§1.5定积分的概念1.5.1曲边梯形的面积1.5.2汽车行驶的路程学习目标 1.了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程．知识点一曲边梯形的面积1．曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．2．求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形．对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．3．求曲边梯形面积的步骤：(1)分割；(2)近似代替；(3)求和；(4)取极限．思考如图所示的图形与我们熟悉的“直边图形”有什么区别？答案已知图形可看成是由直线x＝0，x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的所有边都是直线段．知识点二求变速直线运动的(位移)路程一般地，如果物体做变速直线运动，速度函数为v＝v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.1．曲边梯形的每一条边都不会是直线段．( × )2．在求曲边梯形面积的第一步“分割”中，必须对给定区间进行等分．( √ ) 3．求汽车行驶的路程时，分割的区间表示汽车行驶的路程．( × ) 4．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值，只能用⎝⎛⎭⎫i n 2近似代替．( × )一、 求曲边梯形的面积例1 求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2＋1所围成的曲边梯形的面积．⎣⎡⎦⎤参考公式12＋22＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)解 令f (x )＝x 2＋1. (1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n ，…，x n －1＝2(n －1)n ，x n ＝2.第i 个区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2i －2n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n . (2)近似代替、求和 取ξi ＝2in (i ＝1,2，…，n )，S n ＝∑i ＝1n f ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δx＝∑i ＝1n⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2i n 2＋1·2n ＝8n 3∑i ＝1ni 2＋2＝8n 3(12＋22＋…＋n 2)＋2 ＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋2 ＝43⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2＋2.(3)取极限S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ ⎣⎡⎦⎤43⎝⎛⎭⎫2＋3n ＋1n 2＋2＝143， 即所求曲边梯形的面积为143.反思感悟 求曲边梯形的面积 (1)思想：以直代曲．(2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3)关键：近似代替．(4)结果：分割越细，面积越精确． (5)求和时可用一些常见的求和公式，如 1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6，13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22.跟踪训练1 求曲线y ＝x 3＋1与x ＝0，x ＝1及y ＝0所围成的曲边梯形的面积．⎝⎛⎭⎫参考公式：13＋23＋33＋…＋n 3＝n 2(n ＋1)24解 (1)分割：将区间[0,1]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤0，1n ，⎣⎡⎦⎤1n ，2n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤n －1n ，n n ，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n ，过各区间端点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形，它们的面积分别记为ΔS 1，ΔS 2，…ΔS i ，…，ΔS n .(2)近似代替：对区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的小曲边梯形，以区间左端点i －1n 对应的函数值f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 3＋1为一边的长，以Δx ＝1n 为邻边的长的小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，即ΔS i ≈f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n Δx ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 3＋11n .(3)求和：S n ＝ΔS 1＋ΔS 2＋…＋ΔS n ＝∑i ＝1nΔS i ≈∑i ＝1nf ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n Δx ＝∑i ＝1n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 3＋11n＝1n4[03＋13＋23＋…＋(n －1)3]＋1 ＝1n 4·(n －1)2·n 24＋1＝n 2－2n ＋14n 2＋1. (4)取极限：当n →∞时，S n ＝1－2n ＋1n 24＋1趋近于54，即S ＝lim n →∞S n ＝54.所以曲边梯形的面积是54.二、求变速运动的路程例2 当汽车以速度v 做匀速直线运动时，经过时间t 所行驶的路程s ＝v t .如果汽车做变速直线运动，在时刻t 的速度为v (t )＝t 2＋2(单位：km/h)，那么它在1≤t ≤2(单位：h)这段时间行驶的路程是多少？