等比数列前n项和性质课件

等比数列的前n项和ppt课件
xx年xx月xx日
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目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。

解析：令 an＋1－xan＝y(an－xan－1)， 即 an＋1＝(x＋y)an－xyan－1. 于是得x－＋xyy＝ ＝5－，6，解得xy＝ ＝23，或xy＝ ＝32， . 取 x＝2，y＝3 得 an＋1－2an＝3(an－2an－1)(n≥2)．
由于 a2－2a1＝2≠0，所以数列{an＋1－2an}是以 2 为首项， 3 为公比的等比数列，即 an＋1－2an＝2×3n－1. 两边同除以 2n＋1，得2ann＋＋11－a2nn＝12×32n－1. 所以a2nn＝a2nn－a2nn－ －11＋a2nn－ －11－a2nn－ －22＋…＋a222－a211＋a211 ＝12×32n－2＋12×32n－3＋…＋12×320＋12
通性通法
1．使用范围：如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列， 求数列{an·bn}的前 n 项和时，可采用错位相减法． 2．注意事项：在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意 将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达 式．
跟踪训练
已知数列{an}是等差数列，且 a1＝2，a1＋a2＋a3＝12. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令 bn＝an·3n，求数列{bn}的前 n 项和公式．
随堂检 测
1．已知 an＝(－1)n，数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S9 与 S10
的值分别是
()
A．1，1
B．－1，－1
C．1，0
D．－1，0
解析：S9＝－1＋1－1＋1－1＋1－1＋1－1＝－1， S10＝S9＋a10＝－1＋1＝0. 答案：D
2．数列n（n2＋1）的前 2 020 项和为________．
解析：因为n（n2＋1）＝21n－n＋1 1，

四
随堂演练
1.已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，则r的值是
A.1
B.0
C.2
√D.－1
当q≠1时， Sn＝a111－－qqn＝1－a1 q－1－a1 qqn， ∴r＝－1.
1234
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于
√A.3∶4
B.2∶3
而S2n－Sn2＝a1q1n－1－q qn2， Sn(S3n－S2n)＝a111－－qqn×a1q21n－1－q qn，
故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.
问题3 你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n?
提示 思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm ＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn. 思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋ a2qn＋…＋amqn ＝Sn＋qnSm.
内容索引
一、等比数列前n项和公式的函数特征 二、等比数列前n项和的“片段和”性质 三、等比数列前n项和的“奇偶项”性质 随堂演练 课时对点练
一 等比数列前n项和 公式的函数特征
问题1 你能发现等比数列前n项和公式Sn＝a111－－qqn (q≠1)的函数 特征吗？
提示 Sn＝a11－－aq1qn＝－1－a1qqn＋1－a1 q，设 A＝－1－a1 q，则 Sn＝Aqn－A.
第2课时
等比数列前n项和的性质及应用
第1章
<<<
学习目标
1.了解等比数列前n项和公式的函数特征. 2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.

3．将实际问题转化为数列问题时应注意：①分清是等差数 列还是等比数列；②分清是求 an 还是求 Sn，特别是要准确确定 项数 n；③递推关系的发现是数列建模的关键．
4．解数列应用题的思路方法如图所示．
公比为 q，显然 q≠1，则a111－－qq20＝30. 两式相除得 1＋q10＝3，∴q10＝2. ∴S30＝a111－－qq30＝a111－－qq10(1＋q10＋q20) ＝10×(1＋2＋4)＝70.
法二 ∵S10，S20－S10，S30－S20 仍成等比数列， 又∵S10＝10，S20＝30， ∴S30－30＝30－10102， 即 S30＝70.
12a1＋212a2＋…＋2n1－1an－1＝2(n－1)＋5,
②
①－②得，21nan＝2(n≥2)． 所以 an＝2·2n＝2n＋1(n≥2)． 在①中令 n＝1，可得12a1＝2＋5＝7，即 a1＝14.
所以 an＝124n＋，1，
n＝1， n≥2.
1．形如 an＋1＝an＋f(n)的递推式，可用叠加法求通项公式． 2．形如 an＋1＝f(n)an 的递推式，可用叠乘法求通项公式.3. 形如 an＋1＝kan＋b(k、b 为常数)的递推式，可变形为 an＋1＋λ＝ k(an＋λ)构造等比数列求解，其中 λ 可用待定系数法确定． 4．由ห้องสมุดไป่ตู้式求通项公式，可把和式看做一个数列的前 n 项和，
在等比数列{an}中，Sn，S2n－Sn， S3n－S2n 数列，其公比是 qn .
，…成等比
等比数列前n项和Sn与函数的关系
【问题导思】 1．等比数列前 n 项和公式 Sn＝a111－－qqn(q≠1)，是否可以 写成 Sn＝A(qn－1)(Aq≠0 且 q≠1)的形式？若可以，A 等于什 么？ 【提示】 可以，A＝－1－a1q.

