3.1 不等关系与不等式导学案

湖南省邵阳市隆回县第二中学高中数学 3.1不等式与不等关系导学案 新人教A 版必修5【学习目标】（1）通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；（2）经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法； （3）掌握作差比较法判断两实数或代数式大小；（4）通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯． 【自主学习】阅读教材P72—73，独立完成下列问题：1、表示 关系的式子叫做不等式,常用符号 表示不等关系.2、比较两实数大小的方法——作差比较法：a-b>0 ⇔ a b a-b<0 ⇔ a b a-b=0 ⇔ a b3、比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小；【合作探究】1、某杂志以每本2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若价格每提高0.2元，发行量就减少5000册．(1)若设每本杂志价格提高x 元，怎样用不等式表示销售收入大于22.4万元呢？(2)若设提价后杂志的定价为x 元，又怎样用不等式表示销售收入大于22.4万元呢？2、某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食x 百克、米饭y 百克，试写出,x y 满足的条件．【目标检测】（A 级、全体学生做） 1、用不等式表示下面的不等关系： （1）a 与b 的和是非负数；（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h “限高4m ”；（3）在一个面积为350m 2的矩形地基上建造一个仓库，四周各留5m 的绿地，仓库的长L 大于宽W 的4倍；2、比较2)6()7)(5(+++x x x 与 的大小；（B 级选做题）某企业生产A 、B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗如下表：产品品种劳动力（个）煤（吨）电（千瓦）A 产品 3 9 4B 产品1045现因条件限制，该企业仅有劳动力300个，煤360吨，并且供电局只能供电200千瓦，设A,B 这两种产品各x 吨，y 吨，那么x ,y 应满足怎样的关系？学习反思：本节课我学到了什么？本节课我的学习效率如何？本节课还有哪些没学懂？§3.1不等式与不等关系（第2课时）【学习目标】（1）使学生掌握常用不等式的基本基本性质； （2）会将一些基本性质结合起来应用.（3）学习如何利用不等式的有关基本性质研究不等关系. 【自主学习】任务一：请同学们回忆初中不等式的的基本性质（1）不等式的两边同时加上或减去______ _____，不等号的方向____________； （2）不等式的两边同时乘以或除以____________，不等号的方向____________； （3）不等式的两边同时乘以或除以____________，不等号的方向____________。

