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数学人教B 必修5第三章3.2 均值不等式1．探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义．2．会用均值不等式解决简单的问题．3．掌握运用均值不等式a ＋b2≥ab 求最值的常用方法及需注意的问题．1．重要不等式：对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2____2ab ，当且仅当______时，等号成立．(1)重要不等式成立的条件是a ，b ∈R .它既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此应用范围较广；(2)等号成立的条件是当且仅当a ＝b ，即当a ＝b 时，等号成立；反之，等号成立时有a ＝b .【做一做1】不等式a ＋1≥2a (a ＞0)中等号成立的条件是( )． A ．a ＝2 B ．a ＝1C ．a ＝12 D ．a ＝02．(1)均值不等式：如果a ，b ∈R ＋，那么__________，当且仅当______时，等号成立．也叫基本不等式．(2)对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b2叫做a ，b 的______，数ab 叫做a ，b 的________，故基本不等式用语言叙述是____________________________________．公式变形：(1)a ＋b ≥2ab ，ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ＋)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)a ＋1a ≥2(a ∈R ＋)，当且仅当a ＝1时，等号成立．(3)a b ＋ba ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 【做一做2－1】若x ＞0，则x ＋2x的最小值为________．【做一做2－2】已知0＜x ＜13，则函数y ＝x (1－3x )的最大值是__________．3．已知x ，y 都为正数，则(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当______时，积xy 取得最大值________． (2)若xy ＝P (积为定值)，则当______时，和x ＋y 取得最小值________．(1)应用上述性质时注意三点：①各项或各因式均为正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”．(2)应用上述时，有时需先配凑成和或积为定值的情况，再应用． 【做一做3】已知x ，y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．一、使用均值不等式求最值的注意事项剖析：(1)a ，b 都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x ＜0时，函数f (x )＝x ＋1x ≥2x ×1x＝2，所以函数f (x )的最小值是2.由于f (－2)＝－2＋1－2＝－52＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x ＜0时，不能直接用均值不等式求f (x )＝x ＋1x 的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－x ＋1－x≥2(－x )×1－x＝2，此时有f (x )≤－2.因此，当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．(2)ab 与a ＋b 有一个是定值，即当ab 是定值时，可以求a ＋b 的最值；当a ＋b 是定值时，可以求ab 的最值．如果ab 和a ＋b 都不是定值，那么就会得出错误答案．例如，当x＞1时，函数f (x )＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数f (x )的最小值是2x x －1.由于2xx －1是一个与x 有关的代数式，很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab 与a ＋b 有一个是定值．其实，当x ＞1时，有x －1＞0，则函数f (x )＝x ＋1x －1＝[(x －1)＋1x －1]＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3.因此，当ab 与a ＋b 没有一个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．(3)等号能够成立，即存在正数a ，b 使均值不等式两边相等，也就是存在正数a ，b 使得ab ＝a ＋b 2.如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x ≥2x ×1x ＝2，所以函数f (x )的最小值是2.很明显x ＋1x中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x ＝1x ，即x ＝1，而函数的定义域是x ≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x 是增函数，函数f (x )的最小值是f (2)＝2＋12＝52.因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．二、教材中的“思考与讨论”均值不等式与不等式a 2＋b 2≥2ab 的关系如何？请对此进行讨论．剖析：(1)在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ；在a ＋b ≥2ab 中，a ，b ∈R ＋.(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)． (3)证明的方法都是作差比较法． (4)都可以用来求最值．题型一 利用均值不等式比较大小【例1】已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，试比较a 2＋b 2＋c 2，ab ＋bc ＋ca ，13的大小．分析：变形利用不等式找出a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小，结合条件a ＋b ＋c ＝1再找两代数式与13的关系，从而确定它们的大小．反思：要想运用均值不等式，必须把题目中的条件或要解决的问题“化归”到不等式的形式并让其符合运用不等式的条件．化归的方法是把题目中给的条件配凑变形，或利用一些基本公式和一些常见的代换进行变形．题型二 利用均值不等式求最值【例2】已知x ，y ∈(0，＋∞)，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．分析：1x ＋1y →(1x ＋1y )·1→(1x ＋1y)(2x ＋y )→利用均值不等式求解反思：求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件，都要验证“＝”是否成立．题型三 利用均值不等式证明不等式【例3】已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .分析：注意到a ＋b ＋c ＝1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式．反思：这是一道条件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1”的整体代换及三个“＝”必须同时取到．题型四 利用均值不等式解恒成立问题【例4】已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，求正实数a 的最小值．分析：反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题，在此类问题的解法中，利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查．题型五 易错辨析【例5】已知0＜x ＜1，求f (x )＝2＋log 5x ＋5log 5x的最值． 错解：f (x )＝2＋log 5x ＋5log 5x≥2＋2log 5x ·5log 5x＝2＋25，∴f (x )的最小值为2＋2 5.错因分析：a ＋b ≥2ab 的前提条件是a ，b ∈R ＋，∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴5log 5x ＜0.∴不能直接使用均值不等式．【例6】求f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1的最小值．错解：因为f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1≥2＋1＝3，所以f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1的最小值为3.错因分析：忽视了等号成立的条件，事实上方程x 2＋3＝1x 2＋3无解，所以等号不成立，正确的处理方法是：利用函数的单调性求最值．1对于任意实数a ，b ，下列不等式一定成立的是( )．A ．a ＋b ≥2abB ．a ＋b2≥abC ．a 2＋b 2≥2abD ．b a ＋ab≥22已知a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝4，那么ab ( )． A ．有最大值2，有最小值－2 B ．有最大值2，但无最小值 C ．有最小值2，但无最大值 D ．有最大值2，有最小值03设x ，y 为正数，则(x ＋y )(1x ＋4y )的最小值为( )．A ．6B ．9C ．12D ．154若x ＞3，那么当x ＝________时，y ＝x ＋1x －3取最小值________．