4 .【解析】(1)由题意知c a =121a 2+94b 2=1c 2+b 2=a 2，∴a =2b =3 ，椭圆C 标准方程为x 24+y 23=1.(2)设直线l 的方程为y =k (x -1)，其中k <0，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)y =k (x -1)3x 2+4y 2=12⇒3x 2+4k 2(x 2-2x +1)=12∴(3+4k 2)x 2-8k 2x +4k 2-12=0，Δ=64k 4-4(3+4k 2)(4k 2-12)=144(k 2+1)>0，x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1⋅x 2=4k 2-123+4k 2，∴PM =1+k 2x 1 ，PN =1+k 2⋅x 2 ，PF =1+k 2∴PM +PNPF=x 1 +x 2若k ≤-3，则x 1≥0，x 2>0，∴x 1 +x 2 =x 1+x 2=8k 23+4k 2=83k 2+4∈85,4若-3<k <0，则x 1<0,x 2>0，∴x 1 +x 2 =x 2-x 1=12k 2+13+4k 2令k 2+1=m ，∴1<m <2，∴x 2-x 1=12m 3+4(m 2-1)=12m 4m 2-1=124m -1m，因为y =124m -1m 在(1,2)单调递减，所以x 2-x 1=124m -1m∈85,4 综上：PM +PN PF 的取值范围为85,4 .11.已知O 坐标原点，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的上顶点为A ，右顶点为B ，△AOB 的面积为22，原点O 到直线AB 的距离为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)过C 的左焦点F 作弦DE ，MN ，这两条弦的中点分别为P ，Q ，若DE ⋅MN=0，求△FPQ 面积的最大值．【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)19【解析】(1)解：由题意，S △AOB =12ab =22①∵A (0,b )，B (a ,0)，则直线AB 的方程为：xa +y b=1，即为bx +ay -ab =0，∵原点到直线AB 的距离为63，∴ab a 2+b2=63，∴3a 2b 2=2(a 2+b 2)，②∵b 2+c 2=a 2，③由①②③得：a 2=2，b 2=1，所以椭圆C 的标准方程为：x 22+y 2=1；(2)由(1)可知F -1,0 ，因为DE ⋅MN=0，所以DE ⊥MN ，若直线DE 或MN 中有一条直线斜率不存在，那么P 、Q 中一点与F 重合，故斜率一定存在，设DE ：y =k x +1 ，则MN 的斜率为-1k，由x 22+y 2=1y =k (x +1)可得：(1+2k 2)x 2+4k 2x +2k 2-2=0，设D (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，则x 1+x 2=-4k 21+2k 2，x 1x 2=2k 2-21+2k 2，所以x P =x 1+x 22=-2k 21+2k 2y P =k x P +1 =k -2k 21+2k 2+1 =k 1+2k 2，即P -2k 21+2k 2,k1+2k 2，同理将-1k 代入得Q -22+k 2,-k2+k 2，所以PF =-1+2k 21+2k 2 2+k 1+2k 2 2=1+k 21+2k 2，QF =-1--22+k 2 2+-k2+k 2 2=k 1+k 22+k 2，所以S △QFP =12PF ⋅QF =12×1+k 21+2k 2×k 1+k 22+k 2=12×k 1+k 22k 4+5k 2+2=12×k 21+2k 2+k 4 2k 4+5k 2+2=12×k 41k 2+k 2+2 k 22k 2+5+2k2 =12×1k 2+k 2+22k 2+5+2k 2令t =1k 2+k 2+2，则t ≥2，当且仅当1k 2=k 2即k =±1时取等号，所以1k 2+k 2=t 2-2，所以S △QFP =12×t 2t 2+1=12×12t +1t，因为函数y =2x +1x 在2,+∞ 上单调递增，所以当x =2时y min =92，所以S △QFP max =19，即△FPQ 面积的最大值为19；12.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 经过点M (0,3)，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l :y =kx -1与椭圆C 相交于A 、B 两点，求MA ⋅MB 的最大值.【答案】(1)x 218+y 29=1；(2)32.【解析】(1)由已知得9b 2=1,a 2-b 2a 2=12, 解得a =32,b =3，因此椭圆C 的方程为x 218+y 29=1；(2)由x 218+y 29=1,y =kx -1,整理得2k 2+1 x 2-4kx -16=0，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则x 1+x 2=4k 2k 2+1,x 1x 2=-162k 2+1，因为MA ⋅MB=x 1x 2+(y 1-3)(y 2-3)=x 1x 2+kx 1-4 kx 2-4=k 2+1 x 1x 2-4k x 1+x 2 +16=-16k 2+1 2k 2+1-4k ×4k 2k 2+1+16=0，所以MA ⊥MB ，三角形MAB 为直角三角形，设d 为点M 到直线l 的距离，故MAMB =AB ⋅d ，又因为d =41+k 2，AB =1+k 2 x 1+x 2 2-4x 1x 2 =1+k 2 4k 2k 2+1 2-4×-162k 2+1=41+k 2 9k 2+4 2k 2+1，所以MA MB =169k 2+42k 2+1，设2k 2+1=t ，则MA MB =16818-121t -92 2，由于1t∈0,1 ，所以MA MB ≤32，当1t=1，即k =0时，等号成立.因此，MA MB 的最大值为32.13.在平面直角坐标系xOy 中，已知F (1,0)，动点P 到直线x =6的距离等于2PF +2.动点P 的轨迹记为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)已知A (2,0)，过点F 的动直线l 与曲线C 交于B ，D 两点，记△AOB 和△AOD 的面积分别为S 1和S 2，求S 1+S 2的最大值.【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)最大值为3.【解析】(1)设点P (x ,y )，当x ≥6时，P 到直线x =6的距离显然小于PF ，故不满足题意；故|x -6|=2(x -1)2+y 2+2(x <6)，即4-x =2(x -1)2+y 2，整理得3x 2+4y 2=12，即x 24+y 23=1，故曲线C 的方程为x 24+y 23=1；(2)由题意可知直线l 的斜率不为0，则可设直线l 的方程为x =my +1，B x 1,y 1 ，D x 2,y 2 ，联立x =my +1x 24+y 23=1，整理得3m 2+4 y 2+6my -9=0，Δ>0显然成立，所以y 1+y 2=-6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，所以y 1-y 2 =y 1+y 2 2-4y 1y 2=-6m 3m 2+4 2+363m 2+4=12m 2+13m 2+4，故S 1+S 2=12OA y 1 +12OA y 2 =12OA y 1-y 2 =12m 2+13m 2+4，设t =m 2+1，t ≥1，则m 2=t 2-1，则S 1+S 2=12t 3t 2+1=123t +1t，因为t ≥1，所以3t +1t≥4(当且仅当t =1时，等号成立).故S 1+S 2=123t +1t≤3，即S 1+S 2的最大值为3.14.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值.【答案】(1)x 216+y 212=1；(2)18.【解析】(1)由题意可知直线AM 的方程为：y -3=12(x -2)，即x -2y =-4.当y =0时，解得x =-4，所以a =4，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 过点M (2，3)，可得416+9b2=1，解得b 2=12.所以C 的方程：x 216+y 212=1.(2)设与直线AM 平行的直线方程为：x -2y =m ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值.联立直线方程x -2y =m 与椭圆方程x 216+y 212=1，可得：3m +2y 2+4y 2=48，化简可得：16y 2+12my +3m 2-48=0，所以Δ=144m 2-4×163m 2-48 =0，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：x -2y =8，直线AM 方程为：x -2y =-4，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d =8+41+4=1255，由两点之间距离公式可得|AM |=(2+4)2+32=3 5.所以△AMN 的面积的最大值：12×35×1255=18.15.如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e =22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A 、A 两点，AA =4．(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P 、P '，过P 、P '作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．【答案】(1)x 216+y 28=1;(2)答案不唯一，具体见解析【解析】(1)设椭圆方程为x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，左焦点F 1-c ,0 ，将x =-c 代入椭圆方程，得y =±b 2a，由题意可得b 2a =2c a=22a 2=b 2+c 2 ，解得a =4b =c =22 ，所以椭圆方程为x 216+y 28=1.