3.1不等关系与不等式【教学目标】1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.初步学会作差法比较两实数的大小.3.掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《3.1不等关系与不等式》课件“问题情景”部分，从生活中鲜活的事例入手，了解不等关系存在的普通性与实际意义，再通过举例说明和互相交流，进一步理解不等式的定义.二、自主学习教材整理1不等关系与不等式阅读教材P72～P73上面第5行，完成下列问题．1．不等符号与不等关系的表示：(1)不等符号有＜，≤，＞，≥，≠；(2)不等关系用不等式来表示．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换阅读教材P73上面第二自然段～P74，完成下列问题．1．比较两实数a，b大小的依据2．不等式的性质问题1 限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40 km/h ，用不等式如何表示？提示 v ≤40.问题2 x 2＋1与2x 两式都随x 的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x 2＋1与2x 的大小，而且具有说服力吗？提示 作差：x 2＋1－2x ＝(x －1)2≥0，所以x 2＋1≥2x . 问题3 试用作差法证明a >b ，b >c ⇒a >c .提示 a >b ，b >c ⇒a －b >0，b －c >0⇒a －b ＋b －c >0⇒a －c >0⇒a >c . 探究点1 用不等式(组)表示不等关系例1 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本．若把提价后杂志的定价设为x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？提示 提价后销售的总收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x 万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫8－x －2.50.1×0.2x ≥20.名师点评：数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系．用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系．思维要严密、规范．探究点2 比较大小命题角度1 作差法比较大小例2 已知a ，b 均为正实数．试利用作差法比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小． 提示 ∵a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a 3－a 2b )＋(b 3－ab 2) ＝a 2(a －b )＋b 2(b －a )＝(a －b )(a 2－b 2)＝(a －b )2(a ＋b )． 当a ＝b 时，a －b ＝0，a 3＋b 3＝a 2b ＋ab 2； 当a ≠b 时，(a －b )2>0，a ＋b >0，a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. 综上所述，a 3＋b 3≥a 2b ＋ab 2.名师点评：比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．作差法比较实数的大小的一般步骤是作差→恒等变形→判断差的符号→下结论．作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式．命题角度2 作商法比较大小例3 若0＜x ＜1，a ＞0且a ≠1，试比较|log a (1－x )|与|log a (1＋x )|的大小关系． 提示 |log a (1－x )||log a (1＋x )|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪log a (1－x )log a (1＋x )＝||log (1＋x )(1－x )，∵0＜x ＜1，∴||log (1＋x )(1－x )＝－log (1＋x )(1－x ) ＝log (1＋x )11－x， ∵1－x 2＝(1＋x )(1－x )＜1，且1－x ＞0， ∴1＋x ＜11－x，∴log (1＋x )11－x ＞1，即|log a (1－x )||log a (1＋x )|＞1，∴|log a (1＋x )|＜|log a (1－x )|.名师点评： 作商法的依据：若b ＞0，则ab ＞1⇔a ＞b .探究点3 不等式的基本性质 例4 已知a >b >0，c <0，求证：c a >cb.提示 因为a >b >0，所以ab >0，1ab >0.于是a ×1ab >b ×1ab ，即1b >1a .由c <0，得c a >cb.名师点评：有关不等式的证明，最基本的依据是不等式的8条基本性质，在解不等式时，对不等式进行有关变形的依据也是8条基本性质．四、当堂检测1．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式表示就是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y ≥380，z >45 B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥95，y >380，z ≥45C.⎩⎪⎨⎪⎧x >95，y >380，z >45 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45提示 D解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，∴x ≥95，y >380，z >45.2．已知a ＋b >0，b <0，那么a ，b ，－a ，－b 的大小关系是( ) A ．a >b >－b >－a B ．a >－b >－a >b C ．a >－b >b >－a D ．a >b >－a >－b提示 C解析 由a ＋b >0，知a >－b ， ∴－a <b <0. 又b <0，∴－b >0， ∴a >－b >b >－a .3．比较(a ＋3)(a －5)与(a ＋2)(a －4)的大小． 提示 ∵(a ＋3)(a －5)－(a ＋2)(a －4) ＝(a 2－2a －15)－(a 2－2a －8)＝－7<0， ∴(a ＋3)(a －5)<(a ＋2)(a －4)．4．某市政府准备投资1800万元兴办一所中学．经调查，班级数量以20至30个为宜，每个初、高中班硬件配置分别需要28万元与58万元，该学校的规模(初、高中班级数量)所满足的条件是什么？提示 设该校有初中班x 个，高中班y 个，则有⎩⎪⎨⎪⎧20≤x ＋y ≤30，28x ＋58y ≤1800.五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容? 提示：1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了． a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b . 2．作差法比较的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)； 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备．。

第三章不等式§3.1 不等关系与不等式一、学习目标1.了解不等式的意义,会列不等式表示数量关系.2.掌握常用不等式的基本性质.3会用不等式的性质证明简单的不等式.【重点、难点】教学重点：不等式的意义及不等式的基本性质。

教学难点：不等式的意义及不等式基本性质的应用。

二、学习过程【情景创设】咖啡馆配制两种饮料,甲种饮料每杯分别用奶粉9 g,咖啡4 g,糖3 g;乙种饮料每杯分别用奶粉4 g,咖啡5 g,糖10 g.已知每天使用原料限额为奶粉3600 g,咖啡2000 g,糖3000 g,设每天应配制甲种饮料x杯,乙种饮料y 杯,你能写出满足上述条件的所有不等式吗?【导入新课】1 .上述情景中的x,y满足的不等式分别为. . .x≥0,y≥02．作差法比较大小的依据是什么?(1)a>b⇔;(2)a=b⇔;(3)a<b⇔.要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的与的大小关系即可.3．作商法比较大小的依据是什么?设a,b∈R,且a>0,b>0(1)a>b⇔;(2)a=b⇔;(3)a<b⇔.要确定任意两个正实数a,b的大小关系,只需确定它们的与的大小关系即可.4．不等式的基本性质(1)对称性:a>b⇔b a;(2)传递性:a>b,b>c⇒a c;(3)可加性:a>b⇒a+c b+c;(4)a>b,c>d⇒a+c b+d;(5)可乘性:a>b,c>0⇒ac bc;(6)a>b>0,c>d>0⇒ac bd;(7)a>b,c<0⇒ac bc;(8)乘方性:a>b>0⇒a n b n(n∈N,n≥2);(9)开方性:a>b>0⇒错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

