2014年全国新课标1数学文科试题解析
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2014年普通高等学校招生全国统一考试(课标I 文科卷)数学(文科)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ,则MB =( )A. )1,2(-B. )1,1(-C. )3,1(D. )3,2(- (2)若0tan >α,则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α (3)设i iz ++=11,则=||z A. 21 B. 22 C. 23 D. 2(4)已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2,则=a A. 2 B.26 C. 25D. 1 (5)设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,则下列结论中正确的是A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数 (6)设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点,则=+ A. AD B.AD 21 C. BC 21D. BC (7)在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y = ,③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中,最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③8.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱9.执行右面的程序框图,若输入的,,a b k分别为1,2,3,则输出的M ( )A.203B.72C.165D.15810.已知抛物线C :x y =2的焦点为F ,()y x A 00,是C 上一点,zxxk x F A 045=,则=x 0( )A. 1B. 2C. 4D. 8(11)设x ,y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7,则a =(A )-5 (B )3 (C )-5或3 (D )5或-3(12)已知函数32()31f x ax x =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值 范围是(A )()2,+∞ (B )()1,+∞ (C )(),2-∞- (D )(),1-∞-第II 卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分(13)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为________.(14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、zxxk C 三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市; 乙说:我没去过C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为________.(15)设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.(16)如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒,C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒;从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =,则山高MN =________m.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)已知{}n a 是递增的等差数列,2a ,4a 是方程2560x x -+=的根。
2014年高考文科数学试题全国新课标Ⅰ逐题详解(纯word解析版)第Ⅰ卷一.选择题:共12小题,每小题5分,共60分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。
【2014年全国新课标Ⅰ(文01)】已知集合M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1},则M∩N=()A.(﹣2,1)B.(﹣1,1)C.(1,3) D.(﹣2,3)【答案】:B【解析】:M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1},则M∩N={x|﹣1<x<1}【2014年全国新课标Ⅰ(文02)】若tanα>0,则()A.sinα>0 B.cosα>0 C.sin2α>0 D.cos2α>0【答案】:C【解析】∵tanα>0,∴,则sin2α=2sinαcosα>0【2014年全国新课标Ⅰ(文03)】设z=+i,则|z|=()A.B.C.D.2【答案】:B【解析】:z=+i=+i=.故|z|==.【2014年全国新课标Ⅰ(文04)】已知双曲线﹣=1(a>0)的离心率为2,则a=()A.2B.C.D.1【答案】:D【解析】:双曲线的离心率e==2,解答a=1【2014年全国新课标Ⅰ(文05)】设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数【答案】:C【解析】:f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴|f(x)|为偶函数,|g(x)|为偶函数.再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数,可得 f(x)|g(x)|为奇函数,【2014年全国新课标Ⅰ(文06)】设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=()A.B.C.D.【答案】:A【解析】:D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,∴+=(+)+(+)=+=(+)=【2014年全国新课标Ⅰ(文07)】在函数①y=cos丨2x丨,②y=丨cosx丨,③y=cos (2x+)④y=tan(2x﹣)中,最小正周期为π的所有函数为()A.①②③B.①③④C.②④D.①③【答案】:A【解析】:函数①y=cos丨2x 丨的最小正周期为=π,②y=丨cosx 丨的最小正周期为=π,③y=cos(2x+)的最小正周期为=π,④y=tan(2x ﹣)的最小正周期为【2014年全国新课标Ⅰ(文08)】如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱【答案】:B【解析】:根据网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,可知几何体是三棱柱.【2014年全国新课标Ⅰ(文09)】执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=()A.B.C.D.