解 将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n . 所以Δs i ＝v ⎝⎛⎭⎪⎫1＋i －1n ·1n .s n ＝∑ni ＝1v ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n 1n ＝1n ∑n i ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i －1n 2＋2＝1n ∑n i ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤(i －1)2n 2＋2(i －1)n ＋3 ＝1n ⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n ＋1n 2[02＋12＋22＋…＋(n －1)2]＋1n [0＋2＋4＋6＋…＋2(n －1)] ＝3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n.s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋(n －1)(2n －1)6n 2＋n －1n ＝133. 所以这段时间行驶的路程为133km. 延伸探究本例中求小曲边梯形面积时若用另一端点值作为高，试求出行驶路程，比较两次求出的结果是否一样？解 将区间[1,2]等分成n 个小区间，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋i －1n ，1＋i n .所以Δs i ＝v ⎝⎛⎭⎫1＋i n ·1n. s n ＝∑n i ＝1v ⎝⎛⎭⎫1＋i n 1n ＝3＋1n 3[12＋22＋…＋(n －1)2＋n 2]＋1n 2[2＋4＋6＋…＋2(n －1)＋2n ]＝3＋(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n.s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n ＝133. 所以这段时间行驶的路程为133km. 所以分别用小区间的两个端点求出的行驶路程是相同的．反思感悟 求变速直线运动路程的问题，方法和步骤类似于求曲边梯形的面积，用“以直代曲”“逼近”的思想求解．求解过程为：分割、近似代替、求和、取极限．应特别注意变速直线运动的时间区间．跟踪训练2 一个物体做变速直线运动，它在时刻t 的速度为v (t )＝12t ，求该物体在t ＝0到t＝2这段时间内运动的路程s . 解 (1)分割将区间[0,2]等分成n 个小区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2…，n )，每个区间的长度均为Δt ＝2n ，每个时间段所行驶的路程为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则路程和s n ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替取ξi ＝2in(i ＝1,2，…，n )，于是Δs i ≈v (ξi )·Δt ＝12·2i n·2n ＝2in 2(i ＝1,2，…，n )．(3)求和s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1n2i n 2＝2n 2∑i ＝1n i ＝2n 2·n (n ＋1)2＝1＋1n.(4)取极限s ＝lim n →∞s n ＝lim n →∞⎝⎛⎭⎫1＋1n ＝1. 故该物体在t ＝0到t ＝2这段时间内运动的路程s 等于1.1．对于函数f (x )＝x 2，在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n (i ＝1,2，…，n )上( )A ．f (x )的值变化很小B ．f (x )的值变化很大C ．f (x )的值不变化D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 答案 D解析 当n 很大时，区间端点处的两个函数值很接近，区间上的函数值变化很小． 2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )(ξi ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均正确 答案 C3．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( ) A.13 B.12 C ．1 D.32 答案 B 4.∑i ＝1nin ＝________.答案n ＋12解析 ∑i ＝1ni n ＝1n(1＋2＋…＋n )＝1n ·n (n ＋1)2＝n ＋12. 5．求由曲线y ＝12x 2与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________． 答案 1.02解析 将区间5等分所得的小区间为⎣⎡⎦⎤1，65，⎣⎡⎦⎤65，75，⎣⎡⎦⎤75，85，⎣⎡⎦⎤85，95，⎣⎡⎦⎤95，2， 于是所求平面图形的面积近似等于110⎝⎛⎭⎫1＋3625＋4925＋6425＋8125＝110×25525＝1.02.1．知识清单： (1)求曲边梯形的面积． (2)求变速运动的路程．2．方法归纳：“以直代曲”、“逼近”思想．3．常见误区：不理解求曲边梯形面积的“逼近”思想，误以为所得面积值和分割次数有关．1．下列函数在其定义域上不是连续函数的是( ) A ．y ＝x 2 B ．y ＝|x | C ．y ＝x D ．y ＝1x答案 D2．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝f (x ) (f (x )≥0)及y ＝0围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入(n －1)个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( ) ①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大于S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系无法确定． A ．1B ．2C ．3D ．4答案 A解析 n 个小曲边梯形是所给曲边梯形等距离分割得到的，因此其面积和为S . ∴①正确，②③④错误．3．