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第二讲固体压强变化知识梳理一、柱形固体压强计算1、用p=F/S=ρgh 计算固体压强，当物体自然放置在水平面上，且底面积与水平面充分接触，此时物体对水平面产生的压力大小（选填“大于”、“等于”或“小于”）物体的重力，即：F G；2、计算质地均匀的物体质量，m= ；3、计算柱形物体的体积，V= 。
二、固体切割压强判断知识点一：竖直切割柱形固体竖直切（包括切去质量、体积、厚度等），由公式可知，高度h 不变，压强保持，即压强变化量为。
知识点二：水平切割1、水平切相同高度，由公式：Δp= ，可求出压强的变化量。
若已知物体密度的大小关系，可以进一步判断压强变化量的大小关系。
由公式p′=，可判断切过之后的物体压强大小关系；2、切相同体积：①两个物体原来压强相等，水平切相同高度（或、）之后，剩余部分的压强一定是大物体的压强（选填“大于”、“等于”或“小于”）小物体的压强。
②两个物体原来质量（或压力）相等，沿水平切相同体积（或相同高度），剩余部分压强有种情况。
从开始切到小物体切完之前存在压强的情况。
③质量（或压力）相等，水平切去相同质量，压强的符号跟原来，即原来哪个物体的压强大，切过之后剩余部分压强还是哪个物体的大。
例题解析一、柱形固体压强计算【例1】如图所示，将一块砖平放、立放、侧放时，它对地面的压强（）A．平放时最大B．立放时最大C．侧放时最大D．平放、立放、侧放时，一样大【例2】如图所示，两个完全相同的装满豆浆的密闭杯子，以下列四种不同的方式放在水平桌面上，若杯子上表面面积是下表面面积的 2 倍，它们对桌面的压强大小分别是p 甲、p 乙、p 丙、p 丁，则（）A．p 甲<p 乙<p 丙<p 丁B．p 乙<p 甲<p 丁<p 丙C．p 乙<p 甲=p 丁<p 丙D．p 丙<p 乙<p 丁=p 甲【例3】甲、乙两个正方体放在水平地面上，它们对地面的压强相等，甲、乙密度之比是1:2, 则甲、乙的底面积之比是（）A．1:2 B．2:1 C．1:4 D．4:1【例4】如图是小敏同学在探究甲、乙两种不同的固体物质的质量和体积的关系时得出的图象。
学生姓名学科物理年级初三任课老师仲闻达日期时间课时 2 班主任课题固体压强切割类难题题型及方法小结教学目标教学过程题型1穿插使用P=F/S和P=ρgh两组公式方法：题目通常以正方体固体形式出现，由密度关系推出柱体高度关系，进而得出横截面积以及压力、压强关系例题：1．三个实心立方体对水平地面的压强相等，它们的密度分别为p1，p2，p2，且p1>p2>p2，则三个立方体与水平地面的接触面积S1、S2、S3的大小关系为_______，对水平地面的压力F1、F2、F3的大小关系为_______。
2．三个实心正方体的质量相同，它们的密度分别是p1、p2、p2，且p1>p2>p2，则这三个正方体对水平地面的压强的大小关系是( )。
A．p1<p2<p2B．p1＝p2＝p2C．p1>p2>p2D．以上都有可能题型2 水平截取相同高度问题方法：1.极限思路，假设截取高度恰为矮的高度进行判断；2.比例思路，由△P=P△h/h例题;1．如图所示，甲、乙两个均匀实心正方体分别放在水平地面上，它们对地面的压强相等。
若在两个正方体的上部，沿水平方向分别截去相同高度后，则剩余部分对水平地面的压强关系是( )。
A．p甲<p乙B．p甲＝p乙C．p甲>p乙D．无法判断2.如图所示，甲、乙两个实心圆柱体放置在水平地面上，沿水平方向分别截去其上部相同高度后，剩余部分对水平地面的压强相等。
则它们原来对水平地面的压强关系是( )。
A．p甲＝p乙B．p甲<p乙C．p甲>p乙D．不能确定3.如图所示，甲、乙两长方体置于水平地面上（已知m甲<m乙、S甲>S乙、h甲＝h乙）。
将两物体水平截去相同高度，剩余部分对地面的压强p甲、p乙和压力F甲、F乙的关系为( )。
A．p甲<p乙，F甲＝F乙B．p甲<p乙，F甲<F乙C．p甲>p乙，F甲＝F乙D．p甲>p乙，F甲>F乙题型3 竖直切割问题方法：竖直方向的切割对于柱体，压强不变例题：1.甲、乙、丙三个实心正方体分别在水平桌面上，它们对水平桌面上的压强相等，已知三块物体的密度关系为p甲<p乙<p丙。
固体压强与切割_典型例1、同一物理不同放置时产生的压强要点：物体重力不变，对支持面产生的压力不变，根据固体压强公式，压力不变，受力面积越小，压强越大。