【答案】:D【解析】:由程序框图知:第一次循环M=1+=,a=2,b=,n=2;第二次循环M=2+=,a=,b=,n=3;第三次循环M=+=,a=,b=,n=4.不满足条件n≤3,跳出循环体,输出M=【2014年全国新课标Ⅰ(文10)】已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|=x0,x0=()A. 1 B. 2 C. 4 D.8【答案】:A【解析】:由抛物线的定义,可得|AF|=x0+,∵|AF|=x0,∴x0+=x0,∴x0=1【2014年全国新课标Ⅰ(文11)】设x,y满足约束条件,且z=x+ay的最小值为7,则a=()A.﹣5 B. 3 C.﹣5或3 D.5或﹣3【答案】:B【解析1】:由约束条件作可行域如图,联立,解得.∴A().当a=0时A为(),z=x+ay的最小值为,不满足题意;当a<0时,由z=x+ay得,要使z最小,则直线在y轴上的截距最大,满足条件的最优解不存在;当a>0时,由z=x+ay得,由图可知,当直线过点A时直线在y轴上的截距最小,z最小.此时z=,解得:a=3或a=﹣5(舍)【2014年全国新课标Ⅰ(文12)】已知函数f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(﹣∞,﹣2)D.(﹣∞,﹣1)【答案】:C【解析】:当a=0时,f(x)=﹣3x2+1=0,解得x=,函数f(x)有两个零点,不符合题意,应舍去;当a>0时,令f′(x)=3ax2﹣6x=3ax=0,解得x=0或x=>0,列表如下: x(﹣∞,0)0f′(x)+ 0﹣ 0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→+∞,f(x)→+∞,而f(0)=1>0,∴存在x<0,使得f(x)=0,不符合条件:f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,应舍去.当a<0时,f′(x)=3ax2﹣6x=3ax=0,解得x=0或x=<0,列表如下:x (﹣∞,)0(0,+∞)f′(x)﹣ 0+ 0﹣f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f(0)=1>0,x→+∞时,f(x)→﹣∞,∴存在x0>0,使得f(x0)=0,∵f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,∴极小值=,化为a2>4,∵a<0,∴a<﹣2.综上可知:a的取值范围是(﹣∞,﹣2)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
学校:2014年全国高考数学卷文科卷1姓名: 班级: 考号:、选择题(题型注释)1.已知集合M x|x| 2 xA. ( 2,1) B. 1,1) C.(1,3)D. 2,3)2 .若tanA. sin B. cos 0 C. sin 2 D.cos2 03.设z ,则|z|B . C. .32D. 24.已知双曲线2 2x ya2 31(a 0)的离心率为2,则aA. 2B. .62C. D. 15 .设函数f(x), g(x)的定义域为R ,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是A. f(x)g(x)是偶函数B.| f(x)| g(x)是奇函数C. f (x) | g(x) |是奇函数D. | f (x)g(x)|是奇函数6.设D,E,F分别为ABC的三边BC,CA,AB的中点,贝U EB FC A. ADB. !ADC.27 .在函数①y cos | 2x | ,丄 BC D.2BCy |cosx |,③ y cos(2x 6),④ y tan(2x;)中,最小正周期为的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③8.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几何体是(9.执行右面的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M ()A. 20B. 7C. 16D. 153 2 5 810.已知抛物线c:y2 x的焦点为F, A xo,y o是C上一点,|AF |x o,则X。
()A. 1B. 2C. 4D. 811 •已知函数f(x) ax3 3x2 1,若f(x)存在唯一的零点X0,且X0 0,则a的取值范围是(A) 2, (B) 1, (C) , 2 (D) , 1、填空题(题型注释)12.设x , y满足约束条件x y a,且z x ay的最小值为7,则ax y 1,(A) -5(B) 3(C) -5 或3(D) 5 或-313.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为________ .14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A、B、C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市;由此可判断乙去过的城市为________ .e x 1,x 1,15 .设函数f x 1 则使得f x 2成立的x的取值范围是_______________________ .x3,x 1,16.如图,为测量山高MN ,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN 60 , C点的仰角CAB 45以及MAC 75 ;从C点测得MCA 60 .已知山高BC 100m,则山高MN三、解答题(题型注释)17•已知a n 是递增的等差数列,32 , 34是方程X 2 5X 6 0的根。
数学试卷 第1页(共39页) 数学试卷 第2页(共39页) 数学试卷 第3页(共39页)绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)文科数学使用地区:河南、山西、河北注意事项:1.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页.2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|13}M x x =-<<,{|21}N x x =-<<,则M N = ( ) A .(2,1)- B .(1,1)- C .(1,3) D .(2,3)-2.若tan 0α>,则( )A . sin 0α>B .cos 0α>C . sin20α>D .cos20α> 3.设1i 1iz =++,则|z |=( )A .12B .22 C .32D .24.已知双曲线2221(0)3x y a a -=>的离心率为2,则a = ( )A .2B .62C .52D .1 5.设函数()f x ,()g x 的定义域都为R ,且()f x 是奇函数,()g x 是偶函数,则下列结论中正确的是( )A .()f x ()g x 是偶函数B .|()|f x ()g x 是奇函数C .()f x |()|g x 是奇函数D .|()()|f x g x 是奇函数6.设D ,E ,F 分别为ABC △的三边BC ,CA ,AB 的中点,则EB FC += ( )A .ADB .12AD C .BCD .12BC 7.