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专题32 电磁感应中的“单杆”模型单杆模型是电磁感应中常见的物理模型，此类题目所给的物理情景一般是导体棒垂直切割磁感线，在安培力、重力、拉力作用下的变加速直线运动或匀速直线运动，所涉及的知识有牛顿运动定律、功能关系、能量守恒定律等。
1．此类题目的分析要抓住三点：（1）杆的稳定状态一般是匀速运动（达到最大速度或最小速度，此时合力为零）。
（2）整个电路产生的电能等于克服安培力所做的功。
（3）电磁感应现象遵从能量守恒定律。
如图甲，导体棒ab 从磁场上方h 处自由释放，当进入磁场后，其速度随时间的可能变化情况有三种，如图乙，全过程其能量转化情况是重力势能转化为动能和电能，电能再进一步转化为导体棒和电阻R 的内能。
2．单杆模型中常见的情况及处理方法： （1）单杆水平式开始时a ＝Fm ，杆ab 速度v ⇒感应电动势E ＝开始时a ＝Fm ，杆ab 速度v ⇒感应电动势E ＝BLv ，经过Δt 速度为v ＋Δv ，此时感应＝Blv R，安培力F ＝BIL＝B2L2v R ，做减速运动：v ⇒F ⇒a，当v ＝0时，F ＝0，a ＝0，杆保持静止此时a ＝BLEmr，杆ab 速度v ⇒感应电动势BLv ⇒I ⇒安培力F ＝BIL ⇒加速度a ，当E感＝E 时，v 最大，且v m ＝E BLBLv ⇒I ⇒安培力F 安＝BIL ，由F －F 安＝ma 知a ，当a ＝0时，v 最大，v m ＝FRB2L2【题1】如图所示，间距为L ，电阻不计的足够长平行光滑金属导轨水平放置，导轨左端用一阻值为R 的电阻连接，导轨上横跨一根质量为m ，电阻也为R 的金属棒，金属棒与导轨接触良好。
整个装置处于竖直向上、磁感应强度为B 的匀强磁场中．现使金属棒以初速度v 0沿导轨向右运动，若金属棒在整个运动过程中通过的电荷量为q 。
下列说法正确的是A ．金属棒在导轨上做匀减速运动B ．整个过程中电阻R 上产生的焦耳热为mv202C ．整个过程中金属棒在导轨上发生的位移为qRBLD ．整个过程中金属棒克服安培力做功为mv202【答案】D【题2】如图所示，足够长的平行金属导轨内有垂直纸面向里的匀强磁场，金属杆ab 与导轨垂直且接触良好，导轨右端与电路连接．已知导轨相距为L ，磁场的磁感应强度为B ，R 1、R 2和ab 杆的电阻值均为r ，其余电阻不计，板间距为d 、板长为4d ，重力加速度为g ，不计空气阻力．如果ab 杆以某一速度向左匀速运动时，沿两板中心线水平射入质量为m 、带电荷量为＋q 的微粒恰能沿两板中心线射出，如果ab 杆以同样大小的速度向右匀速运动时，该微粒将射到B 板距其左端为d 的C 处。
名师课堂——关键教方法 名师堂 校区地址： 咨询电话：名师堂学校武老师方法讲义之——第1讲 年级： 时间：电磁感应中“单、双棒”问题归类例析一、单棒问题：1.单棒与电阻连接构成回路：例1、如图所示，MN 、PQ 是间距为L 的平行金属导轨，置于磁感强度为B 、方向垂直导轨所在平面向里的匀强磁场中，M 、P 间接有一阻值为R 的电阻．一根与导轨接触良好、阻值为R ／2的金属导线ab 垂直导轨放置,求:（1）若在外力作用下以速度v 向右匀速滑动，试求ab 两点间的电势差。
（2）若无外力作用，以初速度v 向右滑动，试求运动过程中产生的热量、通过ab 电量以及ab 发生的位移x 。
