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课 题：48正弦函数、余弦函数的图象和性质（1）教学目的：1．理解并掌握作正弦函数和余弦函数图象的方法．2．理解并熟练掌握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法．3．理解并掌握用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式的方法．教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．教学难点：用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象．授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：先利用正弦线画出函数x y sin = ，x ∈[0,π2]的图象，并根据“终边相同的角有相同的三角函数值”，把这一图象向左、右平行移动，得到正弦曲线；在此基础上，利用诱导公式，把正弦曲线向左平行移动2π个单位长度，得到余弦曲线接着根据这两种曲线的形状和特点，研究了正弦、余弦函数的性质，然后又研究了正弦函数的简图的画法，简要地介绍了利用正切线画出正切函数的图象以及正切函数的性质最后讲述了如何由已知三角函数值求角，并引进了arcsinx 、arccosx 、arctanx 等记号，以供在后续章节中遇到求角问题时用来表示答案教学过程：一、复习引入： 1设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）则P 与原点的距离02222>+=+=y x y x r 2．比值ry 叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x 叫做α的余弦 记作： rx =αcos 比值xy 叫做α的正切 记作： x y =αtan 比值y x 叫做α的余切 记作： yx =αcot 比值x r 叫做α的正割 记作： xr =αsec 比值y r 叫做α的余割 记作： y r =αcsc 以上六种函数，统称为三角函数今天我们要研究怎样作正弦函数、余弦函数的图象，作三角函数图象的方法一般有两种：(1)描点法；(2)几何法(利用三角函数线)．但描点法的各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值，不易描出对应点的精确位置，因此作出的图象不够准确．几何法则比较准确．二、讲解新课：1． 正弦线、余弦线：设任意角α的终边与单位圆相交于点P(x ，y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则有MP r y ==αsin ，OM rx ==αcos 向线段MP 叫做角α的正弦线，有向线段OM 叫做角α的余弦线．2．用单位圆中的正弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识．第一步：列表首先在单位圆中画出正弦线和余弦线．在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成几等份，过圆上的各分点作x 轴的垂线，可以得到对应于角6,0π，3π，2π,…，2π的正弦线及余弦线（这等价于描点法中的列表）．第二步：描点．我们把x 轴上从0到2π这一段分成几等份，把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点． 第三步：连线用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．现在来作余弦函数y=cosx ，x ∈[0，2π]的图象:第一步:列表 表就是单位圆中的余弦线．第二步:描点．把坐标轴向下平移，过1O 作与x 轴的正半轴成4π角的直线， 又过余弦线1O A 的终点A 作x 轴的垂线，它与前面所作的直线交于A ′，那么1O A 与AA ′长度相等且方向同时为正，我们就把余弦线1O A “竖立”起来成为AA ′，用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来．再将它们平移，使起点与x 轴上相应的点x 重合，则终点就是余弦函数图象上的点．第三步：连线．用光滑曲线把这些竖立起来的线段的终点连结起来，就得到余弦函数y=cosx ，x ∈[0，2π]的图象．以上我们作出了y=sinx ，x ∈[0，2π]和y=cosx ，x ∈[0，2π]的图象，现在把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 和y=cosx ，x ∈R 的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．3．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，要求熟练掌握．探究：（1）y=cosx, x ∈R 与函数y=sin(x+2π) x ∈R 的图象相同 （2）将y=sinx 的图象向左平移2π即得y=cosx 的图象 （3）也同样可用五点法作图：y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 4．用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三角不等式：通过例2介绍方法三、讲解范例：例1 作下列函数的简图(1)y=sinx ，x ∈[0，2π]， (2)y=cosx ，x ∈[0，2π]，(3)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]， (4)y=-cosx ，x ∈[0，2π]，。
高中数学正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质一、正弦函数的图象与性质1、正弦函数图象的作法：（1）描点法：关键是选定一个周期，把这个周期分成四等份，根据三个分点及两个端点所对应的函数值确定出的点，确定函数图象的大致形状；（2）几何法：一般是用三角函数线来作出图象。
注意：①的图象叫正弦曲线；②作图象时自变量要用弧度制；③在对精确度要求不太高时，作的图象一般使用“五点法”。
2、正弦函数的性质（1）定义域为，值域为；（2）周期性：正弦函数具有周期性，这可由诱导公式来推导，其最小正周期是。
函数的最小正周期是；（3）奇偶性：奇函数；（4）单调性：在每一个闭区间，上为增函数，在每一个闭区间，上为减函数。
3、周期函数函数周期性的定义：对于函数y＝，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数y＝就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。
如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做函数y＝的最小正周期。
4、关于函数的图象和性质（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻的两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；（3）函数取最值的点与其相邻的与x轴的交点间的距离为函数的个周期。
5、正弦型图象的变换方法（1）先平移后伸缩的图象的图象的图象的图象的图象。
（2）先伸缩后平移的图象的图象的图象的图象的图象。
二、余弦函数、正切函数的图象与性质1、余弦函数的图象和性质（1）由函数可知，用平移变换法可以得到余弦函数的图象，也可以使用“五点法”得到，同时还要学会用这两种方法画出函数的图象。
（2）余弦函数的性质可类比正弦函数的性质得到。
2、正切函数与正、余弦函数的比较（1）正切函数的定义域不是全体实数，这与正、余弦函数的定义域为全体实数有着较大的差别；（2）正、余弦函数是有界函数，而正切函数是无界函数；（3）正、余弦函数是连续函数，反映在图象上是连续无间断的点；而正切函数在定义域上不连续，它有无数条渐近线（垂直于x轴的直线），其图象被这些渐近线分割开来；（4）正、余弦函数的图象既是中心对称图形（对称中心分别为），又是轴对称图形（对称轴分别为）；而正切函数的图象只是中心对称图形，其对称中心为；（5）正、余弦函数既有单调递增区间，又有单调递减区间；而正切函数只有单调递增区间，即正切函数，在每一个区间上都是单调递增函数。
正弦函数余弦函数的图像（说课）各位评委，各位老师大家好!很高兴能在这里以这种方式向大家学习和交流。
我叫何秦，来自高县中学。
今天我说课的课题是《正弦函数余弦函数的图像》内容取自人教版高中数学教科书高一下册第四章第八节。
