【精品】高等代数(北大版)第5章习题参考答案

习题5.11.,,,,,().11,,().22ABCDAB AD AC DB MA M AC DB MA AM AC ===+=-=-=-=-+ 设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点解a b.a b a b a b a b()2.,1().211221().2M AB O OM OA OB OM OA AM OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+=+-=+设为线段的中点,为空间中的任意一点证明证3.,,1().3221()3321(),31(),3M ABC O OM OA OB OC OM OA AM OA AD OA AB AC OA AB AC OM OB BA BC OM OC =++=+=+=+⨯+=++=++=设为三角形的重心为空间中任意一点证明证1().313,().3CA CB OM OA OB OC OM OA OB OC ++=++=++4.,1,().41(),211(),(),221().24ABCD M O OM OA OB OC OD OM OA AM OA AB AD OM OB BA AD OM OC BA DA OM OD AB DA OM OA OB OC OD =+++=+=++=++=++=++=+++ 设平行四边形的对角线交点为为空间中的任意一点证明证1,().4OM OA OB OC OD =+++2222225.?(1)()();(2)();(3)()().(1).:()().(2).:()0, 1.(3),6.==⨯=⨯======0 对于任意三个向量与判断下列各式是否成立不成立例如,不成立例如,成立都是与组成的平行六面体的有向体积利用向量证明三角形两边中点的连线平行解a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b a b i c =j.a b c =j,b c a =a i b j,a b a b a,b c .,112211().22DE DA AE BA ACBA AC BC =+=+=+=于第三边并且等于第三边长度之半.证2227.:(1),;(2).(1)()()()()||||0.()cos |||||||||||||AC BD AB BC BC CD AB BC BC CD BC CD AB AC AB AB AD AB AB AB AD a AB ADAB AC AB AC AB AC α=++=+-=-=+++===利用向量证明菱形的对角线互相垂直且平分顶角勾股弦定理证2,||()cos cos .|||||||||||,.a AC AD AB AD AD AB AD AD a AB ADAB AC AB AC a AC βααβαβ+++===== 与都是锐角故 22222(2)||()()||||2||||.ACAC AC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC ==++=++=+2222222222222222228.()()||||.()()||||cos ||||sin ||||(cos sin )||||.9..||.AB AC ABC ABC ABDC AB AC αααα⨯+=⨯+=+=+=∆=⨯证明恒等式试用向量与表示三角形的面积11的面积=的面积22证解a b a b a b a b a b a b a b a b a b222222222210.,,,()()2().()()()()()()222().=++-=+++-=+++--=-+ 给定向量记为即现设为任意向量证明证a a a a a a a.a b , :a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a +b b +a b +a a +b b a b =a b2222222222211.,,:().:()||(||sin )||sin ||.,αα⨯≤⨯=⨯==≤=对于任意向量证明问等号成立的充分必要条件是什么?等号成立的充分必要条件是正交证22a b a b a b a b a b a ||b a ||b a ||b a b a b .。

高等代数(北大版第三版)习题答案I篇一：高等代数(北大版)第3章习题参考第三章线性方程组1．用消元法解以下线性方程组：?x1?x?1?1)?x1x1x13x25x34x413x22x32x42x2x3x4x54x2x3x4x52x2x3x4x5 x12x23x42x51x5??1?x1x23x3x43x523 2)2x?3x?4x?5x?2x?72345?139x9x6x16x2x252345?11x3?x7?0?3x1?4x2?5?x1?2x2?3x3?4x4?44x3?x2?0?x2?x3?x4??3?2x1?3x2?343)?4)?4x?11x?13x?16x?0x?3x??x?123424?1?17x?3x?x3?7x?2x?x?3x0234234??1?x1?2x2?3x3?x4?1?2x1?x2?x3?x4?1?3x1?2x2?x3?x4?13x1?2x2?2x3?3x4?25)? 6)?2x1?3x2?x3?x4?12x2x2xx15x1x2x32x4123412xxx3x4234?15x1?5x2?2x3?2解1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有111111000033?2?420000?1521112?3?20?1?4?2?11?1?1200101?1?11010001??110??30??3??01?011?200?0000030?5?7?10000?15?3?4?4?400?200423581200001?1?11010001?2?2? ?221?2?0? ?0?0由于rank(A)?rank(B)?4?5，因此方程组有无穷多解，其同解方程组为x1x412x1x52，?2x03x?x?0?24解得x1x2x3x4x51kk0k22k其中k为任意常数。

