高考数学(四海八荒易错集)专题14 直线和圆 理

1．已知点A )(,,),0,3()0,0(),1,3(等于其中那么有相交于与的平分线设λλCE BC E BC AE BAC C B =<31.3.21.2.--D C B A2.点(1,-1)到直线x-y+1=0的距离是 ( )223.22.23.21.D C B A3．若直线2x-y+c=0按向量a=(1,-1)平移后与圆x 2+y 2=5相切，则c 的值为( ) A.8或-2 B.6或-4 C.4或-6 D.2或-84．已知过点A(-2,m)和B(M,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为 ( ) A.0 B.-8 C.2 D.105．在坐标平面内，与点A(1,2)距离为1，且与点B(3,1)距离为2的直线共有 A ．1条 B.2条 C.3条 D.4条6．如下图，定圆半径为a,圆心为(b,c)则直线ax+by+c=0与直线x-y+1=0的交点在 ( )A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限7．由动点P 向圆x 2+y 2=1引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，<APB=60.,则动点P 的轨迹方程为_____.8．已知点P(x,y)在不等式组)(,.022,01,02的取值范围是则表示的平面区域内y x z y x y x -=⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-A ．[-2，-1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[1,2]9.设集合A={(x,y)|x,y,1-x-y 是三角形的三边长}，则A 所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是 ()10.在坐标平面上，不等式组⎩⎨⎧+-≤-≥.1||3,1x y x y 所表示的平面区域的面积为 ( ) 2.223.23.2.D C B A11、从原点向圆x 2+y 2-12y+27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为 ( )ππππ6.4.2..D C B A12.△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H.),(OC OB OA m OH ++=则实数m=______.13.与圆x y x 222=+有两个交点时，其斜率k 取值范围是（）)81,81(.)42,42.()2,2.()22,22.(----D C B A14. “ a=b” j 是“直线2+=x y 与圆2)(a x -相切的2)(2=++b y ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件15.圆心为( 1 ,2 ) 且与直线--x x 1257=0相切的圆的方程为__________.1．【错误解答】∵.3|,|3||,21,2||,1||=∴=====λCE BC AB AC 故由内角平分线定理得【易错点点睛】主要是没有考虑到.,,应为负值的方向相反与的向与λCE BC CE BC【正确解答】.3,|,|3||-==λ故的方向相反与而CE BC CE BC【正确解答】B 法一：由题意知所求直线必不与任何坐标轴平行可设直线y=kx+b,即kx-y+b=08．【错误解答】由约束条件画出可行域，再平移y=x.过(0,1)时截距最大为1，过(2,0)时截距最小为-2，∴取值范围为[-2，1]选B.【易错点点睛】z=x-y可化为y=x-z,此时y=x-z的截距为-z.故错选。

