三角函数正余弦函数的图像及性质复习汇总

三角函数正余弦函数的图像及性质复习汇总(共8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222ππππ的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

二、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质：（1）定义域：都是R 。

（2）值域： 1、都是[]1,1-， 2、sin y x =，当()22x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1；当()322x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1；3、cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。

例：（1）若函数sin(3)6y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21-，则=a __，=b ＿（答：1,12a b ==或1b =-）；z)(k k 223.k 22∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++πππz)(k 43k ,4k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππz)(k 4k ,4k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ⑵ 函数y=-2sinx+10取最小值时，自变量x 的集合是_________________________。

（3）周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ωϕ=+和()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=。

例：(1)若3sin)(xx f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝___（答：0）；⑵．下列函数中，最小正周期为π的是（ ）A.cos 4y x =B.sin 2y x =C.sin 2x y =D.cos 4xy =（4）奇偶性与对称性：1、正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2x k k Z ππ=+∈；2、余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，对称轴是直线()x k k Z π=∈（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。

第三节三角函数的图像与性质复习要求：1，理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质2，理解周期函数、最小正周期的概念3，学会用五点法画图知识点：1．正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图像和性质3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。

6．对称轴与对称中心： sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+； 对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

常见三角函数图像总结
一、正弦函数的图像特征
正弦函数是最常见的三角函数之一，其图像特征如下：
•周期性：正弦函数的周期为$2\\pi$，即在$[0, 2\\pi]$区间上完整呈现一个周期。

•奇函数性质：正弦函数关于原点对称，即f(f)=−f(−f)。

•取值范围：正弦函数的值域在[−1,1]之间。

二、余弦函数的图像特征
余弦函数是另一种常见的三角函数，其图像特征如下：
•周期性：余弦函数的周期也为$2\\pi$，与正弦函数一样。

•偶函数性质：余弦函数关于f轴对称，即f(f)= f(−f)。

•取值范围：余弦函数的值域同样在[−1,1]之间。

三、正切函数的图像特征
正切函数是三角函数中的另一个重要函数，其图像特征包括：
•周期性：正切函数的周期为$\\pi$，在$[0, \\pi]$区间内完成一个周期。

