实数的运算一对一辅导讲义

学海教育一对一个性化辅导讲义学员姓名 朱文洁 学校 十五中 年级及科目七年级数学教师Wang longbiao课 题 实数授课时间：18:30----20:30教学目标教学内容【基础知识梳理】 1、无理数（1）概念：无限不循环小数的小数叫做无理数它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

在初中阶段，无理数的表现形式主要包含下列几种：（1）特殊意义的数，如：圆周率π以及含有π的一些数，如：2-π，3π等；（2）开方开不尽的数，如:39,5,2等；（3）特殊结构的数：如：2.010 010 001 000 01…（两个1之间依次多1个0）等。

应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如：9等；无理数也不一定带根号，如：π（2） 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

例1.（1）下列各数：①3.141、②0.33333……、③75-、④π、⑤252.±、⑥32-、⑦0.3030003000003……（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、其中是有理数的有＿＿＿＿＿＿＿；是无理数的有＿＿＿＿＿＿＿。

（填序号）（2）有五个数:0.125125…,0.1010010001…,-π,4,32其中无理数有 ( )个A 2B 3C 4D 5例2.下列说法中，正确的是（ ） A ．数轴上的点都表示有理数 B ．用根号表示的数不一定都是无理数C ．1/27 的立方根是±1/3D ．任何实数的平方根都有两个，它们互为相反数变式训练1、下列说法正确的是（ ） A ．4的平方根是2B ．38是无理数C ．实数和数轴上的点一一对应D ．无限小数都是无理数2、若|a |=2．那么实数a 的值是（ ） A ．2 B ．-2 C ．2或-2 D ．0【实数】（1）有理数与无理数统称为实数。

龙文教育一对一讲义教师: 学生: 日期: 星期: 时段:课 题实数（一）学习目标与分析1. 公式b a b a ⋅=⋅（a ≥0，b ≥0），ba ba =（a ≥0，b ＞0）从右往左的运用．2. 了解含根号的数的化简，利用化简对实数进行简单的四则运算．3. 灵活运用两个法则进行有关实数的四则运算．学习重点1.两个法则的逆运用.2.能运用实数的运算解决简单的实际问题。

学习方法 讲练结合法学 习 内 容 与 过 程教 师 分 析 与 批 改1．计算23475482131-+的结果是 ( )A. 2B. 0C. -3D. 3 2．化简：①1132328-+； ②125205-；③22)77()77(--+。

3．已知,32,32-=+=y x 22y xy x+-求。

学习内容与过程教师分析与批改二．选择题：11．计算：= （）（A）（B）（C）或（D）12．9的平方根是（）（A）. 3 （B）. －3 （C）. 3 （D）. 8113．用科学记数法表示0.00032，正确的是（）（A）.（B）. （C）.（D）.14．在实数π，2，，，tan45°中，有理数的个数是（）（A） 2个（B） 3个（C） 4个（D） 5个15．0.00898用科学记数法表示为（）（A） 8.98×10-3（B） 0.898×10-3（C） 8.98×10-4（D） 0.898×10-416．观察下列各题的运算①，②·，③(sin225°+sin265°－t（A）n225°·)0=1，④，⑤(－7)2=14，⑥|4－7|=7－4其中算对的有（）（A）③⑤（B）②⑥（C）③④⑤⑥（D）⑤⑥。

师航教育一对一个性化辅导讲义第2讲 实数【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.重难点；数是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题的形式出现，实数的运算主要是由二次根式、三角函数、幂等组成的混合算式的计算，常以计算或化简题型出现．另外，命题者也会利用分析归纳总结规律等题型考查考生发现问题、解决问题的能力第2讲实数考点一 实数的分类 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类按定义分： 按与0的大小关系分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数 实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如5，32等；②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。

我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即0a ≥ (0a ≥).非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算：(1)运算法则、运算律有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用．值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．(2)运算顺序在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 考点二 平方根、算术平方根、立方根 1、平方根、立方根类型项目平方根 立方根被开方数 非负数任意实数符号表示a ±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零； 负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a333333)(aa a a aa -=-==2．算术平方根(1)如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，a 的算术平方根记作a .零的算术平方根是零，即0＝0.(2)算术平方根都是非负数，即a ≥0(a ≥0)． (3)(a )2＝a (a ≥0)，a 2＝|a |.(4)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)；a b ＝ab(a ≥0，b ＞0)．【名师提醒：平方根等于本身的数有 个，算术平方根等于本身的数有 ，立方根等于本身的数有 。