我对本课的设计分为五大部分一：教材分析二：教法分析三：学法分析四：教学过程五：说明反思一．教材分析（1）教材的地位和作用三角函数这一章学习是在函数的第一阶段学习的基础上，进行第二阶段函数的学习。
内容是三角函数的概念、图象与性质,以及函数模型的简单应用。
研究的方法主要是代数变形和图象分析。
三角函数是重要的数学模型之一，是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具，三角函数作为描述周期现象的重要数学模型，与其他学科（如：物理、天文学）联系紧密。
高考大纲的要求是“理解正余弦函数的图像和性质，会用五点法画出正余弦函数的图像”大纲的要求是课的方向标，也是课的重要性的体现本课是学习三角函数图象与性质的入门课，是今后研究函数的性质、正弦型函数)sin(ϕ+=wx A y 的图象的知识基础和方法准备。
同时本课是数形结合的思想方法的良好题材。
因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用（2）课时安排本课三角函数图像和性质的第一课时，主要是介绍用几何法画正余弦函数图象、用五点法画正余弦函数图象简图并掌握与正弦函数有关的简单的图象平移变换和对称变换。
二. 教法分析（一）学情分析学生已经学习了因为在已有函数基础知识和诱导公式、三角函数线知识的基础上来研究图像，进一步体现数形结合和化归思想在高中数学中的运用。
同时，学生已经具备一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。
但还有部分学生学习函数有畏难情绪，在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。
意图：从知识、能力和情感态度三个方面分析学生的基础、优势和不足，它是制定教学目标的重要依据。
（二）教学方法1.现代教学论指出：“教学是师生的多边活动，在教师的‘反馈——控制’的同时，每个学生也都在进行着微观的‘反馈——控制’。
课 题：48正弦函数、余弦函数的图象和性质（4）教学目的：1理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义； 2会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间； 3掌握三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法 教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数性质的理解与应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．y=sinx ，x ∈R 和y=cosx ，x ∈R 的图象，分别叫做正弦曲线和余弦曲线．2．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是 (0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 3．定义域：正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R ［或(－∞，＋∞)］， 分别记作： y ＝sin x ，x ∈R y ＝cos x ，x ∈R 4．值域正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］其中正弦函数y =sin x ,x ∈R①当且仅当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1 ②当且仅当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－1而余弦函数y ＝cos x ，x ∈R①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－15．周期性正弦函数、余弦函数都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π6．奇偶性y ＝sin x 为奇函数，y ＝cos x 为偶函数正弦曲线关于原点O 对称,余弦曲线关于y 轴对称 7．单调性正弦函数在每一个闭区间［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1二、讲解范例：例1 求函数y ＝sin 21x-π的单调增区间 误解：令ｕ＝21x-π ∵y ＝sin ｕ在［2k π－2π，2k π＋2π］(k ∈Z )上递增 ∴2k π－2π≤21x -π≤2k π＋2π解得－4k ≤x ≤－4k ＋2∴原函数的单调递增区间为［－4k ，－4k ＋2］(k ∈Z ) 分析：上述解答貌似正确，实则错误，错误的原因是，令ｕ＝21x-π，忽视了ｕ是x 的减函数，未考虑复合后单调性的变化正解如下：解法一：令ｕ＝21x-π，则u 是x 的减函数 又∵y ＝sin ｕ在［2k π＋2π，2k π＋23π］(k ∈Z )上为减函数，∴原函数在［2k π＋2π，2k π＋23π］(k ∈Z )上递增设2k π＋2π≤21x-π≤2k π＋23π解得－4k －2≤x ≤－4k (k ∈Z )∴原函数在［－4k －2，－4k ］(k ∈Z )上单调递增 解法二：将原函数变形为y ＝－sin 21-x π 因此只需求sin 21-x π＝y 的减区间即可 ∵ｕ＝21-x π为增函数 ∴只需求sin ｕ的递减区间 ∴2k π＋2π≤21-x π≤2k π＋23π解之得：4k +2≤x ≤4k +4(k ∈Z )∴原函数的单调递增区间为［4k ＋2，4k ＋4］(k ∈Z ) 一、利用三角函数的有界性利用三角函数的有界性如｜sin x ｜≤1，｜cos x ｜≤1来求三角函数的最值例2 a 、b 是不相等的正数求y ＝x b x a x b x a 2222cos sin sin cos +++的最大值和最小值解：y 是正值，故使y 2达到最大(或最小)的x 值也使y 达到最大(或最小)y 2＝a cos 2x ＋b sin 2x ＋2x b x a 22sin cos +·x b x a 22cos sin +＋a sin 2x ＋b cos 2x＝a ＋b ＋x b a ab 2sin )(422-+ ∵a ≠b ，(a －b )2＞0，0≤sin 22x ≤1 ∴当sin2x ＝±1时，即x ＝22ππ+k (k ∈Z )时，y 有最大值)(2b a +； 当sin x ＝0时，即x ＝2πk (k ∈Z )时，y 有最小值a ＋b二、利用三角函数的增减性 如果f (x )在［α，β］上是增函数，则f (x )在［α，β］上有最大值f (β)，最小值f (α)；如果f (x )在［α，β］上是减函数，则f (x )在［α，β］上有最大值f (α)，最小值f (β)例3 在0≤x ≤2π条件下，求y ＝cos 2x －sin x cos x －3sin 2x 的最大值和最小值解：利用二倍角余弦公式的变形公式，有y ＝22cos 1x +－2sin2x －3·22cos 1x-＝2(cos2x －sin2x )－1 ＝22 (cos2x cos 4π－sin2x sin 4π)－1＝22cos(2x ＋4π)－1∵0≤x ≤2π，4π≤2x ＋4π≤45πcos(2x ＋4π)在［0，83π）上是减函数 故当x ＝0时有最大值22当x ＝83π时有最小值－1cos(2x ＋4π)在［83π，2π］上是增函数 故当x ＝83π时，有最小值－1当x ＝2π时，有最大值－22综上所述，当x ＝0时，y max ＝1 当x ＝83π时，y min ＝－22－1三、换元法利用变量代换，我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解例4求f (x )＝sin 4x ＋2sin 3x cos x ＋sin 2x cos 2x ＋2sin x cos 3x ＋cos 4x 的最大值和最小值解：f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＋2sin x cos x (sin 2x ＋cos 2x )＋sin 2x cos 2x =1＋2sin x cos x －sin 2x cos 2x令ｔ＝21sin2x ∴－21≤ｔ≤21①f (ｔ)＝1＋2ｔ－ｔ2＝－(ｔ－1)2＋2 ②在①的范围内求②的最值当ｔ＝21，即x ＝k π＋4π(k ∈Z )时，f (x )max ＝47 当ｔ＝－21，即x ＝k π＋43π(k ∈Z )时，f (x )min ＝－41四、求三角函数最值时应注意的问题三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一，也是会考、高考必考内容，在求解中欲达到准确、迅速，除熟练掌握三角公式外，还应注意以下几点：1．