2.6 实数(1)

2.6 实数教学反思
《2.6实数》是北师大版数学八年级上册第二章第六节内容，这是一节实数的运算、化简课，只有在熟练掌握两个公式（和这两个公式的逆运用）的基础上，反复利用练习来巩固学生对知识理解和融汇，这也是数（或式）的运算（或化简）的最大的特点。

《数学课程标准》强调：要关注学生“是否积极主动地参与学习活动；是否有学好数学的自信心，能够不回避遇到的困难；是否乐于与他人合作，愿意与同伴交流各自的想法；是否能够通过独立思考获得解决问题的思路；能否找到有效的解决问题的方法，尝试从不同的角度去思考问题；是否能够使用数学语言有条理地表达自已的思考过程；是否理解别人的思路，并在与同伴的交流中获益；是否有反思自已思考过程的意识。

”所以，我首先通过课本引例问题，旨在使学生通过自己的探究活动，经过老师的引导，感受并体验实数的运算、化简；让学生根据实例进行探索，通过同学们互相交流合作，得出两个化简的公式（实际上是两个运算公式的逆运用），培养他们的合作精神和探索能力，也让他们获得成功的体验（因为这是教材里没有写出来的），充分调动、发挥学生主体性的多样化的学习方式，促进学生在教师指导下主动地、富有个性地学习。