同类追踪: 如图所示，MN 为金属杆，在竖直平面内贴着光滑金属导轨下滑，导轨的间距l=10cm ，导轨上端接有电阻R=0.5Ω，导轨与金属杆电阻不计，整个装置处于B=0.5T 的水平匀强磁场中．若杆稳定下落时，每秒钟有0.02J 的重力势能转化为电能，则求MN 杆的下落速度 二、双杆问题：例2如图所示，平行且足够长的两条光滑金属导轨，相距0.5m ，与水平面夹角为30°，不计电阻，匀强磁场垂直穿过导轨平面，磁感应强度B ＝0.4T ，垂直导轨放置两金属棒ab 和cd ，长度均为0.5m ，电阻均为0.1Ω，质量分别为0.1 kg 和0.2 kg ，两金属棒与金属导轨接触良好且可沿导轨自由滑动．现ab 棒在外力作用下，以恒定速度v ＝1.5m ／s 沿着导轨向上滑动，cd 棒则由静止释放，试求：（1）金属棒ab 产生的感应电动势； （2）闭合回路中的最小电流和最大电流； （3）金属棒cd 的最终速度．同类追踪、如图所示，ab 和cd 是固定在同一水平面内的足够长平行金属导轨，ae 和cf 是平行的足够长倾斜导轨，整个装置放在竖直向上的匀强磁场中。
在水平导轨上有与导轨垂直的导体棒1，在倾斜导轨上有与导轨垂直且水平的导体棒2，两棒与导轨间接触良好，构成一个闭合回路。
第87讲电磁感应中的单杆模型1．（2022•上海）宽L＝0.75m的导轨固定，导轨间存在着垂直于纸面且磁感应强度B＝0.4T的匀强磁场。
虚线框Ⅰ、Ⅱ中有定值电阻R0和最大阻值为20Ω的滑动变阻器R。
一根与导轨等宽的金属杆以恒定速率向右运动，图甲和图乙分别为变阻器全部接入和一半接入时沿abcda方向电势变化的图像。
求：（1）匀强磁场的方向；（2）分析并说明定值电阻R0在Ⅰ还是Ⅱ中，并且R0大小为多少：（3）金属杆运动时的速率；（4）滑动变阻器阻值为多少时变阻器的功率最大？并求出该最大功率P m。
【解答】解：（1）a点电势比d点电势高，说明导体棒上端为电源正极，导体棒切割磁感线产生感应电流向上，根据右手定则判断得出匀强磁场的方向垂直纸面向里（2）滑动变阻器从全部接入到一半接入电路，回路里电流变大，定值电阻R0上电压变大，图甲的U cd小于图乙的U cd，可以推理得定值电阻在Ⅰ内，滑动变阻器在Ⅱ根据欧姆定律得：甲图中回路电流I甲=1.2R=1.220A=0.06A，乙图中回路电流I乙=1.0R2=1.010A=0.1A甲图中定值电阻R0上电压φ0﹣1.2＝0.06R乙图中定值电阻R0上电压φ0﹣1.0＝0.1R联立解得：R＝5Ω，φ0＝1.5V（3）金属杆产生的感应电动势E＝BLv，E＝φ0联立解得v=φ0BL= 1.50.4×0.75m/s=5m/s（4）根据甲乙两图可知导体棒电阻不计，由闭合电路欧姆定律得I=E R0+R滑动变阻器上的功率p＝I2R=E2R(R0+R)2= 2.2525R+R+10，当R＝5Ω时，滑动变阻器有最大功率P m＝0.1125W答：（1）匀强磁场的方向垂直纸面向里（2）定值电阻R0在Ⅰ中，定值电阻R0＝5Ω（3）金属杆运动时的速率为5m/s（4）滑动变阻器阻值为5Ω时变阻器的功率最大，最大功率为0.1125W一.知识回顾1.力学对象和电学对象的相互关系2.能量转化及焦耳热的求法(1)能量转化其他形式的能量――→克服安培力做功电能――→电流做功焦耳热或其他形式的能量(2)求解焦耳热Q的三种方法(纯电阻电路)3.单杆模型质量为m、电阻不计的单杆ab 以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为l 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l，拉力F恒定轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为l，拉力F恒定导体杆做加速度越来越小的减速运动，最终杆静止当E感＝E时，v最大，且v m＝EBl，最后以v m匀速运动当a＝0时，v最大，v m＝FRB2l2，杆开始匀速运动Δt时间内流入电容器的电荷量Δq＝CΔU＝CBlΔv电流I＝ΔqΔt＝CBlΔvΔt＝CBla安培力F安＝IlB＝CB2l2aF－F安＝ma，a＝Fm＋B2l2C，所以杆以恒定的加速度匀加速运动电能转化为动能外力做功转化为外力做功转化为二.