对于由直线x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形，把区间3等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的左端点作为每个小曲边梯形的高)是( ) A.19 B.125 C.127 D.130答案 A解析 将区间[0,1]三等分后，得到3个区间，即⎣⎡⎦⎤0，13，⎣⎡⎦⎤13，23，⎣⎡⎦⎤23，1以每个区间的左端点的函数值为高，3个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值，S ＝0×13＋⎝⎛⎭⎫133×13＋⎝⎛⎭⎫233×13＝19.4．在求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边三角形的面积时，把区间[0,2]等分成n 个小区间，则第i 个小区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤i －1n ，i nB.⎣⎡⎦⎤i n ，i ＋1n C.⎣⎡⎦⎤2(i －1)n ，2i nD.⎣⎡⎦⎤2i n ，2(i ＋1)n答案 C解析 将区间[0,2]等分为n 个小区间后，每个小区间的长度为2n ，第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n . 5．在等分区间的情况下f (x )＝11＋x 2(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( ) A.lim n →∞ ∑ni ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·2n B.lim n →∞ ∑ni ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n C.lim n →∞ ∑n i ＝1⎝⎛⎭⎫11＋i 2·1nD.lim n →∞ ∑ni ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫i n 2·n 答案 B解析 ∵Δx ＝2－0n ＝2n ，∴和式为∑n i ＝1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＋⎝⎛⎭⎫2i n 2·2n .故选B.6．在区间[0,8]上插入9个等分点后，则所分的小区间长度为________，第5个小区间是________． 答案 45 ⎣⎡⎦⎤165，4 解析 在区间[0,8]上插入9个等分点后，把区间[0,8]10等分，每个小区间的长度为810＝45，第5个小区间为⎣⎡⎦⎤165，4.7．已知某物体运动的速度v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为________． 答案 55解析 ∵把区间[0,10]10等分后，每个小区间右端点处的函数值为n (n ＝1,2，…，10)，每个小区间的长度为1.∴物体运动的路程近似值s ＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.8．在求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的曲边梯形面积时，若令Δx ＝1n ，ξi ＝i －1n ，则曲边梯形的面积表达式为____________． 答案 ∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫i －1n 3·1n解析 S ＝∑i ＝1nf (ξi )·Δx ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫i －1n 3·1n . 9．一辆汽车在直线形公路上做变速行驶，汽车在时刻t 的速度为v (t )＝－t 2＋5(单位：km/h)，试计算这辆汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)．解 (1)分割：在区间[0,2]上等间隔插入n －1个点，将区间分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，Δt ＝2n .则汽车在时间段⎣⎡⎦⎤0，2n ，⎣⎡⎦⎤2n ，4n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n ，…，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(n －1)n ，2n n 上行驶的路程分别记为Δs 1，Δs 2，…，Δs i ，…，Δs n ，有s n ＝∑i ＝1n Δs i . (2)近似代替：取ξi ＝2in (i ＝1,2，…，n )，Δs i ≈v ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δt ＝⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫2i n 2＋5·2n ＝－8i 2n 3＋10n (i ＝1,2，…，n )．(3)求和：s n ＝∑i ＝1nΔs i ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫－8i 2n 3＋10n ＝－8n 3(12＋22＋…＋n 2)＋10.＝－8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋10＝－43⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋10. (4)取极限：s ＝lim n →∞s n＝lim n →∞ ⎣⎡⎦⎤－43⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫2＋1n ＋10＝223. 10．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积．解 将区间[0,1]n 等分，每个区间长度为1n ，区间右端点函数值y ＝⎝⎛⎭⎫i n 2＋2·i n ＝i 2n 2＋2i n .作和S n ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫i 2n 2＋2i n 1n ＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫i 2n 3＋2i n 2＝1n 3∑i ＝1n i 2＋2n 2∑i ＝1n i ＝1n 3·16n (n ＋1)(2n ＋1)＋2n 2·n (n ＋1)2＝(n ＋1)(2n ＋1)6n 2＋n ＋1n ＝8n 2＋9n ＋16n 2， ∴所求面积S ＝lim n →∞ 8n 2＋9n ＋16n 2＝lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫43＋32n ＋16n 2＝43.11．