在函数①cos |2|y x =,②|cos |y x =,③πcos(2)6y x =+,④πtan(2)4y x =-中,最小正周期为π的所有函数为( )A .①②③B .①③④C .②④D .①③8.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )A .三棱锥B .三棱柱C .四棱锥D .四棱柱 9.执行如图的程序框图,若输入的a ,b ,k 分别为1,2,3.则输出的M =( )A .203B .72C .165D .15810.已知抛物线C :2y x =的焦点为F ,00(,)A x y 是C 上一点,05||4AF x =,则0x = ( )A .1B .2C .4D .811.设x ,y 满足约束条件,1,x y a x y +⎧⎨--⎩≥≤且z x ay =+的最小值为7,则a =( )A .5-B .3C .5-或3D .5或3-12.已知函数32()31f x ax x =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值范围是( )A .(2,)+∞B .(1,)+∞C .(,2)-∞-D .(,1)-∞-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为 .14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ,B ,C 三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市;乙说:我没去过C 城市;丙说:我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为 .15.设函数113e ,1,(),1,x x f x x x -⎧⎪=⎨⎪⎩<≥则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是 .16.如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=,C 点的仰角45CAB ∠=以及75MAC ∠=;从C 点测得60MCA ∠=.已知山高100BC = m ,则山高MN = m .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知{}n a 是递增的等差数列,2a ,4a 是方程2560x x -+=的根. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求数列{}2nn a 的前n 项和.姓名________________ 准考证号_____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页(共39页) 数学试卷 第5页(共39页) 数学试卷 第6页(共39页)18.(本小题满分12分)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结(Ⅰ)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:(Ⅱ)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(Ⅲ)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?19.(本小题满分12分)如图,三棱柱111ABC A B C -中,侧面11BB C C 为菱形,1B C 的中点为O ,且AO ⊥平面11BB C C .(Ⅰ)证明:1B C AB ⊥;(Ⅱ)若1AC AB ⊥,160CBB ∠=,1BC =,求三棱柱111ABC A B C -的高.20.(本小题满分12分)已知点(2,2)P ,圆C :2280x y y +-=,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点. (Ⅰ)求M 的轨迹方程;(Ⅱ)当||||OP OM =时,求l 的方程及POM △的面积.21.(本小题满分12分)设函数21()ln (1)2a f x a x x bx a -=+-≠,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为0.(Ⅰ)求b ;(Ⅱ)若存在01x ≥,使得0()1af x a <-,求a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,四边形ABCD 是O 的内接四边形,AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ,且CB CE =.(Ⅰ)证明:D E ∠=∠;(Ⅱ)设AD 不是O 的直径,AD 的中点为M ,且MB MC =,证明:ADE △为等边三角形.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C :22149x y +=,直线l :2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数). (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(Ⅱ)过曲线C上任意一点P 作与l 夹角为30的直线,交l 于点A ,求||PA 的最大值与最小值.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲若0a >,0b >,且11a b+=(Ⅰ)求33a b +的最小值;(Ⅱ)是否存在a ,b ,使得236a b +=?并说明理由.3 / 132014年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷1)文科数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】B【解析】根据集合的运算法则可得:{|11}MN x x =-<<,即选B .【提示】集合的运算用数轴或者Venn 图可直接计算。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(文科)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}{}|13,|21M x x N x x =-<<=-<<,则M N =I ( ) A. )1,2(- B. )1,1(- C. )3,1( D. )3,2(-22112||()()222z =+-=.考点:复数的运算4.已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2,则=a A. 2 B.26 C. 25D. 16.设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点,则=+FC EB A.AD B. 21 C. 21D. 【答案】A 【解析】试题分析:根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得:在BEF ∆中,12EB EF FB EF AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,同理12FC FE EC FE AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,则11111()()()()22222EB FC EF AB FE AC AB AC AB AC AD+=+++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r . 