(2)解：当点Q 在y 轴的右侧时，设Q t ,0 t >0 ，圆的半径为r ，直线PP 方程为x =m m >t ，则圆Q 的方程为x -t 2+y 2=r 2，由x -t2+y 2=r 2x 2+2y 2=16得x 2-4tx +2t 2+16-2r 2=0，由Δ=16t 2-42t 2+16-2r 2 =0，即，得t 2+r 2=8，①把x =m 代入x 216+y 28=1，得y 2=81-m 216 =8-m 22，所以点P 坐标为m ,8-m 22，代入x -t 2+y 2=r 2，得m -t 2+8-m 22=r 2，②由①②消掉r 2得4t 2-4mt +m 2=0，即m =2t ，S △PPQ =12PP m -t =8-m 22×m -t =8-2t 2⋅t =2⋅4-t 2 t2≤2×4-t 2+t22=22，当且仅当4-t 2=t 2时，即当t =2时取等号，圆Q 的标准方程为x -2 2+y 2=6．在椭圆上任取一点E x ,y ，其中-4≤x ≤4，则y 2=8-x 22，所以，EQ =x -2 2+y 2=x 2-22x +2+8-x 22=x 22-22x +10=12x -22 2+6≥6，当且仅当x =22时，等号成立，故椭圆上除P 、P '外的点在圆Q 外，所以△PP Q 的面积的最大值为22，当圆心Q 、直线PP 在y 轴左侧时，由对称性可得圆Q 的方程为x +2 2+y 2=6，△PP Q 的面积的最大值仍为22．16.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 ，椭圆C的离心率为12，B 0,3 在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的左顶点A 作两条互相垂直的直线分别与椭圆C 交于M 、N 两点(不同于点A )，且AD ⊥MN ，D 为垂足，求三角形ABD 面积的最大值．【答案】(1)x 24+y 23=1;(2)37+337【解析】(1)由题意得c a =12b =3b 2=a 2+c2 ，解得a =2b =3c =1，所以椭圆C 的方程x 24+y 23=1．(2)当MN 垂直于x 轴时，则M 、N 关于x 轴对称，设点M 在x 轴上方，因为AM ⊥AN ，易知直线AM 的倾斜角为π4，所以，直线AM 的方程为y =x +2，联立y =x +23x 2+4y 2=12x ≠-2，可得x =-27y =127，即点M -27,127 ，则N -27,-127 ，可得D -27,0 ，此时，S △ABD =12⋅-27+2 ⋅3=637；当MN 不垂直于x 轴时，设直线MN 的方程为y =kx +t ，设点M x 1,y 1 、N x 2,y 2 ，联立y =kx +t3x 2+4y 2=12，可得3+4k 2 x 2+8ktx +4t 2-12=0，Δ=64k 2t 2-44k 2+3 4t 2-12 >0，可得t 2<4k 2+3，由韦达定理可得x 1+x 2=-8kt 4k 2+3，x 1x 2=4t 2-124k 2+3，AM =x 1+2,y 1 =x 1+2,kx 1+t ，AN =x 2+2,kx 2+t ，因为AM ⊥AN ，则AM ⋅AN=x 1+2 x 2+2 +kx 1+t kx 2+t =k 2+1 x 1x 2+kt +2 x 1+x 2 +t 2+4=k 2+1 4t 2-12 -8kt kt +24k 2+3+t 2+4=0，整理可得4k 2-16kt +7t 2=0，即2k -t 2k -7t =0，所以，t =2k 或t =2k 7.若t =2k ，则直线MN 的方程为y =k x +2 ，此时直线MN 过点A ，则M 、N 必有一点与点A 重合，不合乎题意；若t =27k ，则直线MN 的方程为y =k x +27 ，此时直线MN 过定点E -27,0 ，合乎题意.因为AD ⊥DE ，且线段AE 的中点坐标为-87,0 ，AE =127，所以，△AED 的外接圆为x +87 2+y 2=3649，因为AB 直线方程为x-2+y 3=1，即3x -2y +23=0，且AB =3+4=7，因为D 到直线AB 的最大距离为-837+233+4+67=42+62149，所以△ABD 的面积S △ABD ≤12⋅7⋅42+62149=37+337．综上所述，△ABD 面积的最大值为37+337．17.已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1a >b >0 的离心率为63，且经过点P 1,3 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)A 、B 为椭圆C 上两点，直线PA 与PB 的倾斜角互补，求△PAB 面积的最大值．【答案】(1)y 26+x 22=1；(2)3﹒【解析】(1)由题意得：e =c a =633a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a =6，b =2，∴y 26+x 22=1．(2)由题意可知直线AB 的斜率一定存在，设直线AB 的方程为y =kx +t ，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，将y =kx +t 代入y 26+x 22=1得：k 2+3 x 2+2ktx +t 2-6=0，∴x 1+x 2=-2kt k 2+3，x 1x 2=t 2-6k 2+3，则y 1+y 2=kx 1+t +kx 2+t =k x 1+x 2 +2t =6tk 2+3，x 1y 2+x 2y 1=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t =kt x 1+x 2 +2ktx 1x 2=-12kk 2+3，∵直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，∴k PA =-k PB ⇒y 1-3x 1-1=-y 2-3x 2-1，化简可得：23+x 1y 2+x 2y 1=y 1+y 2 +3x 1+x 2 ，即23+-12k k 2+3=6t k 2+3+3⋅-2ktk 2+3，即k -3 k +t -3 =0，∵直线AB 不过点P ，∴k =3，∴x 1+x 2=-3t 3，x 1x 2=t 2-t6，则AB =1+3 2x 1+x 2 2-4x 1x 2=2312-t 23，又点P 到直线AB 的距离为t2，∵Δ=12t 2-24t 2-6 >0，∴-23<t <23，∴S =12⋅2312-t 23⋅t 2=3612-t 2 t 2≤3，当且仅当t =±6时等号成立，∴△PAB 面积最大值为3．18.已知O 为坐标原点，定点F 1,0 ，M 是圆O :x 2+y 2=4内一动点，圆O 与以线段FM 为直径的圆内切．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若直线l 与动点M 的轨迹交于P ，Q 两点，以坐标原点O 为圆心，1为半径的圆与直线l 相切，求△POQ 面积的最大值．【答案】(1)x 24+y 23=1且x ≠±2；(2)263.【解析】(1)令M (x ,y )，又F 1,0 在圆O :x 2+y 2=4内，且圆O 与以线段FM 为直径的圆内切，所以线段FM 为直径的圆心为x +12,y 2 ，则12(x -1)2+y 2=2-(x +1)24+y 24，整理有(x -1)2+y 2=4-(x +1)2+y 2，则x 2-2x +1+y 2=4-x 2+2x +1+y 2，所以x 24+y 23=1，又M 是圆O :x 2+y 2=4内一动点，故x ≠±2，故M 的轨迹方程为x 24+y 23=1且x ≠±2.(2)由题意知：O 到直线l 的距离为1，要使△POQ 面积最大，只需|PQ |最大，若直线l 斜率不存在时，直线l :x =±1，此时P ,Q 为1,±32 或-1,±32，所以|PQ |=3，则△POQ 面积为32；若直线l 斜率存在时，令直线l :y =kx +b ，而|b |1+k2=1，即b 2=1+k 2，联立直线与M 的轨迹，x 24+y 23=1y =kx +b，整理有(4k 2+3)x 2+8kbx +4b 2-12=0，则x P +x Q =-8kb 4k 2+3，x P x Q =4b 2-124k 2+3，所以|PQ |=1+k 2⋅|x P -x Q |=1+k 2⋅(x P +x Q )2-4x P x Q =4(1+k 2)(12k 2+9-3b 2)4k 2+3，则|PQ |=43⋅(1+k 2)(3k 2+2)4k 2+3，令t =4k 2+3≥3，则|PQ |=3⋅-1t2+2t +3=3⋅-1t-1 2+4，而0<1t ≤13，所以|PQ |max =463，此时△POQ 最大面积为263；综上，△POQ 最大面积为263.19.如图，已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为32，直线l 1:y =12x +b 与圆O :x 2+y 2=b 2交于M ，N 两点，MN =455．(1)求椭圆E 的方程；(2)A ，B 为椭圆E 的上、下顶点，过点A 作直线l 2:y =kx +b k <0 交圆O 于点P ，交椭圆E 于点Q (P ，Q 位于y 轴的右侧)，直线BP ，BQ 的斜率分别记为k 1，k 2，试用k 表示k 1+14k 2，并求当k 1+14k 2∈2,52时，△BPQ 面积的取值范围．【答案】(1)x 24+y 2=1；(2)1285,65 .【解析】(1)圆心O 到直线l 1的距离为d =b 2-2552=12b1+122，解得b 2=1，由题设，b =1c a =32c 2=a 2-b2 ，解得a =2c =3 ，故椭圆E 的方程为x 24+y 2=1．(2)由(1)知，A 0,1 ，B 0,-1 ，直线l 2为y =kx +1k <0 ，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，联立y =kx +1x 2+y 2=1，得1+k 2 x 2+2kx =0，所以x 1=-2k k 2+1，y 1=kx 1+1=-k 2+1k 2+1，联立y =kx +1x 24+y 2=1得：4k 2+1 x 2+8kx =0，所以x 2=-8k 4k 2+1，y 2=kx 2+1=-4k 2+14k 2+1，k 1+14k 2=y 1+1x 1+x 24y 2+1=2k 2+1-2k k 2+1+-8k 4k 2+184k 2+1=-1k -k ．由-1k-k ∈2,52 ，得：k ∈-2,-12 ，S △BPQ =S △ABQ -S △ABP =12AB x 2-x 1 =x 2-x 1=-8k 4k 2+1--2kk 2+1=-6k4k 2+1 k 2+1．令f k =-6k 4k 2+1 k 2+1 ，则fx =612k 4+5k 2-1 4k 2+1 k 2+12>0，所以函数f k 在-2,-12 上单调递增，f -2 =1285，f -12 =65，所以△BPQ 面积的取值范围为1285,65 .20.已知椭圆Γ:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左焦点为F ，其离心率e =22，过点F 垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于P ，Q 两点，PQ =2．(1)求椭圆Γ的方程；(2)若椭圆的下顶点为B ，过点D (2，0)的直线l 与椭圆Γ相交于两个不同的点M ，N ，直线BM ，BN 的斜率分别为k 1,k 2，求k 1+k 2的取值范围．