它可以变形为
设=

−



= −
+
−
−
1 1 −
=
1−
， 上式可写成 = − +

是一个指数式与一个常数的和，
其中 ≠ 、 ≠
且指数式的系数与常数项互为相反数.
新知讲解
拓展
等比数列前n项和的性质
1 数列{ }是等比数列 ⇔ = − ( ≠ )
合作探究
（3）由（2）可知，数列{ − }是以-50为首项，1.08为公
比的等比数列，则
=
由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以

+ =

1
2
因此，{ }是以25为首项， 为公比的等比数列.
设{ }的前n项和为 .
（1）
1
25 × 1 − 2
=
1
1−
2
10
1
= 50 × 1 −
2
25 575
所以，当10个正方形的面积之和为
× . × − .

=
− . + + .
− . ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

= ×
.

− −
−


当n=5时，5 ≈ 63.5
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.
合作探究
例12 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率
为8%，且在每年年底卖出100头牛. 设牧场从今年起每年年初的计划存栏数
依次为 ， ， ， …
（1）写出一个递推公式，表示+ 与 之间的关系；

63
________.
【思路分析】 (1)运用等比数列的性质 am·an＝ak·al＝a2t(m，n，k，l，t∈N*) 求
解．
(2)由 S2，S4－S2，S6－S4 成等比数列求解．
【解析】
(1)方法一：由等比中项的性质知 a1a2a3＝a32＝5，a7a8a9＝a38＝10，
a4a5a6＝a35＝( a2a8)3＝5 2，故选 A.
的等比数列，则
1 − 1250 + 2 − 1250 + 3 − 1250 + ⋯ + 10 − 1250
−50 × 1 − 1.0810
=
≈ −724.8
1 − 1.08
所以
10 = 1 + 2 + 3 + ⋯ + 10
≈ 1250 × 10 − 724.3 = 11 775.7 ≈ 11 776 .
1
1
1
1
1
1
∴Tn＋
－
＋…＋ n
－ ＋
＝
2 －1 22－1 22－1 23－1
2 －1 2n 1－1
1
1
1
－
＝1－ n＋1 .
21－1 2n＋1－1
2 －1
二、等比数列前n项和的性质
1 数列{ }是等比数列 ⇔ = − ( ≠ 0)
2 若等比数列{ }的前n项和为 ，则
（1）求从正方形ABCD开始，连续10个正方形
的面积之和；
（2）如果这个作图过程可以一直继续下去，那
么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
分析：
可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这
是一个等比数列.

法二：设 b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a85，b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a86，b3＝a3 ＋a6＋a9＋…＋a87， 因为 b1q＝b2，b2q＝b3，且 b1＋b2＋b3＝140， 所以 b1(1＋q＋q2)＝140，而 1＋q＋q2＝7，所以 b1＝20，b3＝q2b1＝ 4×20＝80. [答案] 80
探究二 等比数列的奇、偶项之和 [典例 2] 一个项数为偶数的等比数列，各项和是偶数项和的 4 倍， 前 3 项的积为 64，求此数列的通项公式．
[解析] 设数列{an}的首项为 a1，公比为 q，奇数项和、偶数项和分别 记为 S 奇、S 偶， 由题意知 S 奇＋S 偶＝4S 偶，即 S 奇＝3S 偶． ∵数列{an}的项数为偶数，∴q＝SS偶奇＝13. 又 a1·a1q·a1q2＝64，∴a31q3＝64，即 a1＝12. ∴通项公式为 an＝12·13n－1＝4·13n－2.
法三：运用性质1－Smqm＝1－Snqn(q≠±1)． 由已知条件 S10＝10，S20＝30，易得 q≠±1， ∴1－S1q0 10＝1－S2q0 20，即1－10q10＝1－30q20，Байду номын сангаас∴q10＝2. 又1－S1q010＝1－S3q030，解得 S30＝70.
法四：运用性质 Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，S4k－S3k，…成等比数列． ∵S10，S20－S10，S30－S20 成等比数列， 而 S10＝10，S20＝30， ∴(S20－S10)2＝S10·(S30－S20)， 即(30－10)2＝10×(S30－30)， ∴S30＝70.
等比数列的前 n 项和公式的性质及应用
1．若数列{an}为等比数列，Sn 为前 n 项和，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…， 仍构成 等比 数列，公比为 qn .