《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中最基本的概念之一。

简单来说，实数就是有理数和无理数的统称。

有理数，大家应该都比较熟悉，像整数（包括正整数、零、负整数）和分数（包括有限小数和无限循环小数），都属于有理数。

比如5、0、－3 、1/2 、0333 等等。

而无理数，则是那些无限不循环小数。

比较典型的无理数有圆周率π（约等于 31415926）、根号 2（约等于 14142135）等等。

二、实数的性质1、实数的有序性实数是可以按照大小顺序排列的。

对于任意两个实数 a 和 b，要么a ＜ b，要么 a ＝ b，要么 a ＞ b，这三种情况必有且仅有一种成立。

2、实数的稠密性在任意两个不同的实数之间，总是存在着无数个其他的实数。

这意味着实数在数轴上是密密麻麻分布的，没有任何空隙。

3、实数的运算性质实数具有加、减、乘、除（除数不为 0）四则运算的封闭性。

也就是说，两个实数进行四则运算，其结果仍然是实数。

例如：3 ＋ 5 ＝ 8，5 2 ＝ 3，3 × 4 ＝ 12，6 ÷ 2 ＝ 3 。

而且，实数的运算还满足交换律、结合律和分配律。

交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a ，a × b ＝ b × a 。

结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c) ，（a × b) × c ＝ a ×（b ×c) 。

分配律：a ×（b ＋ c) ＝ a × b ＋ a × c 。

三、实数与数轴数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。

每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都对应着一个实数。

例如，实数 5 可以用数轴上距离原点 5 个单位长度且在正方向上的点来表示；实数－3 则可以用数轴上距离原点 3 个单位长度且在负方向上的点来表示。

四、实数的分类1、按符号分类实数可以分为正实数、零和负实数。

环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义年 级 ： 上 课 次 数 ：学 员 姓 名 ： 辅 导 科 目 ： 学 科 教 师 ： 课 题课 型 □ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课 授课日期及时段教 学 内 容【基础知识网络总结与新课讲解】6.2 实 数知识点一 无理数的概念定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=3.1415926…，2 1.414213=，－1.010010001…，都是无理数。

注意：①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如2、3等。

例1 332278,3, 3.141,,,,2,0.1010010001,1.414,0.020202,7378π-----有理数{ } 无理数{ }想一想：有理数与无理数的区别？注意：判断一个数是否为无理数，不能只从形式上看，带根号的不一定是无理数，只有开方开不尽的数是无理数。

练习：下列说法正确的是（ ）A.分数是无理数B.无限小数是无理数C.不能写成分数形式的数是无理数D.不能再数轴上表示的数是无理数知识点二 实数1. 实数：有理数和无理数统称为实数 实数的分类：① 按定义分类： ② 按大小分类例2.判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。

①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④有理数都是实数，实数不都是有理数；⑤实数都是无理数，无理数都是实数；⑥实数的绝对值都是非负实数；⑦有理数都可以表示成分数的形式。

2. 实数的几个有关概念：①相反数：a与－a互为相反数，0的相反数是0。

a+b=0⇔a、b互为相反数。

②倒数：若0a≠，则1a称为a的倒数，0没有倒数。

1ab a=⇔、b互为倒数。

③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

第十二章 第6讲 实数的运算学习目标理解实数的运算法则、性质和顺序并能根据相关知识进行实数运算；会利用平方根意义化简根式；掌握实数的加、减、乘、除、开方、乘方的运算；能辨别精确数与近似数，并能确定近似数的精确度，能求出近似数的有效数字。

知识精要1.实数的运算法则：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方及开方运算，有理数的运算法则和运算性质在实数范围内仍然适用。

2.实数的运算顺序：实数混合运算的运算顺序与有理数运算顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后算加减。

同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的要先算括号里面的。

3.实数的运算结果：对于涉及无限小数的运算，可以根据保留几位小数的要求，取无限小数的近似值(有限小数)进行运算，将实数的运算转化为有限小数的运算，逐步接近原来的运算结果；对于涉及无理数的运算，如果没有指明运算结果保留几位小数，那么通常是利用实数的运算法则和运算性质对算式进行化简，其结果可能是化简了的一个算式。

