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2 − 1 取B = ( P1 , P2 ) = 1 0
取B = ( P2 , P3 ) = 0
( 2) B
S (1) = c1 x1 + c2 x2 = 1×1 + 2 ×1 = 3 −1 0
1
x2 − 1 0 1 − 1 -1 X = = B b= 0 1 1 = 1 x 3 ( X B2)不可行
PB1 , PB2 ,..., PBm 称为线性规划的一个基 基
未选中的向量： N1 , PN 2 ,..., PN n−m P
N = ( PN1 , PN 2 ,..., PN n−m )
N称为非基底矩阵 非基底矩阵
4
AX = b
基，基本解，基本可行解
x1 P + x2 P2 + ... + xn Pn = b 1
S
(3)
= c1 x1 + c3 x3 = 1× + 3 × = 2
共有三个基本解! T (1) 最优解是： X = (1 1 0 ) 这是一种穷举方法!
17
求解方法的改进
找到一种判别法则，来判断一个基本解 是否为最优解； 找到一种选基的方法，使新的基本可行 解比原来的基本可行解好； 目标是尽快找到最优解。
16
2 0 取B = ( P1 , P3 ) = 1 1
( X B3)
x1 = = B -1b = x 3
1 1 0 1 1 2 1 − 1 2 1 = 2 2
1 2 1 2
T T CN −CB B−1N
B = (P 2
1 1 P ) = 3 2 3
不是最优解
3 −1 2 2 = ( −5 6) −( 2 −3) −2 1 1 4 2 2 = −5 6 − 19 4 = −24 2 ) ( ) ( ) = ( −5 6) −(12 −5) ( 31 1 4
T B *
−1
−1
(C − C B N) XN ≤ 0
−1
所以CTX*≥ CTX
所以X 所以 *是最优解
22
求线性规划的基本解
最优解为：
23
线性规划的检验数
不是最优解
24
线性规划的检验数
它是最优解！ 它是最优解！
25
线性规划的基本算法
选基B； 求基本解B-1b; 用检验数判别是否为最优解？ 否，重新选基。
26
Max S = x1 + 2x2 + 3x3 2x1 − x2 = 1 s.t. x1 + x3 = 1 x , x , x ≥ 0 1 2 3
2 0 取B = (P, P ) = 1 3 1 1
-1
C = (1 3) ,C = 2;
T B T N T N T B −1
C X =C B b
T * T B
21
−1
2.线性规划的判别定理 2.线性规划的判别定理
任一解的目标函数值： 任一解的目标函数值：
C X = C B b + (C − C B N) XN
T T B T N
−1
X*的目标函数值： 的目标函数值： 的目标函数值
T N T B
C X =C B b
T T B
寻找最优解，只要从基本解中寻找!
Max S = C T X AX = b s.t. X ≥ 0
若A为m×n矩阵，R(A)=m 则基本解至多有多少个？
C 个
m n
13
求线性规划的基本解
最优解为：
14
线性规划求解的基本方法
选基B 求基本解：XB=B-1b,XN=0 从基本解中找出最优解 ; 基本解是有限多个。 只要找出全部的基本解,就可找到最优 解。 基本可行解就是约束区域的顶点！ 基本可行解就是约束区域的顶点！
T N T B −1
B = (P 3
1 2 P ) = 4 3 4
2
2.线性规划解的概念 2.线性规划解的概念
线性规划的基、基本解与基本可行解 基 基本解 基本可行解
Max S = C T X
AX = b AX = b s.t. X ≥ 0 当R(A)=R(A,b)=n, 方程组有唯一解； 当R(A)=R(A,b)<n，方程组有无穷多解； 当R(A)≠R(A,b),方程组无解。
18
线性规划的检验数
Max S = C X
T
选基B，则有：
AX = b s.t. X ≥ 0
BX B + NX N = b
∴ X B = B b − B NX N
T N
−1
−1
将XB代入目标函数，得：
C X = C XB +C XN
