2014年高考理科数学四川卷真题(word版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科参考答案〔四川卷〕一．选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分．在每一小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，如此A B ⋂= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 【答案】A【解析】{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ⋂={1,0,1,2}- 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．10 【答案】C【解析】含3x 项为24236(1)15x C x x ⋅=3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上 所有的点A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】因为，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到4．假设0a b >>，0c d <<，如此一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c < 【答案】D【解析】由1100c d d c <<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c <5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，如此输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2，否如此，S 的值为1.6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，如此不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 44A 种。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）理科数学一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=A ．{1,0,1,2}-B ．{2,1,0,1}--C ．{0,1}D ．{1,0}- 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．103．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d > B ．a b c d < C ．a b d c > D ．a bd c< 5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．36．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，则不同的排法共有A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种 7．平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m = A ．2- B ．1- C ．1 D ．28．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。

设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A ．B ．C ．D ． 9．已知()ln(1)ln(1)f x x x =+--，(1,1)x ∈-。

现有下列命题：①()()f x f x -=-； ②22()2()1xf f x x =+； ③|()|2||f x x ≥。

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷）参考答案第I 卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=A ．{1,0,1,2}-B ．{2,1,0,1}--C ．{0,1}D ．{1,0}-【答案】A2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．10【答案】C3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度【答案】A4．若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d > B ．a b c d< C ．a b d c > D ．a b d c < 【答案】D5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种【答案】B7．平面向量a=(1,2)， b=(4,2), c=ma+b （m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。

设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A ．B ．C ．D ． 【答案】B9．已知()ln(1)ln(1)f x x x =+--，(1,1)x ∈-。

2014年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•四川）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{0，1} D．{﹣1，0}2．（5分）（2014•四川）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A．30 B．20 C．15 D．103．（5分）（2014•四川）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行一定1个单位长度4．（5分）（2014•四川）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜5．（5分）（2014•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A．0B．1C．2D．36．（5分）（2014•四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种7．（5分）（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．28．（5分）（2014•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]9．（5分）（2014•四川）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③C．①③D．①②10．（5分）（2014•四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2B．3C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2014•四川）复数=_________．12．（5分）（2014•四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=_________．13．（5分）（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于_________m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）14．（5分）（2014•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是_________．15．（5分）（2014•四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有_________．（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．17．（12分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．18．（12分）（2014•四川）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．19．（12分）（2014•四川）设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{a n}的前n项和S n；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和T n．20．（13分）（2014•四川）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．21．（14分）（2014•四川）已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．2014年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•四川）已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{0，1} D．{﹣1，0}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得．解答：解：A={x|﹣1≤x≤2}，B=Z，∴A∩B={﹣1，0，1，2}．故选：A．点评：本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分．2．（5分）（2014•四川）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A．30 B．20 C．15 D．10考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数．然后求解即可．解答：解：（1+x）6展开式中通项T r+1=C6r x r，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15．故选：C．点评：本题考查二项展开式的通项的简单直接应用．牢记公式是基础，计算准确是关键．3．（5分）（2014•四川）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动1个单位长度D．向右平行一定1个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解答：解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，故选：A．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4．（5分）（2014•四川）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜考点：不等式比较大小；不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用特例法，判断选项即可．解答：解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确．故选：D．点评：本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确．5．（5分）（2014•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A．0B．1C．2D．3考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，求出最大值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．故选：C．点评：本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．6．（5分）（2014•四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：应用题；排列组合．分析：分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排甲，根据加法原理可得结论．解答：解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选：B．点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．2考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案．解答：解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m+=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档．8．（5分）（2014•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出．解答：解：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．不妨取AB=2．在Rt△AOA1中，==．sin∠C1OA1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA1cos∠AOA1=，=1．∴sinα的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题．9．（5分）（2014•四川）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③C．①③D．①②考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案．解答：解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln（）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g（x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g（0）=0，又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以丨f（x）丨≥2丨x丨成立，故③正确；故正确的命题有①②③，故选：A点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档．10．（5分）（2014•四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2B．3C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．解答：解：设直线AB的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（（0，m），由⇒y2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y2=2，从而，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y2=﹣2，故m=2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO==．当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．点评：求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2014•四川）复数=﹣2i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果．解答：解：复数===﹣2i，故答案为：﹣2i．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．12．（5分）（2014•四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=1．考点：函数的值．专题：计算题．分析：由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值．解答：解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=1．故答案为：1．点评：本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”．13．（5分）（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于60m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）考点：余弦定理的应用；正弦定理；正弦定理的应用．专题：应用题；解三角形．分析：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度．解答：解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt△ACD中，∠C=30°，AD=46m∴CD==46≈79.58m．又∵Rt△ABD中，∠ABD=67°，可得BD==≈19.5m∴BC=CD﹣BD=79.58﹣19.5=60.08≈60m故答案为：60m点评：本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．14．（5分）（2014•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．15．（5分）（2014•四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有①③④．（写出所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用；充要条件；函数的值域．专题：新定义；极限思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．解答：解：（1）对于命题①“f（x）∈A”即函数f（x）值域为R，“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”表示的是函数可以在R中任意取值，故有：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”∴命题①是真命题；（2）对于命题②若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值．∴命题②“函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值．”是假命题；（3）对于命题③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．∴f（x）+g（x）∈R．则f（x）+g（x）∉B．∴命题③是真命题．（4）对于命题④∵函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，∴假设a＞0，当x→+∞时，→0，ln（x+2）→+∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符；假设a＜0，当x→﹣2时，→，ln（x+2）→﹣∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符．∴a=0．即函数f（x）=（x＞﹣2）当x＞0时，，∴，即；当x=0时，f（x）=0；当x＜0时，，∴，即．∴．即f（x）∈B．故命题④是真命题．故答案为①③④．点评：本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：（1）令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cosα﹣sinα的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈z．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cos2α﹣sin2α）（sinα+cosα）．又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，此时cosα﹣sinα=﹣．当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．点评：本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，属于中档题．17．（12分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即可求X的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论．（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可．解答：解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100．则P（X=﹣200）=，P（X=10）==P（X=20）==，P（X=100）==，故分布列为：X ﹣200 10 20 100P由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣．由（1）知，每盘游戏或得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=．这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．点评：本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．18．（12分）（2014•四川）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角．专题：空间向量及应用．分析：（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值．解答：解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2设O为BD的中点，连接OA，OC于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN∥NP，故BD⊥NP假设P不是线段BC的中点，则直线NP与直线AC是平面ABC内相交直线从而BD⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P为线段BC的中点（2）以O为坐标原点，OB，OC，OA分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，），M（，O，），N（，0，），P（，，0）于是，，设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和由，则，设z1=1，则由，则，设z2=1，则cos===所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值点评：本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题．19．（12分）（2014•四川）设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{a n}的前n项和S n；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列与函数的综合．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：（1）由于点（a8，4b7）在函数f（x）=2x的图象上，可得，又等差数列{a n}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得=2d．由于点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，可得=b8，进而得到=4=2d，解得d．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．（2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得a2．进而得到a n，b n．再利用“错位相减法”即可得出．解答：解：（1）∵点（a8，4b7）在函数f（x）=2x的图象上，∴，又等差数列{a n}的公差为d，∴==2d，∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，∴=b8，∴=4=2d，解得d=2．又a1=﹣2，∴S n==﹣2n+=n2﹣3n．（2）由f（x）=2x，∴f′（x）=2x ln2，∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为，又，令y=0可得x=，∴，解得a2=2．∴d=a2﹣a1=2﹣1=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，∴b n=2n．∴．∴T n=+…++，∴2T n=1+++…+，两式相减得T n=1++…+﹣=﹣==．点评：本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”，属于难题．20．（13分）（2014•四川）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．解答：解：（1）依题意有解得所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）设T（﹣3，m），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以于是，从而，即，则，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．点评：本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x或y一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题．21．（14分）（2014•四川）已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．解答：解：∵f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=e x﹣2ax﹣b，又g′（x）=e x﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤e x≤e，∴①当时，则2a≤1，g′（x）=e x﹣2a≥0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g（0）=1﹣b；②当，则1＜2a＜e，∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=e x﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x）=e x﹣2a＞0，∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；③当时，则2a≥e，g′（x）=e x﹣2a≤0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．若，则g min（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1令h（x）=（1＜x＜e）则．由＞0⇒x＜∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，=+＜0，即g min（x）＜0 恒成立，∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，又，所以e﹣2＜a＜1，综上得：e﹣2＜a＜1．点评：本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题，难度较大．参与本试卷答题和审题的老师有：任老师；王老师；孙佑中；刘长柏；qiss；尹伟云；翔宇老师；szjzl；caoqz；清风慕竹；静定禅心；maths（排名不分先后）菁优网2014年6月24日。

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科参考答案（四川卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=A ．{1,0,1,2}-B ．{2,1,0,1}--C ．{0,1}D ．{1,0}- 【答案】A【解析】{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ⋂={1,0,1,2}- 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 【答案】C【解析】含3x 项为24236(1)15x C x x ⋅=3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c<【答案】D【解析】由1100c d d c <<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a bd c->->，所以a bd c< 5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2，否则，S 的值为1.6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，则不同的排法共有A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种 【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 44A 种。

绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科数学本试卷共14题，共100分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

第Ⅰ卷共10小题。

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合2{|20}A x x x =−−≤，集合B 为整数集，则A B ⋂= A ．{1,0,1,2}− B ．{2,1,0,1}−− C ．{0,1} D ．{1,0}− 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．103．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c<5． 执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．36．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种7．平面向量(1,2)a =，(4,2)b =，c ma b =+（m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =A ．2−B ．1−C ．1D ．28．如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，点O 为线段BD 的中点。

2014·四川卷(理科数学)1．[2014·四川卷] 已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝( ) A ．{－1，0，1，2} B ．{－2，－1，0，1} C ．{0，1} D ．{－1，0} 1．A [解析] 由题意可知，集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，其中的整数有－1，0，1，2，故A ∩B ＝{－1，0，1，2}，故选A.2．[2014·四川卷] 在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( ) A ．30 B ．20 C ．15 D ．102．C [解析] x (1＋x )6的展开式中x 3项的系数与(1＋x )6的展开式中x 2项的系数相同，故其系数为C 26＝15.3．[2014·四川卷] 为了得到函数y ＝sin (2x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin 2x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度3．A [解析] 因为y ＝sin(2x ＋1)＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋12，所以为得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图像，只需要将y ＝sin 2x 的图像向左平行移动12个单位长度．4．[2014·四川卷] 若a >b >0，c <d <0，则一定有( ) A.a c >b d B.a c <b d C.a d >b c D.a d <b c4．D [解析] 因为c ＜d ＜0，所以1d <1c ＜0，即－1d >－1c ＞0，与a ＞b ＞0对应相乘得，－a d >－b c ＞0，所以a d <bc.故选D. 5．，[2014·四川卷] 执行如图1-1所示的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )图1-1A ．0B ．1C ．2D ．35．C [解析] 题中程序输出的是在⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0的条件下S ＝2x ＋y 的最大值与1中较大的数．结合图像可得，当x ＝1，y ＝0时，S ＝2x ＋y 取得最大值2，2>1，故选C.6．[2014·四川卷] 六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种6．B [解析] 当甲在最左端时，有A 55＝120(种)排法；当甲不在最左端时，乙必须在最左端，且甲也不在最右端，有A 11A 14A 44＝4×24＝96(种)排法，共计120＋96＝216(种)排法．故选B.7．[2014·四川卷] 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．27．2 [解析] c ＝m a ＋b ＝(m ＋4，2m ＋2)，由题意知a ·c |a |·|c |＝b ·c |b |·|c |，即（1，2）·（m ＋4，2m ＋2）12＋22＝（4，2）·（m ＋4，2m ＋2）42＋22，即5m ＋8＝8m ＋202，解得m ＝2.图1-28．[2014·四川卷] 如图1-2，在正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤33，1B.⎣⎡⎦⎤63，1 C.⎣⎡⎦⎤63，223 D.⎣⎡⎦⎤223，1 8．B [解析] 连接A 1O ，OP 和P A 1，不难知∠POA 1就是直线OP 与平面A 1BD 所成的角(或其补角)设正方体棱长为2，则A 1O ＝ 6.(1)当P 点与C 点重合时，PO ＝2，A 1P ＝23，且cos α＝6＋2－122×6×2＝－33，此时α＝∠A 1OP 为钝角，sin α＝1－cos 2α＝63； (2)当P 点与C 1点重合时，PO ＝A 1O ＝6，A 1P ＝22，且cos α＝6＋6－82×6×6＝13，此时α＝∠A 1OP 为锐角，sin α＝1－cos 2 α＝223；(3)在α从钝角到锐角逐渐变化的过程中，CC 1上一定存在一点P ，使得α＝∠A 1OP ＝90°.又因为63＜223，故sin α的取值范围是⎣⎡⎦⎤63，1，故选B. 9．[2014·四川卷] 已知f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，x ∈(－1，1)．现有下列命题： ①f (－x )＝－f (x )；②f ⎝⎛⎭⎫2x1＋x 2＝2f (x )；③|f (x )|≥2|x |.其中的所有正确命题的序号是( )A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①② 9．A [解析] f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x ) ＝ln1－x 1＋x ＝－ln 1＋x1－x＝－[]ln （1＋x ）－ln （1－x ） ＝－f (x )，故①正确；当x ∈(－1，1)时，2x 1＋x 2∈(－1，1)，且f ⎝⎛⎭⎫2x 1＋x 2＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋2x 1＋x 2－ln ⎝⎛⎭⎫1－2x 1＋x 2＝ln 1＋2x1＋x 21－2x 1＋x 2＝ln 1＋x 2＋2x 1＋x 2－2x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x 2＝2ln 1＋x 1－x ＝2[ln(1＋x )－ln(1－x )]＝2f (x )，故②正确；由①知，f (x )为奇函数，所以|f (x )|为偶函数，则只需判断当x ∈[0，1)时，f (x )与2x 的大小关系即可．记g (x )＝f (x )－2x ，0≤x ＜1，即g (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )－2x ，0≤x <1，g ′(x )＝11＋x ＋11－x －2＝2x 21－x 2，0≤x ＜1.当0≤x ＜1时，g ′(x )≥0，即g (x )在[0，1)上为增函数，且g (0)＝0，所以g (x )≥0， 即f (x )－2x ≥0，x ∈[0，1)，于是|f (x )|≥2|x |正确． 综上可知，①②③都为真命题，故选A. 10．，[2014·四川卷] 已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，OA →·OB →＝2(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.1728D.1010．B [解析] 由题意可知，F ⎝⎛⎭⎫14，0.设A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，∴OA →·OB →＝y 1y 2＋y 21y 22＝2，解得y 1y 2＝1或y 1y 2＝－2.又因为A ，B 两点位于x 轴两侧，所以y 1y 2＜0，即y 1y 2＝－2. 当y 21≠y 22时，AB 所在直线方程为y －y 1＝y 1－y 2y 21－y 22(x －y 21)＝ 1y 1＋y 2(x －y 21)， 令y ＝0，得x ＝－y 1y 2＝2，即直线AB 过定点C (2，0)．于是S △ABO ＋S △AFO ＝S △ACO ＋S △BCO ＋S △AFO ＝12×2|y 1|＋12×2|y 2|＋12×14|y 1|＝18(9|y 1|＋8|y 2|)≥18×29|y 1|×8|y 2|＝3，当且仅当9|y 1|＝8|y 2|且y 1y 2＝－2时，等号成立．当y 21＝y 22时，取y 1＝2，y 2＝－2，则AB 所在直线的方程为x ＝2，此时求得S △ABO ＋S △AFO ＝2×12×2×2＋12×14×2＝1728，而1728>3，故选B. 11．[2014·四川卷] 复数2－2i1＋i ＝________．11．－2i [解析] 2－2i 1＋i ＝2（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＝－2i.12．[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ⎝⎛⎭⎫32＝________． 12．1 [解析] 由题意可知，f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫2－12＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－4⎝⎛⎭⎫－122＋2＝1. 13．，[2014·四川卷] 如图1-3所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m ，则河流的宽度BC 约等于________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)图1-313．60 [解析] 过A 点向地面作垂线，记垂足为D ，则在Rt △ADB 中，∠ABD ＝67°，AD ＝46 m ，∴AB ＝AD sin 67°＝460.92＝50(m)，在△ABC 中，∠ACB ＝30°，∠BAC ＝67°－30°＝37°，AB ＝50 m ， 由正弦定理得，BC ＝AB sin 37°sin 30°＝60 (m)，故河流的宽度BC 约为60 m. 14．，[2014·四川卷] 设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．14．5 [解析] 由题意可知，定点A (0，0)，B (1，3)，且两条直线互相垂直，则其交点P (x ，y )落在以AB 为直径的圆周上，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10.∴|P A ||PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5，当且仅当|P A |＝|PB |时等号成立． 15．，[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1(x >－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B .其中的真命题有________．(写出所有真命题的序号)15．①③④ [解析] 若f (x )∈A ，则f (x )的值域为R ，于是，对任意的b ∈R ，一定存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，故①正确．取函数f (x )＝x (－1＜x ＜1)，其值域为(－1，1)，于是，存在M ＝1，使得f (x )的值域包含于[－M ，M ]＝[－1，1]，但此时f (x )没有最大值和最小值，故②错误．当f (x )∈A 时，由①可知，对任意的b ∈R ，存在a ∈D ，使得f (a )＝b ，所以，当g (x )∈B 时，对于函数f (x )＋g (x )，如果存在一个正数M ，使得f (x )＋g (x )的值域包含于[－M ，M ]，那么对于该区间外的某一个b 0∈R ，一定存在一个a 0∈D ，使得f (a 0)＝b －g (a 0)，即f (a 0)＋g (a 0)＝b 0∉[－M ，M ]，故③正确．对于f (x )＝a ln(x ＋2)＋xx 2＋1 (x ＞－2)，当a ＞0或a ＜0时，函数f (x )都没有最大值．要使得函数f (x )有最大值，只有a ＝0，此时f (x )＝xx 2＋1(x ＞－2)．易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤－12，12，所以存在正数M ＝12，使得f (x )∈[－M ，M ]，故④正确． 16．，，，[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．16．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)，所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos α cos π4－sin αsin π4(cos 2 α－sin 2 α)，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角， 得α＝3π4＋2k π，k ∈Z ，此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52. 综上所述，cos α－sin α＝－2或－52. 17．