【例1】如图所示，将一块砖平放、立放、侧放时，它对地面的压强（）A、平放时最大B、立放时最大C、侧放时最大D、平放、立放、侧放时，一样大分清受力面积与压力，研究哪个面受到的压强，要看该面上收到的压力及于该面接触的面积【例1】正方体甲和乙的边长之比是2：3，将它们分别放置在水平桌面上时，它们对桌面的压强均为p，将甲如图所示放置在乙上面，乙对桌面的压强为p′。
则p′：p等于（）A，9：13；B，13：9；C，9：4；D，13：4；【例2】如右图所示，两个正方体金属块A、B叠放在水平地面上，金属块B对地面的压强为p1。
若取走金属块A，金属块B对地面的压强为p2。
已知p1：p2=3：2，金属块A、B的边长之比l A：l B=2：3，则金属块A与金属块B的密度之比ρA；ρB= 。
【例3】如图所示：重50牛边长为1分米的正方体物块被20牛的水平力紧压后静止在图示位置，则物块对水平支持面的压力是（），压强是（）；对竖直墙壁的压力是（），压强是（）．在图中画出物块对两个支持面压力的示意图．【例4】如图,物体A静止在水平桌面上,把物体A向右移动一点(不落地),则物体A对桌面的( )A.压力和压强都不变,B.压力不变,压强变大C.压力变大,压强不变.D.压力和压强都变大【例6】如图所示，物体A重30N，B重15N，物体A的底面积为10cm2，物体B的底面积为5cm2。
则A对B的压强( )Pa，B对桌面的压强是()Pa。
【例7】如图所示，两个完全相同的装满豆浆的密闭杯子，以下列四种不同的方式放在水平桌面上，若杯子上表面面积是下表面面积的2倍，它们对桌面的压强大小分别是p甲、p乙、p丙、p丁，则（）A、p甲＜p乙＜p丙＜p丁B、p乙＜p甲＜p丁＜p丙C、p乙＜p甲=p丁＜p丙D、p丙＜p乙＜p丁=p甲2、根据压强、密度、体积、高度、压力中的某些量求其它量【例1】甲、乙两个正方体放在水平地面上,它们对地面的压强相等,甲、乙密度之比是1∶2,则甲、乙的底面积之比是 ( )A.1∶2B.2∶1C.1∶4D.4∶13、竖直面上的受到的压强与物体重力无关【例1】如图所示，物体重10 N，它与竖直墙面的接触面积是0.5 dm2，现用24 N的水平力把物体按在墙上，墙面受到物体的压力和压强分别为（）A.10 N，2×103 PaB.10 N，4.8×103 PaC.24 N，2×103 PaD.24 N，4.8×103 Pa。
固体压强——切割专题题型概述：甲、乙两个均匀实心正方体，⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧的关系已知的关系已知已知的关系已知已知已知p v p v p v ,,,,m ,m ,m ρρρ，放在水平地面上，若分别在两个正方体上部⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧)()()()()(厚度质量沿竖直方向切去相同的相同的压力增加在正方体上减少相同的质量增加沿水平方向减少相同的体积增加沿水平方向切去相同的高度增加沿水平方向切去，要使得最后甲、乙的压强⎪⎩⎪⎨⎧<=>乙甲乙甲乙甲p p p p p p ，其中操作可行的是哪些？ 解题思路：条件部分，m 、v 、ρ、(p 甲和p 乙的关系)这四个条件只要知道其中的两个物理量就可以知道剩余两个，也就必然能确定最初甲乙的压强关系，只有两种⎪⎩⎪⎨⎧=⎩⎨⎧<>乙甲乙甲乙甲p p p p p p ，对应最终状态也只有两种⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<>=乙甲乙甲乙甲p p p p p p ，对于⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧减少量，初大的减少多增加量，初小的增加多除不等，后相等，比较增加量，增加的多的大初相等，后不等，比较，因此第一个重点就是判断压强变化量（增加或减少），这也有两种判断方式⎪⎩⎪⎨⎧∆=∆∆=∆hg p S F p ρ，因此进一步分析是要判断压力变化或者高度变化，然后逆推；而如果题目告诉我们的是质量m ，可以按照h V G F ∆→∆→←∆←∆m ，两个方向进行转换，合理选择公式判断。
