苏教版高中数学选修1-2同步课堂精练3.2复数的四则运算

§3.2 复数的四则运算课时目标 1.理解复数四则运算的定义.2.掌握复数四则运算法则，能够熟练地进行复数的运算.3.理解共轭复数的概念．1．复数的加减法(1)设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i.则z 1＋z 2＝__________.z 1－z 2＝__________. 它们类似于多项式的合并同类项． (2)复数的加法满足交换律与结合律，即z 1＋z 2＝________.(z 1＋z 2)＋z 3＝____________. (3)复数减法是加法的__________． 2．复数的乘除法(1)z 1·z 2＝________________，z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i＝________________. (2)复数乘法满足交换律、结合律、分配律，即z 1z 2＝__________.(z 1z 2)z 3＝__________.z 1(z 2＋z 3)＝__________.3．共轭复数若z ＝a ＋b i ，则记z 的共轭复数为z ，即z ＝________. 共轭复数的性质 ①z z ∈R ，z ＋z ∈R ； ②z ＝z ⇔z ∈R .一、填空题1．复数z 1＝3＋i ，z 2＝－1－i ，则z 1－z 2＝__________.2．已知a 是实数，a －i1＋i是纯虚数，则a ＝________.3．复数i 3(1＋i)2＝________.4．已知a ＋2ii＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b ＝________.5．设i 是虚数单位，则i3i ＋1i －1＝________.6．若x －2＋y i 和3x －i 互为共轭复数，则实数x 与y 的值是________． 7．已知复数z ＝1＋i ，则2z－z ＝________.8．若21－i ＝a ＋b i (a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，则a ＋b ＝________.二、解答题9．计算：(1)(2＋i)(2－i)； (2)(1＋2i)2； (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i.10．已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y 的值．能力提升11．已知复数z 满足z ·z ＋2i·z ＝4＋2i ，求复数z .12．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋k i＝0有实根，求这个实根以及实数k的值．1．复数加减法可以类比多项式加减中的合并同类项．2．复数的乘法与多项式乘法是类似的，在所得结果中把i2换成－1.3．复数除法的实质是“分母实数化”，一般可以分子分母同乘以分母的共轭复数．4．解决复数问题时，可以将问题转化为复数的实虚部满足的条件，即实数化思想．§3.2复数的四则运算答案知识梳理1．(1)(a＋c)＋(b＋d)i (a－c)＋(b－d)i(2)z2＋z1z1＋(z2＋z3) (3)逆运算2．(1)(ac－bd)＋(bc＋ad)i ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(2)z2·z1z1·(z2z3)z1z2＋z1z33．a－b i作业设计1．4＋2i解析z1－z2＝(3＋i)－(－1－i)＝4＋2i. 2．1解析 a －i1＋i ＝a －i 1－i 1＋i1－i ＝a －1－a ＋1i2＝a －12－a ＋12i ，因为该复数为纯虚数，所以a ＝1. 3．2解析 i 3(1＋i)2＝i 3·2i＝2i 4＝2. 4．1 解析 ∵a ＋2ii＝b ＋i ，∴a ＋2i ＝b i －1.∴a ＝－1，b ＝2，∴a ＋b ＝1. 5．－1解析 ∵i ＋1i －1＝1＋i 2－1－i 1＋i ＝2i－2＝－i ，∴i3i ＋1i －1＝i 3·(－i)＝－i 4＝－1.6．x ＝－1，y ＝1解析 x －2＝3x ，y ＝－(－1)，即x ＝－1，y ＝1. 7．－2i解析 2z －z ＝21＋i －1－i ＝21－i 1＋i 1－i －1－i ＝－2i.8．2解析 由21－i ＝a ＋b i ，得2＝(a ＋b i)·(1－i)，∴2＝a ＋b ＋(b －a )i ，(a ，b ∈R )， 由复数相等的定义，知a ＋b ＝2.9．解 (1)(2＋i)(2－i)＝4－i 2＝4－(－1)＝5； (2)(1＋2i)2＝1＋4i ＋(2i)2＝1＋4i ＋4i 2＝－3＋4i.(3)方法一 原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i226＋2＋3i3＋2i 32＋22＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.方法二 (技巧解法)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i 226＋2＋3i i 3－2ii＝i 6＋2＋3i i2＋3i＝－1＋i.10．解 设x ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则y ＝a －b i. 又(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ， ∴4a 2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，a 2＋b 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋i ，y ＝1－i ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－i ，y ＝1＋i ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋i ，y ＝－1－i ，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i.11．解 设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ， 由题意得(a ＋b i)(a －b i)＋2(a ＋b i)i ＝4＋2i ， ∴a 2＋b 2－2b ＋2a i ＝4＋2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2－2b ＝4，2a ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴z ＝1＋3i 或z ＝1－i.12．解 设x ＝x 0是方程的实根，代入方程并整理得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0，由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝02x 0＋k ＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝2k ＝－22或⎩⎨⎧x 0＝－2k ＝22，∴方程的实根为x ＝2或x ＝－2， 相应的k 值为k ＝－22或k ＝2 2.。