5已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案： 基础知识·梳理 1．≥ a ＝b 【做一做1】B2．(1)a ＋b 2≥ab a ＝b (2)算术平均值 几何平均值 两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值【做一做2－1】22 x ＞0⇒x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时，等号成立．【做一做2－2】112 ∵0＜x ＜13，∴1－3x ＞0.∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13[3x ＋(1－3x )2]2＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．∴x ＝16时，函数取得最大值112.3．(1)x ＝y 14S 2 (2)x ＝y 2P【做一做3】(1)215 (2)2254(1)当xy ＝15时，x ＋y ≥2xy ＝215，当且仅当x ＝y ＝15时，等号成立．所以x ＋y 的最小值为215；(2)当x ＋y ＝15时，xy ≤x ＋y 2＝152，所以xy ≤2254，当且仅当x ＝y ＝152时，等号成立．所以xy 的最大值为2254.典型例题·领悟【例1】解：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ， ∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2ac ＋2bc .① ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋ac ＋bc .②①式两边分别加上a 2＋b 2＋c 2，得 3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13.由②式，得3(ab ＋bc ＋ca )≤a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝(a ＋b ＋c )2＝1，∴ab ＋bc ＋ca ≤13.综上，知a 2＋b 2＋c 2≥13≥ab ＋bc ＋ca .【例2】解：1x ＋1y ＝(1x ＋1y )(2x ＋y )＝2＋2x y ＋y x ＋1＝3＋2x y ＋y x ≥3＋22x y ·yx＝3＋22，当且仅当2x y ＝yx，即⎩⎪⎨⎪⎧y x ＝22x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋2，y ＝22＋2时等号成立．∴1x ＋1y的最小值为3＋2 2. 【例3】证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴(1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )． 又∵a ，b ，c 都是正实数， ∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c 2≥ac ＞0.∴(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c )8≥abc .∴(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．【例4】解：∵(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ＋y x ＋axy，又x ＞0，y ＞0，a ＞0， ∴y x ＋ax y ≥2y x ·ax y＝2a ， ∴1＋a ＋y x ＋axy≥1＋a ＋2a ，∴要使(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只需1＋a ＋2a ≥9恒成立即可．∴(a ＋1)2≥9，即a ＋1≥3，∴a ≥4， ∴正实数a 的最小值为4.【例5】正解：∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴(－log 5x )＋(－5log 5x )≥2(－log 5x )·(－5log 5x )＝2 5.∴log 5x ＋5log 5x≤－2 5.∴f (x )≤2－2 5.当且仅当log 5x ＝5log 5x，即x ＝5－5时，等号成立，此时f (x )有最大值2－2 5.【例6】正解：f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1＝x 2＋3＋1x 2＋3＋1. 令t ＝x 2＋3(t ≥3)， 则原函数变为f (x )＝t ＋1t ＋1，在区间[3，＋∞)上是增函数．所以当t ＝3时，f (x )＝t ＋1t ＋1取得最小值433＋1.所以当t ＝3，即x ＝0时，f (x )＝x 2＋4x 2＋3＋1取得最小值433＋1.随堂练习·巩固1．C 均值不等式要考虑正负情况，如果a ，b 不能保证是正值，则选项A ，B ，D 都不一定成立，只有选项C 对任意实数恒成立．2．A 这里没有限制a ，b 的正负，则由a 2＋b 2＝4，a 2＋b 2≥2|ab |，得|ab |≤2，所以－2≤ab ≤2，可知ab 的最大值为2，最小值为－2.3．B 因为x ，y 为正数，所以(x ＋y )(1x ＋4y )＝1＋4＋y x ＋4xy≥9，当且仅当y ＝2x 时，等号成立，故选B.4．4 5 y ＝x ＋1x －3＝x －3＋1x －3＋3≥2(x －3)×1x －3＋3＝5，当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时，y 取最小值5. 5．116因为x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1， 所以xy ＝14x ·4y ≤14(x ＋4y 2)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即x ＝12，y ＝18时，等号成立．所以xy 的最大值为116.。
《3.2均值不等式》均值不等式也称基本不等式。
本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用。
本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解。
教材用作差配方法证明均值不等式。
作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法。
在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能。
一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”。
探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小)问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等。
不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点。
几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影。
书中练习A 、B 和习题都是基本题，要求全做。
鉴于均值不等式的特殊作用，在教学中将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来，让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式a 2＋b 2≥2ab 的联系。
【知识与能力目标】学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等。
【过程与方法目标】通过实例探究抽象基本不等式。
【情感态度与价值观】通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。
【教学重点】用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式a ＋b 2≥ab 的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问题。
【教学难点】用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式a ＋b 2≥ab 等号成立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题。
3．2 均值不等式（一）一、学习目标：1．掌握均值定理的推导2．培养学生应用均值定理分析问题、解决问题的能力.二、重点难点：重点：均值定理的推导极其应用难点：均值定理在实际问题中的应用三、学习过程：（一）自学教材，填空1.正数a 、b 的算术平均数为 ；几何平均数为 ．2.均值不等式是 。
其中前者是 ，后者是 ．如何给出几何解释？3.在均值不等式中a 、b 既可以表示数，又可以表示代数式，但都必须保证 ；另外等号成立的条件是 ．4.试根据均值不等式写出下列变形形式，并注明所需条件（1）a 2+b 2 （ ）（2）2b a （ ） （3）a b ＋ba （ ）（4）ab≤ （ ） （5）x ＋x 1 (x>0)（6）x ＋x1 (x<0) 5.在用均值不等式求最大值和最小值时，必须注意a+b 或ab 是否为 值，并且还需要注意等号是否成立．（二）典型例题例1.已知a 、b 、c ∈（0，＋∞），且a+b+c=1，求证a 1 +b 1+c1≥9．例2.（1）一个矩形的面积为100m 2。
问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为36m 。
问这个矩形的长、宽各为多少时，它的面积最大？最大面积是多少？（三）课堂训练1.已知a 、b ∈（0，1）且a≠b ，下列各式中最大的是（ ）A ．a 2+b 2B ．2abC ．2a bD ．a +b2.判断下列不等式的证明过程中的正误，并指出错因。