忽略90°倾斜角的特殊情形求经过A (m ，3)，B (1，2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．【错解】由斜率公式可得直线AB 的斜率k =3－2m －1=1m －1.①当m >1时，k =1m －1>0，所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°； ②当m <1时，k =1m －1<0，所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.【错因分析】当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象进行分类讨论，然后对每一类分别研究，得出每一类结果，最终解决整个问题．本题的讨论分两个层次：第一个层次是讨论斜率是否存在；第二个层次是讨论斜率的正、负．也可以分为m =1，m >1，m <1三种情况进行讨论．【试题解析】当m =1时，直线斜率不存在，此时直线倾斜角α=90°. 当m ≠1时，由斜率公式可得k =3－2m －1=1m －1.①当m >1时，k =1m －1>0，所以直线倾斜角α的取值范围是0°<α<90°. ②当m <1时，k =1m －1<0，所以直线倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. 【参考答案】见试题解析.1．由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围时要利用正切函数y =tan x 的图象，特别要注意倾斜角取值范围的限制.2．求解直线的倾斜角与斜率问题时要善于利用数形结合的思想，要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需依据正切函数y =tan x 的单调性求斜率k 的范围． 3．直线的倾斜角与斜率的关系（1）任何直线都存在倾斜角，但并不是任意直线都存在斜率．比如直线1x =的倾斜角为2π，但斜率不存在．（2）直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：1．直线10x y -+=的倾斜角为A ．6π B ．4π C ．34πD ．56π 【答案】B【解析】直线10x y -+=的斜率1k =，则tan 1k α==，所以直线10x y -+=的倾斜角=4απ.故选B.忽略斜率不存在的特殊情形已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a −2，3)，直线l 2经过点C (2，3)，D (−1，a −2)，若l 1⊥l 2，求a 的值．【错解】由l 1⊥l 2⇔12·1k k =-，又k 1=3－a a －5，k 2=a －5－3，所以3－a a －5·a －5－3=−1，解得a =0. 【错因分析】只有在两条直线斜率都存在的情况下，才有l 1⊥l 2⇔12·1k k =-，还有一条直线斜率为0，另一条直线斜率不存在的情况也要考虑．【试题解析】由题意知l 2的斜率一定存在，则l 2的斜率可能为0，下面对a 进行讨论． 当20k =时，a =5，此时k 1不存在，所以两直线垂直． 当20k ≠时，由12·1k k =-，得a =0. 所以a 的值为0或5. 【参考答案】0或51．直线的斜率是否存在是解直线问题首先要考虑的问题，以防漏解． 2．斜率公式（1）若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率tan k α=．（2）若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k =2121y y x x --．3．求直线方程的方法（1）直接法：根据已知条件，选择恰当形式的直线方程，直接求出方程中的系数，写出直线方程； （2）待定系数法：先根据已知条件恰当设出直线的方程，再根据已知条件构造关于待定系数的方程(组)解得系数，最后代入设出的直线方程．4．求直线方程时，如果没有特别要求，求出的直线方程应化为一般式Ax +By +C =0，且A ≥0.5．已知三点,,A B C ，若直线,AB AC 的斜率相同，则,,A B C 三点共线.因此三点共线问题可以转化为斜率相等问题，用于求证三点共线或由三点共线求参数.2．设直线l 的方程为(l 2−2l −3)l +(2l 2+l −1)l =2l −6，根据下列条件分别求l 的值． （1）在l 轴上的截距为1； （2）斜率为1；（3）经过定点l (−1,−1)． 【答案】（1）1；（2）43；（3）53或−2. 【解析】(1)∵直线过点P ′(1,0)， ∴m 2－2m －3＝2m －6.解得m ＝3或m ＝1.又∵m ＝3时，直线l 的方程为y ＝0，不符合题意， ∴m ＝1. (2)由斜率为1，得{−l 2−2l −32l 2+l −1=12l 2+l −1≠0解得m ＝43.(3)直线过定点P (－1，－1)，则－ (m 2－2m －3)－(2m 2＋m －1)＝2m －6， 解得m ＝53或m ＝－2.当用待定系数法确定直线的斜率时，一定要对斜率是否存在进行讨论，否则容易犯解析不全的错误．忽视两条直线平行的条件当a 为何值时，直线1l ：y =−x ＋2a 与直线2l ：()222y a x =-+平行？【错解】由题意，得22a -=−1，∴a =±1.【错因分析】该解法只注意到两直线平行时斜率相等，而忽视了斜率相等的两直线还可能重合． 【试题解析】∵12l l ∥，∴22a -=−1且2a ≠2，解得a =−1.【方法点睛】要解决两直线平行的问题，一定要注意检验，看看两直线是否重合． 【参考答案】a =−1.1．两直线的位置关系问题中注意重合与平行的区别．2．由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解. 3．两条直线的位置关系（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况．3．已知直线40x ay ++=与直线430ax y +-=互相平行，则实数a 的值为 A ．2± B ．2C ．2-D ．0【答案】A【解析】直线40x ay ++=与直线430ax y +-=互相平行，；∴410a a ⨯-⋅=，即240a -=，解得：2a =±.当2a =时，直线分别为240x y ++=和2430x y +-=，平行，满足条件 当2a =-时，直线分别为240x y -+=和2430x y -+-=，平行，满足条件； 所以2a =±； 故选A.【名师点睛】本题考查两直线平行的性质，解题时注意平行不包括重合的情况，属于基础题.忽视截距为0的情形已知直线l 过点P (2，−1)，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【错解】由题意，设直线l 的方程为x a ＋ya=1， ∵直线l 过点(2，−1)，∴2a ＋－1a=1，∴a =1，则直线l 的方程为x ＋y −1=0. 【错因分析】错解忽略了过原点时的情况． 【试题解析】设直线l 在两坐标轴上的截距为a . 若a =0，则直线l 过原点，其方程为x ＋2y =0； 若a ≠0，则直线l 的方程可设为x a ＋ya=1， ∵直线l 过点(2，−1)，∴2a ＋－1a=1，∴a =1，则直线l 的方程为x ＋y −1=0.综上所述，直线l 的方程为20x y +=或x ＋y −1=0.【思路分析】截距式方程中a ≠0，b ≠0，即直线与坐标轴垂直或直线过原点时不能用截距式方程．注意在两坐标轴上存在截距的直线不一定有截距式方程，此时在x ，y 轴上的截距均为0，即过原点． 【参考答案】20x y +=或x ＋y −1=0.1．在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解．2．在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这是解题时容易忽略的一点，常见的与截距问题有关的易错点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，应先考虑截距为0的情形，注意分类讨论思想的运用．4．经过点(1,3)P ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有 A ．0条 B ．1条C ．2条D ．3条【答案】C【解析】若直线过原点，则过()1,3P 的直线方程为3y x =，满足题意. 若直线不过原点，设直线为x y a +=，代入()1,3P ，解得：4a =，∴直线方程为：40x y +-=∴满足题意的直线有2条故选C.【名师点睛】本题考查在坐标轴截距相等的直线的求解，易错点是忽略直线过原点的情况. 含参数的两条直线相交因考虑问题不全面而致误若三条直线123:10,:10,:0l ax y l x ay l x y a ++=++=++=共有三个不同的交点，则a 的取值范围为 A ．1a ≠± B ．a ≠1且a ≠−2 C ．a ≠−2D ．1a ≠±且a ≠−2【错解】选A 或选B【错因分析】在解题过程中，常错选B ，原因在于考虑问题不全面，只考虑三条直线相交于一点而忽视了任意两条平行或重合的情况．错选A 时，只考虑三条直线斜率不相等的条件而忽视了三条直线相交于一点的情况．【试题解析】因为三条直线有三个不同的交点，需三条直线两两相交且不共点，由条件不易直接求参数，可考虑从反面着手求解．①若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1，将l 2，l 3的交点()1,1a --代入l 1的方程解得a =1或a =−2. ②若12l l ∥，则由a ×a −1×1=0，解得a =±1， 当a =1时，1l 与2l 重合．③若2l ∥3l ，则由1×1−a ×1=0，解得a =1， 当a =1，2l 与3l 重合．④若1l ∥3l ，则由a ×1−1×1=0，解得a =1， 当a =1时，1l 与3l 重合．综上，当a =1时，三条直线重合；当a =−1时，1l ∥2l ；当a =−2时，三条直线交于一点. 所以要使三条直线共有三个交点，需1a ≠±且a ≠−2. 【参考答案】D1．两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为点的坐标，即交点的坐标. 2．求过两直线交点的直线方程的求法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程.也可借助直线系方程，利用待定系数法求出直线方程，这样能简化解题过程.5．设()()2,3,1,2A B -，若直线10ax y +-=与线段AB 相交，则a 的取值范围是 A ．[]1,1- B ．()1,1-C ．(][),11,-∞-+∞D ．()(),11,-∞-⋃+∞【答案】C【解析】由题意，直线10ax y +-=，即1y ax =-+，所以直线经过定点()0,1P ， 又由斜率公式，可得31120PA k -==---，21110PB k -==-．∵直线10ax y +-=与线段AB 相交， ∴1a -≥或1a -≤-，则a 的取值范围是(][),11,-∞-+∞．故选C ．【名师点睛】本题考查了斜率计算公式及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．忽视圆的方程需要满足的条件致错已知点O (0，0)在圆x 2＋y 2＋kx ＋2ky ＋2k 2＋k −1=0外，求k 的取值范围．1．求圆的方程必须具备三个独立的条件．从圆的标准方程来看，关键在于求出圆心坐标和半径，从圆的一般方程来讲，能知道圆上的三个点即可求出圆的方程，因此，待定系数法是求圆的方程常用的方法． 2．用几何法求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”，“半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形”． 3．与圆有关的对称问题（1）圆的轴对称性:圆关于直径所在的直线对称． （2）圆关于点对称：①求已知圆关于某点对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置； ②两圆关于点对称，则此点为两圆圆心连线的中点． （3）圆关于直线对称：①求已知圆关于某条直线对称的圆，只需确定所求圆的圆心位置； ②两圆关于直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．4．对于圆中的最值问题，一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式的性质求出最值．特别地，要利用圆的几何性质，根据式子的几何意义求解，这正是数形结合思想的应用．6．若直线2y kx k =+与圆2240x y mx +++=至少有一个交点，则实数m 的取值范围为 A ．[0，+∞） B ．[4，+∞） C ．（4，+∞） D ．[2，4]【答案】C【解析】由2y kx k =+可得(2)y k x =+，故直线2y kx k =+恒过定点(2,0)-，因此可得点(2,0)-必在圆内或圆上，故2220240)4(m m -+-+≤⇒≥．由方程表示圆的条件可得24404m m -⨯>⇒<-或4m >．综上可知4m >．故实数m 的取值范围为（4，+∞）．故选C ．【名师点睛】本题主要考查了直线过定点及直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系，属于中档题. 利用数形结合的解题误区方程1－x 2=kx ＋2有唯一解，则实数k 的取值范围是A ．k =± 3B ．k ∈(−2，2)C ．k <−2或k >2D ．k <−2或k >2或k =±3 【错解】选A 或选C【错因分析】因忽视y =1－x 2中的y ≥0而认为直线与圆相切而错选A ．虽然注意到图形表示半圆但漏掉直线与圆相切的情形而错选C ．【试题解析】由题意知，直线y =kx ＋2与半圆x 2＋y 2=1(y ≥0)只有一个交点．结合图形易得k <−2或k >2或k =± 3.【参考答案】D1．判断直线与圆的位置关系时，通常用几何法，其步骤是：（1）明确圆心C 的坐标（a ，b ）和半径长r ，将直线方程化为一般式； （2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d ； （3）比较d 与r 的大小，写出结论.判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法. 2．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半径长r 、弦心距d 、弦长l 的一半构成直角三角形，结合勾股定理222()2l d r +=求解；二是若斜率为k 的直线l 与圆C 交于1122,,()()A x y B x y ，两点，则12|||AB x x =-.7．若直线y =x ＋b 与曲线y =4－x 2有公共点，试求b 的取值范围． 【答案】−2≤b ≤2 2【解析】如图所示，在坐标系内作出曲线y =4－x 2(半圆)，直线l 1：y =x −2，直线l 2：y =x ＋2 2.当直线l ：y =x ＋b 夹在l 1与l 2之间(包含l 1，l 2)时，l 与曲线y =4－x 2有公共点，不理解两圆相切已知圆222210,x y x y ++++=圆226890x y x y +-++=，判断两圆的位置关系.【错解】由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1＝0，x 2＋y 2－6x ＋8y ＋9＝0，得4x −3y −4=0，即y =4x －43.将其代入方程x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋1=0，得22(44)8821093x x x x --++++=， 即9x 2＋16x 2＋16−32x ＋18x ＋3(8x −8)＋9=0，25x 2＋10x ＋1=0， 因为Δ=100−4×25=0.所以两圆只有一个公共点，两圆相切．【错因分析】将两圆方程联立，Δ=0说明两圆只有一个公共点，此时两圆有可能外切，也有可能内切． 【试题解析】把两圆方程分别配方，化为标准方程为：(x ＋1)2＋(y ＋1)2=1，(x −3)2＋(y ＋4)2=16， 所以C 1(−1，−1)，C 2(3，−4)，r 1=1，r 2=4.∵圆心距12|5|C C ==，r 1＋r 2=1＋4=5，∴|C 1C 2|=r 1＋r 2，故两圆外切． 【参考答案】外切.1．判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是： （1）确定两圆的圆心坐标和半径长；（2）利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求1212||r r r r +-，；（3）比较1212,,||d r r r r +-的大小，写出结论. 2．求两圆公共弦长一般有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解； 二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.8．已知两圆221x y +=和224)()25x y a ++-=（相切，求实数a 的值.【答案】±0【解析】题中所给两圆的圆心坐标分别为()()0,0,4,a -，半径分别为1,5，51=+，解得：a =±51=-，解得：0a =，综上可得，a 的值为±0.【名师点睛】判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法，两圆相切注意讨论内切外切两种情况.两圆外切和内切统称为相切，d =|r 1−r 2|⇔内切；d =r 1＋r 2⇔外切．本题容易出现的错误是：只考虑外切的情况而把内切情况漏掉了．求切线时考虑不全致错过点P (2，4)引圆()()22111x y --=＋的切线，则切线方程为__________．【错解】设切线方程为y −4=k (x −2)，即kx −y ＋4−2k =0， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d1==，解得k =43，【错因分析】本题容易忽略切线斜率不存在的情况，从而导致漏解． 【试题解析】显然点P (2，4)不在圆上，当切线的斜率存在时，设切线方程为y −4=k (x −2)，即420kx y k -+-=，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即d1==，解得k =43，故所求切线方程为43x −y ＋4−2×43=0，即4x −3y ＋4=0； 当切线的斜率不存在时，切线方程为2x =，此时圆心到直线的距离等于半径，符合题意． 综上，切线方程为2x =或4x −3y ＋4=0． 【参考答案】2x =或4x −3y ＋4=0.求解此类问题时，应先判断点是在圆上还是在圆外，在圆上时切线方程唯一，在圆外时切线方程必有两条．1．求过圆上的一点00(,)x y 的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k ，若k 不存在，则由图形可写出切线方程为0y y =；若0k =，则由图形可写出切线方程为0x x =；若k 存在且k ≠0，则由垂直关系知切线的斜率为1k-，由点斜式方程可求出切线方程.2．求过圆外一点00(,)x y 的圆的切线方程： （1）几何方法当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=.由圆心到直线的距离等于半径长，即可得出切线方程. （2）代数方法当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即00y kx kx y =-+，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0∆=，求得k ，切线方程即可求出.3．在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．9．已知圆：22(1)2x y +-=，则过点（1，2）作该圆的切线方程为A ．440x y +-=B ．250x y +-=C ．2x =D ．30x y +-=【答案】D【解析】根据题意，设圆：()2212x y +-=的圆心为M ，且M （0，1），点N （1，2），有()221212+-=，则点N 在圆上，则过点N 的切线有且只有1条；则21110MN k -==-， 则过点（1，2）作该圆的切线的斜率1k =-，切线的方程为2(1)y x -=--， 变形可得30x y +-=， 故选D ．一、直线与方程 1．直线的倾斜角（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0︒．（2）范围：直线l 倾斜角的范围是[0,180)︒︒． 2．斜率公式（1）若直线l 的倾斜角α≠90°，则斜率tan k α=．（2）若P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则直线l 的斜率k =2121y y x x --．3．直线方程的五种形式1．常见的直线系方程（1）过定点P (x 0，y 0)的直线系方程：()()220000()A x x B y y C A B -+-+=+≠还可以表示为()00y y k x x -=-，斜率不存在时可设为x =x 0.（2）平行于直线Ax ＋By ＋C =0的直线系方程：()110Ax By C C C ++=≠． （3）垂直于直线Ax ＋By ＋C =0的直线系方程：10Bx Ay C -+=.（4）过两条已知直线1112220,0A x B y C A x B y C ++=++=交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y＋C 2)=0(其中不包括直线2220A x B y C ++=)．2．求解含有参数的直线过定点问题，有两种方法：（1）任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解.（2）分项整理，含参数的并为一项，不含参数的并为一项，整理成等号右边为零的形式，然后令含参数的项和不含参数的项分别为零，解方程组所得的解即为所求定点. 二、直线的位置关系 1．两条直线的位置关系（1）当两条直线平行时，不要忘记它们的斜率不存在时的情况；（2）当两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． 2．两条直线的交点对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2=0，1l与2l 的交点坐标就是方程组1112220A xB yC A x B y C ++=⎧⎨++=⎩的解．（1）方程组有唯一解⇔1l 与2l 相交，交点坐标就是方程组的解； （2）方程组无解⇔1l ∥2l ；（3）方程组有无数解⇔1l 与2l 重合． 3．距离问题（1）平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2 （2）点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C =0的距离d（3）两条平行线Ax ＋By ＋C 1=0与Ax ＋By ＋C 2=0(C 1≠C 2)间的距离d ．1．求两点间的距离，关键是确定两点的坐标，然后代入公式即可，一般用来判断三角形的形状等. 2．解决点到直线的距离有关的问题，应熟记点到直线的距离公式，若已知点到直线的距离求直线方程，一般考虑待定斜率法，此时必须讨论斜率是否存在.3．求两条平行线间的距离，要先将直线方程中x ，y 的对应项系数转化成相等的形式，再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题. 4．对称问题（1）中心对称：点(,)B x y 为点11(,)A x y 与22(,)C x y 的中点，中点坐标公式为121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．（2）轴对称：若点P 关于直线l 的对称点为P'，则PP'lP P'l ⊥⎧⎨⎩直线与的中点在上．解决对称问题要抓住以下两点：（1）已知点与对称点的连线与对称轴垂直；（2）以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上． 三、圆的方程1．圆的标准方程与一般方程2．点与圆的位置关系（1）圆的三个性质①圆心在过切点且垂直于切线的直线上； ②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线． （2）两个圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系，它们的方程叫圆系方程．①同心圆系方程：2220()()()x a y b r r =->+-，其中a ，b 为定值，r 是参数； ②半径相等的圆系方程：2220()()()x a y b r r -->+＝，其中r 为定值，a ，b 为参数． 四、直线与圆的位置关系 1．直线与圆的三种位置关系 （1）直线与圆相离，没有公共点； （2）直线与圆相切，只有一个公共点； （3）直线与圆相交，有两个公共点． 2．直线与圆的位置关系的判断方法3．圆与圆的位置关系4．圆与圆位置关系的判断圆与圆的位置关系的判断方法有两种. （1）几何法：由两圆的圆心距d 与半径长R ，r 的关系来判断（如下图，其中R r >）．（2）代数法：设圆221111:0C x y D x E y F ++++= ①，圆222222:0C x y D x E y F ++++= ②，联立①②，如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．设圆221111:0C x y D x E y F ++++= ①，圆222222:0C x y D x E y F ++++= ②， 若两圆相交，则有一条公共弦，由①−②，得121212()()0D D x E E y F F -+-+-=③． 方程③表示圆C 1与圆C 2的公共弦所在直线的方程．1．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C．D．⎡⎣【答案】A【解析】直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，()()2,0,0,2A B ∴--，则AB =点P 在圆22(2)2x y -+=上，∴圆心为（2，0），则圆心到直线的距离1d ==故点P 到直线20x y ++=的距离2d的范围为，则[]2212,62ABP S AB d ==∈△. 故答案为A.【名师点睛】本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题.先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线的距离，得到点P 到直线距离的范围，由面积公式计算即可.2．圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a= A ．43-B ．34-CD ．2【答案】A【解析】圆的方程可化为22(1)(4)4x y -+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：1d ==，解得43a =-，故选A ．3．不论m 为何值，直线()()21250m x m y -+++=恒过定点 A ．()1,2-- B ．()1,2-C ．()1,2-D ．()1,2【答案】B 【解析】()()21250m x m y -+++=恒过定点，∴()()2250x y m x y ++-++=恒过定点，由20,250,x y x y +=⎧⎨-++=⎩解得1,2,x y =⎧⎨=-⎩即直线()()21250m x m y -+++=恒过定点()1,2-.4．已知直线1:20l mx y +-=与直线()2:240l m x my -+-=垂直，则m = A ．0 B ．1C ．1-或0D ．0或1【答案】D【解析】直线1:20l mx y +-=与直线()2:240l m x my -+-=垂直，()20m m m ∴-+=，解得0m =或1. 故选D.【名师点睛】对于直线1l ：1110A x B y C ++=和直线2l ：2220A x B y C ++=，122112211200//A B A B AC A C l l -=-≠⇔①，； 12120A A B B +=②12l l ⇔⊥.5．圆22(2)(1)1x y -+-=上的一点到直线:10l x y -+=的最大距离为A 1B ．2CD 1【答案】D【解析】圆心（2,1）到直线:10l x y -+=的距离是1d ===>，所以圆上一点到直线:10l x y -+=1，故选D.【名师点睛】本题主要考查圆上一点到直线距离最值的求法，以及点到直线的距离公式. 6．已知圆()()221:24O x m y -+-=与圆()()222:229O x y m +++=有3条公切线，则m = A ．1-B ．1或175-C ．175-D ．1-或175【答案】B【解析】由题意，圆1O 与圆2O 外切，所以12235OO =+=，5=，解得1m =或175m =-. 7．已知点A ,B ,C 在圆221x y +=上运动，且90ABC ∠=，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为 A ．9 B ．8C ．7D ．6【答案】C【解析】AC 为Rt ABC △的斜边，则AC 为圆221x y +=的一条直径，故AC 必经过原点， 则2PA PC PO +=，即2PA PB PC PO PB ++=+，设点(),B x y ， 所以()()()222,02,6,PO PB x y x y +=-+-=-， 所以，(PA PB PC x ++=()6,0M 到圆上的点B 的距离， 所以，(617PA PB PC x OM r ++=+=+=，故选C.【名师点睛】本题考查向量模的最值问题，在解决这类问题时，可设动点的坐标为(),x y ，借助向量的坐标运算，将所求模转化为两点的距离，然后利用数形结合思想求解，考查运算求解能力，属于难题. 8．已知直线10():ay a l x +-=∈R 是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴.过点(4,)A a -作圆C 的一条切线，切点为B ，则=ABA ．2B ．C ．D ．6【答案】D【解析】圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=，圆心为()2,1C ，半径长为2r，易知，圆心C 在直线l 上，则210a +-=，得1a =-，()4,1A ∴--，AC ∴==因此，6AB ===.故选D.【名师点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查切线长的计算，在求解与圆有关的问题中，应将圆的方程表示成标准形式，确定圆心坐标和半径长，在计算切线长时，一般利用几何法，即勾股定理来进行计算，以点到圆心的距离为斜边、半径长和切线长为两直角边来计算，考查计算能力，属于中等题. 9．已知点()1,Q m -，P 是圆C ：()()22244x a y a -+-+=上任意一点，若线段PQ 的中点M 的轨迹方程为()2211x y +-=，则m 的值为A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】设(),P x y ，PQ 的中点为()00,M x y因为点()00,M x y 在圆()2211x y +-=上，所以2211122x y m -+⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即()()22124x y m -++-=. 将此方程与方程()()22244x a y a -+-+=比较可得()1242a a m =⎧⎪⎨-=--⎪⎩，解得4m =.故选D.10．过直线:1l y x =+上的点P 作圆C :()()22162x y -+-=的两条切线1l 、2l ，当直线1l 、2l 关于直线:1l y x =+对称时，PC =A ．3B．C．1D ．2【答案】B【解析】由题设可知当CP l ⊥时，两条切线12,l l 关于直线:1l y x =+对称，此时CP 即为点()1,6C 到直线:1l y x =+的距离，即d === B. 【名师点睛】解答本题的难点是如何理解两条切线12,l l 关于直线:1l y x =+对称，从而将问题转化为CP l ⊥，最终求得点()1,6C 到直线:1l y x =+的距离，即d ===获解.11．已知圆C 的圆心坐标是(0,)m ，半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --，则m=___________，r =___________．【答案】2-，【解析】由题意可知11:1(2)22AC k AC y x =-⇒+=-+，把(0,)m 代入直线AC 的方程得2m =-，此时||r AC ===【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线AC 的斜率，进一步得到其方程，将(0,)m 代入后求得m ，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.12．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．【答案】l 2+l 2−2l =0【解析】设圆的方程为l 2+l 2+ll +ll +l =0，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：{l =01+1+l +l +l =04+0+2l +l =0 ，解得：{l =−2l =0l =0，则圆的方程为l 2+l 2−2l =0.【名师点睛】求圆的方程，主要有两种方法：（1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．（2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．13．直线l =l +1与圆l 2+l 2+2l −3=0交于l ， l 两点，则|ll |=________．【答案】2√2【解析】根据题意，圆的方程可化为l 2+(l +1)2=4， 所以圆的圆心为(0,−1)，且半径是2， 根据点到直线的距离公式可以求得l =011√1+(−1)2=√2，结合圆中的特殊三角形，可知|ll |=2√4−2=2√2，故答案为2√2.【名师点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果.14．若直线l 1:l −2l +l =0(l >0)与直线l 2:l +ll −3=0之间的距离是√5，则l +l =_________.【答案】0【解析】∵直线l 1:l −2l +l =0(l >0)与直线l 2:l +ll −3=0之间的距离是√5，∴{l =−2l 3√5=√5 ，解得l =−2，l =2（负值舍去）则l +l =2−2=0. 故答案为0.15．在平面直角坐标系xOy 中，(12,0),(0,6),A B -点P 在圆22:50O x y +=上，若20PA PB ⋅≤，则点P 的横坐标的取值范围是 ． 【答案】[-【解析】设(,)P x y ，由20PA PB ⋅≤，易得250x y -+≤，由2225050x y x y -+=⎧⎨+=⎩，可得55x y =-⎧⎨=-⎩或17x y =⎧⎨=⎩，令(5,5),(1,7)C D --，则由250xy -+≤得P 点在圆左边弧CD 上，结合限制条件x -≤可得点P 横坐标的取值范围为[-．【名师点睛】对于线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等，最后结合图形确定目标函数的最值或取值范围．16．若双曲线22:154y x C -=的渐近线与圆()()22230x y r r-+=>相切，则r =_________.【解析】双曲线C的渐近线方程为y x =20y ±=， 圆()2223x y r -+=，圆心坐标为()3,0，半径为r ，由于双曲线C的渐近线与圆相切，则r ==【名师点睛】本题考查双曲线的渐近线，考查直线与圆的位置关系，在求解直线与圆相切的问题时，。