(n∈N,n≥2);(10)a>b,ab>0⇒错误!未找到引用源。

错误!未找到引用源。

§3.1 不等关系与不等式 课时目标1．初步学会作差法比较两实数的大小．2．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题．1．比较实数a ，b 的大小(1)文字叙述如果a －b 是正数，那么a >b ； 如果a －b 等于0，那么a ＝b ；如果a －b 是负数，那么a <b ，反之也成立．(2)符号表示a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b .2．常用的不等式的基本性质(1)a >b ⇔b <a (对称性)；(2)a >b ，b >c ⇒a >c (传递性)；(3)a >b ⇒a ＋c >b ＋c (可加性)；(4)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；(5)a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ； (6)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(7)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒a n >b n ；(8)a >b >0，n ∈N ，n ≥2⇒n a >n b .一、选择题1．若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( )A.1a <1b B ．a 2>b 2C.ac 2＋1>bc 2＋1 D ．a |c |>b |c |答案 C解析 对A ，若a >0>b ，则1a >0，1b <0，此时1a >1b ，∴A 不成立；对B ，若a ＝1，b ＝－2，则a 2<b 2，∴B 不成立；对C ，∵c 2＋1≥1，且a >b ，∴a c 2＋1>bc 2＋1恒成立，∴C 正确；对D ，当c ＝0时，a |c |＝b |c |，∴D 不成立．2．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．a >a b >a b 2 B.a b 2>ab >aC.a b >a >ab 2 D.ab >ab 2>a答案 D解析 取a ＝－2，b ＝－2，则a b ＝1，a b 2＝－12，∴a b >ab 2>a .3．已知a 、b 为非零实数，且a <b ，则下列命题成立的是( )A ．a 2<b 2B ．a 2b <ab 2C.1ab 2<1a 2bD.b a <a b答案 C解析 对于A ，当a <0，b <0时，a 2<b 2不成立；对于B ，当a <0，b >0时，a 2b >0，ab 2<0，a 2b <ab 2不成立；对于C ，∵a <b ，1a 2b 2>0，∴1ab 2<1a 2b ；对于D ，当a ＝－1，b ＝1时，b a ＝a b ＝－1.4．若x ∈(e －1,1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a <b <cB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a答案 C解析 ∵1e <x <1，∴－1<ln x <0.令t ＝ln x ，则－1<t <0.∴a －b ＝t －2t ＝－t >0，∴a >b .c －a ＝t 3－t ＝t (t 2－1)＝t (t ＋1)(t －1)，又∵－1<t <0，∴0<t ＋1<1，－2<t －1<－1，∴c －a >0，∴c >a .∴c >a >b .5．设a ，b ∈R ，若a －|b |>0，则下列不等式中正确的是( )A ．b －a >0B ．a 3＋b 3<0C ．a 2－b 2<0D ．b ＋a >0答案 D解析 由a >|b |得－a <b <a ，∴a ＋b >0，且a －b >0.∴b －a <0，A 错，D 对．可取特值，如a ＝2，b ＝－1，a 3＋b 3＝7>0，故B 错．而a 2－b 2＝(a －b )(a ＋b )>0，∴C 错．6．若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式中正确的是( )A ．ab >acB ．ac >bcC ．a |b |>c |b |D ．a 2>b 2>c 2答案 A解析 由a >b >c 及a ＋b ＋c ＝0知a >0，c <0，又∵a >0，b >c ，∴ab >ac .故选A.二、填空题7．若1≤a ≤5，－1≤b ≤2，则a －b 的取值范围为________．答案 [－1,6]解析 ∵－1≤b ≤2，∴－2≤－b ≤1，又1≤a ≤5，∴－1≤a －b ≤6.8．若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )与g (x )的大小关系是________． 答案 f (x )>g (x )解析 ∵f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1>0，∴f (x )>g (x )．9．若x ∈R ，则x 1＋x 2与12的大小关系为________． 答案 x 1＋x 2≤12 解析 ∵x 1＋x 2－12＝2x －1－x 221＋x 2＝－x －1221＋x 2≤0， ∴x 1＋x 2≤12. 10．设n >1，n ∈N ，A ＝n －n －1，B ＝n ＋1－n ，则A 与B 的大小关系为________． 答案 A >B解析 A ＝1n ＋n －1，B ＝1n ＋1＋n. ∵n ＋n －1<n ＋1＋n ，并且都为正数，∴A >B .