（1）若a 、b ∈R ，则a b ＋ba ≥2b a a b ∙＝2（ ） （2）若x 、y ∈R ＋，则lgx ＋lgy≥2y x lg lg ∙（ ）（3）x ∈R －，则x ＋x4≥－2x x 4∙＝－4（ ） （4）若x ∈R ，则x 2＋x -2≥2x x -∙22＝2（ ）3.x ∈R ，下列不等式恒成立的是（ ）A ．x 2+1≥xB ．112+x <1 C ．lg(x 2+1)≥lg(2x) D ．x 2+4>4x 4.设x>0，则函数y=2－x 4－x 的最大值为 ；此时x 的值是 。
3.2 均值不等式1．探索并了解均值不等式的证明过程，理解均值不等式成立的条件，等号成立的条件及几何意义． 2．会用均值不等式解决简单的问题．3．掌握运用均值不等式a ＋b2≥ab 求最值的常用方法及需注意的问题．1．重要不等式：对于任意实数a ，b ，有a 2＋b 2____2ab ，当且仅当______时，等号成立．(1)重要不等式成立的条件是a ，b ∈R .它既可以是具体的数字，也可以是比较复杂的代数式，因此应用范围较广；(2)等号成立的条件是当且仅当a ＝b ，即当a ＝b 时，等号成立；反之，等号成立时有a ＝b .【做一做1】不等式a ＋1≥2a(a ＞0)中等号成立的条件是( )． A ．a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝12D ．a ＝02．(1)均值不等式：如果a ，b ∈R ＋，那么__________，当且仅当______时，等号成立．也叫基本不等式． (2)对任意两个正实数a ，b ，数a ＋b 2叫做a ，b 的______，数ab 叫做a ，b 的________，故基本不等式用语言叙述是____________________________________．公式变形：(1)a ＋b ≥2ab ，ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ＋)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．(2)a ＋1a ≥2(a ∈R ＋)，当且仅当a ＝1时，等号成立．(3)a b ＋ba ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时，等号成立． 【做一做2－1】若x ＞0，则x ＋2x的最小值为________．【做一做2－2】已知0＜x ＜13，则函数y ＝x (1－3x )的最大值是__________．3．已知x ，y 都为正数，则(1)若x ＋y ＝S (和为定值)，则当______时，积xy 取得最大值________． (2)若xy ＝P (积为定值)，则当______时，和x ＋y 取得最小值________．(1)应用上述性质时注意三点：①各项或各因式均为正；②和或积为定值；③各项或各因式能取得相等的值．即“一正二定三相等”．(2)应用上述时，有时需先配凑成和或积为定值的情况，再应用． 【做一做3】已知x ，y 都是正数，(1)如果xy ＝15，则x ＋y 的最小值是________； (2)如果x ＋y ＝15，则xy 的最大值是________．一、使用均值不等式求最值的注意事项剖析：(1)a ，b 都是正实数，即所求最值的代数式中的各项必须都是正数，否则就会得出错误答案．例如，当x ＜0时，函数f (x )＝x ＋1x≥2x×1x ＝2，所以函数f (x )的最小值是2.由于f (－2)＝－2＋1－2＝－52＜2，很明显这是一个错误的答案．其原因是当x ＜0时，不能直接用均值不等式求f (x )＝x ＋1x 的最值．因此，利用均值不等式求最值时，首先确定所求最值的代数式中的各项是否都是正数．其实，当x ＜0时，－x ＞0，则f (－x )＝－x ＋1－x≥2－1－x＝2，此时有f (x )≤－2.因此，当所求最值的代数式中的各项不都是正数时，应利用变形，转化为各项都是正数的代数式．(2)ab 与a ＋b 有一个是定值，即当ab 是定值时，可以求a ＋b 的最值；当a ＋b 是定值时，可以求ab 的最值．如果ab 和a ＋b 都不是定值，那么就会得出错误答案．例如，当x ＞1时，函数f (x )＝x ＋1x －1≥2x x －1，所以函数f (x )的最小值是2xx －1.由于2xx －1是一个与x 有关的代数式，很明显这是一个错误的答案．其原因是没有掌握均值不等式求最值的条件：ab 与a ＋b 有一个是定值．其实，当x ＞1时，有x －1＞0，则函数f (x )＝x ＋1x －1＝[(x －1)＋1x －1]＋1≥2－1x －1＋1＝3.因此，当ab 与a ＋b 没有一个是定值时，通常把所求最值的代数式采用配凑的方法化为和或积为定值的形式．(3)等号能够成立，即存在正数a ，b 使均值不等式两边相等，也就是存在正数a ，b 使得ab ＝a ＋b2.如果忽视这一点，就会得出错误答案．例如，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x≥2x×1x＝2，所以函数f (x )的最小值是2.很明显x ＋1x 中的各项都是正数，积也是定值，但是等号成立的条件是当且仅当x ＝1x ，即x ＝1，而函数的定义域是x ≥2，所以这是一个错误的答案．其原因是均值不等式中的等号不成立．其实，根据解题经验，遇到这种情况时，一般就不再用均值不等式求最值了，此时该函数的单调性是确定的，可以利用函数的单调性求得最值．利用函数单调性的定义可以证明，当x ≥2时，函数f (x )＝x ＋1x 是增函数，函数f (x )的最小值是f (2)＝2＋12＝52.因此在使用均值不等式求最值时，上面三个条件缺一不可，通常将这三个条件总结成口诀：一正、二定、三相等．二、教材中的“思考与讨论”均值不等式与不等式a 2＋b 2≥2ab 的关系如何？请对此进行讨论．剖析：(1)在a 2＋b 2≥2ab 中，a ，b ∈R ；在a ＋b ≥2ab 中，a ，b ∈R ＋.(2)两者都带有等号，等号成立的条件从形式上看是一样的，但实质不同(范围不同)． (3)证明的方法都是作差比较法． (4)都可以用来求最值．题型一 利用均值不等式比较大小【例1】已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，试比较a 2＋b 2＋c 2，ab ＋bc ＋ca ，13的大小．分析：变形利用不等式找出a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ca 的大小，结合条件a ＋b ＋c ＝1再找两代数式与13的关系，从而确定它们的大小．反思：要想运用均值不等式，必须把题目中的条件或要解决的问题“化归”到不等式的形式并让其符合运用不等式的条件．化归的方法是把题目中给的条件配凑变形，或利用一些基本公式和一些常见的代换进行变形．题型二 利用均值不等式求最值【例2】已知x ，y ∈(0，＋∞)，且2x ＋y ＝1，求1x ＋1y 的最小值．分析：1x ＋1y→1x ＋1y→1x ＋1y＋→利用均值不等式求解反思：求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题突破口．定值找到还要看“＝”是否成立，不管题目是否要求指出等号成立的条件，都要验证“＝”是否成立．题型三 利用均值不等式证明不等式【例3】已知a ，b ，c 都是正实数，且a ＋b ＋c ＝1， 求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .分析：注意到a ＋b ＋c ＝1，故可运用“常数代换”的策略将所证不等式的左边的“1”代换成字母形式． 反思：这是一道条件不等式的证明题，充分利用条件是证题的关键，此题要注意“1”的整体代换及三个“＝”必须同时取到．题型四 利用均值不等式解恒成立问题【例4】已知不等式(x ＋y )(1x ＋ay)≥9对任意正实数x ，y 恒成立，求正实数a 的最小值．分析：反思：恒成立问题是数学问题中非常重要的问题，在此类问题的解法中，利用均值不等式和不等式的传递性求解是最重要的一种方法，在高考中经常考查．题型五 易错辨析【例5】已知0＜x ＜1，求f (x )＝2＋log 5x ＋5log5x 的最值．错解：f (x )＝2＋log 5x ＋5log5x≥2＋2log5x·5log5x＝2＋25，∴f (x )的最小值为2＋2 5.错因分析：a ＋b ≥2ab 的前提条件是a ，b ∈R ＋，∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴5log5x ＜0.∴不能直接使用均值不等式．【例6】求f (x )＝x2＋4x2＋3＋1的最小值． 错解：因为f (x )＝x2＋4x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1≥2＋1＝3，所以f (x )＝x2＋4x2＋3＋1的最小值为3.错因分析：忽视了等号成立的条件，事实上方程x2＋3＝1x2＋3无解，所以等号不成立，正确的处理方法是：利用函数的单调性求最值．1对于任意实数a ，b ，下列不等式一定成立的是( )． A ．a ＋b ≥2ab B ．a ＋b2≥abC ．a 2＋b 2≥2ab D ．b a ＋a b≥22已知a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝4，那么ab ( )． A ．有最大值2，有最小值－2 B ．有最大值2，但无最小值 C ．有最小值2，但无最大值 D ．有最大值2，有最小值03设x ，y 为正数，则(x ＋y )(1x ＋4y )的最小值为( )．A ．6B ．9C ．12D ．15 4若x ＞3，那么当x ＝________时，y ＝x ＋1x －3取最小值________． 5已知x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，则xy 的最大值为________． 答案：基础知识·梳理 1．≥ a ＝b 【做一做1】B2．