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初一华杯赛试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数可能是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 都不是答案：C3. 计算下列表达式的结果是偶数的是：A. 3 + 5B. 4 × 6C. 7 - 3D. 2 × 3答案：B4. 一个数的平方等于它本身，这个数可能是：A. 0B. 1C. 0或1D. 都不是答案：C5. 下列哪个数是质数？A. 2B. 4C. 6D. 8答案：A二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的相反数是-8，这个数是________。
答案：87. 如果一个数的立方等于-27，那么这个数是________。
答案：-38. 一个数的平方根是4，那么这个数是________。
答案：169. 一个数的绝对值是10，这个数可能是________或________。
答案：10 或 -1010. 一个数的倒数是1/2，那么这个数是________。
答案：2三、解答题（每题5分，共20分）11. 计算下列表达式的值：(3x - 2) / (x + 1)，当x = 3时。
答案：将x = 3代入表达式，得到(3×3 - 2) / (3 + 1) = (9 - 2) / 4 = 7 / 4。
12. 一个长方形的长是宽的两倍，如果长和宽的和是20厘米，求长和宽各是多少？答案：设宽为x，则长为2x。
根据题意，x + 2x = 20，解得x = 20 / 3，所以宽为20 / 3厘米，长为40 / 3厘米。
13. 一个数的平方加上这个数的两倍等于21，求这个数。
答案：设这个数为x，根据题意，x^2 + 2x = 21。
解这个一元二次方程，得到x = 3 或 x = -7。
14. 一个班级有40名学生，其中1/4的学生是男生，求班级中女生的人数。
答案：班级中有1/4 × 40 = 10名男生，所以女生的人数为40 - 10 = 30名。
华杯赛初一试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个选项是正确的自然数的平方？A. 2.5² = 6.25B. 3.5² = 12.25C. 4.5² = 20.25D. 5.5² = 30.252. 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 所有选项3. 下列哪个分数是最简分数？A. 4/8B. 5/10C. 3/4D. 6/94. 一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是：A. 31.4厘米B. 62.8厘米C. 94.2厘米D. 188.4厘米5. 如果一个三角形的三个内角之和是180度，那么这个三角形是：A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的绝对值是它本身，这个数是______或______。
7. 一个数的相反数是它本身，这个数是______。
8. 一个数的平方根是它本身，这个数是______或______。
9. 一个数的立方根是它本身，这个数是______。
10. 如果一个数的平方是16，那么这个数是______或______。
三、解答题（每题5分，共20分）11. 计算下列表达式的值：(-2)³ + √4 - 2π。
12. 一个长方体的长、宽、高分别是8厘米、6厘米和5厘米，求它的体积。
13. 一个直角三角形的两个直角边分别是3厘米和4厘米，求它的斜边长度。
14. 一个圆的直径是14厘米，求它的面积。
四、应用题（每题10分，共20分）15. 某班级有40名学生，其中15名学生参加了数学竞赛，求班级中未参加数学竞赛的学生人数。
16. 一个农场主有一块长200米，宽150米的长方形土地，他想在这块土地上种植小麦，如果每平方米土地可以种植5千克小麦，那么这块土地总共可以种植多少千克小麦？答案：一、选择题1. D2. D3. C4. B5. D二、填空题6. 正数，07. 08. 0，19. 0，1，-110. 4，-4三、解答题11. (-2)³ + √4 - 2π = -8 + 2 - 2*3.14159 ≈ -8.2831812. 体积 = 长× 宽× 高= 8 × 6 × 5 = 240 立方厘米13. 斜边长度= √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5 厘米14. 面积= π × (直径/2)² = 3.14159 × (14/2)² ≈ 153.94 平方厘米四、应用题15. 未参加数学竞赛的学生人数 = 40 - 15 = 25 人16. 种植小麦的总量 = 土地面积× 每平方米种植量= 200 × 150 × 5 = 150000 千克结束语：本次华杯赛初一试题及答案涵盖了基础数学知识，旨在考察学生的计算能力、逻辑推理能力以及解决实际问题的能力。