•奇函数性质：正切函数也是一个奇函数，即f(f)=−f(−f)。

•渐进性质：正切函数在其定义域内无限多个渐近线。

四、三角函数的图像变换
除了原始的正弦、余弦和正切函数外，这些函数还可以通
过图像的平移、伸缩和反转等方式进行变换。

其中：
•平移变换：将函数图像沿f轴或f轴平移。

•伸缩变换：改变函数图像的振幅、频率或其它参数。

•反转变换：关于f轴或f轴进行反转，改变函数图像的对称性。

综上所述，三角函数的图像总结包括正弦函数、余弦函数
和正切函数的特征，以及它们的基本变换。

深入了解这些函数的图像特性对于理解三角函数在数学和物理中的应用具有重要意义。

数学三角函数总结归纳图三角函数是数学中重要的一部分，它在几何、物理、工程等领域都有着广泛的应用。

本文将通过图表的形式对数学中常见的三角函数进行总结归纳，以帮助读者更好地理解和应用这些函数。

一、正弦函数（sine function）正弦函数是最基本的三角函数之一，表示为sin(x)，其中x为角度。

下图是正弦函数的图像：[图片]从图中可以看出，正弦函数是一个周期函数，它的取值范围在-1到1之间。

在0度和180度时，正弦函数的取值为0，在90度时达到最大值1，在270度时达到最小值-1。

二、余弦函数（cosine function）余弦函数是正弦函数的余函数，表示为cos(x)，其中x为角度。

下图是余弦函数的图像：[图片]与正弦函数类似，余弦函数也是一个周期函数，它的取值范围同样在-1到1之间。

不同的是，在0度时，余弦函数的取值为1，在180度时达到最小值-1，在90度和270度时取值为0。

三、正切函数（tangent function）正切函数是最常用的三角函数之一，表示为tan(x)，其中x为角度。

下图是正切函数的图像：[图片]正切函数的取值范围是负无穷到正无穷，它在0度和180度时的取值都为0，在90度时趋近于正无穷，在270度时趋近于负无穷。

四、余切函数（cotangent function）余切函数是正切函数的倒数，表示为cot(x)，其中x为角度。

下图是余切函数的图像：[图片]余切函数的取值范围也是负无穷到正无穷，它在0度和180度时趋近于正无穷，在90度时取值为0，在270度时趋近于负无穷。

五、正割函数（secant function）正割函数是余弦函数的倒数，表示为sec(x)，其中x为角度。

下图是正割函数的图像：[图片]正割函数的取值范围在-1到1之间，在0度和180度时取值为1，在90度和270度时取值为无穷大。

六、余割函数（cosecant function）余割函数是正弦函数的倒数，表示为csc(x)，其中x为角度。

高中数学三角函数及反三角函数图像性质、知识点总结高中数学中，三角函数及反三角函数是重要的内容之一。

在学习这一部分知识时，需要掌握其图像性质以及相关的知识点。

下面将对这些内容进行总结。

一、三角函数的图像性质1. 正弦函数（sin）的图像性质：- 周期性：sin函数的周期为2π，即在每个周期内，函数的图像重复出现；- 奇函数性质：sin函数关于原点对称；- 取值范围：sin函数的取值范围为[-1,1]，即函数的值始终在该区间内波动。

2. 余弦函数（cos）的图像性质：- 周期性：cos函数的周期为2π；- 偶函数性质：cos函数关于y轴对称；- 取值范围：cos函数的取值范围也为[-1,1]。

3. 正切函数（tan）的图像性质：- 周期性：tan函数的周期为π；- 奇函数性质：tan函数关于原点对称；- 无界性：tan函数的值域为实数集，即函数在某些点无界。

二、三角函数的知识点1. 基本正弦函数的性质：- 特殊角的正弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的正弦值分别为0、1、0、-1和0；- 正弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，sin函数是单调递增的；- 正弦函数的奇偶性：sin(-x)=-sin(x)，即sin函数关于原点对称。

2. 基本余弦函数的性质：- 特殊角的余弦值：0°、90°、180°、270°和360°对应的余弦值分别为1、0、-1、0和1；- 余弦函数的增减性：在0°到180°的区间上，cos函数是单调递减的；- 余弦函数的奇偶性：cos(-x)=cos(x)，即cos函数关于y轴对称。

3. 基本正切函数的性质：- 特殊角的正切值：0°、90°、180°和270°对应的正切值分别为0、无穷大、0和无穷大；- 正切函数的周期性：tan(x+π)=tan(x)，即tan函数的周期是π。