【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)k 1+k 2∈-∞,12 ∪12,2-2 ∪2+2,+∞ 【解析】(1)由题可知e =c a =22PQ=2b 2a =2a 2=b 2+c 2，解得a =2b =1c =1.所以椭圆Γ的方程为：x 22+y 2=1.(2)由题可知，直线MN 的斜率存在，则设直线MN 的方程为y =k (x -2)，M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2).由题可知x 22+y 2=1y =k (x -2)，整理得(2k 2+1)x 2-8k 2x +8k 2-2=0Δ=(-8k 2)2-4(2k 2+1)(8k 2-1)=-8(2k 2-1)>0，解得k ∈-22,22.由韦达定理可得x 1+x 2=8k 22k 2+1，x 1x 2=8k 2-22k 2+1.由(1)知，点B (0,-1)设椭圆上顶点为A ，∴A (0,1)，k ≠k DA =-12且k ≠k DB =12，∴k 1+k 2=y 1+1x 1+y 2+1x 2=k x 1-2 +1x 1+k x 2-1 +1x 2=2k +1-2k x 1+x 2 x 1x 2=2k +1-2k⋅8k 21+2k 28k 2-21+2k 2=2k -4k 22k +1=2k 2k +1=1-12k +1∈2+2,+∞ ∪-∞,12 ∪12,2-2∴k 1+k 2的取值范围为-∞,12 ∪12,2-2 ∪2+2,+∞ ．21.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),四点P 12,32 ,P 2(0,1),P 31,22 ,P 41,-22 中恰有三点在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点Q 2,0 的直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点，求△OMN 面积的取值范围.【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)0,22【解析】(1)由对称性可知：P 3,P 4都在椭圆C 上，对于椭圆在第一象限的图像上的点x ,y ，易知y 随x 的增大而减小，故P 1,P 2中只有P 2符合.所以P 2,P 3,P 4三点在椭圆上，故b =1，将P 3代入椭圆方程得a =2，所以椭圆方程为：x 22+y 2=1(2)(3)由已知直线l 斜率不为0，故设方程为：x =my +2设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)，由x =my +2x 22+y 2=1联立方程得：(m 2+2)y 2+4my +2=0∴Δ=16m 2-8(m 2+2)=8(m 2-2)>0,即m 2>2y 1+y 2=-4m m 2+2;y 1y 2=2m 2+2;S △OMN =12⋅2⋅y 1-y 2 =y 1-y 2=16m 2(m 2+2)2-8m 2+2=22m 2-2m 2+2;令m 2-2=t >0，则m 2=t 2+2令S △OMN =22t t 2+4=22t +4t ≤222t ⋅4t=22，当且仅当t =2，m 2=6时取等号∴△OMN 面积的取值范围为0,2222.已知椭圆E :x 22+y 2=1的右焦点为F ，椭圆Γ:x 22+y 2=λλ>1 ．(1)求Γ的离心率；(2)如图：直线l :x =my -1交椭圆Γ于A ，D 两点，交椭圆E 于B ，C 两点．①求证：AB =CD ；②若λ=5，求△ABF 面积的最大值．【答案】(1)22;(2)①证明过程见解析；② 2.【解析】(1)椭圆Γ:x 22+y 2=λλ>1 的标准方程为：x 22λ+y 2λ=1，则椭圆Γ的离心率为2λ-λ2λ=22(2)对于①，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，C x 3,y 3 ，D x 4,y 4 ，直线l :x =my -1与x 22+y 2=λ联立整理得2+m y2-2my +1-2λ=0则y 1+y 2=2m 2+m 2,y 1y 2=1-2λ2+m 2则AD 的中点坐标-22+m 2,m2+m 2同理可知BC 的中点坐标-22+m 2,m2+m 2 .所以AD 与BC 中点重合，故AB =CD .对于②，由①知，直线l 被椭圆截得弦长为1+m 2y 2-y 1 =21+m 22λm 2+4λ-22+m 2把λ=5代入得，AD =21+m 210m 2+182+m 2把λ=1代入得，BC =21+m 22m 2+22+m 2F 1,0 到l 的距离为d =21+m 2，则△ABF 面积为：S =12×12×AD -BC ×d =10m 2+18-2+2m22+m 2=810m 2+18+2+2m 2∴当m =0时，△ABF 的面积最大值是 2.23.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点恰好为圆A ：x 2+y 2-4x+3=0的圆心，且圆A 上的点到直线l 1：bx -ay =0的距离的最大值为255+1．(1)求C 的方程；(2)过点(3，0)的直线l 2与C 相交于P ，Q 两点，点M 在C 上，且OM =λ(OP+OQ )，弦PQ 的长度不超过3，求实数λ的取值范围．【答案】(1)x 24+y 2=1；(2)-33,-12 ∪12,33 ．【解析】(1)圆A 化为标准方程：(x -2)2+y 2=1，圆心A (2,0)，半径r =1，∴椭圆C 的右顶点标准为(2,0)，即a =2，∵圆心A (2,0)到直线l 1:bx -ay =0的距离d =2ba 2+b 2，∴圆A 上的点到直线l 1:bx -ay =0的距离的最大值为d +r =2ba 2+b 2+1=255+1，∴2b 4+b 2=255，解得b =1，∴椭圆C 的方程为x 24+y 2=1．(2)由题意可知，直线l 2的斜率一定存在，设直线l 2的方程为y =k (x -3)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，联立方程y =k (x -3)x 24+y 2=1，消去y 得(1+4k 2)x 2-24k 2x +36k 2-4=0，∴Δ=576k 4-4(1+4k 2)(36k 2-4)=16-80k 2>0，解得0≤k 2<15，∴x 1+x 2=24k 21+4k 2，x 1x 2=36k 2-41+4k 2，∴y 1+y 2=k x 1+x 2-6 =k ⋅24k 21+4k 2-6 =-6k1+4k 2，因为PQ =1+k 2 x 1+x 2 2-4x 1x 2 =1+k 2⋅16-80k 21+4k 2≤3所以可解得k 2≥18，所以15>k 2≥18设PQ 中点N ，所以N 12k 21+4k 2，-3k1+4k 2 ，∴OP +OQ =2ON =24k 21+4k 2，-6k 1+4k 2，∴k ON =-3k1+4k 212k 21+4k 2=-14k ，∴直线ON 的方程为y =-14kx ，∵OM =λ(OP +OQ )，∴M 为直线ON 与椭圆的交点，联立方程y =-14k x x 24+y 2=1 ，解得x =±16k 21+4k 2，∴M 16k 21+4k 2，-14k 16k 21+4k 2 或M -16k 21+4k 2，14k 16k 21+4k 2，∴OM =16k 21+4k 2，-14k 16k 21+4k 2 或OM -16k 21+4k 2，14k 16k 21+4k 2，∴±16k 21+4k 2=λ⋅24k 21+4k 2，∴16k 21+4k 2=λ2⋅24k 21+4k 22，∴λ2=16k 21+4k 2⋅1+4k 224k 2 2=136k2+19，又∵18≤k 2<15，∴13≥136k 2+19>14，∴13≥λ2>14，∴12<λ≤33或-33≤λ<-12即实数λ的取值范围为-33,-12 ∪12,3324.已知椭圆C :x 24+y 2=1，点P 为椭圆C 上非顶点的动点，点A 1，A 2分别为椭圆C 的左、右顶点，过点A 1，A 2分别作l 1⊥PA 1，l 2⊥PA 2，直线l 1，l 2相交于点G ，连接OG (O 为坐标原点)，线段OG 与椭圆C 交于点Q ，若直线OP ，OQ 的斜率分别为k 1，k 2.(1)求k1k 2的值；(2)求△POQ 面积的最大值．【答案】(1)14;(2)35【解析】(1)由题意知，A 1-2,0 ，A 22,0 ，设P x 0,y 0 x 0≠±2,y 0≠±1 ，设直线l 1的方程为：y =-x 0+2y 0x +2 ，设直线l 2的方程为：y =-x 0-2y 0x -2 ，所以解得点G -x 0,-4y 0 ，所以k 1=y 0x 0，k 2=4y 0x 0，即k 1k 2=14.(2)由(1)知，设直线OP 的方程为：y =k 1x ，直线OQ 的方程为：y =4k 1x ，由y =k 1xx 24+y 2=1，得4k 21+1 x 2=4，又对称性，设x P >0，所以P 24k 21+1,2k 14k 21+1，所以OP =2k 21+14k 21+1，由(1)知x P 和x Q 异号，由y =4k 1xx 24+y 2=1，得64k 21+1 x 2=4，所以Q -264k 21+1,-8k 164k 21+1，点Q 到直线y =k 1x 的距离为：d =6k 1k 21+1×64k 21+1，即S △POQ =12×OP ×d =12×2k 21+14k 21+1×6k 1 k 21+1×64k 21+1=6k 1 4k 21+1×64k 21+1=6×k 214k 21+1 ×64k 21+1 =6×k 21256k 41+68k 21+1=6×1256k 21+68+1k 21≤6×168+2256k 21×1k 21=35等号成立条件为，当且仅当256k 21=1k 21即k 1=±14等号成立，故△POQ 面积的最大值为：35.25.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率为32，过C 的右顶点A的直线l 与C 的另一交点为P .当P 为C 的上顶点时，原点到l 的距离为255.(1)求C 的标准方程；(2)过A 与l 垂直的直线交抛物线y 2=8x 于M ,N 两点，求△PMN 面积的最小值.【答案】(1)x 24+y 2=1;(2)9【解析】(1)由题意知：A a ,0 ，若P 为C 的上顶点，则P 0,b ，∴l :xa +y b=1，即bx +ay -ab =0，∴原点到l 的距离d =ab a 2+b2=255，又离心率e =c a =32，a 2=b 2+c 2，∴a =2，b =1，∴椭圆C 的标准方程为：x 24+y 2=1.