注意sin x 、cos x 自身的范围例5求函数y ＝cos 2x －3sin x 的最大值解：y ＝cos 2x －3sin x ＝－sin 2x －3sin x ＋1＝－(sin x ＋23)2＋413 ∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1时，y max ＝3说明：解此题易忽视sin x ∈［－1，1］这一范围，认为sin x ＝－23时，y 有最大值413，造成误解 2．注意条件中角的范围例6已知｜x ｜≤4π，求函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值解：y ＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－(sin x －21)2＋45∵－4π≤x ≤4π∴－22≤sin x ≤22 ∴当sin x ＝－22时 y min ＝－(－22－21)2＋45＝221-说明：解此题注意了条件｜x ｜≤4π，使本题正确求解，否则认为sin x ＝－1时y 有最小值，产生误解3．注意题中字母(参数)的讨论例7求函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋85a －23(0≤x ≤2π)的最大值 解：∵y ＝1－cos 2x ＋a cos x ＋85a －23＝－(cos x －2a )2＋42a ＋85a －21∴当0≤a ≤2时，cos x ＝2a ，y max ＝42a ＋85a －21当a ＞2时，cos x ＝1，y max ＝813a －23 当a ＜0时，cos x ＝0，y max ＝85a －21说明：解此题注意到参数a 的变化情形，并就其变化讨论求解，否则认为cos x ＝2a时，y 有最大值会产生误解 4．注意代换后参数的等价性例8已知y ＝2sin θcos θ＋sin θ－cos θ(0≤θ≤π)，求y 的最大值、最小值解：设t ＝sin θ－cos θ＝2sin(θ－4π) ∴2sin θcos θ＝1－ｔ2∴y ＝－ｔ2＋ｔ＋1＝－(ｔ－21)2＋45 又∵ｔ＝2sin(θ－4π)，0≤θ≤π∴－4π≤θ－4π≤43π∴－1≤ｔ≤2 当ｔ＝21时，y max ＝45当ｔ＝-1时，y min ＝－1说明：此题在代换中，据θ范围，确定了参数ｔ∈［－1，2］，从而正确求解，若忽视这一点，会发生ｔ＝21时有最大值而无最小值的结论 三、课堂练习：四、小结 三角函数最值的求解：三角函数最值是中学数学的一个重要内容，加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识，沟通三角、代数、几何之间的联系，培养学生的思维能力本课介绍了三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法 五、课后作业：六、板书设计（略） 七、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
4.8正弦函数、余弦函数的图像和性质教学目标1.会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数的图像，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图像；2.了解周期函数与最小正周期的意义，会求y=Asin(ωx+ψ)的周期，了解奇偶函数的意义，能判断函数的奇偶性；3.通过正弦、余弦函数图像理解正弦函数、余弦函数的性质，培养学生的数形结合的能力；4.简化正弦、余弦函数的绘制过程，会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+ψ)的简图；5.通过本节的学习培养学生的化归能力、转化思想.教学建议知识结构：重点与难点分析：本节重点是正弦函数、余弦函数的图像形状及其主要性质（定义域、值域、最值、周期性、奇偶性、单调性）．正弦、余弦函数在实际生活中应用十分广泛，函数的图像和性质是应用的重要基础，也是解决三角函数的综合问题的基础，它能较好的综合三角变换的所有内容，可进一步深入研究其它函数的相关性质．函数图像可以直观的反映函数的性质，因此首先要掌握好函数图像形状特点，使学生将数、形结合对照掌握这两个函数．本节难点是利用正弦线画出函数的图像，利用正弦曲线和诱导公式画出余弦曲线，周期函数与最小正周期意义的理解．利用几何法画函数图像学生第一次接触，要先复习正弦线的做法，另外注意讲清正弦线平移后在x轴上对应的角．通过诱导公式可以将正弦、余弦函数建立起关系，利用诱导公式时先将为了只需要平移就可得到余弦函数．周期函数包含的内容较多，可以先让学生通过正弦、余弦函数图像直观上了解，再通过定义严格说明，定义中x的任意性可与奇偶性的定义对比讲解，周期、最小正周期的概念很抽象，学生理解有些困难，最好将定义分解讲解．教法建议：1．讲三角函数图象时，由于描点法学生比较熟悉，可以先让学生自己作图，然后介绍几何法，这样既可以让学生对正弦函数图像大致形状有所了解，为后面“五点法”作图奠定基础，又可将两种方法加以对比．2．用几何法作函数的图像前，首先复习函数线的作法，说明单位圆上的角与x轴上数值的对应关系，作图过程要力求准确，以便学生正确认识曲线的建立过程．此处最好借助多媒体课件演示，表现的既准确又节省时间．得到函数的图像，利用诱导公式或利用三角函数线，把图象沿着x轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π(即一个最小正周期)，即可得到函数y=sinx，x∈R的图像．余弦函数的图像可以利用诱导公式将余弦与正弦建立联系，但要将x 前面的系数保证为正，这样只需要平移即可得到余弦函数的图像．余弦函数的图像的几何作法可让学生课后自己去探索．3．“五点法”作图在三角函数中应用较为广泛，让学生观察函数的图像，有五个点在确定图象形状时起着关键的作用，即最高点，最低点以及与x轴的交点，因为只要这五个点描出后，图象的形状就基本确定了．因此在精确度要求不太高时，常采用先描出这五个点来作函数简图的方法．适当增加些练习使学生熟练掌握这种方法．4．对于函数的周期性，先通过正弦、余弦函数图像的重复出现的特点，让学生对周期有直观的认识，周期函数的定义也可叙述为：当函数对于自变量的一切值每增加或减少一个定值(定值可以有很多个)、函数值就重复出现时，这个函数就叫做周期函数．然后再给出严格定义．将定义的分解讲解，使学生理解定义包含的要素，关键词语，如“如果存在”说明不是所有函数都有周期，“T”要满足“非零”和“常数”两个条件，当x取定义域内的每一个值时”这一提法，这里要特别注意“每一个值”四个字．如果函数f(x)不是当x取定义域内的“每一个值”时，都有f(x+T)=f(x)，那么T就不是f(x)的周期．例如，但是，就是说不能对于x在定义域内的每一个值都有，因此不是的周期．最小正周期可让学生按上述分析方法进行分析．另外可把三角函数和奇函数、偶函数象下面这样对比着进行讲解，对学生理解和掌握周期函数概念将是有益的：如果函数f(x)对于定义域里的每一个值，都有(1)f(-x)=f(x)，那么f(x)叫做偶函数；(2)f(-x)=-f(x)，那么f(x)叫做奇函数；(3)f(x+T)=f(x)，其中T是不为零的常数，那么f(x)叫做周期函数．对函数的周期，要让学生从周期定义上理解：周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个数，这个数是针对x而言的，如果对2x而言，而每增加2π，sin2x的值就重复出现；但对自变量x而言，每增加π，sin2x的值就能重复出现，因此sin2x的周期是π．如果不设辅助未知数，本例的解答可写为：f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π)，即f(x)中的x以x+π代替，函数值不变，所以sin2x的周期为π．由此可知，三角函数的周期与自变量x的系数有关．5．让学生通过函数图像总结归纳函数的性质定义域、值域、极值、符号、周期性、奇偶性、单调性等，最好以表格的形式将正弦、余弦函数的性质对比得出，使学生在函数图像和性质建立对应关系，这对学生进一步掌握函数y=sinx，y=cosx的性质有很大帮助．因此应要求学生首先要熟悉正弦曲线和余弦曲线．6．要注意数学语言和数学方法的训练，如“必须并且只需”，正弦函数在每一个闭区间上都是增函数，其值从-1增大到1等．教学设计示例4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质（第一课时）（一）教学具准备直尺、圆规、投影仪．（二）教学目标1．了解作正、余弦函数图像的四种常见方法．