2）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有112910 ??002?1?3?920?3463151632?3221??120?0725022?3?7?27120?346341110?2?5?2?1631?1 5161334512529?8?011??333033?2529??72?10??334?512529? 8001?1?3330000??01?由于rank(A)?4?rank(A)?3，因此原方程无解。

习题 5.1解答A ⊆B A B =A A B =B 1. 设，证明：，.ααααααα∀∈A ⊆B ∈B ∴∈A B⊆A BAB ⊆AB =A∀∈A B ∈∈B A ⊆B ∈BA B ⊆B B ⊆A BAB =B证 A ，由，得 即得证A 又A 故 ，则A 或 但，因此无论那一种情形都有 此即，但 所以(B C C 2. :1)A =A B A 证明 ）（）（）；(((((((x x x x x x x x x x x x x x ∀∈∈∈∈∈∈∈⊆∈∈∈∈∈∈∈证 A （B C ），则A 且（B C ）在后一情形,B 或C, 于是AB 或AC 所以AB)AC ）由此得A （B C ）A B)AC ）反之,若A B)A C ）,则AB 或AC在前一情形,A,B,因此B C 故A B C ）在后一情(((((((x x x x ∈∈∈∈⊆形,A,C, 因此BC也得A BC ） 故A B)AC ）AB C ） 于是AB C ）=AB)AC ）C C 2A B =A B A .）（）（）（）x x x x x x x x x x x ∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∈∴⊆⊆ 证 若A （B C ），则A 或者BC在前一情形AB 且A C因而（A B ）（AC ）在后一情形B ，C ，因而AB 且AC即（A B ）（A C ） A （B C ）（A B ）（A C ）同理可证（A B ）（AC ）A （BC ）故A （BC ）=（AB ）（AC ）3:|,:|a b a b b f a bc d c d a ⨯⎛⎫⎛⎫→→+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22 、问：法则g 是否为Q 到Q 的映射？单射还是双射？22(((a f f Q g g g ⨯⎛⎫⎛⎫∀∈∈⇒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴解 当取0时在中没有象,所以不是映射；a 0a 0 a Q,有)=a,但000012121212)=3=)，而00420042g 是满射不是单射.2()(),:()|()[]f x f x f x f x Q x φϕ'→→4. 问：满足：|是否为的变换？单射还是双射？φφφ'∈∴∀∈Φ解 (f(x))=f (x)Q[x] 是变换;又f(x)Q[x],有((x))=f(x),而22(())()(())(())()()f x f x f x f x f x f x φφφϕϕϕϕϕΦ∈'≠∴∀∈=∈∴∀∈=-=-≠∴⎰x(x)=f(x)dx Q[x],又 (f(x))=(f(x)+1)=f (x),而f(x)f(x)+1是满射不是单射.又f(x)Q[x],Q[x]是变换,又f(x)Q[x],但f(x)并且-f(x)没有原象,既不是单射又不是满射.{}|01y y y A B ≤<5. 设是一切非负实数构成的集合,又=是实数且:|1x f x x→A B + 证明： 是到的一个双射.()(),1,,1,111a ba b f a f b a ba b f yy y yyy fy y y f f ∀∈=+∴=∴∀∈≤≤∴≥-⎛⎫∴∈= ⎪--⎝⎭∴ 证 A,==1+ 是A 到B 的一个单射. B 00,A,且使得 是A 到B 的满射.综上所述得，是A 到B 的一个双射.{},:11,21,32,42;1223,4,1f g A →→→→→→→→6. 设=1,2,3,4规定 :,34.,f g fg gf fg gf A 1) 说明都是的变换;2) 求和,问和是否相等?(),():11,22,32,41:12,22,33,43.f x Ag x Af g fg gf g gf ∀∈∈∈∴→→→→→→→→≠证明 (1)x A,与都是由A 到A 的映射, 从而都是A 的变换. (2)所以f,,:::A B C f A B g B C gf A C g →→→7.证明是三个非空集合,是满射，，但是单射，证明是单射.1212121212,(),()()()()()f a a f a f a f a f a f a a f a f a ∈∴∃∈==⇒=⇒==∴12121212证明：设b ,b B,且g(b )=g(b )因是满射,A,使得b b 即有g()=g()g 是单射 即b b g 是单射习题 5.2解答1. 检验以下集合对所规定的代数运算是否作成数域上F 的线性空间.{}{}{}{}()|,()|,()|0,()|0n n n ij n ij i j a i j a 1) S=A M F A =A T=A M F A =-A U=A M F 时 L=A M F 时'∈'∈∈>=∈<=∴解S ，T ，U ，L 分别对称矩阵、反对称矩阵、上三角矩阵和下三角矩阵，所以S 、T 、U 、L 都非空，又根据其相应性质知，S 、T 、U 、L 中的元素关于矩阵的加法与F 中的数与矩阵的乘法都封闭，S 、T 、U 、L 都作成数域F 上的线性空间。

