专题：电磁感应导体棒问题

导体棒在磁场中的运动问题近十年的高考物理试卷和理科综合试卷中，电磁学的导体棒问题复现率很高，且多为分值较大的计算题。

为何导体棒问题频繁复现，原因是:导体棒问题是高中物理电磁学中常用的最典型的模型，常涉及力学和热学问题，可综合多个物理高考知识点，其特点是综合性强、类型繁多、物理过程复杂，有利于考查学生综合运用所学的知识，从多层面、多角度、全方位分析问题和解决问题的能力;导体棒问题是高考中的重点、难点、热点、焦点问题。

导体棒问题在磁场中大致可分为两类:一类是通电导体棒，使之平衡或运动;其二是导体棒运动切割磁感线生电。

运动模型可分为单导体棒和双导体棒。

（一）通电导体棒问题通电导体棒题型，一般为平衡型和运动型，对于通电导体棒平衡型，要求考生用所学的平衡条件(包含合外力为零0F=∑,合力矩为零0M=∑)来解答，而对于通电导体棒的运动型，则要求考生用所学的牛顿运动定律、动量定理以及能量守恒定律结合在一起，加以分析、讨论，从而作出准确的解答。

【例8】如图3-9-8所示，相距为d 的倾角为α的光滑平行导轨（电源的电动势E 和内阻r ，电阻R 均为己知）处于竖直向上磁感应强度为B 的匀强磁场中，一质量为m 的导体棒恰能处于平衡状态，则该磁场B 的大小为 ;当B 由竖直向上逐渐变成水平向左的过程中，为保持导体棒始终静止不动，则B 的大小应是 ，上述过程中，B 的最小值是 。

【解析】此题主要用来考查考生对物体平衡条件的理解情况，同时考查考生是否能利用矢量封闭三角形或三角函数求其极值的能力.将图3-9-8首先改画为从右向左看的侧面图，如图3-9-9所示，分析导体棒受力，并建立直角坐标系进行正交分解，也可采用共点力的合成法来做.根据题意0F =∑，即0,0xyFF==∑∑，即：sin 0x B F F N α=-= ① c o s 0y F F m g α=-= ②由①②得：t a n BF mgα=③ 由安培力公式：B F BId = ④由闭合电路欧姆定律EI R r=+⑤ 联立③④⑤并整理可得：()tan mg R r B Edα+=(2)借助于矢量封闭三角形来讨论，如图3-9-10所示在磁场由竖直向上逐渐变成水平的过程中，安培力由水平向右变成竖直向上，在此过程中，由图3-9-10看出B F 先减小后增大，最终0,B N F mg ==，因而磁感应强度B 也应先减小后增大.(3)由图3-9-10可知，当B F 方向垂直于N 的方向时B F 最小，其B 最小，故：sin B F mgα= ⑥而：B F BId = ⑦ EI R r=+ ⑧ 联立⑥⑦⑧可得：sin Emg Bd R rα=+， 即min ()sin mg R r B Bdα+=【答案】()tan mg R r Edα+,先减小后增大()sin mg R r Bdα+点评:该题将物体的平衡条件作为重点，让考生将公式和图象有机地结合在一起，以达到简单快速解题的目的，其方法是值得提倡和借鉴的。

2023届高三物理一轮复习重点热点难点专题特训专题67 电磁感应现象中的单棒问题特训目标 特训内容目标1 阻尼式单棒问题（1T —5T ） 目标2 电动式单棒问题（6T —10T ） 目标3发电式单棒问题（11T —15T ）一、阻尼式单棒问题1．如图所示，左端接有阻值为R 的定值电阻且足够长的平行光滑导轨CE 、DF 的间距为L ，导轨固定在水平面上，且处在磁感应强度为B 、竖直向下的匀强磁场中，一质量为m 、电阻为r 的导体棒ab 垂直导轨放置且静止，导轨的电阻不计。

某时刻给导体棒ab 一个水平向右的瞬时冲量I ，导体棒将向右运动，最后停下来，则此过程中（ ）A ．导体棒做匀减速直线运动直至停止运动B ．电阻R 上产生的焦耳热为22I mC ．通过导体棒ab 横截面的电荷量为I BLD ．导体棒ab 运动的位移为22IRB L 【答案】C【详解】A ．导体棒获得向右的瞬时初速度后切割磁感线，回路中出现感应电流，导体棒ab受到向左的安培力，向右减速运动，由22B L vma R r =+可知，由于导体棒速度减小，则加速度减小，所以导体棒做的是加速度越来越小的减速运动直至停止运动，A 错误；B ．导体棒减少的动能22211()222k I I E mv m m m ===根据能量守恒定律可得k E Q =总又根据串并联电路知识可得22()R R I R Q Q R r m R r ==++总，B 错误； C ．根据动量定理可得0BIL t mv -=-；I mv =；q I t =可得Iq BL=，C 正确； D ．由于E BLxq I t t R r R r R rΦ====+++将I q BL =代入可得，导体棒ab 运动的位移22()I R r x B L +=，D 错误。

故选C 。

2．如图所示，一根直导体棒质量为m 、长为L ，其两端放在位于水平面内、间距也为L 的光滑平行金属导轨上，并与之接触良好，导体棒左侧两导轨之间连接一可控电阻，导轨置于匀强磁场中，磁场的磁感应强度大小为B ，方向垂直于导轨所在平面。