(1)a ＋b 2≥ab a ＝b (2)算术平均值 几何平均值 两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值【做一做2－1】2 2 x ＞0⇒x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时，等号成立．【做一做2－2】112 ∵0＜x ＜13，∴1－3x ＞0.∴y ＝x (1－3x )＝13·3x (1－3x )≤13[3x ＋(1－3x)2]2＝112，当且仅当3x ＝1－3x ，即x ＝16时，等号成立．∴x ＝16时，函数取得最大值112.3．(1)x ＝y 14S 2(2)x ＝y 2P【做一做3】(1)215 (2)2254 (1)当xy ＝15时，x ＋y ≥2xy ＝215，当且仅当x ＝y ＝15时，等号成立．所以x ＋y 的最小值为215；(2)当x ＋y ＝15时，xy ≤x ＋y 2＝152，所以xy ≤2254，当且仅当x ＝y ＝152时，等号成立．所以xy 的最大值为2254.典型例题·领悟【例1】解：∵a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2ab ＋2ac ＋2bc .① ∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋ac ＋bc .②①式两边分别加上a 2＋b 2＋c 2，得 3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2＝1，∴a 2＋b 2＋c 2≥13.由②式，得3(ab ＋bc ＋ca )≤a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ac ＝(a ＋b ＋c )2＝1，∴ab ＋bc ＋ca ≤13.综上，知a 2＋b 2＋c 2≥13≥ab ＋bc ＋ca .【例2】解：1x ＋1y ＝(1x ＋1y )(2x ＋y )＝2＋2x y ＋y x ＋1＝3＋2x y ＋yx ≥3＋22x y ·yx＝3＋22， 当且仅当2x y ＝yx，即⎩⎪⎨⎪⎧y x＝22x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋2，y ＝22＋2时等号成立．∴1x ＋1y的最小值为3＋2 2. 【例3】证明：∵a ＋b ＋c ＝1，∴(1－a )(1－b )(1－c )＝(b ＋c )(a ＋c )(a ＋b )． 又∵a ，b ，c 都是正实数， ∴a ＋b 2≥ab ＞0，b ＋c 2≥bc ＞0，a ＋c 2≥ac ＞0.∴(a ＋b)(b ＋c)(a ＋c)8≥abc .∴(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc .当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．【例4】解：∵(x ＋y )(1x ＋a y )＝1＋a ＋y x ＋axy，又x ＞0，y ＞0，a ＞0， ∴y x ＋ax y ≥2y x ·ax y＝2a ， ∴1＋a ＋y x ＋axy≥1＋a ＋2a ，∴要使(x ＋y )(1x ＋ay )≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只需1＋a ＋2a ≥9恒成立即可．∴(a ＋1)2≥9，即a ＋1≥3，∴a ≥4， ∴正实数a 的最小值为4.【例5】正解：∵0＜x ＜1，∴log 5x ＜0.∴(－log 5x )＋(－5log5x )≥2(－log5x)·(－5log5x )＝2 5.∴log 5x ＋5log5x ≤－2 5.∴f (x )≤2－2 5. 当且仅当log 5x ＝5log5x ，即x ＝5－5时，等号成立，此时f (x )有最大值2－2 5.【例6】正解：f (x )＝x2＋4x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1＝x2＋3＋1x2＋3＋1.令t ＝x2＋3(t ≥3)， 则原函数变为f (x )＝t ＋1t ＋1，在区间[3，＋∞)上是增函数．所以当t ＝3时，f (x )＝t ＋1t ＋1取得最小值433＋1.所以当t ＝3，即x ＝0时，f (x )＝x2＋4x2＋3＋1取得最小值433＋1.随堂练习·巩固1．C 均值不等式要考虑正负情况，如果a ，b 不能保证是正值，则选项A ，B ，D 都不一定成立，只有选项C 对任意实数恒成立．2．A 这里没有限制a ，b 的正负，则由a 2＋b 2＝4，a 2＋b 2≥2|ab |，得|ab |≤2，所以－2≤ab ≤2，可知ab 的最大值为2，最小值为－2.3．B 因为x ，y 为正数，所以(x ＋y )(1x ＋4y )＝1＋4＋y x ＋4xy≥9，当且仅当y ＝2x 时，等号成立，故选B.4．4 5 y ＝x ＋1x －3＝x －3＋1x －3＋3≥2(x －3)×1x －3＋3＝5，当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时，y 取最小值5.5．116因为x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1， 所以xy ＝14x ·4y ≤14(x ＋4y 2)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即x ＝12，y ＝18时，等号成立．所以xy 的最大值为116.。
均值不等式1．不等式m 2＋1≥2m 中等号成立的条件是( ) A ．m ＝1 B ．m ＝±1 C．m ＝－1 D ．m ＝0 答案 A2．若0<a <b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a >a ＋b2>ab >b B ．b >ab >a ＋b2>aC ．b >a ＋b2>ab >aD ．b >a >a ＋b2>ab答案 C解析 ∵0<a <b ，∴2b >a ＋b ，∴b >a ＋b2.∵b >a >0，∴ab >a 2，∴ab >a .故b >a ＋b2>ab >a .3．如果0<a <b <1，P ＝log 12a ＋b2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝12log 12(a ＋b )，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P >Q >MB ．Q >P >MC ．Q >M >PD ．M >Q >P答案 B 解析 P ＝log 12a ＋b2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )＝log 12ab ， M ＝12log 12(a ＋b )＝log 12a ＋b ，∴只需比较a ＋b2，ab ，a ＋b 的大小，显然a ＋b2>ab ，又因为a ＋b2<a ＋b (由a ＋b >a ＋b24，也就是a ＋b4<1)，∴a ＋b >a ＋b2>ab .而y ＝log 12x 为减函数，故Q >P >M ，选B.4．已知0<a <1,0<b <1，则a ＋b,2ab ，a 2＋b 2,2ab 中最大的是________． 答案 a ＋b解析 方法一 ∵a >0，b >0， ∴a ＋b ≥2ab ，a 2＋b 2≥2ab ， ∴四个数中最大数应为a ＋b 或a 2＋b 2. 又∵0<a <1,0<b <1， ∴a 2＋b 2－(a ＋b )＝a 2－a ＋b 2－b ＝a (a －1)＋b (b －1)<0， ∴a 2＋b 2<a ＋b ，∴a ＋b 最大． 方法二 令a ＝b ＝12，则a ＋b ＝1，2ab ＝1，a 2＋b 2＝12，2ab ＝2×12×12＝12，再令a ＝12，b ＝18，a ＋b ＝12＋18＝58，2ab ＝212·18＝12，∴a ＋b 最大．1．两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当…时，取‘＝’号”这句话的含义要有正确的理解．一方面：当a ＝b 时，a ＋b2＝ab ；另一方面：当a ＋b2＝ab 时，也有a ＝b .2．由均值不等式变形得到的常见的结论： (1)ab ≤(a ＋b2)2≤a 2＋b 22；(2)ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R +)；(3)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)；(4)(a ＋b )(1a ＋1b)≥4(a ，b ∈R +)；(5)a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .。