千里之行，始于足下。

三角函数及反三角函数图像性质、学问点总结三角函数及反三角函数是高中数学中重要的内容之一，它们的图像性质是我们学习和理解这些函数的基础。

下面是关于三角函数及反三角函数图像性质的学问点总结。

一、正弦函数的图像性质：1. 定义域：正弦函数的定义域为全体实数。

2. 值域：正弦函数的值域为闭区间[-1,1]。

3. 周期性：正弦函数的周期是2π，即在一个周期内，正弦函数的图像重复消灭。

4. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。

5. 对称轴：正弦函数的对称轴是y轴。

6. 最值点：正弦函数的最值点包括最大值1和最小值-1，最值点的横坐标为周期的整数倍。

二、余弦函数的图像性质：1. 定义域：余弦函数的定义域为全体实数。

2. 值域：余弦函数的值域为闭区间[-1,1]。

3. 周期性：余弦函数的周期是2π，即在一个周期内，余弦函数的图像重复消灭。

4. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x)=cos(x)。

5. 对称轴：余弦函数的对称轴是x轴。

6. 最值点：余弦函数的最值点包括最大值1和最小值-1，最值点的横坐标为周期的半整数倍。

三、正切函数的图像性质：1. 定义域：正切函数的定义域为全体实数，除了临界点kπ（k为整数）。

第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。

2. 值域：正切函数的值域为全体实数。

3. 周期性：正切函数的周期是π，即在一个周期内，正切函数的图像重复消灭。

4. 奇偶性：正切函数是奇函数，即tan(-x)=-tan(x)。

5. 渐近线：正切函数有两条渐近线，分别是x=kπ+π/2（k为整数）和x=kπ（k为整数）。

6. 最值点：正切函数没有最值点。

四、反正弦函数的图像性质：1. 定义域：反正弦函数的定义域为闭区间[-1,1]。

2. 值域：反正弦函数的值域为闭区间[-π/2,π/2]。

3. 奇偶性：反正弦函数是奇函数，即arcsin(-x)=-arcsin(x)。

4. 递增性：反正弦函数在定义域内是递增的。

三角函数的图像与性质（正弦、余弦、正切）【知识点1】函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象性质题型1：定义域例1：求下列函数的定义域(1)xx y cos 2cos 1+=； (2)x y 2sin = 2lg(4)x -题型2：值域 例2：求下列函数值域 (1))3π2,6π(,sin 2-∈=x x y (2)y=2sin(2x-3π),x 5,46ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦(3) )3π,2π(),3π2cos(2-∈+=x x y(4)函数1)6π21cos(2++-=x y 的最大值以及此时x 的取值集合题型3：周期例3：求下列函数的周期： （1）f(x)=2sin2x (2)y=cos(123x π-) (3)y=tan(2x 4π-) （4）y=sin x 例4： 若函数()2sin(2)3f x kx π=+的最小正周期T 满足12T <<,则自然数k 的值为______.例5：若)10(sin 2)(<<=ϖϖx x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，则ϖ=________.例6：使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为【 】A ．π25B ．π45C ．πD ．π23例7：设函数f(x)=2sin(25x ππ+),若对于任意的x R ∈,都有f(1x )2()()f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值是A.4B.2C.1D.12题型4：奇偶性 例8：函数y ＝sin （x ＋2π）（x ∈［－2π，2π］）是【 】A.增函数B.减函数C.偶函数D.奇函数例9：判断下列函数的奇偶性 (1)y=xsin(x π+) (2)y=cos 1sin x x+例10：已知函数f(x)=x 3cosx+1,若f(a)=11,则f(-a)=________ 题型5：单调性例11：函数y =21log sin(2x +4π)的单调递减区间是【 】 A.（k π－4π,k π］(k ∈Z ) B.（k π－8π,k π+8π］(k ∈Z ) C.（k π－83π,k π+8π］(k ∈ D.（k π+8π,k π+83π］(k ∈Z )例12：.求1cos()3412logx y π+=的单调区间例13：求下列函数的单调增区间(1))3π21cos(-=x y ; (2) ]0,π[),6π2sin(2-∈+=x x y ；(3))23πsin(2x y -=例14：（1）求函数y=2sin(2x-3π)的单调递减区间。

(2) /(航+如型三角函数的奇偶性（i ） g （x ） = /沏（颜+如（x€ R）(x)为偶函数匕鼠U 力（而+ 出=j4sin （-<at + 炉）（x W 氏）0 sin 曲匚*0=。

（工 W R ）7Tcos 卯=。

=上7T+一1左 e Z ）由此得 2 ,同理，式夫4皿皈+双相的 为奇函数 =顺@=0/3=上网海2)（ii ）飙# =+劭SwR]妖N = .Aa 式题+钠为偶函数见双t")；就= 式以+如为奇函数7T=中=无产+ — (k e Z)3、周期性(1)基本公式(ii) 〃皈+⑺+氏型三角函数的周期竺y =+ G + 5 =加+中出 的周期为何；（一）三角函数的性质1、定义域与值域2、奇偶性(1)基本函数的奇偶性奇函数：y = sinx y= tanx ； 偶函数：y=cosx.(i )基本三角函数的周期的周期为；丁.y=sinx , y=cosx 的周期为 之并 ；y = tanx , y = cotx4-212yy=cotxy=tanx 3-32X 03 27 3,y=cosx-5-4 .7223 2322 5 2“如血的+朗+9=心服如+沟+用的周期为何.（2）认知⑴A =1/W +创型函数的周期y = |月劭（枷+或）| j = A 匚。