电磁感应导体棒切割磁感线题型引言电磁感应是指导体内的电荷受到磁场变化的影响而发生运动的现象。

当导体与磁场相互作用时，导体内部将产生感应电流。

本文将讨论关于电磁感应导体棒切割磁感线的题型，并探讨有关问题。

电磁感应基础知识回顾在讨论电磁感应导体棒切割磁感线的题型之前，我们首先回顾一些基础知识。

电磁感应定律电磁感应定律是描述电磁感应现象的基本定律。

它可以用以下公式表达：ε=−dΦdt其中，ε表示产生的感应电动势，Φ表示磁通量，t表示时间。

该定律表明，当磁场发生变化时，导体内部将产生感应电动势，通过闭合回路可以产生感应电流。

磁感线磁感线是描述磁场分布的线条。

磁感线的方向表示磁场的方向，磁感线的密度表示磁场强度。

在磁场的分布中，磁感线形成一个封闭的回路。

电磁感应导体棒切割磁感线问题在实际问题中，我们经常遇到关于电磁感应导体棒切割磁感线的题型。

这类问题要求计算感应电动势、感应电流或导体受到的力等。

我们将通过以下几个方面来探讨这类问题。

导体切割磁感线产生的感应电动势当导体切割磁感线时，根据电磁感应定律，导体内将产生感应电动势。

感应电动势的大小可以根据切割磁感线的速度、磁感线的密度和导体的长度等因素来计算。

根据右手定则，我们可以确定感应电动势的方向。

导体切割磁感线产生的感应电流如果导体是一个闭合回路，切割磁感线产生的感应电动势将产生感应电流。

根据欧姆定律，我们可以计算产生的感应电流的大小，并根据导体形状和电源方向确定感应电流的方向。

感应电流会产生磁场，与外部磁场相互作用。

导体受到的力通过切割磁感线产生的感应电流，导体将受到一个力，称为洛伦兹力。

洛伦兹力的大小与感应电流、磁感线的强度以及导体的长度和形状等有关。

根据洛伦兹力的方向规则，我们可以确定导体受到的力的方向。

导体切割磁感线的应用导体切割磁感线的现象广泛应用于发电机、电动机和变压器等电磁设备中。

通过切割磁感线产生感应电流，可以实现能量转换和能量传输。

各种电磁设备的工作原理都涉及到导体切割磁感线的现象。

（2008•东莞模拟）如图（a）所示，两根足够长的光滑平行金属导轨相距为L，导轨平面与水平面成θ角，上端通过导线连接阻值为R的电阻，阻值为r的金属棒ab放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，整个装置处在垂直导轨平面向上的磁场中，若所加磁场的磁感应强度大小恒为B，使金属棒沿导轨由静止向下运动，金属棒运动的v-t图象如图（b）所示，当t=t时刻，物体下滑距离为s．已知重力加速度为g，导轨电阻忽略不计．试求：（1）金属棒ab匀速运动时电流强度I的大小和方向；（2）导体棒质量m；时间内电阻R产生的焦耳热．（3）在t如图所示，两根足够长不计电阻的光滑平行金属导轨相距为L=1m，导轨平面与水平面成θ=300，上端通过导线连接阻值为R=3Ω的电阻，阻值为r=1Ω的金属棒ab放在两导轨上，棒与导轨垂直并保持良好接触，整个装置处在垂直导轨平面向上的匀强磁场中，磁场的磁感应强度B=2T，使金属棒沿导轨由静止向下运动，t0时刻，金属棒下滑距离为s=3m，此时金属棒恰好以速度v0=5m/s匀速运动．g=10m/s2．试求：（1）金属棒ab匀速运动时电流强度I的大小和方向；（2）求导体棒质量m；（3）在t0时间内产生的总热量Q．如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ固定在一水平面上，两导轨间距L=0.2m，在两导轨左端M、P间连接阻值R=0.4Ω的电阻，导轨上停放一质量m=0.1kg、电阻r=0.1Ω的金属杆CD，导轨电阻可忽略不计，整个装置处于方向竖直向上磁感应强度B=0.5T的匀强磁场中．现用一垂直金属杆CD的拉力F沿水平方向拉杆，使之由静止开始向右运动．（1）若拉力F恒为0.5N，求F的最大功率；（2）若在拉力F作用下，杆CD由静止开始作加速度a=0.5m/s2的匀加速运动，求在开始运动后的2s时间内通过电阻R的电量．如图所示，两根水平放置的平行光滑导轨上，有两根可以移动的、垂直导轨的导体棒ab和cd，导轨的间距为25cm，ab棒和cd棒的阻值均为2Ω，导轨的电阻不计．现将cd棒用一根绝缘细绳水平拉住，细绳所能承受的最大拉力为2N．整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度为4T．今在棒ab上作用一个与导轨平行向右的恒力F，直到细绳被拉断．则细绳被拉断时，求：（1）cd棒中电流强度的大小（2）ab棒的速度大小．如图所示，在一对平行的金属导轨的上端连接一阻值为R的定值电阻，两导轨所决定的平面与水平面成30°角，若将一质量为m、长为L的导体棒ab垂直于两导轨放在导轨上，并使其由静止开始下滑，已知导体棒电阻为r，整个装置处在垂直于导轨平面的匀强磁场中，磁感应强度为B，求导体棒最终下滑的速度及电阻R最终的发热功率分别为多少．（导轨足够长，磁场足够大，不计导轨电阻和摩擦）。

电磁感应4（两根导体棒问题）1．如图A 、B 两导轨水平放置且光滑，ab 、cd 导体棒如图静止放置于导轨上，导体棒cd 在拉力F 的作用下向右运动/过程中ab 、cd 棒受的安培力大小相等，方向相反/2．如图所示，两根相距为L 的竖直平行金属导轨位于磁感应强度为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，导轨电阻不计，另外两根与上述光滑导轨保持良好接触的金属杆ab 、cd 质量均为m ，电阻均为R.若要使cd 静止不动，则ab 杆应向_____________运动，速度大小为_________，作用于ab 杆上的外力大小为___________.3．如图所示，足够长的光滑平行金属导轨cd 和ef ，水平放置且相距L ，在其左端各固定一个半径为r 的四分之三金属光滑圆环，两圆环面平行且竖直。

在水平导轨和圆环上各有一根与导轨垂直的金属杆，两金属杆与水平导轨、金属圆环形成闭合回路，两金属杆质量均为m ，电阻均为R ，其余电阻不计。

整个装置放在磁感应强度大小为B 、方向竖直向上的匀强磁场中。

当用水平向右的恒力F=3 mg 拉细杆a ，达到匀速运动时，杆b 恰好静止在圆环上某处，试求：(1)杆a 做匀速运动时，回路中的感应电流；(2)杆a 做匀速运动时的速度；(3)杆b 静止的位置距圆环最低点的高度。

4．如图所示，宽为L 、光滑的导电轨道的弧形部分处于磁场外，轨道的水平部分处于垂直轨道平面向上、磁感强度为B 的匀强磁场中，质量为2m 的金属杆cd 静止在水平轨道上，另一质量为m 的金属杆ab ，从弧形轨道上h 高处由静止开始下滑。

设ab 杆和cd 杆始终与轨道垂直，且接触良好，ab 杆与cd 杆不会相碰，ab 和cd 杆的电阻均为R ，轨道电阻不计。

求：（1）回路abcd 内电流的最大值。

（2）在ab 杆运动的整个过程中回路可产生的热量。

F。

导体棒在磁场中运动问题【问题概述】导体棒问题不纯属电磁学问题，它常涉及到力学和热学。

往往一道试题包含多个知识点的综合应用，处理这类问题必须熟练掌握相关的知识和规律,还要求有较高的分析能力、逻辑推断能力,以及综合运用知识解决问题的能力等.导体棒问题既是高中物理教学的重要内容，又是高考的重点和热点问题。

1．通电导体棒在磁场中运动:通电导体棒在磁场中,只要导体棒与磁场不平行，磁场对导体棒就有安培力的作用，其安培力的方向可以用左手定则来判断,大小可运用公式F = BIL sin θ来计算,若导体棒所在处的磁感应强度不是恒定的，一般将其分成若干小段,先求每段所受的力再求它们的矢量和。

由于安培力具有力的共性，可以在空间和时间上进行积累，可以使物体产生加速度,可以和其它力相平衡. 【基本模型】说明基本图v – t 能量导体棒以初速度v 0向右开始运动,定值电阻为R ，其它电阻不计.动能 → 焦耳热导体棒受向右的恒力F 从静止开始向右运动，定值电阻为R ，其它电阻不计。

外力机械能→ 动能+ 焦耳热导体棒1以初速度v 0向右开始运动,两棒电阻分别为R 1和R 2，质量分别为m 1和m 2,其它电阻不计。

动能1变化→ 动能2变化 + 焦耳热导体棒1受恒力F 从静止开始向右运动，两棒电阻分别为R 1和R 2，质量分别为m 1和m 2，其它电阻不计.外力机械能→ 动能1 + 动能2 + 焦耳热如图1所示，在竖直向下磁感强度为B 的匀强磁场中,有两根水平放置相距为L 且足够长的平行金属导轨AB 、CD,导轨AC 端连接一阻值为R 的电阻，一根垂直于导轨放置的金属棒ab ，质量为m ，不计导轨和金属棒的电阻及它们间的摩擦。