例题精析题型一：单杆+电阻模型之动态分析（多选）例1．如图所示，MN和PQ是两根互相平行、竖直放置的足够长的光滑金属导轨，电阻不计，匀强磁场垂直导轨平面向里。
第七讲 单杆模型一、专题引入：1.如图所示，一对平行光滑轨道放置在水平面上，两轨道相距L ，两轨道之间用电阻R 连接，有一质量为m 、电阻为r 的导体棒静止地放在轨道上与两轨道垂直，轨道的电阻忽略不计，整个装置处于磁感应强度B 的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道平面向上．现用水平恒力F 沿轨道方向拉导体棒，使导体棒从静止开始运动。
⑴．分析导体棒的运动情况；⑵．求出导体棒的最大速度。
变1.原题中光滑轨道与水平面成θ一沿轨道向上的初速度v 0运动情况，并求出导体棒的最终速度． 变2.原题中，若在轨道平面上一矩形区域内存在匀强磁场，开始时，导体棒静止于磁场区域的右端，当磁场以速度v 1匀速向右移动时，导体棒随之开始运动，同时受到水平向左、大小为f 的恒定阻力，并很快达到恒定速度，此时导体棒仍处于磁场区域内，求导体棒达到的恒定速度v 2．变3.原题中若在电阻R 两端接一理想电压表，当导体棒在匀强磁场中运动时，电压表示数随时间均匀增加，即U=kt ，求拉力F 与时间的t 的函数关系．思考：若原题变成如图所示三各种情况，给导体棒一水【单杆的最终速度】2.如图所示，两根竖直放置的光滑平行导轨，其一部分处于方向垂直导轨所在平面且有上下水平边界的匀强磁场中，一根金属杆MN 成水平沿导轨滑下，在与导轨和电阻R组成的闭合电路中，其他电阻不计。
当金属杆MN进入磁场区后，其运动的速度图像可能是下图中的（）3.（北京）如图1所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为? 的绝缘斜面上，两导轨间距为L。
M、P两点间接有阻值为R的电阻。
一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直。
整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下。
导轨和金属杆的电阻可忽略。
让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计之间的摩擦。
⑴.由b向a方向看到的装置如图 2所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图；⑵.在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小；⑶.求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值。
法拉第电磁感应定律——单双杆模型单双杆模型一、知识点扫描1.无力单杆（阻尼式）整个回路仅有电阻，导体棒以一定初速度垂直切割磁感线，除安培力外不受其他外力。
根据右手定则确定电流方向，左手定则确定安培力方向，画出受力分析图。
这种情况下安培力方向与速度方向相反。
某时刻下导体棒的速度为v，则感应电动势E=BLv，感应电流I= E/ (R+r)，安培力大小F=BLI。