3．2 均值不等式 (二)1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．1．已知x ，y 都是正数，若x ＋y ＝s (和为定值)，那么xy 有最大值还是最小值？如何求？答 xy 有最大值．由均值不等式，得s ＝x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤s 24，当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24. 2．已知x ，y 都是正数，若xy ＝p (积为定值)，那么x ＋y 有最大值还是最小值？如何求？ 答 x ＋y 有最小值. 由均值不等式，得x ＋y ≥2xy ＝2p .当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p .1．用均值不等式求最值的结论(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值，且这个值为s 24. (2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值，且这个值为2p .2．均值不等式求最值的条件(1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足.要点一 均值不等式与最值例1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x的最小值，并求此时x 的值； (2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值； (3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(4)已知x >0，y >0，且 1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值． 解 (1)当x >0时，x ＋4x ≥2 x ·4x ＝4，当且仅当x ＝4x，即x 2＝4，x ＝2时取等号． ∴函数y ＝x ＋4x(x >0)在x ＝2时取得最小值4. (2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2≤2hslx3y3h 2x ＋(3－2x )243－x＋(3－x )6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×19x (x ＋1)＋90032(3－2t ＋1)＋3(x －2)＋1x －2． (2)∵a v ＋b v ≥2ab ，当且仅当av ＝b v ，即v ＝ab 时，取“＝”． 若a b ≤c ，当v ＝ab 时，y min ＝2s ab ； 若ab >c ，下面用单调性来求y 的最小值．设0<v 1<v 2≤c ，y 1－y 2＝s (a v 1＋b v 1－a v 2－b v 2)＝s (v 1－v 2)(b －a v 1v 2)＝s (v 1－v 2)b v 1v 2－a v 1v 2.∵v 1－v 2<0,0<v 1<v 2≤c ，∴b v 1v 2<bc 2<a ，∴y 1－y 2>0.∴y ＝s (b v ＋a v )在(0，c (6－y )＋y 2hslx3y3h 2＝272. 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y . 方法一 ∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝4. 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小． 方法二 由xy ＝24，得x ＝24y .∴l ＝4x ＋6y ＝96y ＋6y ＝6(16y ＋y )≥6×216y·y ＝48. 当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x ＝6. 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．。
§3.2均值不等式13材拓展1. 一个常用的均值不等式链 设a>0, b>0,则有：2a + bmin{ a , b} < 1<abw —< max{a ,b},(1) a , b € R ，都有ab w ©严w 色严成立.(2) a 2 + b 2> 2ab 可以加强为a 2 + b 2> 2|a| |b|,当且仅当|a|=|b|时取等号. (3) a , b , c € R ，都有 a 2 + b 2 + c 2> ab + bc + ca 成立.a b⑷若ab>0，则^ + a 》2.3. 利用均值不等式求最值的法则d _ a + b 均值不等式，ab w数)常用于证明不等式或求代数式的最值.(1)当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即 ab w 号 2,当且仅当a = b 时, 等号成立.(2)当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值，即a +b >2 ab ，当且仅当a = b 时,等号成立.注意：利用均值不等式求代数式最值，要注意满足三个条件： ①两个正数；②两个正数的积或和为定值；③取最值时，等号能成立.概括为“一正、二定(值)、三相等”.k4. 函数f(x)= x + x (k>0)的单调性在求最值中的应用 有些最值问题由于条件的限制使等号取不到， 其最值又确实存在，我们可以利用函数f(x)k=x + x (k>0)的单调性加以解决.利用函数单调性的定义可以证明函数f(x) = x + - (k>0)在(0, ■. k ］上单调递减，在［.k , +x8)上单调递增.因为函数f(x)= x + x (k>0)是奇函数，所以f(x)= x + x (k>0)在(一8, — . k ］上为增函数， 在［—k , 0)上为减函数.k函数f(x) = x + - (k>0)在定义域上的单调性如右图所示.x5当且仅当a = b 时，所有等号成立. 若a>b>0，则有：2.均值不等式的拓展x€ (0, n的最小值. 例如：求函数f(x)= sin2x + -,sin x.25解 令 t = sin x , x € (0, n, g(t) = t + -.t € (0,1]，易知g(t)在(0,1]上为单调递减函数, 所以当 t = 1 时，g (t) min = 6.即 sin x = 1 , X =n 时，f(x)min = 6.一、利用均值不等式求最值方法链接：均值不等式是求函数最值的有利工具，在使用均值不等式求函数最值时，要注意应用条件“一正、二定、三相等”.不要仅仅关注结构上的定值， 而忽略对相等条件的考察.解 设 t = "J x + 2,从而 x = t 2- 2(t >0)，则 y =当 t = 0 时，y = 0;当 t>0当且仅当2t = 1，即t =¥时等号成立. 即当x = — 3时,y max =于. 二、 利用均值不等式解恒成立问题方法链接：含参数的不等式恒成立问题， 通过分离参数，把参数的范围化归为函数的最 值问题.a>f(x)恒成立? a>[f(X )]max , a<f(x)恒成立? a<[f(x)]min .【例2】已知f(x)= 32x — (k + 1)3x + 2,当x € R 时，f(x)恒为正值，则k 的取值范围是( )A .(―汽一1)B . (— a, 2 ,2— 1)C . ( — 1,2 .2 — 1)D . (— 2 2 — 1,2 2 — 1)解析 由 f(x)>0 得 32x — (k + 1) 3x + 2>0 , 解得 k + 1<3x + 令，而 3x + 3x > 2 .2, ••• k + 1<2 2, k<2 2 — 1. 答案 B三、 利用均值不等式证明不等式方法链接：证明不等式时应根据求证式两端的结构， 合理选择重要不等式及其变形不等式；本题的证明方法在论证对称不等式时具有一定的普遍性.【例 3】已知 a>2，求证:log a (a — 1) log a (a +1)<1. 证明 因为 a>2，所以 log a (a — 1)>0, log a (a + 1)>0. 又 log a (a — 1)丰 log a (a +1), log a a — 1 + log a a + 1/ /1 ”丿、¥ ・2匕乙\5] J^^ya's I ] JF 212 12=2〔og a (a — “Vqlog a a = 1.所以 log a (a — 1)log a (a + 1)<1.即 sin x = 1, x = 【例1】求函数y = 乂+ 2的最大值.2x + 52 /2t + 1四、均值不等式的实际应用方法链接：应用均值不等式解决实际问题时，要注意把要求最值的变量设为函数，列函数解析式时，要注意所设变量的范围.例4 某公司计划用一块土地建造一幢总面积为 A m2的办公大楼，已知征地的费用是2 388元/m2，每层的建筑面积相同，土地的征用面积是每层面积的 2.5倍，经工程技术人员核算，第一、二层的建设费用相同，费用为445元/m2,以后每增高一层，建筑费用就增加30元/m2,试设计这幢办公楼的楼层数，使总费用最少，并求其最少总费用. (总费用=建筑费用+征地费用)解设建造这幢办公楼的楼层数为n,总费用为y元，当n = 1 时，y= 2.5 A 2 388 + 445A = 6 415A(元),A当n = 2 时，y= 2.5 刁 2 388 + 445A = 3 430A(元),A 2A A A当n>3 时，y= 2.5 下 2 388 + 445 〒 + (445 + 30) + (445 + 60) +…+ ［445 + 30(n-A A ------------2)］ n = 6 000 n + 15nA + 400A > 2A 6 000 X 15 + 400A=1 000A(元)(当且仅当n = 20时取等号).即n = 20时，有最小值1 000A元，所以，当建造这幢办公楼的楼层数为20时，总费用最少，为1 000A元.区突破1.忽略应用均值不等式的前提条件而致错5【例1】求f(x)= 2 + log2x+iogn0<x<1)的最值.5［错解］f(x)= 2+ Iog2x+ —> 2+2 :log2x lot 2+2 5…f(x)min = 2+ 2 , 5.这实际是一个错解，错在哪里？请你找出来.5［点拨］•/ 0VXV1 , •••Iog2xv0, ］og z x<0，不能直接运用公式.［正解］••• 0VXV1 ,•••( - log2X)>0, >0.X- log2x) + -点》2 log2x -急=2 5.•••log z x+T"^w-2 5.log2x• f(x) = 2 + log2x+l og5"x< 2 - 2 .5.当且仅当log2X=jo5x时，即x = 2 .5时取等号.• f(x)［正解］利用三角代换可避免上述问题.m = v a COS a-m+ n = a, •••设(a€ ［0,2 力),n=/a sin ax=/b cos 3 ••• x2+ y2= b, •••设$ (3€ ［0,2 n)y = {5 sin 3• mx+ ny= abcos a cos 3+ . absin osin 3=^/ab(cos acos 3+ sin a sin 3 = ^/abcos( a— 3 w ^ab--(mx+ ny)max= \：ab,1 1【例3】已知x>0 , y>0，且x+ 2y= 1,求-+丄的最小值.x y［错解］因为x>0, y>0,且x+ 2y= 1,x+〉G+ 1：(x+ 2y)》2昭X 2何=4返1 1所以- + -的最小值为4 2.x y［点拨］上述解答是错误的，错因是连续两次使用均值不等式解题忽视了等号成立的一致性.