考点:向量的运算7.在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y = ,③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中,最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③8.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱考点:三视图的考查9.执行右面的程序框图,若输入的,,a b k分别为1,2,3,则输出的M ( )A.203B.72C.165D.15810.已知抛物线C :x y =2的焦点为F ,()y x A 0,是C 上一点,x F A 045=,则=x 0( )A. 1B. 2C. 4D. 8考点:线性规划的应用12.已知函数32()31f x ax x =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值范围是()2,+∞ (B )()1,+∞ (C )(),2-∞- (D )(),1-∞-第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题4分,满分16分,将答案填在答题纸上)13.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为________. 【答案】23【解析】试题分析:根据题意显然这是一个古典概型,其基本事件有:数1,数2,语; 数1,语,数2;数2,数1,语; 数2,语,数1;语,数2,数1; 语,数1,数2共有6种,其中2本数学书相邻的有4种,则其概率为:42P 63==. 考点:古典概率的计算14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市; 乙说:我没去过C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为________. 【答案】A 【解析】试题分析:根据题意可将三人可能去过哪些城市的情况列表如下:可以得出结论乙去过的城市为:A . 考点:命题的逻辑分析15.设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.【答案】(,8]-∞ 【解析】试题分析:由于题中所给是一个分段函数,则当1x <时,由12x e -≤,可解得:1ln 2x ≤+,则此时:1x <;当1x ≥时,由132x ≤,可解得:328x ≤=,则此时:18x ≤≤,综合上述两种情况可得:(,8]x ∈-∞考点:1.分段函数;2.解不等式16.如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒,C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒;从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =,则山高MN =________m.【答案】150 【解析】试题分析:根据题意,在ABC ∆中,已知0045,90,100CAB ABC BC ∠=∠==,易得:1002AC =;在AMC ∆中,已知0075,60,1002MAC MCA AC ∠=∠==易得:045AMC ∠=,由正弦定理可解得:sin sin AC AM AMC ACM =∠∠,即:10023100322AM ==;在AMN ∆中,已知0060,90,1003MAN MNA AM ∠=∠==150MN m =.考点:1.空间几何体;2.仰角的理解;3.解三角形的运用三、解答题 (本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知{}n a 是递增的等差数列,2a ,4a 是方程2560x x -+=的根。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标Ⅰ卷)数学试题(文科)解析版D8.如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几何体是( )A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱【答案】:B【解析】:根据所给三视图易知,对应的几何体是一个横放着的三棱柱. 选B9.执行下图的程序框图,若输入的,,a b k 分别为1,2,3,则输出的M =A.203 B .165 C .72 D .158【答案】:D【解析】:输入1,2,3a b k ===;1n =时:1331,2,222M a b =+===; 2n =时:28382,,3323M a b =+===;3n =时:3315815,,28838M a b =+===; 4n =时:输出158M = . 选D.10.已知抛物线C :xy=2的焦点为F ,()y x A 0,是C 上一点,x F A 045=,则=x 0( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】:A【解析】:根据抛物线的定义可知001544AF xx =+=,解之得01x =. 选A.11.设x ,y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7,则a = (A )-5(B )3 (C)-5或3(D )5或-3 【答案】:B【解析】:画出不等式组对应的平面区域, 如图所示.在平面区域内,平移直线0x ay +=,可知在点 A 11,22a a -+⎛⎫⎪⎝⎭处,z 取得最值,故117,22a a a -++=解之得a = -5或a = 3.但a = -5时,z 取得最大值,故舍去,答案为a = 3. 选B.(12)已知函数32()31f x axx =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且0x>,则a 的取值 范围是(A )()2,+∞ (B )()1,+∞ (C )(),2-∞- (D )(),1-∞- 【答案】:C【解析1】:由已知0a ≠,2()36f x axx'=-,令()0f x '=,得0x =或2x a =,当0a >时,()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; 且(0)10f =>,()f x 有小于零的零点,不符合题意。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(大纲全国卷)数学(文科)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},则M∩N中元素的个数为().A.2B.3C.5D.7【答案】B【解析】∵M={1,2,4,6,8},N={1,2,3,5,6,7},∴M∩N={1,2,6},∴M∩N中元素的个数为3,故选B.2.已知角α的终边经过点(-4,3),则cosα=().A.45B.35C.- 35D.- 45【答案】D【解析】设角α的终边上点(-4,3)到原点O的距离为r,则r=√(-4)2+32=5,∴由余弦函数的定义,得cosα=xr =-45,故选D.3.