高中数学-等比数列前n 项和的性质及应用测试题
(建议用时：45分钟)
[基础测试]
一、选择题
1.已知a n ＝(－1)n
，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 9与S 10的值分别是( )
【导学号：18082103】
A.1,1
B.－1，－1
C.1,0
D.－1,0
【解析】 法一：S 9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1.
S 10＝S 9＋a 10＝－1＋1＝0.
法二：数列{a n }是以－1为首项，－1为公比的等比数列，所以S 9＝
－1×1－－1
9
1－－1＝－1×22＝－1，S 10＝
－1×1－－110
1－－1
＝0.
【答案】 D
2.已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( ) A.31 B.33 C.35
D.37
【解析】 根据等比数列性质得S 10－S 5S 5
＝q 5
， ∴
S 10－1
1
＝25
，∴S 10＝33.
【答案】 B
3.如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝( )
A.2n
－1 B.2
n －1
－1
C.2n ＋1
D.4n
－1
【解析】 a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝
1·1－2n
1－2＝2n
－1.
【答案】 A
4.在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 2＝40，a 3＋a 4＝60，那么a 7＋a 8＝( )
【导学号：18082104】
A.135
B.100
C.95
D.80
【解析】 法一：由等比数列的性质知a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，
其首项为40，公比为6040＝3
2
.
∴a 7＋a 8＝40×⎝ ⎛⎭
⎪⎫323
＝135. 法二：由⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＋a 2＝40，
a 3＋a 4＝60，得q 2
＝32
，
所以a 7＋a 8＝q 4
(a 3＋a 4)＝60×94＝135.
【答案】 A
5.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )
A.
152 B.314 C.334 D.172
【解析】 设{a n }的公比为q ，由题意知q ＞0，
a 2a 4＝a 23＝1，即a 3＝1，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝1q 2＋1q ＋1＝7，即6q 2－q －1＝0，解得q ＝
1
2
⎝ ⎛⎭⎪⎫q ＝－13＜0舍去，所以a 1＝1q 2＝4，所以S 5＝4×⎝ ⎛⎭⎪
⎫1－1251－12
＝8×⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－125＝314
. 【答案】 B 二、填空题
6.等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.
【解析】 设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2
，首项为a 1，
S 2n ＝a 11－q 2n 1－q ，S 奇＝a 1[1－q 2
n
]
1－q
2
.
由题意得a 11－q 2n 1－q ＝3a 11－q
2n
1－q
2
. ∴1＋q ＝3，∴q ＝2. 【答案】 2
7.数列11,103,1 005,10 007，…的前n 项和S n ＝________. 【解析】 数列的通项公式a n ＝10n
＋(2n －1).
所以S n ＝(10＋1)＋(102
＋3)＋...＋(10n ＋2n －1)＝(10＋102＋ (10)
)＋[1＋3＋…＋(2n －1)]＝
101－10
n
1－10
＋
n 1＋2n －1
2＝109
(10n －1)＋n 2.
【答案】
109
(10n －1)＋n 2
8.如果lg x ＋lg x 2
＋…＋lg x 10
＝110，那么lg x ＋lg 2
x ＋…＋lg 10
x ＝________.
【导学号：18082105】
【解析】 由已知(1＋2＋…＋10)lg x ＝110， ∴55lg x ＝110.∴lg x ＝2.
∴lg x ＋lg 2
x ＋…＋lg 10
x ＝2＋22
＋…＋210
＝211
－2＝2 046. 【答案】 2046 三、解答题
9.设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1. 【解】 (1)∵S 1＝a 1＝1，
且数列{S n }是以2为公比的等比数列， ∴S n ＝2
n －1
.
又当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1
－2
n －2
＝2
n －2
.
当n ＝1时a 1＝1，不适合上式，
∴a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1，n ＝1，2n －2
，n ≥2.
(2)a 3，a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列， ∴a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝
21－4n
1－4
＝24n
－13
，
∴a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝1＋
2
4n
－13＝22n ＋1
＋1
3
. 10.已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4. (1)求{a n }的通项公式；
(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和.
【解】 (1)设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 3b 2＝9
3
＝3，
所以b 1＝b 2q
＝1，b 4＝b 3q ＝27，所以b n ＝3n －1
(n ＝1,2,3，…).
设等差数列{a n }的公差为d .
因为a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝27，所以1＋13d ＝27，即d ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ＝1,2,3，…). (2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3
n －1
，