因为课本的知识量比较少，我在新课引入和练习巩固方面所花的时间相对多一些，这也是数（或式）的运算的通用的做法，旨在通过练习、例题来巩固学生对所学知识的理解和掌握。

但我也把练习、例题的量掌握在一定的尺度，以避免学生的反感与厌烦，从而导致前功
尽弃。

由于复习练习时学生配合相对不默契，浪费了一些时间，导致在课时小结时，显得比较仓促，这是本节课不足的地方。

另外，实数的有关计算和化简，还有待于以后的练习和作业继续加强和巩固。

2022-2023学年北师大版八年级数学上册《2.6实数》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共8小题，满分40分）1．四个实数﹣2，0，﹣，1中，最小的实数是（）A．﹣B．0C．﹣2D．12．下列各数π，，0，中，是有理数的有（）个．A．1B．2C．3D．43．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（）A．a＞b B．|a|＜|b|C．﹣a＞b D．a＞﹣b4．在实数，2.，0.1010010001中，无理数的个数是（）A．1B．2C．3D．45．已知a，b是有理数，它们在数轴上对应的点的位置如图所示．把a，﹣b，a+b，a﹣b 按照从小到大的顺序排列，正确的是（）A．a﹣b＜a＜a+b＜﹣b B．a＜﹣b＜a﹣b＜a+bC．﹣b＜a＜a+b＜a﹣b D．a﹣b＜﹣b＜a＜a+b6．如图所示，以A为圆心的圆交数轴于B，C两点，若A，B两点表示的数分别为1，，则点C表示的数是（）A．﹣1B．2﹣C．2﹣2D．1﹣7．对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a 和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为（）A．1B．2C．3D．48．已知数a，b，c的大小关系如图，下列说法：①ab+ac＞0；②﹣a﹣b+c＜0；③；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝﹣2b；⑤若x为数轴上任意一点，则|x ﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4二．填空题（共10小题，满分40分）9．在，2π，0，﹣2，，﹣中，无理数有个．10．若的值在两个整数a与a+1之间，则a＝．11．的平方根为，的绝对值为．12．比较大小：﹣﹣（填“＞”、“＝”或“＜”）．13．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，则|a﹣b|﹣|b+a|＝．14．计算：+＝．15．已知5+的整数部分为a，5﹣的小数部分为b，则a+b的值为．16．设m＝，那么m+的整数部分是．17．2021的倒数为；的立方根为．18．估算：（误差小于0.1）≈；（误差小于1）≈．三．解答题（共5小题，满分40分）19．把下列各数0，（﹣2）2，﹣|﹣3|，﹣（﹣1）在数轴上表示出来，并用“＜”号把这些数连接起来．20．把下列各数写入相应的集合中：﹣，，0.3，，，﹣7.，﹣3.14152，0，，，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1 ）有理数集合{…}；无理数集合{…}；正实数集合{…}；负实数集合{…}．21．计算：（﹣2）3×﹣×（﹣）．22．计算：（1）计算：﹣+|﹣2|+；（2）已知x是﹣27的立方根，y是13的算术平方根，求x+y2+6的平方根．23．请完成以下问题（1）有理数a，b，c所对应的点在数轴上的位置如图所示，试比较a，﹣a，b，﹣b，c，﹣c，0的大小，并用“＜”连接．（2）有理数a、b、m、n、x满足下列条件：a与b互为倒数，m与n互为相反数，x的绝对值为最小的正整数，求2021（m+n）+2020x3﹣2019ab的值．参考答案一．选择题（共8小题，满分40分）1．解：根据实数比较大小的方法，可得：﹣2＜＜0＜1，故四个数中最小的是﹣2．故选：C．2．解：∵π，是无理数，0，是有理数，∴该题共有有理数2个，故选：B．3．解：由数轴可知：a＜0＜b，且2＞|a|＞1＞|b|，选项A，a＞b，错误，不符合题意；选项B，|a|＜|b|，错误，不符合题意；选项C，﹣a＝|a|＞b＝|b|，正确，符合题意；选项D，a＞﹣b，错误，不符合题意．故选：C．4．解：＝﹣4，无理数有，π，﹣，共有3个，故选：C．5．解：由图可知，a＜0＜b，|a|＜|b|，∴﹣b＜a＜0，a＜a+b＜b，a﹣b＜﹣b，∴a﹣b＜﹣b＜a＜a+b．故选：D．6．解：∵A，B两点表示的数分别为1，，∴，∵AB＝AC，∴，∵点C在点A的左边，∴点C表示的数为，（备注：由A是BC的中点，用中点坐标公式也可求解），故选：B．7．解：∵min{，a}＝a，min{，b}＝．∴a＜，b＞．∵a，b是两个连续的正整数．∴a＝5，b＝6．∴2a﹣b＝2×5﹣6＝4．故选：D．8．解：由题意b＜0，c＞a＞0，|c|＞|b|＞|a|，则①ab+ac＞0，故原结论正确；②﹣a﹣b+c＞0，故原结论错误；③++＝1﹣1+1＝1，故原结论错误；④|a﹣b|+|c+b|﹣|a﹣c|＝a﹣b+c+b﹣（﹣a+c）＝2a，故原结论错误；⑤当b≤x≤a时，|x﹣b|+|x﹣a|的最小值为a﹣b，故原结论正确．故正确结论有2个．故选：B．二．填空题（共10小题，满分40分）9．解：，是分数，属于有理数；0，，是整数，属于有理数；无理数有2π，﹣，共2个．故答案为：2．10．解：∵的值在两个整数a与a+1之间，3＜＜4，∴a＝3．故答案为：3．11．解：＝4，∴的平方根为：＝±2．﹣的绝对值为：﹣（﹣）＝．故答案为：±2，．12．解：∵＞，∴﹣＜﹣，故答案为：＜．13．解：根据数轴得：a﹣b＜0，a+b＜0，∴原式＝b﹣a+b+a＝2b．故答案为：2b．14．解：+＝2﹣3＝﹣1故答案为：﹣1．15．解：∵3＜＜4，∴8＜5+＜9，1＜5﹣＜2，∴5+的整数部分为a＝8，5﹣的小数部分为b＝5﹣﹣1＝4﹣，∴a+b＝8+4﹣＝12﹣，故答案为：12﹣．16．解：m+＝＝＝．∵2＜＜2.5，∴12＜6＜15，∴2＜m+＝＜3，故答案为：2．17．解：因为乘积是1的两个数互为倒数，所以2021的倒数为；因为，所以的立方根为﹣，故答案为：﹣．18．解：∵16＜20＜25，∴4＜＜5，又误差要求小于0.1，可计算4.52＝20.25，4.42＝19.36，所以≈4.5；∵729＜900＜1000，∴9＜＜10．因为要求误差小于1，∴≈﹣10．三．解答题（共5小题，满分40分）19．解：各数表示在数轴上如图所示：由数轴可知：．20．解：有理数集合：﹣，，0.3，，﹣7.，﹣3.14152，0，；无理数合：，，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1 ）；正实数集：，0.3，，，，；负实数集合：﹣，﹣7.，﹣3.14152，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1 ）．故答案为：﹣，，0.3，，﹣7.，﹣3.14152，0，；，，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1 ）；，0.3，，，，；﹣，﹣7.，﹣3.14152，﹣0.2121121112…（相邻两个2之间的1的个数逐次加1 ）．21．解：原式＝（﹣8）×﹣3×（﹣）＝（﹣1）﹣（﹣1）＝0．22．解：（1）原式＝2﹣5+2﹣+＝﹣1；（2）∵x是﹣27的立方根，∴x＝﹣3，∵y是13的算术平方根，∴y＝，∴x+y2+6＝﹣3+13+6＝16，∴x+y2+6的平方根为：±4．23．解：（1）将﹣a，﹣b，﹣c在数轴上表示出来如下：∵在数轴上右边的总比左边的大，∴a，﹣a，b，﹣b，c，﹣c用“＜”连接如下：c＜b＜a＜0＜﹣a＜﹣b＜﹣c．（2）∵a与b互为倒数，∴ab＝1；∵m与n互为相反数，∴m+n＝0；∵x的绝对值为最小的正整数，∴x＝±1，∴当x＝1时，原式＝2012×0+2020×13﹣2019×1＝2020﹣2019＝1；当x＝﹣1时，原式＝2012×0+2020×（﹣1）3﹣2019×1＝﹣2020﹣2019＝﹣4039．综上，2021（m+n）+2020x3﹣2019ab的值为1或﹣4039．。