2020年高考数学（理）二轮复习命题考点串讲系列-专题14 直线与圆1、考情解读(1)以客观题形式考查两条直线平行与垂直的关系判断，常常是求参数值或取值范围，有时也与命题、充要条件结合，属常考点之一．(2)与三角函数、数列等其他知识结合，考查直线的斜率、倾斜角、直线与圆的位置关系等，以客观题形式考查．(3)本部分内容主要以客观题形式考查，若在大题中考查，较少单独命制试题，常常与圆锥曲线相结合，把直线与圆的位置关系的判断或应用作为题目条件的一部分或一个小题出现，只要掌握最基本的位置关系，一般都不难获解．2、重点知识梳理1．直线方程(1)直线的倾斜角与斜率的关系倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．当0°<α<90°时，k>0且k随倾斜角α的增大而增大．当90°<α<180°时，k<0且k随倾斜角α的增大而增大．(2)直线方程(3)两直线的位置关系 位置关系 l 1：y ＝k 1x ＋b 1 l 2：y ＝k 2x ＋b 2 l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0 l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0平行k 1＝k 2，且b 1≠b 2A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0相交k 1≠k 2特别地，l 1⊥l 2⇒k 1k 2＝－1A 1B 2≠A 2B 1特别地，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0重合k 1＝k 2且b 1＝b 2A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1＝0(4)距离公式①两点P 1(x 1，y 1)，P (x 2，y 2)间的距离 |P 1P 2|＝x 1－x 22＋y 1－y 22.②点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离 d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.2．圆的方程 (1)圆的方程①标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心坐标为(a ，b )，半径为r .②一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F2.(2)点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d <r ⇔点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2(或0)作比较，大于r 2(或0)时，点在圆外；等于r 2(或0)时，点在圆上；小于r 2(或0)时，点在圆内．(3)直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)的位置关系如下表.代数法：⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0x －a 2＋y －b2＝r 2消元得一元二次方程，根据判别式Δ的符号 (4)圆与圆的位置关系【误区警示】1．应用点斜式或斜截式求直线方程时，注意斜率不存在情形的讨论，应用截距式求直线方程时，注意过原点的情形．2．判断两直线平行与垂直时，不要忘记斜率不存在的情形．学科.网 3、高频考点突破 考点1 直线及其方程例1. 【2016高考新课标3理数】已知直线l ：30mx y m ++=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别做l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，若AB =||CD =__________________.【答案】4【变式探究】已知点A (－1，0)，B (1，0)，C (0，1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )A ．(0，1)B.⎝⎛⎭⎪⎫1－22，12C.⎝⎛⎦⎥⎤1－22，13D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，12解析 (1)当直线y ＝ax ＋b 与AB 、BC 相交时(如图①)，由⎩⎨⎧y ＝ax ＋b ，x ＋y ＝1得y E ＝a ＋ba ＋1，又易知x D ＝－b a ，∴|BD |＝1＋b a ，由S △DBE ＝12×a ＋b a ×a ＋b a ＋1＝12得b ＝11＋1a ＋1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.图① 图②考点2 两直线的位置关系例2、【2016高考上海理数】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离___________.25【解析】利用两平行线间距离公式得12222225d 5a b 21===++. 已知点O (0，0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( )A ．b ＝a 3B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)(b －a 3－1a )＝0D ．|b －a 3|＋|b －a 3－1a |＝0解析 若△OAB 为直角三角形，则A ＝90°或B ＝90°. 当A ＝90°时，有b ＝a 3；当B ＝90°时，有b －a 30－a ·a 3－0a －0＝－1，得b ＝a 3＋1a .故(b －a 3)(b －a 3－1a )＝0，选C. 答案 C【变式探究】设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|P A |·|PB |的最大值是________．解析 易求定点A (0，0)，B (1，3)．当P 与A 和B 均不重合时，不难验证P A ⊥PB ，所以|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|P A |·|PB |≤|P A |2＋|PB |22＝5(当且仅当|P A |＝|PB |＝5时，等号成立)，当P 与A 或B 重合时，|P A |·|PB |＝0，故|P A |·|PB |的最大值是5.答案 5 考点3 圆的方程例3．(2017·天津卷)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠F AC ＝120°，则圆的方程为____________．【变式探究】【2016高考新课标2理数】圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ）（A ）43- （B ）34- （C（D ）2【答案】A【解析】圆的方程可化为22(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：1d ==，解得43a =-，故选A ．【变式探究】一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析 由题意知圆过(4，0)，(0，2)，(0，－2)三点，(4，0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52.故圆的标准方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254考点4 直线与圆、圆与圆的位置关系例4．【2017江苏，13】在平面直角坐标系xOy 中,(12,0),(0,6),A B -点P 在圆2250O x y +=：上,若20,PA PB ⋅u u u r u u u r≤则点P 的横坐标的取值范围是 .【答案】⎡⎤-⎣⎦【变式探究】【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知以M 为圆心的圆22:1214600M x y x y +--+=及其上一点(2,4)A （1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线6x =上，求圆N 的标准方程； （2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于,B C 两点，且BC OA =,求直线l 的方程；（3）设点(,0)T t 满足：存在圆M 上的两点P 和Q ,使得,TA TP TQ +=u u r u u r u u u r,求实数t 的取值范围。

高中直线与圆题型归纳总结直线与圆是高中数学中的重要知识点，涉及到的题型较为广泛。

在这篇文章中，我将对高中直线与圆题型进行归纳总结，以帮助同学们更好地掌握和应用这些知识。

一、直线与圆的基本性质在解题过程中，掌握直线与圆的基本性质是非常重要的。

下面列举了一些常见的性质：1. 直线与圆的位置关系：a. 若直线与圆有两个交点，则该直线称为切线；b. 若直线与圆相交于两个不重合的交点，则该直线称为割线；c. 若直线与圆不相交，则该直线称为外切线或外割线；d. 若直线完全在圆内，则该直线称为内切线或内割线。

2. 判定直线与圆的位置关系的方法：可以通过直线的方程与圆的方程进行联立，进而判断位置关系。

二、直线与圆的相交性质1. 两条直线与圆的相交性质：a. 相交弧的性质：两条直线与圆相交，相交的弧度数相等；b. 垂直切线的性质：切线与半径垂直；c. 切线长度的性质：切线长的平方等于切点到圆心的距离与圆半径的乘积。

2. 直线与圆的切线性质：a. 切线定理：切线与半径垂直；b. 外切角性质：切线与半径的夹角等于其对应的弧所对圆心角的一半。

三、直线与圆的方程1. 圆的一般方程：(x-a)² + (y-b)² = r²，其中(a, b)为圆心坐标，r为圆半径。

2. 直线的一般方程：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为实数且不全为零。

3. 判定直线与圆的位置关系的方法：将直线方程代入圆的方程，求解该二次方程的判别式，进而判断位置关系。

四、直线与圆的应用题1. 判断两个圆的位置关系：比较两个圆的圆心距离与两个圆半径之和的大小来判断位置关系。

2. 直线与圆的垂直与切线问题：通过证明直线与半径的斜率乘积为-1，判定直线与圆的垂直关系；通过判定直线与圆的切点的情况，判定直线与圆的切线关系。

3. 直线与圆的联立方程求解问题：列出直线方程与圆方程，通过解联立方程，求解直线与圆的交点坐标。

4. 直线与圆的面积问题：求直线与圆所形成的图形的面积，可以通过计算扇形面积与三角形面积之和来完成。

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度高考数学四海八荒易错集专题14直线和圆文______年______月______日____________________部门1．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )A．内切B．相交C．外切D．相离答案B解析∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2，2．已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线kx－y＋1－k＝0与线段AB相交，则k的取值范围是( )A．[，2] B．(－∞，]∪[2，＋∞)C．(－∞，1]∪[2，＋∞) D．[1,2]答案B解析直线kx－y＋1－k＝0恒过点P(1,1)，kPA＝＝2，kPB＝＝；若直线kx－y＋1－k＝0与线段AB相交，结合图象(图略)得k≤或k≥2，故选B.3．若方程(x－2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝1(0≤θ<2π)的任意一组解(x，y)都满足不等式y≥x，则θ的取值范围是( ) A．[，] B．[，]C．[，π] D．[，π]答案D解析根据题意可得，方程(x－2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝1(0≤θ<2π)的任意一组解(x，y)都满足不等式y≥x，表示方程(x －2cosθ)2＋(y－2sinθ)2＝1(0≤θ<2π)在y＝x的左上方(包括相切)，∴⎩⎪⎨⎪⎧|2sin θ－33×2cos θ|1＋13≥1，2sin θ>33×2cos θ，∴sin≥，∵0≤θ<2π，∴θ∈[，π]，故选D.4．已知点P(x ，y)在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y 取得最小值时，过点P 引圆(x －)2＋(y ＋)2＝的切线，则此切线段的长度为________．答案 625．已知a ∈R ，方程a2x2＋(a ＋2)y2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是______________．半径是________．答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x2＋y2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．6．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x2＋y2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB|＝2，则圆C 的面积为________．答案 4π解析圆C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)，C到直线y＝x＋2a的距离为d＝＝.又由|AB|＝2，得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2，所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π.7．已知以点C(t，)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为原点．(1)求证：△OAB的面积为定值；(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程．(1)证明由题意知圆C过原点O，且|OC|2＝t2＋.则圆C的方程为(x－t)2＋(y－)2＝t2＋，令x＝0，得y1＝0，y2＝；令y＝0，得x1＝0，x2＝2t.故S△OAB＝|OA|×|OB|＝×|2t|×||＝4，即△OAB的面积为定值．(2)解∵|OM|＝|ON|，|CM|＝|CN|，∴OC垂直平分线段MN.线y＝－2x＋4不相交，∴t＝－2不符合题意，应舍去．综上，圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.易错起源1、直线的方程及应用例1、(1)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k －3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是( )A．1或3 B．1或5C．3或5 D．1或2(2)已知两点A(3,2)和B(－1,4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m的值为( )A．0或－ B.或－6C．－或D．0或12答案(1)C (2)B【变式探究】已知直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：(3－a)x －y＋a＝0，若l1⊥l2，则a的值为( )A．1 B．2C．6 D．1或2答案D解析由l1⊥l2，则a(3－a)－2＝0，即a＝1或a＝2，选D.【名师点睛】(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．【锦囊妙计，战胜自我】1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝.易错起源2、圆的方程及应用例2、(1)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为( )A．(x－2)2＋(y±2)2＝3 B．(x－2)2＋(y±)2＝3C．(x－2)2＋(y±2)2＝4 D．(x－2)2＋(y±)2＝4(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x＝－2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为2，且与直线l2：2x－y－4＝0相切，则圆M的方程为( )A．(x－1)2＋y2＝4 B．(x＋1)2＋y2＝4C．x2＋(y－1)2＝4 D．x2＋(y＋1)2＝4答案(1)D (2)B解得满足条件的一组解为⎩⎨⎧a ＝－1，r ＝2，所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y2＝4.故选B.【变式探究】(1)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________________．(2)两条互相垂直的直线2x ＋y ＋2＝0和ax ＋4y －2＝0的交点为P ，若圆C 过点P 和点M(－3,2)，且圆心在直线y ＝x 上，则圆C 的标准方程为______________．答案 (1)2＋y2＝254 (2)(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34 【名师点睛】解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．【锦囊妙计，战胜自我】 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b)，半径为r 时，其标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以(－，－)为圆心，为半径的圆．易错起源3、直线与圆、圆与圆的位置关系例3、(1)已知直线2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)恒过定点P，若点P平分圆x2＋y2－2x－4y－4＝0的弦MN，则弦MN所在直线的方程是( )A．x＋y－5＝0 B．x＋y－3＝0C．x－y－1＝0 D．x－y＋1＝0(2)已知P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB 是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k的值为( )A．3 B.212C．2 D．2答案(1)A (2)D解析(1)对于直线方程2x＋(y－3)m－4＝0(m∈R)，取y＝3，则必有x＝2，所以该直线恒过定点P(2,3)．设圆心是C，则易知C(1,2)，所以kCP＝＝1，由垂径定理知CP⊥MN，所以kMN＝－1.又弦MN过点P(2,3)，故弦MN所在直线的方程为y－3＝－(x－2)，【变式探究】(1)若直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或12(2)已知在平面直角坐标系中，点A(2，0)，B(0,1)到直线l的距离分别为1,2，则这样的直线l共有________条．答案(1)D (2)3【名师点睛】(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．【锦囊妙计，战胜自我】1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则d<r⇔直线与圆相交，d＝r⇔直线与圆相切，d>r⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，方程组消去y，得关于x的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)d>r1＋r2⇔两圆外离；(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切；(3)|r1－r2|<d<r1＋r2⇔两圆相交；(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切；(5)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．1．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是( ) A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0答案A解析由于直线PA的倾斜角为45°，且|PA|＝|PB|，故直线PB 的倾斜角为135°，又由题意知P(2,3)，∴直线PB的方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0.故选A.2．设a∈R，则“a＝－1”是“直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行的充要条件为即a＝±1，故a＝－1是两直线平行的充分而不必要条件．故选A.3．过P(2,0)的直线l被圆(x－2)2＋(y－3)2＝9截得的线段长为2时，直线l的斜率为( )A．±B．±22C．±1D．±33答案A4．若圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l 对称，则直线l的方程是( )A．x＋y＝0 B．x－y＝0C．x－y＋2＝0 D．x＋y＋2＝0答案C解析圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0，即(x＋2)2＋(y－2)2＝4，圆心C的坐标为(－2,2)．直线l过OC的中点(－1,1)，且垂直于直线OC，易知kOC＝－1，故直线l的斜率为1，直线l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.故选C.5．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )A．5－4 B.－1C．6－2 D.17答案A解析两圆的圆心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作点C1关于x轴的对称点C1′(2，－3)，则(|PC1|＋|PC2|)min＝|C1′C2|＝5，所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4.6．已知直线l1：ax－y＋1＝0，l2：x＋y＋1＝0，l1∥l2，则a 的值为________，直线l1与l2间的距离为________．答案－1 2解析∵l1∥l2，∴a·1＝－1·1⇒a＝－1，此时l1：x＋y－1＝0，∴l1，l2之间的距离为＝.7．已知点A(－2,0)，B(0,2)，若点C是圆x2－2x＋y2＝0上的动点，则△ABC面积的最小值是________．答案3－ 28．已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|＝2，则|CD|＝______.答案4解析设AB的中点为M，由题意知，圆的半径R＝2，AB＝2，所以OM＝3，解得m＝－，由解得A(－3，)，B(0,2)，则AC的直线方程为y－＝－(x＋3)，BD的直线方程为y－2＝－x，令y＝0，解得C(－2,0)，D(2,0)，所以|CD|＝4.9．已知点A(3,3)，B(5,2)到直线l的距离相等，且直线l经过两直线l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交点，求直线l的方程．由两点式得直线l的方程为＝，即x－6y＋11＝0.综上所述，直线l的方程为x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0.10．已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N两点．(1)求k的取值范围；(2)若·＝12，其中O为坐标原点，求|MN|.解(1)由题设可知，直线l的方程为y＝kx＋1，因为l与C交于两点，所以<1.解得<k<.所以k的取值范围为.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．将y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，。

