等价关系

第六讲等价关系§6.1. 等价关系（Equivalence Relation）§6.2. 分划（Partition）6.1. 等价关系（Equivalence Relation）6.1.1. 定义：设A为集合，R为A上关系，称R为A上的等价关系指R自反，对称和传递，这时把xRy记为x~R y或简记为x~y。

例：整数集Z上相等关系为等价关系，Z上≤关系不是等价关系。

6.1.2. 命题：在Z上的关于模n的同余关系为等价关系。

证明：设n∈N+, 定义~如下：∀x,y∈Z, x~y定义为x≡y(n)(i.e. n | (x-y) )欲证~为等价关系，只需证：(1)x~x 即x≡x(n)(2)x~y~z →x~z 即. x≡y(n)∧y≡z(n) →x≡z(n)(3)x~y →y~x 即x≡y(n) →y≡x(n)而以上三点易见，故得证。

.6.1.3 命题：令R*={{a n}|{a n} 为有理数Cauchy 序列}，定义R*上关系~如下：{a n}~{b n}定义为( ∀ε>0)( ∃N)( n>N)(|a n-b n|<ε )。

这里ε与N的变域为Q与N。

证明：(1) 易见{a n}~{a n}(2) ∵|a n-b n|+|b n-c n|≥a n-c n|, ∀ε>0{a n}~{b n}→∃N1(∀n>N1)( |a n-b n|<ε/2){b n}~{c n}→∃N2(∀n>N2)( |b n-c n|<ε/2)故{a n}~{b n}~{c n}→(∀n>N1+N2)( |a n-c n|<ε)→{a n}~{c n}.易见{a n}~{b n}→{b n}~{a n}。

6.1.4定义：令R 为A上等价关系，对任何a∈A，a关于R的等价类(equivalent class)[a]R 定义为{b|b∈A∧aRb}，[a]R可简记为[a]。

等价关系与等价类等价关系是数学中一个非常重要的概念，它在代数学、离散数学、关系代数等领域都有广泛的应用。

本文将详细讨论等价关系的定义、性质以及等价类的特点。

一、等价关系的定义等价关系是集合论中的一个概念。

对于给定集合A，若集合A上的二元关系R满足以下三个条件，即称关系R为等价关系：1. 自反性：对于集合A中的任意元素a，有aRa；2. 对称性：对于集合A中的任意元素a和b，若aRb，则bRa；3. 传递性：对于集合A中的任意元素a、b和c，若aRb且bRc，则aRc。

二、等价关系的性质1. 等价关系将集合A划分成了若干个不相交的等价类；2. 对于等价关系R，它的等价类满足以下两个性质：(1) 集合A中的任意元素都属于某一个等价类；(2) 不同的等价类之间是不相交的，即任意两个不同的等价类A和B满足A∩B=∅；3. 对于等价关系R，在每个等价类中，任意两个元素都是相互等价的，即若a和b属于同一个等价类，则aRb。

三、等价类的特点等价类是等价关系的一种划分形式，它具有以下特点：1. 等价类是集合A的一个子集；2. 等价类中的元素都满足相互等价的关系，即集合A中的两个元素属于同一个等价类，当且仅当它们在等价关系R下是等价的；3. 集合A中的元素可以属于多个不同的等价类，但不同的等价类之间是不相交的。

四、等价关系的应用等价关系在数学中具有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 数论中的同余关系：在数论中，我们可以定义模m下的同余关系，对应的等价关系将整数划分成了若干个不相交的等价类；2. 代数学中的等价关系：在代数学中，等价关系被广泛运用于同余、相似等概念的定义中；3. 图论中的等价关系：在图论中，等价关系被用于定义等价图等重要概念；4. 集合运算中的等价关系：等价关系在集合运算、集合论的研究中也具有重要的地位。