1．若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝__________.2．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝117i 12i--(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为__________． 3．设a ∈R ，且1i 1i 2a -++是实数，则a ＝__________. 4．已知i 为虚数单位，则 2 0121i 1i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭__________.5．已知z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，且两复数的乘积z 1z 2的实部和虚部为相等的正数，则实数m 的值为__________．6．已知复数22i (1i)z +=+，则z 的共轭复数的虚部为__________． 7．若复数z 满足z －2i ＝1＋z i(i 为虚数单位)，则z ＝______.8．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝__________. ∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋(2＋8)i ＝－1＋10i.9．计算： (1)112i 2i 22⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；(2)(3＋2i)＋2)i ；(3)(1＋2i)＋(i ＋i 2)＋(3＋4i)；(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)． 10．已知复数2(1i)3(1i)2iz -++=-.(1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值．参考答案1答案： 6－2i 解析：由已知z ＝(3－i)＋(3－i)＝6－2i.2答案：8 解析：∵a ＋b i ＝117i 12i--，∴a ＋b i ＝(117i)(12i)(12i)(12i)-+-+＝5＋3i.根据复数相等的充要条件可得a ＝5，b ＝3，故a ＋b ＝8.3答案：－1 解析：1i (1i)1i (1)(1)i 1i 2222a a a a ---+-++=+=+. 则当此复数为实数时，有a ＋1＝0，∴a ＝－1.4答案：1 解析：∵21i (1i)i 1i 2--==-+. ∴ 2 0121i 1i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭＝(－i)2 012＝i 2 012＝i 4×503＝i 0＝1. 5答案：34解析：z 1z 2＝(1＋2i) ＝m ＋(m －1)i ＋2m i －2(m －1)＝(2－m )＋(3m －1)i ，由已知得2－m ＝3m －1＞0，解得m ＝34. 6答案：1 解析：∵22i 2i (2i)(i)12i 1i (1i)2i 222z +++--=====-+，∴1i 2z =+，即z 的共轭复数的虚部为1.7答案：13i 22-+ 解析：由已知得z －z i ＝1＋2i ， ∴12i (12i)(1i)13i 1i (1i)(1i)2z +++-+===--+ ＝13i 22-+. 8答案：－1＋10i 解析：∵z 1＋z 2＝(x ＋2i)＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ， 又z 1＋z 2＝5－6i ，∴3526x y +=⎧⎨-=-⎩，，∴28. xy=⎧⎨=⎩，∴z1＝2＋2i，z2＝3－8i.9答案：解：(1)原式＝1122i22⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝55i 22 -；(2)原式＝3＋(2－2)i＝3；(3)原式＝(1＋2i)＋(i－1)＋ (3＋4i) ＝(1－1＋3)＋(2＋1＋4)i＝3＋7i；(4)原式＝＋i＝8＋2i.10答案：解：(1)2i33i3i(3i)(2i)1i 2i2i5z-+++++====+--.(2)把z＝1＋i代入得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，所以121a ba+=⎧⎨+=-⎩，，解得34.ab=-⎧⎨=⎩，。

1．若复数z 满足z ＋i －3＝3－i ，则z ＝__________.2．设a ，b ∈R ，a ＋b i ＝(i 为虚数单位)，则a ＋b 的值为__________．117i 12i--3．设a ∈R ，且是实数，则a ＝__________.1i 1i 2a -++4．已知i 为虚数单位，则__________.2 0121i 1i -⎛⎫= ⎪+⎝⎭5．已知z 1＝1＋2i ，z 2＝m ＋(m －1)i ，且两复数的乘积z 1z 2的实部和虚部为相等的正数，则实数m 的值为__________．6．已知复数，则z 的共轭复数的虚部为__________．22i (1i)z +=+7．若复数z 满足z －2i ＝1＋z i(i 为虚数单位)，则z ＝______.8．设z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，且z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝__________.∴z 1－z 2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋(2＋8)i ＝－1＋10i.9．计算：(1)；112i 2i 22⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)(3＋2i)＋－2)i ；(3)(1＋2i)＋(i ＋i 2)＋(3＋4i)；(4)(6－3i)＋(3＋2i)－(3－4i)－(－2＋i)．10．已知复数.2(1i)3(1i)2iz -++=-(1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值．参考答案1答案： 6－2i 解析：由已知z ＝(3－i)＋(3－i)＝6－2i.2答案：8　解析：∵a ＋b i ＝，∴a ＋b i ＝＝5＋3i.根据复数相117i 12i--(117i)(12i)(12i)(12i)-+-+等的充要条件可得a ＝5，b ＝3，故a ＋b ＝8.3答案：－1　解析：.1i (1i)1i (1)(1)i 1i 2222a a a a ---+-++=+=+则当此复数为实数时，有a ＋1＝0，∴a ＝－1.4答案：1　解析：∵.21i (1i)i 1i 2--==-+∴＝(－i)2 012＝i 2 012＝i 4×503＝i 0＝1.2 0121i 1i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭5答案：　解析：z 1z 2＝(1＋2i)34＝m ＋(m －1)i ＋2m i －2(m －1)＝(2－m )＋(3m －1)i ，由已知得2－m ＝3m －1＞0，解得m ＝.346答案：1　解析：∵，∴，22i 2i (2i)(i)12i 1i (1i)2i 222z +++--=====-+1i 2z =+即z 的共轭复数的虚部为1.7答案：　解析：由已知得z －z i ＝1＋2i ，13i 22-+∴12i (12i)(1i)13i 1i (1i)(1i)2z +++-+===--+＝.13i 22-+8答案：－1＋10i 解析：∵z 1＋z 2＝(x ＋2i)＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ，又z 1＋z 2＝5－6i ，∴3526x y +=⎧⎨-=-⎩，，∴28.x y =⎧⎨=⎩，∴z 1＝2＋2i ，z 2＝3－8i.9答案：解：(1)原式＝1122i 22⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝；55i 22-(2)原式＝3＋(2－2)i ＝3；(3)原式＝(1＋2i)＋(i －1)＋ (3＋4i)＝(1－1＋3)＋(2＋1＋4)i＝3＋7i ；(4)原式＝＋i ＝8＋2i.10答案：解：(1).2i 33i 3i (3i)(2i)1i 2i 2i 5z -+++++====+--(2)把z ＝1＋i 代入得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以解得121a b a +=⎧⎨+=-⎩，，34.a b =-⎧⎨=⎩，。