2．掌握五点作图法，并会用此方法作出上的正弦曲线、余弦曲线．3．会作正弦曲线的图像并由此获得余弦曲线图像．（三）教学过程（可用课件辅助教学）1．设置情境引进弧度制以后，就可以看做是定义域为的实变量函数．作为函数，我们首先要关注其图像特征．本节课我们一起来学习作正、余弦函数图像的方法．2．探索研究（1）复习正弦线、余弦线的概念前面我们已经学习过三角函数线的概念及作法，请同学们回忆一下什么叫正弦线？什么叫余弦线？（师画图1）设任意角的终边与单位圆相交于点，过点作轴的垂线，垂足为，则有向线段叫做角的正弦线，有向线段叫做角的余弦线．（2）在直角坐标系中如何作点由单位圆中的正弦线知识，我们只要已知一个角的大小，就能用几何方法作出对应的正弦值的大小来，请同学们思考一下，如何用几何方法在直角坐标系中作出点？教师引导学生用图2的方法画出点．我们能否借助上面作点的方法在直角坐标系中作出正弦函数，的图像呢？①用几何方法作，的图像我们知道，作函数的图像的步骤是：列表、描点、连结；如果我们用列表法得出各点的坐标，就会因各点的纵坐标都是查三角函数表得到的数值不够精确，使得描点后画出的图像误差也大，为克服这一不足，我们用前面作点的几何方法来描点，从而使图像的精确度有了提高．（边画图边讲解），我们先作在上的图像，具体分为如下五个步骤：a．作直角坐标系，并在直角坐标系中轴左侧画单位圆．b．把单位圆分成12等份（等份越多，画出的图像越精确）．过单位圆上的各分点作轴的垂线，可以得到对应于0，，，，…，角的正弦线．c．找横坐标：把轴上从0到（）这一段分成12等分．d．找纵坐标：将正弦线对应平移，即可指出相应12个点．e．连线：用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来，即得，的图像．②作正弦曲线，的图像．图为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数，，且的图像与函数，的图像的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数，的图像向左、右平移（每次个单位长度），就可以得到正弦函数数，的图像，如图1．正弦函数，的图像叫做正弦曲线．③五点法作，的简图师：在作正弦函数，的图像时，我们描述了12个点，但其中起关键作用的是函数，与轴的交点及最高点和最低点这五个点，你能依次它们的坐标吗？生：（0，0），，，，师：事实上，只要指出这五个点，，的图像的形状就基本确定了，以后我们常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连结起来，就得到函数的简图，这种作图的方法称为“五点法”作图．④用变换法作余弦函数，的图像因为，所以，与是同一个函数，即余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移个长度单位角得到，余弦函数的图像叫做余弦曲线，如图2，师：请同学们说出在函数，的图像上，起关键作用的五个点的坐标．生：（0，1），，，，3．例题分析【例1】画出下列函数的简图：（1），；（2），．解：（1）按五个关键点列表0 1 0 －1 01 2 1 0 1利用五点法作出简图3师：请说出函数与的图像之间有何联系？生：函数，的图像可由，的图像向上平移1个单位得到．（2）按五个关键点列表1 0 －1 0 1－1 0 1 0 －1利用五点法作出简图4师：，与，的图像有何联系？生：它们的图像关于轴对称．练习：（1）说出，的单调区间；（2）说出，的奇偶性．参考答案：（1）由，图像知、，为其单调递增区间，为其单调递减区间（2）由，图像知是偶函数．4．总结提炼（1）本课介绍了四种作，图像的方法，其中五点作图法最常用，要牢记五个关键点的选取特点．（2）用平移诱变法，由这不是新问题，在函数一章学习平移作图时，就使用过，请同学们作比较．应该说明的是由平移量是不惟一的，方向也可左可右．5．演练反馈，（投影）（1）在同一直角坐标系下，用五点法分别作出下列函数的图像①，②，（2）观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的的区间．①，②，③，④（3）画出下列函数的简图①，②，③，参考答案：（1）（2）①，，②、，③④（3）（五）板书设计课题1．正、余弦函数线2．作点3．作，的图像4．五点法作正弦函数图像5．变换法作的图像6．五点法作余弦函数图像7．例题（1）（2）演练反馈总结提炼教学设计示例4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质（第二课时）（一）教学具准备直尺，投影仪．（二）教学目标1．掌握，的定义域、值域、最值、单调区间．2．会求含有、的三角式的定义域．（三）教学过程1．设置情境研究函数就是要讨论一些性质，，是函数，我们当然也要探讨它的一些属性．本节课，我们就来研究正弦函数、余弦函数的最基本的两条性质．2．探索研究师：同学们回想一下，研究一个函数常要研究它的哪些性质？生：定义域、值域，单调性、奇偶性、等等．师：很好，今天我们就来探索，两条最基本的性质——定义域、值域．（板书课题正、余弦函数的定义域、值域．）师：请同学看投影，大家仔细观察一下正弦、余弦曲线的图像．师：请同学思考以下几个问题：（1）正弦、余弦函数的定义域是什么？（2）正弦、余弦函数的值域是什么？（3）他们最值情况如何？（4）他们的正负值区间如何分？（5）的解集如何？师生一起归纳得出：（1）正弦函数、余弦函数的定义域都是．（2）正弦函数、余弦函数的值域都是即，，称为正弦函数、余弦函数的有界性．（3）取最大值、最小值情况：正弦函数，当时，（）函数值取最大值1，当时，（）函数值取最小值－1．余弦函数，当，（）时，函数值取最大值1，当，（）时，函数值取最小值－1．（4）正负值区间：（）（5）零点：（）（）3．例题分析【例1】求下列函数的定义域、值域：（1）；（2）；（3）．解：（1），（2）由（）又∵，∴∴定义域为（），值域为．（3）由（），又由∴∴定义域为（），值域为．指出：求值域应注意用到或有界性的条件．【例2】求下列函数的最大值，并求出最大值时的集合：（1），；（2），；（3）（4）．解：（1）当，即（）时，取得最大值∴函数的最大值为2，取最大值时的集合为．（2）当时，即（）时，取得最大值．∴函数的最大值为1，取最大值时的集合为．（3）若，，此时函数为常数函数．若时，∴时，即（）时，函数取最大值，∴时函数的最大值为，取最大值时的集合为．（4）若，则当时，函数取得最大值．若，则，此时函数为常数函数．若，当时，函数取得最大值．∴当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为；当时，函数取得最大值，取得最大值时的集合为，当时，函数无最大值．指出：对于含参数的最大值或最小值问题，要对或的系数进行讨论．思考：此例若改为求最小值，结果如何？【例3】要使下列各式有意义应满足什么条件？（1）；（2）．解：（1）由，∴当时，式子有意义．（2）由，即∴当时，式子有意义．4．演练反馈（投影）（1）函数，的简图是（）（2）函数的最大值和最小值分别为（）A．2，－2 B．4，0 C．2，0 D．4，－4（3）函数的最小值是（）A．B．－2 C． D．（4）如果与同时有意义，则的取值范围应为（）A． B． C． D．或（5）与都是增函数的区间是（）A．， B．，C．， D．，（6）函数的定义域________，值域________，时的集合为_________．参考答案：1．B 2．B 3．A 4．C 5．D6．；；5．总结提炼（1），的定义域均为．（2）、的值域都是（3）有界性：（4）最大值或最小值都存在，且取得极值的集合为无限集．（5）正负区间及零点，从图上一目了然．（6）单调区间也可以从图上看出．（五）板书设计1．定义域2．值域3．最值4．正负区间5．零点例1例2例3 课堂练习课后思考题：求函数的最大值和最小值及取最值时的集合提示：教学设计示例4.8 正弦函数、余弦函数的图像和性质（第三课时）（一）教学具准备直尺、投影仪．（二）教学目标1．理解，的周期性概念，会求周期．2．初步掌握用定义证明的周期为的一般格式．（三）教学过程1．设置情境自然界里存在着许多周而复始的现象，如地球的自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动、圆周运动等．数学里从正弦函数、余弦函数的定义可知，角的终边每转一周又会与原来的位置重合，故，的值也具有周而复始的变化规律．为定量描述这种周而复始的变化规律，今天，我们来学习一个新的数学概念——函数的周期性（板书课题）2．探索研究（1）周期函数的定义引导学生观察下列图表及正弦曲线0 1 0 －1 0 1 0 －1 0正弦函数值当自变量增加或减少一定的值时，函数值就重复出现．