初一数学华杯赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是多少？A. 4B. ±4C. 16D. ±83. 一个长方形的长是宽的两倍，如果宽是5厘米，那么长是多少厘米？A. 5B. 10C. 15D. 204. 一个数的绝对值是5，这个数可能是？A. 5B. -5C. 5或-5D. 都不是5. 一个数加上8等于这个数的两倍，这个数是多少？A. 8B. 4C. 0D. 166. 以下哪个分数是最接近0的？A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/57. 一个圆的半径是3厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 28.26B. 18.84C. 9.42D. 3.148. 一个数的立方是-27，这个数是多少？A. -3B. 3C. -27D. 279. 以下哪个算式的结果是一个整数？A. 3 × 4 + 2B. 4 ÷ 2 - 1C. 5 × 3 - 2D. 6 ÷ 3 + 110. 一个数的平方根等于它本身，这个数是？A. 0B. 1C. -1D. 4二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的平方等于25，这个数是_________。
12. 如果一个数的绝对值是3，那么这个数可能是_________。
13. 一个数的立方等于-8，这个数是_________。
14. 一个数的倒数是1/4，这个数是_________。
15. 一个数的平方根是2，这个数是_________。
三、解答题（每题10分，共50分）16. 一个班级有40名学生，其中1/4的学生喜欢数学，1/5的学生喜欢英语。
请问喜欢数学和喜欢英语的学生总数是多少？17. 一个直角三角形的两条直角边分别是3厘米和4厘米，求这个三角形的面积。
18. 一个数的平方加上8倍的这个数等于64，求这个数。
2014年七年级华杯赛校内选拔试题班级 学号 姓名一.选择题：(共7小题，每小题5分，总计35分) 1. 计算(-2)2005+(-2)2006所得结果是 （ ）A. 2B. –2C. 1D. 220052．已知,,0b a b a ≠=+则化简)1()1(+++b baa ab 得( )．A ．2aB ．2bC ．十2D ．一23．使式子xx y z x 5201020092010201020092008--+有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ≠0B ．x ≠0且x ≠±402C ．x ≠0且x ≠402D ．x ≠0且x ≠－4024．如图，平行直线AB 、CD 与相交直线EF 、GH 相交，图中的同旁内角共有( ) ． A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对5．已知：13-x ＋14-x ＋15-x ＋…＋117-x 的值是一个确定的常数，则这个常数是（ ）A ．5B ．10C ．15D ．756．如图．正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形(阴影部分)的面积为( )．A ．22a a -π B ．222a a -π C ．2221a a -π D ．2241a a π-7．如图，梯形ABCD 被对角线分为4个小三角形，已知ΔAOB 和ΔBOC 的面积分别为25cm 2和35cm 2，那么梯形的面积是( ) m 2．A ．144B ．140C ． 160D ．无法确定二、填空题：（共8小题，每小题5分，共计40分）8．在数轴上，点A 、B 分别表示31 和51，则线段AB 的中点所表示的数是9． a 、b 、c 在数轴上的位置如图且b 2=c 2，化简：－|b|－|a －b|＋|a －c|－|b ＋c|=10．已知a 1+a 2=1,a 2+a 3=2,a 3+a 4=3,…，a 99+a 100=99，a 100+a 1=100,那么a 1+a 2+a 3+…a 100=11．