华南理工大学高等数学教学课件

高 等 数 学第一章 函数与极限第一节 函数一、常量与变量1）、集合：集合是数学中的一个基本概念，广义来讲把一些事物放在一起就构成一个集合。

在数学中我们把具有某种特定性质的事物的总体叫集合。

如某班所有学生；全体自然数等等。

当集合中的元素抽象地用数表示时这个集合就变成了数集，如某班学生都用学号代替这个集合就变成数集了。

高等数学中我们都考虑数集。

邻域：设a 为任意实数以a 中心的开区间就叫做a 的邻域，记为()a U 。

设δ为任一正数开区间()δδ+-a a ,为a 的邻域，我们记为(){}δδδ+<<-=a x a x a U |,。

去心邻域：有时我们考虑a 的邻域时需要把a 点去掉，这样的邻域叫去心邻域，记为(){}δδ<-<=a x x a U0|, 。

2）、常量和变量：在一变化过程中保持一定的数值叫常量；在一变化过程中可以变化的数值叫变量。

高等数学是研究变量的数学。

二、函数的概念及其性质世界上的事物是普遍联系的，任何事物都不是孤立的，总是和其周围的事物发生各种各样的联系。

联系的形式也是纷繁复杂的，其中一种有代表性的情形就下面我们要讨论的函数。

定义：设x 和y 是两个变量，D 是一个给定的数集。

如果对于每个数D x ∈，变量y 按照一定的法则总有确定的数值和它对应，则称y 是x 的函数，记为()x f y =。

其中数集D 叫做这个函数的定义域，x 叫自变量，y 叫因变量（函数），数集(){}D x x f y y W ∈==,|叫函数的值域如图1。

注1：函数()x f 的定义域一般是指能使该算是有意义的所有x 取值所构成的集合。

注2：连函数相同，不但要对应法则一致，还要定义域一致。

例1：求函数()()xx x x x f 412ln 22+--+=定义域。

解:定义域为{}{}0401222>+-⋂>-+x x x x x x ，即{}413<<-x x 1）函数的表示方法① 列表法：当定义域是由有限个数构成的数集时可以考虑这种方法。

华南理工大学版微积分下课件33第三节幂级数一、函数项级数的概念函数列：（这些函数定义区间为«Skip Record If...»）«Skip Record If...»我们称«Skip Record If...»为函数项级数。

对于«Skip Record If...»，如果«Skip Record If...»收敛，则称«Skip Record If...»为级数«Skip Record If...»的收敛点，部分和为«Skip Record If...»，在收敛域内有«Skip Record If...»；余项«Skip Record If...»二、幂级数及其收敛性级数«Skip Record If...»称为幂级数，记为«Skip Record If...»。

例14：«Skip Record If...»例15：判别幂级数«Skip Record If...»的收敛性。

定理1：如果幂级数«Skip Record If...»当«Skip Record If...»«Skip Record If...»时收敛，则适合不等式«Skip Record If...»的一切«Skip Record If...»都收敛；反之如果级数«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时发散，则适合不等式«Skip Record If...»的一切«Skip Record If...»使幂级数发散。

第三节 函数的极限一、自变量趋于无穷大时函数的极限定义 ：设函数()x f 当x 大于某一个正数时有定义，如果对于任意给定的0>ε（任意小）总存在正数X ，当X x >时，一定有()ε<-A x f那么常数A 称为函数()x f 当∞→x 时的极限，记为()A x f x =∞→lim ，或()()∞→→x A x f 。

例1 ：证明 1）656lim=+∞→xx x ； 2）()101lim 1<<=∞→a a x x 证明：1）对于任给的（任意小）0>ε，xx x x 55656==-+ 取ε5=X ，当X x >时有ε<-+656xx 所以656lim=+∞→xx x 。

（如图6） 注 1：直线6=y 称为函数xx y 56+=的水平渐近线。

2）对于任给的（任意小）0>ε，要使ε<-11x a ，即()()εεεε+-<<⇔+<<-1log 11log 111a a a a aa xx当10<<a 时，指数函数是递减的，所以()()εε+>>-1log 11log a a x令()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--=εε1log 1,1log 1max a a M ，则当()0<>-x x M 时有 ()()εε+>->>-1log 111log a a Mx 当()0>>x M x 时有()()εε+>>>-1log 111log a a xM 即当M x >时总有()()εε+>>-1log 11log a a xε<-11xa所以()101lim 1<<=∞→a a xx 。

注2:∞→x 有两个方向，一个方向越来越大，一个方向越来越小。

有些函数当自变量向不同的方向变化时，函数越来越接近的数可能不相同。

第二节 数列极限一、 整标函数与数列①积分学的基本思想高等数学的主要内容就是微积分学。

积分学和微分学原是数学领域两个不同的分支。

积分学的起源要早于微分学，它起源于计算几何形体的长度、面积、体积等等。

下面我们用计算面积的情形了解一下积分学的基本思想。

怎样计算抛物线2x y =和直线1,0==x y 所围成的平面图形的面积？我们主要分四步处理1）化整为零（分割）把所处理图形剪成很多小片； 2）近似代替（作乘积）把每一小片近似看着长方形； 3）积零为整（求和）把所有小片的近似面积加起来；4）无限趋近（取极限）当分割越来越细时，寻找和式越来越接近的数。

（如图5）,612131,0099333.031,,0137603.031,,0189842.031,,0348639.031,0680272.031,0787037.031,093333.031,114583.031,148148.0312⎪⎭⎫ ⎝⎛-----------n n 容易看出，当n 越来越大时，所求的近似面积会越来越接近31（数列极限），所以我们所求平面图形的面积为31。

②数列的概念以上我们得到的这一列数就称为数列。

下面我们再看几个数列的例子：,21,,81,41,21,1n⎪⎭⎫⎝⎛ （等比数列） () ,1,,1,1,1,1,1n---,ln ,,4ln ,3ln ,2ln ,1ln n数列我们通常记作{}n a ，其中n a 称为通项。

如上面所提到的数列可分别记为(){}{}n nn nnln ,1,21,6121312-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫⎝⎛--其实数列还是一个以自然数为定义域的函数。

例如对于数列{}n a 对任意的自然数n 有唯一的数n a 与之对应。

所以数列有时也可以记作()n f 。

当把数列看着一个函数时，我们称此函数为整标函数。

二、极限的定义对于数列{}n a ，我们称常数A 是它的极限，是指当n 越来越大时，对应的n a 越来越接近A 。