2022-2023学年八年级数学上《2.6实数》一．选择题（共7小题）1．（2022•尤溪县模拟）实数﹣6，，﹣，0中，整数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．（2022•东莞市校级一模）实数3的倒数是（）A．3B．﹣3C．﹣D．3．（2022春•渑池县期中）下列说法中，错误的是（）A．是整数B．的平方根是C．是分数D．是有理数4．（2022•西宁一模）下列四个数中，负整数是（）A．﹣πB．﹣3C．0D．﹣5．（2021秋•成都期末）﹣的绝对值是（）A．﹣B．11C．D．﹣11 6．（2022•海淀区校级一模）下列关于数轴的叙述，正确的有（）个．（1）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则mn＜0，2m+n＜0；（2）数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为1；（3）数轴上有O、A、B、C四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数轴上有一点D，D点所表示的数为d，且|d﹣5|＝|d﹣c|，则D点的位置介于C、O之间；A．0B．1C．2D．3 7．（2022•观山湖区模拟）下列运算中，正确的是（）A．﹣|﹣2|＝2B．（3.14﹣π）0＝0C．（）﹣1＝﹣2D．﹣＝二．填空题（共7小题）8．（2021春•饶平县校级期中）的相反数是，|π|＝，||＝．9．（2022春•江源区期中）已知a是﹣，b的立方根为﹣2，则a+b的倒数为．10．（2021春•西丰县期中）若a，b为实数，且满足若（2a+3）2+＝0，则＝．11．（2021秋•玄武区校级月考）在9.3，﹣24，0，﹣0.33，0.333…，141421356，2π，3.3030030003…（每相邻两个3之间依次多一个0），﹣3.1415中属于整数集合的有，属于负分数集合的有，属于无理数集合的有．12．（2022春•港闸区校级月考）﹣||的值为．13．（2022春•中山市期中）如图，把半径等于的圆放到数轴上，圆上一点A与表示1的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A表示的数是．14．（2022•洛阳模拟）计算：﹣（）﹣1＝．三．解答题（共6小题）15．（2022春•陇县期中）把下列各数分别填在相应的横线上：，﹣0.23，，，，，2.101101110……（每两个0之间依次多一个1），﹣有理数集合：．无理数集合：．16．（2022春•如皋市校级月考）已知|x|＝，y是11的平方根，且x＞y，求x+y的值．17．（2022春•长葛市期中）把下列各数分别填入相应的集合里．+5，，0，﹣3.14，，﹣12，﹣，﹣（﹣6），0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）（1）整数集合：{…}（2）正数集合：{…}（3）无理数集合：{…}18．（2021秋•射阳县校级期末）已知实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为，求代数式（a+b+cd）x+﹣的值．19．（2022春•襄城县期中）阅读下列材料，完成相应的任务．框中是小云同学的作业．请把实数0，﹣π，﹣3，，2表示在数轴上，并比较它们的大小（用＜号连接）．解：老师看了后，找来小云．问道：“小云同学，你标在数轴上的两个点对应题中两个无理数，是吗？”小云点点头．老师又说：“你这两个无理数对应的点找得非常准确，遗憾的是没有完成全部解答．”任务：请你帮小云同学将上面的作业做完．20．（2022春•闵行区校级期中）计算：﹣．2022-2023学年八年级数学上《2.6实数》参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2022•尤溪县模拟）实数﹣6，，﹣，0中，整数的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】实数．【专题】实数；数感．【分析】根据整数包括正整数，0和负整数，即可解答．【解答】解：实数﹣6，，﹣，0中，是整数的有：﹣6，0，所以，整数的个数是2个，故选：B．【点评】本题考查了实数，熟练掌握整数包括正整数，0和负整数是解题的关键．2．（2022•东莞市校级一模）实数3的倒数是（）A．3B．﹣3C．﹣D．【考点】实数的性质；倒数．【专题】二次根式；符号意识．【分析】直接利用倒数的定义进而得出答案．【解答】解：实数3的倒数是：．故选：D．【点评】此题主要考查了实数的性质，正确掌握倒数的定义是解题关键．3．（2022春•渑池县期中）下列说法中，错误的是（）A．是整数B．的平方根是C．是分数D．是有理数【考点】实数．【专题】实数；数感．【分析】A、根据整数的定义即可判定；B、根据算术平方根、平方根的定义即可判定；C、根据分数的定义即可判定；D、根据有理数的定义即可判定．【解答】解：A、＝﹣3是整数，故A选项不符合题意；B、＝2的平方根是，故B选项不符合题意；C、不是分数，故C选项符合题意；D、﹣是分数，它是有理数，故D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查了实数的有关概念及其分类，其中开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．4．（2022•西宁一模）下列四个数中，负整数是（）A．﹣πB．﹣3C．0D．﹣【考点】实数．【专题】实数；符号意识．【分析】根据实数的分类可以解答本题．【解答】解：A．﹣π是负无理数；B．﹣3是负整数；C、0既不是正数，也不是负数；D、﹣是负无理数数．故选：B．【点评】本题考查了实数的分类，小于0的整数是负整数，本题熟记负整数的概念是解题的关键．5．（2021秋•成都期末）﹣的绝对值是（）A．﹣B．11C．D．﹣11【考点】实数的性质；算术平方根．【专题】实数；数感．