根据牛顿定律，可知导体棒做加速度逐渐减小的减速运动，最终减速到零。
根据牛顿定律，整个过程中通过任一横截面的电荷量q=BLmv/(R+r)。
实际上也可通过牛顿定律求解电荷量：BLq=mv。
从能量守恒的角度出发，即导体棒减少的动能转化成整个回路产生的热量。
2.___单杆（发电式）整个回路仅有电阻，导体棒在恒力F作用下从静止出发垂直切割磁感线。
根据右手定则确定电流方向，左手定则确定安培力方向，画出受力分析图。
这种情况下安培力方向与速度方向相反。
某时刻下导体棒的速度为v，则感应电动势E=BLv，感应电流I=E/ (R+r)，安培力大小F=BLI。
根据牛顿定律，可知导体棒做加速度逐渐减小的加速运动，当a=0时有最大速度，v_max=FL/(B^2L^2r)。
这种情况下仍有q=BLmv/ (R+r)。
电磁感应实验是物理学中的重要实验之一，通过实验可以研究电磁感应现象。
本文将介绍三种不同的电磁感应实验，分别是不含容单杆、含容单杆和含源单杆实验。
1.不含容单杆实验在不含容单杆实验中，电、电阻和导体棒通过光滑导轨连接成回路，导体棒以一定的初速度垂直切割磁感线，除安培力外不受其他外力。
当导体棒向右运动时，切割磁感线产生感应电动势，根据右手定则知回路存在逆时针的充电电流，电两端电压逐渐增大。
而又根据左手定则知导体棒受向左的安培力，因此导体棒做减速运动，又因E=BLv可知产生的感应电动势逐渐减小，当感应电动势减小至与电两端相同时，不再向电充电，充电电流为零，导体不受安培力，做匀速直线运动。
专题13电磁感应中的单杆、双杆、导线框问题01专题网络.思维脑图 (1)02考情分析.解密高考 (2)03高频考点.以考定法 (2) (2) (5) (7)考向1：导体棒平动切割磁感应线的综合问题 (7)考向2：导体棒旋转切割磁感应线的综合问题 (8)考向3：线框进出磁场类问题的综合应用 (9)考向4：双杆在导轨上运动的综合应用 (10)04核心素养.难点突破 (11)05创新好题.轻松练 (16)新情境1：航空航天类 (16)新情境2：航洋科技类 (18)新情境3：生产生活相关类 (19)一、电磁感应中的单杆模型1．单杆模型的常见情况质量为m、电阻不计的单杆ab以一定初速度v0在光滑水平轨道上滑动，两平行导轨间距为L 轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定轨道水平光滑，单杆ab质量为m，电阻不计，两平行导轨间距为L，拉力F恒定F 做的功一部分转化2．在电磁感应中，动量定理应用于单杆切割磁感线运动，可求解变力的时间、速度、位移和电荷量。
(1)求电荷量或速度：B I LΔt ＝mv 2－mv 1，q ＝I Δt 。
(2)求位移：－B 2L 2v ΔtR 总＝0－mv 0，x ＝v̅Δt 。
(3)求时间：⇒－B I LΔt ＋F 其他·Δt ＝mv 2－mv 1，即－BLq ＋F 其他·Δt ＝mv 2－mv 1 已知电荷量q ，F 其他为恒力，可求出变加速运动的时间。
⇒－B 2L 2v ΔtR 总＋F 其他·Δt ＝mv 2－mv 1，v̅Δt ＝x已知位移x ，F 其他为恒力，也可求出变加速运动的时间。
二、电磁感应中的双杆模型1．双杆模型的常见情况(1)初速度不为零，不受其他水平外力的作用质量m b＝m a；电阻r b＝r a；长度L b＝L a质量m b＝m a；电阻r b＝r a；长度L b＝2L a杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力能量质量m b＝m a；电阻r b＝r a；长度L b＝L a摩擦力F fb＝F fa；质量m b＝m a；电阻r b＝r a；长度L b＝L a 开始时，两杆受安培力做变加速运动；开始时，若F<F≤2F，则a杆先变加速后匀速运动；b杆F做的功转化为两杆的动能和内能：F做的功转化为两杆的动能和内能(包括电热和摩擦热)：进行解决。