，，，[2014·四川卷] 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列．(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．17．解：(1)X 可能的取值为10，20，100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为：X 10 20 100 －200 P38381818(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1，2，3)，则 P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)由(1)知，X 的数学期望为EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝－54.这表明，获得分数X 的均值为负．因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大． 18．，，，[2014·四川卷] 三棱锥A - BCD 及其侧视图、俯视图如图1-4所示．设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN ⊥NP .(1)证明：P 是线段BC 的中点； (2)求二面角A - NP - M 的余弦值．图1-418．解：(1)如图所示，取BD 的中点O ，连接AO ，CO . 由侧视图及俯视图知，△ABD ，△BCD 为正三角形，所以AO ⊥BD ，OC ⊥BD .因为AO ，OC ⊂平面AOC ，且AO ∩OC ＝O ， 所以BD ⊥平面AOC .又因为AC ⊂平面AOC ，所以BD ⊥AC . 取BO 的中点H ，连接NH ，PH .又M ，N ，H 分别为线段AD ，AB ，BO 的中点，所以MN ∥BD ，NH ∥AO ， 因为AO ⊥BD ，所以NH ⊥BD . 因为MN ⊥NP ，所以NP ⊥BD .因为NH ，NP ⊂平面NHP ，且NH ∩NP ＝N ，所以BD ⊥平面NHP . 又因为HP ⊂平面NHP ，所以BD ⊥HP .又OC ⊥BD ，HP ⊂平面BCD ，OC ⊂平面BCD ，所以HP ∥OC . 因为H 为BO 的中点，所以P 为BC 的中点．(2)方法一：如图所示，作NQ ⊥AC 于Q ，连接MQ .由(1)知，NP ∥AC ，所以NQ ⊥NP .因为MN ⊥NP ，所以∠MNQ 为二面角A - NP - M 的一个平面角．由(1)知，△ABD ，△BCD 为边长为2的正三角形，所以AO ＝OC ＝ 3. 由俯视图可知，AO ⊥平面BCD .因为OC ⊂平面BCD ，所以AO ⊥OC ，因此在等腰直角△AOC 中，AC ＝ 6. 作BR ⊥AC 于R因为在△ABC 中，AB ＝BC ，所以R 为AC 的中点， 所以BR ＝AB 2－⎝⎛⎭⎫AC 22＝102.因为在平面ABC 内，NQ ⊥AC ，BR ⊥AC ， 所以NQ ∥BR .又因为N 为AB 的中点，所以Q 为AR 的中点， 所以NQ ＝BR 2＝104.同理，可得MQ ＝104. 故△MNQ 为等腰三角形， 所以在等腰△MNQ 中， cos ∠MNQ ＝MN 2NQ ＝BD 4NQ ＝105.故二面角A - NP - M 的余弦值是105. 方法二：由俯视图及(1)可知，AO ⊥平面BCD .因为OC ，OB ⊂平面BCD ，所以AO ⊥OC ，AO ⊥OB . 又OC ⊥OB ，所以直线OA ，OB ，OC 两两垂直．如图所示，以O 为坐标原点，以OB ，OC ，OA 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O -xyz .则A (0，0，3)，B (1，0，0)，C (0，3，0)，D (－1，0，0)． 因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点， 又由(1)知，P 为线段BC 的中点，所以M ⎝⎛⎭⎫－12，0，32，N ⎝⎛⎭⎫12，0，32，P ⎝⎛⎭⎫12，32，0，于是AB ＝(1，0，－3)，BC ＝(－1，3，0)，MN ＝(1，0，0)，NP ＝⎝⎛⎭⎫0，32，－32. 设平面ABC 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1⊥AB ，n 1⊥BC ，得⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AB ＝0，n 1·BC ＝0，即⎩⎨⎧（x 1，y 1，z 1）·（1，0，－3）＝0，（x 1，y 1，z 1）·（－1，3，0）＝0， 从而⎩⎨⎧x 1－3z 1＝0，－x 1＋3y 1＝0.取z 1＝1，则x 1＝3，y 1＝1，所以n 1＝(3，1，1)． 设平面MNP 的一个法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由，⎩⎪⎨⎪⎧n 2⊥MN ，n 2⊥NP ，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·MN ＝0，n 2·NP ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧（x 2，y 2，z 2）·（1，0，0）＝0，（x 2，y 2，z 2）·⎝⎛⎭⎫0，32，－32＝0， 从而⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，32y 2－32z 2＝0. 取z 2＝1，则y 2＝1，x 2＝0，所以n 2＝(0，1，1)． 设二面角A - NP - M 的大小为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（3，1，1）·（0，1，1）5×2＝105. 故二面角A -NP -M 的余弦值是105. 19．，[2014·四川卷] 设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图像上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8，4b 7)在函数f (x )的图像上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图像在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n .19．解：(1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，所以 2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2，解得d ＝a 8－a 7＝2，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .(2)函数f (x )＝2x 在点(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)， 其在x 轴上的截距为a 2－1ln 2.由题意有a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2.所以d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ，所以数列{a n b n }的通项公式为a n b n ＝n2n ，所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，2T n ＝11＋22＋322＋…＋n2n －1，因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n .所以，T n ＝2n ＋1－n －22n.20．，，[2014·四川卷] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．20．解：(1)由已知可得⎩⎨⎧a 2＋b 2＝2b ，2c ＝2a 2－b 2＝4，解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是x 26＋y 22＝1.(2)①证明：由(1)可得，F 的坐标是(－2，0)，设T 点的坐标为(－3，m )， 则直线TF 的斜率k TF ＝m －0－3－（－2）＝－m .当m ≠0时，直线PQ 的斜率k PQ ＝1m .直线PQ 的方程是x ＝my －2.当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －2，x 26＋y 22＝1.消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)>0. 所以y 1＋y 2＝4mm 2＋3，y 1y 2＝－2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝－12m 2＋3.设M 为PQ 的中点，则M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－6m 2＋3，2m m 2＋3.所以直线OM 的斜率k OM ＝－m3，又直线OT 的斜率k OT ＝－m3，所以点M 在直线OT 上，因此OT 平分线段PQ .②由①可得，|TF |＝m 2＋1，|PQ |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（m 2＋1）[（y 1＋y 2）2－4y 1y 2]＝（m 2＋1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫4m m 2＋32－4·－2m 2＋3 ＝24（m 2＋1）m 2＋3. 所以|TF ||PQ |＝124·（m 2＋3）2m 2＋1＝ 124⎝⎛⎭⎫m 2＋1＋4m 2＋1＋4≥124（4＋4）＝33. 当且仅当m 2＋1＝4m 2＋1，即m ＝±1时，等号成立，此时|TF ||PQ |取得最小值． 故当|TF ||PQ |最小时，T 点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)． 21．，[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0，1]上的最小值；(2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0，1)内有零点，求a 的取值范围．21．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，得g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0，1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，1]上单调递增， 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e 2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0，1]上单调递减， 因此g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e 2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0，1)，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增，于是，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b .综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当12<a <e 2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ； 当a ≥e 2时，g (x )在[0，1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b . (2)设x 0为f (x )在区间(0，1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知，f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负．故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.同理g (x )在区间(x 0，1)内存在零点x 2.故g (x )在区间(0，1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0，1]上单调递增，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点； 当a ≥e 2时，g (x )在[0，1]上单调递减，故g (x )在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意． 所以12<a <e 2. 此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0.由f (1)＝0得a ＋b ＝e －1<2，则g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0，解得e －2<a <1.当e －2<a <1时，g (x )在区间[0，1]内有最小值g (ln(2a ))．若g (ln(2a ))≥0，则g (x )≥0(x ∈[0，1])，从而f (x )在区间[0，1]内单调递增，这与f (0)＝f (1)＝0矛盾，所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0.故此时g (x )在(0，ln(2a ))和(ln(2a )，1)内各只有一个零点x 1和x 2.由此可知f (x )在[0，x 1]上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在[x 2，1]上单调递增． 所以f (x 1)>f (0)＝0，f (x 2)<f (1)＝0，故f (x )在(x 1，x 2)内有零点．综上可知，a 的取值范围是(e －2，1)．。