不等式组{x(x+2)>0,|x|<1的解集为().A.{x|-2<x<-1}B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1}D.{x|x>1} 【答案】C【解析】{x(x+2)>0,①|x|<1,②由①得,x<-2或x>0,由②得,-1<x<1,因此原不等式组的解集为{x|0<x<1},故选C.4.已知正四面体ABCD中,E是AB的中点,则异面直线CE与BD所成角的余弦值为().A.16B.√36C.13D.√33【答案】B【解析】如图所示,取AD的中点F,连EF,CF,则EF∥BD, ∴异面直线CE与BD所成的角即为CE与EF所成的角∠CEF.由题知,△ABC ,△ADC 为正三角形,设AB=2,则CE=CF=√3,EF=12BD=1.∴在△CEF 中,由余弦定理, 得cos ∠CEF=CE 2+EF 2-CF 22CE·EF=√3)22√3)22×√3×1=√36,故选B .5.函数y=ln(√x 3+1)(x>-1)的反函数是( ). A .y=(1-e x )3(x>-1) B .y=(e x -1)3(x>-1) C .y=(1-e x )3(x ∈R ) D .y=(e x -1)3(x ∈R ) 【答案】D【解析】由y=ln(√x 3+1),得e y =√x 3+1,∴√x 3=e y -1,x=(e y -1)3,∴f -1(x )=(e x -1)3. ∵x>-1,∴y ∈R ,即反函数的定义域为R . ∴反函数为y=(e x -1)3(x ∈R ),故选D .6.已知a ,b 为单位向量,其夹角为60°,则(2a -b )·b =( ). A .-1 B .0 C .1 D .2 【答案】B【解析】由已知得|a |=|b |=1,<a ,b >=60°,∴(2a -b )·b =2a ·b -b 2=2|a ||b |cos <a ,b >-|b |2 =2×1×1×cos 60°-12=0,故选B .7.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( ).A .60种B .70种C .75种D .150种 【答案】C【解析】从6名男医生中选出2名有C 62种选法,从5名女医生中选出1名有C 51种选法,故共有C 62·C 51=6×52×1×5=75种选法,选C .8.设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=3,S 4=15,则S 6=( ). A .31 B .32 C .63 D .64 【答案】C【解析】∵S 2=3,S 4=15,∴由等比数列前n 项和的性质,得S 2,S 4-S 2,S 6-S 4成等比数列, ∴(S 4-S 2)2=S 2(S 6-S 4),即(15-3)2=3(S 6-15),解得S 6=63,故选C .9.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点为F 1,F 2,离心率为√33,过F 2的直线l 交C 于A ,B 两点.若△AF 1B 的周长为4√3,则C 的方程为( ). A .x 23+y 22=1 B .x 23+y 2=1 C .x 212+y 28=1 D .x 212+y 24=1【答案】A 【解析】∵x 2a2+y 2b2=1(a>b>0)的离心率为√33, ∴ca =√33,∴a ∶b ∶c=3∶√6∶√3.又∵过F 2的直线l 交椭圆于A ,B 两点, △AF 1B 的周长为4√3, ∴4a=4√3,∴a=√3. ∴b=√2,∴椭圆方程为x 23+y 22=1,选A .10.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( ). A .81π4B .16πC .9πD .27π4【答案】A【解析】由图知,R 2=(4-R )2+2,∴R 2=16-8R+R 2+2,∴R=94,∴S 表=4πR 2=4π×8116=814π,选A .11.双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离为√3,则C 的焦距等于( ).A .2B .2√2C .4D .4√2 【答案】C【解析】∵e=2,∴ca =2.设焦点F 2(c ,0)到渐近线y=ba x 的距离为√3, 渐近线方程为bx-ay=0,∴√b 2+a 2=√3.∵c 2=a 2+b 2,∴b=√3. 由ca =2,得√c 2-b 2=2,∴c 2c 2-3=4,解得c=2.∴焦距2c=4,故选C .12.奇函数f (x )的定义域为R .若f (x+2)为偶函数,且f (1)=1,则f (8)+f (9)=( ). A .-2 B .-1 C .0 D .1 【答案】D【解析】∵奇函数f (x )的定义域为R ,∴f (-x )=-f (x ),且f (0)=0.∵f (x+2)为偶函数,∴f (-x+2)=f (x+2).∴f [(x+2)+2]=f (-x-2+2)=f (-x )=-f (x ),即f (x+4)=-f (x ). ∴f (x+8)=f [(x+4)+4]=-f (x+4)=-(-f (x ))=f (x ). ∴f (x )是以8为周期的周期函数,∴f (8)=f (0)=0,f (9)=f (8+1)=f (1)=1. ∴f (8)+f (9)=0+1=1.故选D .第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(x-2)6的展开式中x 3的系数为 .(用数字作答) 【答案】-160【解析】由通项公式得T 4=C 63x 6-3(-2)3=-8C 63x 3,故展开式中x 3的系数为-8C 63=-8×6×5×43×2×1=-160.14.函数y=cos 2x+2sin x 的最大值为 . 【答案】32【解析】∵y=cos 2x+2sin x=1-2sin 2x+2sin x=-2(sinx -12)2+32,∴当sin x=12时,y max =32.15.设x ,y 满足约束条件{x -y ≥0,x +2y ≤3,x -2y ≤1,则z=x+4y 的最大值为 .【答案】5【解析】画出x , y 的可行域如图阴影区域.由z=x+4y ,得y= - 14x+z4.先画出直线y=-14x ,再平移直线y=-14x , 当经过点B (1,1)时,z=x+4y 取得最大值为5.16.直线l 1和l 2是圆x 2+y 2=2的两条切线.若l 1与l 2的交点为(1,3),则l 1与l 2的夹角的正切值等于 . 【答案】43【解析】如图所示,设l 1与圆O :x 2+y 2=2相切于点B ,l 2与圆O :x 2+y 2=2相切于点C , 则OB=√2,OA=√10,AB=2√2. ∴tan α=OB AB=√22√2=12.∴tan ∠BAC=tan 2α=2tanα1−tan 2α=2×121−14=43.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n+2=2a n+1-a n +2. (1)设b n =a n+1-a n ,证明{b n }是等差数列; (2)求{a n }的通项公式.分析:本题主要考查等差数列的概念、通项公式以及累加法求数列通项公式.(1)可用定义证明b n+1-b n =2(常数)即可.(2)利用(1)的结果,求出{b n }的通项公式及a n+1-a n 的表达式,再用累加法可求数列{a n }的通项公式.