三、解答题11．设a >b >0，试比较a 2－b 2a 2＋b 2与a －b a ＋b的大小． 解 方法一 作差法a 2－b 2a 2＋b 2－a －b a ＋b ＝a ＋b a 2－b 2－a －b a 2＋b 2a 2＋b 2a ＋b＝a －b [a ＋b 2－a 2＋b 2]a 2＋b 2a ＋b ＝2ab a －b a ＋b a 2＋b 2∵a >b >0，∴a ＋b >0，a －b >0,2ab >0.∴2ab a －b a ＋b a 2＋b 2>0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 方法二 作商法∵a >b >0，∴a 2－b 2a 2＋b 2>0，a －b a ＋b>0. ∴a 2－b 2a 2＋b 2a －b a ＋b＝a ＋b 2a 2＋b 2＝a 2＋b 2＋2ab a 2＋b 2＝1＋2ab a 2＋b 2>1. ∴a 2－b 2a 2＋b 2>a －b a ＋b. 12．设f (x )＝1＋log x 3，g (x )＝2log x 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f (x )与g (x )的大小．解 f (x )－g (x )＝1＋log x 3－2log x 2＝log x 3x 4， ①当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，3x 4＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，0＜3x 4＜1， 即1＜x ＜43时，log x 3x 4＜0，∴f (x )＜g (x )； ②当3x 4＝1，即x ＝43时，log x 3x 4＝0，即f (x )＝g (x )； ③当⎩⎪⎨⎪⎧ 0＜x ＜1，0＜3x 4＜1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x 4＞1，即0＜x ＜1，或x ＞43时，log x 3x4＞0，即f (x )＞g (x )．综上所述，当1＜x ＜43时，f (x )＜g (x )；当x ＝43时，f (x )＝g (x )；当0＜x ＜1，或x ＞43时，f (x )＞g (x )．能力提升13．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( )A ．a 1b 1＋a 2b 2B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12答案 A解析 方法一 特殊值法．令a 1＝14，a 2＝34，b 1＝14，b 2＝34，则a 1b 1＋a 2b 2＝1016＝58，a 1a 2＋b 1b 2＝616＝38，a 1b 2＋a 2b 1＝616＝38， ∵58>12>38，∴最大的数应是a 1b 1＋a 2b 2.方法二 作差法．∵a 1＋a 2＝1＝b 1＋b 2且0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，∴a 2＝1－a 1>a 1，b 2＝1－b 1>b 1，∴0<a 1<12，0<b 1<12.又a 1b 1＋a 2b 2＝a 1b 1＋(1－a 1)(1－b 1)＝2a 1b 1＋1－a 1－b 1，a 1a 2＋b 1b 2＝a 1(1－a 1)＋b 1(1－b 1)＝a 1＋b 1－a 21－b 21，a 1b 2＋a 2b 1＝a 1(1－b 1)＋b 1(1－a 1)＝a 1＋b 1－2a 1b 1，∴(a 1b 2＋a 2b 1)－(a 1a 2＋b 1b 2)＝a 21＋b 21－2a 1b 1＝(a 1－b 1)2≥0，∴a 1b 2＋a 2b 1≥a 1a 2＋b 1b 2.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝4a 1b 1＋1－2a 1－2b 1＝1－2a 1＋2b 1(2a 1－1)＝(2a 1－1)(2b 1－1)＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>a 1b 2＋a 2b 1.∵(a 1b 1＋a 2b 2)－12＝2a 1b 1＋12－a 1－b 1＝b 1(2a 1－1)－12(2a 1－1)＝(2a 1－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫b 1－12>0，∴a 1b 1＋a 2b 2>12.综上可知，最大的数应为a 1b 1＋a 2b 2.14．设x ，y ，z ∈R ，试比较5x 2＋y 2＋z 2与2xy ＋4x ＋2z －2的大小．解 ∵5x 2＋y 2＋z 2－(2xy ＋4x ＋2z －2)＝4x 2－4x ＋1＋x 2－2xy ＋y 2＋z 2－2z ＋1＝(2x －1)2＋(x －y )2＋(z －1)2≥0，∴5x 2＋y 2＋z 2≥2xy ＋4x ＋2z －2，当且仅当x ＝y ＝12且z ＝1时取到等号．1．比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了．a －b >0⇔a >b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b <0⇔a <b .2．作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0.(不确定的要分情况讨论) 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，千万不可想当然．。