自主广场我夯基 我达标1．（经典回放）2)3(31i i+-等于（ ） A.i 4341+ B.i 4341-- C.i 2321+ D.i 2321-- 思路解析:本题考查复数的基本运算.i i i i i i i i4341)31)(31(2)31(32231)3(3122--=-+-=+-=+- 答案:B 2.(安徽高考卷))2()4(52i i i ++等于（ ） A.5(1-38i) B.5(1+38i) C.1+38i D.1-38i 思路解析:本题考查复数的基本运算.5)138(512)4(5)2()4(522--=-+=++i i i i i i =1-38i. 答案:D3.(2004年重庆高考卷)设复数Z=1+22i 则Z 2-2Z 等于（ ）A.-3B.3C.-3iD.3i思路解析:本题考查复数的基本运算.∵Z=1+i 2,Z 2-2Z=(1+i 2)2-2(1+i 2)答案:A4.当Z=21i-时，Z 100+Z 50+1的值等于（ ）A.1B.-1C.iD.-i思路解析:本题考查复数的基本运算Z 2=21（1-2i-1)=-i Z 50=(-i)25=-i Z 100=(-i)2=-1 故原式=-i答案:D5.已知方程x 2+(4+i)x+4+ai=0（a ∈R )有实根b,且Z=a+bi,则复数Z=（ ）A.2-2iB.2+2iC.-2+2iD.-2-2i思路解析:考查复数相等的定义.把b 代入方程有b 2+(4+i)b+4+ai=0⎩⎨⎧=+=++.0,0442b a b b ⎩⎨⎧-==.2,2b a答案:A6.设复数Z=i 2321+-,则满足等式Z n =Z,且大于1的正整数n 中最小的是（ ） A.3 B.4 C.6 D.7思路解析:Z 3=1，Z n =Z,即Z n-1=1,n-1应是3的倍数，n-1=3时，n=4 故n 的最小值为4. 答案:B7.已知复数Z 0=3+2i ，复数Z 满足Z·Z 0=3Z+Z 0，则实数Z=___________.思路解析:复数代数形式的基本运算 Z=i i i i Z Z 231231223300-=+=+=- 答案: i 231-. 8.若对n 个复数α1,α2,α3…αn 存在n 个不全为零的实数k 1,k 2…k n ,使k 1α1+k 2α2+…+k n αn =0成立，则称α1,α2…αn 为线性相关，依次规定能使α1=1,α2=1-i,α3=2+2i 线性相关的实数k 1、k 2、k 3依次可以取_____________，（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）.思路解析:复数的相等的定义.-4×1+2(1-i)+1×(2+2i)=0答案:-4，2，19.复数Z=ii i +-++2)1(3)1(2,若Z 2+aZ+b=1+i,(a,b ∈R )则a+b=_____________. 思路解析:本题主要考查复数的基本运算Z=1-i,则代入Z 2+aZ+b=1+i 得，⎩⎨⎧=--=+.12,1a b a ∴⎩⎨⎧=-=.4,3b a ∴a+b=1. 答案:1我综合 我发展10.(2005年全国高考卷)复数i i 2123--=（ ）A.iB.-iC.i -22D.i +-22思路解析:本题主要考查复数的基本运算及复数的概念.i i i i i i i i i i 21222)2(1)21)(2(21221223+++-=-++=-+=-- 答案:A11.(2004年浙江高考卷)已知复数Z 1=3+4i,Z 2=t+i,且Z 12Z 是实数，则实数t 等于（ ） A.43 B.34 C.-34 D.-43 思路解析:本题主要考查复数的基本概念、基本运算，由Z 2=t+i 得2Z =t-i 故Z 12Z =（3+4i ）（t-i)=(3t+4)+(4t-3)i∵Z 12Z 为实数,∴4t-3=0,∴t=43. 答案:A12.(2004年广东高考卷)已知复数Z 与(Z+2)2-8i 均是纯虚数，则Z=_____________. 思路解析:本题考查复数的基本概念，基本运算依题意，设Z=bi,(b ∈R 且b≠0) ∴(Z+2)2-8i=(bi+2)2-8i=4-b 2+(4b-8)i∵(Z+2)2-8i 为纯虚数，∴4-b 2=0且4b-8≠0.∴b=-2,即Z=-2i.答案:-2i13.(2005年北京高考卷)若Z 1=a+2i,Z 2=3-4i,且21Z Z 为纯虚数，则实数a 的值为_____________. 思路分析:本题主要考查纯虚数的概念及基本运算.i a a i i i a i i a Z Z 25642583)4(9)43)(2(432221++-=-++=-+= 由21Z Z 为纯虚数，知2583-a =0且2564+a ≠0知a=38. 14.求（1+i)n (1-i)6-n 的值.思路分析:本题主要考查复数的基本运算.解：原式=（1-i)6n i i )11(-+=(-2i)3i n =8i n+1∴)4()34()24()14(8888k n k n k n k n ii =+=+=+=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--(k 为非负整数）.。

3.2 复数的四则运算 1、若复数z 满足1z =,则34i z --的最小值为( )A.1B.2C.3D.42、若i 为虚数单位,图中复平面内点Z 表示复数z ,则表示复数1z i+的点是( )A. EB. FC. GD. H 3、复数12,z z 分别对应复平面内的点12,M M ,且1212z z z z +=-,线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +,则2212z z +等于( )A.10B.25C.100D.2004、在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,若向量OA ,OB 对应的复数分别是3i +,13i +,则对应的复数是( )A. 24i +B. 24i -+C. 42i -+D. 42i -5、设11i z i +=-,()21f x x x =-+,则()f z = ( ) A. iB. i -C. 1i -+D. 1i --6、(1)(2)i i +-=( )A. 3i --B. 3i -+C. 3i -D. 3i -7、i 是虚数单位, 411i i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭等于( ) A. iB. i -C. 1D. 1-8、若复数 (32)z i i =- (i 是虚数单位),则z = ( )A. 32i -B. 32i +C. 23i +D. 23i -9、设i 是虚数单位,则复数32i i -= ( ) A. i -B. 3i -C. iD. 3i10、a 为正实数,i 为虚数单位, ii 2a +=,则a = ( ) A.2 B.D. 111、若12z a i =+,234z i =-,且12z z 为纯虚数,则实数a 的值为__________. 12、设复数z 满足234z i =+ (i 是虚数单位)则z 的模为 .13、若复数12z i =+,其中i 是虚数单位,则1z z z ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭__________. 14、已知a ,b R ∈,i 是虚数单位.若()()1a i i bi ++=,则a bi +=__________.15、已知复数()()()13113i i i z i -+--+=,()z ai a R ω=+∈,当z ω≤,求a 的取值范围.答案以及解析1答案及解析：答案：D解析：复数z 满足1z =,则复数z 对应的点的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆,34i z --表示圆上的点到点()3,4的距离, 点()3,4到原点的距离是5,34i z --的最小值为51 4.