2014四川理科卷一、选择题1. 答案：A解析：{|12},{1,0,1,2}A x x AB =-≤≤∴=-，选A.【考点定位】集合的基本运算.2. 答案：C 解析：623456(1)(161520156)x x x x x x x x x +=++++++，所以含3x 项的系数为15.选C【考点定位】二项式定理.3. 答案：A 解析：1sin(21)sin 2()2y x x =+=+，所以只需把sin 2y x =的图象上所有的点向左平移12个单位.选A. 【考点定位】三角函数图象的变换.4. 答案：D 解析：110,0,0c d c d d c <<∴->->->->，又0,0,a b a b a b d c d c>>∴->->∴<.选D 【考点定位】不等式的基本性质.5. 答案：C解析：该程序执行以下运算：已知001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，求2S x y =+的最大值.作出001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的区域如图所示，由图可知，当10x y =⎧⎨=⎩时，2S x y =+最大，最大值为202S =+=.选C.【考点定位】线性规划6. 答案：B解析：最左端排甲，有5!120=种排法；最左端排乙，有44!96⨯=种排法，共有12096216+=种排法.选B.【考点定位】排列组合.7. 答案： D.解析：由题意得：25c ac bc ac bm c a c b a b ⋅⋅⋅⋅=⇒=⇒=⇒=⋅⋅，选D.【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算.8. 答案：B解析：设正方体的棱长为1，则11111,,A C A C A O OC ==，所以1111332122cos ,sin 3322AOC AOC +-∠==∠=⨯，11313cos AOC AOC +-∠==∠=.所以sin α的范围为3，选B. 【考点定位】空间直线与平面所成的角.9. 答案：C解析：对①，()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-，成立；对②，左边的x 可以取任意值，而右边的(1,1)x ∈-，故不成立；对③，作出图易知③成立【考点定位】1、函数的奇偶性；2、对数运算；3、函数与不等式.10. 答案：B 解析：据题意得1(,0)4F ，设1122(,),(,)A x y B x y ，则221122,x y x y ==，221212122,2y y y y y y +==-或121y y =，因为,A B 位于x 轴两侧所以.所以122y y =-两面积之和为12211111224S x y x y y =-+⨯⨯111218y y y =++⨯112938y y =+≥. 【考点定位】1、抛物线；2、三角形的面积；3、重要不等式.二、填空题11. 答案：2i -. 解析：2222(1)21(1)(1)i i i i i i --==-++-. 【考点定位】复数的基本运算.12. 答案：1 解析：311()()421224f f =-=-⨯+=. 【考点定位】周期函数及分段函数.13. 答案：60解析：92AC =，46cos 67AB =，sin 37,60sin 30sin 37sin 30AB BC AB BC =∴=≈. 【考点定位】解三角形.14. 答案：解析：易得(0,0),(1,3)A B .设(,)P x y ，则消去m 得：2230x y x y +--=，所以点P 在以AB 为直径的圆上，PA PB ⊥，所以2||||||52AB PA PB ⨯≤=. 法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以PA PB ⊥，点P 的轨迹是以AB 为直径的圆.以下同法一.【考点定位】1、直线与圆；2、重要不等式.15. 答案：①③④解析：对①，若对任意的b R ∈，都a D ∃∈，使得()f a b =，则()f x 的值域必为R ；反之，()f x 的值域为R ，则对任意的b R ∈，都a D ∃∈，使得()f a b =.故正确.对②，比如函数()(11)f x x x =-<<属于B ，但是它既无最大值也无最小值.故错误. 对③正确，对④正确.【考点定位】命题判断。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)数学(理工类)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．(2014四川，理1)已知集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝( )． A ．{－1,0,1,2} B ．{－2，－1,0,1} C ．{0,1} D ．{－1,0} 答案：A解析：∵A ＝{x |x 2－x －2≤0}＝{x |－1≤x ≤2}， ∴A ∩B ＝A ∩Z ＝{x |－1≤x ≤2}∩Z ＝{－1,0,1,2}．2．(2014四川，理2)在x (1＋x )6的展开式中，含x 3项的系数为( )． A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 答案：C解析：含x 3的项是由(1＋x )6展开式中含x 2的项与x 相乘得到，又(1＋x )6展开式中含x 2的项的系数为26C 15=，故含x 3项的系数是15.3．(2014四川，理3)为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin 2x 的图象上所有的点( )．A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 答案：A解析：∵y ＝sin(2x ＋1)＝1sin 22x ⎛⎫+⎪⎝⎭， ∴需要把y ＝sin 2x 图象上所有的点向左平移12个单位长度即得到y ＝sin(2x ＋1)的图象． 4．(2014四川，理4)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )．A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c<答案：D解析：∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴110c d<<--. 即110d c>>--. 又∵a ＞b ＞0， ∴a b d c >--，∴a b d c<. 5．(2014四川，理5)执行如图的程序框图，如果输入的x ，y ∈R ，那么输出的S 的最大值为( )．A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：C解析：先画出x ，y 满足的约束条件0,0,1,x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩对应的可行域如图中阴影部分：移动直线l 0：y ＝－2x .当直线经过点A (1,0)时，y ＝－2x ＋S 中截距S 最大，此时S max ＝2×1＋0＝2. 再与x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1不成立时S ＝1进行比较，可得S max ＝2.6．(2014四川，理6)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有( )．A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种 答案：B解析：(1)当最左端排甲的时候，排法的种数为55A ；(2)当最左端排乙的时候，排法种数为1444C A . 因此不同的排法的种数为514544A +C A ＝120＋96＝216.7．(2014四川，理7)平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( )．A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案：D解析：∵a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，∴c ＝m (1,2)＋(4,2)＝(m ＋4,2m ＋2)． 又∵c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角， ∴cos 〈c ，a 〉＝cos 〈c ，b 〉．∴·||||||||⋅=c a c bc a c b .=解得m ＝2.8．(2014四川，理8)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为线段BD 的中点．设点P 在线段CC 1上，直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是( )．A ．⎤⎥⎣⎦ B．⎤⎥⎣⎦ C ．⎣⎦ D ．⎤⎥⎣⎦答案：B解析：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设DC ＝DA ＝DD 1＝1，则D (0,0,0)，B (1,1,0)，A 1(1,0,1)，11,,022O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，并设点P (0,1，t )且0≤t ≤1.则11,,22OP t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1(1,01)A D =--，，1(0,1,1)A B =-． 设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则有110,0,A D A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即00000,0,x z yz --=⎧⎨-=⎩取x 0＝1，y 0＝－1，z 0＝－1，∴n ＝(1，－1，－1)． ∴sin α＝|cos 〈OP ，n 〉|(0≤t ≤1)，∴22221sin 13()2t t t α++=+，0≤t ≤1.令()222113()2t t f t t ++=+，0≤t ≤1.则()2222221(21)(1)113()3()22t t t t f t t t +--+'==--++， 可知当10,2t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，f ′(t )＞0；当1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，f ′(t )≤0.又∵()203f =，1()12f =，()819f =，∴()max 1()12f t f ==，()min 2(0)3f t f ==.∴sin α的最大值为1∴sin α的取值范围为⎤⎥⎣⎦. 9．(2014四川，理9)已知f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，x ∈(－1,1)．现有下列命题：①f (－x )＝－f (x )；②222()1x f f x x ⎛⎫=⎪+⎝⎭；③|f (x )|≥2|x |. 其中的所有正确命题的序号是( )．A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①② 答案：A解析：对于①，∵f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )＝1ln1xx+-，()11()lnln 11x xf x f x x x-+-==--+-，又x ∈(－1,1)， ∴f (－x )＝－f (x )，故命题①正确； 对于②，222222ln 1ln 1111x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝22222(1)(1)11ln ln ln 2ln 2()1111x x x x f x x x x x +-++⎛⎫-=== ⎪++--⎝⎭， 故命题②正确；对于③，由于f (x )和2x 均为奇函数，不妨仅研究x ∈[0,1)时的情形，此时1|()|ln 1xf x x+=-，2|x |＝2x ＝ln e 2x .令()21e 1x x x x ϕ+=--，则()2212e 1x x x ϕ⎡⎤'=-⎢⎥(-)⎣⎦，令φ′(x )＝0，得x ＝0，且当x ∈[0,1)时，φ′(x )＞0，因此φ(x )在[0,1)上为增函数，∴φ(x )≥φ(0)＝0，即21e 1x xx+≥-在x ∈[0,1)上恒成立，故1ln 21xx x+≥-也成立； 同理根据对称性可知对x ∈(－1,1)均有1|ln ||2|1xx x+≥-，即|f (x )|≥2|x |成立，③为真命题． 综上可知，正确命题的序号为①②③.10．(2014四川，理10)已知F 为抛物线y 2＝x 的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x轴的两侧，2OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点)，则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是( )．A ．2B ．3C ．8D 答案：B解析：设AB 所在直线方程为x ＝my ＋t .由2,,x my t y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得y 2－my －t ＝0.设211(,)A y y ，222(,)B y y (不妨令y 1＞0，y 2＜0)， 故2212y y m +=，y 1y 2＝－t . 而2212122OA OB y y y y ⋅=+=. 解得y 1y 2＝－2或y 1y 2＝1(舍去)． 所以－t ＝－2，即t ＝2.所以直线AB 过定点M (2,0)．而S △ABO ＝S △AMO ＋S △BMO ＝12|OM ||y 1－y 2|＝y 1－y 2， 1111111||2248AFO S OF y y y ∆=⨯=⨯=，故S △ABO ＋S △AFO ＝y 1－y 2＋118y ＝198y －y 2.由121299()388y y y y -=≥=+-， 得S △ABO ＋S △AFO 的最小值为3，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．(2014四川，理11)复数22i1i-+＝__________. 答案：－2i 解析：22i (22i)(1i)224i2i 1i (1i)(1i)2-----===-++-. 12．(2014四川，理12)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝242,10,,01,x x x x ⎧-+-≤<⎨≤<⎩则32f ⎛⎫⎪⎝⎭＝__________. 答案：1解析：∵f (x )的周期为2，∴3312222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又∵1[1,0)2-∈－，∴21142122f ⎛⎫⎛⎫-=-⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.即312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.13．(2014四川，理13)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46 m ，则河流的宽度BC 约等于__________m ．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，1.73)答案：60解析：如图所示，过A 作AD ⊥CB 且交CB 的延长线于D .在Rt △ADC 中，由AD ＝46 m ，∠ACB ＝30°得AC ＝92 m. 在△ABC 中，∠BAC ＝67°－30°＝37°，∠ABC ＝180°－67°＝113°，AC ＝92 m ，由正弦定理sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，得92sin113sin37BC =︒︒，即92sin67sin37BC=︒︒，解得92sin3760m sin67BC ︒≈≈︒.14．(2014四川，理14)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是__________．答案：5解析：由题意可知点A 为(0,0)，点B 为(1,3)．又∵直线x ＋my ＝0的斜率11k m=-，直线mx －y －m ＋3＝0的斜率k 2＝m ，∴k 1k 2＝－1.∴两条动直线互相垂直．又∵圆的性质可知，动点P (x ，y )的轨迹是圆，∴圆的直径为AB ==∴222||||||=52PA PB AB PA PB +⋅≤=.当且仅当|P A |＝|PB |∴|P A |·|PB |的最大值是5.15．(2014四川，理15)以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合：对于函数φ(x )，存在一个正数M ，使得函数φ(x )的值域包含于区间[－M ，M ]．例如，当φ1(x )＝x 3，φ2(x )＝sin x 时，φ1(x )∈A ，φ2(x )∈B .现有如下命题：①设函数f (x )的定义域为D ，则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”； ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值；③若函数f (x )，g (x )的定义域相同，且f (x )∈A ，g (x )∈B ，则f (x )＋g (x )∉B ；④若函数f (x )＝a ln(x ＋2)＋21xx +(x ＞－2，a ∈R )有最大值，则f (x )∈B . 其中的真命题有__________．(写出所有真命题的序号) 答案：①③④解析：对于①，“f (x )∈A ”说明f (x )的值域为R ，显然能推出“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”，反之对满足“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f (a )＝b ”的函数其值域也必为R .所以①为真命题；对于②，“函数f (x )∈B ”“f (x )有最大值和最小值”．如函数()21xf x x =+的值域为(0,1]⊆[－1,1]，但()21xf x x=+无最小值．但“f (x )有最大值和最小值”⇒“f (x )∈B ”． 综上知②为假命题；对于③，因为f (x )∈A ，所以f (x )的值域为R .因为g (x )∈B ，所以存在正数M 使得－M ≤g (x )≤M ， 所以f (x )＋g (x )的值域为R ∪[－M ，M ]＝R . 所以f (x )＋g (x )∉B .