习题5・31•指出下列平面位置的特点：(1)5x - 3z +1 = 0(2)x + 2y - 7z = 0(3)y + 5 = 0(4)2)，- 9z = 0(5)x-y-5 = 0(6)x = 0. 解⑴平行于屛由.⑵过原点.⑶平行于平面.⑷ 过兀轴.(5)平行于z轴•⑹0〃平面.2.求下列各平面的方程：⑴平行于y轴且通过点(1,-5,1)和(3,2,-2);(2)平行于O私平面且通过点(5,2,-8);(3)垂直于平面兀-4y + 5z = 1且通过点(-2,7,3)及(0,0,0);⑷垂直于Oyz平面且通过点(5,-4,3)及(-2,1,8).1j k解⑴—(0 ,l,0),* = (2,7,-3),n= 0 1 0 =(-3,0,-2).27-3_3O_1)_2(Z_1)=0,3JC +2Z_5=0.⑵y = 2.i j k(3)a = (1,-4,5), 6 = (-2,7,3),n = 1 -4 5 = (-47,-13,-1).-2 7 347x+13y+ 1 = 0.i j k(4)“ = (1,0,0),〃 = (-7,5,5),〃= 1 0 0 =(0,-5,5) = 5(0, -1,1).-7 5 5_(y + 4) + (z_3) = 0,y_z + 7 = 0.3.求通过点A(2,4,8), B(-3,1,5)及C(6,—2,7)的平面方程.解 a = (一5, —3,—3),〃 = (4,-6,-1).i j kn= -5 -3 -3 =(-15,-17,42),4 -6 -1一15(兀一2) —17(y — 4) + 42(z — 8) = 0,15x + 17y —42z + 238 = 0.4.设一平而在各坐标轴上的截距都不等于零并相等,且过点(5, -7, 4),求此平而的方程.解—+ —+ — = 1, —H—+ — = l,a = 2, x + y + z — 2 = 0.a, a a a a a5已知两点4(2,-1,-2)及〃(8,7,5),求过B且与线段AB垂直的平面.解〃 =(6, & 7).6(x-8) + 8(y-7) + 7(z-5) = 0,6x + 8y + 7z-139 = 0.6.求过点(2,0, -3)且与2兀-2y + 4z + 7 = 0,3x+y-2z + 5二0垂直的平面方程.i j k解 n= 2 -24 =(0,16,8) = 8(0,2,l).2y + (z + 3) = 0,y + z + 3 = 0. 3 1 -27.求通过兀轴且与平面9兀-4y-2z + 3 = 0垂直的平面方程. 解 By + Cz=0,—4B —2C = 0,取B = 1,C = —2,y —2z = 0.8•求通过直纟划:｛；；工：二5地:仁鳥平行的平面方程. i j ki j k 解a = 1 0 2 = (-6,1,3), 6 = 1 -1 0= (1,1,1), 0 3-10 1 -1 i j kn - -6 13 =(-2,9,-7).用z ()= 0代入厶的方程，得x° =4,>\} =-8/3.1 1 1 -2(x-4) + 9(^ + 8/3)-7(z) = 0,-2x + 9y-7z + 32 = 0.x = 3r + 89.