高中物理┃模型讲解：电磁场中的单杆模型在电磁场中，“导体棒”主要是以“棒生电”或“电动棒”的内容出现，从组合情况看有棒与电阻、棒与电容、棒与电感、棒与弹簧等；从导体棒所在的导轨有“平面导轨”、“斜面导轨”“竖直导轨”等。
一、单杆在磁场中匀速运动例1、如图1所示，，电压表与电流表的量程分别为0～10V和0～3A，电表均为理想电表。
导体棒ab与导轨电阻均不计，且导轨光滑，导轨平面水平，ab棒处于匀强磁场中。
图1（1）当变阻器R接入电路的阻值调到30，且用＝40N的水平拉力向右拉ab棒并使之达到稳定速度时，两表中恰好有一表满偏，而另一表又能安全使用，则此时ab棒的速度是多少？（2）当变阻器R接入电路的阻值调到，且仍使ab棒的速度达到稳定时，两表中恰有一表满偏，而另一表能安全使用，则此时作用于ab棒的水平向右的拉力F2是多大？解析：（1）假设电流表指针满偏，即I＝3A，那么此时电压表的示数为U＝＝15V，电压表示数超过了量程，不能正常使用，不合题意。
因此，应该是电压表正好达到满偏。
当电压表满偏时，即U1＝10V，此时电流表示数为设a、b棒稳定时的速度为，产生的感应电动势为E1，则E1＝BLv1，且E1＝I1(R1＋R并)＝20Va、b棒受到的安培力为F1＝BIL＝40N解得（2）利用假设法可以判断，此时电流表恰好满偏，即I2＝3A，此时电压表的示数为＝6V可以安全使用，符合题意。
由F＝BIL可知，稳定时棒受到的拉力与棒中的电流成正比，所以。
二、单杠在磁场中匀变速运动例2、如图2甲所示，一个足够长的“U”形金属导轨NMPQ 固定在水平面内，MN、PQ两导轨间的宽为L＝0.50m。
一根质量为m＝0.50kg的均匀金属导体棒ab静止在导轨上且接触良好，abMP恰好围成一个正方形。
该轨道平面处在磁感应强度大小可以调节的竖直向上的匀强磁场中。
ab棒的电阻为R＝0.10Ω，其他各部分电阻均不计。
开始时，磁感应强度。
“单杆＋导轨”模型1. 单杆水平式（导轨光滑) 物理模型动态分析 设运动过程中某时刻棒的速度为v ，加速度为a ＝F m －错误!，a 、v 同向，随v 的增加,a 减小，当a ＝0时，v 最大，I ＝错误!恒定收尾状态 运动形式 匀速直线运动力学特征 a ＝0，v 最大，v m ＝错误! (根据F=F 安推出，因为匀速运动，受力平衡）电学特征I 恒定注：加速度a 的推导，a=F 合/m （牛顿第二定律），F 合=F —F 安,F 安=BIL ，I=E/R整合一下即可得到答案。
v 变大之后,根据 上面得到的a 的表达式，就能推出a 变小这里要注意，虽然加速度变小，但是只要和v 同向,就是加速运动，是a 减小的加速运动（也就是速度增加的越来越慢，比如1s 末速度是1，2s 末是5，3s 末是6，4s 末是6。
1 ，每秒钟速度的增加量都是在变小的)2。
单杆倾斜式(导轨光滑）物理模型动态分析 棒释放后下滑，此时a ＝g sin α，速度v ↑E＝BLv↑I＝错误!↑错误!F＝BIL↑错误!a↓，当安培力F＝mg sin α时，a＝0，v最大注：棒刚释放时,速度为0，所以只受到重力和支持力,合力为mgsin α收尾状态运动形式匀速直线运动力学特征a＝0，v最大，v m＝错误!（根据F=F安推出）电学特征I恒定【典例1】如图所示,足够长的金属导轨固定在水平面上，金属导轨宽度L＝1.0 m，导轨上放有垂直导轨的金属杆P，金属杆质量为m＝0。