若用恒力F 水平向右拉棒运动⑴．电路特点：金属棒ab 切割磁感线，产生感应电动势相当于电源，b 为电源正极。

当ab 棒速度为v 时,其产 生感应电动势E ＝BLv 。

⑵．ab 棒的受力及运动情况：棒ab 在恒力F 作用下向 右加速运动,切割磁感线，产生感应电动势，并形成感应电 流,电流方向由a →b,从而使ab 棒受到向左的安培力F 安， 对ab 棒进行受力分析如图2所示：竖直方向:重力G 和支持力N 平衡。

导体切割磁感线问题电磁感应中，“导体棒”切割磁感线问题是高考常见命题。

解此类型问题的一般思路是：先解决电学问题，再解决力学问题，即先由法拉第电磁感应定律求感应电动势，然后根据欧姆定律求感应电流，求出安培力，再往后就是按力学问题的处理方法，如进行受力情况分析、运动情况分析及功能关系分析等。

（如果学生能力足够，完全可以力学和电学同时分析，找到中间那个联系点，一般联系点都是合力，之后运用牛二定律很容易解题。

）导体棒切割磁感线的运动一般有以下几种情况：匀速运动、在恒力作用下的运动、恒功率运动等。

一、导体棒匀速运动导体棒匀速切割磁感线处于平衡状态，安培力和外力等大、反向，给出速度可以求外力的大小，或者给出外力求出速度，也可以求出功、功率、电流强度等，外力的功率和电功率相等。

例1. 如图1所示，在一磁感应强度B＝0.5T的匀强磁场中，垂直于磁场方向水平放置着两根相距为h＝0.1m的平行金属导轨MN和PQ，导轨电阻忽略不计，在两根导轨的端点N、Q 之间连接一阻值R＝0.3Ω的电阻。

导轨上跨放着一根长为L＝0.2m，每米长电阻r＝2.0Ω/m的金属棒ab，金属棒与导轨正交放置，交点为c、d，当金属棒在水平拉力作用于以速度v＝4.0m/s向左做匀速运动时，试求：图1（1）电阻R中的电流强度大小和方向；（2）使金属棒做匀速运动的拉力；（3）金属棒ab两端点间的电势差；（4）回路中的发热功率。

解析：金属棒向左匀速运动时，等效电路如图2所示。

在闭合回路中，金属棒cd部分相当于电源，内阻r cd＝hr，电动势E cd＝Bhv。

图2（1）根据欧姆定律，R中的电流强度为0.4A，方向从N经R到Q。

（2）使金属棒匀速运动的外力与安培力是一对平衡力，方向向左，大小为F＝F安＝BIh＝0.02N。

（3）金属棒ab两端的电势差等于U ac、U cd与U db三者之和，由于U cd＝E cd－Ir cd，所以U ab ＝E ab－Ir cd＝BLv－Ir cd＝0.32V。

专题十六电磁感应中的导体棒、导线框问题考点一单杆问题导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，杆ab初速度为v0，质量为m，电阻不计导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，杆ab初速度为v0，质量为m，电阻不计，，(根据q＝CU、U＝BLv m、－B I L·Δt＝mv m－mv0、q＝IΔt，可得v m＝mv0m＋B2L2C)导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，单杆ab 质量为m，电阻不计导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，单杆ab质量为m，电阻不计，拉力F恒定最大，导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，单杆ab 质量为m，电阻为R (根据Δq＝q0－q ＝CE－CBLv m、B I LL·Δt＝mv m－0、Δq＝IΔt，可得v m＝BLCEm＋B2L2C)导轨水平光滑，间距为L，电阻不计，单杆ab 质量为m，电阻不计，拉力F恒定(2022·山东省菏泽市高三下二模)如图所示，倾角为θ的斜面上固定两根足够长的平行光滑导轨，将定值电阻、电容器和电源在导轨上端分别通过开关S 1、S 2、S 3与导轨连接，匀强磁场垂直斜面向下，初始时刻导体棒垂直导轨静止，不计导轨和导体棒的电阻，下列叙述正确的是( ) A .S 1闭合，S 2、S 3断开，由静止释放导体棒，导体棒的a ­t 图像如图1 B .S 2闭合，S 1、S 3断开，由静止释放导体棒，导体棒的a ­t 图像如图2C .S 1、S 2、S 3断开，由静止释放导体棒Δt 后闭合开关S 1，导体棒的v ­t 图像可能如图3D .S 1、S 2、S 3断开，由静止释放导体棒Δt 后闭合开关S 3，导体棒的v ­t 图像一定如图4CS 1闭合，S 2、S 3断开，由静止释放导体棒，导体棒与电阻构成回路，根据E ＝BLv ，I ＝ER ，F 安＝BIL ，可得F 安＝B 2L 2v R ，根据牛顿第二定律可得导体棒的加速度为a ＝mg sin θ－F 安m ＝g sin θ－B 2L 2vmR ，可知随着导体棒速度的增加，导体棒的加速度逐渐减小，A 错误；S 2闭合，S 1、S 3断开，由静止释放导体棒，导体棒与电容器构成回路，则有E ＝BLv ，电容器极板所带电荷量为Q ＝CE ＝CBLv ，电路中电流为I ＝ΔQ Δt ＝CBL ΔvΔt ＝CBLa ，导体棒受到的安培力为F 安＝BIL ＝CB 2L 2a ，根据牛顿第二定律可得mg sin θ－F 安＝ma ，解得a ＝mg sin θm ＋CB 2L 2，可知导体棒的加速度保持不变，B 错误；S 1、S 2、S 3断开，由静止释放导体棒Δt 后闭合开关S 1，可知闭合开关S 1瞬间导体棒的速度为v ＝g sin θ·Δt ，导体棒受到的安培力大小为F 安＝B 2L 2v R ＝B 2L 2g sin θ·ΔtR ，若F 安＝B 2L 2g sin θ·ΔtR <mg sin θ，可知导体棒继续向下加速，随着速度的增加，安培力增大，加速度减小，当安培力与重力沿导轨向下的分力平衡时，导体棒做匀速直线运动，故导体棒的v ­t 图像可能如图3，C 正确；S 1、S 2、S 3断开，由静止释放导体棒Δt 后闭合开关S 3，可知闭合开关S 3瞬间导体棒的速度为v ＝g sin θ·Δt ，导体棒切割磁感线产生的电动势为E 动＝BLv ＝BLg sin θ·Δt ，根据右手定则可知动生电动势E 动的方向与电源的电动势E 0方向相反，若E 动＝BLg sin θ·Δt >E 0，则回路的电流为I ＝E 动－E 0r ＝BLg sin θ·Δt －E 0r ，安培力方向沿导轨向上，大小为F 安＝BIL ＝BL ·BLg sin θ·Δt －E 0r ，若刚好满足F 安＝BL ·BLg sin θ·Δt －E 0r ＝mg sin θ，则导体棒向下做匀速直线运动，D 错误。

yθ o xb ca d I F BI E导体棒在磁场中运动问题【问题概述】导体棒问题不纯属电磁学问题，它常涉及到力学和热学。

往往一道试题包含多个知识点的综合应用，处理这类问题必须熟练掌握相关的知识和规律，还要求有较高的分析能力、逻辑推断能力，以及综合运用知识解决问题的能力等。

导体棒问题既是高中物理教学的重要内容，又是高考的重点和热点问题。

1．通电导体棒在磁场中运动：通电导体棒在磁场中，只要导体棒与磁场不平行，磁场对导体棒就有安培力的作用，其安培力的方向可以用左手定则来判断，大小可运用公式F = BIL sin θ来计算，若导体棒所在处的磁感应强度不是恒定的，一般将其分成若干小段，先求每段所受的力再求它们的矢量和。