高考数学最新真题专题解析—直线与圆（全国通用）考向一 求圆的方程【母题来源】2022年高考全国乙卷（理科）【母题题文】过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)-中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；【试题解析】解：依题意设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，若过()0,0，()4,0，()1,1-，则01640110F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+-++=⎩，解得046F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=；若过()0,0，()4,0，()4,2，则01640164420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得042F D E =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩，所以圆的方程为22420x y x y +--=，即()()22215x y -+-=；若过()0,0，()4,2，()1,1-，则0110164420F D E F D E F =⎧⎪+-++=⎨⎪++++=⎩，解得083143F D E ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩，所以圆的方程为22814033x y x y +--=，即224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；若过()1,1-，()4,0，()4,2，则1101640164420D E F D F D E F +-++=⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩，解得1651652F D E ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩，所以圆的方程为2216162055x y x y +---=，即()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；故答案为：()()222313x y -+-=或()()22215x y -+-=或224765339x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或()2281691525x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭； 【命题意图】本题考查圆的一般方程的形式，通过解方程组求一般方程中的系数. 【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空、解答题都有可能出现，多为低档题，是历年高考的热点． 常见的命题角度有：（1）直线的方程；（2）圆的方程；（3）直线与圆的位置关系；（4）圆与圆的位置关系. 【得分要点】（1）正确写出圆的一般方程的形式； （2）解方程组；（3）一般式转化为标准式. 考向二 直线与圆的位置关系【母题来源】2022年高考全国甲卷（文科）【母题题文】 若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________．【答案】22(1)(1)5x y -++=【试题解析】设出点M 的坐标，利用(3,0)和(0,1)均在M 上，求得圆心及半径，即可得圆的方程.【详解】解：∵点M 在直线210x y +-=上，∴设点M 为(,12)-a a ，又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上， ∴点M 到两点的距离相等且为半径R ， 2222(3)(12)(2)-+-=+-=a a a a R ，222694415-++-+=a a a a a ，解得1a =，∴(1,1)M -，5R =M 的方程为22(1)(1)5x y -++=.【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，通过圆心到直线的距离与半径的关系求解.【命题方向】这类试题在考查题型选择、填空题出现，多为低档题，是历年高考的热点．常见的命题角度有：（1）直线的方程；（2）圆的方程；（3）直线与圆的位置关系；（4）圆与圆的位置关系. 【得分要点】（1）正确写出圆的标准方程； （2）求出圆心到直线的距离；（3）由直线与圆的位置关系确定圆心到直线的距离与半径之间的关系. 真题汇总及解析一、单选题1．（湖北省新高考联考协作体2021-2022学年高二下学期期末数学试题）“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直”的（ ） A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直求出m 的值，再由充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直, 则()()2310m m ⨯++⨯-=，解得：2m =或3m =-，所以“2m =”是“直线()2140x m y +++=与直线320x my --=垂直”的充分不必要条件. 故选：B.2．（2022·四川乐山·高一期末）圆222440x y x y +-+-=关于直线10x y +-=对称的圆的方程是（ ） A ．22(3)16x y -+= B ．22(3)9x y +-= C ．22(3)16x y +-= D ．22(3)9x y -+= 【答案】D 【解析】【分析】先求得圆222440x y x y +-+-=关于直线10x y +-=对称的圆的圆心坐标，进而即可得到该圆的方程. 【详解】圆222440x y x y +-+-=的圆心坐标为(1,2)-，半径为3 设点(1,2)-关于直线10x y +-=的对称点为(,)m n ，则211121022n m m n +⎧=⎪⎪-⎨+-⎪+-=⎪⎩ ，解之得30m n =⎧⎨=⎩ 则圆222440x y x y +-+-=关于直线10x y +-=对称的圆的圆心坐标为(3,0) 则该圆的方程为22(3)9x y -+=， 故选：D ．3．（2022·四川成都·模拟预测（文））直线410mx y m 与圆2225x y +=相交，所得弦长为整数，这样的直线有（ ）条 A ．10 B ．9 C ．8 D ．7【答案】C 【解析】 【分析】求出过定点(4,1)32(5,6)，最长的弦长为直径10，则弦长为6的直线恰有1条，最长的弦长为直径10，也恰有1条，弦长为7，8，9的直线各有2条，即可求出答案. 【详解】直线410mx y m 过定点(4,1)，圆半径为5， 最短弦长为2251732(5,6)，恰有一条，但不是整数；弦长为6的直线恰有1条，有1条斜率不存在，要舍去； 最长的弦长为直径10，也恰有1条； 弦长为7，8，9的直线各有2条，共有8条， 故选：C ．4．（2022·广西柳州·模拟预测（理））已知直线(0)y kx k =>与圆()()22:214C x y -+-=相交于A ，B 两点23AB =k ＝（ ） A ．15B ．43C ．12D ．512【答案】B 【解析】 【分析】圆心()2,1C 到直线(0)y kx k =>的距离为d ，则2211k d k-=+而224312AB d r ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以22111k d k -=+，解方程即可求出答案. 【详解】圆()()22:214C x y -+-=的圆心()2,1C ，2r =所以圆心()2,1C 到直线(0)y kx k =>的距离为d ，则2211k d k -=+而224312AB d r ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以22111k d k -=+，解得：43k =. 故选：B.5．（2022·全国·模拟预测）直线:3410l x y +-=被圆22:2440C x y x y +---=所截得的弦长为（ ） A ．25B ．4 C ．3D ．22【答案】A 【解析】 【分析】直接利用直线被圆截得的弦长公式求解即可. 【详解】由题意圆心()1,2C ，圆C 的半径为3， 故C 到:3410l x y +-=22381234+-=+，故所求弦长为2223225-=故选：A.6．（2022·全国·模拟预测）若圆()()()22140x a y a -+-=>与单位圆恰有三条公切线，则实数a 的值为（ ） A 3B ．2 C ．2D ．23【答案】C 【解析】 【分析】两圆恰有三条公切线，说明两圆为外切关系，圆心距12d r r =+. 【详解】由题，两圆恰有三条公切线，说明两圆为外切关系（两条外公切线，一条内公切22121a +=+，结合0a >解得22a =故选：C.7．（2022·湖南岳阳·模拟预测）已知点A （2，0），B （0，﹣1），点P 是圆x 2+（y ﹣1）2＝1上任意一点，则PAB △ 面积最大值为（ ） A ．2 B ．45C ．51D ．52【答案】D 【解析】 【分析】结合点到直线距离公式及图形求出圆上点P 到直线AB 距离的最大值，由此可求PAB △面积的最大值.【详解】 由已知=5AB要使PAB △的面积最大，只要点P 到直线AB 的距离最大． 由于AB 的方程为21x y+=-1，即x ﹣2y ﹣2＝0， 圆心（0，1）到直线AB 的距离为d 022455--==， 故P 到直线AB 451， 所以PAB △面积的最大值为()114551=522AB d ⎫⨯⨯+⎪⎪⎝⎭故选：D ．8．（2022·河南安阳·模拟预测（理））已知圆22:(2)(6)4-+-=C x y ，点M 为直线:80l x y -+=上一个动点，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则当四边形CAMB 周长取最小值时，四边形CAMB 的外接圆方程为（ ）A ．22(7)(1)4-+-=x yB ．22(1)(7)4-+-=x yC ．22(7)(1)2-+-=x yD ．22(1)(7)2-+-=x y【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用切线长定理求出四边形CAMB 周长最小时点M 的坐标即可求解作答. 【详解】圆22:(2)(6)4-+-=C x y 的圆心(2,6)C ，半径2r =，点C 到直线l 的距离22221(1)d ==+-依题意，CA AM ⊥，四边形CAMB 周长2222||2||42424CA AM CM CA d +=+-+-242(22)48=+-=，当且仅当CM l ⊥时取“=”，此时直线:80CM x y +-=，由8080x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得点(0,8)M ，四边形CAMB 的外接圆圆心为线段CM 中点(1,7)222(1)(7)2-+-=x y .故选：D9．（2022·全国·模拟预测（理））已知圆C 过圆221:42100C x y x y ++--=与圆222:(3)(3)6C x y ++-=的公共点．若圆1C ，2C 的公共弦恰好是圆C 的直径，则圆C的面积为（ ） A ．115πB ．265πC 130πD ．1045π【答案】B【解析】 【分析】根据题意求解圆1C ，2C 的公共弦方程，再计算圆2C 中的公共弦长即可得圆C 的直径，进而求得面积即可 【详解】由题，圆1C ，2C 的公共弦为2242100x y x y ++--=和22(3)(3)6x y ++-=的两式相减，化简可得2110x y -+=，又()23,3C -到2110x y -+=的距离()2232311512d --⨯+==+-，故公共弦长为22262655⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故圆C 265C 的面积为265π故选：B10．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知圆:C 22(1)4x y -+=与抛物线2(0)y ax a =>的准线相切，则=a （ ） A ．18B ．14C ．4D ．8【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的准线方程，利用圆与准线相切可得124a-=，求解即可． 【详解】因为圆:C 22(1)4x y -+=的圆心为(1,0)，半径为2r =抛物线2(0)y ax a =>的准线为14y a=-，所以124a -=，即18a =， 故选：A.二、填空题11．（2022·江苏南京·模拟预测）已知ABC 中，()30A -,，()3,0B ，点C 在直线3yx 上，ABC 的外接圆圆心为()0,4E ，则直线EC 的方程为______． 【答案】344y x =+ 【解析】 【分析】圆心E 到点B 的距离即为半径，可得到外接圆的方程，联立圆的方程与直线的方程，得到C 点坐标，利用直线方程两点式即可求解. 【详解】因为ABC 的外接圆圆心为()0,4E ，所以ABC 22345+=， 即ABC 的外接圆方程为()22425x y +-=．联立()223425y x x y =+⎧⎪⎨+-=⎪⎩，解得47x y =⎧⎨=⎩，或30x y =-⎧⎨=⎩， 所以()4,7C 或()3,0C -（与A 点重合），舍， 所以直线EC 的方程为747440y x --=--，即344y x =+． 故答案为：344y x =+.12．（2022·天津二中模拟预测）已知圆221:4C x y +=与圆222:860C x y x y m +-++=外切，此时直线:0l x y +=被圆2C 所截的弦长_________． 34【解析】 【分析】将圆2C 的方程写成标准形式，然后根据两圆外切，可得圆心距离为半径之和，可得m ，接着计算2C 到直线的距离，最后根据圆的弦长公式计算可得结果. 【详解】由题可知：221:4C x y +=222:860C x y x y m +-++=，即()()224325-++=-x y m且25025->⇒<m m()()224030225-+--=-m ，解得16m = 所以2:C ()()22439x y -++=2C 到直线的距离为2243211-=+d 2C 的半径为R 则直线:0l x y +=被圆2C 所截的弦长为22129342-=-R d 故答案为： 3413．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））直线:10l x my m +--=被圆O ；223x y +=截得的弦长最短，则实数m =___________.【答案】1 【解析】 【分析】求出直线MN 过定点A （1,1），进而判断点A 在圆内，当OA MN ⊥时，|MN |取最小值，利用两直线斜率之积为-1计算即可. 【详解】直线MN 的方程可化为10x my m +--=，由1110y x -=⎧⎨-=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，所以直线MN 过定点A （1，1）， 因为22113+<，即点A 在圆223x y +=内. 当OA MN ⊥时，|MN |取最小值，由1OA MN k k =-，得111m ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，∴1m =， 故答案为：1.14．（2022·上海静安·模拟预测）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均与圆()22:34C x y -+=相切，右焦点和圆心重合，则该双曲线的标准方程为____________．【答案】22154x y -=【解析】 【分析】根据已知条件得出双曲线的渐近线方程及圆的圆心和半径，进而得出双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线与圆相切，得出圆心到渐近线的距离等于半径，结合双曲线中,,a b c 三者之间的关系即可求解. 【详解】由题意可知，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，即0bx ay ±=.由圆C 的方程为()2234x y -+=，得圆心为()3,0C ，半径为2r =.因为右焦点和圆心重合，所以双曲线右焦点的坐标为3,0.3c =又因为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均与圆()22:34C x y -+=相切，22302b a a b ⨯±⨯=+22c=，解得2b =.所以222945a c b =-=-=,所以该双曲线的标准方程为22154x y -=.故答案为：22154x y -=.15．（2022·全国·哈师大附中模拟预测（理））已知函数()22x xe ef x e -=（其中e是自然对数的底数），若在平面直角坐标系xOy 中，所有满足()()0f a f b +>的点(),a b 都不在圆C 上，则圆C 的方程可以是______（写出满足条件的一个圆的方程即可）．【答案】221x y +=（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题意，得到()(2)0f x f x +-=，且关于点(1,0)中心对称，得到2a b +>，进而化简得到2x y +≤，即可得到答案. 【详解】由题意，函数222e e ()e e ex x x xf x --==-在R 上单调递增，且()(2)0f x f x +-=， 所以曲线()y f x =关于点(1,0)中心对称，所以()()0f a f b +>，即2a b +>， 在平面直角坐标系xOy 中所有满足()()0f a f b +>，即2a b +>的点(,)a b 都不在圆C 上，所以圆C 上的点都满足2x y +≤，即圆C 在2x y +≤表示的半平面内， 故圆C 可以是以原点为圆心，半径为1的圆，圆C 的方程可以为221x y +=. 故答案为：221x y +=（答案不唯一）.三、解答题16．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知动点(),M x y 是曲线C 上任一点，动点M 到点10,4A ⎛⎫⎪⎝⎭的距离和到直线14y =-的距离相等，圆M 的方程为()2221x y +-=．(1)求C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)设1A 、2A 、3A 是C 上的三个点，直线12A A 、13A A 均与圆M 相切，判断直线23A A 与圆M 的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析(2)若直线12A A 、13A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义可得出曲线C 是以10,4A ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，直线14y =-为准线的抛物线，进而可求得曲线C 的方程；（2）分析可知直线12A A 、13A A 、23A A 的斜率都存在，设()2111,A x x 、()2222,A x x 、()2333,A x x ，其中1x 、2x 、3x 两两互不相等，利用二次方程根与系数的关系以及点到直线的距离公式以及几何法判断可得出结论.(1)解：由题设知，曲线C 上任意到点10,4A ⎛⎫⎪⎝⎭的距离和到直线14y =-的距离相等，因此，曲线C 是以10,4A ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，直线14y =-为准线的抛物线，故曲线C 的方程为2x y =.(2)解：若直线23A A 的斜率不存在，则直线23A A 与曲线C 只有一个交点，不合乎题意，所以，直线12A A 、13A A 、23A A 的斜率都存在，设()2111,A x x 、()2222,A x x 、()2333,A x x ，则1x 、2x 、3x 两两互不相等，则1222121212A Ax x k x x x x -==+-，同理1313A A k x x =+，2323A A k x x =+， 所以直线12A A 方程为()()21121y x x x x x -=+-，整理得()12120x x x y x x +--=，同理可知直线13A A 的方程为()13130x x x y x x +--=， 因为直线12A A 与圆M ()12212211x x x x +=++，整理可得()222121211230x x x x x -++-=，同理可得()222131311230x x x x x -++-=，所以2x 、3x 为方程()2221111230x x x x x -++-=的两根，则11x ≠±，所以，1232121x x x x +=--，21232131x x x x -=-，圆心M 到直线23A A ()2211221231222123122111321211112111x x x x x x x x x x x x +-+-+-===+++⎛⎫+- ⎪--⎝⎭，所以直线23A A 与圆M 相切. 综上，若直线12A A 、13A A 与圆M 相切，则直线23A A 与圆M 相切. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程； （2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.17．（2022·四川成都·模拟预测（理））点P 为曲线C 上任意一点，直线l ：x ＝－4，过点P 作PQ 与直线l 垂直，垂足为Q ，点()1,0F -，且2PQ PF =． (1)求曲线C 的方程；(2)过曲线C 上的点()()000,1M x y x ≥作圆()2211x y ++=的两条切线，切线与y 轴交于A ，B ，求△MAB 面积的取值范围．【答案】(1)22143x y +=(2)212S ⎡∈⎢⎣ 【解析】 【分析】（1）设点(),P x y ，通过2PQ PF =得到等式关系，化简求得曲线方程； （2）设切线方程()00y y k x x -=-，通过点到切线的距离，化简成k 的一元二次方程，再韦达定理得出12,k k 与00,x y 的等式关系，再求出||AB 弦长，消去12,k k ，再求面积即可．(1)设(),P x y ，由2PQ PF =，得()2241x x y +=++22143x y +=，所以曲线C 的方程为22143x y +=；(2)设点()00,M x y 的切线方程为()00y y k x x -=-（斜率必存在），圆心为()1,0F -，r ＝1所以()1,0F -到()00y y k x x -=-的距离为：00211k y kx d k-+-==+平方化为()()2220000022110x x k x y k y +-++-=，设P A ，PB 的斜率分别为1k ，2k则()0012200212x y k k x x ++=+，201220012y k k x x -=+ 因为P A ：()010y y k x x -=-，令x ＝0有010A y y k x =-，同理020B y y k x =-所以()()()()222200000201212120414214A B x y x x y AB y y x k k x k k k k +-+-=-=-=+-=又因为22004123y x =-代入上式化简为0062x AB x +=+ 所以3200000006611122222MABx x x S x AB x x x ++=⋅⋅=⋅=++△[]01,2x ∈ 令()3262x x f x x +=+，[]1,2x ∈，求导知()f x 在[]1,2x ∈为增函数，所以2126S ∈⎢⎣．18．（2022·陕西·交大附中模拟预测（理））已知在平面直角坐标系xOy 中，点()0,3A ，直线:24=-l y x ．设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上．(1)若圆心C 也在直线1y x =-上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使2=MA MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 【答案】(1)3y =或34120x y +-=(2)120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）求出圆心的坐标，设出切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径可求出相应的参数值，即可得出所求切线的方程； （2）设点(),M x y ，由已知可得()2214x y ++=，分析可知圆C 与圆()2214x y ++=有公共点，可得出关于a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.(1)解：联立241y x y x =-⎧⎨=-⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，即圆心()3,2C ，所以，圆C 的方程为()()22321x y -+-=.若切线的斜率不存在，则切线的方程为0x =，此时直线0x =与圆C 相离，不合乎题意；所以，切线的斜率存在，设所求切线的方程为3y kx =+，即30kx y -+=， 23111+=+k k ，整理可得2430k k +=，解得0k =或34-.故所求切线方程为3y =或334y x =-+，即3y =或34120x y +-=.(2)解：设圆心C 的坐标为(),24a a -，则圆C 的方程为()()22241x a y a -+--=⎡⎤⎣⎦，设点(),M x y ，由2=MA MO 可得()222232x y x y +-+整理可得()2214x y ++=，由题意可知，圆C 与圆()2214x y ++=有公共点，所以，()221233a a ≤+-，即22512805120a a a a ⎧-+≥⎨-≤⎩，解得1205a ≤≤.所以，圆心C 的横坐标a 的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