-=2答案及解析：答案：D解析：由图知复数3z i =+,则()()()()31321111i i z i i i i i i +-+===-+++-,所以复数1z i +所对应的点是H .3答案及解析：答案：C 解析：由1212z z z z +=-,可知, 12OM OM ⊥,故12OM M ∆为直角三角形,故有2222221212124100z z OM OM M M OM +=+===,故选c.4答案及解析：解析：依题意有CD BA OA OB ==-.而()()31342i i i +--+=-,而CD 对应的复数为42i -,故选D.5答案及解析：答案：A解析：6答案及解析：答案：D解析：7答案及解析：答案：C 解析：()()()4244411211112i i i i i i i ⎡⎤++⎛⎫⎛⎫====⎢⎥ ⎪ ⎪-+-⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦或()()()()2224221211112i i i i i i ⎡⎤++⎛⎫===⎢⎥ ⎪-⎝⎭--⎢⎥⎣⎦.8答案及解析：答案：D解析：因为()3223z i i i =-=+,所以23z i =-,故选D.【考点定位】本题考查复数的基本运算,属于容易题.9答案及解析：答案：C 解析：322i i i i i-=-+=,故选C.10答案及解析：答案：B解析：∵i ii i 2a a ++===,∴a =又0a >,∴a =故选B.11答案及解析： 答案：83解析：()()()()()122343846 23434345a i i a a i z a i z i i i ++-+++===--+,它是纯虚数,所以380a -=,且460a +≠,解得83a =.故答案为: 83.12答案及解析：解析：∵234z i =+,∴225z z ===,∴z =13答案及解析：答案：6解析：∵12z i =+, ∴12z i =-. ∴11516z z z z z ⎛⎫+⋅=⋅+=+= ⎪⎝⎭.14答案及解析：答案：12i +解析：由复数相等的定义求得a ,b 的值,即得复数.由()()1a i i bi ++=可得()()11a a i bi -++=,因此10a -=,1a b +=,解得1a =,2b =,故12a bi i +=+.15答案及解析：答案：()()()13113i i i z i -+--+=()()241311i i i i i i+-++===-, 因为()111z ai i ai a i ω=+=-+=+-, 所以()()()111112122a i i a i a ai z i ω+-+⎡⎤+--+⎣⎦===-.所以z ω=≤,所以2220a a --≤,所以11a ≤≤+故a 的取值范围是1⎡⎣.解析：。

互动课堂疏导引导1.两个复数相加(减)就是把它们的实部与实部、虚部与虚部分别相加(减).实部与实部相加(减)作实部,虚部与虚部相加(减)作虚部,即(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i.两个复数的和(差)仍然是一个确定的复数.2.两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中，把i 2换成-1，并且把实部与虚部分别合并.在进行复数除法运算时，通常先把(a+bi)÷(c+di)写成di c bi a ++的形式，再把分子与分母都乘以复数(c-di)，并化简成i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++的形式.两个复数乘、除的结果仍是复数. 3.复数乘法满足的运算律根据复数代数形式的运算法则，易得复数乘法运算满足以下运算律：对于任意z 1、z 2、z 3∈C ,有z 1·z 2=z 2·z 1(交换律)，(z 1·z 2)·z 3=z 1·(z 2·z 3)(结合律)，z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3(乘法对加法的分配律).4.有关共轭复数中常用的结论(1)实数的共轭复数是它本身；(2)纯虚数的共轭复数是其相反数.以上两结论可表示为z ∈R ⇔z =z;z 是纯虚数⇔z =-z.(3)z ∈C ,|z|=|z |;z·z =|z|2=|z |2.5.两个常用结论(1)i 幂的周期性.i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i,i 4n+4=1.n ∈N *.(2)“1”的立方虚根ω=i 2321±-的性质. ω2=ω,1+ω+ω2=0.6.在进行复数运算时，熟记下列诸式的结果，有助于简化运算过程①(a+bi)(a-bi)=a 2+b 2;②(1±i)2=±2i; ③i i -+11=i,ii +-11=-i; ④i 的平方根是±（i 2222+）,-i 的平方根是±(i 2222+-），1的立方根是1，i 2321±-;-1的立方根是-1，i 2321±； ⑤设ω为1的立方虚根，则有ω3=1，1+ω+ω2=0，ω2=ω；⑥i 4n =1,i 4n+1=i,i 4n+2=-1,i 4n+3=-i,(n ∈N *)；⑦i n +i n+1+i n+2+i n+3=0,(n ∈N *).活学巧用例1 计算：(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+ …+(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i).解法一：原式=(1-2+3-4+…+1 999-2 000)+(-2+3-4+5-…-2 000+2 001)i=-1 000+1 000i. 解法二：(1-2i)-(2-3i)=-1+i,(3-4i)-(4-5i)=-1+i,……(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i)=-1+i.将上述式子累加得原式=1 000(-1+i)=-1 000+1 000i.例2 已知x 、y ∈R ，且ii y i x 315211+=+++，求x 、y 的值. 解：i i y i x 315211+=+++可写成10)31(55)21(2)1(i i y i x -=-+-， 5x(1-i)+2y(1-2i)=5-15i,(5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i.∴⎩⎨⎧=+=+15,4y 5x 5,2y 5x ⎩⎨⎧==5.y -1,x 例3 计算：i i i i 212)1()31(33++--++-. 解：i i i i 212)1()31(33++--++- =5242)2()31(5)21)(2(])1[()31(32322+++--+-=-+--++-i i i i i i i i =i ii i i i i --=--+-∙+-∙+-888)3()3)(1(33)1(3)1(3223=i-i=0. 例4 设|z|=1且z=±i ，证明21zz +是实数. 解：∵|z|=1，∴z·z =1，z z 1=.令ω=21zz +, 于是22211111z z z z z z +=+=+=ω=ω，∴ω=21z z +为实数. 点评：若ω=ω，则ω∈R .例5 已知x 、y 为共轭复数，且(x+y)2-3xyi=4-6i ，求x,y 及|x|+|y|.解：设x=a+bi(a 、b ∈R )，则y=a-bi ，代入原式，得(2a)2-3(a 2+b 2)i=4-6i⇔⎪⎩⎪⎨⎧=+=-6)b 3(a -44a 222⇔⎩⎨⎧==1b 1,a 或⎩⎨⎧==-1b 1,a 或⎩⎨⎧==1b -1,a 或⎩⎨⎧==-1,b -1,a ∴⎩⎨⎧=+=i-1y i,1x 或⎩⎨⎧+==i 1y i,-1x 或⎩⎨⎧=+=i --1y i,-1x 或⎩⎨⎧+==i.-1y i,--1x |x|+|y|=2|x|=22b a 222=+.。