由于安培力具有力的共性，可以在空间和时间上进行积累，可以使物体产生加速度，可以和其它力相平衡。

〖例1〗如图所示在倾角为300的光滑斜面上垂直放置一根长为L ，质量为m ，的通电直导体棒，棒内电流方向垂直纸面向外，电流大小为I ，以水平向右为x 轴正方向，竖直向上为y 轴正方向建立直角坐标系，若所加磁场限定在xoy 平面内，试确定以下三种情况下磁场的磁感应强度B 。

⑴ 若要求所加的匀强磁场对导体棒的安培力方向水平向左，使导体棒在斜面上保持静止。

⑵ 若使导体棒在斜面上静止，求磁感应强度B 的最小值。

⑶ 试确定能使导体棒在斜面上保持静止的匀强磁场的所有可能方向。

〖拓展1〗物理学家法拉第在研究电磁学时，亲手做过许多实验。

如图所示的就是著名的电磁旋转实验。

它的现象是：如果载流导线附近只有磁铁的一个极，磁铁就会围绕导线旋转；反之，载流导线也会围绕单独的某一磁极旋转，这一装置实际上就是最早的电动机。

图中的a 是可动磁铁（上端为N 极），b 是固定导线，c 是可动导线，d 是固定磁铁（上端为N 极），图中黑色部分表示汞，下部接在电源上，则从上向下俯视时a 、c 的旋转情况是（ ）A ．a 顺时针，c 顺时针B ．a 逆时针，c 逆时针C ．a 逆时针，c 顺时针D ．a 顺时针，c 逆时针〖例2〗电磁炮是一种理想的兵器，它的主要原理如右图所示，利用这种装置可以把质量为2.0g 的弹体（包括金属杆EF 的质量）加速到6km/s ，若这种装置的轨道宽为2m ，长为100m ，轨道摩擦不计，求轨道间所加匀强磁场的磁感应强度为多大，磁场力的最大功率是多少？〖拓展2〗质量为m ，长为L 的金属棒MN ，通过柔软金属丝挂于a 、b 两点，ab 点间电压为U ，电容为C 的电容器与a 、b 相连，整个装置处于竖直向上的匀强磁场B 中，接通S ，电容器瞬间放电后又断开S ，试求MN 能摆起的最大高度是多少？2．导体棒在磁场中运动产生感应电动势：导体棒在磁场中运动时，通常由于导体棒切割磁感应线而产生一定的感应电动势，如果电路闭合将在该闭合电路中形成一定强度的感应电流，将其它形式的能转化成电能，该过程中产生的感应电动势大小遵循法拉第电磁感应定律E = Blv sin θ，方向满足右手定则。

yθ o xb ca d I F BI E导体棒在磁场中运动问题【问题概述】导体棒问题不纯属电磁学问题，它常涉及到力学和热学。

往往一道试题包含多个知识点的综合应用，处理这类问题必须熟练掌握相关的知识和规律，还要求有较高的分析能力、逻辑推断能力，以及综合运用知识解决问题的能力等。

导体棒问题既是高中物理教学的重要内容，又是高考的重点和热点问题。

1．通电导体棒在磁场中运动：通电导体棒在磁场中，只要导体棒与磁场不平行，磁场对导体棒就有安培力的作用，其安培力的方向可以用左手定则来判断，大小可运用公式F = BIL sin θ来计算，若导体棒所在处的磁感应强度不是恒定的，一般将其分成若干小段，先求每段所受的力再求它们的矢量和。

由于安培力具有力的共性，可以在空间和时间上进行积累，可以使物体产生加速度，可以和其它力相平衡。

〖例1〗如图所示在倾角为300的光滑斜面上垂直放置一根长为L ，质量为m ，的通电直导体棒，棒内电流方向垂直纸面向外，电流大小为I ，以水平向右为x 轴正方向，竖直向上为y 轴正方向建立直角坐标系，若所加磁场限定在xoy 平面内，试确定以下三种情况下磁场的磁感应强度B 。

⑴ 若要求所加的匀强磁场对导体棒的安培力方向水平向左，使导体棒在斜面上保持静止。

⑵ 若使导体棒在斜面上静止，求磁感应强度B 的最小值。

⑶ 试确定能使导体棒在斜面上保持静止的匀强磁场的所有可能方向。

〖拓展1〗物理学家法拉第在研究电磁学时，亲手做过许多实验。

如图所示的就是著名的电磁旋转实验。

它的现象是：如果载流导线附近只有磁铁的一个极，磁铁就会围绕导线旋转；反之，载流导线也会围绕单独的某一磁极旋转，这一装置实际上就是最早的电动机。

图中的a 是可动磁铁（上端为N 极），b 是固定导线，c 是可动导线，d 是固定磁铁（上端为N 极），图中黑色部分表示汞，下部接在电源上，则从上向下俯视时a 、c 的旋转情况是（ ）A ．a 顺时针，c 顺时针B ．a 逆时针，c 逆时针C ．a 逆时针，c 顺时针D ．a 顺时针，c 逆时针〖例2〗电磁炮是一种理想的兵器，它的主要原理如右图所示，利用这种装置可以把质量为2.0g 的弹体（包括金属杆EF 的质量）加速到6km/s ，若这种装置的轨道宽为2m ，长为100m ，轨道摩擦不计，求轨道间所加匀强磁场的磁感应强度为多大，磁场力的最大功率是多少？〖拓展2〗质量为m ，长为L 的金属棒MN ，通过柔软金属丝挂于a 、b 两点，ab 点间电压为U ，电容为C 的电容器与a 、b 相连，整个装置处于竖直向上的匀强磁场B 中，接通S ，电容器瞬间放电后又断开S ，试求MN 能摆起的最大高度是多少？2．导体棒在磁场中运动产生感应电动势：导体棒在磁场中运动时，通常由于导体棒切割磁感应线而产生一定的感应电动势，如果电路闭合将在该闭合电路中形成一定强度的感应电流，将其它形式的能转化成电能，该过程中产生的感应电动势大小遵循法拉第电磁感应定律E = Blv sin θ，方向满足右手定则。

电磁感应中的导轨上的导体棒问题，是力学和电学的综合问题。

解决 电磁感应中的导轨上的导体棒问题 ，首先要挖掘出导体棒的稳定条件及它最后能达到的稳定状态，然后才能利用相关知识和稳定条件列方程求解。

下文是常见导轨上的导体棒问题的分类及结合典型例题的剖析。

想必你阅过全文，你会对滑轨上的导体棒运动问题，有一个全面的细致的了解，能迅速分析出稳定状态，挖掘出稳定条件，能准确的判断求解所运用的方法。

一、滑轨上只有一个导体棒的问题滑轨上只有一个导体棒的问题，分两类情况：一种是含电源闭合电路的导体棒问题，另一种是闭合电路中的导体棒在安培力之外的力作用下的问题。

（一）含电源闭合电路的导体棒问题例 1、如图1所示，水平放置的光滑导轨MN、PQ上放有长为L、电阻为R、质量为m的金属棒 ab ，导轨左端接有内阻不计、电动势为E的电源组成回路，整个装置放在竖直向上的匀强磁场B中，导轨电阻不计且足够长，并与电键S串联。