3.1不等关系与不等式(一)【学习目标】1、通过了解一些不等式(组)产生的实际背景，认识不等关系的普遍性；2、掌握实数的性质与大小顺序之间的关系，会用作差比较法比较两个实数的大小。

重点：用作差比较法比较两个实数的大小•难点：从实际问题中抽象出不等关系；作差比较法比较两个实数的大小时如何适当“变形”【课前导学】阅读课本P72〜73上半页后，填空：1、 (1)某公路立交桥对通过的车辆的高度h限高4 m，其不等关系是_________________(2)两实数a与b的和为非负数，则列出的不等关系是2、两实数之差a —b的符号与此两实数a、b的大小关系:a b0a ba b0ab 由此可知，要比较两个实数的大小，可以考察这两个实数的a b0a b【课内探究】例1、配制A B两种药剂，需要甲、乙两种原料•已知配一剂A种药需甲料3g,乙料5g；配一剂B种药需甲料5g，乙料4g.今有甲料20g，乙料25g，若A、B两种药至少各配一剂，设A B 两种药分别配x、y剂(x、y N )，请写出x、y就满足的不等关系式•例2、比较下列各组中两个代数式的大小：(1) (a 3)(a 5)与(a 2)(a 4)；Q 0 0(2) x 7x 与x27(其中x 1) ；(3) x y 1 与2(x y 1).小结：作差比较法的步骤：作差，变形，判断符号变式：比较的大小：(1) x2 x与1 ；( 2) x3与x2x+1 .【总结提升】【反馈检测】1、比较下列各组数的大小：(1) (x2 1)2与X4 X2 1(x 0) ；(2) a2 b2与2ab 1.2、求证：2 2 2 2 4a (1)a 3b 2b(a b) ； ( 2)a b 2 2a 2b ； ( 3)已知a 2，求证21.4 a3、P75习题3.1 A 组第5题解：*4、P75 习题3.1 A 组第4题解:。

3.1不等关系与不等式1. 学会不等式基本性质的内容；2. 能够利用不等式基本性质比较两代数式的大小；3. 利用不等式的同向可加性求多项式的取值范围.重点：不等式基本性质的应用；难点：求多项式的取值范围.（1） 预习教材73-74页，用红色笔画出疑惑之处，并尝试完成下列问题，总结规律.（2） 用严谨认真的态度完成导学案中要求的内容。

预学案一、相关知识(1)数轴上的任意两点中， 边点对应的实数比 边点对应的实数大.(2)对于任意两个实数a 和b ，a =b ，a >b ，a <b 三种关系中， 一种关系成立.(3)实数比较大小的方法：( 法或 法)b a b a >⇔>-0；b a b a <⇔<-0；b a b a =⇔=-0若a ,b +∈R 则1ab ，⇔=1b a ，1a b .二、新知预习已知()=-++=+m b a n b a m b a 则),(32 ，=n 我的疑惑 .导学案（一）不等式的基本性质探究1.性质1（对称性）如果a b > ，那么 ；如果b a <，那么 .即a b b a >⇔<.2.性质2（传递性）如果,a b b c >>，那么 .即,a b b c a c >>⇒>.3.性质3（加法法则）如果a b > ，那么a c + b c +.（是不等式移向法则的基础）4.性质4（乘法法则）如果a b > ，0c >，那么 . 如果a b > ，0c <，那么 .（a 、b 可以是数字，也可以是代数式，运用过程中一定要注意c 的符号）5.性质5（同向可加性）如果,a b c d >>，那么a c + b d +.（两个或多个同向不等式相加，所得不等式与原不等式同向）6.性质6（同向可乘性）如果0,0a b c d >>>>，那么ac bd .7.性质7（乘方法则）如果 ，那么,n n a b >（n ∈N ，2n ≥）.8.性质8（开方法则）如果 ，那么>（n ∈N ，2n ≥）.（二）不等式的基本性质应用探究1、比较两个代数式的大小例1 已知0,0a b c >><,求证:c c a b>.总结：比较两个实数(代数式)大小的方法巩固练习1 比较(a +3)(a -5) 与(a +2)(a -4)的大小.巩固练习22、已知R x ∈比较()221+x 与124++x x 的大小.2、探究：“糖水加糖甜更甜”问题例2 已知0,0>>>m b a ,求证：a b m a m b >++3、求多项式的取值范围例3 已知13a b ，且24a b ，求b a 32+的取值范围.巩固练习3设bx ax x f +=2)(，且4)1(2,2)1(1≤≤≤-≤f f 求)2(-f 的取值范围。

3.1《不等关系与不等式》（1）主备人：张有明校对人：李德明周萍萍审核人：胡道成【学习目标】1、会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系；2、理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。

【重点】用不等式（组）表示实际问题中的不等关系；【难点】用不等式（组）正确表示不等关系。

【知识链接】大于用表示，小于用表示，不大于用表示，不小于用表示，正数用表示，负数用表示，非负数用表示，非正数用表示知识点1：现实世界和日常生活中常见的不等关系问题1：用不等式表示下列不等关系：（1）a与b的和是非正数；（3）右图是限速为40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，表示为 40知识点2:现实世界和日常生活中常见的不等式组关系问题2：用不等式组表示下列不等关系：（1）中国“神州七号”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9km/s，且小于第二宇宙速度11.2km/s. 表示为（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪f的含量应不少于2.5﹪，蛋白质p的含量应不少于2.3﹪. 表示为（3）铁路旅行常识规定：旅客每人免费携带物品——杆状物长度w不超过200cm，重量m不超过20kg. 表示为问题3：配制A、B两种药剂，需要甲、乙两种原料，已知配一剂A 种药需甲料3毫克，乙料5毫克；配一剂B种药需甲料5毫克，乙料4毫克。