1 kg，空间存在磁感应强度B＝0。
5 T、竖直向下的匀强磁场。
连接在导轨左端的电阻R＝3.0 Ω，金属杆的电阻r＝1。
0 Ω，其余部分电阻不计。
某时刻给金属杆一个水平向右的恒力F,金属杆P由静止开始运动，图乙是金属杆P运动过程的v－t图象，导轨与金属杆间的动摩擦因数μ＝0.5。
在金属杆P运动的过程中，第一个2 s内通过金属杆P的电荷量与第二个2 s内通过P的电荷量之比为3∶5。
2024版新课标高中物理模型与方法电磁感应中的单导体棒模型目录一.阻尼式单导体棒模型二．发电式单导体棒模型三．无外力充电式单导体棒模型四．无外力放电式单导体棒模型五．有外力充电式单导体棒模型六．含“源”电动式模型一.阻尼式单导体棒模型【模型如图】1．电路特点：导体棒相当于电源。
当速度为v 时，电动势E =BLv2．安培力的特点：安培力为阻力，并随速度减小而减小：F 安=BIL =B 2L 2v R +r∝v3．加速度特点：加速度随速度减小而减小,a =B 2L 2vm (R +r )+μg4．运动特点：速度如图所示。
a 减小的减速运动5．最终状态:静止6．四个规律(1)全过程能量关系：−μmgx −Q =0−12mv 20 , 速度为v 时的能量关系−μmgx −Q =12mv 2-12mv 20电阻产生的焦耳热Q R Q=RR +r (2)瞬时加速度：a =B 2L 2vm (R +r )+μg ，(3)电荷量q =I Δt =ER +r Δt =ΔφΔt (R +r )Δt =ΔφR +r (4)动量关系：μmg Δt −BIL Δt =μmg Δt -BqL =0−mv 0(安培力的冲量F Δt =BIL Δt =BqL )安培力的冲量公式是μmg Δt −BIL Δt =0−mv 0①闭合电路欧姆定律I =ER +r ②平均感应电动势：E =BLv③位移：x =vt ④①②③④得μmg Δt +B 2L 2xR +r=mv 01(2023春·山西晋城·高三校联考期末)舰载机利用电磁阻尼减速的原理可看作如图所示的过程，在磁感应强度大小为B 、方向竖直向下的匀强磁场中，有间距为L 的水平平行金属导轨ab 、cd ，ac 间连接一电阻R ，质量为m 、电阻为r 的粗细均匀的金属杆MN 垂直于金属导轨放置，现给金属杆MN 一水平向右的初速度v 0，滑行时间t 后停下，已知金属杆MN 与平行金属导轨间的动摩擦因数为μ，MN 长为2L ，重力加速度为g ，下列说法中正确的是()A.当MN 速度为v 1时，MN 两端的电势差为U MN =2BLv 1B.当MN 速度为v 1时，MN 的加速度大小为a =μg +2B 2L 2v 1m 2R +r C.当MN 速度为v 1时，MN 的加速度大小为a =2μg +2B 2L 2v 1m R +rD.MN 在平行金属导轨上滑动的最大距离为s =mv 0-μmgt 2R +r2B 2L 2【答案】BD【详解】A ．根据题意可知，MN 速度为v 1时，MN 单独切割产生的电势差2BLv 1，但由于MN 中间当电源，所以MN 两端的电势差小于感应电动势，故A 错误；BC ．MN 速度为v 1时，水平方向受摩擦力、安培力，由牛顿第二定律有μmg +B 2L 2v 1R +r 2=ma解得a =μg +2B 2L 2v 1m 2R +r故B 正确，C 错误；D ．MN 在平行金属导轨上滑动时，由动量定理有-μmgt -∑BIL Δt =0-mv 0又有∑I Δt =q =ΔΦR +r 2=2BLs2R +r 联立解得s =mv 0-μmgt 2R +r2B 2L 2故D 正确。
