141曲边梯形的面积与定积分精品PPT课件

把区间[1,2]等分成 n 个小区间1，n＋n 1，n＋n 1，n＋n 2，…， n＋n i，n＋ni＋1，…，n＋(nn－1)，2，每个小区间的长度 为 Δx＝n＋ni＋1－n＋n i＝n1，过各分点作 x 轴的垂线，把曲 边梯形 ABCD 分割成 n 个小曲边梯形，
再分别用小区间的左端点的纵坐标n＋n i3 为高，Δx＝1n为 底作小矩形，于是图中曲线之下小矩形面积依次为 13·1n， n＋n 13·n1，n＋n 23·1n，…，2nn－13·n1.
预习自测
1.在求由x＝a，x＝b(a<b)，y＝0及y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形的 面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些 分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列结论中正 确的个数是( ) ①n个小曲边梯形的面积和等于S； ②n个小曲边梯形的面积和小于S； ③n个小曲边梯形的面积和大于S； ④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系不确定
1.4.1 曲边梯形面积与定积分
情境导入 大自然是懂数学的．你看，在我们生活的大 自然中，各种植物的叶子千差万别，但它们 具有相同的特点：叶子的边缘都是曲线形状， 好似两条曲线相交而成．同样，花卉的花瓣 也是曲线形状的． 那么，怎样计算这种由曲线围成的图形的面 积呢？
知识链接回顾
1.从1到n的自然数的平方和等于多少？
2．函数f(x)在x＝x0处导数的定义是什么？
【答案】1.12＋22＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)．
2．f′(x0)＝Δlxi→m0
f(x0＋Δx)－f(x0) Δx
教材预习 一、定积分的实际背景 1．曲边梯形的概念 如图(1)，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y＝ f(x)的一段．我们把由直线x＝a，x＝b(a<b)，y＝0和曲线y ＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形．

a
f
(i )
这里，a和b分别叫做积分下限和 积分上限。区间[a, b]叫做积分区间， 函数f (x)叫做被积函数，x叫做积分变量， f (x)dx叫做被积式。
第29页
定积分 b f (x)dx 的几何意义： a
如果在区间[a,b]上函数 f(x)连续且恒有 f(x)≥0,
那么定积分 b f (x)dx 表示 a
lim lim 所以S
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx0
Sn
x0
1 (1 1 )(1 1 ) 1， 3 n 2n 3
即所求曲边三角形的面积为 1 。 3
分割
近似代替
求和
取极限
第24页
•在 [a, b]中任意插
入 n 1个分点．
y
y = f(x) f(i)
•得n个小区间：
[xi1 , xi ] (i=1, 2 , ···, n)．
由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲线 y=f(x)
所围成的曲边梯形的面积。
第30页
例1 利用定积分的定义，计算 1 x3dx的值。 0 解：令f (x) x3
(1)分割 在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点，将它等分成n个小 区间：
记第i个区间为[i 1, i ](i 1,2,, n), nn
第25页
分割
近似代换
求和
取极限
•曲边梯形面积近似为：
n
f(i) x i．
i 1
S
lim
n
n i 1
b
a n
f
(i )
（类似方法求汽车行驶旅程）
第26页
第27页
如果函数f (x)在区间[a,b]上连续，用分点 a x0 x1 xi1 xi xn b