如图，直线AB ∥CD ，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN ＝30°，∠CNP= 50°，则 ∠GHM12. 如图，一个啤酒瓶的高度为30cm ，瓶中装有高度12cm 的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度20cm, 则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为 . (瓶底的厚度不计)1层 2层 3层4层 图第n 层 … 图 20cm 30cm12cm ca13. 如图是由棱长为a 的小正方体堆积成的图形．若按照这样的规律继续摆放，第n 层需 要块小正方体（用含n 的代数式表示）. 14．军训基地购买苹果慰问学员，已知苹果总数用八进位制表示为abc ，七进位制表示为cba ，那么苹果的总数用十进位制表示为_______.15．一个七边形棋盘如图所示，7个顶点顺序从0到6编号，称为七个格子。
华杯赛试题及答案初一一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. -1答案：B2. 如果一个数的平方等于81，那么这个数是多少？A. 9B. -9C. 9 或 -9D. 81答案：C3. 一个长方体的长、宽、高分别是3cm、4cm和5cm，其体积是多少立方厘米？A. 12B. 60C. 120D. 240答案：B4. 一个数的绝对值是5，这个数可以是？A. 5B. -5C. 5 或 -5D. 都不是答案：C5. 以下哪个表达式的结果不是整数？A. 4 + 3B. 7 - 2C. 5 × 3D. 6 ÷ 2答案：D二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的相反数是-7，这个数是_________。
答案：77. 如果一个角是直角的一半，那么这个角的度数是_________。
答案：45°8. 一个数的平方根是4，这个数是_________。
答案：169. 一个数的立方是27，这个数是_________。
答案：310. 一个数的1/4加上2等于5，这个数是_________。
答案：12三、解答题（每题7分，共21分）11. 一个圆的半径是5厘米，求这个圆的周长和面积。
答案：周长= 2πr = 2 × 3.14 × 5 = 31.4厘米面积= πr² = 3.14 × 5² = 78.5平方厘米12. 一个班级有40名学生，其中1/5的学生是男生，求女生的人数。
答案：男生人数= 40 × 1/5 = 8人女生人数 = 40 - 8 = 32人13. 一个数列的前三项是2, 4, 6，如果这个数列是等差数列，求第10项的值。
答案：等差数列的公差 = 4 - 2 = 2第10项 = 2 + (10 - 1) × 2 = 2 + 9 × 2 = 20结束语本试题旨在考察初一学生对数学基础知识的掌握情况，希望同学们在解答过程中能够体会到数学的乐趣，不断提高自己的解题能力。
华杯初一决赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 一个等腰三角形的两个底角相等，如果顶角为60度，那么底角的度数是多少？A. 30度B. 45度C. 60度D. 90度答案：C3. 如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？A. 3B. -3C. 3或-3D. 9答案：C4. 一个数除以-1等于它本身，这个数是多少？A. 0B. 1C. -1D. 任何数答案：A5. 一个圆的直径是10厘米，那么它的半径是多少？A. 5厘米B. 10厘米C. 15厘米D. 20厘米答案：A6. 下列哪个分数是最简分数？A. 3/6B. 4/8C. 5/10D. 7/14答案：A二、填空题（每题5分，共30分）7. 一个数的相反数是-5，那么这个数是________。
答案：58. 如果一个数的绝对值是4，那么这个数可能是________或________。
答案：4或-49. 一个直角三角形的两个直角边长分别是3和4，那么斜边的长度是________。
答案：510. 一个数的立方等于-8，那么这个数是________。
答案：-211. 一个数的平方根是2，那么这个数是________。
答案：412. 一个数除以它本身等于1，这个数是________。
答案：非零数三、解答题（每题20分，共40分）13. 一个长方体的长、宽、高分别是10厘米、8厘米和6厘米，求这个长方体的体积。
答案：长方体的体积 = 长 ×宽 ×高 = 10厘米 × 8厘米 × 6厘米= 480立方厘米。