以上是定性分析的解题思路，一般题目应该优先考虑，明白各个物理量的关系后能够较快的找出答案，当定性分析无法确定时，再进行定量分析，所谓定量即是按照题目已知物理量，写出压强变化量的表达式，进行大小比较，方法为⎩⎨⎧作商法作差法对于竖直切割（体积或者质量），要注意立方体的高度是不变的，而根据gh p ρ=，切割前后密度不变，可以知道切割前后的压强是不变的，因此如果考压强就很简单；如果考的是压力的大小，那么根据S F ∆⋅=∆p ，我们只要考虑受力面积的变化就可以了。
压强切割问题专题第一类：固体压强切割1、如图所示，实心均匀正方体A、B放置在水平地面上，它们的高度分别为0.2m和0.1m, A的密度为2X103kg/m3, B质量为1kg。
求：(1)A的质量； (2)B对水平地面的压强;⑶若在正方体A、B上沿竖直方向按相同比例n截下一部分，并将截下的部分分别叠放在对方剩余部分上，这时A、B剩余部分对水平地面的压强为P A′、p B’,请通过计算比较它们的大小关系及其对应的比例n的取值范围。
2、如图所示，实心均匀正方体A, B放置在水平地面上，受到的重力均为64N, A的边长为0.2m, B的边长为0.3m。
⑴求正方体A对水平地面的压强；⑵求正方体A、B的密度之比P/ P B;⑶若正方体A、B上沿水平方向分别截去相同的厚度h后.A、B剩余部分对水平地面的压强P A1和P B1.请通过计算比较它们的大小关系及其对应的h的取值范围.3、如图所示，甲、乙两个质量均为2kg的实心均匀圆柱体放在水平地面上。
甲的底面积为4X10-3m2,乙的体积为0.8义10-3山3。
求：(1)乙的密度P ；⑵甲对地面的压强p ;⑶若甲的底面积是乙的1.5倍，在甲、乙的上部沿水平方向分别切去Am甲和八山乙, 再将切去部分互叠在对方剩余部分的上方，使甲、乙对水平地面的压强相等。
请比较Am和Am的大小关系及求出两者的差值。
4、如图甲是西南大学校内的一座塑像，其基座结构类似于图乙和丙的模型。
若A、B 是质量分布均匀的正方体物块，其棱长分别是20cm、30cm,密度之比P A：P B=3 ：1。
将A放在水平地面上，B放在A的上面，A对水平地面的压强为5100 Pa(如图乙)。
g 取 10 N/kg,求：(1)图乙中，物块A对地面的压力；⑵物块A的密度；⑶若将物块B放在水平地面上，A放在B的上面(如图丙)，要使B对地面的压强为2800 Pa,应将物块B沿竖直方向切去几分之几。
5、如图所示，实心均匀正方体A、B放置在水平地面上，它们的高度分别为0.2m和0.1m, A的密度为2X103kg/m3, B质量为1kg。
题型一：固体压强竖直切割【考点】压强变化【解析】竖直方向切割后压强不变，剩余部分压强相等，则说明原来的压强相等，切去部分对地面的压强也相等；甲的密度大于乙的密度，那么甲的高度小于乙，所以甲的底面积小于乙。
由F pS =,知选择B 。
【答案】B【教学建议】注意给学生总结规律：柱体竖直切后压强不变，水平切后压强一定减小。
所以 本题在竖直切前两个正方体压强也是相同的。
【考点】压强变化【解析】由p gh ρ=可知，图（a ）、（b ）所示两种情况，剩余部分对水平地面的压强均不会发生变化。
故选D 。
例2.（★★）如图 (a)、(b)所示，若分别沿虚线方向切去放置在水平地面上实心正方体的左侧部分，则剩余部分对水平地面的压强 ( )A.只有图(a)所示情况会发生变化B.只有图(b)所示情况会发生变化C.图(a)、(b)所示两种情况均会发生变化D.图(a)、(b)所示两种情况均不会发生变化例1.（★★★）甲、乙两个实心均匀正方体（已知ρ甲＞ρ乙）分别放在水平地面上。
若在两正方体右侧沿竖直方向各截去相同的体积，它们剩余部分对地面的压强相等。
则未截去前，两实心正方体对地面的压力F 甲、F 乙的关系是( )A.F 甲一定大于F 乙B.F 甲一定小于F 乙C.F 甲可能大于F 乙D.F 甲可能小于F 乙经典例题【答案】D【教学建议】此题是典型的柱状固体的压强切割问题，利用柱体竖直切后压强不变原理即可 得出正确答案。
题型二：固体压强水平切割【考点】压强变化【解析】水平切去相同质量，可以用旋转的方法，由于是正方体，旋转后对地面的压强仍然相等，水平切就可以转化为竖直切，压强相等，切去质量相等，则切去的底面积甲等于乙，甲的边长大于乙，所以甲切去的厚度就一定小于乙，故选A ；切去相同的体积，由公式V p g Sρ∆=，知甲的压强减少的小，所以甲剩下的压强一定大于乙的压强。
【答案】A【教学建议】把水平切割转化为竖直切割是一种非常有效的解题方法，尤其是对正方体物体， 有时会比常规的分析更快。
固体压强的切割问题
嘿呀，咱们来聊聊固体压强的切割问题吧！比如说有一块长方体的大铁块，哇，那家伙可重啦！