5（西+励|（ii ）若函数为,（收斗劭 型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （iii ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验一一猜想一一证明.（3）特殊情形研究JT(i ) y = tanx — cotx 的最小正周期为27T（ii ） y=卜由H+|M 幻的最小正周期为，；7T（iii ） y = sin 4x + cos 4x 的最小正周期为，. _由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象 .4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”：①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的 一个周期；②写特解：在所选周期内写出函数的增区问（或减区问）；③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数 的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族 .揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域（2） y=/（而+初 型三角函数的单调区问的周期为y = （助+切1_r= |达匚祖（姗+阖| 的周期为 7T(ii) > = 1/(耽+如+同3=0)的周期1y 二|金£血（为工卜8］妣+3）+甘¥ = |例如（而+5+上］ J = |总二加侬大+的+. 的周期为祠；,7T的周期为:. 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对 数的周期不变.注意这一点与（i ）的区别.y=八加+◎+上的解析式施加绝对值后，该函此类三角函数单调区间的寻求“三部曲”为 ①换元、分解：令u =z 中,将所给函数分解为内、外两层：y = f (u) , u =®x+卯;②套用公式：根据对复合函数单调性的认知，确定出 f (u)的单调性，而后利用(1)中公 式写出关于u 的不等式；③还原、结论：将u =^+W 代入②中u 的不等式，解出x 的取值范围，并用集合或区间 形成结论.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:/y sinx y cosxy tanxy cotxy Asin x(A 、 >0)定义域 R R x | x R 且 x k 1 ,k Zx| x R 且x k ,k ZR值域 [1, 1][1, 1]R RA, A周期性 2 22奇偶性奇函数 偶函数奇函数 奇函数当 0,非奇非偶 当0,奇函数单调性[2 2k , —2k ] 2上为增函 数； [2 2k ,3——2k ] 2上为减函 数(k Z )[2k 1 , 2k ]上为增函 数[2k , 2k 1 ]上为减函数(k Z )一k ,一 k 2 2 上为增函数(k Z )k , k 1上为减函数(k Z )2k2(A),2k -2( A)上为增函数；2k 一------ 2— (A), 2k------ 2——(A)上为减函数(k Z )注意：①y sinx 与y sinx 的单调性正好相反；y cosx 与y cosx 的单调性也同样相反.一般 地，若y f(x)在［a,b ］上递增(减)，则y f (x)在［a,b ］上递减(增)y忖n x 与y cosx 的周期是.-(k Z),对称中心(k ,0); y cos( x )的对称轴方); y tan( x )的对称中心(工,0).,02③ y sin( x )或 y cos( x )0)的周期T 2y tan x 的周期为2 2 (T _ T 2，如图，翻折无效)④y sin( x )的对称轴方程是x k 程是x k (k Z ),对称中心(ky cos2x 原点对称 y cos( 2x) cos2x⑤ 当 tan tan 1, k ,(k Z) ; tan tan 1, k ,(k Z).⑥y cosx 与y s in x _ 2k是同一函数，而y ( x )是偶函数，则2 1 、，、y ( x ) sin( x k ) cos( x).2⑦函数y tanx 在R 上为增函数.(耳［只能在某个单调区间单调递增 .若在整个定义域,y tanx 为增函数，同样也是错误的］.⑧定义域关于原点对称是f (x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件：一是定义域 关于原点对称(奇偶都要)，二是满足奇偶性条件，偶函数：f( x) f(x),奇函数：f( x) f(x)) 奇偶性的单调性：奇同偶反.例如：y tanx 是奇函数，y tan(x 1)是非奇非偶.(定义域不 3 关于原点对称)奇函数特有性质：若0 x 的定义域，则f(x)一定有f(0) 0. (0 x 的定义域，则无此性质)⑨y sinx 不是周期函数；y sinx 为周期函数(T )； y cosx 是周期函数(如图)；y cosx 为周期函数(T )；y cos2x1的周期为(如图)，并非所有周期函数都有最小正周期,2y f (x) 5 f (x k),k R . ⑩ y a cos bsinVa 2 b 2sin( ) cos b 有 Va 2 b 2 y .、形如y Asin( x )的函数:11、几个物理量：A 一振幅；f 1—频率(周期的倒数)；x 一相包； 一初相；2、函数y Asin( x )表达式的确定：A 由最值确定； 由周期确定； 由图象上的特殊点确定，如 f(x) Asin( x )(A 0,0, | 3.函数 y Asin( x ) B (其中 A 0,0)最大值是A B,最小值是B A,周期是T —,最小正周期T 六频率是f「相位是x,初相是；其图象的对称轴是直线x k 7k Z),凡| "^0的图象如图所小，则f (x)(答：f(x)152sin(-2x -));y=| cos2x+1/2|图象是该图象与直线y B 的交点都是该图象的对称中心4、研究函数y Asin( x )性质的方法：类比于研究y sin x 的性质，只需将y Asin( x ) 中的x 看成y sinx 中的x,但在求y Asin( x )的单调区间时，要特别注意 A 和 的 符号，通过诱导公式先将 化正。