4.实数的运算性质： (1)⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0(,)0(,0)0(,2a a a a a a a (2))0()(2≥=a a a (3))0,0(≥≥⋅=b a b a ab (4))0,0(>≥=b a ba b a 5.实数的精确度：一般来说，完全符合实际地表示一个量多少的数叫做准确数；与准确数达到一定接近程度的数叫做近似数(或近似值)。

近似数与准确数的接近程度即近似程度，对近似程度的要求叫做精确度。

近似数的精确度通常有以下两种表示方式：(1)精确到哪一数位，例如：精确到百分位，或精确到0.01；(2)保留几个有效数字。

有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不为零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字。

经典题型精讲(一)实数的基本运算例1.不用计算器，计算： (1)520⨯ (2)33913÷ (3))32132(33-- (4)1523458⨯- (5)51107÷⨯ (6)42625)2(+- (7)0)14.3()23)(23(-+-+π (8)22)572()572(-+举一反三：计算下列各题： (1))32332(23-- (2)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--)7721(737274 (3)2)2(16+ (4)2332⨯÷÷ (5)332332÷⨯ (6)332332÷⨯ (7)32053÷⨯ (8)[]2232)7(- (9)22)23()23(--+例2.化简：(1)347+ (2)2)549549(--+ (3)722341012--+举一反三：化简：(1)2)23(- (2)2)10(-π (3))7(962=+-x x x例3.已知：0981642=+-+-a a b a ，求实数b a 、的值。

龙文教育1对1个性化教案教导处签字：日期： 年 月 日学生 学 校 年 级教师授课日期 授课时段课题 实数（二)重点难点 实数的概念及分类、平方根、立方根的概念及性质教 学 步 骤 及 教 学 内 容一、热身导入：检查上节课作业完成情况，并讲评。

二、检查漏洞：通过常见例题的完成，了解孩子对本节重难点，易错点内容的掌握情况。

三、主要知识点讲解：1、无理数：无限不循环小数叫做无理数。

（1）开方开不尽的数，如32,7等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3π+8等；（3）有特定结构的数，如0.1010010001…等；2、算术平方根：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根。

特别地，0的算术平方根是0。

表示方法：记作“a ”，读作根号a 。

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零,算数平方根具有双重非负性。

3、立方根一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即x 3=a 那么这个数x 就叫做a 的立方根（或三次方根）。

表示方法：记作3a性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

四、课堂练习及延伸：根据本节课的全部内容及例题的分析，让孩子完成相关练习，再次基础上作延伸。

五、教学反馈：根据孩子的课堂表现及完成练习的情况，了解孩子对本节内容的掌握及理解程度。

六、课堂小结：让孩子归纳并总结出本节课的主要内容，自己的优缺点，老师在补充。

课后评价一、学生对于本次课的评价o特别满意o满意o一般o差二、教师评定1、学生上次作业评价o好o较好o一般o差2、学生本次上课情况评价o好o较好o一般o 差作业布置教师留言教师签字：家长意见家长签字：日期：年月日龙文教育1对1个性化讲义课前小测：1.64的算术平方根和64-的立方根的和是（ ）A.0B.6C.4D.4- 2.能与数轴上的点一一对应的是（ ）A 整数B 有理数C 无理数D 实数 3.213-=-a ,则a 的值是（ ）A.１B.２C.３D.４.4．设面积为3的正方形的边长为x ，那么关于x 的说法正确的是（ ）A. x 是有理数B.x =3±C. x 不存在D. x 是1和2之间的实数5.32-的绝对值是 （ ） A.32+ B.32--C.23-D.32-7.在4144.1-，2-，722，3π，32-，∙3.0， 121111*********.2中，无理数的个数是 .8.a 是9的算术平方根，而b 的算术平方根是4，则=+b a . 9. 比较下列实数的大小①140 12 ②215- 5.0；10．判断：（1）实数是由正实数和负实数组成．（ ） （2）0属于正实数．（ ）（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（ ）（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是0或1．（ ） （5）若,2||=x 则2=x （ ）一、主要知识点回顾：1、实数的分类正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。