一个问题是：把这个铁块从中间切一刀，压强会咋变呢？哎呀呀，这就像是把一个大蛋糕切成两半，上面承受的压力会不会不一样呢？
还有啊，要是斜着切呢，那又会发生啥奇妙的变化呀？这不就跟走在平路上和走在斜坡上的感觉不一样类似嘛！
再想想哦，如果把这个铁块切去一部分，剩下部分的压强是增加还是减少呢？这就好比你的零花钱花掉一部分后，你手头的紧张感是不是有变化啦？
咱们深入想想，不同的切割方式对压强的影响可大啦，得仔细琢磨琢磨呀，难道不是吗？。
未来教育教师授课教案学生 教师： 王华伟 上课时间：课题： 固体压强切割及选择题提高题教学目标：教学重难点： 教学过程：1．如图12所示，实心均匀正方体A 、B 放置在水平地面上，它们的重均为980牛，A 的边长为0.25米，B 的边长为0.4米。
①求正方体A 的密度ρA 。
②求正方体B 对水平地面的压强p B 。
③若在正方体A 、B 上沿水平方向分别截去 相同的体积ΔV 后，A 、B 剩余部分对水平地面的压强p A ´和p B ´，请通过计算比较它们的大小关系及其对应的ΔV 的取值范围。
2．在图10（a ）中，边长为0.1米、密度为0.5×103千克/米3的实心正方体静止在水平面上。
①求正方体的质量。
②求正方体对水平面的压强。
图12BA图10（a ） （b ）（宝山）．如图11所示，边长分别为0.2米和0.3米的实心正方体A 、B 放置在水平地面上，物体A 的密度为2×103千克/米3，物体B 的质量为13.5千克。
求：⑴ 物体A 的质量。
⑵ 物体B 对水平地面的压强。
⑶ 在保持物体A 、B 原有放置方式的情况下，并通过一定的方法使它们对水平地面的压强相等。
下表中有两种方案，请判断这两种方案是否可行，若认为不行，请说明理由；若认为行，计算所截取的质量Δm 。
内 容判断（选填“行”或“不行”）方案一选择B 物体从其右侧沿竖直方向切去质量为Δm 的部分，然后将切去部分叠放在A 物体上，使二者对水平桌面的压强相同。
方案二选择A 物体从其沿水平方向切去质量为Δm的部分，然后将切去部分叠放在B 物体上，使二者对水平桌面的压强相同。
③ 计算所截取的质量Δm 。
（2010中考）．放置在水平地面上的两个物体A 和B 均为实心长方体，它们的长、宽、高如图11所示。
物体A 的密度为0.8×103千克/米3，物体B 的质量为8千克。
求：①物体A 的质量； ②物体B 所受重力的大小；图11 A B③计算所叠放物体的重力G´（或所截取的质量△m ）选择题巩固崇明）.如图4所示，甲、乙两个质量相等的均匀实心正方体放在水平地面上，现在甲、乙上表面中央都施加竖直方向的力F 甲和F 乙（均小于甲、乙的重力），使甲、乙对地面的压强相等，则F 甲、F 乙的方向和大小关系可能是 （ ） A ．都竖直向下，F 甲>F 乙 B ．都竖直向上，F 甲>F 乙C ．F 甲竖直向上，F 乙竖直向下F 甲<F 乙（奉贤）．甲、乙、丙三个实心正方体放在水平地面上，它们对地面的压强关系是P 甲﹥P 乙﹥P 丙 。
固体压强切割问题解题技巧室内固体压强切割是指利用光纤经几步变换，使固体物质电子系统收到一定能量刺激而产生几颗压强，利用压强切断固体物质。
下面就来分析一下室内固体压强切割的解题技巧。
一、充分理解室内固体压强切割问题1.熟悉室内固体压强切割的工作原理：洞内固体压强切割是一种切断材料的新技术，它可以减少传统切割技术中产生的热量对材料的影响，可以快速准确的完成切割任务。
2.熟悉室内固体压强切割的物理基础：如果要正确理解室内固体压强切割的原理，那么就要了解它的物理基础，电路和磁场的基础上发出压强从而实现固体切断，并且可以有效的处理，需要了解的基本物理知识有关电磁学、电动力学和材料力学等知识。
二、分析室内固体压强切割问题1. 确定所需切割工艺：所使用的压强切割工艺具有一定限制，如质量变化、刀具使用寿命等，应依据材料物理性能及工艺要求，准确选择需要使用的刀具。
2. 确定切割参数：应依据室内固体压强切割工艺，确定切割时所需参数，如切割深度、切割速度、压强大小等，以确保切割尺寸的精度及外观的完整性。
三、实践室内固体压强切割问题1. 合理布局：在布局切割路径时应考虑到一些因素，如机械设计、切割工艺等，计划合理的切割路径，以确保达到良好的切割效果。
2. 调节压强：利用特定的调节方法去调节压强大小，以达到所需要的刻度精度。
3. 熟悉操作：使用刀具前应熟悉室内固体压强切割操作，了解操作流程以正确执行切割工作，掌握不同切割速度及刀具和材料的组合方式等技巧，以保证切割的精度和安全。