求直线厶：* +彳=•' +1 = __与直线/ ：< y = f + l 的交点坐标,3 24 _ 小， z = + 6并求通过此两直线的平面方程.解求两条直线交点坐标：3r + 8 + 3 / + 1 + 1 2/ + 6 —2 \\ t t A 163 24 3 2 23 i j kn= 3 2 4 = (0,6, -3) = 3(0,2, -l).2(y +1) - (z - 2) = 0,2y - z + 4 = 0.3 1 2 10•求通过两直线厶=^ = 凹和厶：土 = □=三的平面方程. 1 2 -1 1 -4 2 -2i j k解 两直线平行•平面过点(1,-1,-1)和(-2,2,0).川=2 — 1 1 = (—4,—5,3).-33 1一4(兀一 l)-5(y + l) + 3(z + l) = 0,-4x — 5y + 3z + 2 = 0.11证明两直线厶：口和是异面直线*-121 - 0 1 -2证首先，两直线的方向向量(-1,2,1)和(0,1,-2)不平行.x 二 _2l 2< y 二1+t —―二匕〜 力+ 3J = 5』= 0,矛盾.故两直线无公共点.-1 2 1 X Q = 一& 儿=一一牛交点(一8占弓)两-直线不平行，又无交点，故是异面直线. 12.将下列直线方程化为标准方程及参数方程：[2x+y-z + l = 0 [x-3z + 5 = 0(1* ⑵彳[3x - y + 2z - 8 = 0; [y - 2z + 8 = 0.i j k解(1)〃= 2 1 -1 =(1,-7,-5).3-12V — 7 + 1 = 0⑴中令兀0=0,{ 解Z得儿=6,Zo=7・-y+ 2z-8 = 0;标准方程—q・1 -7 -5x = t参数方程：< y = 6-lt,-oo <t < +oo.z = l-5ti j k(2)(1加=1 0 -3 =(3,2,1).0 1 -2⑵中令z° = 0,直接得x° = -5, y Q = -8.标准方程出二凹二工3 2 1x ——5 + 3t参数方程：* >' = -8 + 2r,-co<t < +oo.z = t13•求通过点(32-5)及乂轴的平面与平面3x-y-7z + 9 = 0的交线方程・ ■I j k解地第一个平面的法向量〃二1 0 0 =(0,5,2), 3 2 -5平面方程5y + 2z = 0.直线方程严+ 2*°[3 兀-y-7z + 9 = 0.i j k直线的方向向量a =0 5 2 =(一336-15) = 3(-112-5)・3 -1 -7直线方程:r 匕14 •当D 为何值时,直线产？ £弓与0z 轴相交?[x + 4y-z + D = 0解直线F ：y + 2z-6弓与Oz 轴相交O 存在(0,0,勺)在此直线上，[x + 4y-z + £> = 0f2z o -6 = O <=> < u> £> =知=3. Ho+o=o15.试求通过直线人：£一2"：弓并与直线Z. = 2平行的平面方程.[3y — z + 8 = 0 *•匕 _y + 6 = 0i J k解厶的方向向&a = 1 0 -2 =(6丄3).0 3-1i J 平面的法向量/i =6 1 1 1 Q 在的方程中令z ()二0得X 。