(2)由题意知：直线l 斜率存在；①当直线l 斜率为0时，l :y =0，P -2,0 ；此时直线MN :x =2，则M 2,4 ，N 2,-4 ，∴S △PMN =12MN ⋅PA =12×8×4=16；②当直线l 斜率存在且不为0时，l :y =k x -2 ，由y =k x -2x 24+y 2=1得：1+4k 2 x 2-16k 2x +16k 2-4=0，又A 2,0 ，∴x P =8k 2-21+4k 2，则y P =-6k 1+4k 2，∴P 8k 2-21+4k 2,-4k1+4k 2；又直线MN :y =-1kx -2 ，由y =-1k x -2y 2=8x得：x 2-8k 2+4 x +4=0，∴x M +x N =8k 2+4；∵y 2=8x 的焦点为A 2,0 ，∴MN =x M +x N +4=8k 2+8，又AP =8k 2-21+4k 2-2 2+-4k 1+4k 2 2=4k 2+11+4k 2，∴S △PMN =12AP ⋅MN =16k 2+1 ⋅k 2+11+4k 2，设k 2+1=t >1，则k 2=t 2-1，∴S △PMN =16t 34t 2-3t >1 ，令f t =16t 34t 2-3，则ft =48t 24t 2-3 -16t 3⋅8t 4t 2-3 2=16t 22t +3 2t -3 4t 2-3 2，∴当t ∈1,32 时，f t <0；当t ∈32,+∞ 时，f t >0；∴f t 在1,32 上单调递减，在32,+∞ 上单调递增，∴f t min =f 32=9，即S △PMN min =9；综上所述：△PMN 面积的最小值为9.26.已知曲线C 由C 1:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0,x ≥0)和C 2:x 2+y 2=b 2(x <0)两部分组成，C 1所在椭圆的离心率为32，上、下顶点分别为B 1,B 2，右焦点为F ,C 2与x 轴相交于点D ，四边形B 1FB 2D 的面积为3+1.(1)求a ,b 的值；(2)若直线l 与C 1相交于A ,B 两点，AB =2，点P 在C 2上，求△PAB 面积的最大值.【答案】(1)2；1；(2)2.【解析】(1)由题意知c a =3212b +c ⋅2b =3+1a 2=b 2+c 2⇒a =2b =1 ；(2)①当AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为y =kx +m ，y =kx +m x 2+4y 2=4⇒1+4k 2x 2+8kmx +4m2-4=0 ，Δ=64k 2m 2-41+4k 2 4m 2-4 =164k 2-m 2+1 >0，且-8km 1+4k 2>04m 2-41+4k 2≥0⇒m ≥1 ，AB =1+k 2⋅44k 2-m 2+11+4k 2=2⇒12k 2-4m 2-4k 2m 2+3=0，计算可得m 2=34k 2+14k 2+1，故原点O 到直线AB :y =kx +m 的距离d =m 1+k 2=34k 2+121+k 2 ≤3+4k 2+141+k 2=1，当3=4k 2+1时，即k =22m =-62或k =-22m =62时取等号，故原点O 到直线AB 的距离d 的最大值为1，则点P 到直线AB 的距离h ≤d+1≤2，故S △PAB =12AB h =h ≤2，∴△PAB 面积最大值2；②当AB 斜率不存在时，A 0,-1 ,B 0,1 ，此时S △PAB =12×2×1=1<2.综上：△PAB 面积的最大值为2.27.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的上顶点B ，左、右焦点分别为F 1-c ,0 、F 2c ,0 ，△F 1BF 2是周长为4+42的等腰直角三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P -1,-1 ，且互相垂直的直线l 1、l 2分别交椭圆C 于M 、N 两点及S 、T 两点.①若直线l 1过左焦点F 1，求四边形MSNT 的面积；②求PM ⋅PN PS ⋅PT的最大值.【答案】(1)x 28+y 24=1;(2)①3269；②2.【解析】(1)因为△F 1BF 2是等腰直角三角形，且BF 1 =BF 2 =a ，F 1F 2 =2c ，由勾股定理可得BF 1 2+BF 2 2=F 1F 2 2，即2a 2=4c 2，则a =2c ，因为△F 1BF 2的周长为2a +2c =22+1 c =4+22，可得c =2，a =22，b =a 2-c 2=2，因此，椭圆C 的标准方程为x 28+y 24=1.。

第08讲 拓展三：三角形中面积（定值，最值，取值范围）问题 (精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：典型例题剖析高频考点一：求三角形面积（定值问题）高频考点二：根据三角形面积求其它元素高频考点三：求三角形面积最值高频考点四：求三角形面积取值范围第三部分：高考真题感悟1、三角形面积的计算公式：①12S =⨯⨯底高； ②111=sin sin sin 222S ab C ac B bc A ==； ③1()2S a b c r =++（其中，,,a b c 是三角形ABC 的各边长，r 是三角形ABC 的内切圆半径）； ④4abc S R=(其中，,,a b c 是三角形ABC 的各边长，R 是三角形ABC 的外接圆半径). 2、三角形面积最值：核心技巧：利用基本不等式222()22a b a b ab ++≤≤，再代入面积公式. 3、三角形面积取值范围：核心技巧：利用正弦定理2sin a R A =，2sin b R B =，代入面积公式，再结合辅助角公式，根据角的取值范围，求面积的取值范围.高频考点一：求三角形面积（定值问题）1．（2022·河南·模拟预测（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足()2cos cos cos c C a B b B C =-+.(1)求角C ；(2)若6c =，ABC 的面积6sin S b B =，求S .【答案】(1)π3(2)(1)因为πA B C ++=，所以()cos cos B C A +=-，所以2cos cos cos c C a B b A =+，由正弦定理得()2sin cos sin cos sin cos sin C C A B B A A B =+=+.因为()sin sin A B C +=，所以2sin cos sin C C C =.因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2C =，则π3C =. (2)由6sin S b B =，根据面积公式，得16sin sin 3sin 2b B ac B a B ==，所以2a b =. 由余弦定理得2221cos 22a b c C ab +-==，整理得2236a b ab +-=，即2336b =， 所以b =a =所以ABC 的面积11πsin 223S ab C ==⨯=2．（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()()sin sin sin sin sin sin 3sin sin A B C A B C A B+++-=. (1)求角C 的大小；(2)若ABC 外接圆的面积为12π，6b =，求ABC 的面积.【答案】(1)3π(2)(1)因为()()sin sin sin sin sin sin 3sin sin A B C A B C A B +++-=，由正弦定理，得()()3a b c a b c ab +++-=，整理得222a b c ab +-=，由余弦定理，得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===. 因为()0,C π∈，所以3C π=.(2)设ABC 外接圆的半径为R ，则212R ππ=，所以R =因为6b c ==，3C π=，所以ABC 是等边三角形.所以ABC 的面积为11sin 6622ab C =⨯⨯=3．（2022·全国·高三专题练习）已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin2B C a C +=. (1)求角A 的大小；(2)若点D 在边BC 上，且33CD BD ==，π6BAD ∠=，求△ABC 的面积. 【答案】(1)2π3A =；(1)由已知及正弦定理得：sin sin sin2B C A C C +=，又πBC A +=-， ∴π222B C A +=-，又sin 0C ≠， ∴sin 2A A ，则2sin cos222A A A =，而π022A <<， ∴cos 02A ≠，则sin 2A =π23A =，得2π3A =. (2)由2π3BAC ∠=，π6BAD ∠=，则π2DAC ∠=. 法一：在△ABD 中，πsin sin 6BD c BDA =∠，① 在△ADC 中，πsin sin 2CD b ADC =∠，② ∵πADB ADC ∠+∠=，∴sin sin BDA ADC ∠=∠，③由①②③得：2BD c CD b =，又33CD BD ==，得1BD =， ∴23c b =，不妨设2c m =，3b m =， 在△ABC 中，由余弦定理可得，()()2222π423223cos 3m m m m =+-⨯⨯，得21619m =， 所以11sin 2322ABC S b c BAC m m =⨯∠=⨯⨯△. 法二：π1sin sin 621π2sin sin 22BADADC c c AD BAD S c S b b AD CAD b ⋅∠===⋅∠△△. ∵△BAD 的边BD 与△ADC 的边DC 上的高相等，∴13BAD ADC S BD S DC ==△△，由此得：123c b =，即23c b =，不妨设2c m =，3b m =， 在△ABC 中，由余弦定理可得，()()2222π423223cos 3m m m m =+-⨯⨯，得21619m =，所以11sin 2322ABC S b c BAC m m =⨯∠=⨯⨯△. 4．（2022·河南三门峡·模拟预测（文））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos 3cos b a C c A C +=. (1)求tan C ；(2)若3c =，16sin sin 27A B =，求ABC 的面积. 【答案】(1)tan C =ABC S =(1)解：由题意得： 由正弦定理得sin sin cos sin cos 3cos B A C C A C +=， 所以()sin sin sin()3cos B A C B C π+=-=， 所以sin sin 3cos B B C= 又因为sin 0B ≠，所以1cos 3C =.所以sin C ==，sin tan cos C C C == (2)若3c =，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，得sin sin a b A B ===则a A =，b B =，则16216216sin sin 6161627ab A B A B ===⨯=，所以11sin 622ABC S ab C ==⨯=△5．