电动力学-第四章

第四章 电磁波的传播一、 填空题1、 色散现象是指介质的( )是频率的函数. 答案：,εμ2、 平面电磁波能流密度s 和能量密度w 的关系为( )。

答案：S wv =3、 平面电磁波在导体中传播时,其振幅为( )。

答案：0x E e α-⋅4、 电磁波只所以能够在空间传播,依靠的是( )。

答案：变化的电场和磁场相互激发5、 满足条件( )导体可看作良导体，此时其内部体电荷密度等于( ) 答案：1>>ωεσ, 0, 6、 波导管尺寸为0.7cm ×0.4cm ，频率为30×109HZ 的微波在该波导中能以( )波模传播。

答案： 10TE 波7、 线性介质中平面电磁波的电磁场的能量密度（用电场E 表示）为( )，它对时间的平均值为( )。

答案：2E ε,2021E ε 8、 平面电磁波的磁场与电场振幅关系为( )。

它们的相位( )。

答案：E vB =,相等9、 在研究导体中的电磁波传播时，引入复介电常数='ε( )，其中虚部是( )的贡献。

导体中平面电磁波的解析表达式为( )。

答案： ωσεεi +='，传导电流，)(0),(t x i x e e E t x E ωβα-⋅⋅-= ,10、 矩形波导中，能够传播的电磁波的截止频率=n m c ,,ω( )，当电磁波的频率ω满足( )时，该波不能在其中传播。

若b ＞a ，则最低截止频率为( )，该波的模式为( )。

答案： 22,,)()(b n a m n m c +=μεπω，ω＜n m c ,,ω，μεπb ，01TE11、 全反射现象发生时,折射波沿( )方向传播.答案：平行于界面 12、 自然光从介质1(11με，)入射至介质2(22με，),当入射角等于( )时,反射波是完全偏振波.答案：201n i arctgn = 13、 迅变电磁场中导体中的体电荷密度的变化规律是( ). 答案：0teσερρ-=二、 选择题1、 电磁波波动方程22222222110,0E B E B c t c t∂∂∇-=∇-=∂∂,只有在下列那种情况下成立（ ）A ．均匀介质 B.真空中 C.导体内 D. 等离子体中 答案： A2、 电磁波在金属中的穿透深度（ ）A ．电磁波频率越高,穿透深度越深 B.导体导电性能越好, 穿透深度越深 C. 电磁波频率越高,穿透深度越浅 D. 穿透深度与频率无关 答案： C3、 能够在理想波导中传播的电磁波具有下列特征（ ） A ．有一个由波导尺寸决定的最低频率,且频率具有不连续性 B. 频率是连续的 C. 最终会衰减为零 D. 低于截至频率的波才能通过. 答案：A4、 绝缘介质中，平面电磁波电场与磁场的位相差为（ ）A ．4π B.π C.0 D. 2π答案：C5、 下列那种波不能在矩形波导中存在（ ）A ． 10TE B. 11TM C. mn TEM D. 01TE 答案：C6、 平面电磁波E 、B、k 三个矢量的方向关系是（ ）A ．B E ⨯沿矢量k 方向 B. E B⨯沿矢量k 方向 C.B E ⨯的方向垂直于k D. k E ⨯的方向沿矢量B的方向答案：A7、 矩形波导管尺寸为b a ⨯ ,若b a >,则最低截止频率为（ ）A ．μεπa B. μεπb C.b a 11+μεπ D. a2μεπ答案：A8、 亥姆霍兹方程220,(0)E k E E ∇+=∇⋅=对下列那种情况成立（ ） A ．真空中的一般电磁波 B. 自由空间中频率一定的电磁波C. 自由空间中频率一定的简谐电磁波D. 介质中的一般电磁波 答案：C9、 矩形波导管尺寸为b a ⨯ ,若b a >,则最低截止频率为（ ）A ．μεπa B. μεπb C.b a 11+μεπ D. a2μεπ答案：A三、 问答题1、 真空中的波动方程，均匀介质中的定态波动方程和亥姆霍兹方程所描述的物理过程是什么？从形式到内容上试述它们之间的区别和联系。

