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高二数学《等差数列的前n项和》公开课获奖课件

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《等差数列的前n项和》人教版高二数学下册PPT课件

《等差数列的前n项和》人教版高二数学下册PPT课件

合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
[跟踪训练] 2．植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距 10 米， 开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的 路程总和最小，此最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ 米.
解得 a 1＝－5 ，d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2 d ＝1 0 ＋2×3 ＝1 6 ，
1 0 ×9 S 10＝1 0 a 1＋ 2 d ＝1 0 ×(－5 )＋5 ×9 ×3 ＝8 5 .
1 7 × a 1＋a 17
1 7 × a 3＋a 15
1 7 ×4 0
(2 )S 17＝
2
＝
2
＝
＝3 4 0 .
S 1，n ＝1 ，
项公式，那么数列{a n
}的通项公式要分段表示为
a
n
＝
S
n －S
n －1，n
≥2 .
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
等差数列前 n 项和公式的实际应用
例 3、某抗洪指挥部接到预报，24 小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来 之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用 20 台同 型号翻斗车，平均每辆车工作 24 小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用， 每隔 20 分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集 25 辆，那么在 24 小时内能否构筑成第二道防线？
3，n ＝1，
∴a
n
＝ 2
n
，n
≥2
.
合作探究
COOPERATIVE INQUIRY
2 ．(变条件变结论)将本例中的条件“S n ＝2 n 2－3 0 n ”变为“正数数列{b n }的前 n 项和 S n

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

等差数列前n项和(公开课)PPT课件
几何等领域。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。

等差数列的前n项和全国获奖ppt课件

等差数列的前n项和全国获奖ppt课件

an )
an a1 (n 1)d
公式2
n(n 1) Sn na1 2 d
19
设计说明
一言而蔽之，数学教学应努力做到： 以简驭繁， 平实近人， 返朴归真， 循循善诱， 引人入胜。
20
公式应用
•选用公式 •变用公式 •知三求二
21
公式应用
选用公式
例１ 某长跑运动员７天里每天的训练量（单位：m） 是： 7500 8000 8500 9000 9500 10000 10500 这位长跑运动员７天共跑了多少米？
2
一、教材分析
•教材地位、作用 •教学目标 •教学重点、难点
3
教材地位与作用
本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应 用。
在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：1.从特殊到 一般的研究方法；2.等差数列的基本元表示 ；3.倒序相加求和。 不仅得出了等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项 和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。
nn整理课件一教材分析二教法分析三学法分析四教学过程五板书设计整理课件?教材地位作用?教学目标?教学重点难点整理课件教材地位与作用本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应在推导等差数列前n项和公式的过程中采用了
等差数列的前n项和 （第一课时）
1
一、教材分析 二、教法分析 三、学法分析 四、教学过程 五、板书设计
26
五、板书设计
课题
公式：
公式(1)
公式(2)
公式
推导 过程
例1、
例2、
例3、
27
谢谢！
28
从特殊到一般，旨在 让学生体验“倒序相 加求和”这一算法的 合理性，从心理上完

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

等差数列前n项和(公开课)PPT课件
数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法

等差数列的前n项和全国讲课比赛一等奖PPT课件

等差数列的前n项和全国讲课比赛一等奖PPT课件
思考：问1+2+3+4+…+n=?
第5页/共19页
一、情境导入
思考：问1+2+3+4+…+n=?
sn = 1 + 2 + … +(n-1)+ n sn = n +（n-1）+ … + 2 + 1
2 sn =（n+ 1）+ （n+ 1） +…+（n+ 1） =n(n+1)
(n 1) n
Sn
2
Sn =？
4a1
4 (4 1)d 2
20
da1
2 2
an 2n
第14页/共19页
三、探究深化
例4.在等差数列{an}中，满足a4=7,求S7.
解:
S7
7(a1 2
a7 )
a1 a7 2a4
7 2a4 2
7a4
49
第15页/共19页
四、总结反思
1.本节课学到了哪些知识？ 2.你觉得本节课的难点是什么？ 3.高斯的故事对你有什么启发？
Sn=a1+a2+a3…+an-1+an
第6页/共19页
二、学导结合 若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*), 则 am +an =ap+aq 设等差数列{an}的前n项和为Sn， Sn=a1+a2+a3…+an-1+an .求Sn
Sn = a1 +a2 +a3 +…+an-2 + an-1 + an
第16页/共19页

《等差数列的前n项和》课件(全国讲课比赛一等奖)

《等差数列的前n项和》课件(全国讲课比赛一等奖)