四、加强对室内固体压强切割问题的掌握1.多了解相关技术：及时学习室内固体压强切割技术和其他相关技术，掌握压强切割刀具以及切割仪器操作技术，做到随时随地都能应用，适应室内固体压强切割基础教育和能力培训。
2.多参加室内固体压强切割活动：参加各种大小型实战，及时积累技术实践经验，充实个人技术储备，把握和分析室内固体压强切割的特性及它的变化。
3.不断开发针对性的方案：在室内固体材料压强切割时，不断了解和探索新技术，利用新技术设计制定针对性的解决方案，以建立起经验丰富的室内固体压强切割工艺技术，提高切割的精确性和产品质量。
微专题9-3 切割体的压强知识· 解读常用方法有：物理公式推导（定性、定量）、数学比例、极限法、分解法、赋值法等。
1、根据题目提供的已知条件判断出两个物体原来的密度、压力、压强的大小关系：可根据P=F/S、P=ρgh或ρ＝m/V等判断。
2、根据要求的未知物理量，确定压强、压力的变化情况，变化量（ΔP、ΔF）。
3、结合题目找出改变（增大或减小）ΔP、ΔF的方法。
①变化的压强可以用ΔP=ΔF/S （对于柱类物体也可用ΔP=ρgΔh）或ΔP=P1-P2等分析计算；②变化的压力可以用ΔF=Δmg 、ΔF=ΔPS 、ΔF=mg/n（ n为比例）或ΔF=F1-F2等分析计算；③柱形物体或液体的压强均可以用P=F/S 或P=ρgh判断，要看题目提供的条件。
分析此类问题应用的知识多，综合性强，应熟练掌握质量、重力、压力、密度、压强及体积、面积等有关知识。
典例· 解读S P0S P`1S2 P2S4P4S3P3例1、如图所示，质地均匀的实心木块放在水平桌面上，对桌面的压强为p0。
按照图中虚线对木块切割，切割后剩余部分对桌面的压强分别为p1，p2，p3，p4，请比较它们与p0大小关系。
【答案】【解析】本题考察固体压强的切割问题。
此类问题通常有两种解题思路：思路一：根据，分别考虑压力和受力面积的变化，据此分析压强的变化。
思路二：根据柱形固体压强计算式，分析高度是否变化。
首先看横向切割，如图1所示：方法一：根据，横向切割后，压力变小，受力面积不变，故压强变小。
方法二：木块横切后仍是柱体，利用计算式分析，剩余木块的密度不变，高度变小，故压强变小。
再看竖直切割，如图2所示：方法一：采用特殊值法，假设切去整体的三分之一则剩余部分对桌面的压强即竖切前后压强不变。
方法二：木块竖直切割后仍是柱体，利用计算式分析，剩余木块的密度和高度均不变，故压强不变。
比较两种方法，发现通过计算式来分析横切或竖切问题都较为简便。
江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷（江西师大附中使用）高三理科数学分析一、整体解读试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。
试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。
1．回归教材，注重基础试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。
2．适当设置题目难度与区分度选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。
3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。
包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。
这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。
二、亮点试题分析1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC →→=，则AB AC →→⋅的最小值为（ ）A ．14-B ．12-C ．34-D ．1-【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识，是向量与三角的典型综合题。
解法较多，属于较难题，得分率较低。
【易错点】1．不能正确用OA ，OB ，OC 表示其它向量。
2．找不出OB 与OA 的夹角和OB 与OC 的夹角的倍数关系。
【解题思路】1．把向量用OA ，OB ，OC 表示出来。