课堂导学三点剖析各个击破一、复数代数形式的加减运算 【例1】 计算：(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i). 解法一：原式=(1-2+3-4+…+1 999-2 000)+(-2+3-4+5-…-2 000+2 001)i=-1 000+1 000i. 解法二：(1-2i)-(2-3i)=-1+i,(3-4i)-(4-5i)=-1+i,……(1 999-2 000i)-(2 000-2 001i)=-1+i.将上述式子累加得原式=1 000(-1+i)=-1 000+1 000i.温馨提示复数的加减法，类似于多项式加减法中的合并同类项的过程.具体解题时，可适当地进行组合，简化运算.类题演练1设z 1=x+2i,z 2=3-yi(x 、y ∈R )，且z 1+z 2=5-6i,求x+yi.解:z 1+z 2=x +2i+3-y i=(x +3)+(2-y )i.∵z 1+z 2=5-6i,∴⎩⎨⎧-=-=+.62,53y x 解得⎩⎨⎧==.8,2y x ∴x +y i=2+8i.变式提升 1已知平行四边形中，三个顶点对应的复数分别是2+i,4+3i ，3+5i,求第四个顶点对应的复数.解:如右图，设点Z 1、Z 2、Z 3分别对应复数2+i,4+3i,3+5i.(1)若Z 1Z 3为对角线，则3241Z Z Z Z =,即z 4-z 1=z 3-z 2,∴z 4=z 3-z 2+z 1=(3+5i)-(4+3i)+(2+i)=1+3i.(2)若Z 1Z 2为对角线，则2341Z Z Z Z =，即z 4-z 1=z 2-z 3,∴z 4=z 2-z 3+z 1=(4+3i)-(3+5i)+(2+i)=3-i.(3)若Z 2Z 3为对角线，则3142Z Z Z Z =，即z 4-z 2=z 3-z 1,∴z 4=z 3-z 1+z 2=(3+5i)-(2+i)+(4+3i)=5+7i.二、复数代数形式的乘除运算【例2】已知x 、y ∈R ,且i315i 21y i 1x +=+++，求x 、y 的值. 解：i 315i 21y i 1x +=+++可写成103i)-(1552i)-y(12i)-x(1=+, 5x(1-i)+2y(1-2i)=5-15i,(5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i.∴⎩⎨⎧=+=+,15y 4x 5,5y 2x 5 ⎩⎨⎧=-=.5y ,1x 温馨提示 在进行复数除法运算时，通常把(a+bi)÷(c+di)写成di c bi a ++的形式，再把分子与分母都乘复数（c-di ），并进行化简整理.类题演练2已知 z =i 1i a --(a>0)，且复数ω=z (z +i)的虚部减去它的实部所得的差等于23，求复数ω. 解：ω=i a a a ai a i i a a i a i i a i i i a i i a 2212)1)(1(2))(1(111)1(12+++=++=--+=-+⋅--=+----， ∴232122=+-+a a a , 即a 2-1=3.∵a>0,∴a=2,ω=23+3i. 变式提升 2计算:i 21i 2i)(1i)3(-162++--++. 解:5)21)(2(])1[()31(212)1()31(32363i i i i i i i i -+--++-=++--++- =5242)2()31(33+++--+-i i i i =ii i i i i 888)3()3)(1(33)1(3)1(3223-=--+-⋅+-⋅+--i=i-i=0.三、共轭复数问题【例3】 已知复数z 满足z ·z --i （z 3）=1-（i 3），求z .思路分析：(1)将方程两边化成a+bi 的形式，根据复数相等的充要条件来解.(2)根据模的性质即|z |2=z z 和两个纯虚数的积为实数来解.解:方法一：设z =x+yi(x,y ∈R )，则x 2+y 2-i ［yi)(x 3+］=1-(i 3), 即x 2+y 2-3y-3xi=1+3i, 由复数相等得⎩⎨⎧=-=-+.3x 3,1y 3y x 22解得⎩⎨⎧=-=,0y ,1x 或⎩⎨⎧=-=.3y ,1x∴z =-1或z =-1+3i.方法二：∵z z -i(z 3)=1-(i 3),∴z z -1=3i+3i z ,即|z |2-1=3i(z +1)∈R , ∴z +1是纯虚数或0， 可令z =-1+ai(a ∈R ),∴|-1-ai|2-1=3i(ai),即a 2=-3a ⇒a=0或a=-3, ∴z =-1或z =-1-3i,故z =-1或z =-1+3i.类题演练3设a 、b 为共轭复数，且(a+b)2-3abi=4-6i,求a 和b.解:设a=x +y i ，则b=x -y i ，（x ,y ∈R ）,由条件得：(x +y i+x -y i)2-3(x +y i)(x -y i)i=4-6i,即4x 2-3(x 2+y 2)i=4-6i,由复数相等的充要条件，得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=.6)(3,44222y x x 解得：⎩⎨⎧±=±=.1,1y x∴⎩⎨⎧+=-=⎩⎨⎧-=+=.1,11,1i b i a i b i a 或 变式提升 3计算(-i 2321+)n +(-i 2321-)n (n ∈N ). 解:设ω=-i 2321+，分以下三种情况： ①当n=3k 时，原式=ω3k +k 3ω=1+1=2；②当n=3k+1时，原式=ω3k+1+13+k ω=ω+ω=-1； ③当n=3k+2时，原式=ω3k+2+23+k ω=ω2+2ω=-1. 综上，原式=⎩⎨⎧≠-=kn k n 3,13,2(k ∈Z).。

3.2复数的四则运算第1课时复数的加法、减法、乘法运算学习目标 1.掌握复数代数形式的加减运算.2.理解复数乘法运算法则，能进行复数的乘法运算.3.掌握共轭复数的概念及应用．知识点一复数的加减运算思考1类比多项式的加减法运算，想一想复数如何进行加减法运算？答案两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋b i)±(c＋d i)＝(a±c)＋(b±d)i(a，b，c，d∈R)．思考2复数的加法满足交换律和结合律吗？答案满足．梳理(1)运算法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b ＋d)i，(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i.(2)加法运算律对任意z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．知识点二复数的乘法运算思考复数的乘法与实数的乘法有何联系与区别？答案复数的乘法类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，运算过程中要把i2换成－1，然后把实部与虚部分别合并．梳理(1)复数的乘法法则设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，z1z2＝(a＋b i)(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.(2)乘法运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有知识点三共轭复数思考复数3＋4i与3－4i，a＋b i与a－b i(a，b∈R)有什么特点？答案这两组复数的特点：①实部相等，②虚部互为相反数．梳理(1)把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数．(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)的共轭复数记作z，即z＝a－b i.(3)当复数z＝a＋b i(a，b∈R)的虚部b＝0时，z＝z，也就是说，实数的共轭复数仍是它本身．1．两个实数的和、差、积仍是实数，两个虚数的和、差、积仍是虚数．(×)2．