对学生的答疑解惑
01
解答学生在学习过程中遇到的疑 惑和问题，帮助他们更好地理解 和掌握等差数列的前n项和。
02
针对学生的不同学习需求和问题 ，提供个性化的指导和建议。
下节课预告：等差数列的性质探究
• 预告下节课的学习内容，引导学生对等差数列的 性质进行探究和思考，激发他们的学习兴趣和好 奇心。
THANKS。
详细描述
首先，将等差数列的项倒序排列，然后将其与原数列相加。由于倒序数列与原数列的对 应项相加都等于同一个常数（等差数列的首项加末项），因此，这些相加的结果都相互 抵消，除了第一项和最后一项。因此，等差数列的前n项和可以通过求第一项和最后一
项的和，然后乘以项数n再除以2来得到。
错位相减求和
总结词
错位相减法是一种通过将等差数列的每 一项乘以一个递增或递减的系数，然后 求和来找到等差数列的和的方法。
等差数列的前n项和公式的扩 展
推广到等差数列的任意项和
总结词
等差数列的任意项和公式是等差数列前n项和公式的一种扩展，它可以计算等差数列中任意一项的值。
详细描述
等差数列的任意项和公式是基于等差数列的通项公式和前n项和公式推导出来的。通过设定等差数列的首项、公 差以及项数，可以计算出任意一项的值。这个公式在解决一些数学问题时非常有用，特别是那些需要精确计算等 差数列中某一项的值的问题。
要点二
详细描述
首先，将等差数列的每一项拆分成两个部分，通常是一个 常数和一个递增或递减的等差数列。然后，将这些拆分后 的项重新组合成新的数列，并求和。由于相邻的拆分项会 相互抵消，因此最后只剩下首项和末项的和。因此，等差 数列的前n项和可以通过求首项和末项的和，然后乘以项 数n再除以2来得到。

等差数列的前n项和PPT优秀课件

首项与末项的和：1+100=101， 第2 项与倒数第2 项的和：2+99=101， 第3 项与倒数第3项的和：3+98=101， …… 第50项与倒数第50项的和：50+51=101， 于是所求的和是：10112005050
结论 第k项+倒数第k项=首项+末项
方法探究
倒序相加
设 S 1 ： 2 3 9 1 90 ① 0
把项的次序倒过来 S 又可以表示为:
S= 100＋99＋98＋ …＋2 ＋1 ②
把①、②两边的对应项分别对应相加，得：
1 个 0 1 0 0 1 2 S ( 1 1) 0 ( 2 0 9 ) 9 ( 9 2 9 ) ( 1 0 1 ) 0
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
§3.3等差数列的前n项和 第一课时ห้องสมุดไป่ตู้
知识探究
问题：1 2 3 4 1 ? 0
这个问题，德国著名数学家高斯
（1777年—1855年）10岁的时候，一 天上数学课，老师问的问题；其他同 学忙着用笔在纸上计算，而小高斯却 很快求出他的结果。（你知道小高斯 是怎样算的吗？）

等差数列的前n项求和公式市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件


1指出S1，S2 S12中哪个最大，并说明理由；
2求公差d的取值范围.
解：1 S12
0, S13
0
aa76
a7 a7
0 0
a6 a7
0 0
S6最大
2
1212 1312
2d 2d
66d 78d
0 0
24 d 3 7
练习
1、已知 a6+a9+a12+a15=192,求 S20 2、一种项数为36旳数列旳前四项和是21，后四项和是67， 求这个数列旳和。 3、{an}是等差数列，S10>0,S11<0,则求使an<0旳n旳最小值
根据等差数列旳前n项求和公式
Sn
n
a1
nn 1
2
d
得
SS20102100aa1 12100222100- 11dd
310 1220
解得 a1=4，d=6 将此成果代入上面旳求和公式，得Sn=4n+n(n-1)×3=3n2+n
所以，等差数列旳前n项和旳公式是 Sn 3n2 n
解:根据题意，由7n<100 得 n<100／7
解1： 3a 3d 11a 55d
8a 52d a 13 d 0 d 0
2
Sn
na1
nn 1 d
2
n2
14n 2
d
解2： S3 S11 a1 0
由等差数列构成旳函数图象，可知 n=（3+11）/2=7时，Sn最大
即 n=7
例8.等差数列an 若令A=d/2,B=a1-d/2，则 S=An2+Bn
将等差数列旳前n项和公式写成上 述形式,有利于求其前n项和旳极值:

等差数列的前n项和公开课一等奖课件省赛课获奖课件


工具
第二章 数列
1．等差数列{an}中，d＝2，an＝11，Sn＝35，则a1等于( )
A．5或7
B．3或5
C．7或－1
D．3或－1
解析： Sn＝na1＋2 11＝35.
∴na1＋11n＝70，①
an＝a1＋(n－1)×2＝11.
∴a1＋2n＝13.②
由①②得 a1＝3 或 a1＝－1.故选 D.
工具
第二章 数列
设 Sn，Sn′分别表示数列{an}和{|an|}的前 n 项和， 当 n≤20 时，Sn′＝－Sn＝－－60n＋nn－ 2 1×3 ＝－32n2＋1223n；8 分 当 n>20 时，Sn′＝－S20＋(Sn－S20)＝Sn－2S20 ＝－60n＋nn－ 2 1×3－2×－60×20＋20×2 19×3 ＝32n2－1223n＋1 260.10 分
2.2.3 等差数列的前n项和
工具
第二章 数列
第1学时 等差数列的前n项和
工具
第二章 数列
工具
第二章 数列
1.体会等差数列前n项和公式的推导过程． 2.掌握等差数列前n项和公式并应用公式解决实际问题． 3.纯熟掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能 够由其中的三个求另外的两个.
工具
第二章 数列
2.已知等差数列{an}中，a1＝－3,11a5＝5a8－13， (1)求公差d的值； (2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值．
解析：(1)由 11a5＝5a8－13 得 11(a1＋4d)＝5(a1＋7d)－ 13
∵a1＝－3，∴d＝59.
工具
第二章 数列
(2)an＝a1＋(n－1)d＝－3＋(n－1)×59 令 an≤0 得 n≤352 ∴a1<a2<…<a6<0<a7<…. ∴Sn 的最小值为 S6＝6a1＋6×2 5d＝6×(－3)＋15×59＝－239.

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =25。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
THANKS
习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。
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10 10 1 S10 10 500 50 7250 万元 2
答
提升
作业
课堂小结
1．等差数列前n项和的公式；（两个）
n(a1 an ) Sn 2
n(n 1) Sn na1 d 2
2．等差数列前n项和公式的推导方法— —倒序相加法； 3.公式的应用(知三求一)；
n(n 1) 故S n 2
n个
倒 序 相 加 法
合 作 探 究
问题3：已知等差数列｛an｝,求前n项和 Sn .
Sn a1 a2
a3
an，
①
2Sn a1 an a2 a n1 a3 an2 an a1 ，
Sn an a n1 an2
a1，
②
n(a1 an ) 2Sn n(a1 an )， 即Sn . 2 上页 思考：还有别的推导方法吗？
又 a1 an a2 a n1 a3 an2
an a1，
下页
问题3：求等差数列{an }的前n项和， 即Sn a1 a2 a3 .... an ?
例1
总结
例 题 讲 解
例1、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学 实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施 “校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间， 在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001 年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了 保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一 年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该 市在“校校通”工程中的总投入是多少？ 解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入 分析：①找关键句；②求什么，如何求； 的资金构成等差数列{an}，且a1=500,d=50,n=10. 故，该市在未来10年内的总投入为：
n(a1 an ) Sn 2 n(n 1) Sn na1 d 2
公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 列前 n 项和公式.
a1 n an
n(a1 an ) Sn 2
公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数 列前 n 项和公式.
a1 n a1 an (n-1)d
等差数列的前n项和
（第一课时）
创设情景
有一个堆放铅笔的V形架， V形架的最下面一层放 一支铅笔，往上每一层 都比它下面一层多放一 支，最上面一层放100支. 问：你知道这个V形架上 共放着多少支铅笔吗？
问题就是： 计算1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
前100项的和
பைடு நூலகம் 高斯的故事
S100= 1 ＋ 2 ＋ 3 ＋…＋ 99 ＋ 100 方高 法斯 是算 什法 么蕴 ？含 的 思 想
提升 作业
世纪金榜P25 -26全部
真诚地感谢各位老师 的到来！
提升1.等差数列-10，-6，-2，2,„„ 前多少项的和为54？
n9
提升2.在等差数列{an }中 (1)已知 : a2 a5 a12 a15 36, 求S16
S16 144
(2)已知：a6 20, 求S11
n(n 1) Sn na1 d 2
将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.
公式应用
根据下列各题中的条件，求相应的 等差数列｛an｝的Sn ： 500 （1）a1=5，an=95，n=10 （2）a1=100，d=－2，n=50 2550 n(a1 an ) 10 (5 95) 500 解： 1 Sn 2 2 n(n 1) 解： d 2 Sn na1 2 50 (50 1) 50 100 -2 2550 2
S11 220
总结
作业
1+100=101
2+99=101
3+98=101
首尾 配对 相加
………
50+51=101
S100
100 101 5050 2
上页
下页
S100 1 2 3 ...... 99 100 ?
1+100=2+99=3+98=…..=50+51
S100 (1 100) (2 98) .... (50 51) ?
不同数的求和问题
相同数的求和问题
问题2： Sn 1 2 3 .... (n 1) n ?
Sn 1 2 3
(n 1) n
Sn n (n 1) (n 2) ... 2 1
可知：2Sn （ 1 n） (1 n) ...... (n 1)
求集合M={m| m=2n – 1，n∈N *，且m < 60} 的元 素个数，并求这些元素的和。
解：依题意得：由2n 1 60, 得n 30.5 n 30, m 2n 1, M 中的数构成一个等差数列， 公差为2, 30 29 S30 30 1 2 900 2