第四章电磁波的传播4.1有两个频率和振幅都相等的单色平面波沿Z轴传播，一个沿X轴方向偏振, 另一个沿Y轴偏振，但相位比前者超前〃/2,求合成波的偏振。

反之，一个圆偏振可以分解为怎样的两个线偏振？解：两个波的波矢量均为k=ke：,IO_s设振幅均为E。

,有E? = E o e y e于是合成波是振幅为岛的圆偏振波，在迎着传播方向看来，电矢量E沿逆时针旋转，故是右旋的圆偏振波，如图4.1(a)。

若旦的相位比&滞后刀/2,则合成波E=E+^=E°0_"5是左旋的圆偏振波，如图4.1(B)。

若片和马的振幅不等，则合成波是右旋或左旋的椭圆偏振波。

反之，一个圆(或椭圆)偏振波分解为两个互相独立，相位差为±〃/2的线偏振波。

(4.1(a)和 4.1(b))4.2考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为刃+d©和刃-d©的线偏振平面波，它们度沿Z轴方向传播。

(1)求合成波。

证明波的振幅不是一个常数，而是一个波；(2)求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。

E 、= A, sin 奴xcos«ysin k.zE : = A, sin k^xsin k v y cos k z z 再由条件(2),有x=a 处,将(7), (8), (9)三式代入上述条件，解得k v = 〃饥1 a,k 、. = n7r !b(m,n = 0,1,2,...)yk : = J.-k ： _k ： = yj(co/c)2 -(ni7r/a)2 -(n/r/b)2管内电场还应满足V.E = 0,将(7), (8), (9)三式代入这条件，得A {k ix + A 2k y + A 3k, = 0可见4勺&中只有两个是独立的，即(7), (8), (9)表示的解中，对每一组 m,n 的值，管内有两种独立的波模。

4.13写出矩形波导管内磁场H 满足的方程和边界条件。

第四章电磁波的传播讨论电磁场产生后在空间传播的情形和特性。

分三类情形讨论：一：平面电磁波在无界空间的传播问题二. 平面电磁波在分界面上的反射与透射问题；三.在有界空间传播 -导行电磁波第一部分平面电磁波在无界空间的传播问题讨论一般均匀平面电磁波和时谐电磁波在无界空间的传播问题1时变电磁场以电磁波的形式存在于时间和空间这个统一的物理世界。

2 研究某一具体情况下电磁波的激发和传播规律，从数学上讲就是求解在这具体条件下Maxwell equations 或 wave equations 的解。

3 在某些特定条件下，Maxwell equations或wave equations可以简化，从而导出简化的模型，如传输线模型、集中参数等效电路模型等等。

4最简单的电磁波是平面波。

等相面（波阵面）为无限大平面电磁波称为平面波。

如果平面波等相面上场强的幅度均匀不变，则称为均匀平面波。

5许多复杂的电磁波，如柱面波、球面波，可以分解为许多均匀平面波的叠加；反之亦然。

故均匀平面波是最简单最基本的电磁波模式，因此我们从均匀平面波开始电磁波的学习。

§4.1波动方程 (1)§4.2无界空间理想介质中的均匀平面电磁波 (4)§4.3 正弦均匀平面波在无限大均匀媒质中的传播 (7)4.1-4.3 总结 (13)§4.4电磁波的极化 (14)§4.5电磁波的色散与波速 (16)4.4-4.5 总结 (18)§4.1 波动方程本节主要容：研究各种介质情形下的电磁波波动方程。

学习要求： 1. 明确介质分类； 2. 理解和掌握波动方程推到思路 3. 分清楚、记清楚无界无源区理想介质和导电介质区波动方程和时谐场情形下理想介质和导电介质区波动方程4.1.1介质分类：电磁波在介质中传播，所以其波动方程一定要知道介质的电磁性质方程。

一般情况下，皆知的电磁性质方程很复杂，因为反应介质电磁性质的介电参数是量。

电动力学A 刘克新第四章电磁波的传播本章主要内容§1、波动方程和平面电磁波§2、电磁波在介质表面的反射和折射§3. 导体中的电磁波§4、波导与谐振腔§5*电磁波在等离子体中的传播§1、波动方程和平面电磁波¾1、波动方程及其解¾2、平面电磁波的能量密度和能流密度¾1、波动方程及其解变化的电磁场以波的方式传播,变化的电流是电磁波源。