三角函数专题辅导课程安排制作者：程国辉专题辅导一三角函数的基本性质及解题思路课时：4-5学时 学习目标：1. 掌握常用公式的变换。

2. 明确一般三角函数化简求值的思路。

第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β)tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β2、倍角公式：sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α)cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α)3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-4、同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==第二部分：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：一角二名三结构首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像（基础知识+基本题型）知识点一 正弦函数的图象 1.正弦曲线的几何作法正弦函数sin ,y x x R 的图象如图，我们把正弦函数的图象叫做正弦曲线.如图，在直角坐标系的x 轴上取一点1O ，以1O 为圆心，单位长为半径作圆，从圆1O 与x 轴的交点A 起，把圆1O 分成12等份（份数越多，画出的图象越精确）.过圆1O 上各分点作x 轴的垂线，得到对应于0,,,,,2632等角的正弦线，相应地，再把x 轴上从0到2这一段分成12等份，把角x 的正弦线向右平移，使它的起点与x 轴上的点x 重合，再把这些正弦线的终点用光滑曲线连接起来，即得sin ,[0,2]y x x 的图象.2.用“五点法”作sin ,[0,2]y x x 的简图在函数sin ,[0,2]y x x 的图象上，起关键作用的点有五个：(0,0)，(,1)2，(,0)，3(,1)2，(2,0). 一般地，在精确度要求不高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，就得到正弦函数在[0,2]上的简图.这种方法叫“五点法”.【提示】（1）“五点法”作三角函数图象的实质是分别找到函数图象的最高点、最低点及三个平衡点，这五个点大致确定了函数图象的位置与形状.（2）用“五点法”作sin ,[0,2]y x x 的图象后，将其向左右平移(每次2个单位长度)，可得出sin ,y x x R 的图象.知识点二 余弦函数的图象 1.利用图象变换作余弦函数的图象 由诱导公式六，有cos sin()2y x x .因此，将正弦函数sin ,y x x R 的图象向右平移2个单位长度，就得到函数sin()cos ,2y x x x R 的图象. 我们把余弦函数cos ,y x x R 的图象叫做余弦曲线，如图所示.2.用“五点法”作cos ,[0,2]y x x 的简图在函数cos ,[0,2]y x x 的图象上，起关键作用的点是它与x 轴的交点、函数图象的最高点和最低点，它们的坐标依次为：(0,1)，(,0)2，(,1)，3(,0)2，(2,1).用光滑的曲线将它们连接起来，就得到余弦函数在[0,2]上的简图.【提示】（1）作余弦函数图象时，可通过正弦函数的图象平移得到，但要注意平移的单位长度. （2）作x R 的余弦函数图象，可由cos ,[0,2]y x x 的图象左右平移得到，也可由 sin ,y x x R 的图象向左平移2个单位长度得到.考点一 通过图象变换作函数的图象 【例1】作函数32sin y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象. 解：3sin |cos |2y x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭cos 22,Z 22,3cos 22,Z .22x k x k k x k x k k ππππππππ⎧⎛⎫-+≤≤+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+<<+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩故|cos |y x =的图象实际就是cos y x =的图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方后得到的图象，如图由于余弦函数的图象是利用诱导公式依据图象变换画出的，故掌握利用诱导公式化简三角函数式也是画三角函数图象的切入点。

三角函数的基本性质与像知识点总结三角函数是数学中的重要概念，在几何图形、物理问题等领域都有广泛应用。

本文将对三角函数的基本性质和像知识点进行总结和归纳。

一、正弦函数与余弦函数的基本性质1. 周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，其周期为2π（或360°）。

即在一个完整的周期内，函数的图像会重复出现。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)；余弦函数是偶函数，即满足f(-x)=f(x)。

这意味着函数图像关于y轴对称。

3. 定义域和值域：正弦函数和余弦函数的定义域为实数集，值域为[-1, 1]。

函数图像在y轴上下波动，最大值为1，最小值为-1。

4. 单调性：正弦函数和余弦函数都是周期函数，其在一个周期内具有相同的单调性特点。

在0到2π（或0°到360°）的区间内，正弦函数在0到π（或0°到180°）单调递增，余弦函数在0到π/2（或0°到90°）单调递减。

二、正切函数与余切函数的基本性质1. 周期性：正切函数和余切函数都是周期函数，其周期为π（或180°）。

即在一个完整的周期内，函数的图像会重复出现。

2. 奇偶性：正切函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)；余切函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。

这意味着函数图像关于原点对称。

3. 定义域和值域：正切函数和余切函数的定义域为实数集，但由于存在奇点，即函数在某些角度上无定义，因此需注意避开这些奇点。

值域为全体实数。

4. 单调性：正切函数和余切函数都是周期函数，其在一个周期内具有相同的单调性特点。

在0到π/2（或0°到90°）的区间内，正切函数和余切函数均单调递增。

三、三角函数的诱导公式1. 正弦函数的诱导公式：sin(x+π)=-sin(x)，sin(x+2π) = sin(x)。

2. 余弦函数的诱导公式：cos(x+π)=-cos(x)，cos(x+2π) = cos(x)。