14. 一个数列的前三项是1、3、5，从第四项开始，每一项都是前三项的和。
求这个数列的第10项。
答案：数列的前几项是：1、3、5、9（1+3+5）、17（3+5+9）、33（5+9+17）、65（9+17+33）、129（17+33+65）、257（33+65+129）、513（65+129+257）。
华杯赛初一组试题及答案一、选择题（每题5分，共40分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 一个等腰三角形的两个底角相等，如果其中一个底角是45度，那么顶角是多少度？A. 45度B. 90度C. 135度D. 180度答案：B3. 如果一个数的平方等于36，那么这个数是多少？A. 6B. ±6C. 36D. ±36答案：B4. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，那么它的体积是多少？A. abcB. ab + bc + acC. a + b + cD. a/b + b/c + c/a答案：A5. 下列哪个分数是最简分数？A. 3/4B. 4/6C. 5/8D. 7/9答案：D6. 一个圆的半径是r，那么它的面积是多少？A. πrB. πr^2C. 2πrD. 2πr^2答案：B7. 如果一个数x满足方程x^2 - 5x + 6 = 0，那么x的值是多少？A. 2B. 3C. 2或3D. 以上都不是答案：C8. 一个等差数列的首项是a1，公差是d，那么它的第n项是多少？A. a1 + (n-1)dB. a1 - (n-1)dC. a1 + ndD. a1 - nd答案：A二、填空题（每题5分，共30分）9. 一个数的相反数是-5，那么这个数是______。
10. 一个数的绝对值是8，那么这个数可以是______或______。
答案：8或-811. 一个等腰直角三角形的斜边长是10，那么它的直角边长是______。
答案：5√212. 一个数列的前三项是1，2，3，如果每一项都是前一项的两倍，那么第10项是______。
答案：2^9 = 51213. 一个圆的周长是2πr，如果周长是12π，那么半径r是______。
14. 一个长方体的长、宽、高分别是2，3，4，那么它的表面积是______。
答案：5215. 一个数列的前三项是1，3，5，如果每一项都比前一项多2，那么第n项是______。
华杯赛初一试题及答案（正文）
一、华杯赛初一试题
1. 选择题
1) 下列哪个选项不属于五岳之一？
A. 泰山
B. 华山
C. 衡山
D. 黄山
2) 以下哪个是中国四大发明之一？
A. 火药
B. 纸
C. 吹风机
D. 印刷术
3) 中国的国花是什么？
A. 月季
B. 玫瑰
D. 牡丹
2. 填空题
1) 我国古代最伟大的发明家是______。
2) 现在世界上最高的山峰是_____。
3) 中国的首都是______。
3. 解答题
请用不少于50字回答下列问题：
1) 什么是五岳？
2) 简要介绍中国的四大发明。
二、华杯赛初一试题答案
1. 选择题答案
1) C
2) D
3) D
2. 填空题答案
1) 童蒙
2) 珠峰
3. 解答题答案
1) 五岳指的是中国被誉为"五岳"的五座著名山峰，分别是泰山、华山、黄山、衡山和恒山。
这些山峰在中国古代被认为是巍峨壮丽、雄伟险峻的象征，同时也具有宗教和文化上的重要意义。
2) 中国的四大发明包括造纸术、印刷术、火药和指南针。
造纸术的发明让人类有了记录历史和传播知识的可靠方法；印刷术的出现使书籍的制作和传播变得更加高效；火药的发明无疑对军事和烟花爆竹等领域产生了深远影响；指南针的使用让航海和探险成为可能，对地理探索起到了关键作用。
（文章结束）。
第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初一组）（时间: 2014年4月12日）一、填空（每题10分, 共80分）1. 计算: =÷-+-⨯+-÷--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯---÷+-⨯-]6)8()3[(12)3()]27(0[625.385|54|)2(16)5(3233 . 【答案】2-【解答】原式 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+-÷+--÷+-⨯-31312)3(27920)8(16)5(27=2611225299202135-=-=--+--. 2. 