n
并作和S f (i )xi ，
i 1
上页 下页 返回
只要当 0时，和 S 总趋于
确定的极限I ， 我们称这个极限I 为函数 f ( x)
在区间[a, b]上的定积分， 记为
积分上限 b a
f
( x)dx
I
lim 0
n i 1
积分和
f (i )xi
积分下限
[a,b] 积分区间
积分变量
上页 下页 返回
三 定积分的几何意义.
当 f (x) ≥ 0，定积分
b
a f (x)dx
的几何意义就是曲线 y = f (x)
直线 x = a， x = b， y = 0 所
围成的曲边梯形的面积
y=f (x) y
AS
oa
x b
上页 下页 返回
当函数 f (x) 0 ， x[a, b] 时
定积分
二、定积分的定义
定义 设函数 f ( x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入
若干个分点 a x x x x x b
0
1
2
n1
n
把区间[a, b]分成n个小区间，各小区间的长度依次为
xi xi xi1，(i 1,2,)，在各小区间上任取
一点i （i xi ），作乘积 f (i )xi (i 1,2,)
《1.4.1 曲边梯形面积与定积分》 课件4
上页 下页 返回
▪ 一、问题的提出 ▪ 二、定积分的定义 ▪ 三、几何意义 ▪ 四、小结 思考题
上页 下页 返回
砖是直边 的长方体
烟囱的截面 是弯曲的圆
“直的砖”砌 成了“弯的圆”
局部以直代曲
上页 下页 返回
一、问题的提出

所以由直线 x＝0,x＝1,y＝0 和曲线 y＝x(x－1)围成的
图形面积为16.
求曲边梯形面积： (1)思想：以直代曲． (2)步骤：分割→近似代替→求和→取极限． (3)关键：近似代替． (4)结果：分割越细，面积越精确．
有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,在时刻t的速度 为v(t)＝3t2＋2(单位:km/h),那么该汽车在0≤t≤2(单位： h)这段时间内行驶的路程s(单位:km)是多少？ 【思路探究】 把变速直线运动的路程问题化归为匀 速直线运动的路程问题，通过分割、近似代替、求和、 取极限四步解决．
第一章 导数及其应用
1.4.1 曲边梯形面积与定积分
【问题导思】 1.能否用求直边图形面积的方法求曲边梯形的面积？ 【提示】由于曲边梯形有一边是曲线段，因此不能用 求直边图形面积的方法求曲边梯形的面积． 2.当曲边梯形的高很小时，是否可用“直边图形”的 面积近似代替曲边梯形的面积？ 【提示】可以．
(2)近似代替： 取 ξi＝2ni(i＝1，2，…，n)．于是 ΔSi≈ΔS′i＝v2ni·Δt ＝32ni2＋2·n2＝2n43i2＋n4(i＝1，2，…，n)． (3)求和： Sn＝i∑＝n1ΔS′i＝i∑＝n1 2n43i2＋n4＝2n43(12＋22＋…＋n2)＋4＝ 2n43·n（n＋1）6（2n＋1）＋4＝81＋n11＋21n＋4. 从而得到 S 的近似值 S≈Sn.
【问题导思】 定积分和曲边梯形的面积有何关系？
【提示】 (1)当函数 f(x)≥0 时,定积分bf(x)dx 表示由 a
直线 x＝a,x＝b(a<b),y＝0 及曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯 形的面积.(2)当函数 f(x)≤0 时,曲边
1.定积分的性质
(1)∫baC·f(x)dx＝

2、一般函数定积分的定义 设f(x)是定义在区间[a，b]上的一个函数， 在闭区间[a，b]上任取n－1个分点
a x0 x1 xi 1 xi xn b
把[a，b]分成 n个小闭区间，其长度依次 为△x=xi+1－xi，i=0，1，2，„，n－1，记 λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0 时，所有小区间的长度都趋近于0，在每个 i [ xi 1 , xi ] 小区间内各取一点，
i 1 2 ) 为 左端点的纵坐标 ( n 1
高，△x= 形，
n
为底作小矩
x O
1
于是图中曲线之下小矩形面积依次为
1 1 2 1 2 2 1 n 1 2 1 0 , ( ) , ( ) , , ( ) , n n n n n n n
2
所有这些小矩形的面积的和为
1 1 2 1 2 2 1 n 1 2 1 Sn 0 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n
3.定积分的几何意义：
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
求由抛物线y=x2与直线x=0、x=1、 1 y=0所围成的平面图形的面积．
B
四步曲：
曲边三角形
1°分割— 化整为零 1 2°近似代替— 以直代曲 O A x 0 x 1 x ? 3°求和 — 积零为整 1 1 2 n 1 0, , , ,, ,1 4°取极限(逼近) — n n n n 精益求精
2 kb 当n→+∞时，上式右端趋近于 2
于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为
kb W lim Wi n 2 i 0
n 1 2
以上两个实际问题，一个是求曲边梯形 的面积，一个是求变力所做的功，虽然实 际意义不同，但解决问题的方法和步骤是 完全相同的，都归结为求一个函数在某一 闭区间上的和式的极限问题.

