1.5.1曲边梯形的面积(教学用)ppt课件

f (x1)x f(x 2 )x f(x n )x
表示了曲边梯形面积的近似值
14
小结:求由连续曲线yf(x)对应的
曲边梯形面积的方法
（1）分割
（2）近似代替 （3）求和
（4）取极限 n
15
二 汽车行驶的路程 思考1：汽车以速度v作匀速直线运动， 经过时间t所行驶的路程为多少？如果汽 车作变速直线运动，那么在相同时间内 所行驶的路程相等吗？
0.273 437 50
0.302 734 50
0.317 871 09
0.325 561 52
0.329 437 26
0.331 382 75
0.332 357 41
0.332 845 21
0.333 089 23
…
11
y
(过剩近似值)
y x2
12 nn
k n
nx
n
S
n i1
Si
n i1
S 1 (1 1 )(2 1 ) 1 6n n3
所以S 1 .
3
10
我们还可以 从数值上可 以看出这一 变化趋势 （请见表）
区间[0，1] 的等分数n
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 …
S的近似值 Sn
0.125 000 00
0.218 750 00
5
y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩形
的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的
面积A近似为
A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近

？
y = f(x) y
A1 Oa
A2 b
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2
如 何 求 曲 边 梯 形 的 x面 积 ？
y = f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
如 何 求 曲 边 梯 形 的 x面 积 ？
y yf (x)
b
c
b
f (x)dx f (x)dx
f (x)dx。
a
a
c
Oa
bx
特别地，当 ab 时，有b a
f (x)dx0。
定积分的几何意义：
从几何上看，如果在区间[a,b]上函数连续且恒有（f x） 0；
那么定积分 b （f x)dx表示由直线x=a,x=b,y=0,和曲线y = f(x)所 a
？
—— 以直代曲,无限逼近
典型例题：
例1.求抛物线y=x2、直线x=0、直线 y
x=1和y=0所围成的曲边三角形的面积。
y x2
⑴分割
第i个小区间
把底边[0,1]分成n等份,
[0, 1],[1 , 2],,[i 1, i ],,[n 1,1],
n nn n n n
然后在每个分点作底边的垂
,
xi

上取一点
i i 1,2,
,n
，作和式：Sn n
i 1
f
(i )x

n i 1
ba n
f (i )
如果 x 无限接近于 0（亦即 n ）时，上述和式 Sn

土地规划中的面积计算
在土地规划中，需要计算土地的面积，以确定土地的开发强度、容积率等指标。
06
总结与回顾
本课程的主要内容回顾
曲边梯形定义
曲边梯形面积计算方法
曲边梯形是一个具有曲边的四边形，其面 积计算需要考虑曲边的长度和高度。
通过分割曲边梯形为若干个小矩形或平行 四边形，再求和这些小图形的面积，得出 曲边梯形的面积。
实例二：不规则曲边梯形
不规则曲边梯形可能由多个不同的函数定义，计算面积需要 分别对每个函数进行积分，然后将得到的面积相加。
例如，一个不规则曲边梯形由y=x^2和y=√x定义，可以先分别 计算由这两个函数定义的曲边梯形的面积，然后将结果相加。
实例三：实际应用中的曲边梯形面积计算
在实际应用中，曲边梯形面积计算可能涉及到更复杂的函 数和更广泛的应用场景。例如，金融领域中的投资组合优 化问题、工程领域中的材料成本估算等。
优点
缺点
需要一定的微积分基础，计算过程较 为复杂。
精度高，适用于各种形状的曲边梯形。
04
曲边梯形面积计算的实例
实例一：规则曲边梯形
规则曲边梯形是一个具有明确函数表达式的图形，可以通过积分计算其面积。例 如，一个由y=sinx定义的曲边梯形，其面积可以通过对y=sinx进行积分来获得。
具体计算过程为：首先确定曲边梯形的上下限，然后使用定积分公式计算面积， 即∫上限 下限 dsinx。
形得到。
曲边梯形的性质
曲边梯形具有直边和曲边的特 性，其面积计算需要考虑曲边 的形状和大小。
曲边梯形的面积与直边的长度 和曲边的形状、高度、宽度等 参数有关。
曲边梯形的面积可以通过积分 计算得到，也可以通过近似方 法估算。
03