(1)证明:由a n+2=2a n+1-a n +2得a n+2-a n+1=a n+1-a n +2, 即b n+1=b n +2. 又b 1=a 2-a 1=1,所以{b n }是首项为1,公差为2的等差数列. (2)解:由(1)得b n =1+2(n-1),即a n+1-a n =2n-1.于是∑k=1n(a k+1-a k )=∑k=1n(2k-1),所以a n+1-a 1=n 2,即a n+1=n 2+a 1.又a 1=1,所以{a n }的通项公式为a n =n 2-2n+2.18.(本小题满分12分)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知3a cos C=2c cos A , tan A=13,求B.分析:先由已知及正弦定理,将边的关系转化为角的关系,再由同角三角函数基本关系化弦为切,求出tan C.根据三角形内角和定理及两角和的正切公式求出tan B ,即可求角B. 解:由题设和正弦定理得3sin A cos C=2sin C cos A.故3tan A cos C=2sin C ,因为tan A=13,所以cos C=2sin C ,tan C=12. 所以tan B=tan[180°- (A+C )]= - tan(A+C ) =tanA+tanC tanAtanC -1=-1,即B=135°.19.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,点A 1在平面ABC 内的射影D 在AC 上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC 1=2. (1)证明:AC 1⊥A 1B ;(2)设直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离为√3,求二面角A 1-AB-C 的大小.分析:解法一:(1)由已知可证平面AA 1C 1C ⊥平面ABC ,再由面面垂直证线面垂直,利用三垂线定理即得线线垂直.(2)为利用已知,先寻找并证明AA 1与平面BCC 1B 1的距离为A 1E.再由三垂线定理,确定二面角A 1-AB-C 的平面角为∠A 1FD.最后通过解直角三角形求出∠A 1FD 的正切值,即可得出二面角的大小.解法二:建立空间直角坐标系,利用向量知识求解.(1)设出A 1点坐标,确定点及向量坐标,利用数量积为0,证明线线垂直. (2)设法向量,由已知垂直关系,确定坐标.利用向量夹角公式求二面角大小.解法一:(1)证明:因为A 1D ⊥平面ABC ,A 1D ⊂平面AA 1C 1C ,故平面AA 1C 1C ⊥平面ABC. 又BC ⊥AC ,所以BC ⊥平面AA 1C 1C.连结A 1C.因为侧面AA 1C 1C 为菱形,故AC 1⊥A 1C. 由三垂线定理得AC 1⊥A 1B.(2)BC ⊥平面AA 1C 1C ,BC ⊂平面BCC 1B 1, 故平面AA 1C 1C ⊥平面BCC 1B 1.作A 1E ⊥CC 1,E 为垂足,则A 1E ⊥平面BCC 1B 1. 又直线AA 1∥平面BCC 1B 1,因而A 1E 为直线AA 1与平面BCC 1B 1的距离,A 1E=√3. 因为A 1C 为∠ACC 1的平分线,故A 1D=A 1E=√3.作DF ⊥AB ,F 为垂足,连结A 1F.由三垂线定理得A 1F ⊥AB , 故∠A 1FD 为二面角A 1-AB-C 的平面角.由AD=√AA 12-A 1D 2=1得D 为AC 中点,DF=12×AC×BC AB=√55,tan ∠A 1FD=A 1DDF =√15.所以二面角A 1-AB-C 的大小为arctan √15.解法二:以C 为坐标原点,射线CA 为x 轴的正半轴,以CB 的长为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz. 由题设知A 1D 与z 轴平行,z 轴在平面AA 1C 1C 内. (1)证明:设A 1(a ,0,c ),由题设有a ≤2,A (2,0,0),B (0,1,0), 则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2,0,0),AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2,0,c ), AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-4,0,c ),BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ,-1,c ). 由|AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2得√(a -2)2+c 2=2, 即a 2-4a+c 2=0.①于是AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2-4a+c 2=0,所以AC 1⊥A 1B.(2)设平面BCC 1B 1的法向量m =(x ,y ,z ),则m ⊥CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⊥BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 即m ·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0.因CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2,0,c ), 故y=0,且(a-2)x+cz=0.令x=c ,则z=2-a ,m =(c ,0,2-a ),点A 到平面BCC 1B 1的距离为 |CA ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|cos <m ,CA⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|CA ⃗⃗⃗⃗⃗·m||m|=√c 2+(2−a)2= c.又依题设,A 到平面BCC 1B 1的距离为√3,所以c=√3. 代入①解得a=3(舍去)或a=1.于是AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,√3). 设平面ABA 1的法向量n =(p ,q ,r ), 则n ⊥AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,即n ·AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, -p+√3r=0,且-2p+q=0.令p=√3,则q=2√3,r=1,n =(√3,2√3,1). 又p =(0,0,1)为平面ABC 的法向量, 故cos <n ,p >=n·p |n||p|=14.所以二面角A 1-AB-C 的大小为arccos 14.20.(本小题满分12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立. (1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k 的最小值.分析:(1)先用字母表示各事件,再由互斥与独立事件的概率可求.(2)由(1)分析k 的可能取值情况,比较即得结果.