定积分 . 江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
在学习过的函数中 , 许多函数 (例如 y x,
y x2, y x等) 的图形都是某个区间 I上 的一条连续不断的曲线 .一般地 ,如果函数
y f x在某个区间 I上的图象是一条连续
不断的曲线 ,那么我们就把它称为区 间I上 的连续函数 . 如不加说明 ,下面研究的都是连续函 数.
i1
y
o y
o
2020/11/22
y x2
2 近似代替
记 fx x 2.
如图 1 . 5 3 , 当 n 很大 , 即
i1 i nn
1x
图1.53
Δ x 很小时 , 在区间 上 , 可以认为函数
i
n
1
,
i n
fx x 2
的值变化很小
, 近似等于一
y x2
个常数 , 不妨认为它近似地
2020/11/22
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
可 以 发 现,图1.5 2中 的 曲 边 梯 形 与" 直 边 图 形"的 主 要 区
y y x2
别 是,前 者 有 一 边 是 曲 线 段,
而" 直 边 图 形"的 所 有 边 都 是
S
直 线 段. 在 过 去 的 学 习,我中们 曾 经
等于左端点
i 1 处的函数 n
i 1 i nn
1
x 值 f i 1 . 从图形上看 n
, 就是
图1.54
用平行于 x 江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
轴的直线段近似
y
o y
o

例 求抛物线y=x2、直线x=1和x轴(y=0)所围成的曲边 梯形的面积.
因此, 我们有理由相信, 这
y
个曲边三角形的面积为:
S
lim
n
Sn
lim
n
1 6
1
1 n
2
1 n
1
. 3
y x2
O 12
k
nn
n
Sn
n
Si'
i1
n i1
f (i 1)x n
n (i 1)2 i1 n
1 n
0
1 n
y = f(x) y
A1
A2
Oa
b
x
用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得
A A1+ A2
y = f(x) y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A， 得
A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩形的面
b
S2
g ( x)dx
a
Oa
bx
b
b
S S1 S2
a
f (x)dx
g(x)dx
a
本节内容结束 更多精彩内容请登录：

1 2 n
1 n
2 n
2
1 n
n
n
1
2
1 n
1 n3
(12
22
(n 1)2)
1 (n 1)n(2n 1)
n3

探究 在 "近似代替"中,如果认为函数fx x2 在
区间i
1, n
ni i

1,2,
,n上的值近似地等于右端点
i 处的函数值f i ,用这种方法能求出S的值吗?
n
n
若能求出,这个值也是1 3
吗?取任意ξi

i
1, n
ni 处
的函数值fξi 作为近似值,情况又怎样?
y y x2
y y x2
y y x2
y

y x2
o
1x o
1x o
1x
o
1x
图1.55
图1.55的演变过,也 程可以用几何画板 . 演示
4取极限分别将区 0,1间 等分成 4,8,,20,等份
图1.55,可以看,当 到n趋向于无,穷 即Δ大 x趋向
于0时,Sn
97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔·普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉·彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔·卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰·罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳·厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝·C·科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔·卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟·倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克·佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根·皮沙尔·史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。