当闭合电键后，求金属棒可达到的最大速度。

图 1分析：本题的稳定状态是金属棒最后的匀速运动；稳定条件是金属棒的加速度为零（安培力为零，棒产生的感应电动势与电源电动势大小相等）。

解析：闭合电键后，金属棒在安培力的作用下向右运动。

当金属棒的速度为v时，产生的感应电动势，它与电源电动势为反接，从而导致电路中电流减小，安培力减小，金属棒的加速度减小，即金属棒做的是一个加速度越来越小的加速运动。

但当加速度为零时，导体棒的速度达到最大值，金属棒产生的电动势与电源电动势大小相等，回路中电流为零，此后导体棒将以这个最大的速度做匀速运动。

金属板速度最大时，有解得（二）闭合电路中的导体棒在安培力之外的力作用下的问题1.导体棒在外力作用下从静止运动问题例 2、 如图 2，光滑导体棒 bc固定在竖直放置的足够长的平行金属导轨上，构成框架 abcd ，其中 bc棒电阻为R，其余电阻不计。

一质量为m且不计电阻的导体棒 ef 水平放置在框架上，且始终保持良好接触，能无摩擦地滑动。

电磁感应中的导轨类问题
一、单棒问题。

1.无外力、无摩擦单棒，外阻R,内阻r （阻尼单棒）
（1）安培力的特点
安培力为阻力，并随速度减小而减小。

22
B B l v
F BIl R r ==
+
（2）加速度随速度减小而减小
22()B F B l v a m m R r ==
+
（3）运动特点：a 减小
的减速运动，最后停止 （4）能量关系：
2
0102
mv Q -=内外阻热量之比
R
r
Q R
Q r =。

2.有外力、有摩擦单棒
安培力为阻力，并随速度增大而增大
最终运动：匀速运动 v=0时,有最大加速度 a=0时,有最大速度 能量关系
2
12E m
Fs Q mgS mv μ=++
二、双棒问题
1.无外力等距双棒（无摩擦）
安培力大小
222112
B B l (v v
)
F BIl
R R
-==
+
2.无外力不等距双棒
最终特征：回路中电流为零
1122
Bl v Bl v
两棒安培力不相等，动量不守恒。

对两棒分别用动量定理
能量转化情况：
3.有外力等距双棒
稳定时都做匀加速直线运动，产生恒定电流
4.有外力不等距双棒。

第九章 电磁感应知识点七：单杆问题（与电阻结合）(水平单杆、斜面单杆（先电后力再能量））1、发电式（1）电路特点：导体棒相当于电源，当速度为v 时，电动势E ＝Blv（2）安培力特点：安培力为阻力，并随速度增大而增大（3）加速度特点：加速度随速度增大而减小（4）运动特点：加速度减小的加速运动（5）最终状态：匀速直线运动（6）两个极值①v=0时,有最大加速度：②a=0时,有最大速度：（7）能量关系 （8）动量关系 （9）变形：摩擦力；改变电路；改变磁场方向；改变轨道解题步骤：解决此类问题首先要建立“动→电→动”的思维顺序，可概括总结为：(1)找”电源”，用法拉第电磁感应定律和楞次定律求解电动势的大小和方向；(2)画出等效电路图，求解回路中的电流的大小及方向；(3)分析安培力对导体棒运动速度、加速度的动态过程，最后确定导体棒的最终运动情况；(4)列出牛顿第二定律或平衡方程求解．2、阻尼式（1）电路特点：导体棒相当于电源。