［正解］因为x>0, y>0，且x+ 2y= 1,所以1+1=注 + _= 1+ 2 + x y x y=3+ 2 2.当且仅当牛鸽x + 2y=1,即x = 2—1, y= 1 —宁时，取得等号所以：+1的最小值为3+2逅2.忽略等号成立的条件而致错【例2】已知m2+ n2= a, x2+ y2= b (a、b为大于0的常数且2 2 2 2m + x n + y［错解］T mx w —2，ny w -,b),求mx+ ny的最大值.m2+ x2 n2+ y2 m2+ n2+ x2+ y2 a+ b /• mx+ny w —2— +当且仅当m = x, n = y时取“=”［点拨］如果m = x, n=y,则会有m2+ n2= x2+ y2= a= b，这与条件b”矛盾，如果m = x, n = y中有一个不成立，则=”取不到，则不满足使用均值不等式的条件.□题多解例若正数a, b满足ab= a + b+ 3,求ab的取值范围解方法一把代数式ab转化为a(或b)的函数.a+ 3ab = a + b+ 3, b = b>0, a>1.a- 12 2 2a + 3a (a—1 )+ 5a-1 (a—1 )+ 5(a—1 + 4--ab = = =a-1 a -1 a-14=(a —1) + + 5a- 1a>1 ,二a —1>0,二(a —1) + 》2叫/(a—1 •= 4.a- 1 弋a —1••• ab>9，当且仅当a- 1 ==，即a = 3, b= 3 时，取“=”.a - 1方法二利用均值不等式a + b > 2可，把a + b转化为ab,再求ab的范围.a+ b》2、.;ab, •- ab = a + b + 3》2 ab + 3.• ab-2 ab - 3》0, •• C ab-3)( ab+ 1)》0.•ab》3, • ab》9,从以上过程可以看出：当且仅当 a = b= 3时，取“=”.方法三把a, b视为一元二次方程x2+ (3- ab)x + ab= 0的两个根，那么该方程应有两个正根.X1 X2= ab>0所以有：X1+ X2= ab- 3>02I △= (3 —ab J —4ab》0其中由△= (3 —ab)2—4ab= a2b2—10ab + 9=(ab—9)(ab—1)》0，解得ab》9 或ab< 1.-X1 + X2 = ab —3>0, ab》9.又ab= a + b + 3, a+ b= 6,•当且仅当a= b = 3时取“=”.题赏析1 41.已知a>, b>o,a+ b=2，则y=1+4的最小值是(B. 4C.|D. 51 4 a + b 5 2a b 5 2a b 9(2 +b)(〒)=2 +(7 +刃》2+ 2行•aP解析•/ a + b = 2, a+ b 2（当且仅当2a=》，即b = 2a时，“=”成立），故y = ~+ f的最小值为9b 2a a b 2答案Ca b 112.（2009天津）设a>0, b>0,若.3是3与3b的等比中项，贝V匚+匚的最小值为（）a b1A . 8 B. 4 C. 1 D.T4解析由题意知3a 3b= 3,即卩3a+ b= 3,所以a+ b= 1.因为a>0, b>0，所以1+ b = £ @+ b）= 2+ £+ >2+ 2 b a= 4，当且仅当 a = b时，等号成立. '答案B赏析本题考查了等比中项的概念、均值不等式，解答本题时要注意等号成立的条件是否具备，防止最小值取不到.。
均值不等式沈阳市第三十六中学连奎奎教材说明人教B版普通高中课程标准实验教科书〔必修五〕课题均值不等式一课型新授课课时2课时学情分析（一）从学生知识层面看：学生对不等式的概念和性质有了感性的认识，在探究学习和应用实习的过程中，会解决最简单的关于不等式的问题（二）从学生素质层面看：所任班级的学生已经具有较好的逻辑思维能力，因此他们希望能够自己探索、发现问题和解决问题，增强数学应用意识，提高分析问题、解决问题的能力他们更需要充满活力与创造发现的课堂教学内容分析本节课?均值不等式?是?数学必修五〔人教B版〕?第三章第二节的内容，主要内容是通过现实问题进行数学实验猜测，构造数学模型，得到均值不等式；并通过在学习算术平均数与几何平均数的定义根底上，理解均值不等式的几何解释；与此同时在推导论证的根底上进行公式的推广并学会应用均值不等式是这一章的核心，对于不等式的证明及利用均值不等式求最值等应用问题都起到了工具性作用。
有利于学生对后面不等式的证明及前面函数的一些最值、值域进一步拓展与研究，起到承前启后的作用教学目标依据新课程标准和学生的知识结构与认知水平，确定本节课的教学目标位：（一）知识与技能：通过“从生活中发现问题，实验中分析问题，设计中解决问题、总结问题，论证后延拓问题〞五个环节使学生深刻理解均值不等式，明确均值不等式的使用条件，能用均值不等式解决简单的最值问题（二）过程与方法：通过情境设置提出问题、揭示课题，培养学生主动探究新知的习惯；引导学生通过问题设计，模型转化，类比猜测实现定理的发现，体验知识与规律的形成过程；通过模型比照，多个角度、多种方法求解，拓宽学生的思路，优化学生的思维方式，提高学生综合创新与创造能力（三）情感态度与价值观：通过问题的设置与解决使学生理解生活问题数学化，并注重运用数学解决生活中的实际问题，有利于数学生活化、群众化；同时通过学生自身的探索研究领略获取新知的喜悦教学重点依据新课程标准和教材知识内容的特点，确定均值不等式的推导与证明，均值不等式的使用条件为教学重点教学难点由于学生对知识的迁移应用能力一般，因此均值定理的三个条件作为本节的教学难点教学策略选择与设计本节课主要采用启发引导式的教学策略通过设计问题引出课题，通过启发引导解决问题、总结问题、论证问题、延拓问题等环节让学生领悟科学的探究方法，增强学生的探究能力在教学中指导学生展开联想，大胆探索，以训练和培养学生的思维能力教学资源与手段学案、教科书以学案提纲辅助多媒体课件，创设问题情境，激发学习兴趣，提高课堂效率小组讨论，培养团队合作精神教学过程设计教学反思对一题多解的反思同一道数学题，从不同的角度思考可得到多种解题思路，广泛寻求多种解法，有助于拓宽解题思路，开展观察、想象、探索、思维等能力解需有法，解无定法，大法必依，小法必活本节课在一题多解上学生讨论的非常积极，给出了很多可行的，还有不太完善的方法这足以说明他们真的动脑思考了，培养了解决问题的能力解需有法，解无定法，大法必依，小法必活。
教学设计内容要求
实
2 引出第一种均制定理的证明方法。
讲授新课一、均值定理的内容
记笔记第一遍记忆
PPT
逐步显示
3
二、均值定理的变形
推出并逐步
了解
增强理解 2 三、几何法证明
动手实践另一种证明折纸11
爱国主义教
育四、介绍数学家赵爽（三国时期东吴的数学
家）和北京第24届国际数学家大会会标
朗读
进行爱国主
义教育
PPT PPT
展示
2 五、应用举例
学生思考解
答
初步应用PPT展示15
六、小结
再对定理记
学生归纳
PPT展示 2
忆和认知
学习效果评价
评价方式：教学目标制定符合学生实际，教学重点、难点处理得当，内容布局合理，衔接自然，教学方法灵活多样；注重启发引导，电化教学手段运用恰当，PPT手段提高了教学效率，激发了学生学习兴趣，调动学生学习积极性，教学环节安排紧凑合理，与学生思维比较合拍；教态自然，讲练结合，教学效果良好。
本教学设计与以往未使用信息技术教学设计相比的特点300-500字数本教学设计与以往对比，未使用现代信息技术，讲课时比较枯燥无味，抄题浪费时间，学生积极性不太高，吸引不了学生注意力，课容量不太大；本教学设计使用了PPT，对于新课引入，调动学生积极性，培养学生自主学习能力，激发学生学习兴趣起到了很大的促进作用。
通过例题板演，学生互相交流，提高严谨与求实的学习作风，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度，自主探究知识发生发展的过程并发现结论，让学生真正体会到学习的快乐、成就感，达到预期的教学效果。
教学反思。
明目标、知重点 1.熟练掌握均值不等式及变形的应用.2.会用均值不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用均值不等式解决生活中的应用问题．1．用均值不等式求最值的结论(1)设x ，y 为正实数，若x ＋y ＝s (和s 为定值)，则当x ＝y 时，积xy 有最大值为s 24.(2)设x ，y 为正实数，若xy ＝p (积p 为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值为2p . 2．均值不等式求最值的条件 (1)x ，y 必须是正数；(2)求积xy 的最大值时，应看和x ＋y 是否为定值；求和x ＋y 的最小值时，应看积xy 是否为定值．(3)等号成立的条件是否满足．前一节课我们已经学习了均值不等式，我们常把a ＋b2叫做正数a 、b 的算术平均数，把ab 叫做正数a 、b 的几何平均数．本节我们就最值问题及生活中的实际例子研究它的重要作用． 探究点一 均值不等式与最值思考1 已知x ，y 都是正数，若x ＋y ＝s (和为定值)，那么xy 有最大值还是最小值？如何求？ 答 xy 有最大值．由均值不等式，得s ＝x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤s 24，当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24.思考2 已知x ，y 都是正数，若xy ＝p (积为定值)，那么x ＋y 有最大值还是最小值？如何求？ 答 x ＋y 有最小值．由均值不等式，得x ＋y ≥2xy ＝2p .当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p .例1 求函数f (x )＝－2x 2＋x －3x (x >0)的最大值，及此时x 的值．解 f (x )＝1－(2x ＋3x )．因为x >0，所以2x ＋3x≥22x ·3x＝26， 得－(2x ＋3x )≤－2 6.因此f (x )≤1－2 6.当且仅当2x ＝3x ，即x 2＝32时，式中等号成立．由于x >0，因而x ＝62时，式中等号成立． 因此f (x )max ＝1－26，此时x ＝62. 