今有甲料20毫克，乙料25毫克，若A、B两种药至少各配一剂，设配制A种药剂x剂,配制B种药剂y剂，求x,y应满足的条件。

（1）配制A种药剂x剂，需要甲种原料毫克，乙种原料毫克；（2）配制B种药剂y剂，需要甲种原料毫克，乙种原料毫克；（3）配制两种药剂，共需要甲种原料毫克，乙种原料毫克；（4）所需甲种原料不能超过毫克，得到不等式，乙种原料不能超过毫克，得到不等式；（5）因为A、B两种药至少各配一剂，所以应该满足（6）将上述不等式列成不等式组如下：基础达标：用不等式（组）表示下面的不等关系：（1）有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数字大2。

§3.1 不等关系与不等式（1）班级姓名学号学习目标1. 了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；2. 会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组.学习过程一、课前准备_________复习2：用不等式表示，某地规定本地最低生活保障金x不低于400元______________________二、新课导学※学习探究文字语言数学符号文字语言数学符号大于至多小于至少大于等于不少于小于等于不多于探究2：限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是_______________某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量p应不少于2.5%，蛋白质的含量q应不少于2.3%，写成不等式组就是_________________※典型例题例 1 设点A与平面α的距离为d，B为平面α上的任意一点，则其中不等关系有______________例2 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2000本. 若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？例3某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种．按照生产的要求，600mm 的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？※动手试试练1．用不等式表示下面的不等关系：（1）a与b的和是非负数_________________（2）某公路立交桥对通过车辆的高度h“限高4m”_____________________(3)如图(见课本74页)，在一个面积为350的矩形地基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长L 大于宽W 的4倍练2． 有一个两位数大于50而小于60，其个位数字比十位数大2．试用不等式表示上述关系，并求出这个两位数(用a 和b 分别表示这个两位数的十位数字和个位数字)．三、总结提升※ 学习小结1．会用不等式（组）表示实际问题的不等关系；2．会用不等式（组）研究含有不等关系的问题．学习评价1. 下列不等式中不成立的是（ ）.A ．12-≤B ．12-<C ．11-≤-D ．12-≥2. 用不等式表示，某厂最低月生活费a 不低于300元 （ ）.A ．300a ≤B ．300a ≥C ．300a >D ．300a <3. 已知0a b +>，0b <，那么,,,a b a b --的大小关系是（ ）.A ．a b b a >>->-B ．a b a b >->->C ．a b b a >->>-D ．a b a b >>->-4. 用不等式表示：a 与b 的积是非正数___________5. 用不等式表示：某学校规定学生离校时间t 在16点到18点之间_______________________1. 某夏令营有48人，出发前要从A、B两种型号的帐篷中选择一种．A型号的帐篷比B型号的少5顶．若只选A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够；每顶帐篷住5人，则有一顶帐篷没有住满．若只选B型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够；每顶帐篷住4人，则有帐篷多余．设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来．2. 某正版光碟，若售价20元/本，可以发行10张，售价每体高2元，发行量就减少5000张，如何定价可使销售总收入不低于224万元?教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