联想诱导公式，若令则，由这个例子，我们可以归纳出周期函数的定义：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期．如，，…及，…都是正弦函数的周期．注意：周期函数定义中有两点须重视，一是是常数且不为零；二是等式必须对定义域中的每一个值时都成立．师：请同学们思考下列问题：①对于函数，有能否说是正弦函数的周期．生：不能说是正弦函数的周期，这个等式虽成立，但不是对定义域的每一个值都使等式成立，所以不符合周期函数的定义．②是周期函数吗？为什么生：若是周期函数，则有非零常数，使，即，化简得，∴（不非零），或（不是常数），故满足非零常数不存在，因而不是周期函数．思考题：若为的周期，则对于非零整数，也是的周期．（课外思考）（2）最小正周期的定义师：我们知道…，，，，…都是正弦函数的周期，可以证明（且）是的周期，其中是的最小正周期．一般地，对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期．今后若涉及的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期．依据定义，和的最小正周期为．（3）例题分析【例1】求下列函数的周期：（1），；（2），；（3），．分析：由周期函数的定义，即找非零常数，使．解：（1）因为余弦函数的周期是，所以自变量只要并且至少要增加到，余弦函数的值才能重复取得，函数，的值也才能重复取得，从而函数，的周期是．即，∴（2）令，那么必须并且只需，且函数，的周期是，就是说，变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复取得，而所以自变量只要并且至少要增加到，函数值就能重复取得，从而函数，的周期是．即∴（3）令，那么必须并且只需，且函数，的周期是，由于，所以自变量只要并且至少要增加到，函数值才能重复取得，即是能使等式成立的最小正数，从而函数，的周期是．而∴师：从上例可以看出，这些函数的周期仅与自变量的系数有关，其规律如何？你能否求出函数，及函数，（其中，，为常数，且，）的周期？生：∴．同理可求得的周期．【例2】求证：（1）的周期为；（2）的周期为；（3）的周期为．分析：依据周期函数定义证明．证明：（1）∴的周期为．（2）∴的周期为．（3）∴的周期为．3．演练反馈（投影）（1）函数的最小正周期为（）A．B．C．D．（2）的周期是_________（3）求的最小正周期．参考答案：（1）C；（2）∴（3）欲求的周期，一般是把三角函数化成易求周期的函数或的形式，然后用公式求最小正周期，而化得的一般思路是“多个化一个，高次化一次”，将所给函数化成单角单函数．由4．总结提炼（1）三角函数所特有的性质是周期性，周期与最小正周期是不同概念，研究三角函数的周期时，如未特别声明，一般是指它的最小正周期．（2）设，．若为的周期，则必有：①为无限集，②；③在上恒成立．（3）只有或型的三角函数周期才可用公式，不具有此形式，不能套用．如，就不能说它的周期为．（四）板书设计课题1．周期函数定义两点注意：思考问题①②2．最小正周期定义例1 例2的周期的周期练习反馈总结提炼思考题：设是定义在上的以2为周期的周期函数，且是偶函数，当时，，求上的表达式参考答案：典型例题例1．求函数的定义域．分析：要求，即，因为正弦函数具有周期性，所以只需先根据正弦曲线在一个周期上找出适合条件区间，然后两边加．解：由题意，即．在一周期上符合条件的角为，∴定义域为．小结：解题时注意结合正弦曲线，而由于正弦函数的周期性，只需先在一个周期上求范围，这个周期的长度为，并非一定取，而应该是否得到一个完整区间为标准，如本题若在上求范围则分为两段和，不如在上是完整的一段．例2．求函数的定义域。
正弦函数、余弦函数的图象和性质教案第一章：正弦函数的定义与图象1.1 教学目标了解正弦函数的定义能够绘制正弦函数的图象1.2 教学内容正弦函数的定义：正弦函数是直角三角形中，对于一个锐角，其对边与斜边的比值。
正弦函数的图象：正弦函数的图象是一条波浪形的曲线，它在每个周期内上下波动，波动的最大值为1，最小值为-1。
1.3 教学活动讲解正弦函数的定义，并通过实际例子进行解释。
使用图形计算器或者绘图软件，让学生自己绘制正弦函数的图象，并观察其特点。
1.4 作业与练习让学生完成一些关于正弦函数的练习题，包括选择题和解答题。
第二章：余弦函数的定义与图象2.1 教学目标了解余弦函数的定义能够绘制余弦函数的图象2.2 教学内容余弦函数的定义：余弦函数是直角三角形中，对于一个锐角，其邻边与斜边的比值。
余弦函数的图象：余弦函数的图象也是一条波浪形的曲线，它在每个周期内上下波动，波动的最大值为1，最小值为-1。
2.3 教学活动讲解余弦函数的定义，并通过实际例子进行解释。
使用图形计算器或者绘图软件，让学生自己绘制余弦函数的图象，并观察其特点。
2.4 作业与练习让学生完成一些关于余弦函数的练习题，包括选择题和解答题。
第三章：正弦函数和余弦函数的性质3.1 教学目标了解正弦函数和余弦函数的性质3.2 教学内容正弦函数和余弦函数的周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，它们的周期都是2π。
正弦函数和余弦函数的奇偶性：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
正弦函数和余弦函数的单调性：正弦函数和余弦函数在一个周期内都是先增后减。
3.3 教学活动讲解正弦函数和余弦函数的性质，并通过实际例子进行解释。
让学生通过观察图象，总结正弦函数和余弦函数的性质。
3.4 作业与练习让学生完成一些关于正弦函数和余弦函数性质的练习题，包括选择题和解答题。
第四章：正弦函数和余弦函数的应用4.1 教学目标能够应用正弦函数和余弦函数解决实际问题4.2 教学内容正弦函数和余弦函数在物理学中的应用：正弦函数和余弦函数可以用来描述简谐运动，如弹簧振子的运动。
一、教学目标1. 让学生了解正弦函数和余弦函数的图象特征，掌握它们的基本性质。
2. 培养学生运用数形结合的方法分析函数图象和性质的能力。
3. 引导学生运用所学知识解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
二、教学内容1. 正弦函数的图象和性质2. 余弦函数的图象和性质3. 正弦函数和余弦函数的图象和性质的综合应用三、教学重点与难点1. 重点：正弦函数和余弦函数的图象特征，基本性质。
2. 难点：正弦函数和余弦函数的图象和性质的综合应用。
四、教学方法1. 采用多媒体课件辅助教学，直观展示函数图象和性质。
2. 运用数形结合的方法，引导学生分析函数图象和性质。
3. 案例分析法，让学生在实际问题中体验函数图象和性质的应用。
4. 小组讨论法，培养学生的合作能力和口头表达能力。
五、教学过程1. 导入新课：回顾正弦函数和余弦函数的定义，引导学生思考它们的图象和性质。
2. 讲解与演示：利用多媒体课件，展示正弦函数和余弦函数的图象，讲解图象特征和基本性质。
3. 案例分析：选取实际问题，让学生运用所学知识分析问题，解决问题。
4. 小组讨论：分组讨论正弦函数和余弦函数图象和性质的综合应用，分享讨论成果。
5. 总结与评价：总结本节课所学内容，对学生的学习情况进行评价，布置课后作业。
六、教学策略1. 运用对比分析法，让学生区分正弦函数和余弦函数的图象和性质。
2. 利用数学软件或教具，动态展示正弦函数和余弦函数的图象变化，增强学生直观感受。
3. 设计具有梯度的练习题，让学生在实践中巩固所学知识。
4. 创设情境，引导学生发现生活中的正弦函数和余弦函数模型，提高学生的数学素养。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，评价学生的学习态度和兴趣。
2. 练习完成情况：检查学生课后作业和实践任务的完成质量，评价学生的学习效果。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作能力、口头表达能力等。
4. 自我评价：鼓励学生进行自我评价，反思学习过程中的优点和不足。