D 2
,
E 2
,半径为
1)圆的一般方程的形式特点:
①x2和y2的系数相等且大于0.
②没有含xy的二次项.
③A=C≠0且B=0是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的必要
不充分条件. 2)已知P(x1,y1),Q(x2,y2),则以PQ为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)
例1 已知△ABC的一个顶点A(2,-4),且∠B,∠C的平分线所在直线的方
程分别为x+y-2=0,x-3y-6=0,则BC边所在直线的方程为
.
解析 由角平分线的性质知点A关于∠B,∠C的平分线所在直线的对称
点均在直线BC上,设点A关于直线x-3y-6=0的对称点为A1(x1,y1),
则有
2)范围:全体实数R.
3)斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为kP1P2 =
y2 y1 x2 x1 .
3.直线方程的形式
名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式
一般式
条件
方程
斜率k与点(x0,y0) 斜率k与直线在y轴上的截距b
y-y0=k(x-x0) y=kx+b
k2 1
3
切线方程为-
4 3
x-y-4×
4 3
+3=0,即4x+3y-25=0.综上可知,过点Q的圆M的
切线方程为x=4或4x+3y-25=0.
∵|QM|= (4 1)2 (3 2)2 = 10 ,∴过点Q的圆M的切线长为 | QM |2 r2 =
10 9 =1.