T T B
C −C B N
T N T B
−1
= C ( B b − B NX N ) + C X N
Max S = x1 + 2x2 + 3x3 2x1 − x2 =1 s.t. x1 + x3 = 1 x , x , x ≥ 0 1 2 3
T T CB = (1 2) ,CN = 3; T N T B −1
2 −1 取B = ( P , P ) = 1 2 1 0
0 11 1 XB = B b = −1 21 = 1
-1
0 1 0 x1 1 C − C B N = 3− (1 2) 1 −1 2 X = x = 1 2 x 0 1 3 = 3− (1 2) = 3− 5 < 0 2 是最 优解
线性规划的基本概念
最优解、最优值 基、基变量、非基变量 基本解、基本可行解 可行解、可行解集（可行域） 可行基、最优基 熟悉以上一些基本概念
1
线性规划的基本概念
线性规划的可行域 可行域： 可行域
Ω = { X = ( x1 x2 ... xn ) | AX = b, X ≥ 0}
若X∈Ω，则称X是线性规划的一个可行解 可行解。 可行解 若X* ∈Ω ，且CTX*=Max CTX,则称X*是 线性规划的一个最优解 最优解。 最优解 可行的； 若Ω≠∅，则称线性规划是可行的 可行的 若Ω=∅，则称线性规划是不可行的 不可行的。 不可行的
1 1 01 1 1 XB = B b = −1 21 = 2 1 2
1 1 0 −1 C − C B N = 2 − (1 3) 2 −1 2 0 x1 1 2 X = x2 = 0 −1 1 = 2 − ( −2 6) = 2 −1 > 0 x 1 0 2 3 2 不 是最 优解 27
将X分解为XB和XN，AX=b可写成BXB+NXN=b XB=B-1b–B-1NXN 代入目标函数
T T CT X = CB XB + CN XN T T = CB (B−1b − B−1NXN ) + CN XN T T T = CB B−1b + (CN −CB B−1N) XN
将X*代入目标函数，有：
T
X = ( 21 8
T
21 8
−1 4
0 0 )是基本解,
8
但不是可行解。
线性规划的基本概念
从Ａ中选出m个线性无关 的列向量： 称为线性规划的一个基。 基矩阵基 Nhomakorabea解9
求线性规划的基本解
10
求线性规划的基本解
11
求线性规划的基本解
12
2.线性规划的基本定理 2.线性规划的基本定理
若线性规划有可行解，则必有基本可行解； 若线性规划有最优解，则必有基本最优解。
考察线性方程组：
记A=(P1,P2,…,Pn)，A的每一列看作列向量。 3 并设A为m×n矩阵，R(A)=m。
设R(A)=m,则可从A中选出m个线性无关的 列向量： PB1 , PB2 ,..., PBm 矩阵B可逆 矩阵 可逆
基，基本解，基本可行解
B = ( PB1 , PB2 ,..., PBm ) B称为基底矩阵 基底矩阵
xB1 PB1 + xB2 PB2 + ... + xBm PBm + x N1 PN1 + x N 2 PN 2 + ... + x N n−m PN n−m = b
BX B + NX N = b
X B = ( xB1 , xB2 ,..., xBm )
T
X N = ( x N1 , x N 2 ,..., x N n−m )T
T B T N T T T = CB B −1b + (CN − CB B −1 N ) X N
−1
−1
称为关于基底B 的检验数。
19
2.线性规划的判别定理 2.线性规划的判别定理
T T 基B下的检验数: C N − CB B −1 N
定理:若线性规划在基B下的基本解:
X B = B b ≥ 0, X N = 0,
15
Max S = x1 + 2 x2 + 3 x3
2 x1 − x2 = 1 s.t. x1 + x3 = 1 x , x , x ≥ 0 x1 0 1 1 1 (1) -1 1 2 3 XB = = B b = − 1 2 1 = 1 x 2
−1 X B B −1b 称为基本解 = X = 基本解 X 0 N
若X B ≥ 0 X又称为基本可行解 基本可行解