如图，由单位正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点, 以格点为顶点做了一个三角形, 记L 为三角形边上的格点数目, N 为三角形内部的格点数目, 三角形的面积可以用下面的式子求出来：顶点在格点的三角形的面积=121-+N L如果三角形的边上与内部共有20个格点, 则这个三角形的面积最大等于 , 最小等于 .【答案】17.5, 9【解答】（题目中的公式取自闵嗣鹤教授写的《格点与面积》一本小册子, 只用到顶点数目, 其说明也易于理解. 下面的说明也是取自该书）,根据顶点在格点图形的面积=121-+N L ,因为L 为三角形边上的格点数目, N 为图形内部的格点数目, 要使三角形面积最大, 则要求L 最小. 当L 最小的时候, 三角形只有三个顶点在格点上,其它的点在三角形的内部. 此时面积为17.5.这种图形是存在的, 在相邻的3列格点中, 三角形的三个顶点分别在其中一列上, 使得只有3个顶点在三角形的边上, 见下图.考虑面积最小的情况, 当所有的格点都在三角形的边上时, 面积最小. 取相邻两行格点, 三角形的一个顶点在其中一行, 底边包含19个格点在另一行, 此时面积为9, 见下图.下面叙述这个公式的一步步的说明过程.（1）考虑1+m 行, 1+n 列的矩形, 则图形内的点数为))((11--n m , 边上的点数为)(2n m +, 图形的面积为mn . 而1))(2(21)1)(1(-++--=n m n m mn . 因此公式成立.（2）对于直角三角形, 设直角边的长度分别为m , n . 设斜边上的点数为K , 则三角形内部的格点数为2211+---K n m ))((, 三条边上的格点数为1-++K n m .因此,1211212211+=-++++---mn K n m K n m )())((. 而三角形的面积为mn 21, 故公式成立. （3）对于一般的三角形, 有下面的三种方式：对于每个上述情况, 可以把这个三角形记为T , 放入一个矩形中. 这样把矩形分割成一些直角三角形, 矩形与T . 对这些直角三角形与矩形进行编号 ,3,2,1. 记i 个图形的内部格点数目为i N , 边上的格点数目为i L , 每个图形面积满足121-+i i L N . 注意到：a) 每个图形的内部格点一定是外部矩形的内部格点.b) 每个公共边上内部的格点属于两个图形.c) 公共边的端点可能为多个图形的顶点. 如上左图中A , B 属于两个图形边的顶点, C 为3个图形顶点.把每个点对应一个数, 图形内部的格点对应1, 图形边上的格点对应21. 这样用外部矩形面积公式减去T 之外的其他直角三角形与矩形面积公式.T 之内的格点为对应的数1, T 边上内部的格点对应的数为21211=-, T 的三个顶点对应数的和是21212212123-=⨯---, 公式中常数1对应的值为1121=-⨯--)(, 其他格点对应的数为0. 这样外部矩形面积公式减去T 之外的其他直角三角形与矩形面积公式= T 的内部格点数+⨯21(边的内部格点数3-)+(121+-) = T 的内部格点数+⨯21(边的内部格点数)1-,因此公式对T 成立.对其他两个图形也进行类似的讨论. 3. 长为4的线段AB 上有一动点C , 等腰三角形ACD 和等腰三角形BEC 在过AB 的直线同侧, DC AD =, EB CE =, 则线段DE 的长度最小为 .【答案】2.【解答】 分别从D , E 向AB 作垂线, 过D 或E 做与AB 的平行线, 可以得到一个矩形, 参见右图. 线段DE 最短等于该矩形平行于AB 的边的长度（由过一点D 或E 到另一直线的距离, 垂线最短的结论）. 三角形ACD 和三角形BCD 是等腰三角形, DE 最短等于AB 的一半, 即为2.4. 正整数c b a ,,满足等式, c b a =3, 且9432=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b a , 又6822=+b a , 则=c . 【答案】12.【解答】由 cb ac b a ++==33, 知 9439322222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==c b a c b a c b a , 所以,153499222=+=+)(b a c . 得1442=c , 12=c .5. 如图, 直角三角形ABC 中, F 为AB 上的点, 且FB AF 2=, 四边形EBCD 为平行四边形, 那么【答案】2【解答】连接FC , BD , 设kEF FD =, S S BFE =∆, 那么kS S BDF =∆, S k S S FBC BCD )1(+==∆∆. 由FB AF 2=可知kS S AFD 2=∆, 进而S k S A B C )41(+=∆, 得又所以)1(341k k +=+.