2．把求最值问题转化为三角函数的最值求解。
【解析】设单位圆的圆心为O ，由AB AC →→=得，22()()OB OA OC OA -=-，因为1OA OB OC ===，所以有，OB OA OC OA ⋅=⋅则()()AB AC OB OA OC OA ⋅=-⋅-2OB OC OB OA OA OC OA =⋅-⋅-⋅+ 21OB OC OB OA =⋅-⋅+设OB 与OA 的夹角为α，则OB 与OC 的夹角为2α所以，cos 22cos 1AB AC αα⋅=-+2112(cos )22α=--即，AB AC ⋅的最小值为12-，故选B 。
【举一反三】【相似较难试题】【2015高考天津，理14】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为 .【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求,AE AF ，体现了数形结合的基本思想，再运用向量数量积的定义计算AE AF ⋅，体现了数学定义的运用，再利用基本不等式求最小值，体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现. 【答案】2918【解析】因为1,9DF DC λ=12DC AB =，119199918CF DF DC DC DC DC AB λλλλλ--=-=-==， AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+，()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BCλλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918. 2．【试卷原题】20. （本小题满分12分）已知抛物线C 的焦点()1,0F ，其准线与x 轴的交点为K ，过点K 的直线l 与C 交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上； （Ⅱ）设89FA FB →→⋅=，求BDK ∆内切圆M 的方程. 【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系，圆的标准方程，韦达定理，点到直线距离公式等知识，考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学思想方法，是直线与圆锥曲线的综合问题，属于较难题。
【易错点】1．设直线l 的方程为(1)y m x =+，致使解法不严密。
2．不能正确运用韦达定理，设而不求，使得运算繁琐，最后得不到正确答案。
【解题思路】1．设出点的坐标，列出方程。
2．利用韦达定理，设而不求，简化运算过程。
3．根据圆的性质，巧用点到直线的距离公式求解。
【解析】（Ⅰ）由题可知()1,0K -，抛物线的方程为24y x =则可设直线l 的方程为1x my =-，()()()112211,,,,,A x y B x y D x y -，故214x my y x =-⎧⎨=⎩整理得2440y my -+=，故121244y y m y y +=⎧⎨=⎩则直线BD 的方程为()212221y y y y x x x x +-=--即2222144y y y x y y ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭令0y =，得1214y yx ==，所以()1,0F 在直线BD 上.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知121244y y m y y +=⎧⎨=⎩，所以()()212121142x x my my m +=-+-=-，()()1211111x x my my =--= 又()111,FA x y →=-，()221,FB x y →=-故()()()21212121211584FA FB x x y y x x x x m →→⋅=--+=-++=-，则28484,93m m -=∴=±，故直线l 的方程为3430x y ++=或3430x y -+=213y y -===±，故直线BD 的方程330x -=或330x -=，又KF 为BKD ∠的平分线，故可设圆心()(),011M t t -<<，(),0M t 到直线l 及BD 的距离分别为3131,54t t +--------------10分 由313154t t +-=得19t =或9t =（舍去）.