97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。

1 2 n
1 n


2 2 n

1 n



n
n
1
2

1 n
1 (12 22 (n 1)2) n3
1 (n 1)n(2n 1)
n3
6

1 6
1
1 n


2

1 n
.
nx
n
y
y
O 12 nn
O 12 nn
二零零五年，他们因为特别想当年的老邻居，他们的孩子就帮他们联系这些当年的老邻居，没有几个月他们联系好了，在当年的国庆节，他们终于在故地——汉中见面了。一见面感觉彼此还是和当年一样的亲切，他们这几家人好好在西安玩了一周，然后就各自回家了，临走的时候他们还照了一张大合影，当做彼此的留念。 又过了一年，老李去世了；老吴突然得了心脏病；老赵得了糖尿病。这两位老邻居知道他们自己的情况后，就在西安的郊区买了一块地，要求孩子们在他们死后就都埋在这里。二零一零年，老吴也走了，儿子小吴就把老吴的骨灰埋在了那里。现在老石、老赵还健在，他们常说，“我们以后也要团聚在那里，永远不会再分离！”这句话深深震撼着我，也许这就是我们现在这个时代所缺失的宝贵财富吧！
y x2
k n
nx
n
y x2
k n
nx
n
小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法
（1）分割（2）近似代替（3）求和（4）取极限 n
把这些矩形面积相加
y
作为整个曲边形面积S
n
的近似值。 S lim f 有理由相信，分 x i1
i x
点越来越密时，即分

y = f ( x) y
A1 O
a
Ai
An
b x
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代 替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似为 A A1+ A2 + + An
分割越细，面积的近似值就越精确.当分割无限变细 时，这个近似值就无限逼近所求曲边梯形的面积S.
下面用第一种方案“以直代曲”的具体操作过程解 决以下问题。
一般曲边梯形的面积的表达式
ba S lim f i n n i 1
n
以上计算曲边三角形面积的过程可以用流程图表示：
分割
y
近似代替
求和
y
逼近
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
1.求直线x=0,x=2,y=0与曲线y=x2所围成的曲边梯
形的面积. 解:(1)分割:将区间[0,2]n等分,则
8 4(n 1)(2n 1) 2 2 2 3 [1 2 3 (n 1) ] 2 n 3n
(4)取极限
4(n 1)(2n 1) S lim S n lim n n 3n 2 8 即曲边梯形的面积为 3
一个案例 两种思想 三个方案 四个步骤
4、取极限
当分割无限变细，即 x 0(亦 即n )时 ， 1 1 1 S n (1 )(1 )趋 向S， 从 而 3 n 2n n 1 i 1 1 1 1 S l i mS n l i m f ( ) l i m (1 )(1 ) n n n 3 n n 2n i 1 n 1 1 1 所 以S ， 即 所 求 曲 边 三 角 形 面 的积 为 。 3 3 3

3求和
由2 ,图中阴影部分的面积 S n 为 2 n n n i 1 i 1 1 ' S n Si f x n n i 1 i 1 i 1 n
y
1 1 1 n 1 1 0 n n n n n
二、新课引入，任务驱动
通过本节的学习你能利用定积分的概念 求曲边图形的面积吗？
三、新知建构，典例分析
一.曲边梯形 二.“以直代曲”、“无限逼近”的数学 思想 三.求曲边梯形面积的步骤
①、只有一边是曲线
②、其他三边是直线
曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线 y=f(x)，直线x=a、 x=b及 x 轴所围成的图形叫做曲边梯形。
A1 O
a
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，得
A A1.
y = f ( x) y
A1
O
A2
a
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A，得 A A1+ A2
y
y = f(x)
A1 O
A2
A3
A4
a
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
二、新课引入，任务驱动
在已学过的函数中，许多函数（例如 y x , y x2 , y x 等）的图象都是某个区间 I 上的一条连续不断的曲线。一般地，如果 函数 y f (x) 在某个区间 I 上的图象是一条 连续不断的曲线，那么我们就把它称为区间 I 上的连续函数。 如不加说明，下面研究的都是连续函 数。
1分割
y

【解析】由题意得S=(0.12+0.32+0.52+0.72+0.92)× 0.2=0.33. 答案:0.33
主题2 求汽车行驶的路程 1.比较求曲边梯形的面积是把曲边梯形分割成n个矩形 求和,再取极限得到,求变速运动的汽车行驶的路程是 如何处理的? 提示:把整个路程分割为n个时间段,在每一段上近似看 作是匀速运动来求和,再取极限.
因为v(1)=3-0.2×1=2.8,v(2)=3-0.2×2=2.6,
所以直角梯形ABCD的面积为S1= （2.8+2.6）×1=2.7,
2
所以它在t=1到t=2内的运动路程为2.7 m.
类型一 求曲边梯形的面积
【典例1】(1)由直线x=1,y=0,x=0和曲线y=x3所围成的
曲边梯形,将区间4等分,则曲边梯形面积的近似值(取
每个区间的右端点函数值)是 ( )
A. 1 19
B. 111 256
C. 11 27
D. 25 64
(2)求由抛物线y=2x2与直线x=0,x=t(t>0),y=0所围成
的曲边梯形的面积时,将区间[0,t]等分成n个小区间,
则第i-1个区间为 ( )
A.[i 1, i ] nn
C.[ t i 1 , ti ]
于做匀速直线运动,从而求得汽车在每个小区间上行驶 路程的近似值,再求和得s的近似值,最后让n趋向无穷 大就得到s的精确值.
【对点训练】
已知一物体的运动速度为v(t)=3-0.2t(m/s),则它在
t=1到t=2内的运动路程为 ( )
A.2.4 m
B.2.5 m
C.2.6 m
D.2.7 m
【解析】选D.如图,梯形ABCD的面积就是所求的路程,