（2022·全国·高三专题练习）在①()()()sin sin sin sin A B a b C B c +-=-，②sinsin 2B C b a B +=，③2tan tan tan B b A B c =+中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________．(1)求角A 的大小；(2)已知2AB =，D 为AB 中点，且2CD ab =，求ABC 面积．【答案】(1)选①3A π=；选②3A π=；选③3A π=(1)解：选①：()()()sin sin sin sin A B a b C B c +-=-，由正弦定理可得：()()()a b a b c b c +-=-，222a b c bc -=-，222a c b bc =+-，由余弦定理可得()2221cos ,0,22b c a A A bc π+-==∈，所以3A π=， 选②：sin sin 2B C b a B +=， 由正弦定理得：sin sinsin sin ,sin 02B C B A B B +=>， 所以sinsin ,sin sin 22B C A A A π+-==， cos 2sin cos ,cos 02222A A A A =>， 所以1sin 22A =，()0,A π∈，3A π=， 选③：2tan tan tanB b A B c=+， ∴由正弦定理可得：2tan sin tan tan sin B B A B C =+， 可得：sin 2sin cos ,sin sin sin cos cos BB B A BC A B⨯=+ 可得：()2sin 2sin 2sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin sin sin cos cos cos cos B BB A B B B A B B A A BC CA B A B===++， sin 0B ≠，sin 0C ≠，解得1cos 2A =， ()0,A π∈，3A π∴=． (2)解：2AB =，D 为AB 的中点，1AD BD ∴==，CDA CDB π∠+∠=，cos cos 0CDA CDB ∴∠+∠=，222211022CD b CD a CD CD+-+-+=，即22222CD a b +=+， 2CD ab=，()22a b ∴-=，a b ∴-)，a b ∴， 在ABC 中，由余弦定理有22)422cos60b b b =+-⋅⋅⋅，解得1b =，)121sin 23ABC S π=⋅⋅⋅=△高频考点二：根据三角形面积求其它元素1．（2022·江苏南京·模拟预测）请在①向量,sin c a x B b c -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，,sin b c y A c a -⎛⎫= ⎪+⎝⎭，且x y ；π2sin 3c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭这两个条件中任选一个填入横线上并解答．在锐角三角形ABC 中，已知角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，．(1)求角C ；(2)若ABC 的面积为2a b +的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)π3C =(2)()8,10 (1)选择①：因为x y ，所以()()sin sin c a A b c B b c c a --=++， 由正弦定理得，()()c a a b c b c c ab --=++， 即()()2222ac a b b c -=-，即2233ac bc a b +=+，即()()()222c a b a b a ab b +=+-+，即222c a b ab =+-．因为2221cos 22a b c C ab +-==， 又C 为锐角，所以π3C =． 选择②：π2sin 3c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，π2sin sin 3B C A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，sin sin cos B C A C A =．又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，cos sin sin A C C A =．因为sin 0A >sin C C =，又C 为锐角，所以tan C π3C =．(2)因为1sin 2ABC S ab C === 所以8ab =，则822a b a a+=+． (法一)由余弦定理得，222222cos 8c a b ab C a b =+-=+-．①因为ABC 为锐角三角形，所以cos 0,cos 0,A B >⎧⎨>⎩即2222220,0.b c a a c b ⎧+->⎨+->⎩将①代入上式可得224,4,b a ⎧>⎨>⎩即2284,4,a a ⎧⎛⎫>⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪>⎩解得24a <<． 令()82f a a a =+，，则()()22224820a f a a a-=-=>'， 所以()f a 在24a <<上单调递增，所以()()()24f f a f <<，即()810f a <<，即2a b +的取值范围为()8,10．(法二)由正弦定理得π1sin sin sin 11322sin sin sin 2tan B B B a A b B B B B⎛⎫+ ⎪⎝⎭====+， 又288a a a b a==，所以21182tan a B =． 因为ABC 为锐角三角形，所以2ππ0,32π0,2A B B ⎧<=-<⎪⎪⎨⎪<<⎪⎩解得ππ62B <<因为tan B10tan B <<111222tan B<<， 即21228a <<，解得24a <<． 令()82f a a a =+，24a <<，则()()22224820a f a a a-=-=>'， 所以()f a 在24a <<上单调递增，所以()()()24f f a f <<，即()810f a <<，即2a b +的取值范围为()8,10．2．（2022·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）在ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知22cos b a c B =-(1)求C 的大小；(2)若ABC的面积为cos2cos2A B +的值.【答案】(1)3π;(2)56-. (1)因为22cos b a c B =-，所以由正弦定理得sin 2sin 2sin cos B A C B =-,所以sin 2sin()2sin cos B B C C B =+-，所以o s s in 2sin cos 2c sin 2sin cos B C B C C B B =+-,即sin 2sin cos B B C =sin 0B ≠，1cos 2C ∴=，(0,)C π∈，3C π∴=.(2)因为ABC的面积为1sin 2ab C =8ab =，2sincRC∴=，解得3c=，由余弦定理可得，2222cosc a b ab C=+-，所以2217a b+=，2222221cos2cos222(sin sin)22()()2()226a bA B A B a bR R⎡⎤+=-+=-+=-+⎢⎥⎣⎦,5cos2cos26A B∴+=-.3．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））如图，在ABC中，2AC=，120ACB∠=︒，D是边AB上一点.(1)若CAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，求BD的长；(2)若D是边AB的中点，ABC的面积为CD的长.【答案】(1)由120ACB∠=︒，2AC=，CAD是以AD为斜边的等腰直角三角形所以2CD=，30BCD∠=︒，15B∠=︒，则()sin sin4530sin45cos30cos45sin30B=︒-︒=︒︒-︒︒=.在△BCD中，由正弦定理知sin sinBD CDBCD B=∠，则sinsinCD BCDBDB∠⋅==(2)由1sin2ABCS CA CB ACB∠=⋅⋅=△4BC==.又D是边AB的中点，所以()11112222CD CA AD CA AB CA CB CA CA CB=+=+=+-=+，则()22211124222CD CA CB CA CB CA CB=+=++⋅==故CD=4．（2022·河南郑州·高一期中）在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量(2,3a a=，(,sin)b c C=，且a b∥．(1)求角A(2)若c＝2，且△ABC AC边上的中线BM的大小．【答案】(1)3Aπ=(2)BM=(1)因为a b∥，(2,3a a=，(sin)b c C=⋅，所以2sina C．因为0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 0C >，所以sin A =． 因为0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3A π=；(2)因为△ABC 1sin 2bc A = 因为c ＝2．3A π=．所以3b =．在三角形ABM 中，∵M 为AC 的中点．∴1322AM b ==，由余弦定理得 2222331132cos 4222224BM AM AB AB AM A ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭．所以BM =． 5．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()cos cos sin a B C A C a -=-.以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为1O ，2O ，3O .(1)求A ；(2)若a =123O O O ABC 的周长.【答案】(1)60︒(2)3(1)解：由()()cos cos sin a B C A C a -=-，得()cos cos sin cos a B C a A C A -+=，即()()cos cos sin cos a B C a B C C A --+=，即()()cos cos sin sin cos cos sin sin sin cos a B C B C a B C B C C A +--=即2sin sin sin cos a B C C A =，∵sin 0C ≠，∴sin cos a B A =，由正弦定理得sin sin cos A B B A =，∵sin 0B ≠，∴sin A A =，∴tan A =∵0180A <<︒︒，∴60A =︒.