反思与感悟 在利用均值不等式求最值时要注意三点：一是各项均为正；二是寻求定值，求和式最小值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值(恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧)；三是考虑等号成立的条件．跟踪训练1 (1)若x >0，求函数y ＝x ＋4x 的最小值，并求此时x 的值；(2)设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；(3)已知x >2，求x ＋4x －2的最小值；(4)已知x >0，y >0，且 1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．解 (1)当x >0时，x ＋4x≥2x ·4x＝4， 当且仅当x ＝4x ，即x 2＝4，x ＝2时取等号．∴函数y ＝x ＋4x (x >0)在x ＝2时取得最小值4.(2)∵0<x <32，∴3－2x >0，∴y ＝4x (3－2x )＝2 ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(3－2x )22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立．∵34∈⎝⎛⎭⎫0，32. ∴函数y ＝4x (3－2x )(0<x <32)的最大值为92.(3)∵x >2，∴x －2>0， ∴x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2≥2(x －2)·4x －2＋2＝6， 当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时，等号成立．所以x ＋4x －2的最小值为6.(4)方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9xy ＋10 ≥6＋10＝16，当且仅当y x ＝9x y ，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二 由1x ＋9y ＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．可知x >1，y >9，∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10 ≥2(x －1)(y －9)＋10＝16，当且仅当x －1＝y －9＝3，即x ＝4，y ＝12时上式取等号， 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16. 探究点二 均值不等式在实际问题中的应用例2 一个矩形的面积为100 m 2.问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？分析 在题中，矩形的长与宽的积是一个常数，求长与宽的和的两倍的最小值．解 设矩形的长、宽分别为x (m)、y (m)， 依题意得xy ＝100(m 2)． 因为x >0，y >0，所以x ＋y2≥xy .因此2(x ＋y )≥4100，即2(x ＋y )≥40.当且仅当x ＝y 时，式中等号成立，此时x ＝y ＝10.因此，当这个矩形的长和宽都是10 m 时，它的周长最短，最短周长为40 m.反思与感悟 利用均值不等式解决实际问题时，一般是先建立关于目标量的函数关系，再利用均值不等式求解目标函数的最大(小)值及取最大(小)值的条件．跟踪训练2 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ 解 设该厂每隔x 天购买一次面粉，其购买量为6x 吨． 由题意可知，面粉的保管等其他费用为 3×＝9x (x ＋1)．设平均每天所支付的总费用为y 1元， 则y 1＝1x ＋6×1 800＝9x ＋900x ＋10 809≥29x ·900x＋10 809＝10 989(元)，当且仅当9x ＝900x，即x ＝10时，等号成立．∴该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．例3 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4 800 m 3，深为3 m ，如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，问怎样设计水池才能使总造价最低？最低总造价是多少元？解 设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为4 8003xm ．又设水池总造价为y 元，根据题意，得y ＝150×4 8003＋120×(2×3x ＋2×3×4 8003x )＝240 000＋720×⎝⎛⎭⎫x ＋1 600x ≥240 000＋720×2x ·1 600x＝297 600(元)，当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时，y 取得最小值297 600.答 水池底面为正方形且边长为40 m 时总造价最低，最低总造价为297 600元．反思与感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．跟踪训练3 一段长为36 m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解 设矩形菜园的长为x m ，宽为y m ，则2(x ＋y )＝36，x ＋y ＝18，矩形菜园的面积为xy m 2. 由xy ≤x ＋y 2＝182＝9，可得xy ≤81，当且仅当x ＝y ，即x ＝y ＝9时，等号成立．因此，这个矩形的长、宽都为9 m 时，菜园的面积最大，最大面积为81 m 2.1．设a >0，b >0，且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2 答案 C解析 由1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0得k ≥－(a ＋b )2ab ，而(a ＋b )2ab ＝b a ＋a b ＋2≥4，所以－(a ＋b )2ab ≤－4，因此要使k ≥－(a ＋b )2ab 恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.故选C. 2．已知x ≥52，则f (x )＝x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值52B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1答案 D解析 f (x )＝x 2－4x ＋52x －4＝(x －2)2＋12(x －2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2＋1x －2≥1.当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时等号成立．3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，故选C.4．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为________元． 答案 1 760解析 设水池的造价为y 元，长方形底的一边长为x m ， 由于底面积为4 m 2，所以另一边长为4x m ．那么y ＝120·4＋2·80·⎝⎛⎭⎫2x ＋2·4x ＝480＋320⎝⎛⎭⎫x ＋4x ＝480＋320⎝⎛⎭⎫x ＋4x ≥480＋320·2x ·4x＝1 760(元)． 当x ＝2，即底为边长为2 m 的正方形时，水池的造价最低，为1 760元．1．用均值不等式求最值(1)利用均值不等式，通过恒等变形，以及配凑，造就“和”或“积”为定值，从而求得函数最大值或最小值．这种方法在应用的过程中要把握下列三个条件：①“一正”——各项为正数；②“二定”——“和”或“积”为定值；③“三相等”——等号一定能取到．这三个条件缺一不可．(2)利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用均值不等式的条件．(3)在求最值的一些问题中，有时看起来可以运用均值不等式求最值，但由于其中的等号取不到，所以运用均值不等式得到的结果往往是错误的，这时通常可以借助函数y ＝x ＋px (p >0)的单调性求得函数的最值． 2．求解应用题的方法与步骤：(1)审题；(2)建模(列式)；(3)解模；(4)作答．一、基础过关1．已知x >1，y >1且lg x ＋lg y ＝4，则lg x lg y 的最大值是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D.14答案 A解析 ∵x >1，y >1，∴lg x >0，lg y >0， lg x lg y ≤⎝⎛⎭⎪⎫lg x ＋lg y 22＝4，当且仅当lg x ＝lg y ＝2， 即x ＝y ＝100时取等号．2．已知点P (x ，y )在经过A (3,0)，B (1,1)两点的直线上，则2x ＋4y 的最小值为( ) A ．2 2 B ．42 C ．16 D ．不存在答案 B解析 ∵点P (x ，y )在直线AB 上，∴x ＋2y ＝3. ∴2x ＋4y ≥22x ·4y ＝22x ＋2y ＝4 2.3．函数y ＝log 2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1＋5 (x >1)的最小值为( )A ．－3B ．3C ．4D ．－4 答案 B解析 ∵x ＋1x －1＋5＝(x －1)＋1x －1＋6≥2 (x －1)·1x －1＋6＝8. ∴log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＋5≥3，∴y min ＝3.4．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b 的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5答案 C解析 ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b2＝1.