2014届高考数学 2-1-3~4空间中直线与平面之间的位置关系平面与平面之间的位置关系配套课件 新人教A版必修2

①先画表示两个平面的平行四边形的相交两边，如图(a)． ②再画出表示两个平面交线的线段，如图(b)． ③过图(b)中线段的端点分别引线段， 使它们平行于图(b)中表示 交线的线段，如图(c)． ④画出图(c)中表示两个平面的平行四边形的第四边 (被遮住的 线，可以画成虚线，也可以不画)，如图(d)．
(1)画直线 a 在平面 α 内时，表示直线 a 的直线只能
在表示平面 α 的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边 形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是 无限延展而没有边界的， 因而这条直线不可能有某部分在其外． (2)在画直线 a 与平面 α 相交时，表示直线 α 的直线必须有部分 在表示平面 α 的平行四边形之外，这样做既能与表示直线在平 面内的图形区分开来，又使之具有较强的立体感，注意此时被 平面遮住的部分必须画成虚线．
【题后反思】 把自然语言转化为图形语言， 弄清图形间的相对 位置是确定的还是可变的，借助于空间想象能力，从而确定平 面间的位置关系．
【变式 3】 已知下列命题： ①两平面 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a∥b；②若两个平面 α∥β， a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 是异面直线； ③若两个平面 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 一定不相交； ④若两个平面 α∥β，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 平行或异面； ⑤若两个平面 α∩β＝b，a⊂α，则 a 与 β 一定相交． 其中正确命题的序号是 ________(将你认为正确的命题的序号 都填上)．
解析 如图， 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， 对于①， 在平面 A1D1DA 中，AD∥平面 A1B1C1D1，分别取 AA1、DD1 的中点 E，F，连 接 EF， 则知 EF∥平面 A1B1C1D1.但平面 AA1D1D 与平面 A1B1C1D1 是相交的，交线为 A1D1，故命题①错．
题型三
平面与平面位置关系的判断 )．
【例 3】 在以下四个命题中，正确的命题是(
①平面 α 内有两条直线和平面 β 平行，那么这两个平面平行； ②平面 α 内有无数条直线和平面 β 平行，则 α 与 β 平行；③平 面 α 内△ABC 的三个顶点到平面 β 的距离相等， 则 α 与 β 平行； ④平面 α 内的两条相交直线和平面 β 内的两条相交直线分别平 行，则 α 与 β 平行． A．③④ B．②④ C．②③④ D．④
题型一 直线与平面、平面与平面位置关系的画法 【例 1】 指出图中的图形画法是否正确，若不正确，请你画出 正确图形．
[思路探索] 立体几何作图不仅要直观，而且要按照一定规则， 作图时要注意看见的画实线，遮住看不见的画虚线或不画．
解
(1)(2)(3)(4)的图形画法都不确，正确画法如图所示．
规律方法
对于②， 在正方体 ABCDA1B1C1D1 的面 AA1D1D 中， 与 AD 平行 的直线有无数条，但平面 AA1D1D 与平面 A1B1C1D1 不平行，而 是相交于直线 A1D1，故②是错误的． 对于③，在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，分别取 AA1，DD1， BB1， CC1 的中点 E，F，G，H，A1，B，C 到平面 EFHG 的距离相等， 而△A1BC 与平面 EFHG 相交，故③是错误的． 命题④是正确的，故选 D. 答案 D
解析
①错，a 与 b 也可能异面．②错，a 与 b 也可能平行．
③对，∵α∥β，∴α 与 β 无公共点．又∵a⊂α，b⊂β，∴a 与 b 无公共点．④对，由已知及③知：a 与 b 无公共点，那么 a∥b 或 a 与 b 异面．⑤错，a 与 β 也可能平行． 答案 ③④
方法技巧
用反证法证明线面关系
如图(2)，取 AD，BC 的中点为 E，F，A1D1，B1C1 的中点为 G， H，连接 EF、FH、HG、GE， ∵E，F，H，G 分别为 AD，BC，B1C1，A1D1 的中点， ∴可以证明 EFHG 为平行四边形，且该截面恰好把正方体一分 为二，A，D 两个点到该截面的距离相等，且 AD∩平面 EFHG ＝E，
2．两个平面的位置关系 位置关系 平面α与平面β 图形表示 符号表示 α∥β 公共点 没有公共点 有一条公共直 线
平行
平面α与平面β 相交
α∩β＝l
想一想：若平面 α 与平面 β 平行，直线 a⊂α，直线 b⊂β，那么 a 与 b 的位置关系是什么？ 提示 ∵α∥β，a⊂α，b⊂β，所以 a 与 b 无公共点，故 a 与 b 可能平行也可能异面．如图(1)、(2)．
自学导引 1．直线与平面的位置关系
直线与平面 的位置关系 直线在 平面内
定义
图形语言
符号语言
a⊂α
有无数个公共点
直线与 平面相交 有且只有一个公共点
a∩α＝A
直线与 平面平行
没有公共点
a∥α
想一想：若直线 a 与平面 α 平行，是不是平面 α 内的所有直线 都与 a 平行？ 提示 不是，若 a∥α，在平面 α 内的直线可能与 a 平行，也可 能与 a 异面．