任意有限个复数的含加、减、乘法的混合运算中，应先进行乘法，再进行加、减法，有括号时先算括号内的．(√)3．两个互为共轭复数的和是实数，差是纯虚数．(×)类型一复数的加减运算例1计算：(1)(3＋5i)＋(3－4i)；(2)(－3＋2i)－(4－5i)；(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)．解(1)(3＋5i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(5－4)i＝6＋i.(2)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(3)(5－5i)＋(－2－2i)－(3＋3i)＝(5－2－3)＋[－5＋(－2)－3]i＝－10i.反思与感悟复数加减运算法则的记忆方法(1)复数的实部与实部相加减，虚部与虚部相加减．(2)把i看作一个字母，类比多项式加减中的合并同类项．跟踪训练1(1)计算：(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；(2)已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z.解(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)＝(3－7i)－(3＋4i)＝(3－3)＋(－7－4)i ＝－11i. (2)由z ＋1－3i ＝5－2i ，得z ＝(5－2i)－(1－3i)＝(5－1)＋(－2＋3)i ＝4＋i. 类型二 复数的乘法 例2 计算：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.解 (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i 2－1＋i ＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i ＋i －5i 2)(3－4i)＋2i ＝(－2＋11i ＋5)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i ＋33i －44i 2)＋2i ＝53＋21i ＋2i ＝53＋23i.反思与感悟 (1)三个或三个以上的复数相乘，可按从左向右的顺序运算，或利用结合律运算．混合运算的顺序与实数的运算顺序一样．(2)平方差公式、完全平方公式等在复数范围内仍然成立．一些常见的结论要熟悉：i 2＝－1，(1±i)2＝±2i.跟踪训练2 若复数(m 2＋i)(1＋m i)是实数，则实数m ＝________. 答案 －1解析 ∵(m 2＋i)(1＋m i)＝m 2－m ＋(m 3＋1)i 是实数，∴m 3＋1＝0，则m ＝－1. 类型三 共轭复数的概念例3 复数z 满足z ·z ＋2i z ＝4＋2i ，求复数z 的共轭复数． 解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＝x －y i. ∵z ·z ＋2i z ＝4＋2i ， ∴x 2＋y 2＋2i(x ＋y i)＝4＋2i ， 因此(x 2＋y 2－2y )＋2x i ＝4＋2i ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－2y ＝4，2x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， ∴z ＝1＋3i 或z ＝1－i.因此z 的共轭复数z ＝1－3i 或z ＝1＋i.反思与感悟 (1)有关复数z 及其共轭复数的题目，注意共轭复数的性质：①设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ·z ＝a 2＋b 2.②z ∈R ⇔z ＝z .(2)紧紧抓住复数相等的充要条件，把复数问题转化成实数问题是解决本题的关键，正确熟练地进行复数运算是解题的基础．跟踪训练3 已知z ∈C ，z 为z 的共轭复数，若z ·z －3i z ＝1＋3i ，求z . 解 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )， 则z ＝a －b i(a ，b ∈R )．由题意得(a ＋b i)(a －b i)－3i(a －b i)＝1＋3i ， 即a 2＋b 2－3b －3a i ＝1＋3i ，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋b 2－3b ＝1，－3a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3， 所以z ＝－1或z ＝－1＋3i.1．已知复数z 1＝12－32i 和复数z 2＝cos 60°＋isin 60°，则z 1＋z 2＝________.答案 1解析 ∵z 2＝12＋32i ，∴z 1＋z 2＝1.2．已知i 是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝________. 答案 －1＋3i解析 (－1＋i)(2－i)＝－2＋3i －i 2＝－1＋3i.3．若复数z 满足z ＋(2－3i)＝－1＋2i ，则z ＋2－5i ＝________. 答案 －1解析 ∵z ＝－1＋2i －2＋3i ＝－3＋5i ， ∴z ＋2－5i ＝－3＋5i ＋2－5i ＝－1.4．设复数z 1＝x ＋2i ，z 2＝3－y i(x ，y ∈R )，若z 1＋z 2＝5－6i ，则z 1－z 2＝________. 答案 －1＋10i解析 ∵z 1＋z 2＝x ＋2i ＋(3－y i)＝(x ＋3)＋(2－y )i ， ∴(x ＋3)＋(2－y )i ＝5－6i(x ，y ∈R )， 由复数相等的定义，得x ＝2且y ＝8， ∴z 1－z 2＝2＋2i －(3－8i)＝－1＋10i.5．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和z 1＋z 2为实数，差z 1－z 2为纯虚数，则a ，b 的值分别为________． 答案 －3，－4解析 ∵z 1＋z 2＝a －3＋(4＋b )i 为实数， ∴4＋b ＝0，即b ＝－4.又z 1－z 2＝(a ＋3)＋(4－b )i 为纯虚数， ∴a ＋3＝0且4－b ≠0，∴a ＝－3.1．复数的加减运算把复数的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )看作关于“i ”的多项式，则复数的加法、减法运算，类似于多项式的加法、减法运算，只需要“合并同类项”就行，不需要记加法、减法法则． 2．两个复数的和(差)是复数，但两个虚数的和(差)不一定是虚数，例如(3－2i)＋2i ＝3. 3．复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i 2换成－1，再把实部、虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数． 4．理解共轭复数的性质 (1)z ∈R ⇔z ＝z .(2)当a ，b ∈R 时，有a 2＋b 2＝(a ＋b i)(a －b i)，这是虚数问题实数化的一个重要依据.一、填空题1．复数z 满足z －(1－i)＝2i ，则z ＝________. 答案 1＋i解析 ∵z －(1－i)＝2i ， ∴z ＝1－i ＋2i ＝1＋i.2．若复数(1＋b i)(2＋i)是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b ＝________. 答案 2解析 (1＋b i)(2＋i)＝(2－b )＋(2b ＋1)i ， 令2－b ＝0，且2b ＋1≠0， ∴b ＝2.3．已知复数z 1＝(a 2－2)＋(a －4)i ，z 2＝a －(a 2－2)i(a ∈R )，且z 1－z 2为纯虚数，则a ＝________. 