则从0到 所做的总功 所做的总功W近似地等于 则从 到b所做的总功 近似地等于
ib b kb ∑ Wi = ∑ k n n = n2 [0 + 1 + 2 + L + (n 1)] i =0 i =0
n 1 n 1 2
1 kb 2 n(n 1) kb 2 = 2 = (1 ) n 2 2 n
kb 2 当n→+∞时，上式右端趋近于 时 2
于是得到弹簧从平衡位置拉长b所做的功为 于是得到弹簧从平衡位置拉长 所做的功为
kb W = lim ∑ Wi = n →+∞ 2 i =0
n 1 2
以上两个实际问题， 以上两个实际问题，一个是求曲边梯形 的面积，一个是求变力所做的功， 的面积，一个是求变力所做的功，虽然实 际意义不同， 际意义不同，但解决问题的方法和步骤是 完全相同的， 完全相同的，都归结为求一个函数在某一 闭区间上的和式的极限问题. 闭区间上的和式的极限问题
1.4.1曲边梯形的面积与定积分 曲边梯形的面积与定积分
中国人民大学附属中学
我们知道， 我们知道，任一多边形都可以分割成一 些三角形，通过计算这些三角形面积的和， 些三角形，通过计算这些三角形面积的和， 就可以得到这个多边形的面积， 就可以得到这个多边形的面积，是否可以 使用类似的方法计算由曲线围成的区域的 面积呢？下面我们举例研究这个问题. 面积呢？下面我们举例研究这个问题 与直线x=1，y=0所围 例1．求曲线 ．求曲线y=x2与直线 ， 所围 成的区域的面积。 成的区域的面积。
一般函数定积分的定义 是定义在区间[a， 上的一个函数 上的一个函数， 设f(x)是定义在区间 ，b]上的一个函数， 是定义在区间 在闭区间[a，b]上任取 －1个分点 在闭区间 ， 上任取n－ 个分点 上任取

y
y x2
S
o
1
x
在过去的学习中 , 我们曾经
图1.5 2
用多边形逼近圆的方法 ,利用多边形面积求出圆 的面积 .这种" 以直代曲 " 的思想启发我们, 是否也 能用直边形 (比如矩形 )逼近曲边梯形的方法 , 求图 1.5 2 中阴影部分面积呢 ?
如图1.5 3, 把区间 0,1 分成 许多小区间 , 进而把曲边梯形 拆分为一些小曲边梯形 .对每 一个小曲边梯形 " 以直代曲 " 即用矩形 的面积 近似 代 替 小 曲边梯形的面积 , 得到每个小
插入 n-1 个分点
把区间[a, b]分成 n 个小区间 记
{xi } xi xi 1 xi (i 0,1, 2, , n 1) ， 0max i n 1
在每个小区间 [ xi , xi1 ] 上任取一点 ，做乘积 f (i )xi (i 0,1, 2, , n 1)
1.4.1 曲边梯形面积与定积分(1)
在学习过的函数中 , 许多函数(例如 y x, y x 2, y x等) 的图形都是某个区间 I上 的一条连续不断的曲线 .一般地, 如果函数 不断的曲线 , 那么我们就把它称为区 间 I上 的连续函数 . 如不加说明 ,下面研究的都是连续函 数.
1
x
思考 图1.5 2中的曲边梯形与我们熟 悉的" 直边 图形"的主要区别是什么 ?能否将求这个曲边梯形 面积S 的问题转化为求" 直边图形 " 面积问题?
可以发现,图1.5 2中的曲边 梯形与" 直边图形 " 的主要区 别是, 前者有一边是曲线段 , 而" 直边图形 " 的所有边都是 直线段.

定积分的一般定义是相当的,并且ξi可都取为每
个小区间的左端点或都取为右端点.
限接近某个常数, 这个常数叫做函数f x 在区间
a,b上的定积分definiteint egral,记作
b fxdx,即
a
b fxdx lim
a
n
n
i1
b af n
示图1.5 8 中阴影部分的面积S吗?
容易发现,S
b a
f1xdx