(2)解：如图，连接1AO ､3AO ，则1AO =，3AO =，正123O O O 面积2213131sin 602S O O O =⋅⋅︒==，∴21373O O =， 而60BAC ∠=︒，则13120O AO ∠=°，∴13O AO 中，由余弦定理得：222131313132cos O O AO AO AO AO O AO =+-⋅⋅∠， 有2271233332b c bc ⎛⎫=+-⋅⋅- ⎪⎝⎭，则227b c bc ++=，在ABC 中，60A =︒，a =2222cos a b c bc BAC =+-∠，则223b c bc +-=， ∴2bc =，225b c +=，∴3b c +=，所以ABC 的周长为3.高频考点三：求三角形面积最值1．（2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习）ABC ∆中，60,A a =︒=(1)若2b c =，求(2)求三角形面积的最大值【答案】(1)已知60,A a =︒=2b =，，由余弦定理有：2222431cos 242b c a c A bc c +-+-===， 2210c c -+=，所以=1c .(2)由余弦定理有，222222cos 2a =b c bc A b c bc bc bc bc +-=+-≥-=，当且仅当“=b c ”时取等，所以3bc ≤.所以1sin 2S bc A ==≤2．（2022·山西·运城市景胜中学高二阶段练习（理））在ABC 中，b ，c 分别为内角B ，C 的对边长，设向量cos 2A m ⎛= ⎝cos 2A n ⎛= ⎝22m n ⋅=．(1)求角A 的大小；(2)若a =，求三角形面积的最大值．【答案】(1)4π(2))514+(1)由22m n ⋅=得：22cos sin 222A A -=；即cos 2A =因为()0A π∈，，所以4A π=(2)由2222cos a b c bc A =+-得：225b c +=又222b c bc +≥∴ (52bc ≥∴ (522bc ≤∴ ()52511()2224ABC maxS=⋅=.三角形面积的最大值为)514.3．（2022·上海·高三专题练习）已知()21cos cos 2f x x x x =-+. （1）若ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的取值范围；（2）设ABC 的三边分别是a ，b ，c ，周长为2，若()12f B =-，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）12．（1）()211cos21cos cos 2222x f x x x x x +=-+=-+ sin 2coscos 2sinsin 2666x x x πππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，又ππ,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,662x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()f x 的取值范围为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．（2）由()12f B =-可得，1sin 262B π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，而112,666B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以7266B ππ-=，解得23B π=．由于2222222cos3b ac ac a c ac π=+-=++，又2a b c ++=，所以()2222a c a c ac --=++，化简可得，()44ac a c +=+，而2a c >+≥1ac <，所以()44ac a c +=+≥a c =4+4-28ac ≤-故ABC 面积的最大值为()max 1sin 122S ac B ==． 4．（2022·河南·高三阶段练习（理））在ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()(),2,cos ,cos m a b c n B A =-=，且m n ⊥.（1）求角A 的大小；（2）若ABC 外接圆的半径为2，求ABC 面积的最大值.【答案】（1）3A π=；（2）（1）依题意得：cos (2)cos 0a B b c A +-=，则sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=， ∴sin 2sin cos C C A =，又sin 0C ≠， ∴1cos 2A =，()0,A π∈，故3A π=.（2）法一：由正弦定理得2sin 4sin b R B B ==，24sin 4sin 3c C B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴ABC 面积121sin sin sin 232S bc A B B B B B π⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭)26sin cos 3sin 21cos 22,6B B B B B B π⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭由3A π=得：203B π<<，则72666B πππ-<-<， ∴1sin 2126B π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，故262B ππ-=，即3B π=时，max S =.法二：由正弦定理得：2sin a R A ==2222cos a b c bc A =+-， ∴22122b c bc bc +=+≥，当且仅当b c =时取等号，∴12bc ≤，max max 1()sin 23S bc π==5．（2022·福建省厦门第六中学高一阶段练习）已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，cos sin 0a C C b c --=．(1)求A ；(2)若2a =，求ABC 的面积的最大值． 【答案】(1)3π；(1)解：在ABC 中，因为cos sin 0a C C b c --=，所以由正弦定理有sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=，即sin cos sin sin()sin A C A C A C C -+-sin cos sin sin cos cos sin sin 0A C A C A C A C C =---=，sin cos sin sin 0A C A C C --=， 因为(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，cos 10A A ，即1sin()62A π-=，因为(0,)A π∈，所以5666A πππ-<-<， 所以66A ππ-=，解得：3A π=.(2)解：因为2a =，所以由（1）及余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，则2242cos3b c bc π=+-，即224b c bc =+-，222b c bc +≥，则222b c bc bc bc +-≥-，即4bc ≥，即4bc ≤，当且仅当2b c ==时，取等号，所以()max 4bc =， 所以ABC的面积的最大值为11sin 422S bc A ==⨯=6．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）已知等腰三角形ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin b A B =，c (c ＋b )＝(a ＋b )(a －b )． (1)求A 和b ；(2)若点E ，F 分别是线段BC (含端点)上的动点，且BF ＞BE ，在运动过程中始终有3EAF π∠=，求△EAF 面积的最小值．【答案】(1);23π(1)由正弦定理得：sin b A B =即：22a bb R R⨯= (R 为三角形ABC 的外接圆半径)，故a =，由()()()c c b a b a b ＋＝＋－ 得：222c b a bc +-=- ， 则1cos 2A =- ，因为(0,)A π∈ ，故23A π=； 由等腰三角形ABC 可得6B π=，故622sin3b ππ== ；(2)由（1）知：2a b c === ，由点E ，F 分别是线段BC (含端点)上的动点，且BF >BE ，在运动过程中始终有3EAF π∠= ， 知点E 在点F 的左边,如图：设EAB θ∠= ，3EAF π∠=不变，可知[0,]3πθ∈,在ABE △中，由正弦定理可得5sin sin(6)6AEAB ππθ=-， 5sin()16AE πθ∴=-， 在ABF 中，由正弦定理可得6sin sin()2AFABππθ=-，1cos AF θ∴=，故1||||sin 52cos s 1136in()AEFSAE AF ππθθ=⨯-12sin(2)6θ++，[0,]3πθ∈，∴16sin(2)[,1]2πθ+∈，∴三角形AEF6πθ=．7．（2022·福建·厦门双十中学高一期中）为响应国家“乡村振兴”号召，农民王大伯拟将自家一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：△BNC 区域为荔枝林和放养走地鸡，△CMA 区域规划为“民宿”供游客住宿及餐饮，△MNC 区域规划为小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.为安全起见，在鱼塘△MNC 周围筑起护栏.已知40m AC =，BC =，AC BC ⊥，30MCN ∠=︒.(1)若20m AM =时，求护栏的长度（△MNC 的周长）；(2)当ACM ∠为何值时，鱼塘△MNC 的面积最小，最小面积是多少？【答案】(1)60+(2)15ACM ∠=︒，最小值为(212002km .(1)由40m AC =，BC =，AC BC ⊥，则tan AC B BC ==， 所以30B =︒，60A =︒，则280AB AC ==，在△ACM 中，由余弦定理得22212cos 16004002402012002CM AC AM AC AM A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，则CM = 所以222AC AM CM =+，即CM AB ⊥，又30MCN ∠=︒， 所以tan3020MN CM =︒=，则240CN MN ==，综上，护栏的长度（△MNC的周长）为204060++=+(2)设()060ACM θθ∠=︒<<︒， 在△BCN 中，由()sin 30sin 90CN BC θ=︒︒+，得CN =所以()1300sin 302sin 60cos CMNSCM CN θθ=⋅︒=+︒，而()21sin 60cos sin cos 2θθθθθ+︒=()()1111sin 21cos 2sin 22sin 2604222θθθθθ⎛⎫=+=+=+︒+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以CMNS=，仅当26090θ+︒=︒，即15θ=︒时，()2sin 260θ+︒2+此时△CMN 的面积取最小值为(212002km .8．