专题14 直线与圆（1）【自主热身，归纳总结】1、 在平面直角坐标系xOy 中，已知过点A(2，－1)的圆C 与直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上，则圆C 的标准方程为______________． 【答案】： (x －1)2＋(y ＋2)2＝2解法1(几何法) 点A(2，－1)在直线x ＋y ＝1上，故点A 是切点．过点A(2，－1)与直线x ＋y －1＝0垂直的直线方程为x －y ＝3，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3，y ＝－2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2，所以圆心C(1，－2)．又AC ＝（2－1）2＋（－1＋2）2＝2， 所以圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2.2、 在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为 ． 【答案】：2555.【解析】 圆心为(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×－1－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－3552＝2555. 3、 若直线与圆始终有公共点，则实数m 的取值范围是 ．【答案】：0≤m ≤10. 【解析】 因为，所以由题意得：,化简得55m -≤即0≤m ≤10.4、 在平面直角坐标系xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线(∈m R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．【答案】：(x －1)2＋y 2＝2.【解析】 由直线mx －y －2m －1＝0得m (x －2)－(y ＋1)＝0，故直线过点(2，－1)．当切线与过(1，0)，(2，－1)两点的直线垂直时，圆的半径最大，此时有r ＝1＋1＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.5、圆心在抛物线y ＝12x 2上，并且和该抛物线的准线及y 轴都相切的圆的标准方程为________．【答案】 (x ±1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1思路分析 求圆的方程就是要确定它的圆心与半径，根据圆与抛物线的准线以及与y 轴都相切，得到圆心的一个等式，再根据圆心在抛物线上，得到另一个等式，从而可求出圆心的坐标，由此可得半径． 因为圆心在抛物线y ＝12x 2上，所以设圆心为(a ，b )，则a 2＝2b .又圆与抛物线的准线及y 轴都相切，故b ＋12＝|a |＝r ，由此解得a ＝±1，b ＝12，r ＝1，所以所求圆的方程为(x ±1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1.解后反思 凡涉及抛物线上点到焦点的距离或到准线的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离或到焦点的距离来进行处理，本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求圆心的坐标．6、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －4)2＋(y －8)2＝1，圆C 2：(x －6)2＋(y ＋6)2＝9，若圆心在x 轴上的圆C 同时平分圆C 1和圆C 2的圆周，则圆C 的方程是________．7、. 在平面直角坐标系xOy 中，已知过点M (1,1)的直线l 与圆(x ＋1)2＋(y －2)2＝5相切，且与直线ax ＋y －1＝0垂直，则实数a ＝________. 【答案】： 12思路分析 可用过圆上一点的切线方程求解；也可用垂直条件，设切线方程(x －1)－a (y －1)＝0，再令圆心到切线的距离等于半径．因为点M 在圆上，所以切线方程为(1＋1)(x ＋1)＋(1－2)(y －2)＝5，即2x －y －1＝0.由两直线的法向量(2，－1)与(a,1)垂直，得2a －1＝0，即a ＝12.思想根源 以圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点T (x 0，y 0)为切点的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.8、 若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________. 【答案】： 18 ．9、 若直线3x ＋4y －m ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋4＝0始终有公共点，则实数m 的取值范围是________． 【答案】： [0,10]【解析】： 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，故圆心到直线距离d ＝|－3＋8－m |32＋42≤1. 即|m －5|≤5，解得0≤m ≤10.10、在平面直角坐标系xOy 中，过点P (－2,0)的直线与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，与圆(x －a )2＋(y －3)2＝3相交于点R ，S ，且PT ＝RS ，则正数a 的值为________． 【答案】 4【解析】： 因为PT 与圆x 2＋y 2＝1相切于点T ，所以在Rt △OPT 中，OT ＝1，OP ＝2，∠OTP ＝π2，从而∠OPT＝π6，PT ＝3，故直线PT 的方程为x ±3y ＋2＝0，因为直线PT 截圆(x －a )2＋(y －3)2＝3得弦长RS ＝3，设圆心到直线的距离为d ，则d ＝|a ±3＋2|2，又3＝23－d 2，即d ＝32，即|a ±3＋2|＝3，解得a ＝－8，－2,4，因为a >0，所以a ＝4.11、定义：点00(,)M x y 到直线的有向距离为．已知点(1,0)A -,(1,0)B ，直线m 过点(3,0)P ，若圆上存在一点C ，使得,,A B C 三点到直线m 的有向距离之和为0，则直线l 的斜率的取值范围为 ． 【答案】：3(,]4-∞-【思路分析】由“,,A B C 三点到直线m 的有向距离之和为0”知，动点C 在一条直线上，又因为点C 在圆上，故问题转化为该直线与圆有公共点，此时圆心(0,18)到该直线的距离小于等于半径9.【解析】：设直线m 的斜率为k ，则直线m 的方程为(3)y k x =-，即，设点00(,)C x y ，则点,,A B C 三点到直线m 的有向距离分别为，，，由得，，即，又因为点在C 圆上，故，即34k ≤-. 12、 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，若不过原点O 的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，且满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为________． 【答案】 ±1思路分析 由直线PQ 的方程与圆的方程联立成方程组，将点P ，Q 的坐标用直线方程中的参数k ，b 表示出来，进而将OP ，OQ 的斜率用k ，b 表示，再根据OP ，PQ ，OQ 的斜率成等比数列求出k 的值．当直线PQ 垂直于x 轴时，显然不成立，所以设直线PQ 为y ＝kx ＋b (b ≠0)，将它与圆方程联立并消去y 得(k 2＋1)x 2＋2kbx ＋b 2－4＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1x 2＝b 2－4k 2＋1，x 1＋x 2＝－2kbk 2＋1，因为y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2＝k 2·b 2－4k 2＋1－2k 2b 2k 2＋1＋b 2＝－4k 2＋b 2k 2＋1，故k OP ·k OQ ＝y 1y 2x 1x 2＝－4k 2＋b 2b 2－4＝k 2，即b 2(k2－1)＝0，因为b ≠0，所以k 2＝1，即k ＝±1.解后反思 本题可推广到椭圆中：已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，若不过原点O 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且满足直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，则直线l 的斜率为±ba.13、已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ(λ<0)，且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值是________． 【答案】： －34思路分析 建系，以线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴．动点C 的轨迹为圆C (或为一点，可视为点圆)，欲使点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，也就两圆外切或外离，或者圆B 内切或内含于圆C ，再根据圆心距与半径的关系求解即可．以线段AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，设点C (x ，y )，则x 2＋y 2＝λ＋1，且0>λ≥－1.当两圆外切或外离时，OB ＝1≥λ＋1＋12，解得λ≤－34；圆B 内切或内含于圆C 时，OB ＝1≤λ＋1－12，解得λ≥54(舍)，故负数λ的最大值是－34.【问题探究，变式训练】例1、已知圆C ：(x －a )2＋(y －a )2＝1(a >0)与直线y ＝3x 相交于P ，Q 两点，则当△CPQ 的面积最大时，实数a 的值为________． 【答案】52【解析】： 因为△CPQ 的面积等于12sin ∠PCQ ，所以当∠PCQ ＝90°时，△CPQ 的面积最大，此时圆心到直线y ＝3x 的距离为22，因此22＝|3a －a |10，解得a ＝52.【变式1】 已知直线l 过点P (1,2)且与圆C ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，△ABC 的面积为1，则直线l 的方程为________．【答案】3x －4y ＋5＝0或x ＝1当直线斜率存在时，设直线的方程为y ＝k (x －1)＋2，即kx －y －k ＋2＝0.因为S ＝12CA ·CB ·sin∠ACB＝1，所以122·2·sin∠ACB ＝1，所以sin ∠ACB ＝1，即sin ∠ACB ＝90°，所以圆心C 到直线AB 的距离为1，所以|－k ＋2|k 2＋1＝1，解得k ＝34，所以直线方程为3x －4y ＋5＝0；当直线斜率不存在时，直线方程为x ＝1，经检验符合题意．综上所述，直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.【变式2】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：(x －1)2＋y 2＝2，圆C 2：(x －m )2＋(y ＋m )2＝m 2，若圆C 2上存在点P 满足：过点P 向圆C 1作两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，△ABP 的面积为1，则正数m 的取值范围是________． 【答案】 []1，3＋23思路分析 注意到△ABP 的面积是定值，从而点P 的位置应该具有某种确定性，故首先由△ABP 的面积来确定点P 所满足的条件，进而将问题转化为以C 1为圆心的圆与以C 2为圆心的圆有公共点的问题来加以处理． 如图，设P(x ，y)，设PA ，PB 的夹角为2θ.△ABP 的面积S ＝12PA 2sin 2θ＝PA 2·sin θ·cos θ＝PA 2·2PC 1·PA PC 1＝1，即2PA 3＝PC 21＝PA 2＋2，解得PA ＝2，所以PC 1＝2，所以点P 在圆(x －1)2＋y 2＝4上． 所以||m －2≤m －12＋－m2≤m ＋2，解得1≤m ≤3＋2 3.解后反思 本题的本质是两个圆的位置关系问题，要解决这个问题，首先要确定点P 所满足的条件，为此，由△ABP 的面积来确定点P 所满足的条件是解决本题的关键所在．【变式3】、已知点A(1，0)和点B(0，1)，若圆x 2＋y 2－4x －2y ＋t ＝0上恰有两个不同的点P ，使得△PAB 的面积为12，则实数t 的取值范围是________．【关联1】、过圆x 2＋y 2＝16内一点P(－2，3)作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB ＝CD ，则四边形ACBD 的面积为________． 【答案】： 19【解析】：设O 到AB 的距离为d 1，O 到CD 的距离为d 2，则由垂径定理可得d 21＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22，d 22＝r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫CD 22，由于AB ＝CD ，故d 1＝d 2，且d 1＝d 2＝22OP ＝262，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝r 2－d 21＝16－132＝192，得AB ＝38，从而四边形ACBD 的面积为S ＝12AB ×CD ＝12×38×38＝19.解后反思 解决直线与圆的综合问题时，需要充分利用圆的几何性质进行转化．本题结合条件，利用垂径定理，通过整体计算，实现了简化的目的．【关联2】、 已知圆O ：x 2＋y 2＝4，点M (4,0)，过原点的直线(不与 x 轴重合)与圆O 交于A ，B 两点，则△ABM 的外接圆的面积的最小值为________． 【答案】： 254π【解析】：设△ABM 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，所以x 21＋y 21＋Dx 1＋Ey 1＋F ＝0 ①，x 21＋y 21－Dx 1－Ey 1＋F ＝0 ②，由①②得Dx 1＋Ey 1＝0 ③，又x 21＋y 21＝4 ④，由①③④得F ＝－4，所以外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey －4＝0.又圆过点(4,0)，所以42＋4D －4＝0，解得D ＝－3，所以圆方程为x 2＋y 2－3x ＋Ey －4＝0.所以半径R ＝129＋E 2＋16＝1225＋E 2，当E ＝0时，R最小，为52，所以△ABM 的外接圆的面积的最小值为254π.【关联3】、在平面直角坐标系xOy 中，已知点(3,0)P 在圆内，动直线AB过点P 且交圆C 于,A B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为 ． 【答案】．【解析】圆C 的标准方程为(x －m )2＋(y －2)2＝32，圆心为C (m ,2)，半径为42，当△ABC 的面积的最大值为16时，∠ACB ＝90o，此时C 到AB 的距离为4，所以4≤CP ＜42，即16≤(m －3)2＋(0－2)2＜32，解得23≤|m －3|＜27， 即m ∈．例1、 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－4，0)，B(0，4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2＋y 2＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D.设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为________． 【答案】： 3 2思路分析 P 在直线AB ：y ＝x ＋4上，设P(a ，a ＋4)，可以求出切点弦CD 的方程为ax ＋(a ＋4)y ＝4，易知CD 过定点，所以M 的轨迹为一个定圆，问题转化为求圆外一点到圆上一点的距离的最大值．解法1(几何法) 因为直线AB 的方程为y ＝x ＋4，所以可设P(a ，a ＋4)，设C(x 1，y 1)，D(x 2，y 2)，所以PC方程为x 1x ＋y 1y ＝4，PD ：x 2x ＋y 2y ＝4，将P(a ，a ＋4)分别代入PC ，PD 方程，⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋（a ＋4）y 1＝4，ax 2＋（a ＋4）y 2＝4，则直线CD 的方程为ax ＋(a ＋4)y ＝4，即a(x ＋y)＝4－4y ，所以直线CD 过定点N(－1，1)，又因为OM ⊥CD ，所以点M 在以ON 为直径的圆上(除去原点)，又因为以ON 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12，所以AM 的最大值为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝3 2. 解法2(参数法) 因为直线AB 的方程为y ＝x ＋4，所以可设P(a ，a ＋4)，同解法1可知直线CD 的方程为ax ＋(a ＋4)y ＝4，即a(x ＋y)＝4－4y ，得a ＝4－4yx ＋y .又因为O ，P ，M 三点共线，所以ay －(a ＋4)x ＝0，得a＝4x y －x .因为a ＝4－4y x ＋y ＝4x y －x ，所以点M 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12(除去原点)，所以AM 的最大值为⎝⎛⎭⎪⎫－4＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋22＝3 2.解后反思 此类问题往往是求出一点的轨迹方程，转化为定点到曲线上动点的距离的最值问题，而求轨迹方程，解法1运用了几何法，解法2运用了参数法，消去参数a 得到轨迹方程．另外要熟练记住过圆上一点的切线方程和圆的切点弦方程的有关结论． 【变式1】、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆，点(20)A ，，若圆C 上存在点M ，满足，则点M 的纵坐标的取值范围是 ．【答案】： 77[,]22-思路分析：根据条件可得动点M 的轨迹是圆，进而可以将问题转化为圆与圆的位置关系进行处理. 解题过程：设),(y x M ，因为所以，化简得，则圆与圆有公共点，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为21-=x ，代入可得，所以点M 的纵坐标的取值范围是77[,]-． 解后反思：在解决与圆相关的综合问题时，要注意充分利用圆的几何性质或一些简单的轨迹知识将问题转化为直线与圆或圆与圆的位置关系问题.【变式2】、在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2＋y 2＝4上两点，点A (1,1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为________．【答案】. [6－2，6＋2]思路分析 本题考查圆的方程和性质，考查等价转化和运算求解能力，借助直角三角形的性质，把求BC 的长转化为求2AM 的长，而A 为定点，思路1，求出M 的轨迹方程，根据圆的性质及直角三角形的性质不难求得，其轨迹为一个圆，问题就转化为一定点到圆上一点的距离，这是一个基本题型，求解即得；思路2，设出AM ＝x ，OM ＝y ，寻找到x ，y 之间的关系式，通过线性规划的知识去处理． 解法1 设BC 的中点为M (x ，y )． 因为OB 2＝OM 2＋BM 2＝OM 2＋AM 2， 所以4＝x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝32，所以点M 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为圆心，62为半径的圆， 所以AM 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－22，6＋22，所以BC 的取值范围是[6－2，6＋2]．解法2 设BC 的中点为M ，设AM ＝x ，OM ＝y . 因为OC 2＝OM 2＋CM 2＝OM 2＋AM 2，所以x 2＋y 2＝4. 因为OA ＝2，所以x ＋y ≥2，x ＋2≥y ，y ＋2≥x . 如图所示， 可得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－22，6＋22，所以BC 的取值范围是[6－2，6＋2]．解后反思 求线段的长度范围，如果一个端点为定点，这时可以考虑运用轨迹法，求出另外一个端点的轨迹，问题迎刃而解．【变式3】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________． 【答案】：3 2思路分析 因为直线l 1，l 2分别经过定点A (0,2)，B (2,0)，且l 1⊥l 2，所以点P 在以AB 为直径的圆C 上．解法1 当k ＝0时，点P (2,2)到直线x －y －4＝0的距离为22；当k ≠0时，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋2＝0，x ＋ky －2＝0得两直线交点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2k1＋k 2，2＋2k 1＋k 2，所以点P 到直线x －y －4＝0的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2k1＋k 2－2＋2k 1＋k 2－42＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪k1＋k 2＋12，为求得最大值，考虑正数k ，则有k 1＋k 2＝11k＋k≤12，所以4⎪⎪⎪⎪⎪⎪k 1＋k 2＋12≤4×322＝3 2. 解法2 圆C 的圆心为C (1,1)，半径r ＝ 2.因为圆心C 到直线l ：x －y －4＝0的距离为d ＝|1－1－4|2＝22，所以点P 到直线l 的距离的最大值为d ＋r ＝3 2.解后反思 直接求出l 1，l 2的交点P 的坐标(用k 表示)虽然也能做，但计算量较大．找出点P 变化的规律性比较好．【关联1】、如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0及点A (－1，0)，B (1,2)． (1) 若直线l ∥AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，MN ＝AB ，求直线l 的方程；(2) 在圆C 上是否存在点P ，使得PA 2＋PB 2＝12？若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由．规范解答 (1) 圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，所以圆心C (2,0)，半径为2.因为l ∥AB ，A (－1,0)，B (1,2)，所以直线l 的斜率为2－01－－1＝1，设直线l 的方程为x －y ＋m ＝0，(2分)则圆心C 到直线l 的距离为d ＝|2－0＋m |2＝|2＋m |2.(4分)因为MN ＝AB ＝22＋22＝22， 而CM 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫MN 22，所以4＝2＋m 22＋2，(6分)解得m ＝0或m ＝－4，11 故直线l 的方程为x －y ＝0或x －y －4＝0.(8分)(2) 假设圆C 上存在点P ，设P (x ，y )，则(x －2)2＋y 2＝4， PA 2＋PB 2＝(x ＋1)2＋(y －0)2＋(x －1)2＋(y －2)2＝12，即x 2＋y 2－2y －3＝0，即x 2＋(y －1)2＝4.(10分) 因为|2－2|＜2－02＋0－12＜2＋2，(12分) 所以圆(x －2)2＋y 2＝4与圆x 2＋(y －1)2＝4相交，所以点P 的个数为2.(14分)【关联2】、在平面直角坐标系xOy 中，圆．若圆C 存在以G 为中点的弦AB ，且2AB GO ，则实数m 的取值范围是 ．{}【关联3】在平面直角坐标系xOy 中，点A (1,0)，B (4,0)．若直线x －y ＋m ＝0上存在点P 使得PA ＝12PB ，则实数m 的取值范围是________．【答案】 [－22，22]思路分析 本题旨在考查直线与圆的位置关系．A ，B 为定点，满足AP ＝12PB 的点P 的轨迹是一个圆，要求m 的范围只要使得动直线x －y ＋m ＝0与该圆有公共点．解法1 设满足条件PB ＝2PA 的点P 坐标为(x ，y )，则(x －4)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2，化简得x 2＋y 2＝4，要使直线x －y ＋m ＝0有交点，只需要|m |2≤2，即－22≤m ≤2 2. 解法2 设在直线x －y ＋m ＝0上有一点(x ，x ＋m )满足PB ＝2PA ，则(x －4)2＋(x ＋m )2＝4(x －1)2＋4(x ＋m )2，整理得，2x 2＋2mx ＋m 2－4＝0，(*)因为方程(*)有解，则Δ＝4m 2－8(m 2－4)≥0，解得－22≤m ≤2 2.。

2020年⾼考⽂科数学易错题《直线与圆》题型归纳与训练12020年⾼考⽂科数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型⼀倾斜⾓与斜率例1 直线l310y +-=，则直线l 的倾斜⾓为（）A. 0150B. 0120C. 060D. 030【答案】 A【解析】由直线l310y +-=，可得直线的斜率为33-=k ，设直线的倾斜⾓为[)πα,0∈，则33tan -=α，∴?=150α．故选：A ．【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线⽅程的基础问题（倾斜⾓，斜率与⽅程，注意倾斜⾓为α为2π，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在⼀条直线上，求实数a 的值. 【答案】2=a 或92=a 【解析】597,35ak a k CB AB +=-=∵A 、B 、C 三点在⼀条直线上，∴BC AB k k =，即59735a a +=-，解得2=a 或92=a ．题型⼆直线⽅程例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（）．A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1x =或1y =D. 2x y +=或x y = 【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x ym m+=，代⼊点()1,1解得2m =，直线⽅程整理得20x y +-=，故选D ．【易错点】截距问题⽤截距式⽐较简单，但截距式1=+nym x 中要求m ，n 均⾮零。

故做题时应考虑此情形【思维点拨】求解基本直线⽅程问题通常⽐较简单，考虑时注意每种形式的适⽤范围即可。

不要漏解。

题型三直线位置关系的判断例1 直线()1:3230l kx k y +--=和()()2:2220l k x k y -++-=互相垂直，则实数k 的值是（）A. 2-或1-B. 2或1-C. 2-或1D. 2或1 【答案】D【解析】根据直线垂直的充要条件得到： ()()()3*22*20k k k k -+-+= 化简为23201k k k -+=?= 或2 故选择D【易错点】本题若采⽤斜率之积为-1求解，则容易错误。