【分析】根据绝对值的性质即可求解．【解答】解：﹣的绝对值是．故选：C．【点评】本题考查了实数的性质，关键是熟悉负数的绝对值是它的相反数的知识点．6．（2022•海淀区校级一模）下列关于数轴的叙述，正确的有（）个．（1）实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则mn＜0，2m+n＜0；（2）数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为1；（3）数轴上有O、A、B、C四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数轴上有一点D，D点所表示的数为d，且|d﹣5|＝|d﹣c|，则D点的位置介于C、O之间；A．0B．1C．2D．3【考点】实数与数轴；绝对值．【专题】线段、角、相交线与平行线；数感；运算能力．【分析】（1）根据实数m，n在数轴上的对应点的位置和有理数的加法和乘法的计算法则计算即可得到结论；（2）根据数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，可得m+m+2＝0，依此即可求解；（3）根据O、A、B、C四点在数轴上的位置和绝对值的定义即可得到结论．【解答】解：（1）由数轴可知，m＜0＜n，∴mn＜0，∵m＞﹣1，n＞2，∴2m＞﹣2，∴2m+n＞0，故（1）叙述错误；（2）∵数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，∴m+m+2＝0，∴m＝﹣1，故（2）叙述错误；（3）∵|d﹣5|＝|d﹣c|，∴d﹣5+d﹣c＝0，∴d＝，∴D点是线段BC的中点，∴D点的位置介于B、O之间，故（3）叙述错误；故选：A．【点评】本题考查的是实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．7．（2022•观山湖区模拟）下列运算中，正确的是（）A．﹣|﹣2|＝2B．（3.14﹣π）0＝0C．（）﹣1＝﹣2D．﹣＝【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【专题】实数；运算能力．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质和零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．【解答】解：A．﹣|﹣2|＝﹣2，故此选项不合题意；B．（3.14﹣π）0＝1，故此选项不合题意；C．（）﹣1＝2，故此选项不合题意；D.﹣＝，故此选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了负整数指数幂的性质以及绝对值的性质和零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．二．填空题（共7小题）8．（2021春•饶平县校级期中）的相反数是﹣，|π|＝π，||＝4．【考点】实数．【分析】根据a的相反数是﹣a、正数的绝对值是它本身等概念即可解答．【解答】解：①根据相反数的定义，的相反数是﹣；②根据绝对值的定义，|π|＝π；③因为（﹣4）3＝﹣64，所以＝﹣4，则||＝4．故答案为：﹣；π；4．【点评】此题主要考查了实数的定义及有关性质，注意理解区分相反数、绝对值的概念，能够正确计算一个数的立方根．9．（2022春•江源区期中）已知a是﹣，b的立方根为﹣2，则a+b的倒数为﹣．【考点】实数的性质；算术平方根；立方根．【专题】实数；运算能力．【分析】直接利用二次根式的性质、立方根的性质化简，进而代入，结合倒数的定义得出答案．【解答】解：∵a是﹣＝﹣5的相反数，∴a＝5，∵b的立方根为﹣2，∴b＝﹣8，∴a+b＝5﹣8＝﹣3，则a+b的倒数为：﹣．故答案为：﹣．【点评】此题主要考查了二次根式的性质、立方根的性质、倒数，正确得出a，b的值是解题关键．10．（2021春•西丰县期中）若a，b为实数，且满足若（2a+3）2+＝0，则＝．【考点】实数；非负数的性质：偶次方；非负数的性质：算术平方根．【专题】实数；运算能力．【分析】利用非负数性质先求a，b，再计算．【解答】解：∵（2a+3）2+＝0，∴2a+3＝0，b﹣2＝0．∴a＝﹣，b＝2，∴＝＝．故答案为：．【点评】本题考查非负数的性质及算术平方根，掌握相关知识是求解本题的关键．11．（2021秋•玄武区校级月考）在9.3，﹣24，0，﹣0.33，0.333…，141421356，2π，3.3030030003…（每相邻两个3之间依次多一个0），﹣3.1415中属于整数集合的有﹣24、0，属于负分数集合的有﹣0.33，属于无理数集合的有2π，3.303003003…．【考点】实数．【专题】实数；数感．【分析】根据实数的分类标准解决此题．【解答】解：根据整数的定义，整数有﹣24、0；根据负分数的定义，负分数有﹣0.33；根据无理数的定义，无理数有2π、3.3030030003…．故答案为：﹣24、0；﹣0.33；2π、3.3030030003…．【点评】本题主要考查实数分类，熟练掌握实数分类标准是解决本题的关键．12．（2022春•港闸区校级月考）﹣||的值为﹣．【考点】实数的性质．【专题】计算题；运算能力．【分析】根据绝对值的意义进行解答便可．【解答】解：﹣||＝﹣，故答案为：﹣．【点评】此题考查了绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．13．（2022春•中山市期中）如图，把半径等于的圆放到数轴上，圆上一点A与表示1的点重合，圆沿着数轴滚动一周，此时点A表示的数是1﹣π或1+π．．【考点】实数与数轴．【专题】常规题型．【分析】根据半径为的圆从数轴上表示1的点沿着数轴滚动一周到达A点，再由圆的周长公式得出周长为π，根据两点间的距离是大数减小数，可得答案．【解答】解：由半径为的圆从数轴上表示1的点沿着数轴滚动一周到达A点，得A点与1之间的距离是π．