答案 －1解析 ∵z 1－z 2＝(a 2－a －2)＋(a －4＋a 2－2)i(a ∈R )为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2＝0，a 2＋a －6≠0，解得a ＝－1.4．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是________． 答案 －1－i解析 ∵z ＝i(i ＋1)＝i 2＋i ＝－1＋i ， ∴z 的共轭复数是z ＝－1－i.5．若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z 的实部是________． 答案 6解析 ∵z ＝1－2i ， ∴z ＝1＋2i ，∴z ·z ＝(1－2i)(1＋2i)＝5， ∴z ·z ＋z ＝5＋1－2i ＝6－2i. ∴z ·z ＋z 的实部是6. 6．复数z ＝32－a i ，a ∈R ，且z 2＝12－32i ，则a ＝________. 答案 12解析 ∵z 2＝⎝⎛⎭⎫32－a i 2＝⎝⎛⎭⎫34－a 2－3a i ， ∴⎝⎛⎭⎫34－a 2－3a i ＝12－32i(a ∈R )，则⎩⎨⎧34－a 2＝12，3a ＝32，∴a ＝12.7．把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝________. 答案 2＋i解析 设z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i(a ，b ∈R )， (1＋2i)z ]＝(1＋2i)(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＝4，2a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴z ＝2＋i.8．已知z 1＝(3x ＋y )＋(y －4x )i(x ，y ∈R )，z 2＝(4y －2x )－(5x ＋3y )i(x ，y ∈R )．设z ＝z 1－z 2，且z ＝13－2i ，则z 1＝________，z 2＝________. 考点 复数的加减法运算法则 题点 复数加减法的综合应用答案 5－9i －8－7i解析 ∵z ＝z 1－z 2＝(3x ＋y －4y ＋2x )＋(y －4x ＋5x ＋3y )i ＝(5x －3y )＋(x ＋4y )i ＝13－2i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 5x －3y ＝13，x ＋4y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1.∴z 1＝5－9i ，z 2＝－8－7i. 9．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i(a ，b ∈R )，若z 1－z 2＝43，则z 1·z 2＝________. 答案 －18－63i 解析 z 1－z 2＝32a ＋(a ＋1)i －[－33b ＋(b ＋2)i] ＝⎝⎛⎭⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝4 3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，∴z 1＝3＋3i ，z 2＝－33＋3i.z 1·z 2＝(3＋3i)(－33＋3i)＝－18－63i.10．已知3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)，则z ＝________. 答案 5＋5i解析 ∵3＋i －(4＋3i)＝z －(6＋7i)， ∴z ＝3＋i －(4＋3i)＋(6＋7i) ＝(3－4＋6)＋(1－3＋7)i ＝5＋5i.11．若(x ＋i)i ＝－1＋2i(x ∈R )，则x ＝________. 答案 2解析 由题意知x i －1＝－1＋2i ，又x ∈R ，由复数相等，得x ＝2. 二、解答题12．已知z －1＋2z i ＝－4＋4i ，求复数z .解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入z －1＋2z i ＝－4＋4i ，整理，得(x －2y －1)＋(2x ＋y )i ＝－4＋4i ，故有⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －1＝－4，2x ＋y ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以复数z ＝1＋2i.13．已知复数z ＝(1－i)2＋1＋3i ，若z 2＋az ＋b ＝1－i(a ，b ∈R )，求b ＋a i 的共轭复数． 解 z ＝(1－i)2＋1＋3i ＝－2i ＋1＋3i ＝1＋i ， 由z 2＋az ＋b ＝1－i ，得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ，∴a ＋b ＋i(a ＋2)＝1－i(a ，b ∈R )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a ＋2＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝4.所以b ＋a i ＝4－3i ，则b ＋a i 的共轭复数是4＋3i. 三、探究与拓展14．已知z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t ＝________. 答案 34解析 ∵z 2＝t ＋i ，∴z 2＝t －i ， ∴z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i) ＝3t －3i ＋4t i －4i 2 ＝(3t ＋4)＋(4t －3)i. 又∵z 1·z 2是实数， ∴4t －3＝0，即t ＝34.15．已知复数z ＝1＋i ，实数a ，b 满足az ＋2bz ＝(a ＋2z )2成立，求a ，b 的值． 解 az ＋2bz ＝(a ＋2b )＋(a ＋2b )i ， (a ＋2z )2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i ，∴(a ＋2b )＋(a ＋2b )i ＝(a 2＋4a )＋4(a ＋2)i.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝a 2＋4a ，a ＋2b ＝4(a ＋2)，解得⎩⎨⎧ a ＝－22，b ＝4－32，或⎩⎨⎧a ＝22，b ＝4＋3 2.∴所求实数a ＝－22，b ＝4－32或a ＝22，b ＝4＋3 2.。

1．设i 是虚数单位，复数1i 2ia +-为纯虚数，则实数a 为( )． A ．2 B ．－2C ．12- D. 122．若a ，b ∈R ，i 为虚数单位，且(a ＋i)i ＝b ＋i ，则( )．A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝－1，b ＝－1D ．a ＝1，b ＝－13( )． A ．i B ．－iC ．D ．-4．在复平面内，复数3i 1i+对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知a 是实数，i 1ia ++是纯虚数，则a ＝__________. 6．若复数z 满足i=i-1z (i 是虚数单位)，则z ＝__________.7．已知z 是虚数，且1+z z 是实数，求证：11z z -+是纯虚数． 8．已知1z z -是纯虚数，求z 在复平面内对应点的轨迹．9.已知复数w 满足w －4＝(3－2w )i(i 为虚数单位)，5+|2|z ωω=-，求一个以z 为根的实系数一元二次方程．参考答案1．A 1i 1i 2i 221i 221===i 2i 2i 2i 555a a a a a a +(+)(+)(-)+(+)-++-(-)(+)为纯虚数，∴2=05a -.