（2）安培力的特点：安培力为阻力，并随速度减小而减小。

（3）加速度特点：加速度随速度减小而减小 （4）运动特点：加速度减小的减速运动（5）最终状态：静止 （6）能量关系：动能转化为焦耳热 （7）动量关系（8）变形：有摩擦力；磁场不与导轨垂直等1．(多选)如图所示，MN 和PQ 是两根互相平行竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计．有一垂直导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，宽度为L ，ab 是一根不但与导轨垂直而且始终与导轨接触良好的金属杆．开始，将开关S 断开，让ab 由静止开始自由下落，过段时间后，再将S 闭合，若从S 闭合开始计时，则金属杆ab 的速度v 随时间t 变化的图象可能是( )．答案 ACD FN M m F mga m μ-=22-+=()()m F mg R r v B l μ212E mFs Q mgS mv μ=++0m Ft BLq mgt mv μ--=-22()B F B l v a m m R r ==+22B B l v F BIl R r ==+20102mv Q-=00BIl t mv -⋅∆=-0mv q Bl =Bl s q n R r R r φ∆⋅∆==++2、（单选）如图所示，足够长平行金属导轨倾斜放置，倾角为37 °，宽度为0.5 m ，电阻忽略不计，其上端接一小灯泡，电阻为1 Ω.一导体棒MN 垂直于导轨放置，质量为0.2 kg ，接入电路的电阻为1 Ω，两端与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为0.5.在导轨间存在着垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为0.8 T ．将导体棒MN 由静止释放，运动一段时间后，小灯泡稳定发光，此后导体棒MN 的运动速度以及小灯泡消耗的电功率分别为(重力加速度g 取10 m/s 2，sin 37°＝0.6)( )．答案 BA ．2.5 m/s 1 WB ．5 m/s 1 WC ．7.5 m/s 9 WD ．15 m/s 9 W3．(多选)如图所示，水平固定放置的足够长的U 形金属导轨处于竖直向上的匀强磁场中，在导轨上放着金属棒ab ，开始时ab 棒以水平初速度v 0向右运动，最后静止在导轨上，就导轨光滑和导轨粗糙的两种情况相比较，这个过程( )．答案 ACA ．安培力对ab 棒所做的功不相等B ．电流所做的功相等C ．产生的总内能相等D ．通过ab 棒的电荷量相等4．(单选)如图，足够长的U 型光滑金属导轨平面与水平面成θ角(0<θ<90°)，其中MN 与PQ 平行且间距为L ，导轨平面与磁感应强度为B 的匀强磁场垂直，导轨电阻不计．金属棒ab 由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，ab 棒接入电路的电阻为R ，当流过ab 棒某一横截面的电量为q 时，棒的速度大小为v ，则金属棒ab 在这一过程中( )．答案 BA ．运动的平均速度大小为12vB ．下滑的位移大小为qR BLC ．产生的焦耳热为qBLvD ．受到的最大安培力大小为B 2L 2v R sin θ5．(多选)如图所示，相距为L 的两条足够长的光滑平行金属导轨与水平面的夹角为θ，上端接有定值电阻R ，匀强磁场垂直于导轨平面，磁感应强度为B .将质量为m 的导体棒由静止释放，当速度达到v 时开始匀速运动，此时对导体棒施加一平行于导轨向下的拉力，并保持拉力的功率恒为P ，导体棒最终以2v 的速度匀速运动．导体棒始终与导轨垂直且接触良好，不计导轨和导体棒的电阻，重力加速度为g .下列选项正确的是( )．答案 ACA ．P ＝2mgv sin θB ．P ＝3mgv sin θC ．当导体棒速度达到v 2时加速度大小为g 2sin θD ．在速度达到2v 以后匀速运动的过程中，R 上产生的焦耳热等于拉力所做的功6、（单选）如图所示，两光滑平行导轨水平放置在匀强磁场中，磁场垂直导轨所在平面，金属棒ab 可沿导轨自由滑动，导轨一端连接一个定值电阻R ，金属棒和导轨电阻不计．现将金属棒沿导轨由静止向右拉，若保持拉力F 恒定，经时间t 1后速度为v ，加速度为a 1，最终以速度2v 做匀速运动；若保持拉力的功率P 恒定，棒由静止经时间t 2后速度为v ，加速度为a 2，最终也以速度2v 做匀速运动，则( )．答案 BA ．t 2＝t 1B ．t 1>t 2C ．a 2＝2a 1D ．a 2＝5a 17． (多选)如图所示，足够长的光滑导轨倾斜放置，其下端连接一个定值电阻R ，匀强磁场垂直于导轨所在平面，将ab 棒在导轨上无初速度释放，当ab 棒下滑到稳定状态时，速度为v ，电阻R 上消耗的功率为P .导轨和导体棒电阻不计．下列判断正确的是( )．A ．导体棒的a 端比b 端电势低 答案 BDB ．ab 棒在达到稳定状态前做加速度减小的加速运动C ．若磁感应强度增大为原来的2倍，其他条件不变，则ab 棒下滑到稳定状态时速度将变为原来的12D ．若换成一根质量为原来2倍的导体棒，其他条件不变，则ab 棒下滑到稳定状态时的功率将变为原来的4倍8．(单选)如图所示，足够长的光滑金属导轨MN 、PQ 平行放置，且都倾斜着与水平面成夹角θ.在导轨的最上端M 、P 之间接有电阻R ，不计其他电阻．导体棒ab 从导轨的最底端冲上导轨，当没有磁场时，ab 上升的最大高度为H ；若存在垂直导轨平面的匀强磁场时，ab 上升的最大高度为h .在两次运动过程中ab 都与导轨保持垂直，且初速度都相等．关于上述情景，下列说法正确的是( )．A ．两次上升的最大高度相比较为H <hB ．有磁场时导体棒所受合力的功等于无磁场时合力的功C ．有磁场时，电阻R 产生的焦耳热为12mv 20D ．有磁场时，ab 上升过程的最小加速度大于g sin θ 答案 B9．如图所示，两根平行金属导轨固定在同一水平面内，间距为l ，导轨左端连接一个电阻．一根质量为m 、电阻为r 的金属杆ab 垂直放置在导轨上．在杆的右方距杆为d 处有一个匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向下，磁感应强度为B .对杆施加一个大小为F 、方向平行于导轨的恒力，使杆从静止开始运动，已知杆到达磁场区域时速度为v ，之后进入磁场恰好做匀速运动．不计导轨的电阻，假定导轨与杆之间存在恒定的阻力．求(1)导轨对杆ab 的阻力大小f ；(2)杆ab 中通过的电流及其方向；(3)导轨左端所接电阻的阻值R .答案 (1)F －mv 22d (2)mv 22Bld a →b (3)2B 2l 2d mv －r（1）杆进入磁场前做匀加速运动，有① ② 解得导轨对杆的阻力③ （2）杆进入磁场后做匀速运动，有④ 杆ab 所受的安培力⑤ 解得杆ab 中通过的电流⑥ 杆中的电流方向自a 流向b⑦ （3）杆产生的感应电动势⑧ 杆中的感应电流⑨解得导轨左端所接电阻阻值⑩ 10．如图甲所示．一对平行光滑轨道放置在水平面上，两轨道间距l ＝0.20 m ，电阻R ＝1.0 Ω；有一导体杆静止地放在轨道上，与两轨道垂直，杆及轨道的电阻皆可忽略不计，整个装置处于磁感应强度B ＝0.5 T 的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道面向下．现在一外力F 沿轨道方向拉杆，使之做匀加速运动，测得力F 与时间t 的关系如图乙所示．求杆的质量m 和加速度a .答案 0.1 kg 10 m/s 2解:导体杆在轨道上做匀加速直线运动,用表示其速度,t 表示时间,则有:①杆切割磁力线,将产生感应电动势:② 在杆、轨道和电阻的闭合回路中产生电流③杆受到的安培力的④ 根据牛顿第二定律,有⑤ 联立以上各式,得⑥ 由图线上取两点代入⑥式,可计算得出:,答:杆的质量为,其加速度为.11、如图所示，质量m1＝0.1 kg，电阻R1＝0.3 Ω，长度l＝0.4 m的导体棒ab横放在U型金属框架上．框架质量m2＝0.2 kg，放在绝缘水平面上，与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2.相距0.4 m的MM′、NN′相互平行，电阻不计且足够长．电阻R2＝0.1 Ω的MN垂直于MM′.整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝0.5 T．垂直于ab施加F＝2 N的水平恒力，ab从静止开始无摩擦地运动，始终与MM′、NN′保持良好接触．当ab运动到某处时，框架开始运动．设框架与水平面间最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2.(1)求框架开始运动时ab速度v的大小；(2)从ab开始运动到框架开始运动的过程中，MN上产生的热量Q＝0.1 J，求该过程ab位移x的大小．