解得, 2=k . 因此, EF FD 2=.6. 方程023=+++C Bx Ax x 的系数C B A ,,为整数, 5||,5||,5||<<<C B A , 且1是方程的一个根, 那么这种方程总共有 个.【答案】60【解答】由已知,b x a b x a x b ax x x C Bx Ax x --+-+=++-=+++)()1())(1(23223,其中, a , b 为实数, 于是有b C a b B a A -=-=-=,,1,并且得到a , b 为整数. 由题目条件得5||,5||,5|1|<<-<-b a b a .因此555564<<-+<<-<<-b b a b a ,,.当0=b 时, 由55,64<<-<<-a a , 得54<<-a , 即a 能够取8个整数值. 类似地, 当b 为1, 2, 3, 4 时, a 分别可以取9, 8, 7, 6个整数值. 同样地, 当1-=b 时, 由46,64<<-<<-a a , 得44<<-a , 即a 能能够取7个整数值. 类似地, 当b 为4,3,2---时, a 分别可以取6, 5, 4个整数值.这样, ),(b a 的取法, 亦即),,(C B A 的取法有60)4567()67898(=++++++++（种）所以, 这种方程共有60个.7. 一辆公交快车和一辆公交慢车沿某环路顺时针运行, 它们的起点分别在A站和B 站, 快车每次回到A 站休息4分钟, 慢车每次回到B 站休息5分钟, 两车在其他车站停留的时间不计. 已知沿顺时针方向A 站到B 站的路程是环路全程的52, 两车环行一次各需45分钟和51分钟（不包括休息时间）, 那么它们从早上6时同时出发, 连续运行到晚上10时, 两车同在B 站共 次.【答案】3【解答】记早上6时为第0分钟, 从6时到22时是 9606016=⨯分钟, 快车环行一周连同休息时间需49445=+分钟, 294919960+⨯=, 慢车环行一周连同休息时间需56551=+分钟, 85617960+⨯=. 即第960分钟时, 快车共环行了19次, 慢车环行了17次.设慢车第m 次（171≤≤m , 6点出发为第0次）到达B 站的时间为第 m T 分钟, 则有:556-=m T m .快车第1次到达B 站是在第185245=⨯ 分钟, 11491918960+⨯=-, 快车经过B 站共20次. 记第n 次（201≤≤n ）经过B 站的时间为n t 分钟, 则3149)1(4918-=-+=n n t n .两车同在B 站时, m , n 必须满足:m n m 563149556≤-≤-. 26495631n m ≤-≤推出31564926≤-≤m n , 73187726≤-≤m n . 既然m n 87-是整数, 故有4874≤-≤m n , 即得到二元整数方程:487=-m n .由上面的方程得,51,4≤≤=k k n ,得到:,4847=-⨯m k 127=-m k .所以, k 为奇数. 当k 为1, 3, 5时, m 分别为3, 10, 17, n 分别为4, 12, 20.所以, 快车和慢车同在B 站3次.8. 如果a , b , c 为不同的正整数, 且 222c b a =+¸那么乘积abc 最接近2014的值是 .【答案】2040【解答】解答1. 设如若平方数c ²取3m 或13+m 的形式, 那么a , b 中必有3的倍数, 不然c ²为23+m , 而与原设矛盾.如若设平方数c ²取5m 或5m ±1的形式, 那么, 要是a , b 都不是5的倍数, 则c ²必为5m 或5m ±2, 而与原设矛盾; 要是a , b 都是5m , 则c 为5的倍数, 要是a , b 是5m ±2, 则c 不是5的倍数, 而与题设矛盾, 则a , b 中必有5的倍数.若设平方数c ²取4m 或14+m 的形式, 要是a , b 都不是4的倍数, 则c ²必为24+m 的形式, 与题设矛盾. 故, a , b 中必有4的倍数.因而可知abc 必为3, 4, 5的公倍数, 且4, 5, 6的最小公倍数为60. 又 19803360=⨯, 3419802014=-, 20403460=⨯, 2620142040=-, 并且当17,8,15===c b a 时, 22217815=+, 204017815=⨯⨯.所以abc 中最接近2014的值是2040.解答2. 根据a , b , c 为不同的正整数, 满足222c b a =+, 则存在正整数)(,n m n m >, 使得22n m a -=, mn b 2=, 22n m c +=.所以)()(22222n m mn n m abc +-=.