b a
f2
x
dx
.
例1 利用定积分的定义,计算 1x3dx的值. 0
解 令fx x3.
1分割 在区间0,1上等间隔地插入n 1分点,把
区间0,1等分成n个小区间i
1, n
的路程S 1vtdt 1 t2 2 dt 5 .
0
0
3
思考 你能说说定积分的几何意义吗?
从几何上看,如果在
y
区间a,b上函数fx fb
y fx
连续且恒有fx 0,
那么定积分 b fxdx fa a
表示直线x a ,x
ξi
;
变速运动的路程
S
lim
Δt0
n
v
i1
ξi
Δt lim n
n i1
1v n
ξi
.
事 实上,许 多问 题都 可以 归结 为求 这种 特定 形式
和 的极 限.一 般地,我 们有
如 果 函 数f x 在 区 间a,b上 连 续,用 分 点
a x0 x1 xi1 xi 别 叫 做 积 分 下 限 与 积分 上 限,区 间

1.4.1 曲边梯形面积与定积分
在过去的学习中 , 我们已经知道正方形、
三角
形、平行四边形、梯形
等平面 " 直边图形 " 的
面积 ; 物理中 , 我们知道了匀速直线
运动的时
间、速度与路程的关系
等等 .在数学和物理中 ,
我们还经常会 遇到计算平面曲线围成
的平面
" 曲边图形 " 的面积、变速直线运动
物体位移、
o
i1 i nn
1x
图1.53
曲边梯形面积的近似值 .可以想象 ,随着拆分越来越
细,近似程度就会越来越好 . 也即 : 用化归为计算矩
形面积和逼近的思想方 法求出曲边梯形的面积 .我
们通过下面步骤来具体 实施这种方法 .
1分割 在区间0,1上间 y
隔地插入n 1个点,将它等
y x2
分成n个小区间:
y
y x2
2 近似代替
记 fx x 2.
如图 1 . 5 3 , 当 n 很大 , 即
Δ x 很小时 , 在区间
o
i1 i nn
1x
图1.53
上 , 可以认为函数
i
n
1
,
i n
fx x 2
y
的值变化很小
, 近似等于一
y x2
个常数 , 不妨认为它近似地
等于左端点
i 1 处的函数 n
记 0, n1第 i个 , n1区 , n2 间 , i,n为 1n,nni1,1i,1,2,,on,其图1长 i.n51 ni度 3 1
x
为
Δx i i11. 分别过 n1个 上点 述 x轴 作 的
垂,把 线 n 曲 n 边 n n 梯 个形 小分 曲 图 成 1 边 .53 梯 , 形

公式法 割补法 积分法
练习题
求出函数
的图象
与直线 所围成的平面图形的面积.
2
2
2
曲线与平行于y轴的直线和x轴 所围成的图形，通常叫做曲边梯形．
例1. 求由抛物线 y＝x2与直线 x＝1, y＝0 所围成的平面图形的面积.
阿 基 米 德 问 题
Archimedes，约公元前 287年—约公元前212年
化整为零 以直代曲 积零为整 刨光磨平
例2. 求由抛物线 y＝x3与直线 x＝1, y＝0 所围成的平面图形的面积.
课堂小结
一、平面图形面积的求法：
1. 公式法 2. 割补法 3. 积分法
课堂小结
二、求曲边梯形面积的步骤： (1)分割：n 等分区间[a，b]； (2)近似代替：取点 ξi∈[xi－1，xi]；
圆面积公式的推导
将圆分成若干(偶数)等分
1 2 34 567 8 1 2 34 567 8 16 15 14 13 12 11 10 9 16 15 14 13 12 11 10 9
圆面积公式的推导
分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。 C 2
r
圆面积公式的推导
C 2
＝πr
r
长方形面积 = 长 × 宽
(3)求和：i＝n1f(ξi)·b－n a；
(4)取极限：S＝nl→im＋∞i＝n1f(ξi)·b－n a.
“近似代替”也可以用较大的矩形来代替曲边梯形，为了计算 方便，可以取该区间上的一些特殊点，如区间的端点(或中点).
参考公式
1 2 3 n n(n 1) 2
12 22 32 n2 1 n(n 1)(2n 1) 6
1 2
p(A1A2
A2A3 AnA1)