高一数学正弦函数余弦函数的图象和性质课题：§4.8正弦函数、余弦函数的图象和性质 （一）课题教材分析：本小节的主要内容是正弦函数、余闲函数的图象和性质，教科书先利用正弦线画出了函数]2,0[,sin π∈=x x y 的图象，并根据“终边相同的角有相同的三角函数值”，把这一图象向左、右平行移动，得到正弦曲线；在此基础上，利用诱导公式转变余弦函数为正弦函数，利用函数的性质，平移图象而成；在此基础上学习正弦函数、余弦函数的性质； （二）素质教育目标：1.知识目标：（1）利用单位圆中的三角函数线作出R x x y ∈=,sin 的图象，明确图象的形状；（2）根据关系)2sin(cos π+=x x ，作出R x x y ∈=,cos 的图象；（3）用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题；2.能力目标：（1）理解并掌握用单位圆作正弦函数、余弦函数的图象的方法；（2）理解并掌握用“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象的方法；3.德育目标：通过作正弦函数和余弦函数图象，培养学生认真负责，一丝不苟的学习和工作精神；（三）课型课时计划：1.课题类型：新授课、练习课；2.教具使用：多媒体电脑、实物投影仪、常规教学；3.课时计划：本课题共安排3课时； （四）教学三点解析：1.教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象；2.教学难点：作余弦函数的图象，周期性；3.教学疑点：作三角函数图象，三角函数的 自变量x 要用弧度制，通过观察得到三角函数的性质；（五）教学过程设计 一.温故知新，引入课题1.弧度制的有关概念；2.复习三角函数线的概念；3.如何作函数图象；4.用课件演示三角函数线；5.用课件演示正弦曲线的做法；6.用“五点法”画函数图象；7.通过图象简单介绍三角函数的性质；二.新课教学1.有关定义域（1）求函数21sin )(-=x x f 的定义域；（2）求函数x x f cos log )(2=的定义域；2.有关值域（1）求使下列函数取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么。
●备课资料1.y ＝－sin x 与y ＝sin x 的图象有怎样的对称性? 解：y ＝－sin x 与y ＝sin x 的图象关于x 轴对称.2.当x ∈R 时，余弦函数y ＝cos x 与正弦函数y ＝sin(x ＋2π)是否为同一个函数?为什么?y ＝sin x 与y ＝cos(x ＋2π)呢? 答：是，因为sin(2π＋x )＝cos x不是，因为cos(x ＋2π)＝－sin x ≠sin x3.求下列函数的定义域和值域： (1)y =lg(sin x －23);(2)y =213cos 2-x .分析：根据函数有意义列不等式，求x 的范围即为定义域.求值域时要注意正弦函数和余弦函数的值域.解：(1)要使lg(sin x －23)有意义，必须且只须sin x ＞23，解之得：2k π+3π＜x ＜2k π+32π，k ∈Z又∵0＜sin x －23≤1－23∴lg(sin x －23)≤lg(1－23)∴定义域为(2k π+3π，2k π+32π)，(k ∈Z )值域为(－∞，lg(1－23)］.(2)要使213cos 2-x 有意义，必须且只须2cos3x －1≥0，即cos3x ≥21，解之得2k π－3π≤3x ≤2k π+3π即932ππ-k ≤x ≤932ππ+k ，k ∈Z .又0≤2cos3x －1≤1 故0≤213cos 2-x ≤2∴定义域为［932,932ππππ+-k k ］，k ∈Z值域为［0，2］评述：求由正弦函数和余弦函数组成复合函数的定义域、值域问题，要充分考虑基本的正弦函数和余弦函数的单调性和值域.4.比较下列各组数的大小： (1)sin195°与cos170°;(2)cos47cos,101sin,23-; (3)sin(sin83π)，sin(83π).分析：化为同名函数，进而利用单调性来比较函数值的大小. 解：(1)sin195°=sin(180°+15°)=－sin15° cos170°=cos(180°－10°)=－cos10°=－sin80° ∵0°＜15°＜80°＜90°又∵y =sin x 在［0°，90°］上是递增函数， ∴sin15°＜sin80° ∴－sin15°＞－sin80° ∴sin195°＞cos170°.(2)∵sin 101=cos(2π－101)－cos 47=cos(π－47)又∵2π－101=1.47＜1.5=23 π－47=1.39＜1.4＜2π－101＜23而y =cos x 在［0，π］上是减函数， 由π－47＜2π－101＜23＜π 得cos 23＜cos(2π－101)＜cos(π－47)即cos23＜sin101＜－cos47.(3)∵cos 83π=sin 8π∴0＜cos83π＜sin 83π＜1而y =sin x 在［0，1］内递增 ∴sin(cos83π)＜sin(sin 83π).●备课资料 给出下列命题：①y ＝sin x 在第一象限是增函数；②α是锐角，则y ＝sin(α＋4π)的值域是［－1，1］；③y ＝sin ｜x ｜的周期是2π；④y ＝sin 2x －cos 2x 的最小值是－1； 其中正确的命题的序号是_____.分析:①y ＝sin x 是周期函数，自变量x 的取值可周期性出现，如反例： 令x 1＝3π，x 2＝6π＋2π，此时x 1＜x 2 而sin3π＞sin(6π＋2π)∴①错误； ②当α为锐角时，4π＜α＋4π＜2π＋4π由图象可知22＜sin(α＋4π)≤1∴②错误；③∵y ＝sin ｜x ｜(x ∈R )是偶函数.其图象是关于y 轴对称，可看出它不是周期函数. ∴③错误；④y ＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，最小值为－1 ∴④正确. 答案：④评述：函数的单调性是函数的局部选择，是针对区间而言的；我们不能说某函数在某象限内是增函数还是减函数，而只能说某函数在某区间上是增函数还是减函数.附1：三角函数单调区间的求法单调性是函数的重要性质之一，求三角函数的单调区间是三角中常见的题型，现将常用的几种方法总结如下：一、代换法所谓代换法，就是将比较复杂的三角函数符号后的整体当做一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间，这就要求同学们熟练掌握基本三角函数的单调区间，即：y ＝sin x 在［2k π－2π,2k π＋2π］(k ∈Z )上单调递增,在［2k π＋2π，2k π＋23π］(k ∈Z )上单调递减.y ＝cos x 在［2k π－π，2k π］(k ∈Z )上单调递增，在［2k π，2k π＋π］(k ∈Z )上单调递减；y ＝tan x 在(k π－2π，k π＋2π)(k ∈Z )上单调递增.下面举例说明：［例］求下列函数的单调递增区间： ①y ＝cos(2x ＋6π)；②y ＝3sin(23x -π)解：①设u ＝2x ＋6π，则y ＝cos u当2k π－π≤u ≤2k π时y ＝cos u 随u 的增大而增大 又∵u ＝2x ＋6π随x ∈R 增大而增大∴y ＝cos(2x ＋6π)当2k π－π≤2x ＋6π≤2k π(k ∈Z )即k π－127π≤x ≤k π－12π时，y 随x 增大而增大∴y ＝cos(2x ＋6π)的单调递增区间为：［k π－127π，k π－12π］(k ∈Z )②设u ＝3π－2x ，则y ＝3sin u当2k π＋2π≤u ≤2k π＋23π时，y ＝3sin u 随x 增大在减小，又∵u ＝3π－2x 随x ∈R 增大在减小∴y ＝3sin(3π－2x )当2k π＋2π≤3π－2x ≤2k π＋23π即－4k π－37π≤x ≤－4k π－3π时，y 随x 增大而增大∴y ＝3sin(3π－2x )的单调递增区间为［4k π－37π，4k π－3π］(k ∈Z )二、图象法函数的单调性表现在图象上是：从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，如果能画出三角函数的图象，那它的单调区间就直观明了了.［例］求函数y ＝－｜sin(x ＋4π)｜的单调区间.解：利用“五点法”可得该函数的图象为：显然，该函数的周期为π在［k π－4π，k π＋4π］(k ∈Z )上为单调递减函数；在［k π＋4π，k π＋43π］(k ∈Z )上为单调递增函数.附2：正余弦函数图象的对称性现行新编高中数学试用教材，对正余弦函数y ＝sin x ，y ＝cos x 及y ＝A sin(ωx ＋ϕ)，y ＝A cos(ωx ＋ϕ)的性质，只研究了定义域、值域、最值、奇偶性、单调性及周期性，而没有涉及它们的对称性，事实上这些函数具有下列对称性.性质1 函数y ＝sin x 的图象具有无数条对称轴，其方程为x k ＝k π＋2π(k ∈Z )性质1′ 函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象具有无数条对称轴，其方程为x k ＝ωϕωπωπ-+2k (k ∈Z )性质2 函数y ＝cos x 的图象具有无数条对称轴，其方程为x k ＝k π(k ∈Z ) 性质2′ 函数y ＝A cos(ωx ＋ϕ)的图象具有无数条对称轴，其方程为x k ＝ωϕωπ-k (k∈Z )掌握了它们的对称性之后，我们便可将其对称性与值域(含最值)、单调性、周期性融为一体，显然，它们的值域为f (x k )与f (x k ＋1)之间的一切实数组成的集合，最大、最小值由f (x k )与f (x k ＋1)相应确定，一个单调增或单调减区间为［x k ，x k ＋1］，半周期2T ＝x k ＋1－x k (k∈N *)，可见，若能直接运用对称轴方程解题，则显得十分简明而又准确可靠.