答案(1)6 m/s(2)1.1 m（1）ab对框架的压力① 框架受水平面的支持力②依题意，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则框架受到最大静摩擦力③ab中的感应电动势④ MN中电流⑤MN受到的安培力⑥ 框架开始运动时⑦ 由上述各式代入数据解得⑧（2）闭合回路中产生的总热量⑨ 由能量守恒定律，得⑩代入数据解得⑪12、如图甲所示，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ＝30°角固定，M、P之间接电阻箱R，导轨所在空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B＝0.5 T．质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其接入电路的电阻值为r.现从静止释放杆ab，测得其在下滑过程中的最大速度为v m.改变电阻箱的阻值R，得到v m与R的关系如图乙所示．已知轨道间距为L＝2 m，重力加速度g取10 m/s2，轨道足够长且电阻不计．(1)当R＝0时，求杆ab匀速下滑过程中产生的感应电动势E的大小及杆中电流的方向；(2)求杆ab的质量m和阻值r；(3)当R＝4 Ω时，求回路瞬时电功率每增加1 W的过程中合外力对杆做的功W.答案(1)2 V b→a(2)0.2 kg 2 Ω(3)0.6 J解:(1)由图可以知道,当时,杆最终以匀速运动,产生电动势由右手定则判断得知,杆中电流方向从(2)设最大速度为v,杆切割磁感线产生的感应电动势由闭合电路的欧姆定律:杆达到最大速度时满足计算得出:由图象可以知道:斜率为,纵截距为, 得到:计算得出:,(3)根据题意:,得,则由动能定理得联立得代入计算得出13．如图甲所示，MN 、PQ 两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ＝30°角固定，两轨道间距为L ＝1 m ．质量为m 的金属杆ab 垂直放置在轨道上，其阻值忽略不计．空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B ＝0.5 T ．P 、M 间接有阻值为R 1的定值电阻，Q 、N 间接电阻箱R .现从静止释放ab ，改变电阻箱的阻值R ，测得最大速度为v m ，得到1v m 与1R 的关系如图乙所示．若轨道足够长且电阻不计，重力加速度g 取10 m/s 2.求： (1)金属杆的质量m 和定值电阻的阻值R 1； (2)当电阻箱R 取4 Ω时，且金属杆ab 运动的加速度为12g sin θ时，此时金属杆ab 运动的速度；(3)当电阻箱R 取4 Ω时，且金属杆ab 运动的速度为v m 2时，定值电阻R 1消耗的电功率．解析 (1)总电阻为R 总＝R 1R /(R 1＋R )，电路的总电流I ＝BLv /R 总 当达到最大速度时金属棒受力平衡，有mg sin θ＝BIL ＝B 2L 2v m R 1R (R 1＋R )，1v m ＝B 2L 2mgR sin θ＋B 2L 2mgR 1sin θ，根据图象代入数据，可以得到金属杆的质量m ＝0.1 kg ，R 1＝1 Ω. (2)金属杆ab 运动的加速度为12g sin θ时，I ′＝BLv ′/R 总 根据牛顿第二定律得mg sin θ－BI ′L ＝ma即mg sin θ－B 2L 2v ′R 1R (R 1＋R )＝12mg sin θ，代入数据，得到v ′＝0.8 m/s. (3)当电阻箱R 取4 Ω时，根据图象得到v m ＝1.6 m/s ，则v ＝v m 2＝0.8 m/s ，P ＝E 2R 1＝B 2L 2v 2R 1＝0.16 W.14．如图所示，竖直平面内有无限长，不计电阻的两组平行光滑金属导轨，宽度均为L ＝0.5 m ，上方连接一个阻值R ＝1 Ω的定值电阻，虚线下方的区域内存在磁感应强度B ＝2 T 的匀强磁场．完全相同的两根金属杆1和2靠在导轨上，金属杆与导轨等宽且与导轨接触良好，电阻均为r ＝0.5 Ω.将金属杆1固定在磁场的上边缘(仍在此磁场内)，金属杆2从磁场边界上方h 0＝0.8 m 处由静止释放，进入磁场后恰做匀速运动．(g 取10 m/s 2)(1)求金属杆的质量m 为多大？(2)若金属杆2从磁场边界上方h 1＝0.2 m 处由静止释放，进入磁场经过一段时间后开始做匀速运动．在此过程中整个回路产生了1.4 J 的电热，则此过程中流过电阻R 的电荷量q 为多少？解析 (1)金属杆2进入磁场前做自由落体运动，则v m ＝2gh 0＝4 m/s金属杆2进入磁场后受两个力而处于平衡状态，即mg ＝BIL ，且E ＝BLv m ，I ＝E 2r ＋R解得m ＝B 2L 2v m 2r ＋R g ＝22×0.52×42×0.5＋1×10kg ＝0.2 kg. (2)金属杆2从下落到再次匀速运动的过程中，设金属杆2在磁场内下降h 2，由能量守恒定律得 mg (h 1＋h 2)＝12mv 2m ＋Q 解得h 2＝12mv 2m ＋Q mg －h 1＝0.2×42＋2×1.42×0.2×10 m －0.2 m ＝1.3 m 金属杆2进入磁场到匀速运动的过程中，感应电动势和感应电流的平均值分别为E ＝BLh 2t 2，I ＝E 2r ＋R 故流过电阻R 的电荷量q ＝It 2 联立解得q ＝BLh 22r ＋R ＝2×0.5×1.32×0.5＋1C ＝0.65 C.15．如图12(a)所示，间距为l 、电阻不计的光滑导轨固定在倾角为θ的斜面上．在区域Ⅰ内有方向垂直于斜面的匀强磁场，磁感应强度为B ；在区域Ⅱ内有垂直于斜面向下的匀强磁场，其磁感应强度B t 的大小随时间t 变化的规律如图(b)所示．t ＝0时刻在轨道上端的金属棒ab 从如图所示位置由静止开始沿导轨下滑，同时下端的另一金属棒cd 在位于区域Ⅰ内的导轨上由静止释放．在ab 棒运动到区域Ⅱ的下边界EF 处之前，cd 棒始终静止不动，两棒均与导轨接触良好．已知cd棒的质量为m 、电阻为R ，ab 棒的质量、阻值均未知，区域Ⅱ沿斜面的长度为2l ，在t ＝t x 时刻(t x 未知)ab 棒恰进入区域Ⅱ，重力加速度为g .求：(1)通过cd 棒电流的方向和区域Ⅰ内磁场的方向；(2)当ab 棒在区域Ⅱ内运动时cd 棒消耗的电功率；(3)ab 棒开始下滑的位置离EF 的距离；(4)ab 棒从开始下滑至EF 的过程中回路中产生的热量．解析 (1)由楞次定律知通过cd 棒的电流方向为d →c 区域Ⅰ内磁场方向为垂直于纸面向上．(2)对cd 棒：F 安＝BIl ＝mg sin θ，所以通过cd 棒的电流大小I ＝mg sin θBl 当ab 棒在区域Ⅱ内运动时cd 棒消耗的电功率 P ＝I 2R ＝m 2g 2R sin 2θB 2l 2. (3)ab 棒在到达区域Ⅱ前做匀加速直线运动，加速度a ＝g sin θ cd 棒始终静止不动，ab 棒在到达区域Ⅱ前、后回路中产生的感应电动势不变，则ab 棒在区域Ⅱ中一定做匀速直线运动，可得ΔΦΔt ＝Blv t ，即B ·2l ·l t x ＝Blg sin θt x ，所以t x ＝2l g sin θ ab 棒在区域Ⅱ中做匀速直线运动的速度v t ＝2gl sin θ 则ab 棒开始下滑的位置离EF 的距离h ＝12at 2x ＋2l ＝3l . (4)ab 棒在区域Ⅱ中运动的时间t 2＝2l v t＝2lg sin θ ab 棒从开始下滑至EF 的总时间t ＝t x ＋t 2＝22lg sin θ，E ＝Blv t ＝Bl 2gl sin θ ab 棒从开始下滑至EF 的过程中闭合回路产生的热量Q ＝EIt ＝4mgl sin θ.16．如图所示，两根正对的平行金属直轨道MN 、M ´N ´位于同一水平面上，两轨道之间的距离l=0.50m ．轨道的MM ´端之间接一阻值R=0.40Ω的定值电阻，NN ´端与两条位于竖直面内的半圆形光滑金属轨道NP 、N ´P ´平滑连接，两半圆轨道的半径均为R 0=0.50m ．直轨道的右端处于竖直向下、磁感应强度B=0.64 T 的匀强磁场中，磁场区域的宽度d=0.80m ，且其右边界与NN ´重合．现有一质量m =0.20kg 、电阻r =0.10Ω的导体杆ab 静止在距磁场的左边界s=2.0m 处．在与杆垂直的水平恒力F=2.0N 的作用下ab 杆开始运动，当运动至磁场的左边界时撤去F ，结果导体杆ab 恰好能以最小速度通过半圆形轨道的最高点PP ´．已知导体杆ab 在运动过程中与轨道接触良好，且始终与轨道垂直，导体杆ab 与直轨道之间的动摩擦因数μ=0.10，轨道的电阻可忽略不计，取g =10m/s 2，求：⑴导体杆刚进入磁场时，通过导体杆上的电流大小和方向；⑵导体杆穿过磁场的过程中通过电阻R 上的电荷量；⑶导体杆穿过磁场的过程中整个电路中产生的焦耳热．解:(1)设导体杆在F 的作用下运动至磁场的左边界时的速度为,根据动能定理则有:导体杆刚进入磁场时产生的感应电动势为:此时通过导体杆上的电流大小为:(或 根据右手定则可以知道,电流方向为由b 向a (2)设导体杆在磁场中运动的时间为t,产生的感应电动势的平均值为,则有: 通过电阻R 的感应电流的平均值为:通过电阻R 的电荷量为:(或 (3)设导体杆离开磁场时的速度大小为,运动到圆轨道最高点的速度为,因导体杆恰好能通过半圆形轨道的最高点,根据牛顿第二定律对导体杆在轨道最高点时有:对于导体杆从运动至的过程,根据机械能守恒定律有:计算得出:导体杆穿过磁场的过程中损失的机械能为:此过程中电路中产生的焦耳热为:知识点八：单杆问题（与电容器结合）电容有外力充电式（1）电路特点：导体为发电边；电容器被充电。