解:记A i 表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备,i=0,1,2,B 表示事件:甲需使用设备,C 表示事件:丁需使用设备,D 表示事件:同一工作日至少3人需使用设备,E 表示事件:同一工作日4人需使用设备,F 表示事件:同一工作日需使用设备的人数大于k. (1)D=A 1·B ·C+A 2·B+A 2·B ·C ,P (B )=0.6,P (C )=0.4,P (A i )=C 2i×0.52,i=0,1,2,所以P (D )=P (A 1·B ·C+A 2·B+A 2·B ·C )=P (A 1·B ·C )+P (A 2·B )+P (A 2·B ·C )=P (A 1)P (B )P (C )+P (A 2)P (B )+P (A 2)P (B )P (C ) =0.31.(2)由(1)知,若k=2,则P (F )=0.31>0.1. 又E=B ·C ·A 2,P (E )=P (B ·C ·A 2)=P (B )P (C )P (A 2)=0.06. 若k=3,则P (F )=0.06<0.1. 所以k 的最小值为3.21.(本小题满分12分)函数f (x )=ax 3+3x 2+3x (a ≠0). (1)讨论f (x )的单调性;(2)若f (x )在区间(1,2)是增函数,求a 的取值范围.分析:(1)由于导函数的判别式含参数a ,因此要根据导数值的正负判断单调性,需对a 进行分类讨论.当判别式为正时,导函数有两根,为比较两根的大小,需对a 进行二重讨论.(2)根据f (x )在(1,2)上是增函数可列出关于a 的不等式,注意对a>0或a<0进行讨论. 解:(1)f'(x )=3ax 2+6x+3,f'(x )=0的判别式Δ=36(1-a ).①若a ≥1,则f'(x )≥0,且f'(x )=0当且仅当a=1,x=-1. 故此时f (x )在R 上是增函数.②由于a ≠0,故当a<1时,f'(x )=0有两个根: x 1=-1+√1−aa,x 2=-1-√1−aa.若0<a<1,则当x ∈(-∞,x 2)或x ∈(x 1,+∞)时f'(x )>0, 故f (x )分别在(-∞,x 2),(x 1,+∞)是增函数; 当x ∈(x 2,x 1)时f'(x )<0,故f (x )在(x 2,x 1)是减函数; 若a<0,则当x ∈(-∞,x 1)或(x 2,+∞)时f'(x )<0, 故f (x )分别在(-∞,x 1),(x 2,+∞)是减函数; 当x ∈(x 1,x 2)时f'(x )>0,故f (x )在(x 1,x 2)是增函数.(2)当a>0,x>0时,f'(x )=3ax 2+6x+3>0,故当a>0时,f (x )在区间(1,2)是增函数. 当a<0时,f (x )在区间(1,2)是增函数当且仅当f'(1)≥0且f'(2)≥0,解得 - 54≤ a<0.综上,a 的取值范围是[-54,0)∪(0,+∞).22.(本小题满分12分)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点为F ,直线y=4与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且|QF|=54|PQ|. (1)求C 的方程;(2)过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,若AB 的垂直平分线l'与C 相交于M ,N 两点,且A ,M ,B ,N 四点在同一圆上,求l 的方程.分析:(1)设出Q 点坐标,利用|QF|=54|PQ|列出关于p 的方程,借助于p 的几何意义及抛物线的性质确定p.(2)通过题设分析判断直线l 与x 轴不垂直.因直线l 过F (1,0),可设l 的方程为x=my+1(m ≠0).直线l 方程与抛物线方程联立,利用韦达定理得到y 1+y 2,y 1y 2关于m 的表达式,借助弦长公式得|AB|=√m 2+1|y 1-y 2|(其中A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)),同理可得|MN|=√1+1m |y 3-y 4|(其中M (x 3,y 3),N (x 4,y 4)).由题目中的A ,M ,B ,N 四点在同一圆上得到关于m 的方程,进而求出m ,得到直线l 的方程.解:(1)设Q (x 0,4),代入y 2=2px 得x 0=8p .所以|PQ|=8p ,|QF|=p2+x 0=p2+8p . 由题设得 p2+8p=54×8p,解得p=-2(舍去)或p=2. 所以C 的方程为y 2=4x. (2)依题意知l 与坐标轴不垂直, 故可设l 的方程为x=my+1(m ≠0). 代入y 2=4x 得y 2-4my-4=0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4. 故AB 的中点为D (2m 2+1,2m ), |AB|=2+1|y 1-y 2|=4(m 2+1).又l'的斜率为-m ,所以l'的方程为x=-1m y+2m 2+3. 将上式代入y 2=4x ,并整理得y 2+4m y-4(2m 2+3)=0. 设M (x 3,y 3),N (x 4,y 4),则y 3+y 4=-4m ,y 3y 4=-4(2m 2+3). 故MN 的中点为E (2m 2+2m 2+3,−2m ), |MN|=√1+1m 2|y 3-y 4|=4(m 2+1)√2m 2+1m .由于MN 垂直平分AB ,故A ,M ,B ,N 四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=12|MN|, 从而14|AB|2+|DE|2=14|MN|2,即4(m 2+1)2+(2m +2m )2+(2m 2+2)2=4(m 2+1)2(2m 2+1)m 4,化简得m 2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(文科含答案) 1.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
(1)已知集合{}{}12|,31|≤≤-=≤≤-=x x B x x M ,则MB =( )A. )1,2(-B. )1,1(-C. )3,1(D. )3,2(- (2)若0tan >α,则A. 0sin >αB. 0cos >αC. 02sin >αD. 02cos >α (3)设i iz ++=11,则=||z A.21 B. 22 C. 23 D. 2 (4)已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2,则=a A. 2 B.26 C. 25D. 1 (5)设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数,则下列结论中正确的是A. )()(x g x f 是偶函数B. )(|)(|x g x f 是奇函数C. |)(|)(x g x f 是奇函数D. |)()(|x g x f 是奇函数(6)设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点,则=+A. ADB.AD 21 C. BC 21D. BC (7)在函数①|2|cos x y =,②|cos |x y = ,③)62cos(π+=x y ,④)42tan(π-=x y 中,最小正周期为π的所有函数为A.