综上所述，等价关系是集合论中的一个重要概念，它将原始集合划分成了若干个互不相交的等价类。

等价关系和偏序关系等价关系和偏序关系是数学中常见的两种关系，它们在数学领域和其他学科中都具有重要的应用价值。

本文将从定义、性质和应用等方面，对等价关系和偏序关系进行详细介绍，并希望能够给读者提供一些指导意义。

首先，我们来介绍等价关系。

等价关系是指集合中的元素之间存在一种对等的关系，它可以将集合划分成若干个等价类。

在等价关系中，具有相同特征或性质的元素被划分到同一个等价类中，而具有不同特征或性质的元素则被划分到不同的等价类中。

换句话说，等价关系将集合中的元素划分为互不相交的子集，每个子集都代表一个等价类。

等价关系具有以下性质：1. 自反性：对于任意元素 a，a 和 a 相关。

2. 对称性：如果 a 和 b 相关，则 b 和 a 相关。

3. 传递性：如果 a 和 b 相关，b 和 c 相关，则 a 和 c 相关。

等价关系在数学中有广泛的应用，例如在代数、几何和数论等领域。

在代数中，等价关系可以帮助我们定义等价类，进而对集合进行分类和研究。

在几何中，等价关系可以帮助我们研究和描述图形的对称性质。

在数论中，等价关系可以帮助我们解决一些重要的数学问题，如素数分布等。

接下来，我们来介绍偏序关系。

偏序关系是指集合中的元素之间存在一种偏序的关系，它可以将集合中的元素按照某种方式进行排序。

在偏序关系中，元素的排列顺序可能是不确定的，即两个元素之间可能不存在比较关系。

与等价关系不同，偏序关系不能将集合划分为互不相交的子集，而是通过排序来比较元素之间的关系。

偏序关系具有以下性质：1. 反自反性：对于任意元素 a，a 和 a 不相关。

2. 反对称性：如果 a 和 b 相关且 b 和 a 相关，则 a 和 b 是相同的元素。

3. 传递性：如果 a 和 b 相关，b 和 c 相关，则 a 和 c 相关。

偏序关系在数学中也有广泛的应用，特别是在集合论、拓扑学、优化理论和离散数学等领域。

在集合论中，偏序关系可以帮助我们定义集合的包含关系和子集关系。

六个等价定理等价定理在数学上，等价表示一个集合或空间中两个集合之间可以交换某些量。

在科学上，等价表示一种可逆关系。

本文将为大家介绍六个等价定理。

六个等价定理最常见的形式是： 1。

加法与乘法运算满足等价关系。

2。

两个函数满足等价关系。

即有意义，则必有其逆也有意义。

1。

加法与乘法运算满足等价关系。

(1).(有意义)A+B=B+A(2).(逆定理)如果集合A中所有元素都有意义，那么它们的并集也有意义。

(3).乘法运算满足交换律。

(4).乘法运算满足结合律。

(5).乘法运算满足分配律。

(6).一个集合中任何两个元素都有意义，那么这个集合也必有意义。

2。

两个函数满足等价关系。

(1).对于任何连续函数f：A→B，有： f(A)=f(B)(2).如果两个函数f和g满足等价关系，则：f(A)g(B)当且仅当f(A)g(B)注：以上等价关系仅适用于连续函数的情况。