2023届高三物理一轮复习多维度导学与分层专练专题65 电磁感应中的双棒问题导练目标导练内容目标1无外力等距式双棒问题目标2有外力等距式双棒问题目标3无外力不等距式双棒问题目标4有外力不等距式双棒问题模型规律无外力等距式（导轨光滑）1、电流大小：21211212Blv Blv Bl(v v)IR R R R--==++2、稳定条件：两棒达到共同速度3、动量关系：2012()m v m m v=+4、能量关系：2122211m v(m m)v Q22=+共＋；1122Q RQ R=有外力等距式（导轨光滑）1、电流大小：1221Blv BlvIR R-=+2、力学关系：11AFam=；22AF Fam-=。

（任意时刻两棒加速度）3、稳定条件：当a2＝a1时，v2-v1恒定；I恒定；F A恒定；两棒匀加速。

4、稳定时的物理关系： 12F (m m )a =+；1A F m a =；2112A Bl(v v )F BIlB lR R -==+；121212212(R R )m F v v B l (m m )+-=+无外力不等距式 （导轨光滑）1、动量关系：11110BL I t m v m v -∆=-；2220BL I t m v -∆=-2、稳定条件：1122BL v BL v =3、最终速度：21222122110m L v v m L m L =+；12122122120m L L v v m L m L =+4、能量关系：222101122111222Q m v m v m v =-- 5、电量关系：2202BL q m v =-有外力不等距式 （导轨光滑）F 为恒力，则：1、稳定条件：1122l a l a =，I 恒定，两棒做匀加速直线运动 2、常用关系：111A F F a m -=；222A F a m =；1122l a l a =；1122A A F l F l =3、常用结果：2121221221A l m F F l m l m =+；1222221221A l l m F F l m l m =+； 221221221l a F l m l m =+； 122221221l l a F l m l m =+； 此时回路中电流为：12221221l m F I l m l m B=⋅+与两棒电阻无关一、无外力等距式双棒问题【例1】如图，水平面内固定有两根平行的光滑长直金属导轨，导轨间距为l ，电阻不计。

导体棒切割磁感线问题分类解析电磁感应中，“导体棒”切割磁感线问题是高考常见命题。

解此类型问题的一般思路是：先解决电学问题，再解决力学问题，即先由法拉第电磁感应定律求感应电动势，然后根据欧姆定律求感应电流，求出安培力，再往后就是按力学问题的处理方法，如进行受力情况分析、运动情况分析及功能关系分析等。

导体棒切割磁感线的运动一般有以下几种情况：匀速运动、在恒力作用下的运动、恒功率运动等，现分别举例分析。

一、导体棒匀速运动导体棒匀速切割磁感线处于平衡状态，安培力和外力等大、反向，给出速度可以求外力的大小，或者给出外力求出速度，也可以求出功、功率、电流强度等，外力的功率和电功率相等。

例1. 如图1所示，在一磁感应强度B＝0.5T的匀强磁场中，垂直于磁场方向水平放置着两根相距为h＝0.1m的平行金属导轨MN和PQ，导轨电阻忽略不计，在两根导轨的端点N、Q之间连接一阻值R＝0.3Ω的电阻。

导轨上跨放着一根长为L＝0.2m，每米长电阻r＝2.0Ω/m的金属棒ab，金属棒与导轨正交放置，交点为c、d，当金属棒在水平拉力作用于以速度v＝4.0m/s向左做匀速运动时，试求：图1（1）电阻R 中的电流强度大小和方向；（2）使金属棒做匀速运动的拉力；（3）金属棒ab 两端点间的电势差；（4）回路中的发热功率。

解析：金属棒向左匀速运动时，等效电路如图2所示。

在闭合回路中，金属棒cd 部分相当于电源，内阻r cd ＝hr ，电动势E cd ＝Bhv 。

图2（1）根据欧姆定律，R 中的电流强度为I E R r Bhv R hrcd cd =+=+=0.4A ，方向从N 经R 到Q 。

（2）使金属棒匀速运动的外力与安培力是一对平衡力，方向向左，大小为F ＝F 安＝BIh ＝0.02N 。

（3）金属棒ab 两端的电势差等于U ac 、U cd 与U db 三者之和，由于U cd ＝E cd －Ir cd ，所以U ab ＝E ab －Ir cd ＝BLv －Ir cd ＝0.32V 。

导体棒切割磁感线问题分类解析杨中甫电磁感应中，“导体棒”切割磁感线问题是高考常见命题。

解此类型问题的一般思路是：先解决电学问题，再解决力学问题，即先由法拉第电磁感应定律求感应电动势，然后根据欧姆定律求感应电流，求出安培力，再往后就是按力学问题的处理方法，如进行受力情况分析、运动情况分析及功能关系分析等。

导体棒切割磁感线的运动一般有以下几种情况：匀速运动、在恒力作用下的运动、恒功率运动等，现分别举例分析。

一、导体棒匀速运动导体棒匀速切割磁感线处于平衡状态，安培力和外力等大、反向，给出速度可以求外力的大小，或者给出外力求出速度，也可以求出功、功率、电流强度等，外力的功率和电功率相等。

例1. 如图1所示，在一磁感应强度B ＝0.5T 的匀强磁场中，垂直于磁场方向水平放置着两根相距为h ＝0.1m 的平行金属导轨MN 和PQ ，导轨电阻忽略不计，在两根导轨的端点N 、Q 之间连接一阻值R ＝0.3Ω的电阻。

导轨上跨放着一根长为L ＝0.2m ，每米长电阻r ＝2.0Ω/m 的金属棒ab ，金属棒与导轨正交放置，交点为c 、d ，当金属棒在水平拉力作用于以速度v ＝4.0m/s 向左做匀速运动时，试求：图1（1）电阻R 中的电流强度大小和方向；（2）使金属棒做匀速运动的拉力；（3）金属棒ab 两端点间的电势差；（4）回路中的发热功率。

解析：金属棒向左匀速运动时，等效电路如图2所示。

在闭合回路中，金属棒cd 部分相当于电源，内阻r cd ＝hr ，电动势E cd ＝Bhv 。

图2（1）根据欧姆定律，R 中的电流强度为I E R r Bhv R hrcd cd =+=+=0.4A ，方向从N 经R 到Q 。

（2）使金属棒匀速运动的外力与安培力是一对平衡力，方向向左，大小为F ＝F 安＝BIh ＝0.02N 。

（3）金属棒ab 两端的电势差等于U ac 、U cd 与U db 三者之和，由于U cd ＝E cd －Ir cd ，所以U ab ＝E ab －Ir cd ＝BLv －Ir cd ＝0.32V 。