（2022·上海徐汇·二模）某动物园喜迎虎年的到来，拟用一块形如直角三角形ABC 的地块建造小老虎的休息区和活动区．如图，90BAC ∠=︒，20AB AC ==（单位：米），E 、F 为BC 上的两点，且45EAF ∠=︒，AEF 区域为休息区，ABE △和ACF 区域均为活动区．设()045EAB αα∠=<<︒．(1)求AE 、AF 的长（用α的代数式表示）；(2)为了使小老虎能健康成长，要求所建造的活动区面积尽可能大（即休息区尽可能小）．当α为多少时，活动区的面积最大？最大面积为多少？【答案】(1)20sin cos AE αα=+米，AF(2)当α为8π时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为(2002平方米. (1)由题意得，20AB AC ==米，90BAC ∠=︒，则45ABC ACB ∠=∠=︒， 又由()045EAB αα∠=<<︒，180135AEB EAB ABE α∴∠=︒-∠-∠=︒-，9045CAF EAF EAB α∠=︒-∠-∠=︒-，所以18090AFC CAF ACF α∠=︒-∠-∠=︒+；在ABE △中，由正弦定理得：sin sin AE ABABE AEB=∠∠，即()2020sin 45sin 135sin cos AE AE ααα=⇒=︒︒-+米；同理，在ACF 中，sin sin AF ACACF AFC=∠∠，即()20sin 45sin 90AF AF α=⇒=︒︒+(2)由（1）知，综20sin cos AE αα=+米，AF =所以小老虎休息区AEF 面积为:1120sin sin 4522sin cos AEF S AF AE EAF αα=⨯⨯⨯∠=⨯︒+△ 化简得：210010020011cos2sin cos cossin 221224AEF S αααααα===+π+⎛⎫+++ ⎪⎝⎭△ 又()045EAB αα∠=<<︒，∴32444πππα<+<，则当242ππα+=，即8πα=时，AEFS取得最小值)20020012184=ππ⎛⎫⨯++ ⎪⎝⎭；此时小老虎活动区面积S 取得最大值，即)(12020200120022ABC AEF S S S =-=⨯⨯-=△△平方米.综上所述：当α为8π时，小老虎活动区的面积最大，最大面积为(2002平方米. 高频考点四：求三角形面积取值范围1．（2022·江苏·无锡市第一中学高一期中）已知ABC 的内角A ､B ､C 所对的边分别为a ､b ､c ，且()sin sin sin b c B c C a A -+=，cos cos 1b C c B +=.(1)求A 和a 的大小；(2)若ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积的取值范围.【答案】(1)π3A =，1a =(2)⎝⎦(1)因为()sin sin sin b c B c C a A -+=，由正弦定理得，()22b c b c a -+=，即222a b c bc =+-，由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，所以1cos 2A =， 又()0,πA ∈，所以π3A =.因为cos cos 1b C c B +=，由余弦定理得， 222222·122a b c a c b b c ab ac+-+-⋅+=，可得1a = 所以π3A =，1a =.(2)由（1）知π3A =，1a =，由正弦定理得，sin sin B a B A b ==，sin 2πsin 3a C c C B A ⎛⎫===- ⎪⎝⎭. 因为ABC 为锐角三角形，所以π0,22ππ0,32B C B ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，得ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.从而ABC 的面积121sin sin πsin 232S bc A B B B B B ⎛⎫⎛⎫==⋅-=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭211cos 2sin cos 224B B B B B ⎫⎫-=⋅=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭1π2cos 2226B B B ⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭又ππ,62B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，ππ5π2,666B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以π1sin 2,162B ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，从而ABC的面积的取值范围为⎝⎦.2．（2022·四川绵阳·高一期中）在ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，且2tan tan tan B bA B c=+．(1)求角A 的大小；(2)若ABC 是锐角三角形，2b =，求ABC 面积的取值范围． 【答案】(1)3A π=；(2). (1)解：由2tan tan tan B bA B c =+得2sin cos sin sin cos cos sin sin B A B A B A B C=+，即()2cos 1sin sin A A B C=+，又sin()sin A B C +=，所以1cos 2A = 因为0A π<<，故3A π=.(2)解：1sin 2ABCSbc A == ，由正弦定理知：2sin sin 31sin sin B b C c B B π⎛⎫+ ⎪⎝⎭===+. 因为ABC 是锐角三角形，所以022032B C B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩,所以62B ππ<<，于是tan B 14c <<.ABCS <<3．（2022·浙江·瑞安市瑞祥高级中学高一阶段练习）ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知(),,sin ,sin 2A C m a b n A +⎛⎫== ⎪⎝⎭，且//m n .(1)求B ；(2)若ABC为锐角三角形，且a =ABC 的面积的取值范围. 【答案】(1)3B π=(2)⎝ (1)解：由题意，向量(),,sin ,sin 2A C m a b n A +⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为//m n ，可得sinsin 2A Ca b A +=， 又由正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=， 因为(0,)A π∈，所以sin 0A >，所以sin sin 2A CB +=， 即sin sin cos22BB B π-==，所以2sin cos cos 222B B B =， 可得cos2sin 1022B B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos 02B =或1sin 22B =， 又因为()0,B π∈，所以3B π=.(2)解：由（1）结合正弦定理sin sin sin a b c A B C==sin sin 3b cC π==，所以()sin A B c A +===所以191sin 22tan ABCSac B A === 又由ABC 为锐角三角形，且3B π=，则022032A A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62A ππ<<，因为tan y x =在,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭单调递增，所以tan A >ABCS<<ABC S⎝∈.4．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）在ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin a b A Cc A B--=+． (1)求角B 的值；(2)若ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求ABC 的面积S 的取值范围．【答案】(1)60B =︒(2)S ∈⎝⎭(1)由已知及正弦定理，得a b a cc a b--=+， 即()()()a b a b c a c -+=-，即222a b ac c -=-，即222a c b ac +-=． 由余弦定理，得2221cos 22a cb B ac +-==，因为()0,180B ∈︒︒，所以60B =︒．(2)因为120A C +=︒，c ＝1，由正弦定理，得()sin 120sin 1sin sin 2C c A a C C ︒-===所以11sin sin 60122S ac B a ⎫==︒=⎪⎪⎝⎭因为ABC 为锐角三角形，则3090C ︒<<︒，从而tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，所以S ∈⎝⎭5．（2022·广东茂名·高一阶段练习）在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin A B a cC a b--=+．(1)求角B 的值；(2)若△ABC 为锐角三角形，且2c =，求△ABC 的面积S 的取值范围．【答案】(1)60°；(2)⎝﹒ (1)∵sin sin sin A B a c C a b--=+，∴由正弦定理得a b a cc a b--=+，即()()()a b a b c a c -+=-，即222a b ac c -=-， 即222a c b ac +-=，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==，∵()0,180B ∈︒︒，∴60B =︒； (2)∵B =60°，∴120A C +=︒，即A =120°-C ，又∵2c =，∴由正弦定理得()2sin 120sin 1sin sin C c A a C C ︒-====，∴1sin sin 6012ABC S ac B a ⎫==︒=⎪⎪⎝⎭△，∵△ABC 为锐角三角形，∴090090120A C A C ︒<<︒⎧⎪︒<<︒⎨⎪=︒-⎩，解得3090C ︒<<︒，从而tan C ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，∴S ∈⎝． 