和式∑i ＝15(x i ＋1)可表示为( )A ．(x 1＋1)＋(x 5＋1)B ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋1C ．x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5D ．(x 1＋1)(x 2＋1)…(x 5＋1)答案 C解析 ∑i ＝15(x i ＋1)＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＋(x 3＋1)＋(x 4＋1)＋(x 5＋1)＝x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋5.12.lim n →∞∑ni ＝1 ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫15i n ·⎝⎛⎭⎫5n 的含义可以是( ) A ．求由直线x ＝1，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积B ．求由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0，y ＝15x 围成的图形的面积C ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0，y ＝3x 围成的图形的面积D ．求由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0及曲线y ＝5x围成的图形的面积 答案 C解析 将区间[0,5]n 等分，则每一区间的长度为5n ，各区间右端点对应函数值为y ＝15i n， 因此∑i ＝1n⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫15i n ·⎝⎛⎭⎫5n 可以表示由直线x ＝0，x ＝5，y ＝0和y ＝3x 围成的图形的面积的近似值． 13．在求由曲线y ＝1x与直线x ＝1，x ＝3，y ＝0所围成图形的面积时，若将区间n 等分，并用每个区间的右端点的函数值近似代替每个小曲边梯形的高，则第i 个小曲边梯形的面积ΔS i 约等于( )A.2n ＋2iB.2n ＋2i －2C.2n (n ＋2i )D.1n ＋2i答案 A解析 每个小区间的长度为2n， 第i 个小曲边梯形的高为11＋2i n， ∴第i 个小曲边梯形的面积为2n ×11＋2i n ＝2n ＋2i .14．当n 很大时，下列可以代替函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值的有________个． ①f ⎝⎛⎭⎫1n ；②f ⎝⎛⎭⎫i n ；③f ⎝⎛⎭⎫i －1n ；④f ⎝⎛⎭⎫i n －12n . 答案 3 解析 因为当n 很大时，区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的任意的取值都可以代替，又因为1n ∉⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，i －1n∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，i n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，i n －12n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n ，故能代替的有②③④.15．设函数f (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b ]上的面积．已知函数y ＝sin nx 在⎣⎡⎦⎤0，πn (n ∈N *)上的面积为2n，则y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上的面积为________．答案 43解析 由于y ＝sin nx 在⎣⎡⎦⎤0，πn (n ∈N *)上的面积为2n， 则y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，π3上的面积为23. 而y ＝sin 3x 的周期为2π3， 所以y ＝sin 3x 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上的面积为23×2＝43. 16．有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t 的速度为v (t )＝3t 2＋2(单位：km/h)，那么该汽车在0≤t ≤2(单位：h)这段时间内行驶的路程s (单位：km)是多少？解 (1)分割在时间区间[0,2]上等间隔地插入n －1个分点，将它分成n 个小区间，记第i 个小区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(i －1)n ，2i n (i ＝1,2，…，n )，其长度为Δt ＝2i n －2(i －1)n ＝2n .每个时间段上行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则显然有s ＝∑i ＝1nΔs i .(2)近似代替取ξi ＝2i n(i ＝1,2，…，n )，用小矩形的面积Δs i ′近似地代替Δs i ， 于是Δs i ≈Δs i ′＝v ⎝⎛⎭⎫2i n ·Δt ＝⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫2i n 2＋2·2n＝24i 2n 3＋4n(i ＝1,2，…，n )． (3)求和s n ＝∑i ＝1n Δs i ′＝∑i ＝1n⎝⎛⎭⎫24i 2n 3＋4n ＝24n 3(12＋22＋…＋n 2)＋4 ＝24n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＋4＝8⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋4. (4)取极限s ＝lim n →∞ s n ＝lim n →∞⎣⎡⎦⎤8⎝⎛⎭⎫1＋1n ⎝⎛⎭⎫1＋12n ＋4＝8＋4＝12. 所以这段时间内行驶的路程为12 km.。