1A = 1000 ,B = 0001 ,|A +B |=1,|A |=0,|B |=0.|A +B |=|A |+|B |.2A = 0100,A 2=0,A =0.3A (E +A )=E A 4A = 0100 ,B = 1000,AB =0,rank (A )=1,rank (B )=1,A,B 2.1B 2A 3C 4A 5D 6B 7B 8C 9D 10A 11D 12A 13C 14D 15D 16B 17C 18C 19C 20D 21C 22C 23D 24C 25C 26A 27A 28A 1−135,93m ×s,n k =1a jk b ki 4 1b 0001612012001a n1a 20···00...···············000 (1)910411(−1)mn ab12213I n2单元练习：线性方程组部分一、填空题 每空 1分，共 10分1．非齐次线性方程组 AZ = b （A 为 m ×n 矩阵）有唯一解的的充分必要条件是____________。

2．n +1 个 n 维向量，组成的向量组为线性 ____________ 向量组。

3．设向量组 3 2 1 , ,a a a 线性无关，则常数 l , m 满足____________时，向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a -- - m l 线性无关。

4．设 n 阶矩阵 A 的各行元素之和均为零， 且 r (A ) = n －1则 Ax = 0 的通解为________。

5．若向量组 3 2 1 , , a a a 线性无关，则向量组 3 1 2 3 1 2 , , a a a a a a + + + ____________。

高等代数答案第一章多项式1 •用 g{x)除 /(.r),求商 </(.r)与余式 r(.r):1) /*(.r) = .r 3 - 3.r 2 - x-1,= 3.r 2 - 2.r +1: 2) f(x} = x 4 — 2.r+ 5,烈A ) = H -才+ 2 •解1)由带余除法，可得彳(才)=丄x--,/(.r) = - —.r--； 3 9 99 2 )同理可得久工)=X 2 + X- 1,心=-5.V+ 1 .2. m 、p 、q 适介什么条件时，冇1) x 1 + w.r-11 .t 3 + px+ q 、2) .r 2 + 7//.V+ 11 x 4 + + q o解I)由假设，所得余式为0,即(P+1 +〃小才+(0-刃) = 0,所以当+ 1 + - ° 时有才2 + my-11 x 3 + px*q° q- m- 02)类似可得(劝(2 — Q -刃?=0, j ：是当加=o 时，代入(2)可得〃=夕+ 1：而当 ［乡+ 1-p- ftl・=02-p-nr =0 时，代入(2〉可得0 = 1。

了 时,皆有 f + 〃/・丫+11 x 4 + pf + q o p + 〃厂=23. 求g(.x)除/(X )的商0⑴与余式：1) /*(.r) = Zr 5 - 5-r 3 - 8.i ,g(.r) = .r+ 3 ：2) f(x) = 一 , 一 不 g(.v)=才一 l + 2/ o0(・丫) = 2r 4 - +13” 一 39才 +109解1)；心)=-327°).(.丫) = '-2灯-(5+2/)。

/// = 0综上所诉,当 □攵.；p=q+\ -心)=-9 + 8/4. 把/(才)表示成才一兀的方幕和，即表成C Q +q(・Y-旺)+Q(才一・®)2 + ... + C…(X -X Q y+ …的形式：1) /(才)"，兀 T；2) /*(.r) = .r4 - 2.x2 + 3,x0 = -2；3) /(r) = x + 2/x一(l + /).r2一3x+ 7 + /,兀=-/«解1)由综合除法,可得/(x) = 1+ 5(x-1) + 10(r -1)2 +10(x-l)3^5(x -l)4+(r-l)5；2) 由综合除法，可得x4 -21^ + 3 = 11 - 24(.r+ 2) + 22(.r+ 2)2 -8(.r+ 2)3 + (.r+ 2)4:3) 由综介除法，可得.r4 + 2/：? - (1 + /).? -3x + (7 + z)= (7+5/)-5(x+/)4- (- 1一/比+/予-2«+/)+ (r+ // o5. 求/(貯与肌工)的最大公因式：1) /(才)=.r4 + .r5 -3, - 4才- 1£(才)=,+ , -.丫-1 ；2) /(.r) = .r4 -4.? + l,^(.r) =.? -3,r +1 ：3) f .r) - .r4 - lO.r2 + l,g(") - .r4 -心力 + 6A2 + 4/2r+ 1。

高等代数（北大*第三版）答案目录第一章多项式第二章行列式第三章线性方程组第四章矩阵第五章二次型第六章线性空间第七章线性变换第八章 —矩阵第九章欧氏空间第十章双线性函数与辛空间注：答案分三部分，该为第一部分，其他请搜索，谢谢！第一章 多项式1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f ； 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。

解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-=x x r x x q ； 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 。

2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1， 2）q px x mx x ++++242|1。

解 1）由假设，所得余式为0，即0)()1(2=-+++m q x m p ，所以当⎩⎨⎧=-=++0012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1。

2）类似可得⎩⎨⎧=--+=--010)2(22m p q m p m ，于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022=--m p 时，代入（2）可得1=q 。

综上所诉，当⎩⎨⎧+==10q p m 或⎩⎨⎧=+=212m p q 时，皆有q px x mx x ++++242|1。

3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式：1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+； 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+。

解 1）432()261339109()327q x x x x x r x =-+-+=-；2）2()2(52)()98q x x ix i r x i=--+=-+。

4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成2010200()()...()n n c c x x c x x c x x +-+-++-+的形式：1）50(),1f x x x ==；2）420()23,2f x x x x =-+=-；3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=-。