［例1］函数y ＝sin(2x ＋25π)的图象的一条对称轴方程是( ) A.x ＝－2πB.x ＝－4πC.x ＝8πD.x ＝45π方法一：运用性质1′，y ＝sin(2x ＋25π)的所有对称轴方程为x k ＝2πk －π(k ∈Z )，令k ＝－1，得x －1＝－2π，对于B 、C 、D 都无整数k 对应.故选A.方法二：运用性质2′，y ＝sin(2x ＋25π)＝cos2x ，它的对称轴方程为x k ＝2πk (k ∈Z )，令k ＝－1，得x －1＝－2π，对于B 、C 、D 都无整数k 对应，故选A.［例2］在下列区间中函数y ＝sin(x ＋4π)的单调增区间是( )A.［2π，π］B.［0，4π］C.［－π，0］D.［4π，2π］分析：函数y ＝sin(x ＋4π)是一个复合函数即y ＝sin ［ϕ(x )］，ϕ(x )＝x ＋4π，欲求y ＝sin(x ＋4π)的单调增区间，因ϕ(x )＝x ＋4π在实数集上恒递增，故应求使y 随ϕ(x )递增而递增的区间.方法一：∵ϕ(x )＝x ＋4π在实数集上恒递增，又y ＝sin x 在［2k π－2π，2k π＋2π］(k ∈Z )上是递增的，故令2k π－2π≤x ＋4π≤2k π＋2π∴2k π－43π≤x ≤2k π＋4π∴y ＝sin(x ＋4π)的递增区间是［2k π－43π，2k π＋4π］ 取k ＝－1、0、1，分别得［－47,411ππ］、［－43π，4π］、［45π，49π］，对照选择肢，可知应选B.像这类题型，上述解法属常规解法，而运用y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的单调增区间的一般结论，由一般到特殊求解，既快又准确，如本题倘若运用对称轴方程求单调区间，则是一种颇具新意的简明而又准确、可靠的方法.方法二：函数y ＝sin(x ＋4π)的对称轴方程是：x k ＝k π＋2π－4π＝k π＋4π(k ∈Z )，对照选择肢，分别取k ＝－1、0、1，得一个递增或递减区间分别是［－43π，4π］或［4π，45π］，对照选择肢思考即知应选B.注：一般运用正、余弦函数的对称轴方程求其单调区间，可先运用对称轴方程求其一个单调区间，然后在两端分别加上周期的整数倍即得.［例3］若函数y ＝sin2x ＋a cos2x 的图象关于直线x ＝－8π对称，试求a 的值.解：显然a ≠0，如若不然，x ＝－8π就是函数y ＝sin2x 的一条对称轴，这是不可能的.当a ≠0时，y ＝sin2x ＋a cos2x ＝21a +(21aa +cos2x ＋211a+·sin2x )＝21a+cos(2x －θ)其中cos θ＝21aa +，sin θ＝211a+即tan θ＝a1cos sin =θθ函数y ＝21a +cos(2x －θ)的图象的对称轴方程的通式为2x k ＝k π＋θ(k ∈Z ) ∴x k ＝22πθk +，令x k ＝－8π822ππθ-=+⇒k∴θ＝－k π－4π∴tan θ＝tan(－k π－4π)＝－1.即a1＝－1，∴a ＝－1为所求.附3：精析周期函数 中学课本中写着：“对于函数f (x )，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，f (x ＋T )＝f (x )都成立，那么就把函数y ＝f (x )叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期.”书中又说，对于一个周期函数来说：“如果在所有的周期中，存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期.”这个定义是采用内涵定义法定义的，要正确理解周期函数的定义，应从定义的内涵(性质)和外延(对象)两个方面来分析，应注意以下几点：1.式子f (x ＋T )＝f (x )对定义域中的每一个值都成立.即定义域内任何x ，式子都成立.而不能是“一个x ”或“某些个x ”，另一方面，判断一个函数不是周期函数，只需举一个反例就行了.例如：由于sin(12π＋65π)＝sin12π，即sin(x ＋65π)＝sin x .该式中x 取12π时等式成立，能否断定65π是sin x 的周期呢?不能,因对于其他一些x 值该式不一定成立.如x ＝6π时,sin(x ＋65π)≠sin x .［例］函数y ＝cos x (x ≠0)是周期函数吗?解：不是，举反例，当T ＝2π时，令x ＝－2π，则有cos(x ＋2π)＝cos(－2π＋2π)＝cos0＝1，但x ＝0，不属于题设的定义域，则x 不能取－2π，故y ＝cos x (x ≠0)不是周期函数.2.式子f (x ＋T )＝f (T )是对“x ”而言.例如，由cos(3x ＋2k π)＝cos3x (k ∈Z )，是否可以说cos3x 的周期为2k π呢?不能!因为cos(3x ＋2k π)＝cos 36πk x +，即cos 36πk x +＝cos3x (k ∈Z )，所以cos 3x 的周期是6k π，而不是2k π(k ∈Z ).3.一个函数是周期函数，但它不一定有最小正周期.例如，f (x )＝a (常数)，显然任何一个正数T 都是f (x )的周期，由于正数中不存在最小的数，所以周期函数f (x )＝a 无最小正周期.4.设T 是f (x )(x ∈R )的周期，那么kT (k ∈Z ，且k ≠0)也一定是f (x )的周期，定义规定了T 为一个实常数，而不是一个变数；同时也规定了T 的取值范围，只要求不为零，不要误认为T 一定是π的倍数.众所周知，函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的周期即最小正周期是T ＝||2ωπ，函数y ＝A cos(ωx＋ϕ)的周期也是T ＝||2ωπ，函数y ＝A tan(ωx ＋ϕ)的周期是T ＝||ωπ，不难看到，上述各函数的周期中都含有“π”，而且，同学们所见到的课本例题及习题中的周期函数的周期中也都含有“π”，于是，有的同学认为：周期函数的周期一定含“π”.事实上，这种看法是错误的，实际上，有许多周期函数的周期中是不含“π”的，如下面几例：［例1］函数y ＝sin πx 的周期是T ＝ππ2＝2. ［例2］函数y ＝tan2πx 的周期是T ＝ππ2＝21.［例3］若对于函数y ＝f (x )定义域内的任何x 的值，都有f (x ＋1)＝f (x )成立，则由周期函数的定义可知，函数y ＝f (x )是周期函数，且T ＝1是其周期.［例4］设f (x )定义在R 上，并且对任意的x ，有f (x ＋2)＝f (x ＋3)－f (x ＋4). 求证：f (x )是周期函数，并找出它的一个周期.证明：∵f (x ＋2)＝f (x ＋3)－f (x ＋4) ① ∴f (x ＋3)＝f (x ＋4)－f (x ＋5) ② ①＋②得：f (x ＋2)＝－f (x ＋5) ③ 由③得：f (x ＋5)＝－f (x ＋8) ④ ∴f (x ＋2)＝f (x ＋8) 即f (x )＝f (x ＋6)∴f (x )为周期函数，一个周期为6.5.周期函数必须是函数，但一定要克服思维定势，认为周期性是三角函数所独有的，实质上我们学过的非周期函数f (x )(如y ＝log 2x ，y ＝｜x ｜，y ＝2x ，y ＝x 2等等)将其定义域内限制在一个半开半闭区间上，经左右平移，可以延拓变为周期函数，例如将非周期函数y ＝x 2(x ∈R )在其定义域R 内限制在(－1，1］，然后将y ＝x 2(－1＜x ≤1)的图象左、右平移，可以延拓为最小正周期为2的周期函数f (x )＝(x －2k )2(2k －1＜x ≤2k ＋1)，k ∈Z ，如图：［例］已知f (x )＝｜x ｜，x ∈(－1，1］，求定义在R 上的一个周期为2的函数g(x )，使x ∈(－1，1］时，g(x )＝f (x ).解：由g (x )的周期性可画出g(x )的图象.如图：对于任意的x ∈R ，x 一定在周期为2的区间(2n －1，2n ＋1］内，则x －2n ∈(－1，1］. ∴g (x )＝g (x －2n )＝f (x －2n )＝｜x －2n ｜， 即g (x )＝⎩⎨⎧≤<-+-+≤<-nx n n x n x n n x 212,2122,2评述：(1)要判定f (x )是周期函数，自变量x 必须取遍定义域内的每一个值.(2)周期函数是高考中的热点，只有深层次的理解周期函数的意义，才能臻化入境，运用自如.●备课资料1.求函数y ＝2cos 1cos 3++x x 的值域.解：由已知：cos x ＝yy --312⇒｜yy --312｜＝｜cos x ｜≤1⇒(yy --312)2≤1⇒3y 2＋2y －8≤0∴－2≤y ≤34∴y max ＝34，y min ＝－22.f (x )＝sin x 图象的对称轴是_____. 