因此③为真命题；对于④，易证当x ＞－2时，211,122x x ⎡⎤∈-⎢⎥+⎣⎦，要使f (x )＝a ln(x ＋2)＋21x x +(x ＞－2，a ∈R )有最大值，则a 必为0.此时()21xf x B x =∈+，故命题④为真． 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分)(2014四川，理16)已知函数()πsin 34f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，4πcos cos 2354f ααα⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos α－sin α的值．分析：在第(1)问，通过整体思想，将π34x +看作一个整体，借助y ＝sin x 的单调递增区间，解不等式求出x 的范围得到f (x )的单调递增区间，要注意k ∈Z 不要漏掉；在第(2)问，利用已知条件求出3f α⎛⎫⎪⎝⎭，然后利用和角公式展开整理，得到关于sin α＋cos α与cos α－sin α的方程，再对sin α＋cos α与0的关系进行讨论，得到cos α－sin α的值．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为ππ2π,2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，由πππ2π32π242k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，得π2ππ2π43123k k x -+≤≤+，k ∈Z .所以，函数f (x )的单调递增区间为π2ππ2π,43123k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . (2)由已知，有π4πsin cos 454αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(cos 2α－sin 2α)，所以22ππ4ππsin cos cos sin (cos cos sin sin )(cos sin )44544αααααα+=--，即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，知α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝当sin α＋cos α≠0时，有(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，知cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝-综上所述，cos α－sin α＝17．(本小题满分12分)(2014四川，理17)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立． (1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？(3)玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．分析：对于第(1)问，通过已知条件，得到X 所有可能取值，然后借助独立重复试验概率公式分别计算每一个值所对应的概率，再结合所求结果写出X 的分布列；对于第(2)问，充分利用第(1)问的分布列，结合对立事件的概率求出“没有出现音乐”的概率，然后利用互斥事件概率公式求出至少有一盘出现音乐的概率；对于第(3)问，利用第(1)问的分布列，借助数学期望公式求出数学期望，然后作出相应判断．解：(1)X 可能的取值为：10,20,100，－200.根据题意，有1213113(10)C 1228P X ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，2123113(20)C 1228P X ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=， 333111(100)C 1228P X ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，0303111(200)C 1228P X ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=. 所以X 的分布列为(2)设“第i i 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18. 所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为()31231151111()18512512P A A A =-=-=-.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512. (3)X 的数学期望为EX ＝10×38＋20×38＋100×18－200×18＝54-.这表明，获得分数X 的均值为负，因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大． 18．(本小题满分12分)(2014四川，理18)三棱锥A －BCD 及其侧视图、俯视图如图所示．设M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点，P 为线段BC 上的点，且MN ⊥NP .(1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角A－NP－M的余弦值．分析：在第(1)问中，利用三视图，得到△ABD，△BCD为正三角形，然后取BD中点O，连接AO，CO，得到线线垂直，从而得到BD⊥平面AOC，再取BO的中点H，利用垂直关系得到BD⊥HP，最后利用中位线的性质得到P为BC中点；在第(2)问中，若利用几何法，需作二面角的平面角，由已知MN与二面角的棱NP垂直且MN⊂平面MNP，故只需过点N 在平面ANP内作与NP垂直的直线即可，由(1)知NP∥AC，故可过N作NQ⊥AC于点Q，连接MQ，则∠MNQ为二面角的平面角．然后利用解三角形相关知识求解即可．若利用空间向量，应建立空间直角坐标系，然后利用线面关系，求出相应点的坐标，从而求出两个半平面的法向量，再利用两个法向量的夹角求出二面角的余弦值．(1)证明：如图，取BD中点O，连接AO，CO.由侧视图及俯视图知，△ABD，△BCD为正三角形，因此AO⊥BD，OC⊥BD.因为AO，OC⊂平面AOC，且AO∩OC＝O，所以BD⊥平面AOC.又因为AC⊂平面AOC，所以BD⊥AC.取BO的中点H，连接NH，PH.又M，N分别为线段AD，AB的中点，所以NH∥AO，MN∥BD.因为AO⊥BD，所以NH⊥BD.因为MN⊥NP，所以NP⊥BD.因为NH，NP⊂平面NHP，且NH∩NP＝N，所以BD⊥平面NHP.又因为HP⊂平面NHP，所以BD⊥HP.又OC⊥BD，HP⊂平面BCD，OC⊂平面BCD，所以HP∥OC.因为H为BO中点，故P为BC中点．(2)解法一：如图，作NQ⊥AC于Q，连接MQ.由(1)知，NP∥AC，所以NQ ⊥NP .因为MN ⊥NP ，所以∠MNQ 为二面角A －NP －M 的一个平面角． 由(1)知，△ABD ，△BCD 为边长为2的正三角形，所以AO ＝OC由俯视图可知，AO ⊥平面BCD .因为OC ⊂平面BCD ，所以AO ⊥OC ，因此在等腰Rt △AOC中，AC =. 作BR ⊥AC 于R ，在△ABC 中，AB ＝BC ，所以BR ==. 因为在平面ABC 内，NQ ⊥AC ，BR ⊥AC ，所以NQ ∥BR .又因为N 为AB 的中点，所以Q 为AR 的中点，因此2BR NQ ==.同理，可得MQ =所以在等腰△MNQ中，24cos MN BDMNQ NQ NQ ∠===故二面角A －NP －M解法二：由俯视图及(1)可知，AO ⊥平面BCD .因为OC ，OB ⊂平面BCD ，所以AO ⊥OC ，AO ⊥OB . 又OC ⊥OB ，所以直线OA ，OB ，OC 两两垂直．如图，以O 为坐标原点，以OB ，OC ，OA 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O －xyz.则A (0,0，B (1,0,0)，C (00)，D (－1,0,0)． 因为M ，N 分别为线段AD ，AB 的中点， 又由(1)知，P 为线段BC 的中点，所以1,0,22M ⎛- ⎝⎭，1,0,22N ⎛ ⎝⎭，1,22P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.于是(1,0,AB =，(BC =-，(1,0,0)MN =，NP =. 设平面ABC 的一个法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则11,,AB BC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n即110,0,AB BC ⎧⊥=⎪⎨⊥=⎪⎩n n有111111(,,)(1,0,0,(,,)(0,x y z x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅-=⎪⎩从而11110,0.x x ⎧=⎪⎨-=⎪⎩取z 1＝1，则1x y 1＝1，所以n 1＝1,1)．设平面MNP 的一个法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则22,,MN NP ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩n n 即220,0,MN NP ⎧⊥=⎪⎨⊥=⎪⎩n n有222222(,,)(1,0,0)0,(,,)0,22x y z x y z ⋅=⎧⎪⎨⋅=⎪⎩从而2220,0.22x y z =⎧-=⎪⎩ 取z 2＝1，所以n 2＝(0,1,1)．设二面角A －NP －M 的大小为θ，则1212cos ||||5θ⋅===n n n n . 故二面角A －NP －M19．(本小题满分12分)(2014四川，理19)设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)．(1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为12ln 2-，求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和T n .分析：在第(1)问中，利用已知条件(a 8,4b 7)在f (x )的图象上，得到关于a 8，a 7的方程，然后结合(a 7，b 7)在f (x )的图象上，求出公差d ，再利用等差数列前n 项和公式求出数列{a n }的前n 项和S n ；在第(2)问中，充分利用已知条件求出切线方程，得到a 2，然后利用a 1＝1，求出公差d ，从而得到a n ，b n ，再利用乘公比错位加减法求出T n .解：(1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2.解得d ＝a 8－a 7＝2.所以，S n ＝na 1＋12n n d (-)＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n . (2)函数f (x )＝2x 在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为21ln 2a -.由题意，2112ln 2ln 2a -=-， 解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n . 所以231123122222n n n n n T --=+++++， 2112321222n n n T -=++++. 因此，12111111222122222222n n n n n n n nn n n T T +-----=++++-=--=. 所以，1222n n nn T +--=. 20．(本小题满分13分)(2014四川，理20)已知椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．(1)求椭圆C 的标准方程．(2)设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)；②当||||TF PQ 最小时，求点T 的坐标． 分析：在第(1)问中，利用已知条件，借助a ，b ，c 的几何意义，列出关于a ，b ，c 的方程组，求出a2，b 2，然后写出椭圆的标准方程；在第(2)问①中，设出T 点坐标，充分利用所给条件，表示出PQ 的方程，然后设出P ，Q 两点坐标，联立曲线方程得到关于y 的一元二次方程，再利用根与系数的关系表示出PQ 的中点坐标，最后利用斜率得出要证结论；在②中，利用①的结论，分别表示出|TF |，|PQ |，然后借助基本不等式得到||||TF PQ 的最小值并求出T 点坐标．(1)解：由已知可得2,24,b c ===⎪⎩解得a 2＝6，b 2＝2，所以椭圆C 的标准方程是22162x y +=. (2)①证明：由(1)可得，F 的坐标是(－2,0)，设T 点的坐标为(－3，m )．则直线TF 的斜率032TF m k m -==---(-). 当m ≠0时，直线PQ 的斜率1PQ k m =.直线PQ 的方程是x ＝my －2. 当m ＝0时，直线PQ 的方程是x ＝－2，也符合x ＝my －2的形式．设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得222,1.62x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去x ，得(m 2＋3)y 2－4my －2＝0，其判别式Δ＝16m 2＋8(m 2＋3)＞0. 所以12243m y y m =++，12223y y m -=+， x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－4＝2123m -+. 所以PQ 的中点M 的坐标为2262,33m m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭. 所以直线OM 的斜率3OM m k =-， 又直线OT 的斜率3OT m k =-，所以点M 在直线OT 上， 因此OT 平分线段PQ .②解：由①可得，TF =PQ =221)3m m +=+.所以||||TF PQ ==≥=. 当且仅当22411m m =++，即m ＝±1时，等号成立，此时||||TF PQ 取得最小值． 所以当||||TF PQ 最小时，T 点的坐标是(－3,1)或(－3，－1)． 21．(本小题满分14分)(2014四川，理21)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a ，b ∈R ，e ＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值；(2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0,1)内有零点，求a 的取值范围．分析：在第(1)问中，利用已知条件求出g (x )，然后借助导数g ′(x )求最值，在求解过程中需根据参数a 的取值范围进行讨论，再利用g (x )在区间上的单调性求出g (x )的最值；在第(2)问中，充分利用f (x )在(0,1)内有零点这一条件，借助第(1)问的结论根据参数a 的范围，结合区间端点处函数值的符号来判断在区间内是否存在零点，从而得到a 的取值范围．解：(1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b .所以g ′(x )＝e x －2a .因此，当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]． 当12a ≤时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增， 因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ； 当e 2a ≥时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减， 因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ； 当1e 22a <<时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0,1)． 所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．于是，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2a ln(2a)－b.综上所述，当12a≤时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b；当1e22a<<时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2a ln(2a)－b；当e2a≥时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b.(2)设x0为f(x)在区间(0,1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.同理g(x)在区间(x0,1)内存在零点x2.所以g(x)在区间(0,1)内至少有两个零点．由(1)知，当12a≤时，g(x)在[0,1]上单调递增，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点．当e2a≥时，g(x)在[0,1]上单调递减，故g(x)在(0,1)内至多有一个零点．所以1e 22a<<.此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．因此x1∈(0，ln(2a)]，x2∈(ln(2a)，1)，必有g(0)＝1－b＞0，g(1)＝e－2a－b＞0.由f(1)＝0有a＋b＝e－1＜2，有g(0)＝1－b＝a－e＋2＞0，g(1)＝e－2a－b＝1－a＞0. 解得e－2＜a＜1.当e－2＜a＜1时，g(x)在区间[0,1]内有最小值g(ln(2a))．若g(ln(2a))≥0，则g(x)≥0(x∈[0,1])，从而f(x)在区间[0,1]单调递增，这与f(0)＝f(1)＝0矛盾，所以g(ln(2a))＜0.又g(0)＝a－e＋2＞0，g(1)＝1－a＞0，故此时g(x)在(0，ln(2a))和(ln(2a)，1)内各只有一个零点x1和x2.由此可知f(x)在[0，x1]上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在[x2,1]上单调递增．所以f(x1)＞f(0)＝0，f(x2)＜f(1)＝0，故f(x)在(x1，x2)内有零点．综上可知，a的取值范围是(e－2,1)．。