∴a ＝2. 2．D ∵(a ＋i)i ＝b ＋i ，∴－1＋a i ＝b ＋i.∴1=,=1,b a -⎧⎨⎩∴=1,= 1.a b ⎧⎨-⎩3．A3i =i 3原式. 4．B33i i 1i 13i 1i 151=2=8=i 1i 1i 1i 2222⋅(-)⎡--⎤+⎛⎫+---+ ⎪⎢⎥+(+)(-)⎝⎭⎣⎦，故对应的点位于第二象限．5．－1 ∵i i 1i 11==i 1i 1i 1i 22a a a a +(+)(-)+-++(+)(-)为纯虚数， ∴1=02102a a +⎧⎪⎪⎨-⎪≠⎪⎩，，∴a ＝－1. 6．1－i ∵i=i 1z -， ∴i 1==(i 1)(i)=1+i iz ---. ∴z ＝1－i.7．证明：设z ＝a ＋b i(a ，b R 且b ≠0)，于是22222211i =i+=i+=i i a b a b z a b a b a b z a b a b a b a b -⎛⎫+++++- ⎪++++⎝⎭. ∵1R z z +∈，∴22=0b b a b-+. ∵b ≠0，∴a 2＋b 2＝1.∴22222211i [1i][1i]1[11]i 02i =====i.11i 1211211z a b a b a b a b a b a b b b z a b a b a b a a a -(-)+(-)+(+)--+(+)-(-)++(+)+(+)+++++++∵b ≠0，a 、bR ， ∴i 1b a +是纯虚数． 8．解：∵1z z -是纯虚数， ∴=011z z z z ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭(且z ≠0，z ≠1)， ∴=011z z z z +--， ∴z(1)+(z 1)=0z z --,22||=+z z z .设z ＝x ＋y i(x ， y ∈R )，则x 2＋y 2＝x (y ≠0)，∴z 的对应点的轨迹是以102⎛⎫ ⎪⎝⎭，为圆心，12为半径的圆，并去掉点(0,0)和点(1,0)． 9.解：∵w (1＋2i)＝4＋3i ， ∴43i ==2i 12i w +-+. ∴5=+|i|=3+i 2iz --. 若实系数一元二次方程有虚根z ＝3＋i ，则必有共轭虚根=3i z -.∵=6z z +， ∴=10z z ⋅.∴所求的一个一元二次方程可以是x 2－6x ＋10＝0.。

3.2 复数的四则运算1、设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a =( ) A.-3 B.-2C.2D.32、复数3i2iz -+=+的共轭复数是( ) A.1i -B.1i +C.1i -+D.1i --3、对任意复数12,ωω,定义1212ωωωω*=⋅,其中2ω是2ω的共轭复数,对任意复数122,,z z z ,有如下命题:①1231323()()()z z z z z z z +*=*+*;②1231213()()()z z z z z z z *+=*+*;③123123()()z z z z z z **=**;④1221z z z z *=*.则真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.44、设z 是复数,则下列命题中的假命题是( ) A.若20z ≥,则z 是实数 B.若20z <,则z 是虚数 C.若z 是虚数,则20z ≥D.若z 是纯虚数,则20z <5、若复数z 满足(1i)2i z +=(i 为虚数单位),则z =( )A.1B.26、若复数z 满足i 1iz=-,其中i 为虚数单位,则z =( ) A.1i -B.1i +C.1i --D.1i -+7、若a 为实数,且2i3i 1ia +=++,则a =( ) A.-4B.-3C.3D.48、若43i z =+,则zz=( ) A.1 B.-1 C.43i 55+ D.43i 55-9、已知复数z z =是z 的共轭复数,则z z ⋅=( )A.14B.12C.1D.210、在复平面内的平行四边形ABCD 中,AC 对应的复数是68i +,BD 对应的复数是46i -+,则DA 对应的复数是( )A.214i +B.17i +C.214i -D.17i --11、若复数z 满足31i z z +=+,其中i 为虚数单位,则z =__________. 12、复数ii 1-的共轭复数是_________. 13、复数i2ia +-为纯虚数,则实数a =_________. 14、已知,R,i ab ∈是虚数单位,若(1i)(1i)b a +-=,则ab的值为__________. 15、求5i 2-的共轭复数.答案以及解析1答案及解析： 答案：A解析：(12i)(i)(2)(21)i a a a ++=-++.由已知条件,得221a a -=+,解得3a =-.故选A.2答案及解析： 答案：D 解析：3i (3i)(2i)55i1i 2i (2i)(2i)5z -+-+--+====-+++-,所以其共轭复数为1i z =--.故选D.3答案及解析： 答案：B解析：由于1212ωωωω*=.对于①,12312313231323()()()()z z z z z z z z z z z z z z +*=+=+=*+*,显然成立; 对于②,12312312131213()()()()z z z z z z z z z z z z z z *+=+=+=*+*,显然成立;对于③,123123123()()z z z z z z z z z **==,而123123123()()z z z z z z z z z **=*=,显然不一定成立; 对于④,由于1212z z z z *=,而2121z z z z *=,显然不一定成立.故选B.4答案及解析： 答案：C解析：实数可以比较大小,而虚数不能比较大小,设i(,R)z a b a b =+∈,则2222i z a b ab =-+,由20z ≥,得220ab a b =⎧⎨-≥⎩,则0b =,故选项A 为真,同理选项B 为真;而选项C 为假,选项D 为真.5答案及解析： 答案：C解析：设i(,R)z a b a b =+∈, 则由(1i)2i z +=,得(i)(1i)2i a b ++=, 所以()()i=2i a b a b -++,由复数相等的条件得02a b a b -=⎧⎨+=⎩解得1a b ==,所以1i z =+,故z =6答案及解析： 答案：A 解析：由i 1iz=-得i(1i)1i z =-=+,所以1i z =-,故选A.7答案及解析： 答案：D 解析：因为2i3i 1ia +=++,所以2i (3i)(1i)24i a +=++=+.又R a ∈,所以4a =.8答案及解析： 答案：D 解析：43i 55z z ==-,故选D.9答案及解析： 答案：A解析：因为z =====.所以z =所以23i 4116164z z -⋅===,故选A.10答案及解析： 答案：D解析：依据向量的平行四边形法则可得,DA DC DB DC DA AC +=-=,则[]11()(46i)(68i)17i 22DA DB AC =-=--+=--.11答案及解析： 答案：11i 42+ 解析：设i(,R)z a b a b =+∈,则3(i)i 1i a b a b ++-=+. 整理得42i 1i a b +=+,所以41a =且21b =. 解得11,42a b ==,所以11i 42z =+.12答案及解析： 答案：11i 22+ 解析：i i(1i)11i i 1222--==--,所以其共轭复数是11i 22+.13答案及解析：答案：12解析：i (i)(2i)21(2)i 2i 55a a a a +++-++==-.因为它是纯虚数,所以210a -=,解得12a =.14答案及解析： 答案：2解析：因为(1i)(1i)1(1)i b b b a +-=++-=.又,R a b ∈,所以1b a +=且10b -=,得2,1a b ==,所以2ab=.15答案及解析： 答案：55(2i)5(2i)2i i 2(2i)(2i)41----===----+--+, ∴5i 2-的共轭复数是2i -+. 解析：由Ruize收集整理。