①②③B. ①③④C. ②④D. ①③(8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的事一个几何体的三视图,则这个几何体是( )A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱(9)执行右面的程序框图,若输入的,,a b k 分别为1,2,3,则输出的M =( )A.203B.72C.165D.158(10) 已知抛物线C :x y =2的焦点为F ,()y x A,是C 上一点,xF A 045=,则=x 0( )A. 1B. 2C. 4D. 8 (11)设x ,y 满足约束条件,1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7,则a =A .-5 B. 3 C .-5或3 D. 5或-3(12)已知函数32()31f x ax x =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值范围是A.()2,+∞B.()1,+∞C.(),2-∞-D.(),1-∞-第II 卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分(13)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为_____. (14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市; 乙说:我没去过C 城市; 丙说:我们三人去过同一城市; 由此可判断乙去过的城市为________.(15)设函数()113,1,,1,x e x f x x x -⎧<⎪=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.(16)如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得 M 点的仰角60MAN ∠=︒,C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒;从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =,则山高MN =________m.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)已知{}n a 是递增的等差数列,2a ,4a 是方程2560x x -+=的根。
2014年全国普通高等学校招生统一考试数学试卷(文科)(新课标Ⅰ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.(5分)已知集合M={x|﹣1<x<3},N={x|﹣2<x<1},则M∩N=()A.(﹣2,1)B.(﹣1,1)C.(1,3) D.(﹣2,3)2.(5分)若tanα>0,则()A.sinα>0 B.cosα>0 C.sin2α>0 D.cos2α>03.(5分)设z=+i,则|z|=()A.B.C.D.24.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0)的离心率为2,则实数a=()A.2 B.C.D.15.(5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是()A.f(x)•g(x)是偶函数B.|f(x)|•g(x)是奇函数C.f(x)•|g(x)|是奇函数D.|f(x)•g(x)|是奇函数6.(5分)设D,E,F分别为△ABC的三边BC,CA,AB的中点,则+=()A.B.C.D.7.(5分)在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos(2x+),④y=tan(2x﹣)中,最小正周期为π的所有函数为()A.①②③B.①③④C.②④D.①③8.(5分)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是()A.三棱锥B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱9.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=()A.B.C.D.10.(5分)已知抛物线C:y2=x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,AF=|x0|,则x0=()A.1 B.2 C.4 D.811.(5分)设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7,则a=()A.﹣5 B.3 C.﹣5或3 D.5或﹣312.(5分)已知函数f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则实数a的取值范围是()A.(1,+∞)B.(2,+∞)C.(﹣∞,﹣1)D.(﹣∞,﹣2)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分13.(5分)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为.14.(5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市;由此可判断乙去过的城市为.15.(5分)设函数f(x)=,则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是.16.(5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°,已知山高BC=100m,则山高MN=m.三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤17.(12分)已知{a n}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2﹣5x+6=0的根.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列{}的前n项和.18.(12分)从某企业生产的产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:(1)在表格中作出这些数据的频率分布直方图;(2)估计这种产品质量指标的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定?19.(12分)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明:B1C⊥AB;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高.20.(12分)已知点P(2,2),圆C:x2+y2﹣8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及△POM的面积.21.(12分)设函数f(x)=alnx+x2﹣bx(a≠1),曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线斜率为0,(1)求b;(2)若存在x0≥1,使得f(x0)<,求a的取值范围.请考生在第22,23,24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。