3.1 不等关系与不等式1．不等符号与不等关系的表示(1)不等符号有＜，≤，＞，≥，≠；(2)不等关系用不等式来表示．2．不等式中的文字语言与符号语言之间的转换[提示]①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a 不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a<b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．3．比较两实数a，b大小的依据思考：x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见．你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小，而且具有说服力吗？[提示]作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，所以x2＋1≥2x.4．不等式的性质(1)a >b 且c >d ，则a －c >b －d . (2)a >b ，则ac >bc . (3)a >b >0，且c >d >0则a c >b d. (4)a >b >0，则a n >b n. (5)a >b ，则a c 2>b c2.[提示] 对于不等式的性质，有可加性但没有作差与作商的性质， (1)中例如5>3且4>1时，则5－4>3－1是错的，故(1)错． (2)中当c ≤0时，不成立．(3)中例如5>3且4>1，则54>31是错的，故(3)错．(4)中对n ≤0均不成立，例如a ＝3，b ＝2，n ＝－1，则3－1>2－1显然错，故(4)错． (5)因为1c 2>0，所以a ·1c 2>b ·1c2，故(5)正确．因此正确的结论有(5)．1．大桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T 不超过40吨，用不等式表示为( )A ．T <40B ．T >40C ．T ≤40D ．T ≥40C [限重就是不超过，可以直接建立不等式T ≤40.] 2．已知a >b ，c >d ，且cd ≠0，则( ) A ．ad >bc B ．ac >bc C ．a －c >b －dD ．a ＋c >b ＋dD [a ，b ，c ，d 的符号未确定，排除A 、B 两项；同向不等式相减，结果未必是同向不等式，排除C 项，故选D 项．]3．设m ＝2a 2＋2a ＋1，n ＝(a ＋1)2，则m ，n 的大小关系是________．m ≥n [m －n ＝2a 2＋2a ＋1－(a ＋1)2＝a 2≥0.]4．若1a <1b<0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b 中，正确的不等式有________个．1 [由1a <1b <0，得a <0，b <0，故a ＋b <0且ab >0，所以a ＋b <ab ，即①正确；由1a <1b<0，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a >⎪⎪⎪⎪⎪⎪1b ，两边同乘|ab |，得|b |>|a |，故②错误；由①②知|b |>|a |，a <0，b <0，那么a >b ，故③错误．]的面积不小于110 m 2，靠墙的一边长为x m ．试用不等式表示其中的不等关系．[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为x m ，而墙长为18 m ，所以0<x ≤18，这时菜园的另一条边长为30－x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2(m)．因此菜园面积S ＝x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫15－x 2，依题意有S ≥110，即x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥110，故该题中的不等关系可用不等式表示为⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤18，x ⎝⎛⎭⎪⎫15－x 2≥110.1．此类问题的难点是如何正确地找出题中的显性不等关系和隐性不等关系．2．当问题中同时满足几个不等关系，则应用不等式组来表示它们之间的不等关系，另外若问题有几个变量，选用几个字母分别表示这些变量即可．3．用不等式(组)表示不等关系的步骤：(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、不多于、不少于等． (2)适当的设未知数表示变量．(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．1．某矿山车队有4辆载重为10 t 的甲型卡车和7辆载重为6 t 的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360 t 矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．[解] 设每天派出甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，10×6x ＋6×8y ≥360，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤9，5x ＋4y ≥30，0≤x ≤4，x ∈N ，0≤y ≤7，y ∈N .【例2】 已知a ，b 为正实数，试比较b ＋a与a ＋b 的大小． 思路探究：注意结构特征，尝试用作差法或者作商法比较大小． [解] 法一：(作差法)⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a －(a ＋b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －a ＝a －b b ＋b －aa＝（a －b ）（a －b ）ab＝（a －b ）2（a ＋b ）ab.∵a ，b 为正实数，∴a ＋b >0，ab >0，(a －b )2≥0， ∴（a －b ）2（a ＋b ）ab≥0，当且仅当a ＝b 时等号成立． ∴a b ＋ba≥a ＋b (当且仅当a ＝b 时取等号)． 法二：(作商法)b a ＋ab a ＋b ＝（b ）3＋（a ）3ab （a ＋b ）＝（a ＋b ）（a ＋b －ab ）ab （a ＋b ）＝a ＋b －abab＝（a －b ）2＋abab＝1＋（a －b ）2ab≥1，当且仅当a ＝b 时取等号．∵b a ＋ab>0，a ＋b >0， ∴b a ＋ab≥a ＋b (当且仅当a ＝b 时取等号)． 法三：(平方后作差)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫a b＋b a 2＝a 2b ＋b 2a ＋2ab ，(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b＋b a 2－(a ＋b )2＝（a ＋b ）（a －b ）2ab .∵a >0，b >0， ∴（a ＋b ）（a －b ）2ab≥0，又a b ＋b a >0，a ＋b >0，故a b ＋ba≥a ＋b (当且仅当a ＝b 时取等号)．