由两点间的距离是大数减小数，得当A点在1的左边时表示的数是1﹣π，当A点在1的右边时表示的数是1+π．故答案为：1﹣π或1+π．【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题时利用了数轴上两点间的距离是大数减小数．14．（2022•洛阳模拟）计算：﹣（）﹣1＝﹣4．【考点】实数的运算；负整数指数幂．【专题】实数．【分析】直接利用立方根的性质以及负指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣2﹣2＝﹣4．故答案为：﹣4．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．三．解答题（共6小题）15．（2022春•陇县期中）把下列各数分别填在相应的横线上：，﹣0.23，，，，，2.101101110……（每两个0之间依次多一个1），﹣有理数集合：，﹣0.23，，，．无理数集合：，，2.101101110……（每两个0之间依次多一个1），﹣，．【考点】实数．【专题】实数；数感．【分析】根据实数的概念进行分类，确定此题结果．【解答】解：由实数的概念可知，整数和分数统称为整数；无限不循环小数为无理数，∴属于有理数集合的是：，﹣0.23，，；属于无理数集合的是：，，2.101101110……（每两个0之间依次多一个1），﹣，故答案为：，﹣0.23，，；，，2.101101110……（每两个0之间依次多一个1），﹣．【点评】此题考查了根据实数的概念进行分类的能力，关键是能准确理解相关概念．16．（2022春•如皋市校级月考）已知|x|＝，y是11的平方根，且x＞y，求x+y的值．【考点】实数的性质；平方根；算术平方根．【专题】实数；运算能力．【分析】直接利用绝对值的性质以及平方根的性质分类讨论得出答案．【解答】解：∵|x|＝，∴x＝±，∵y是11的平方根，∴y＝±，∵x＞y，∴当x＝，则y＝﹣，故x+y＝﹣，当x＝﹣，则y＝﹣，故x+y＝﹣﹣，综上所述：x+y的值为﹣或﹣﹣．【点评】此题主要考查了实数的性质，正确分类讨论是解题关键．17．（2022春•长葛市期中）把下列各数分别填入相应的集合里．+5，，0，﹣3.14，，﹣12，﹣，﹣（﹣6），0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）（1）整数集合：{+5，0，﹣12，﹣（﹣6）…}（2）正数集合：{+5，，，﹣（﹣6），0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）…}（3）无理数集合：{，﹣，0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）…}【考点】实数．【专题】实数；数感．【分析】（1）根据整数包括正整数、负整数和0，即可解答；（2）根据正数大于0，即可解答；（3）根据无限不循环小数是无理数，即可解答．【解答】解：（1）整数集合：{+5，0，﹣12，﹣（﹣6）…}，故答案为：+5，0，﹣12，﹣（﹣6）；（2）正数集合：{+5，，，﹣（﹣6），0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）…}，故答案为：+5，，，﹣（﹣6），0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）；（3）无理数集合：{，﹣，0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）…}，故答案为：，﹣，0.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）．【点评】本题考查了实数，熟练掌握实数的相关概念及分类是解题的关键．18．（2021秋•射阳县校级期末）已知实数a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为，求代数式（a+b+cd）x+﹣的值．【考点】实数的性质；代数式求值；立方根．【专题】实数；运算能力．【分析】根据题意可得a+b＝0，cd＝1，x＝±7，然后代入代数式求值即可．【解答】解：＝7，∵a、b互为相反数，∴a+b＝0，∵c、d互为倒数，∴cd＝1，∵x的绝对值为．∴x＝±7，当x＝7时，原式＝（0+1）×7+﹣＝7﹣1＝6，当x＝﹣7时，原式＝（0+1）×（﹣7）+﹣＝﹣7﹣1＝﹣8，∴所求代数式的值为6或﹣8．【点评】此题主要考查了实数运算和求代数式的值，关键是掌握相反数和为0，倒数积为1．19．（2022春•襄城县期中）阅读下列材料，完成相应的任务．框中是小云同学的作业．请把实数0，﹣π，﹣3，，2表示在数轴上，并比较它们的大小（用＜号连接）．解：老师看了后，找来小云．问道：“小云同学，你标在数轴上的两个点对应题中两个无理数，是吗？”小云点点头．老师又说：“你这两个无理数对应的点找得非常准确，遗憾的是没有完成全部解答．”任务：请你帮小云同学将上面的作业做完．【考点】实数与数轴；无理数．【专题】数形结合；数感．【分析】根据π和确定原点，把实数0，一π，﹣3，，2表示在数轴上，根据数轴上的点的位置判断数的大小，左边的点表示的数小于右边的点表示的数．【解答】解：∵一π与是无理数，且一π＜，∴数轴上两个点中，左边的点表示数﹣π，右边点表示数，据此可以找出原点位置，根据题意，在数轴上分别表示各数如下：∴从小到大是：﹣π＜﹣3＜0＜2＜．【点评】本题考查实数的大小比较，数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，解题关键是正确估算已知两点表示的数，和由这两点确定原点位置．20．（2022春•闵行区校级期中）计算：﹣．【考点】实数的运算．【专题】实数；运算能力．【分析】首先计算开平方和开立方，然后计算减法，求出算式的值即可．【解答】解：﹣＝﹣3﹣6＝﹣9．【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．。