解：由图象可知： 对称轴方程是：x ＝k π＋2π(k ∈Z )3.(1)函数y ＝sin(x ＋4π)在什么区间上是增函数?(2)函数y ＝3sin(3π－2x )在什么区间是减函数?解：(1)函数y ＝sin x 在下列区间上是增函数： 2k π－2π＜x ＜2k π＋2π(k ∈Z )∴函数y ＝sin(x ＋4π)为增函数，当且仅当2k π－2π＜x ＋4π＜2k π＋2π即2k π－43π＜x ＜2k π＋4π(k ∈Z )为所求.(2)∵y ＝3sin(3π－2x )＝－3sin(2x －3π)由2k π－2π≤2x －3π≤2k π＋2π得k π－12π≤x ≤k π＋125π(k ∈Z )为所求.或：令u ＝3π－2x ，则u 是x 的减函数又∵y ＝sin u 在［2k π－2π，2k π＋2π］(k ∈Z )上为增函数，∴原函数y ＝3sin(3π－2x )在区间［2k π－2π，2k π＋2π］上递减.设2k π－2π≤3π－2x ≤2k π＋2π解得k π－12π≤x ≤k π＋125π(k ∈Z )∴原函数y ＝3sin(3π－2x )在［k π－12π，k π＋125π］(k ∈Z )上单调递减.评述：在求三角函数的单调区间时，一定要注意复合函数的有关知识，忽略复合函数的条件，是同学们解题中常发生的错误.下面请看一错例剖析：［例］求函数y ＝sin 21x -π的单调增区间.误解：令u ＝21x -π∵y ＝sin u 在［2k π－2π，2k π＋2π］(k ∈Z )上递增∴2k π－2π≤21x -π≤2k π＋2π解得－4k ≤x ≤－4k ＋2∴原函数的单调递增区间为［－4k ，－4k ＋2］(k ∈Z ) 分析：上述解答貌似正确，实则错误，错误的原因是，令u ＝21x -π，忽视了u 是x的减函数，未考虑复合后单调性的变化.正解如下：解法一：令u ＝21x -π，则u 是x 的减函数又∵y ＝sin u 在［2k π＋2π，2k π＋23π］(k ∈Z )上为减函数，∴原函数在［2k π＋2π，2k π＋23π］(k ∈Z )上递增设2k π＋2π≤21x -π≤2k π＋23π解得－4k －2≤x ≤－4k (k ∈Z )∴原函数在［－4k －2，－4k ］(k ∈Z )上单调递增 解法二：将原函数变形为y ＝－sin 21-x π因此只需求sin 21-x π＝y 的减区间即可∵u ＝21-x π为增函数∴只需求sin u 的递减区间 ∴2k π＋2π≤21-x π≤2k π＋23π解之得：4k +2≤x ≤4k +4(k ∈Z )∴原函数的单调递增区间为［4k ＋2，4k ＋4］(k ∈Z ) 附：谈三角函数最值的求解三角函数最值是中学数学的一个重要内容，加强这一内容的教学有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识，沟通三角、代数、几何之间的联系，培养学生的思维能力.本文介绍三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法.一、利用三角函数的有界性利用三角函数的有界性如｜sin x ｜≤1，｜cos x ｜≤1来求三角函数的最值. ［例1］a 、b 是不相等的正数. 求y ＝x b x a 22sincos+＋x b x a 22cossin+的最大值和最小值.解：y 是正值，故使y 2达到最大(或最小)的x 值也使y 达到最大(或最小).y 2＝a cos 2x ＋b sin 2x ＋2x b x a 22sincos +·x b x a 22cossin+＋a sin 2x ＋b cos 2x＝a ＋b ＋x b a ab 2sin)(422-+∵a ≠b ，(a －b )2＞0，0≤sin 22x ≤1 ∴当sin2x ＝±1时，即x ＝22ππ+k (k ∈Z )时，y 有最大值)(2b a +；当sin x ＝0时，即x ＝2πk (k ∈Z )时，y 有最小值b a +.二、利用三角函数的增减性如果f (x )在［α，β］上是增函数，则f (x )在［α，β］上有最大值f (β)，最小值f (α)；如果f (x )在［α，β］上是减函数，则f (x )在［α，β］上有最大值f (α)，最小值f (β).［例2］在0≤x ≤2π条件下，求y ＝cos 2x －sin x cos x －3sin 2x 的最大值和最小值.解：利用二倍角余弦公式的变形公式，有y ＝22cos 1x+－2sin2x －3·22cos 1x-＝2(cos2x －sin2x )－1＝22(cos2x cos 4π－sin2x sin 4π)－1＝22cos(2x ＋4π)－1∵0≤x ≤2π，4π≤2x ＋4π≤45πcos(2x ＋4π)在［0，83π)上是减函数故当x ＝0时有最大值22当x ＝83π时有最小值－1cos(2x ＋4π)在［83π，2π］上是增函数故当x ＝83π时，有最小值－1当x ＝2π时，有最大值－22综上所述，当x ＝0时，y max ＝1 当x ＝83π时，y min ＝－22－1三、换元法利用变量代换，我们可把三角函数最值问题化成代数函数最值问题求解.［例3］求f (x )＝sin 4x ＋2sin 3x cos x ＋sin 2x cos 2x ＋2sin x cos 3x ＋cos 4x 的最大值和最小值.解：f (x )＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2x cos 2x ＋2sin x cos x (sin 2x ＋cos 2x )＋sin 2x cos 2x =1＋2sin x cos x －sin 2x cos 2x令t ＝21sin2x∴－21≤t ≤21 ①f (t )＝1＋2t －t 2＝－(t －1)2＋2②在①的范围内求②的最值 当t ＝21，即x ＝k π＋4π(k ∈Z )时，f (x )max ＝47当t ＝－21，即x ＝k π＋43π(k ∈Z )时，f (x )min ＝－41附：求三角函数最值时应注意的问题三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一，也是会考、高考必考内容，在求解中欲达到准确、迅速，除熟练掌握三角公式外，还应注意以下几点：一、注意sin x 、cos x 自身的范围［例1］求函数y ＝cos 2x －3sin x 的最大值.解：y ＝cos 2x －3sin x ＝－sin 2x －3sin x ＋1＝－(sin x ＋23)2＋413∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1时，y max ＝3说明：解此题易忽视sin x ∈［－1，1］这一范围，认为sin x ＝－23时，y 有最大值413，造成误解.二、注意条件中角的范围［例2］已知｜x ｜≤4π，求函数y ＝cos 2x ＋sin x 的最小值.解：y ＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－(sin x －21)2＋45∵－4π≤x ≤4π∴－22≤sin x ≤22∴当sin x ＝－22时y min ＝－(－22－21)2＋45＝221-说明：解此题注意了条件｜x ｜≤4π，使本题正确求解，否则认为sin x ＝－1时y 有最小值，产生误解.三、注意题中字母(参数)的讨论［例3］求函数y ＝sin 2x ＋a cos x ＋85a －23(0≤x ≤2π)的最大值.解：∵y ＝1－cos 2x ＋a cos x ＋85a －23＝－(cos x －2a)2＋42a＋85a －21∴当0≤a ≤2时，cos x ＝2a ，y max ＝42a＋85a －21当a ＞2时，cos x ＝1，y max ＝813a －23当a ＜0时，cos x ＝0，y max ＝85a －21说明：解此题注意到参数a 的变化情形，并就其变化讨论求解，否则认为cos x ＝2a 时，y 有最大值会产生误解.四、注意代换后参数的等价性［例4］已知y ＝2sin θcos θ＋sin θ－cos θ(0≤θ≤π)，求y 的最大值、最小值. 解：设t ＝sin θ－cos θ＝2sin(θ－4π)∴2sin θcos θ＝1－t 2∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－(t －21)2＋45又∵t ＝2sin(θ－4π)，0≤θ≤π ∴－4π≤θ－4π≤43π∴－1≤t ≤2 当t ＝21时，y max ＝45当t ＝－1时，y min ＝－1说明：此题在代换中，据θ范围，确定了参数t ∈［－1，2］，从而正确求解，若忽视这一点，会发生t ＝21时有最大值而无最小值的结论.。