1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④对数与指数的运算性质；⑤分母或分子有理化；⑥分类讨论．2．如果两实数同号，亦可采用作商法来比较大小，即作商后看商是大于1，等于1，还是小于1.2．已知x <1，比较x 3－1与2x 2－2x 的大小． [解] (x 3－1)－(2x 2－2x ) ＝(x －1)(x 2＋x ＋1)－2x (x －1) ＝(x －1)(x 2－x ＋1) ＝(x －1)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34. 因为x <1，所以x －1<0.又⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0， 所以(x －1)⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34<0. 所以x 3－1<2x 2－2x .1．小明同学做题时进行如下变形： ∵2<b <3， ∴13<1b <12， 又∵－6<a <8，∴－2<a b<4.你认为正确吗？为什么？[提示] 不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向改变，在本题中只知道－6<a <8.不明确a 值的正负．故不能将13<1b <12与－6<a <8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘．2．由－6<a <8，－4<b <2，两边分别相减得－2<a －b <6，你认为正确吗？[提示] 不正确．因为同向不等式具有可加性与可乘性．但不能相减或相除，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不可随意“创造”性质．3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？ ∵2<a －b <4， ∴－4<b －a <－2. 又∵－2<a ＋b <2， ∴0<a <3，－3<b <0， ∴－3<a ＋b <3.这怎么与－2<a ＋b <2矛盾了呢？[提示] 利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要注意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2<a －b <4与－2<a ＋b <2两边相加得0<a <3，又将－4<b －a <－2与－2<a ＋b <2两边相加得出－3<b <0，又将该式与0<a <3两边相加得出－3<a ＋b <3，多次使用了这种转化，导致了a ＋b 范围的扩大．【例3】 已知c >a >b >0，求证：ac －a >bc －b.思路探究：①如何证明c a <c b ？②由c a <c b 怎样得到c －a a <c －bb？ [证明] ∵c >a >b >0，∴c －a >0，c －b >0.由⎭⎪⎬⎪⎫a >b >0⇒1a <1b c >0⇒c a <c b ，⎭⎪⎬⎪⎫⇒c －a a <c －b bc －a >0c －b >0a >0b >0⇒a c －a >b c －b .1．(变条件，变结论)将例题中的条件“c >a >b >0”变为“a >b >0，c <0”证明：c a >c b. [证明] 因为a >b >0，所以ab >0，1ab>0.于是a ×1ab >b ×1ab ，即1b >1a .由c <0，得c a >cb.2．(变条件，变结论)将例题中的条件“c >a >b >0”变为“已知－6<a <8，2<b <3”如何求出2a ＋b ，a －b 及a b的取值范围．[解] 因为－6<a <8，2<b <3，所以－12<2a <16，所以－10<2a ＋b <19.又因为－3<－b <－2，所以－9<a －b <6.又13<1b <12，(1)当0≤a <8时，0≤a b<4； (2)当－6<a <0时，－3<a b<0. 由(1)(2)得－3<a b<4.1．利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上， 记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．2．利用不等式性质求代数式的范围要注意的问题 (1)恰当设计解题步骤，合理利用不等式的性质．(2)运用不等式的性质时要切实注意不等式性质的前提条件，切不可用似乎是很显然的理由，代替不等式的性质，如由a >b 及c >d ，推不出ac >bd ；由a >b ，推不出a 2>b 2等．(3)准确使用不等式的性质，不能出现同向不等式相减、相除的错误．1．比较两个实数的大小，只要求出它们的差就可以了．a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＝0⇔a ＝b ；a －b ＜0⇔a ＜b .2．作差法比较大小的一般步骤 第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”； 第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况讨论)； 最后得结论．概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键．3．不等式的性质是不等式变形的依据，每一步变形都要严格依照性质进行，并注意不等式推导所需条件是否具备．1．判断正误(1)不等式x ≥2的含义是指x 不小于2.( )(2)若a <b 或a ＝b 之中有一个正确，则a ≤b 正确． ( ) (3)若a >b ，则ac >bc 一定成立． ( ) (4)若a ＋c >b ＋d ，则a >b ，c >d .( )[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)×[提示] (1)正确．不等式x ≥2表示x >2或x ＝2，即x 不小于2.(2)正确．不等式a ≤b 表示a <b 或a ＝b .故若a <b 或a ＝b 中有一个正确，则a ≤b 一定正确．(3)错误．由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘以一个正数时，不等号方向不变，因此若a >b ，则ac >bc 不一定成立．(4)错误．取a ＝4，c ＝5，b ＝6，d ＝2.满足a ＋c >b ＋d ，但不满足a >b .2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x 不低于95分，文化课总分y 高于380分，体育成绩z 超过45分，用不等式组表示为________．⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95y >380z >45 [“不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥95，y >380，z >45.] 3．若8<x <10，2<y <4，则x y的取值范围是________． (2，5) [∵2<y <4，∴14<1y <12.∵8<x <10，∴2<x y<5.] 4．若bc －ad ≥0，bd >0.求证：a ＋b b ≤c ＋dd. [证明] 因为bc －ad ≥0，所以ad ≤bc ，a b ≤cd，所以ab＋1≤cd＋1，所以a＋bb≤c＋dd.因为bd>0，所以。