2.6 实数一、选择题1.下列说法中正确的是（ ） A.和数轴上一一对应的数是有理数 B.数轴上的点可以表示所有的实数 C.带根号的数都是无理数 D.不带根号的数都是无理数2.在实数中，有（ ） A.最大的数 B.最小的数C.绝对值最大的数D.绝对值最小的数3.下列各式中，计算正确的是（ ） A.2+3=5B.2+2=22C.a x －b x =(a －b )xD.2188+=4+9=2+3=5 4.实数a 在数轴上的位置如图所示，则a ,－a ,a1,a 2的大小关系是（ ）A.a <－a <a1<a 2B.－a <a1<a <a 2 C.a1<a <a 2<－aD.a1<a 2<a <－a 5.下列计算中，正确的是（ ） A.x xx 5335952== B.a a a 622322322=⋅= C.525xy =5·x y x y =5 D.a a aa a a a a 3933327327233=⋅⋅==3a 二、填空题6.在实数3.14,－36.0,－66,0.13241324…,39 ,－π,32中，无理数的个数是______.7.－6的相反数是______，绝对值等于______.8.等腰三角形的两条边长分别为23和52，那么这个三角形的周长等于______. 9.若2)1(+-a 是一个实数，则a =______.10.已知m 是3的算术平方根，则3x －m <3的解集为______. 三、解答题11.计算：（1）(1－2+3)(1－2－3) (2)320－45－5112.当x =2－3时，求（7+43）x 2+(2+3)x +3的值.13.已知三角形的三边a 、b 、c 的长分别为45cm 、80cm 、125cm ，求这个三角形的周长和面积.14.利用勾股定理在如图所示的数轴上找出点－5和2+1.15.想一想：将等式23=3和27=7反过来的等式3=23和7=27还成立吗？式子：9271=2792=3和481=842=2成立吗？仿照上面的方法，化简下列各式： （1）221 （2）11112（3）61216.实 数一、1.B 2.D 3.C 4.C 5.D二、6.3 7.6,6 8.102+23 9.－1 10.x <2三、(1)－22 (2)5514 12.2+3 13.125 60 14.略 15.成立 成立 （1）2 (2)22 (3)37.4 平行线的性质1.如图，DE ∥BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ，求证：BCDEAC AE AB AD ==。