解析 对于①，直线与平面平行，只是说明直线与平面没有公 共点，也就是直线与平面内的直线没有公共点，没有公共点的 两条直线其位置关系除了平行之外，还有异面，如图(1)．正方 体 ABCD-A1B1C1D1，A1B1∥平面 ABCD，A1B1 与 BC 的位置关 系是异面， 并且容易知道， 异面直线 A1B1 与 BC 所成的角为 90° ， 因此①是错误的． 对于③，如图(1)，∵A1B1∥AB，
到目前为止，我们认识了线线关系、线面关系和面面关系，但 是我们只知道定义，没有充足的公理、定理可用，所以在证明 有些结论时可以利用反证法．
【示例】 如果一条直线经过平面内的一点， 又经过平面外的一 点，则此直线和平面相交． 已知：A∈α，A∈a，B∉α，B∈a. 求证：直线 a 与平面 α 相交 [思路分析] 问题的实质就是证明直线 a 与平面 α 除点 A 以外， 不存在其他公共点，于是有下面的证明思路：反证法．
解
题型二 直线与平面的位置关系 【例 2】 下列说法中正确的个数为( )．
①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意 一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线 与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直 线与平面平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等， 则这条直线平行于这个平面． A．0 B．1 C．2 D．3 [ 思路探索 ] 解答本题要牢牢抓住直线和平面的三种位置关系 的特征．结合相关图形，依据位置关系的定义作出判断．
2．两个平面的位置关系 (1)两个平面的位置关系：两个平面的位置关系同平面内两条直 线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分．如果两个平 面有一个公共点，那么由公理 3 可知：这两个平面相交于过这 个点的一条直线；如果两个平面没有公共点，那么就说这两个 平面互相平行．
(2)两个平面位置关系的画法：两个平行平面的画法：画两个平 行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行， 如图(1)，而图(2)的画法是不恰当的． 两个相交平面的画法：
名师点睛 1．直线和平面的位置关系 直线和平面平行 按公共点 直线和平面相交 (1) 个数分类直线和平面不平行 直线在平面内
直线在平面内 直线和平面相交 (2)按是否在平面内分类 直线不在平面内 直线和平面平行 特别指出：在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直 线和平面相交，统称直线在平面外，我们统一用符号 a⊄α 来表 示 a∥α，a∩α＝A 这两种情形．
中，AB∥CD，AB⊂平面 ABCD，但 CD⊂平面 ABCD，故①错误；A′B′∥平面 ABCD，B′C′ ∥平面 ABCD ，但 A′B′与 B′C′相交，故②错误；AB∥ A′B′，A′B′∥平面 ABCD，但 AB⊂平面 ABCD，故③错 误； A′B′∥平面 ABCD， BC⊂平面 ABCD， 但 A′B′与 BC 异面， 故④错误． 答案 A
审题指导 构造相关图形， 利用空间图形的形象、 直观来说明两 个平面的位置关系，说服力强，令人信服，需要注意的是在作 图时必须把问题涉及的各种情况都考虑清楚，而无遗漏．利用 正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判定与两个平面的 位置关系有关命题的真假，因此我们要灵活地运用这个“百宝 箱”来判定两个平面的位置关系．另外，像判定直线与直线、 直线与平面的位置关系一样，反证法也是判定两个平面的位置 关系的有效方法，特别是在刚刚接触它之时．
(1)
A1D1∥AD，且 AD，AB⊂平面 ABCD，A1D1、A1B1⊄平面 ABCD， ∴A1B1∥平面 ABCD， A1D1∥平面 ABCD，可以说明过平面外一点不只有一条直线与 已知平面平行， 而是有无数多条， 可以想象， 经过平面 A1B1C1D1 内一点 A1 的任一条直线， 与平面 ABCD 的位置关系都是平行的． ∴③也是错误的．对于④，我们可以继续借助正方体 ABCDA1B1C1D1 来举反例，
(2)
∴④也是错误的． 对于②，把一直角三角板的一直角边放在桌面内，让另一直角 边抬起，即另一直角边与桌面的位置关系是相交， 可以得出在桌面内与直角边所在的直线平行的直线与另一直角 边垂直， ∴说法正确的个数只有一个． 答案 B
规律方法
解决此类问题，首先要正确理解直线与平面的三种
位置关系的定义，再结合相关图形求解．正方体 (长方体)是立 体几何中的重要模型，直线与平面的位置关系都可以在这个模 型中得到反映．
(3)画直线与平面平行时，最直观的图形是表示直线的直线画在 表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行． (4)画两个平行平面时，要注意把表示平面的平行四边形画成对 应边平行．
【变式 1】 作出下列各小题的图形． (1)画直线 a、b，使 a∩α＝A，b∥α； (2)画平面 α、β、γ，使 α∥β，γ∩α＝m，γ∩β＝n； (3)画平面 α、β，直线 a、b，使 α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，且 a∥β， b∩α＝B.