根据2)(2)2()()2()(222222222n m mn n m mn n m +=+-≤⨯-, 知道2)()(2)(3222222n m n m mn n m abc +≤+-=. （*） 当3=m 时, 根据n m >, n 最大为2,221972492233222222=+≤+≤+-=)()()()(n m n m mn n m abc . 另外4222222222m n m mn n m n m n m mn n m abc ≥++-=+-=)())(()()(. （**） 所以当7≥m 时,48042224222222=≥++-=+-=m n m mn n m n m n m mn n m abc )())(()()(.考察6,5,4===m m m , 把n 的所有情况代人公式)(2)(2222n m mn n m abc +-=有下表:所以abc 中最接近2014的值是2040.二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）9. 有三个农场在一条公路边, 如图A 、B 和C 处. A 处农场年产小麦50吨, B处农场年产小麦10吨, C 处农场年产小麦60吨. 要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦.假设运费从A 到C 方向是1.5元/吨千米, 从C 到A 方向是1元/吨千米. 问仓库应该建在何处才能使运费最低？A【答案】A 处【解答】设仓库离B 处x 公里 (靠C 处), 则运费为：109503010950)120(6015)50(505.1≥+=-+++⨯x x x x 元.设仓库离B 处x 公里 (靠A 处), 则运费为：10700510950)120(601050505.1≥-=+++-⨯x x x x ）（元.因此, 应该将仓库建在A 处.10. 如图, 在ABC Δ中, D 为BC 中点, FB AF 2=,AE CE 3=. 连接CF 交DE 于P 点, 求DPEP 的值. 【答案】3.【解答】如图所示, 连接EF , DF . 设x S BDF =Δ. 因为D 为BC 的中点, 所以x S FDC =∆, x S CFB 2=∆.因为BF AF 2=, 所以2==∆∆BFAF S S CFB CAF , 得x S CAF 4=∆. 因为31==∆∆CE AE S S EFC AFE , 所以x S EFC 3=∆. 因为DP PE S S S S CPD CEP DPF EFP ==∆∆∆∆, 所以3==∆∆FDC EFC S S DP PE . 11. 某地参加华杯赛决赛的104名小选手来自当地14所学校. 请你证明：其中一定存在两所学校选手的人数是相同的.【解答】如果结论不成立, 则这14所学校的选手数彼此互不相同. 也就是这14所学校的选手数是彼此不同的14个正整数. 而14个彼此不同的正整数之和最小为1051413121110987654321=+++++++++++++,104105>, 得出矛盾.所以这14所学校的选手数彼此不同不能成立. 因此, 一定存在两所学校选手的人数是相同的.12. 将一个四位数中的各数字和的两倍与这个四位数相加得2379. 求这个四位数.【答案】2353, 2347.【解答】设这个四位数为xyzw . 首先, 2=x . 因为 ,9,,0≤≤w z y 若1=x , 则有20552541999,54)(20=++≤++≤w z y ,与条件不符. 另一方面x 不能大于2. 于是, yzw xyzw 2=, 即有23792224101002000=+++++++w z y w z y .得到375312102=++w z y .容易验证, .2,1≠y 因此, .3=y 于是69312=+w z , 12369w z -=. 整数解： 4,7;5,3====z w z w . 所求四位数为：2353, 2347. 经验证, 都符合要求.三、解答下列各题（每小题15分, 共30分, 要求写出详细过程）13. 求质数c b,a,使得ab+bc=abc a+715.【答案】29,2,2===c b a ;11,5,11===c b a 或者13,3,13===c b a【解答】因为bc a |, 所以b a |或者c a |. 因为 a , b , c 都是质数, 所以b a =或者c a =.① 当b a =时,c a ac a a 2275=++,所以ac c a =++715,2112271⨯==--))((c a .若 ⎩⎨⎧=-=-27111c a , 得⎩⎨⎧==912c a , 与题意不符; 若⎩⎨⎧=-=-11721c a , 得⎩⎨⎧==1813c a , 也与题意不符; 若⎩⎨⎧=-=-17221c a , 得⎩⎨⎧==823c a , 也与题意不符. 