2.6实数 教学设计第（一）课时教学设计思想本节内容需三课时讲授；本课时是对这段时间以来学过的数作一归纳性的总结，这个总结过程可由学生自己通过对具体的数比较的基础上引入，分清带根号的数不一定是无理数，对提出实数的概念（有理数和无理数的总称）表示接受和理解。

通过议一议，掌握数的分类要遵循的规则，领会分类的思想；在此过程中，通过对上述数的特点的分析，指出实数的绝对值和相反数的意义与在有理数范围内的意义是一样的，设计有针对性的例题和习题巩固对这些概念的认识，会求一个数的绝对值、相反数及倒数。

同时让学生思考，数的绝对值与相反数往往与数轴有密切的联系，进而让学生议一议“有理数能填满整个数轴吗？”，引出实数与数轴的关系，“每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。

即实数和数轴上的点是一一对应的。

”，掌握如何在数轴上画出如：，等数，真切感受实数在数轴上的存在和实际大小，掌握实数大小比较的方法。

教学目标 （一）知识与技能1．能对实数按要求进行分类.2．知道在实数范围内、相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.3．明白实数和数轴上的点是一一对应的并能根据它们在数轴上的位置来比较大小. （二）过程与方法1.通过对实数进行分类，培养学生的分类意识.2.用数轴上的点来表示实数，将数和图形联系在一起，让学生进一步领会数形结合的思想.（三）情感、态度与价值观通过对实数进行分类的练习，让学生进一步领会分类的思想.鼓励学生要从不同角度入手，寻求解决问题的多种途径.训练学生的多角度思维，为他们以后更好地工作作准备.教学重点1．实数概念的建立. 2．实数的分类.3．在实数范围内，求相反数、倒数、绝对值. 教学难点1．实数概念的建立. 2．实数的分类.10 3教学方法 指导法. 教具准备 投影片. 教学安排 3课时. 教学过程 Ⅰ.导入新课在前面我们学了有理数和无理数，有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数，如π.在学了平方根和立方根之后，我们知道、这样的数也不是有理数，因为没有哪一个整数或分数的平方为2，立方为3.而且用估算的方法还知道、是无限不循环小数，因此这些数也是无理数.那是不是说带有根号的数就是无理数呢？也不全是.如=2，2是有理数，一般来说开方开不尽的数就是无理数，如等.在小学学了非负数，上初一引入了负数，数的范围扩充到有理数范围，那么引入无理数之后数的范围扩充到什么范围呢？本节课就来研究此问题以及与之有关的问题.Ⅱ.自主学习课本70,73页 1．实数的概念把下列各数分别填入相应的集合内：…有理数和无理数统称为实数（real number ），即实数可以分为有理数和无理数. 2．实数的分类［师］在有理数的分类中可以按正数、负数、零进行分类，也可按整数和分数进行分类，那么在实数范围内是不是也能这样分类呢？下面我们把上面各数填入下面相应的集合内.23323345,73737737773.0,0,94,8,5,520,2,25,,7,41,233---π填完之后大家发现了什么？［生］无理数也有正负之分，0既不能填入正数集合，也不能填入负数集合. ［师］因此，从正、负方面来考虑，实数可以分为正实数、零、负实数. 即实数另外从定义也可以进行分类.实数这就是实数的两种分法. 3．在实数范围内的几个概念.在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样.（1）相反数：a 与－a 互为相反数，0的相反数是0.（2）倒数：若a≠0，则a 与互为倒数.（3）绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即｜a ｜=想一想［师］请大家思考并回答：⎪⎩⎪⎨⎧负实数零正实数⎩⎨⎧无理数有理数a 1⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)0(a a a a a［生］（1）－，；（2）互为倒数；（3）π，0；（4）－a，｜a｜；（5）4．实数与数轴上的点之间的关系.［师］请大家认真观察图，然后再回答.（1）如图，OA=OB，数轴上A点对应的数是什么？它介于哪两个整数之间？（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？［生］因为根据勾股定理得OB2=1+1=2，所以OB=，OA=OB，故OA=，A点对应的数是无理数，它介于整数1和2之间.［生］如果把所有有理数都标到数轴上，那么数轴填不满.因为有理数不包括A点.［师］每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的.在数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大.Ⅲ.课堂练习22a12221．判断下列说法是否正确. （1）无限小数都是无理数； （2）无理数都是无限小数； （3）带根号的数都是无理数； （4）无理数都是实数； （5）实数都是无理数.解：（1）错.如1.333…是无限小数但是有理数； （2）是正确的；（3）错误的. 如 －、都是带根号的数，但它们不是无理数；（4）正确；（5）错.如，0，－3等都是实数，但不是无理数.2．求下列各数的相反数、倒数和绝对值.（1）； （2）； （3）.解：（1）的相反数为－，倒数为，绝对值为； （2）=－2的相反数为2，倒数为－，绝对值为2； （3）=7，7的相反数为－7，倒数为；绝对值为7.3．在数轴上作出对应的点.解：如图，点A 所表示的点即为对应的点.432743738-497771738-21497155解：（1）∵（7）2=56.25，而56.25＞50 ∴，即7＞； （2）－=－3.1428…，－π=－3.1415…∴－π＞－；（3）采用平方法∵（2）2=60，（3）2=54而60＞54 ∴2＞3； （4）∵6+2=5+（1+2）以下采用平方法比较2与1+2的大小.215025.56 21507227221561565565（2）2=24，（1+2）2=1+4+20=21+4，又24=21+3，而3＜4∴5+2＜6+2.说明：被开方数较大的算术平方根较大. Ⅳ.课时小结本节课学了如下内容： 1．实数的概念. 2．实数的两种分类.（1）按大小分为：正实数，0，负实数. （2）按定义分为：有理数和无理数.3．在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义仍然和在有理数范围内的意义相同. 4．实数和数轴上的点是一一对应的. 5．根据实数在数轴上的位置比较实数的大小. Ⅴ.课后作业 习题2.8 Ⅵ.活动与探究1．写出适合下列条件的数.（1）大于－小于的所有整数； （2）小于的所有自然数； （3）大于－的所有负整数； （4）绝对值小于的所有整数.分析：首先找到满足条件的最大数和最小数，然后再将它们之间的所有满足条件的数都写出来.解：（1）∵－＜－＜∴大于－且小于的所有整数是：－3，－2，－1，0，1，2.655556513520117134,95135（2）∵∴小于的所有自然数是：4，3，2，1，0. （3）∵－∴大于－的所有负整数是：－3，－2，－1.（4）∵绝对值小于的数x ，满足－＜x ＜，而－＜－＜∴绝对值小于的所有整数是：－2，－1，0，1，2. 说明：两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 2．求满足下列各式的x 的值.（1）｜x ｜= （2）｜x 2－5｜=4分析：根据绝对值的概念，正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数.所以（1）中的x 既可以是正实数，也可以是负实数.（2）把（x 2－5）视作一个整体，类似于（1）.解：（1）∵｜x ｜= ∴x=± （2）∵｜x 2－5｜=4∴x 2－5=±4 当x 2－5=4时x 2=9∴x=±3 当x 2－5=－4时x 2=1∴x=±1∴满足等式的x 的值为－3，－1，1，3说明：互为相反数的二数的绝对值相等，即｜a ｜=｜－a ｜. 3．已知x 是实数，化简｜3x －1｜－｜2x+1｜.分析：设法脱掉绝对值符号，但x 的范围没有具体给定，所以应讨论，具体方法是：252016<<20911-<1177774,477333（1）找零点：令3x －1=，x=，令2x+1=0，x=－；（2）描零点：在数轴上找出零点；（3）分区间：两个零点把实数轴所表示的数分成三个区间：x≤－，－＜x≤，x ＞；（4）作化简：在各个区间上分别去绝对值符号，进行化简.解：（1）当x≤－时，3x －1＜0，2x+1≤0原式=（1－3x ）+（2x+1）=2－x.（2）当－＜x≤时，3x －1≤0，2x+1＞0原式=（1－3x ）－（2x+1）=－5x.（3）当x ＞时，3x －1＞0，2x+1＞0原式=（3x －1）－（2x+1）=x －2.说明：在实数范围内的运算中，去绝对值符号时根据字母的取值范围确定绝对值符号内数的正、负、零，进行变形.否则就要分类讨论，借助于数轴把实数分为若干个区间，在每个区间内根据数的范围分别去掉绝对号，再进行合并同类项即可，这样形象、直观、简明，且可保证不重不漏.板书设计31212121313121213131。

北师大版八年级数学上册：2.6《实数》教学设计1一. 教材分析《实数》是北师大版八年级数学上册第二章第六节的内容，本节主要介绍了实数的概念、分类和性质。

通过本节的学习，使学生能够理解实数的概念，掌握实数的分类和性质，为后续的函数、方程等知识的学习打下基础。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了有理数的概念和运算，对数的概念和运算也有一定的了解。