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科（四川卷）参考答案第I 卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 【答案】A2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．10 【答案】C3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A4．若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d >B ．a bc d < C ．a b d c > D ．a b d c<【答案】D5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 【答案】B7．平面向量a=(1,2)， b=(4,2), c=ma+b （m R ∈），且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =A ．2-B ．1-C ．1D ．2 【答案】D8．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点。

设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是A ．B ．C ．D ． 【答案】B9．已知()ln(1)ln(1)f x x x =+--，(1,1)x ∈-。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共4页。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上大题无效。

满分150分。

考试时间120分钟。

考试结束后，将本试题卷和答题卡上一并交回。

第Ⅰ卷 （选择题 共50分）注意事项： 必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。

一、选择题.1、已知集合2{20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则AB =（ ）（A ）{1,0,1,2}- （B ）{2,1,0,1}-- （C ）{0,1} （D ）{1,0}-2、在6(1)x x +的展开式中，含3x 的系数为（ ）（A ）30 （B ）20 （C ）15 （D ）103、为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图像上所有的点（ ） （A ）向左平行移动12个单位长度 （B ）向右平行移动12个单位长度 （C ）向左平行移动1个单位长度 （D ）向右平行移动1个单位长度4、若设0,0a b c d >><<，则一定有（ ）（A ）a b c d > （B ）a b c d < （C ）a b d c > （D ）a b d c<5、执行如右图的程序框图，如果输入的,x y R ∈， 那么输出的S 的最大值为（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）36、六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（ ）（A ）192 （B ）216 （C ）240 （D ）2887、平面向量(1,2),(4,2),()c m m R ===+∈a b a b ，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m =（A ）2- （B ）1- （C ）1 （D ）28、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α，则sin α的取值范围是（ ）（A ）1⎤⎥⎦ （B ）1⎤⎥⎦ （C ） （D ）1,⎤⎥⎦9、已知()()()()1111f x ln x ln x ,x ,=+--∈-，现有下列命题：○1()()f x f x ;-=- ○2()2221x f f x ;x ⎛⎫=⎪+⎝⎭○3()2f x x .≥ 其中的所有正确命题的序号是（ ）（A ）○1○2○3 （B ）○2○3 （C ）○1○3 （D ）○1○210、已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB =（其中O 为坐标原点），则△ABO 与△AFO 面积之和的最小值是（ ）（A ）2 （B ）3 （C （D第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答。