若⎩⎨⎧=-=-22711c a , 得⎩⎨⎧==292c a , 与题意相符, 29,2,2===c b a 为一个答案. ②当c a =时,b a ac ab a 2715=++,所以b a ab a 2815=+, 由ab b =+815变化得到53151)8(×=×b=a -.若 ⎩⎨⎧==-1518b a , 得 ⎩⎨⎧==159b a , 与题意不符; 若 ⎩⎨⎧==-1158b a , 得 ⎩⎨⎧==123b a , 与题意不符; 若 ⎩⎨⎧==-538b a , 得 ⎩⎨⎧==511b a , 与题意相符, 11,5,11===c b a 为一个答案; 若 ⎩⎨⎧==-358b a , 得 ⎩⎨⎧==313b a , 与题意相符, 13,3,13===c b a 为一个答案.. 14. 如果正数10321,,,,a a a a 满足条件:,10,10,109432110321≤++++≤+≥≥≥≥a a a a a a a a a a那么210232221a a a a ++++ 的最大值是多少？【答案】100【解答】记⎪⎩⎪⎨⎧≤++++≤+≥≥≥≥)3(,10)2(,10)1(,109432110321a a a a a a a a a a 由 (2) 和 (3) 得2010321≤++++a a a a .根据 (1) 和 (2),,100)()()())((100)()()()(1002)(1022010)10(1021042432321221021024242323212221023222103212210232222210232222210232221≤-++-+-+-+=-++-+-+-+=++++++++-≤++++-=++++-≤++++a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a并且等号成立当且仅当乘积10210323212)(,,)(,)(a a a a a a a a a ---都等于0.取0,10104321======a a a a a ,或0,510654321========a a a a a a a ,则10321,,,,a a a a 都满足 (1), (2), (3), 并且100210232221=++++a a a a .综和上述讨论, 210232221a a a a ++++ 的最大值是100.。
华杯赛初一试题及答案一、选择题1. 下列哪个选项是正确的？A. 2 + 3 = 5B. 3 + 4 = 7C. 5 - 2 = 2D. 4 × 3 = 12答案：A2. 如果一个数的平方等于其本身，那么这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 以上都是答案：D二、填空题3. 一个数的立方是其本身，这个数可以是______。
答案：0 或 1 或 -14. 若a和b互为相反数，且a + b = 0，则a和b的值分别是______。
答案：a和b互为相反数，即a=-b三、解答题5. 计算下列表达式的值：(1) 2^3 - 3^2(2) (-2)^2 + 4 × (-3)答案：(1) 2^3 - 3^2 = 8 - 9 = -1(2) (-2)^2 + 4 × (-3) = 4 - 12 = -86. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，如果长方体的体积是底面积的两倍，求a、b、c之间的关系。
答案：根据题意，长方体的体积是V = abc，底面积是S = ab。
由题意知，V = 2S，即abc = 2ab，因此c = 2。
四、应用题7. 一个班级有50名学生，其中35名学生参加了数学竞赛，25名学生参加了物理竞赛，有10名学生两项竞赛都参加了。
请问：(1) 有多少名学生至少参加了一项竞赛？(3) 有多少名学生没有参加任何竞赛？答案：(1) 至少参加一项竞赛的学生数 = 参加数学竞赛的学生数 + 参加物理竞赛的学生数 - 两项都参加的学生数 = 35 + 25 - 10 = 50(2) 没有参加任何竞赛的学生数 = 总学生数 - 至少参加一项竞赛的学生数 = 50 - 50 = 0五、证明题8. 证明：对于任意的正整数n，n^3 - n 总是能被6整除。
答案：设n为任意正整数，我们有n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n + 1)(n - 1)。
由于连续的三个整数中至少有一个是2的倍数，至少有一个是3的倍数，所以n(n + 1)(n - 1)能被2和3整除，即能被6整除。