故圆M 的半径为31253t r +== 所以圆M 的方程为221499x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【举一反三】【相似较难试题】【2014高考全国，22】 已知抛物线C ：y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF|＝54|PQ|.（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．【试题分析】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,解法及所涉及的知识和上题基本相同. 【答案】（1）y 2＝4x. （2）x －y －1＝0或x ＋y －1＝0. 【解析】（1）设Q(x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p，所以|PQ|＝8p ，|QF|＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p ，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x.（2）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m≠0)． 代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.故线段的AB 的中点为D(2m 2＋1，2m)， |AB|＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1m y ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4m y －4(2m 2＋3)＝0.设M(x 3，y 3)，N(x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m2＋2m 2＋3，－2m ，|MN|＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m 2.由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝12|MN|，从而14|AB|2＋|DE|2＝14|MN|2，即 4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m 4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1， 故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.三、考卷比较本试卷新课标全国卷Ⅰ相比较，基本相似，具体表现在以下方面： 1. 对学生的考查要求上完全一致。
即在考查基础知识的同时，注重考查能力的原则，确立以能力立意命题的指导思想，将知识、能力和素质融为一体，全面检测考生的数学素养，既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度，又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平，符合考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则． 2. 试题结构形式大体相同，即选择题12个，每题5分，填空题4 个，每题5分，解答题8个（必做题5个），其中第22，23，24题是三选一题。
题型分值完全一样。
选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线性规划等知识点，大部分属于常规题型，是学生在平时训练中常见的类型．解答题中仍涵盖了数列，三角函数，立体何，解析几何，导数等重点内容。
3. 在考查范围上略有不同，如本试卷第3题，是一个积分题，尽管简单，但全国卷已经不考查了。
四、本考试卷考点分析表（考点/知识点，难易程度、分值、解题方式、易错点、是否区分度题）。