3。

两条直线相交，则交点为原来两条直线等价的条件不成立。

4。

如果集合A中有无穷多个元素，那么它们的并集A'=A。

3。

如果两个函数满足等价关系，则： f(A)g(B)=f(A)h(B)(在上面的第二定理中出现了2×3=6， 2×2=4， 2×1=2，故该条等价关系成立。

)如果以上三个定理出现在同一集合中，即：(1)a×b=b×a(2)ab=ac(3)abc=acb(注：这种情况下出现了两个并集，故等价关系也成立。

)另外，要证明：(1)ab=ac这一条等价关系成立，需要用到第二定理和结合律，证明较复杂。

但从定理2可以看出，函数a与b 之间有无穷多个对应的函数h(ab)，每一个h(ab)都是有意义的。

而函数h(ab)，除了与函数a有无穷多个对应外，还与它的反函数g(ab)有无穷多个对应，每一个g(ab)都有意义。

即：(2)ab=ac有意义。

6。

集合的等价关系和划分概述在集合论中，等价关系和划分是两个重要的概念。

等价关系是指集合中的元素之间存在一种特定的关系，而划分则是将集合分为不相交的子集合。

本文将对这两个概念进行详细解释和讨论。

等价关系等价关系是一种二元关系，通常用符号“≡”表示。

对于集合A中的元素a和b，如果满足以下三个条件，则称a和b具有等价关系：1. 反身性（Reflexivity）：对于集合A中的任意元素a，a≡a成立。

2. 对称性（Symmetry）：对于集合A中的任意元素a和b，如果a≡b，那么b≡a也成立。

3. 传递性（Transitivity）：对于集合A中的任意元素a、b和c，如果a≡b且b≡c，那么a≡c也成立。

等价关系可以将集合中的元素划分为等价类。

每个等价类包含具有相同等价关系的元素。

等价类之间两两不相交，并且它们的并集等于整个集合。

划分划分是将集合分为不相交的子集合的过程。

对于集合A，如果存在一个集合P，满足以下两个条件，则称P为A的一个划分：1. P中的每个元素都是A中的子集。

2. P中的元素两两不相交，并且它们的并集等于A。

划分可以通过等价关系来构建。

对于集合A中的元素a，可以定义P(a)为包含a的所有等价类组成的集合。

那么P={P(a)|a∈A}就是A的一个划分。

应用和重要性等价关系和划分在数学和计算机科学等领域具有广泛的应用。

它们可以用于建模和解决各种问题，例如图论、数据库设计和自然语言处理等。

在图论中，等价关系可以表示两个节点之间的等价性，从而简化网络分析和图算法的实现。

在数据库设计中，划分可以将数据分为多个不相交的部分，提高查询效率和数据管理的灵活性。

在自然语言处理中，等价关系和划分可以用于语义分析和情感分类等任务。

综上所述，了解和理解集合的等价关系和划分对于理解和应用集合论的相关概念和方法具有重要意义。

结论集合的等价关系和划分是集合论中的重要概念。

等价关系是一种特定的二元关系，可以将集合划分为等价类。

4.4 等价关系与划分等价关系：同时具有自反、对称和传递性。

等价关系是最重要、最常见的二元关系之一。

4.4 等价关系与划分定义4.13设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、对称的和传递的定义4.13，则称R为A上的等价关系。

设R为等价关系，如果<x,y> R，称x等价于y，记作x~y。

例如，实数集上的相等关系、幂集上的各子集间的相等关系，三角形集合上的三角形的相似关系都是等价关系。

因为等价关系是自反、对称和传递的，可以通过关系矩阵和关系图判断某关系是否是等价关系。

设A ={1, 2, …, 8}，A 上的关系R 定义如下：R={<x, y> | x, y ∈A ∧x ≡y(mod 3)}其中x ≡y(mod 3)叫做x 与y 模3相等，即x 除以3的余数与y 除以3的余数相等或x −y 可被3整除。

可以验证R 为A上的等价关系：例4.21 4.4 等价关系与划分（1）自反：∀x∈A，x ≡x(mod 3)，即<x, x>∈R。

（2）对称：∀x, y∈A，若x ≡y(mod 3)即<x, y>∈R，则y ≡x(mod 3)即<y, x>∈R。

（3）传递：∀x, y, z∈A，若x ≡y(mod 3)且y ≡z(mod 3)，则x ≡z(mod 3)。

该关系的关系图如下：Sed ut perspiciatis unde omnis.68%定义4.14设R 为非空集合A 上的等价关系， x ∈A ，令[x]R ={y | y ∈A ∧xRy}称[x]R 为x 关于R 的等价类，简称为x 的等价类，简记为[x]。

x 的等价类就是A 中所有与x 等价的元素构成的集合。

如例4.21中的等价类有：[1] = [4] = [7] = {1, 4, 7}[2] = [5] = [8] = {2, 5, 8}[3] = [6] = {3, 6}4.4 等价关系与划分定理4.144.4 等价关系与划分定理4.19设R 是非空集合A 上的等价关系，则（1）∀x∈A，必定有[x]≠∅且[x]⊆A 。