高考数学提分秘籍 必记篇 直线与圆考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中等，一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会出现解答题，多考查其几何图形的性质或方程知识． 1．直线方程的五种形式(1)点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)(直线过点P 1(x 1，y 1)，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)．(2)斜截式：y ＝kx ＋b (b 为直线l 在y 轴上的截距，且斜率为k ，不包括y 轴和平行于y 轴的直线)． (3)两点式：y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1(直线过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，y 1≠y 2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)．(4)截距式：x a ＋y b＝1(a 、b 分别为直线的横、纵截距，且a ≠0，b ≠0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)．(5)一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)． 2．直线的两种位置关系当不重合的两条直线l 1和l 2的斜率存在时： (1)两直线平行l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. (2)两直线垂直l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.提醒 当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略． 3．三种距离公式(1)A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点间的距离：|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(2)点到直线的距离：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2(其中点P (x 0，y 0)，直线方程为：Ax ＋By ＋C ＝0)．(3)两平行线间的距离：d ＝|C 2－C 1|A 2＋B2(其中两平行线方程分别为l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0.l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0)．提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x ，y 的系数应对应相等． 4．圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)． 5．直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法． (2)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法. 考点一 直线的方程及应用例1 (1)过点(5,2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上的截距的2倍的直线方程是( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x ＋y －12＝0或2x －5y ＝0C ．x －2y －1＝0D ．x －2y －1＝0或2x －5y ＝0(2)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( ) A.2B.823 C.3D.833答案 (1)B (2)B解析 (1)当直线过原点时方程为2x －5y ＝0，不过原点时，可设出其截距式为x a ＋y2a ＝1，再由过点(5,2)即可解出2x ＋y －12＝0. (2)由l 1∥l 2，知3＝a (a －2)且2a ≠6(a －2)，2a 2≠18， 求得a ＝－1，所以l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，两条平行直线l 1与l 2间的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋－12＝823. (1)要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．(2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究．(1)直线l 1：kx ＋(1－k )y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k ＝( ) A ．－3或－1 B ．3或1 C ．－3或1 D ．3或－1(2)过点(1,0)且倾斜角是直线x －2y －1＝0的倾斜角的两倍的直线方程是________________．答案 (1)C (2)4x －3y －4＝0解析 (1)∵l 1⊥l 2，∴k (k －1)＋(1－k )(2k ＋3)＝0，解得k 1＝－3，k 2＝1.∴k ＝－3或1.(2)设直线x －2y －1＝0的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α. 由已知得tan α＝12，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－122＝43， 所以所求直线方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 考点二 圆的方程及应用例2 (1)已知圆C 过点(1,0)，且圆心在x 轴的正半轴上．直线l ：y ＝x －1被圆C 所截得的弦长为22，则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________________．(2)已知A (－2,0)，B (0,2)，实数k 是常数，M ，N 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上两个不同点，P 是圆x 2＋y 2＋kx ＝0上的动点，如果M ，N 关于直线x －y －1＝0对称，则△PAB 面积的最大值是________．答案 (1)x ＋y －3＝0 (2)3＋ 2解析 (1)设圆心坐标为(x 0,0)(x 0>0)，由于圆过点(1,0)，则半径r ＝|x 0－1|.圆心到直线l 的距离为d ＝|x 0－1|2.由弦长为22可知⎝ ⎛⎭⎪⎫|x 0－1|22＝(x 0－1)2－2，整理得(x 0－1)2＝4.∴x 0－1＝±2，∴x 0＝3或x 0＝－1(舍去)．因此圆心为(3,0)，由此可求得过圆心且与直线y ＝x －1垂直的直线方程为y ＝－(x －3)，即x ＋y －3＝0.(2)依题意得圆x 2＋y 2＋kx ＝0的圆心(－k 2，0)位于直线x －y －1＝0上，于是有－k2－1＝0，即k ＝－2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.由题意可得|AB |＝22，直线AB 的方程是x－2＋y 2＝1，即x －y ＋2＝0，圆心(1,0)到直线AB 的距离等于|1－0＋2|2＝322，点P 到直线AB 的距离的最大值是322＋1，△PAB 面积的最大值为12×22×32＋22＝3＋ 2. 圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系，在求解圆的方程时，要根据所给条件选取适当的方程形式．解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．(1)已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝4，过点A (－1,0)的直线l 与圆C 相交于P 、Q 两点，若|PQ |＝23，则直线l 的方程为( )A ．x ＝－1或4x ＋3y －4＝0B ．x ＝－1或4x －3y ＋4＝0C ．x ＝1或4x －3y ＋4＝0D ．x ＝1或4x ＋3y －4＝0(2)已知圆C 的圆心与抛物线y 2＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为________．答案 (1)B (2)x 2＋(y －1)2＝10解析 (1)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－1符合题意；当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，线段PQ 的中点为M ，由于|PQ |＝23，易得|CM |＝1.又|CM |＝|－3＋k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，此时直线l 的方程为y ＝43(x ＋1)．故所求直线l 的方程为x ＝－1或4x －3y ＋4＝0.故选B.(2)设所求圆的半径是r ，依题意得，抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是(1,0)，则圆C 的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x －3y －2＝0的距离d ＝|4×0－3×1－2|42＋－32＝1，则r 2＝d 2＋(|AB |2)2＝10，故圆C 的方程是x 2＋(y －1)2＝10. 考点三 直线与圆、圆与圆的位置关系例3 (2013·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0, 3)，直线l ：y＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的 方程；(2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围． 解 (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3,2)， 于是切线的斜率必存在．设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3， 由题意，|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为 (x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为|MA |＝2|MO |，所以x 2＋y －32＝2 x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y－3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则2－1≤|CD |≤2＋1， 即1≤a 2＋2a －32≤3.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ； 由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系判断依据两个圆心距离与半径差与和的比较．(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．通过过圆外一点的圆的切线条数可以判断此点和圆的位置关系．过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离利用勾股定理处理．(1)(2013·江西)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33B ．－33C ．±33D ．－ 3 (2)(2013·重庆)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A ．52－4 B.17－1 C ．6－22D.17(3)(2013·山东改编)过点P (3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为________，△PAB 的外接圆方程为________________________． 答案 (1)B (2)A (3)2x ＋y －3＝0 (x －2)2＋(y －12)2＝54解析 (1)∵S △AOB ＝12|OA ||OB |·sin∠AOB＝12sin∠AOB ≤12. 当∠AOB ＝π2时，S △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)， 即kx －y －2k ＝0.由d ＝|2k |k 2＋1＝22得k ＝－33. (也可k ＝－tan∠OPH ＝－33)． (2)设P (x,0)，设C 1(2,3)关于x 轴的对称点为C 1′(2，－3)，那么|PC 1|＋|PC 2|＝|PC 1′|＋|PC 2|≥|C 1′C 2|＝2－32＋－3－42＝5 2.而|PM |＋|PN |＝|PC 1|＋|PC 2|－4≥52－4.(3)易知点P (3,1)与圆心C 连线和AB 垂直，圆心为点(1,0)，点P (3,1)与圆心连线斜率k ＝1－03－1＝12，故直线AB 斜率k AB ＝－2，结合图形易知A 点坐标为(1,1)，由点斜式得直线AB 的方程为y －1＝－ 2(x －1)，即2x ＋y －3＝0.又由CA ⊥PA ，CB ⊥PB 知，A 、P 、B 、C 四点共圆，且CP 为其直径． ∴△PAB 的外接圆方程为(x －2)2＋(y －12)2＝54.1．由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况． 2．确定圆的方程时，常用到圆的几个性质：(1)直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径)； (2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (3)圆心在任一弦的中垂线上；(4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(5)圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称． 3．直线与圆中常见的最值问题圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．4．过两圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0的交点的圆系方程为x2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0.5．两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程．1．若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是________． 答案 (2－1，2＋1)解析 注意到与直线x －y －2＝0平行且距离为1的直线方程分别是x －y －2＋2＝0、x －y －2－2＝0，要使圆上有且只有两个点到直线x －y －2＝0的距离为1，需满足在两条直线x －y －2＋2＝0、x －y －2－2＝0中，一条与该圆相交且另一条与该圆相离，所以|2－2|2<r <|－2－2|2，即2－1<r <2＋1.2．过点O (0,0)作直线与圆C ：(x －45)2＋(y －8)2＝169相交，在弦长均为整数的所有直线中，等可能地任取一条直线，则弦长不超过14的概率为________． 答案932解析 已知圆C 的半径为13，C (45，8)， ∵|CO |＝452＋82＝12<13，∴O 点在圆C 的内部，且圆心到直线的距离d ∈[0,12]，∴直线截圆所得的弦长|AB |＝2r 2－d 2∈[10,26]，其中最短和最长的弦各有一条，长为11到25的整数的弦各有两条，共有32条，其中弦长不超过14的有1＋8＝9(条)， ∴所求概率P ＝932.(推荐时间：70分钟)一、选择题1． “a ＝0”是“直线l 1：(a ＋1)x ＋a 2y －3＝0与直线l 2：2x ＋ay －2a －1＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 当a ＝0时，l 1：x －3＝0，l 2：2x －1＝0，此时l 1∥l 2，所以“a ＝0”是“直线l 1与l 2平行”的充分条件． 当l 1∥l 2时，a (a ＋1)－2a 2＝0，解得a ＝0或a ＝1. 当a ＝1时，l 1：2x ＋y －3＝0，l 2：2x ＋y －3＝0， 此时，l 1与l 2重合，所以a ＝1不满足题意，即a ＝0. 所以“a ＝0”是“直线l 1∥l 2”的必要条件．2．a ，b ，c 分别是△ABC 中角A ，B ，C 的对边的边长，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx－y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( ) A ．平行 B ．重合 C ．垂直 D ．相交但不垂直 答案 C解析 ∵直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是A 1A 2＋B 1B 2＝0，而b sinA ＋a (－sinB )＝0，∴两直线垂直．故选C.3．(2013·广东)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0 答案 A解析 与直线y ＝x ＋1垂直的直线设为：x ＋y ＋b ＝0. 则|b |2＝r ＝1，所以|b |＝2，又相切于第一象限， 所以b ＝－ 2.4．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段弧长比为1∶2，则圆C 的方程为( ) A ．(x ±33)2＋y 2＝43B ．(x ±33)2＋y 2＝13C ．x 2＋(y ±33)2＝43D ．x 2＋(y ±33)2＝13答案 C解析 由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为23π，设圆心(0，a )，半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝|a |，解得r ＝23，即r 2＝43，|a |＝33，即a ＝±33，故圆C 的方程为x 2＋(y ±33)2＝43.5．设P 为直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PACB 的面积的最小值为( ) A ．1 B.32C ．23D. 3 答案 D解析 依题意，圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心是点C (1,1)，半径是1，易知|PC |的最小值等于圆心C (1,1)到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离，即105＝2，而四边形PACB 的面积等于2S △PAC ＝2×(12|PA |·|AC |)＝|PA |·|AC |＝|PA |＝|PC |2－1，因此四边形PACB 的面积的最小值是22－1＝3，选D.6．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条公切线，则a ＋b 的最小值为( ) A ．－6 B ．－3 C ．－32D ．3 答案 C解析 两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4， 圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1， 所以|C 1C 2|＝a 2＋b 2＝2＋1＝3， 即a 2＋b 2＝9. 由(a ＋b2)2≤a 2＋b 22得(a ＋b )2≤18，所以－32≤a ＋b ≤32，当且仅当“a ＝b ”时取“＝”．∴选C. 二、填空题7．已知直线l 1与圆x 2＋y 2＋2y ＝0相切，且与直线l 2：3x ＋4y －6＝0平行，则直线l 1的方程是________．答案 3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝0解析 依题意，设所求直线l 1的方程是3x ＋4y ＋b ＝0，则由直线l 1与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切，可得圆心(0，－1)到直线3x ＋4y ＋b ＝0的距离为1，即有|b －4|5＝1，解得b ＝－1或b ＝9.因此，直线l 1的方程是3x ＋4y －1＝0或3x ＋4y ＋9＝0.8．(2013·山东)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．答案 2 2解析 由题意知，当弦的中点与圆心的连线与弦垂直时弦长最短，此 时，点(3,1)为弦的中点，如图所示． ∴|AB |＝2|BE |＝2|BC |2－|CE |2＝24－2＝2 2.9．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为________． 答案 5解析 由题意知，圆心坐标为(－2，－1)， ∴－2a －b ＋1＝0， ∵a －22＋b －22表示点(a ，b )与(2,2)的距离， ∴a －22＋b －22的最小值为|4＋2－1|4＋1＝5，∴(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5.10．(2013·湖北)已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1(0<θ<π2)．设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________. 答案 4解析 圆心O 到直线l 的距离d ＝1cos 2θ＋sin 2θ＝1， 而圆O 半径为5，∴圆O 上到l 的距离等于1的点有4个． 三、解答题11．如图所示，已知以点A (－1，2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程；(3)BQ →·BP →是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由． 解 (1)设圆A 的半径为R .∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ ，则AQ ⊥MN . ∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1.由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34. ∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0.(3)∵AQ ⊥BP ，∴AQ →·BP →＝0.∴BQ →·BP →＝(BA →＋AQ →)·BP →＝BA →·BP →＋AQ →·BP →＝BA →·BP →.当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－52. 则BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，－52，又BA →＝(1,2)， ∴BQ →·BP →＝BA →·BP →＝－5.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋2，x ＋2y ＋7＝0，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k . ∴BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k . ∴BQ →·BP →＝BA →·BP →＝－51＋2k －10k 1＋2k＝－5. 综上所述，BQ →·BP →是定值，且BQ →·BP →＝－5.12．已知曲线C 的方程：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5m ＝0.(1)当m 为何值时，此方程表示圆；(2)若m ＝0，是否存在过点P (0,2)的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA |＝|AB |，若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)方程可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5－5m ，当5－5m >0，即m <1时表示圆．(2)当m ＝0时，曲线C 的方程为x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0.①当直线l 斜率不存在时，即直线l 方程为x ＝0，A (0,0)，B (0，－2)，|PA |＝|AB |，符合题意．②当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为y ＝kx ＋2，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0. 有(1＋k 2)x 2＋(6k －4)x ＋8＝0.依题意有Δ＝4(k 2－12k －4)>0，∵|PA |＝|AB |，∴A 为PB 的中点，∴x B ＝2x A .∴⎩⎪⎨⎪⎧ x A ＋x B ＝4－6k 1＋k 2，x A x B ＝81＋k 2， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x A ＝4－6k 31＋k 2，x 2A ＝41＋k 2.解得k ＝－512，满足Δ>0， ∴直线l 的方程为5x ＋12y －24＝0.综上所述，直线l 的方程为x ＝0或5x ＋12y －24＝0.13．已知点P 是圆F 1：(x ＋3)2＋y 2＝16上任意一点，点F 2与F 1关于原点对称．线段PF 2的中垂线与PF 1交于M 点．(1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)设轨迹C 与x 轴的左、右两个交点分别为A ，B ，点K 是轨迹C 上异于A ，B 的任意一点，KH ⊥x 轴，H 为垂足，延长HK 到点Q 使得HK ＝KQ ，连接AQ 并延长交过B 且垂直于x 轴的直线l 于点D ，N 为DB 的中点．试判断直线QN 与以AB 为直径的圆O 的位置关系． 解 (1)由题意得，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，圆F 1的半径为4，且|MF 2|＝|MP |， 从而|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝4>|F 1F 2|＝2 3.∴点M 的轨迹是以F 1、F 2为左、右焦点的椭圆，其中长轴长2a ＝4，焦距2c ＝23，则短半轴长b ＝a 2－c 2＝4－3＝1，∴点M 的轨迹C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)如图，设K (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1. ∵HK ＝KQ ，∴Q (x 0,2y 0)．∴OQ ＝x 20＋2y 02＝2，∴Q 点在以O 为圆心，2为半径的圆上，即Q 点在以AB 为直径的圆O 上．又A (－2,0)，∴直线AQ 的方程为y ＝2y 0x 0＋2(x ＋2)．令x ＝2，得D (2，8y 0x 0＋2)．又B (2,0)，N 为DB 的中点， ∴N (2，4y 0x 0＋2)．∴OQ →＝(x 0,2y 0)，NQ →＝(x 0－2，2x 0y 0x 0＋2)．∴OQ →·NQ →＝x 0(x 0－2)＋2y 0·2x 0y 0x 0＋2＝x 0(x 0－2)＋4x 0y 2x 0＋2＝x 0(x 0－2)＋x 04－x 2x 0＋2＝x 0(x 0－2)＋x 0(2－x 0)＝0.∴OQ →⊥NQ →.∴直线QN 与圆O 相切．。