2014年四川高考数学试卷(理科)(含答案解析)2014年四川省高考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）（2014•四川）已知集合A={x|x 2﹣x ﹣2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B=（ ） A ． {﹣1，0，1，2} B ． {﹣2，﹣1，0，1}C ． {0，1}D ． {﹣1，0}2．（5分）（2014•四川）在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数为（ ） A ． 30 B ． 20C ． 15D ． 103．（5分）（2014•四川）为了得到函数y=sin （2x+1）的图象，只需把y=sin2x 的图象上所有的点（ ） A ． 向左平行移动个单位长度 B ． 向右平行移动个单位长度 C ． 向左平行移动1个单位长度 D ． 向右平行一定1个单位长度4．（5分）（2014•四川）若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有（ ） A ． ＞ B ． ＜ C ． ＞ D ． ＜5．（5分）（2014•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A．0B．1C．2D．36．（5分）（2014•四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种7．（5分）（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．28．（5分）（2014•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．[，1]B．[，1]C．[，]D．[，1]9．（5分）（2014•四川）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1）．现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③C．①③D．①②10．（5分）（2014•四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2B．3C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2014•四川）复数=_________．12．（5分）（2014•四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=_________．13．（5分）（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于_________m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）14．（5分）（2014•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是_________．15．（5分）（2014•四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx 时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有_________．（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．17．（12分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．18．（12分）（2014•四川）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．19．（12分）（2014•四川）设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{a n}的前n项和S n；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和T n．20．（13分）（2014•四川）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．21．（14分）（2014•四川）已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．2014年四川省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）（2014•四川）已知集合A={x|x 2﹣x ﹣2≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B=（ ） A ． {﹣1，0，1，2} B ． {﹣2，﹣1，0，1}C ． {0，1}D ． {﹣1，0}考点：交集及其运算．专题： 计算题．分析： 计算集合A 中x 的取值范围，再由交集的概念，计算可得．解答： 解：A={x|﹣1≤x ≤2}，B=Z ， ∴A ∩B={﹣1，0，1，2}．故选：A ． 点评：本题属于容易题，集合知识是高中部分的基础知识，也是基础工具，高考中涉及到对集合的基本考查题，一般都比较容易，且会在选择题的前几题，考生只要够细心，一般都能拿到分．2．（5分）（2014•四川）在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为（）A．30 B．20 C．15 D．10考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：利用二项展开式的通项公式求出（1+x）6的第r+1项，令x的指数为2求出展开式中x2的系数．然后求解即可．解答：解：（1+x）6展开式中通项T r+1=C6r x r，令r=2可得，T3=C62x2=15x2，∴（1+x）6展开式中x2项的系数为15，在x（1+x）6的展开式中，含x3项的系数为：15．故选：C．点评：本题考查二项展开式的通项的简单直接应用．牢记公式是基础，计算准确是关键．3．（5分）（2014•四川）为了得到函数y=sin（2x+1）的图象，只需把y=sin2x的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动1个单位长D．向右平行一定1个单位长度度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据y=sin（2x+1）=sin2（x+），利用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解答：解：∵y=sin（2x+1）=sin2（x+），∴把y=sin2x的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，即可得到函数y=sin（2x+1）的图象，故选：A ．点评：本题主要考查函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．4．（5分）（2014•四川）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜考点：不等式比较大小；不等关系与不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用特例法，判断选项即可．解答：解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，则，，∴A、B不正确；，=﹣，∴C不正确，D正确．故选：D．点评：本题考查不等式比较大小，特值法有效，导数计算正确．5．（5分）（2014•四川）执行如图所示的程序框图，若输入的x，y∈R，那么输出的S的最大值为（）A．0B．1C．2D．3考点：程序框图．专题：计算题；算法和程序框图．分析：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域，求得取得最大值的点的坐标，求出最大值．解答：解：由程序框图知：算法的功能是求可行域内，目标还是S=2x+y的最大值，画出可行域如图：当时，S=2x+y的值最大，且最大值为2．故选：C．点评：本题借助选择结构的程序框图考查了线性规划问题的解法，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键．6．（5分）（2014•四川）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有（）A．192种B．216种C．240种D．288种考点：排列、组合及简单计数问题．专题：应用题；排列组合．分分类讨论，最左端排甲；最左端只排乙，最右端不能排析：甲，根据加法原理可得结论．解答：解：最左端排甲，共有=120种，最左端只排乙，最右端不能排甲，有=96种，根据加法原理可得，共有120+96=216种．故选：B．点评：本题考查排列、组合及简单计数问题，考查学生的计算能力，属于基础题．7．（5分）（2014•四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（）A．﹣2 B．﹣1 C．1D．2考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案．解答：解：∵向量=（1，2），=（4，2），∴=m +=（m+4，2m+2），又∵与的夹角等于与的夹角，∴=，∴=，∴=，解得m=2，故选：D点评：本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档．8．（5分）（2014•四川）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点，设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的取值范围是（）A．[，1]B ．[，1]C ．[，]D．[，1]考点：直线与平面所成的角．专题：空间角．分析：由题意可得：直线OP于平面A1BD所成的角α的取值范围是∪．再利用正方体的性质和直角三角形的边角关系即可得出．解答：解：由题意可得：直线OP 于平面A 1BD 所成的角α的取值范围是∪．不妨取AB=2．在Rt△AOA1中，==．sin∠C1OA 1=sin（π﹣2∠AOA1）=sin2∠AOA1=2sin∠AOA 1cos∠AOA1=，=1．∴sinα的取值范围是．故选：B．点评：本题考查了正方体的性质和直角三角形的边角关系即可、线面角的求法，考查了推理能力，属于中档题．9．（5分）（2014•四川）已知f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x ∈（﹣1，1）．现有下列命题：①f（﹣x）=﹣f（x）；②f（）=2f（x）③|f（x）|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（）A．①②③B．②③C．①③D．①②考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知中函数的解析式，结合对数的运算性质，分别判断三个结论的真假，最后综合判断结果，可得答案．解答：解：∵f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），x∈（﹣1，1），∴f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣f（x），即①正确；f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln（）﹣ln（）=ln（）=ln[（）2]=2ln（）=2[ln （1+x）﹣ln（1﹣x）]=2f（x），故②正确；当x∈[0，1）时，|f（x）|≥2|x|⇔f（x）﹣2x≥0，令g （x）=f（x）﹣2x=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x（x∈[0，1））∵g′（x）=+﹣2=≥0，∴g（x）在[0，1）单调递增，g（x）=f（x）﹣2x≥g（0）=0，又f（x）≥2x，又f（x）与y=2x为奇函数，所以丨f （x）丨≥2丨x丨成立，故③正确；故正确的命题有①②③，故选：A点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了对数的运算性质，代入法求函数的解析式等知识点，难度中档．10．（5分）（2014•四川）已知F为抛物线y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，•=2（其中O为坐标原点），则△ABO与△AFO面积之和的最小值是（）A．2B ．3C．D．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：可先设直线方程和点的坐标，联立直线与抛物线的方程得到一个一元二次方程，再利用韦达定理及•=2消元，最后将面积之和表示出来，探求最值问题．解答：解：设直线AB 的方程为：x=ty+m，点A（x1，y1），B （x2，y2），直线AB与x轴的交点为M（（0，m），由⇒y 2﹣ty﹣m=0，根据韦达定理有y1•y2=﹣m，∵•=2，∴x1•x2+y1•y 2=2，从而，∵点A，B位于x轴的两侧，∴y1•y 2=﹣2，故m=2．不妨令点A在x轴上方，则y1＞0，又，∴S△ABO+S△AFO==．当且仅当，即时，取“=”号，∴△ABO与△AFO面积之和的最小值是3，故选B．点评：求解本题时，应考虑以下几个要点：1、联立直线与抛物线的方程，消x或y后建立一元二次方程，利用韦达定理与已知条件消元，这是处理此类问题的常见模式．2、求三角形面积时，为使面积的表达式简单，常根据图形的特征选择适当的底与高．3、利用基本不等式时，应注意“一正，二定，三相等”．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2014•四川）复数=﹣2i．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用两个复数代数形式的乘除法法则化简所给的复数，可得结果．解答：解：复数===﹣2i，故答案为：﹣2i．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．12．（5分）（2014•四川）设f（x）是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[﹣1，1）时，f（x）=，则f（）=1．考点：函数的值．专题：计算题．分析：由函数的周期性f（x+2）=f（x），将求f（）的值转化成求f（）的值．解答：解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，∴=1．故答案为：1．点评：本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”．13．（5分）（2014•四川）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于60m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）考点：余弦定理的应用；正弦定理；正弦定理的应用．专题：应用题；解三角形．分析：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，分别在Rt△ACD、Rt△ABD中利用三角函数的定义，算出CD、BD的长，从而可得BC，即为河流在B、C两地的宽度．解答：解：过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，则Rt △ACD中，∠C=30°，AD=46m∴CD==46≈79.58m．又∵Rt△ABD中，∠ABD=67°，可得BD==≈19.5m∴BC=CD﹣BD=79.58﹣19.5=60.08≈60m故答案为：60m点评：本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．14．（5分）（2014•四川）设m∈R，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx﹣y﹣m+3=0交于点P（x，y）．则|PA|•|PB|的最大值是5．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：先计算出两条动直线经过的定点，即A和B，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有PA⊥PB；再利用基本不等式放缩即可得出|PA|•|PB|的最大值．