6．（2022·湖北·宜昌市夷陵中学高一期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知cos cos 2sin a bB AC c c+=．(1)求角C 的大小；(2)若ABC 是锐角三角形，且4b =，求ABC 面积的取值范围． 【答案】(1)6C π=或56C π=(2) (1)由正弦定理可得sin cos sin cos cos cos =2sin sin a b A B B AB AC c c C++= 整理得2sin()sin 2sin A B C C +== 因为(0,)C π∈，所以sin 0C >， 所以1sin 2C =，所以6C π=或56C π=(2)因为4b =，所以1sin 26ABCSab a π==，由正弦定理可得54sin()sin 26sin sin tan B b A a BB Bπ-===+因为ABC 是锐角三角形， 所以6C π=，所以,500262πππB B <<<-< 所以32B ππ<<所以tan 0B >，10tan B <<可得a <<即ABC面积的取值范围为 7．（2022·江苏省苏州第十中学校高一期中）已知ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且()2cos cos a b C c B -= (1)求角C(2)若2a =，3b =，CD 为角C 的平分线，求CD 的长； (3)若cos cos 4a B b A +=，求锐角ABC 面积的取值范围. 【答案】(1)3π(3)⎝ (1)解：由()2cos cos a b C c B -=及正弦定理得()2sin sin cos sin cos A B C C B -=所以()2sin cos sin sin A C B C A =+= ∴sin 0A ≠，∴1cos 2C = ∵0C π<<，∴3C π=(2)解：设CD x =由+=ACDBCDABCSSS得1111132622222x x ⋅⋅+⋅⋅=⨯解得x =CD(3)解：设ABC 外接圆半径为R ，由cos cos 4a B b A += 2sin cos 2sin cos 4R A B R B A +=，即2sin 4R C =，即42sin sin cR C C==，∴4c = 所以ABC的面积1sin 2S ab C ==∵sin sin b a B A ==∴a A =，b B∴2sin 3S A A π⎛⎫- ⎪⎝⎭22sin cos cos sin 33A A A ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1sin 2A A A ⎫=+⎪⎪⎝⎭21cos sin 2A A A ⎫=+⎪⎪⎝⎭11cos244A A ⎫=-+⎪⎪⎝⎭26A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵02A π<<，02B π<<，23A B π+=， ∴2032A <-<ππ， ∴62A ππ<<， ∴52666A πππ<-<，∴1sin 2126A π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，∴S ∈⎝1．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=． （1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件②：ABC 的周长为4+ 条件③：ABC 【答案】（1）6π；（2）答案不唯一，具体见解析． （1）2cos c b B =，则由正弦定理可得sin 2sin cos C B B =， 2sin 2sin3B π∴==23C π=，0,3B π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，220,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 23B π∴=，解得6B π=；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得sin 21sin 2c Cb B=== 与c =矛盾，故这样的ABC 不存在； 若选择②：由（1）可得6A π=，设ABC 的外接圆半径为R ， 则由正弦定理可得2sin 6a b R R π===，22sin3c R π=， 则周长24a b c R ++=+=+ 解得2R =，则2,a c ==由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：=若选择③：由（1）可得6A π=，即a b =，则211sin 22ABCSab C a ===，解得a = 则由余弦定理可得BC 边上的中线的长度为：2．（2019·全国·高考真题（理））ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围． 【答案】(1) 3B π=;(2). (1)根据题意sin sin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sinsin 2A CB +=． 0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A C B π++=，而根据题意A B C π++=，故2A CB π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=， 故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =， 由三角形面积公式有：222sin()111sin 3sin sin sin 222sin sin ABCC a A Sac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅=⋅=22sin cos cos sin 2123133(sin cos )sin 3tan 38tan C C C C C ππππ-=-=+又因,tan 62C C ππ<<>318tan C <<ABCS <<. 故ABCS的取值范围是 3．（2017·上海·高考真题）已知函数()()221cos sin ,0,2f x x x x π=-+∈．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设ABC 为锐角三角形，角A所对边a =B 所对边5b =，若()0f A =，求ABC 的面积． 【答案】（1）,2；（2（1）依题意2211()cos sin cos 20,π22f x x xxx ，由2ππ22πk x k -≤≤得πππ2k x k -≤≤，令1k =得ππ2x ≤≤.所以()f x 的单调递增区间,2.（2）由于a b <，所以A 为锐角，即π0,02π2A A <<<<.由()0f A =，得11cos 20,cos 222A A +==-，所以2ππ2,33A A ==. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅，2560c c -+=，解得2c =或3c =.当2c =时，222cos 02a c b B ac +-==<，则B 为钝角，与已知三角形ABC 为锐角三角形矛盾.所以3c =.所以三角形ABC 的面积为11sin 5322bc A =⨯⨯=4．（2013·湖北·高考真题（文））在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B+C ）=1． （1）求角A 的大小； （2）若△ABC 的面积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．【答案】（1）（2）57试题解析：（1）由cos 2A －3cos(B ＋C)＝1， 得2cos 2A ＋3cos A －2＝0， 即(2cos A －1)(cos A ＋2)＝0， 解得cos A ＝或cos A ＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A ＝.（2）由S ＝bcsin A ＝bc×＝bc ＝5，得bc ＝20，又b ＝5，知c ＝4.由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ＝25＋16－20＝21，故a ＝. 从而由正弦定理得sin B sin C ＝sin A×sin A ＝sin 2A ＝×＝.5．（2015·山东·高考真题（理））设()2sin cos cos 4f x x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若0,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求ABC ∆面积的最大值.【答案】（Ⅰ）单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）ABC ∆ 试题解析：解：（Ⅰ）由题意知()1cos 2sin 2222x x f x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=- sin 21sin 21sin 2222x x x -=-=- 由222,22k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ 可得,44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 可得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 所以函数()f x 的单调递增区间是(),44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；单调递减区间是()3,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦（Ⅱ）由1sin 0,22A f A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭得1sin 2A =由题意知A为锐角，所以cos A =由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-可得：2212b c bc +=+≥即：2bc ≤ 当且仅当b c =时等号成立.因此1sin 2bc A ≤所以ABC ∆。