专题14 直线和圆1．已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离 答案 B解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1为a ，2．已知点A (2，3)，B (－3，－2)，若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，则k 的取值范围是( ) A ．[34，2]B ．(－∞，34]∪[2，＋∞)C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．[1,2] 答案 B解析 直线kx －y ＋1－k ＝0恒过点P (1,1)，k PA ＝3－12－1＝2，k PB ＝－2－1－3－1＝34；若直线kx －y ＋1－k ＝0与线段AB 相交，结合图象(图略)得k ≤34或k ≥2，故选B.3．若方程(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1(0≤θ<2π)的任意一组解(x ，y )都满足不等式y ≥33x ，则θ的取值范围是( ) A ．[π6，7π6]B ．[5π12，13π12]C ．[π2，π]D ．[π3，π]答案 D解析 根据题意可得，方程(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1(0≤θ<2π)的任意一组解(x ，y )都满足不等式y ≥33x ，表示方程(x －2cos θ)2＋(y －2sin θ)2＝1(0≤θ<2π)在y ＝33x 的左上方(包括相切)，∴⎩⎪⎨⎪⎧|2sin θ－33×2cos θ|1＋13≥1，2sin θ>33×2cos θ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6≥12，∵0≤θ<2π，∴θ∈[π3，π]，故选D.4．已知点P (x ，y )在直线x ＋2y ＝3上移动，当2x ＋4y 取得最小值时，过点P 引圆(x －12)2＋(y ＋14)2＝12的切线，则此切线段的长度为________．答案62解析 由题意可知，5．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是______________．半径是________．答案 (－2，－4) 5解析 由已知方程表示圆，则a 2＝a ＋2， 解得a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 当a ＝－1时，原方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0， 化为标准方程为(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25， 表示以(－2，－4)为圆心，半径为5的圆．6．设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为________． 答案 4π解析 圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0，即C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，圆心为C (0，a )，C 到直线y ＝x ＋2a 的距离为d ＝|0－a ＋2a |2＝|a |2.又由|AB |＝23，得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫|a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以圆的面积为π(a 2＋2)＝4π.7．已知以点C (t ，2t)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程． (1)证明 由题意知圆C 过原点O ，且|OC |2＝t 2＋4t 2.则圆C 的方程为(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t .故S △OAB ＝12|OA |×|OB |＝12×|2t |×|4t |＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)解 ∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， ∴OC 垂直平分线段MN .∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12，∴直线OC 的方程为y ＝12x ，线y ＝－2x ＋4不相交，∴t ＝－2不符合题意，应舍去． 综上，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.易错起源1、直线的方程及应用例1、(1)已知直线l 1：(k －3)x ＋(4－k )y ＋1＝0与l 2：2(k －3)x －2y ＋3＝0平行，则k 的值是( ) A ．1或3 B ．1或5 C ．3或5D ．1或2(2)已知两点A (3,2)和B (－1,4)到直线mx ＋y ＋3＝0的距离相等，则m 的值为( ) A ．0或－12B.12或－6 C ．－12或12D ．0或12答案 (1)C (2)B【变式探究】已知直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0，若l 1⊥l 2，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．6 D ．1或2答案 D解析由l1⊥l2，则a(3－a)－2＝0，即a＝1或a＝2，选D.【名师点睛】(1)求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；(2)对解题中可能出现的特殊情况，可用数形结合的方法分析研究．【锦囊妙计，战胜自我】1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．求直线方程要注意几种直线方程的局限性．点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直．而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．3．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝|C1－C2| A2＋B2.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.易错起源2、圆的方程及应用例2、(1)若圆C经过(1,0)，(3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为( )A．(x－2)2＋(y±2)2＝3 B．(x－2)2＋(y±3)2＝3C．(x－2)2＋(y±2)2＝4 D．(x－2)2＋(y±3)2＝4(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x＝－2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为23，且与直线l 2：2x －5y －4＝0相切，则圆M 的方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝4B ．(x ＋1)2＋y 2＝4C ．x 2＋(y －1)2＝4D ．x 2＋(y ＋1)2＝4答案 (1)D (2)B所以圆M 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.故选B.【变式探究】(1)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________________．(2)两条互相垂直的直线2x ＋y ＋2＝0和ax ＋4y －2＝0的交点为P ，若圆C 过点P 和点M (－3,2)，且圆心在直线y ＝12x 上，则圆C 的标准方程为______________．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝254(2)(x ＋6)2＋(y ＋3)2＝34解析 (1)由题意知圆过(4,0)，(0,2)，(0，－2)三点， (4,0)，(0，－2)两点的垂直平分线方程为y ＋1＝－2(x －2)，令y ＝0，解得x ＝32，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为52.得该圆的标准方程为(x －32)2＋y 2＝254.【名师点睛】解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数． 【锦囊妙计，战胜自我】 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2.2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以(－D 2，－E 2)为圆心，D 2＋E 2－4F2为半径的圆．易错起源3、直线与圆、圆与圆的位置关系例3、(1)已知直线2x ＋(y －3)m －4＝0(m ∈R)恒过定点P ，若点P 平分圆x 2＋y 2－2x －4y －4＝0的弦MN ，则弦MN 所在直线的方程是( ) A ．x ＋y －5＝0 B ．x ＋y －3＝0 C ．x －y －1＝0D ．x －y ＋1＝0(2)已知P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，PA ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．3 B.212C ．22D ．2答案 (1)A (2)D解析 (1)对于直线方程2x ＋(y －3)m －4＝0(m ∈R)，取y ＝3，则必有x ＝2，所以该直线恒过定点P (2,3)．设圆心是C ，则易知C (1,2)， 所以k CP ＝3－22－1＝1，由垂径定理知CP ⊥MN ，所以kMN ＝－1. 又弦MN 过点P (2,3)，故弦MN 所在直线的方程为y －3＝－(x －2)， 即x ＋y －5＝0.【变式探究】(1)若直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A ．－2或12 B ．2或－12 C ．－2或－12D ．2或12(2)已知在平面直角坐标系中，点A (22，0)，B (0,1)到直线l 的距离分别为1,2，则这样的直线l 共有________条． 答案 (1)D (2)3【名师点睛】(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量．(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题． 【锦囊妙计，战胜自我】1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法主要有点线距离法和判别式法．(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则d <r ⇔直线与圆相交，d ＝r ⇔直线与圆相切，d >r ⇔直线与圆相离．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b 2＝r 2消去y ，得关于x 的一元二次方程根的判别式Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：(1)d>r1＋r2⇔两圆外离；(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切；(3)|r1－r2|<d<r1＋r2⇔两圆相交；(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切；(5)0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．1．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是( )A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0C．2y－x－4＝0 D．2x＋y－7＝0答案A解析由于直线PA的倾斜角为45°，且|PA|＝|PB|，故直线PB的倾斜角为135°，又由题意知P(2,3)，∴直线PB的方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0.故选A.2．设a∈R，则“a＝－1”是“直线ax＋y－1＝0与直线x＋ay＋5＝0平行”的( )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析 直线ax ＋y －1＝0与直线x ＋ay ＋5＝0平行的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，5a ＋1≠0，即a ＝±1，故a ＝－1是两直线平行的充分而不必要条件．故选A.3．过P (2,0)的直线l 被圆(x －2)2＋(y －3)2＝9截得的线段长为2时，直线l 的斜率为( )A ．±24B ．±22C ．±1D ．±33 答案 A4．若圆O ：x 2＋y 2＝4与圆C ：x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0关于直线l 对称，则直线l 的方程是( )A ．x ＋y ＝0B ．x －y ＝0C ．x －y ＋2＝0D ．x ＋y ＋2＝0 答案 C解析 圆x 2＋y 2＋4x －4y ＋4＝0，即(x ＋2)2＋(y －2)2＝4，圆心C 的坐标为(－2,2)． 直线l 过OC 的中点(－1,1)，且垂直于直线OC ，易知k OC ＝－1，故直线l 的斜率为1，直线l 的方程为y －1＝x ＋1，即x －y ＋2＝0.故选C.5．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4B.17－1 C ．6－22 D.17答案 A解析 两圆的圆心均在第一象限，先求|PC 1|＋|PC 2|的最小值，作点C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，则(|PC 1|＋|PC 2|)min ＝|C 1′C 2|＝52，所以(|PM |＋|PN |)min ＝52－(1＋3)＝52－4.6．已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋y ＋1＝0，l 1∥l 2，则a 的值为________，直线l 1与l 2间的距离为________．答案 －1 2解析 ∵l 1∥l 2，∴a ·1＝－1·1⇒a ＝－1，此时l 1：x ＋y －1＝0，∴l 1，l 2之间的距离为|1－－1|2＝ 2.7．已知点A (－2,0)，B (0,2)，若点C 是圆x 2－2x ＋y 2＝0上的动点，则△ABC 面积的最小值是________． 答案 3－28．已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝______. 答案 4解析 设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23，AB ＝23，所以OM ＝3，解得m ＝－33，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12，解得A (－3，3)，B (0,23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2,0)，D (2,0)，所以|CD |＝4.9．已知点A (3,3)，B (5,2)到直线l 的距离相等，且直线l 经过两直线l 1：3x －y －1＝0和l 2：x ＋y －3＝0的交点，求直线l 的方程．解 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －1＝0，x ＋y －3＝0，得交点P (1,2)． ①若点A ，B 在直线l 的同侧，则l ∥AB .而k AB ＝3－23－5＝－12， 由点斜式得直线l 的方程为y －2＝－12(x －1)，10．已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.解 (1)由题设可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k 2<1.解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.。

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必记知识
重要结论
1．与Ax＋By＋C＝0平行的直线可设为Ax＋By＋m＝0，(m≠C)与之垂 直的直线可设为Bx－Ay＋n＝0. 2．过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线 可设为(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0. 3．两平行线间的距离：d＝ |CA2－2＋CB1|2(其中两平行线方程分别为l1：Ax＋ By＋C1＝0.l2：Ax＋By＋C2＝0)． 提醒 应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中x，y的系数 应对应相等．
5
小题 速解
类型一 直线方程问题
(速解法) 由于两直线垂直，△PAB为直角三角形，利用三角形面积最
大求解．
直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0分别过定点A(0,0)，B(1,3)且两直线垂
直．
∴当P与A，B不重合时，形成直角三角形PAB，|AB|＝
10，而S△PAB＝
1 2
|PA||PB|＝12|AB|·h.
知识 回扣
必记知识
重要结论
4．点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离 d＝|Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|. 5．圆的方程 (1)标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心为(a，b)，半径为r. (2)一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0) 圆心为－D2 ，－E2，半径r＝12 D2＋E2－4F.
小题 速解
类型一 直线方程问题
[例1] (2014·高考四川卷)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定 点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是 ________． (基本法) 求出定点A，B的坐标，并注意已知两直线互相垂直．结合 基本不等式求解． ∵直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0分别过定点A，B， ∴A(0,0)，B(1,3)． 当点P与点A(或B)重合时，|PA|·|PB|为零；

2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一直线方程、两直线的位置关系例1已知两直线1:80l mx y n ++=和2:210l x my +-=.试确定m 、n 的值，使： (1)1l 与2l 相交于点(),1P m -； (2)1l ∥2l ；(3)1l ⊥2l ，且1l 在y 轴上的截距为－1. 【答案】（1）1m =，7n =.（2）4m =，2n ≠-时或4m =-，2n ≠时，1l ∥2l . （3）0m =，8n =【解析】(1)由题意得280210m n m n ⎧-+=⎨--=⎩，解得1m =，7n =.(2)当0m =时，显然1l 不平行于2l ；当0m ≠时，由821m nm =-≠-，得⎩⎨⎧-≠=⇒⎩⎨⎧≠--⨯=⨯-⋅240)1(8028n m nm m m 或⎩⎨⎧≠-=24n m . 即4m =，2n ≠-时或4m =-，2n ≠时，1l ∥2l .(3)当且仅当280m m +=，即0m =时，1l ⊥2l .又18n-=-，∴8n =.即0m =，8n =时，1l ⊥2l ，且1l 在y 轴上的截距为－1.【易错点】忽略对0m =的情况的讨论【思维点拨】遇到直线类题型，首先要注意特殊情况如斜率不存在时或0k =时，并且对于直线平行和垂直时与12A A 和12B B 间的关系要熟练记忆。

例2如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y －3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求其方程．【答案】2750x y +-=.【解析】与1l 、2l 平行且距离相等的直线方程为220x y +-=.设所求直线方程为()()2210x y x y λ+-+--=，即()()1220x y λλλ++---=.又直线过()1,1A -，∴()()()112120λλλ+-+-⋅--=.解13λ=-.∴所求直线方程为2750x y +-=.2【易错点】求错与1l 、2l 平行且距离相等的直线方程【思维点拨】本题的关键在于求到1l 、2l 平行且距离相等的直线方程，再利用这条直线求出和第三条支线的交点，从而求解本题.题型二 圆的方程（对称问题、圆的几何性质运用） 例1已知实数x 、y 满足方程22410x y x +-+=.(1)求yx的最大值和最小值； (2)求y x -的最大值和最小值．【答案】（1）yx（2）y x -的最大值为2-+，最小值为2-.【解析】(1)原方程化为()2223x y -+=，表示以点()2,0为圆心，为半径的圆．设yk x=，即y k x =，当直线y kx =与圆相切时，斜率k=k =.故yx 的最大值(2)设y x b -=，即y x b =+，当y x b =+与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时=2b =-.故y x -的最大值为2-，最小值为2--. 【易错点】理解错给定要求结果的含义【思维点拨】正确理解给定结果的含义，在利用题中的条件解决问题。