§1.4等价关系初等数论中的同余类的概念，群论中的商群的概念，乃至于解析几何中的自由向量的概念等等都是读者所熟知的．这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的等价关系的概念．在本书中我们将通过等价关系来定义拓扑空间的商空间．定义1.4.1 设X是一个集合．从集合X到集合X的一个关系将简称为集合X中的一个关系．集合X中的关系{（x，x）|x∈X}称为恒同关系，或恒同，对角线，记作△（X）或△．定义1.4.2 设R是集合X中的一个关系.关系R称为自反的，如果△(X)R，即对于任何x∈X，有xRx；关系R称为对称的，如果，即对于任何x，y∈X，如果xRy则yRx；关系R称为反对称的，如果，即对于任何x，y∈X，xRy和yRx不能同时成立；关系R称为传递的，如果R R R，即对于任何x，y，z∈X，如果xRy，yRz，则有xRz．集合X中的一个关系如果同时是自反、对称和传递的，则称为集合X中的一个等价关系．容易验证集合X中的恒同关系△（X）是自反、对称、传递的,因此是X中的一个等价关系．集合X的幂集P(X)中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“相等关系”可以理解为集合P(X)×P(X)的子集{（A，B）|A，B∈P(X)，A=B}从定理1.1.l中可见，它是自反、对称、传递的，因此是P（X）中的一个等价关系．集合X的幂集P(X)中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“包含关系”可以理解为集合P(X）×P(X)的子集{（A，B）|A，B∈P (X)，A B}根据定理1.1.2可见，它是自反的、传递的，但容易知道它不是对称的，因此不是P(X)中的一个等价关系．集合X的幂集P(X)中两个元素（即集合X的两个子集）之间的“真子集关系”可以理解为集合P(X)×P(X)的子集{(A，B)|A，B∈P(X)，A B,A≠B}根据定理1.1.3可见，它是反对称的，传递的，但它不是自反的，因而不是P(X)中的一个等价关系．实数集合R中有一个通常的小于关系＜，即R×R的子集{（x，y）|x，y∈R，x＜y}容易验证关系＜是反对称的，传递的，但不是自反的．设p是一个素数，我们在整数集合Z中定义一个关系≡p如下：={（x，y）∈Z×Z|存在n∈Z使得x－y=np}关系常称为模p等价关系，容易验证模p等价关系是自反的，对称的，传递的，因此是Z中的一个等价关系．定义1.4.3 设R是集合X中的一个等价关系．集合X中的两个点x，y，如果满足条件：xRy，则称x与y是R等价的，或简称为等价的；对于每一个x∈X，集合X的子集：{y∈X|xRy}称为x的R等价类或等价类，常记作或[x]，并且任何一个y∈都称为R等价类的一个代表元素；集族{| x∈X}称为集合X相对于等价关系R而言的商集，记作X／R．我们考虑整数集合Z中的模2等价关系,易见，13和28．因此1与3是等价的，2和8也是等价的．整数2所属的等价类是所有偶数构成的集合，每一个偶数都可以叫做这个等价类的一个代表元素．此外易见，商集Z/有且仅有两个元素：一个是所有奇数构成的集合，另一个是所有偶数构成的集合．下面这个定理说明，给定了一个等价关系，等于说给定了一个分类的原则，把一个非空集合分割成一些非空的两两无交的等价类，使得这集合的每一个元素都在某一个等价类中.定理1.4.1 设R是非空集合X中的一个等价关系．则：（1）如果x∈X，则x∈，因而；（2）对于任意x，y∈X，或者=，或者证明（1）设x∈X，由于R是自反的，所以xRx，因此x∈,∴≠．（3）对于任意x，y∈X，如果，设z∈[x]∩[y].此时有zRx,且zRy．由于R是对称的，所以xRz．又由于R是传递的，所以xRy．对于任何一个t∈，有tRx，由上述xRy和R的传递性可见tRy，即t∈．这证明同理可证．因此=(注意:要证或者…或者…,应从以下入手:否定掉一个,去证另一个)在初等数论中我们早就知道整数模（素数）p的等价关系将整数集合Z分为互不相交的等价类，每一个等价类记作，称为整数x的模p同余类．让我们再回忆一下在解析几何学中定义自由向量的过程：首先将固定向量定义为平面（或n维欧氏空间）中的有序偶；然后在全体固定向量构成的集合（暂时记为X）中定义一个关系～，使得两个固定向量x和y～相关（即x～y）当且仅当x能通过平面（或n维欧氏空间）的一个平移与y重合．容易验证这个关系～是X中的一个等价关系．每一个～等价类便称为一个自由向量．作业:熟练掌握等价关系,等价类的概念.掌握商集的概念.明确商集的构成••••••••••••••••••【唯美句子】走累的时候，我就到升国旗哪里的一角台阶坐下，双手抚膝，再闭眼，让心灵受到阳光的洗涤。