思路探究：(1 )由 S 2，S 4－S 2，S 6－S 4 成等比数列求解．
S偶
(2 )利用
S奇
＝q ，及 S 2n＝S
奇＋S
偶求解．
合作探究
思
而
学
(1 )A (2)24 [(1)∵{a n}为等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4 也为等比数列， 即 7 ，S 4－7 ,9 1 －S 4 成等比数列， ∴(S 4－7 )2＝7 (9 1 －S 4)，解得 S 4＝2 8 或 S 4＝－2 1 . ∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2 ＝(a 1＋a 2)(1 ＋q 2)＝S 2(1 ＋q 2)> S 2，∴S 4＝2 8 .
2
2
128
S偶
1
[解]
设等比数列为{a n }，项数为
2n ，一个项数为
2n
的等比数列中， ＝q .则 S奇
q＝ ， 2
3
3
又
an
和
a n ＋1
为中间两项，则
a
n
＋a
n
＋1
＝ 1
2
8
，即
a1q
n －1＋a 1q
n＝ ， 128
1
1
又
a
1
＝ 2
，q
＝ 2
，
1 ∴
2
·21
n
－1
1 ＋
2
·21
n
＝ 1
高中数学
数列
等比数列
等比数列的前n项 和性质及应用
学习目标
学
而
思
1．等比数列前 n 项和的变式
a 1 1 －q n

1 y
1 y2
…
1 yn
x 1 xn
1 x
1 y
1
1 yn
1 1
x xn1 yn 1 1 x yn1 yn
y
13
例题解析
O第ffic一e组年件之为w5o万rd2吨007，
一 万年吨例增（3加保某留10制到%糖，个厂那位今么）年 从. 制今糖年起5万，吨几，年如内果可平以均使每总年产的5量5（第产+达51二量×+到1年比1030%为上0%）=
1073(万元) >465(万元)
不会数学很可怕！！！
思考1： ①式两边为什么要乘以2 ？
探究新知
Office组件之word2007
等比数列an 的首项为a1，公比为q, 如何求前n项和Sn呢？
Sn a1 a2 a3 an
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1. ⑴
八戒吸纳的资金
返还给悟空的钱数
T30 1 2 3 30S30 1, 22, 2222, 2233,, 229
465 (万元)
=?以1为首项，2为公比的 等比数列的前30项之和
第一天有１万， 以后每天比前 一天多１万元， 连续一个月(30
天)
第一天返还1分， 第二天返还2分， 第三天返还4分…… 后一天返还数为
Office组件之word2007
等比数列的前n项和
复习引入
1. 等比数列的定义： an1 q(n N , q 0) an an q(n 2, n N , q 0) an1
2. 等比数列通项公式：
an a1 qn1(a1,q 0)
an am qnm(am,q 0)
Office组件之word2007

an amq
n m
an+am =ap+aq(n+m=p+q) am an a p aq m n p q
2 a , b , c 成等比数列 b ac a, b, c成等差数列 2b a c
前n项和 公式
S
n( a1 an ) n 2 na1 1 n(n 1)d 2 (倒序相加)
等比数列的力量
等 比 数 列 an q (是常数 ) an 1
an= a1+(n-1)d an=am+(n-m) amqnm
an+am =ap+aq(n+m=p+q) a a a a m n p q m n p q
2 a, b, c成等差数列 2b a c a, b, c成等比数列 b ac
综合练习
任我采撷
等差(比)数列前n项和的 性质
若an 为等差(比)数列, 则 Sk ,S2 k Sk , S3k S2 k , S4 k S3k , S5k S4 k , 也成等差(比)数列.
等差（比）数列前n项 和的性质及应用
(1)已知等差数列{an}中，前 10 项和 S10＝10，前 20 项和 S20＝30，求 S30. (2)一个等比数列的首项是 1，项数是偶数，其奇数项的和 为 85，偶数项的和为 170，求此数列的公比和项数．
第一天返还1分， 第二天返还2分， 第三天返还4分…… 后一天返还数为前一天 的 2倍 ．
知识探究 等比数列的前n项和
在等比数列 {an }中,公比为 q ,它的前 n 项和:
a1 (1 q ) a1 an q Sn 1 q 1 q