解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），动直线mx﹣y﹣m+3=0即m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）故答案为：5点评：本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有|PA|2+|PB|2是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．15．（5分）（2014•四川）以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．例如，当φ1（x）=x3，φ2（x）=sinx 时，φ1（x）∈A，φ2（x）∈B．现有如下命题：①设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”；②函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值；③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，则f（x）+g（x）∉B．④若函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，则f（x）∈B．其中的真命题有①③④．（写出所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用；充要条件；函数的值域．专题：新定义；极限思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③是否正确，再利用导数研究命题④中函数的值域，可得到其真假情况，从而得到本题的结论．解答：解：（1）对于命题①“f（x）∈A”即函数f（x）值域为R，“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”表示的是函数可以在R中任意取值，故有：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”∴命题①是真命题；（2）对于命题②若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值．∴命题②“函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值．”是假命题；（3）对于命题③若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g （x）∈B，则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．∴f（x）+g（x）∈R．则f（x）+g（x）∉B．∴命题③是真命题．（4）对于命题④∵函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，∴假设a＞0，当x→+∞时，→0，ln（x+2）→+∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符；假设a＜0，当x→﹣2时，→，ln（x+2）→﹣∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符．∴a=0．即函数f（x）=（x＞﹣2）当x＞0时，，∴，即；当x=0时，f（x）=0；当x＜0时，，∴，即．∴．即f（x）∈B．故命题④是真命题．故答案为①③④．点评：本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）（2014•四川）已知函数f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．考点：两角和与差的余弦函数；正弦函数的单调性．专题：三角函数的求值．分析：（1）令2k π﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z ，求得x的范围，可得函数的增区间．（2）由函数的解析式可得f （）=sin （α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化简可得（cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，从而求得cos α﹣sinα的值．解答：解：（1）∵函数f（x）=sin（3x+），令2k π﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得﹣≤x≤+，故函数的增区间为[﹣，+]，k∈z．（2）由函数的解析式可得f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cos2α﹣sin2α）（sinα+cosα）．又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，当sinα+cosα=0时，此时cosα﹣sin α=﹣．当sinα+cosα≠0时，此时cosα﹣sinα=﹣．综上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．点评：本题主要考查正弦函数的单调性，三角函数的恒等变换，属于中档题．17．（12分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分（1）设每盘游戏获得的分数为X，求出对应的概率，即析：可求X的分布列；（2）求出有一盘出现音乐的概率，独立重复试验的概率公式即可得到结论．（3）计算出随机变量的期望，根据统计与概率的知识进行分析即可．解答：解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100．则P （X=﹣200）=，P （X=10）==P（X=20）==，P（X=100）==，故分布列为：X ﹣200 10 20 100P由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣．由（1）知，每盘游戏或得的分数为X的数学期望是E （X）=（﹣200）×+10×+20××100=﹣=．这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．点评：本题主要考查概率的计算，以及离散型分布列的计算，以及利用期望的计算，考查学生的计算能力．18．（12分）（2014•四川）三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP．（1）证明：P是线段BC的中点；（2）求二面角A﹣NP﹣M的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角．专题：空间向量及应用．分析：（1）用线面垂直的性质和反证法推出结论，（2）先建空间直角坐标系，再求平面的法向量，即可求出二面角A﹣NP﹣M的余弦值．解答：解：（1）由三棱锥A﹣BCD及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥A﹣BCD中：平面ABD⊥平面CBD，AB=AD=BD=CD=CB=2设O为BD的中点，连接OA，OC于是OA⊥BD，OC⊥BD 所以BD⊥平面OAC⇒BD⊥AC因为M，N分别为线段AD，AB的中点，所以MN∥BD，MN∥NP，故BD ⊥NP假设P 不是线段BC的中点，则直线NP 与直线AC是平面ABC内相交直线从而BD ⊥平面ABC，这与∠DBC=60°矛盾，所以P 为线段BC的中点（2）以O为坐标原点，OB，OC ，OA分别为x，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，），M （，O，），N（，0，），P （，，0）于是，，设平面ANP和平面NPM的法向量分别为和由，则，设z1=1，则由，则，设z2=1，则cos===所以二面角A﹣NP﹣M的余弦值点评：本题考查线线的位置关系，考查二面角知识的应用，解题的关键是掌握用向量的方法求二面角大小的步骤，属于中档题．19．（12分）（2014•四川）设等差数列{a n}的公差为d，点（a n，b n）在函数f（x）=2x的图象上（n∈N*）．（1）若a1=﹣2，点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，求数列{a n}的前n项和S n；（2）若a1=1，函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线在x轴上的截距为2﹣，求数列{}的前n项和T n．考点：数列的求和；数列与函数的综合．专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：（1）由于点（a8，4b7）在函数f（x）=2x的图象上，可得，又等差数列{a n}的公差为d，利用等差数列的通项公式可得=2d．由于点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，可得=b8，进而得到=4=2d，解得d．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．（2）利用导数的几何意义可得函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程，即可解得a2．进而得到a n，b n．再利用“错位相减法”即可得出．解答：解：（1）∵点（a8，4b7）在函数f（x）=2x的图象上，∴，又等差数列{a n}的公差为d，∴==2d，∵点（a8，4b7）在函数f（x）的图象上，∴=b8，∴=4=2d，解得d=2．又a1=﹣2，∴S n==﹣2n+=n2﹣3n．（2）由f（x）=2x，∴f′（x）=2x ln2，∴函数f（x）的图象在点（a2，b2）处的切线方程为，又，令y=0可得x=，∴，解得a2=2．∴d=a2﹣a1=2﹣1=1．∴a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n，∴b n=2n．∴．∴T n=+…++，∴2T n=1+++…+，两式相减得T n=1++…+﹣=﹣==．点评：本题综合考查了指数函数的运算性质、导数的几何意义、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“错位相减法”，属于难题．20．（13分）（2014•四川）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=﹣3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q．①证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；②当最小时，求点T的坐标．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：第（1）问中，由正三角形底边与高的关系，a2=b2+c2及焦距2c=4建立方程组求得a 2，b2；第（2）问中，先设点的坐标及直线PQ的方程，利用两点间距离公式及弦长公式将表示出来，由取最小值时的条件获得等量关系，从而确定点T的坐标．解解：（1）依题意有解得答：所以椭圆C的标准方程为+=1．（2）设T（﹣3，m），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中点为N（x0，y0），①证明：由F（﹣2，0），可设直线PQ的方程为x=my﹣2，由⇒（m2+3）y2﹣4my﹣2=0，所以于是，从而，即，则，所以O，N，T三点共线，从而OT平分线段PQ，故得证．②由两点间距离公式得，由弦长公式得==，所以，令，则（当且仅当x2=2时，取“=”号），所以当最小时，由x2=2=m2+1，得m=1或m=﹣1，此时点T的坐标为（﹣3，1）或（﹣3，﹣1）．点评：本题属相交弦问题，应注意考虑这几个方面：1、设交点坐标，设直线方程；2、联立直线与椭圆方程，消去y或x，得到一个关于x 或y一元二次方程，利用韦达定理；3、利用基本不等式或函数的单调性探求最值问题．21．（14分）（2014•四川）已知函数f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，其中a，b∈R，e=2.71828…为自然对数的底数．（1）设g（x）是函数f（x）的导函数，求函数g（x）在区间[0，1]上的最小值；（2）若f（1）=0，函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（1）求出f（x）的导数得g（x），再求出g（x）的导数，对它进行讨论，从而判断g（x）的单调性，求出g（x）的最小值；（2）利用等价转换，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，所以g（x）在（0，1）上应有两个不同的零点．解答：解：∵f（x）=e x﹣ax2﹣bx﹣1，∴g（x）=f′（x）=e x﹣2ax﹣b，又g′（x）=e x﹣2a，x∈[0，1]，∴1≤e x≤e，∴①当时，则2a≤1，g′（x）=e x﹣2a≥0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递增，g（x）min=g （0）=1﹣b；②当，则1＜2a＜e，∴当0＜x＜ln（2a）时，g′（x）=e x﹣2a＜0，当ln（2a）＜x＜1时，g′（x ）=e x﹣2a＞0，∴函数g（x）在区间[0，ln（2a）]上单调递减，在区间[ln（2a），1]上单调递增，g（x）min=g[ln（2a）]=2a﹣2aln（2a）﹣b；③当时，则2a≥e，g′（x）=e x﹣2a≤0，∴函数g（x）在区间[0，1]上单调递减，g（x）min=g（1）=e﹣2a﹣b，综上：函数g（x）在区间[0，1]上的最小值为；（2）由f（1）=0，⇒e﹣a﹣b﹣1=0⇒b=e﹣a﹣1，又f（0）=0，若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f （x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．若，则g min（x）=2a ﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1令h（x）=（1＜x＜e）则．由＞0⇒x＜∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，=+＜0，即g min（x）＜0 恒成立，∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，又，所以e﹣2＜a＜1，综上得：e﹣2＜a＜1．点评：本题考查了，利用导数求函数的单调区间，分类讨论思想，等价转换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题，难度较大．参与本试卷答题和审题的老师有：任老师；王老师；孙佑中；刘长柏；qiss；尹伟云；翔宇老师；szjzl；caoqz；清风慕竹；静定禅心；maths（排名不分先后）菁优网2014年6月24日。

2014年普通高等学校招生全国统一考试理科参考答案（四川卷）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，则A B ⋂=A ．{1,0,1,2}-B ．{2,1,0,1}--C ．{0,1}D ．{1,0}- 【答案】A【解析】{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ⋂={1,0,1,2}- 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为 A ．30 B ．20 C ．15 D ．10 【答案】C【解析】含3x 项为24236(1)15x C x x ⋅=3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到 4．若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c<【答案】D【解析】由1100c d d c <<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a bd c->->，所以a bd c< 5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，则输出的S 的最大值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2，否则，S 的值为1.6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，则不同的排法共有A ．192种B ．216种C ．240种D ．288种 【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 44A 种。