但实数的概念对学生来说是一个全新的概念，需要通过实例和讲解使其理解和接受。

同时，实数的分类和性质也需要通过大量的练习来巩固。

三. 教学目标1.知识与技能：理解实数的概念，掌握实数的分类和性质。

2.过程与方法：通过实例和讲解，使学生理解和接受实数的概念，通过练习巩固实数的分类和性质。

3.情感态度与价值观：培养学生的抽象思维能力，提高学生对数学的兴趣。

四. 教学重难点1.实数的概念和分类。

2.实数的性质。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法和练习法进行教学。

通过问题引导学生思考，通过案例分析让学生理解实数的概念，通过练习巩固实数的分类和性质。

六. 教学准备3.练习题。

七. 教学过程导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾有理数和数的概念，为新课的学习做好铺垫。

呈现（15分钟）1.利用多媒体课件呈现实数的定义和分类，用实例解释实数的概念。

2.引导学生通过观察和思考，总结实数的性质。

操练（15分钟）1.让学生分组讨论，列举出实数的分类和性质。

2.每组选一名代表进行汇报，其他组进行评价和补充。

巩固（15分钟）1.让学生独立完成练习题，检验对实数概念、分类和性质的理解。

2.教师选取部分学生的作业进行点评，指出错误并进行讲解。

拓展（10分钟）1.让学生思考：实数和数轴之间的关系。

2.引导学生通过画数轴，分析实数在数轴上的位置与实数的性质之间的关系。

小结（5分钟）1.教师引导学生总结本节课所学的内容，实数的概念、分类和性质。

2.学生分享学习收获和感受。

家庭作业（5分钟）1.完成课后练习题。

2.6实数（1）一、目标导航知识目标：①了解无理数、实数的概念和实数的分类②了解实数和数轴上的点是一一对应的关系．③了解实数的相反数、绝对值、倒数等概念．④会进行实数的大小的比较．能力目标：①通过对实数进行分类，培养学生的分类意识．②用数轴上的点来表示实数，将数和图形联系在一起，进一步体会数形结合的思想．③通过估算的办法进行实数的大小比较情感目标：通过对实数进行分类的练习，让学生进一步领会分类的思想，鼓励学生要从不同角度入手，寻找解决问题的多种途径，训练学生的多角度思维，为他们以后更好地工作做准备．二、基础过关1．判断题：下列说法是否正确，并简要说明理由：（1）实数不是有理数就是无理数；（2）无理数都是无限小数；（3）带根号的数是无理数；（4）无理数一定都带根号；（5）两个无理数之积不一定是无理数；（6）两个无理数之和一定是无理数；（7）数轴上的任何一点都可以表示实数．2．在实数中（）A．实数的绝对值都是正数；B．有绝对值最大的数，也有绝对值最小的数；C．没有绝对值最大的数，但有绝对值最小的数；D．没有绝对值最大的数，也没有绝对值最小的数．3．化简：下列计算正确的是（）A．822-=B．2712941 3-=-=C．(25)(25)1-+=D．62322-=4．下列命题中，错误的一个是（ ）A ．如果a 、b 互为相反数，那么a ＋1和b －1仍是互为相反数；B ．不论x 是什么实数，222x x -+的值总是大于0；C ．n 是自然数，21n +一定是一个无理数；D ．如果a 是一个无理数，那么a 是非完全平方数．5．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简|a ＋b |－|c －b |的结果是（ ）A ．a c +B ．2a b c --+C ．2a b c +-D ．a c --6．当0<x <1时，x 2、x 、1x的大小顺序是（ ） A ．21x x x<< B ．21x x x<< C ．21x x x<<D ．21x x x<<7． 当N -是有理数时，一定有（ ）A ．N 是负有理数B ．N 是一个非正数C ．N 是完全平方数D ．N 是一个完全平方数的相反数8．比较32-和23-的大小．9．如果边长分别是4cm 和5cm 的矩形与一个正方形的面积相等，那么这个正方形的边长为 cm （结果保留根号）． 三、能力提升10．若实数a b c ，，满足2(5)70a b c ++++=-3，求代数式ab c+的值．11．计算：021(31)(31)(21)()3-+-+---12．用30张长3cm、宽2.4cm的小长方形纸片摆成一个正方形纸片，求这个正方形纸片的边长是多少？四、聚沙成塔：若121x--和844--互为相反数，求x、y的值．y参考答案1．（1）正确，因为实数即是由有理数和无理数组成的． （2）正确，无理数都是无限不循环小数．（3）不正确，带根号的数不一定是无理数，如42=是有理数． （4）不正确，无理数不一定都带根号，如π是无理数，就不带根号． （5）正确，两个无理数之积不一定是无理数，如2(2)2⋅-=-．（6）不正确，两个无理数之和也不一定是无理数，如2(2)0+-=是有理数． （7）正确，数轴上的点与实数一一对应．2．Ｃ 3．Ａ 4．D 5．A 6．C 7．D8．∵2323218-=-⨯=-；2232312-=-⨯=-；又∵ 1812>，∴ 3223-<-．9．25 10．由2(5)70a b c ++++=-3可得，a -3=0，50b +=，70c +=，∴a =3，5b =-，7c =-；∴ab c+＝14-． 11．－６ 12．大正方形的面积为216（㎝2），所以这个正方形的边长为21666=（㎝）聚沙成塔：∵互为相反数的两数之和为零 ∴ 1218440x y --+--=，∵两个加数均为算术平方根，∴ 1210x --≥，8440y --≥，∴ 1210x --=且8440y --=；112x -=，54x =．同理：8y =，∴ 54x =，8y =．。