上看, 就是用平行于x轴的
o
直线段近似 i1 i nn
1x
y
地代替小曲边梯形的曲
y x2
边.这样,在区间
i
n
1,
i n

上,用小矩形的面积 Si'
o
i1 i nn
1 x 近似地代替Si ,即在局部
y
小范围内"以直代曲",则有
y x2
Si
Si'

f
i
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即 在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代 曲” 。
y
y x2
o
i1 i nn
1x
方案1 方案2 方案3
根据方案一，分割越细，面积的近似值就 越精确。当分割无限变细时，这个近似值 就无限逼近所求曲边梯形的面积S。
y y x2
y y x2
思考一：如何求出下列图形的面积？
y
A
从中你有何 启示？

“分割”得到熟悉
o
Bx
的图形
思考二：想一想我国魏晋时期的数学家刘徽是如何 研究圆的面积？
有何 启示
以直代曲
曲边梯形 A B C
下面先研究一个特殊情 形 : 如何求抛物线y x2 与直线x 1, y 0，x轴所围成的平面图形的 面 积S ?
,

,
n
n
1,1
,
o
i1 i nn
1x
记第i个区间为i
1, n
i n
i

1,2,

,n,其长度为
Δx

Hale Waihona Puke i ni1 n

A A1+ A2+ A3+ A4
y = f ( x) y
A1 O a
Ai
An b x
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵形的面 积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形的面积A近似 为
A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。
i 1

n
i 1 2
i1 f ( ) x n
2

n
(
i 1
i1 2 1 ) n n n 1 1 n n
2
1 1 2 n n
y x2
O
1 n
2 n
k n
n n
1 1 1 2 1 0 n n n n n 1 3 (1 2 2 2 ( n 1) 2 ) n 1 ( n 1) n (2 n 1) 3 n 6 1 1 1 1 2 . 6 n n x
•
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
46．凡事不要说＂我不会＂或＂不可能＂，因为你根本还没有去做！ 47．成功不是靠梦想和希望，而是靠努力和实践． 48．只有在天空最暗的时候，才可以看到天上的星星． 49．上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价． 50．现在站在什么地方不重要，重要的是你往什么方向移动。 51．宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子． 52．为成功找方法，不为失败找借口． 53．不断反思自己的弱点，是让自己获得更好成功的优良习惯。 54．垃圾桶哲学：别人不要做的事，我拣来做！ 55．不一定要做最大的，但要做最好的． 56．死的方式由上帝决定，活的方式由自己决定！ 57．成功是动词，不是名词！ 28、年轻是我们拼搏的筹码，不是供我们挥霍的资本。 59、世界上最不能等待的事情就是孝敬父母。 60、身体发肤，受之父母，不敢毁伤，孝之始也； 立身行道，扬名於后世，以显父母，孝之终也。——《孝经》 61、不积跬步，无以致千里；不积小流，无以成江海。——荀子《劝学篇》 62、孩子：请高看自己一眼，你是最棒的！ 63、路虽远行则将至，事虽难做则必成！ 64、活鱼会逆水而上，死鱼才会随波逐流。 65、怕苦的人苦一辈子，不怕苦的人苦一阵子。 66、有价值的人不是看你能摆平多少人，而是看你能帮助多少人。 67、不可能的事是想出来的，可能的事是做出来的。 68、找不到路不是没有路，路在脚下。 69、幸福源自积德，福报来自行善。 70、盲目的恋爱以微笑开始，以泪滴告终。 71、真正值钱的是分文不用的甜甜的微笑。 72、前面是堵墙，用微笑面对，就变成一座桥。 73、自尊，伟大的人格力量；自爱，维护名誉的金盾。 74、今天学习不努力，明天努力找工作。 75、懂得回报爱，是迈向成熟的第一步。 76、读懂责任，读懂使命，读懂感恩方为懂事。 77、不要只会吃奶，要学会吃干粮，尤其是粗茶淡饭。 78、技艺创造价值，本领改变命运。 79、凭本领潇洒就业，靠技艺稳拿高薪。 80、为寻找出路走进校门，为创造生活奔向社会。 81、我不是来龙飞享福的，但，我是为幸福而来龙飞的！ 82、校兴我荣，校衰我耻。 83、今天我以学校为荣，明天学校以我为荣。 84、不想当老板的学生不是好学生。 85、志存高远虽励志，脚踏实地才是金。 86、时刻牢记父母的血汗钱来自不易，永远不忘父母的养育之恩需要报答。 87、讲孝道读经典培养好人，传知识授技艺打造能人。 88、知技并重，德行为先。 89、生活的理想，就是为了理想的生活。 —— 张闻天 90、贫不足羞，可羞是贫而无志。 —— 吕坤