∴1a ＋4b ＝(1a ＋4b )(a ＋b 2)＝52＋(2a b ＋b 2a )≥52＋2 2a b ·b 2a ＝92(当且仅当2a b ＝b2a，即b ＝2a 时，“＝”成立)，故y ＝1a ＋4b 的最小值为92.5．周长为2＋1的直角三角形面积的最大值为______． 答案 14解析 设直角三角形的两条直角边边长分别为a 、b ，则 2＋1＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ，解得ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝22时取“＝”，所以直角三角形面积S ≤14，即S 的最大值为14.6．一批货物随17列货车从A 市以v 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车的间距不得小于⎝⎛⎭⎫v202千米，那么这批货物全部运到B 市，最快需要________小时． 答案 8解析 设这批货物从A 市全部运到B 市的时间为t ，则 t ＝400＋16⎝⎛⎭⎫v202v ＝400v ＋16v400≥2 400v ×16v 400＝8(小时)，当且仅当400v ＝16v400，即v ＝100时等号成立，此时t ＝8小时．7．某种生产设备购买时费用为10万元，每年的设备管理费共计9千元，这种生产设备的维修费各年为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，而且以后以每年2千元的增量逐年递增，问这种生产设备最多使用多少年报废最合算(即使用多少年的年平均费用最少)? 解 设使用x 年的年平均费用为y 万元． 由已知，得y ＝10＋0.9x ＋0.2x 2＋0.2x2x ，即y ＝1＋10x ＋x10(x ∈N ＋)．由均值不等式知y ≥1＋210x ·x 10＝3，当且仅当10x ＝x10，即x ＝10时取等号．因此使用10年报废最合算，年平均费用为3万元． 二、能力提升8．若xy 是正数，则⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3 B.72 C ．4 D.92答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫x ＋12y 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋12x 2 ＝x 2＋y 2＋14⎝⎛⎭⎫1x 2＋1y 2＋x y ＋yx＝⎝⎛⎭⎫x 2＋14x 2＋⎝⎛⎭⎫y 2＋14y 2＋⎝⎛⎭⎫x y ＋yx ≥1＋1＋2＝4. 当且仅当x ＝y ＝22或x ＝y ＝－22时取等号． 9．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1 C.94 D ．3答案 B解析 由已知得z ＝x 2－3xy ＋4y 2(*)则xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4yx －3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2， 所以2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y2＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1.10．设x >－1，则函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值是________．答案 9解析 ∵x >－1，∴x ＋1>0， 设x ＋1＝t >0，则x ＝t －1， 于是有y ＝(t ＋4)(t ＋1)t ＝t 2＋5t ＋4t＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9， 当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时取等号，此时x ＝1.∴当x ＝1时，函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1取得最小值9.11．(1)已知x >0，求f (x )＝12x ＋3x 的最小值；(2)已知x <3，求f (x )＝4x －3＋x 的最大值； (3)设x >0，y >0，且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． 解 (1)∵x >0，∴f (x )＝12x＋3x ≥212x·3x ＝12， 当且仅当3x ＝12x ，即x ＝2时取等号．∴f (x )的最小值为12. (2)∵x <3，∴x －3<0.∴f (x )＝4x －3＋x ＝4x －3＋x －3＋3＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫43－x ＋3－x ＋3≤－243－x·(3－x )＋3 ＝－1，当且仅当43－x ＝3－x ，即x ＝1时取等号．∴f (x )的最大值为－1.(3)方法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x .∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2x x －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10 ≥2(x －8)×16x －8＋10 ＝18.当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立． ∴x ＋y 的最小值是18.方法二 由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0，得8x ＋2y＝1. ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y＝8y x ＋2x y ＋10≥2 8y x ·2x y ＋10＝18. 当且仅当8y x ＝2x y，即x ＝2y ＝12时等号成立． ∴x ＋y 的最小值是18.12．某建筑公司用8 000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4 000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x (x ≥12)层，则每平方米的平均建筑费用为Q (x )＝3 000＋50x (单位：元)．为了使楼房每平方米的平均综合费用最小，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积) 解 设楼房每平方米的平均综合费用为f (x )元，依题意得f (x )＝Q (x )＋8 000×10 0004 000x＝50x ＋20 000x＋3 000(x ≥12，x ∈N )， f (x )＝50x ＋20 000x＋3 000 ≥2 50x ·20 000x＋3 000＝5 000(元)．当且仅当50x ＝20 000x ，即x ＝20时上式取“＝” 因此，当x ＝20时，f (x )取得最小值5 000(元)．所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最小，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用最小值为5 000元．三、探究与拓展13．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解 (1)设每间虎笼长x m ，宽为y m ，则由条件知：4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18.设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .方法一 由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，∴26xy ≤18，得xy ≤272， 即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3. 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大．方法二 由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y . ∵x >0，∴0<y <6，S ＝xy ＝⎝⎛⎭⎫9－32y y ＝32(6－y )·y . ∵0<y <6，∴6－y >0，∴S ≤32·⎣⎢⎡⎦⎥⎤(6－y )＋y 22＝272. 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5.(2)由条件知S ＝xy ＝24.设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .方法一 ∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24，∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＝3y ，xy ＝24 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4. 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．方法二 由xy ＝24，得x ＝24y . ∴l ＝4x ＋6y ＝96y＋6y ＝6⎝⎛⎭⎫16y ＋y ≥6×2 16y·y ＝48. 当且仅当16y＝y ，即y ＝4时，等号成立，此时x ＝6. 故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．。