电磁波一经产生，离开源后就按自身规律运动。

需要研究两个问题：(1) 电磁波的激发问题(下一章)。

(2) 电磁波自身的运动规律，即电磁波的传输。

讨论限于某一区域，其内为线性、均匀、各向同性介质，即ε(ω)、μ(ω)、σ都不随空间位置变化，并且区域内没有自由电荷分布。

如果把ε、μ、σ分别用真空中的对应量ε0、μ0 、0代替，就得到真空中的结果。

比值为1）。

这种等相位面为平面，电场（磁场）沿固定方向，并且振幅不随时间和位置变化的波称为平面波。

§2、电磁波在电介质表面的反射和折射¾1、反射定律和折射定律¾2、Fresnel公式¾3、全反射根据Fresnel公式，我们可以得出以下结论：(1)入射波只有垂直分量，则反射波和透射波也只有垂直分量；对平行分量也一样。

(2)自然光可以看作各种频率和振动方向的平面波的叠加，因此一般地，反射或透射后的电磁波的这2个方向的振幅不再相等，即为部分偏振光。

00,i iE E ⊥= (3) 当入射角与透射角之和为π /2 时，该入射角记为θB ，,B iθθ=/2,t B θθπ+=由Fresnel公式[3] 知道，这时00,r E = 即反射电波完全变成⊥方向的偏振波。

这个规律在1812年由D. Brewster 发现，被称为Brewster 定律。

00,r r E E ⊥=∴sin sin B ti t n n θθ=发生这种现象的入射角称为Brewster 角，即θB 。

习题四参考答案1．一个半径为R 的电介质球，极化强度为2/r r K P ，电容率为 ．计算⑴ 束缚电荷的体密度和面密度； ⑵ 自由电荷体密度； ⑶ 球外和球内的电势；⑷该带电介质球产生的静电场的总能量．答案：⑴ 2rK p ，R K p ⑵ 20rKf⑶ r KR002R r001ln r K K R r⑷ 20012K R W 提示：⑴2rK P p ， R KP e R r r p ˆ⑵ 因为f P10，所以 2r K f ⑶ 因为电荷分布具有球对称性，所以可以由高斯定理求电场强度E ，再求 ⑷ 两种方法都可以求解v dV W 21，V 是电荷分布的球区间。

或者，dV D E W21，这里V 是电场分布的全空间２．导体内有一半径为R 的球形空腔，腔内充满电容率为 的均匀电介质，现将电荷量为q 的点电荷放在腔内离球为)(R a a 处，如图所示，已知导体的电势为零，试求：①腔内任一点),( r p 的电势 ；②腔壁上感应电荷量的面密度；③介质极化电荷量的密度和面密度．解：用电像法求解①设导体不存在，整个空间都充满了电容率为 的均匀介质，像电荷q 使腔壁电势为0．041s q s q 解之得 aR b 2q aR q由此得介质内任一点),( r p 的电势为cos 2cos 2412222br b r q ar a r q ． ②腔壁上感应电荷量的面密度为2/32222)cos 2(4)(ˆ)(ˆ aR a R R q a R r e E e D n Rr r ③介质内极化电荷量的密度为200)()( E P P)1())((00． q q p )1(0． 介质表面极化电荷面密度R r p rE ep n ))(()(ˆ002/322220)cos 2(4))(( aR a R R qa R ． ３．接地的空心导体球内外半径为1R 和2R ，在球内离球心为 1R a a 处置一点电荷q ，求空间的电势分布．导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是外表面？答案：cos /2//cos 2412122121220a R R a R R aqR Ra a R qq q '，分布在内表面．感应电荷不等于像电荷．提示：该题的解法与例题2完全类似，只是像电荷在球外空间。

第四章 电磁波的传播1. 考虑两列振幅相同、偏振方向相同、频率分别为ωωd +和ωωd -的线偏振平面波，它们都沿z 轴方向传播。

（1）求合成波，证明波的振幅不是常数，而是一个波。

（2）求合成波的相位传播速度和振幅传播速度。

解：根据题意，设两列波的电场表达式分别为：)cos()(),(1101t z k t ω-=x E x E ； )cos()(),(2202t z k t ω-=x E x E则合成波为)]cos())[cos((),(),(2211021t z k t z k t t ωω-+-=+=x E x E x E E)22cos()22cos()(2212121210t z k k t z k k ωωωω---+-+=x E 其中 dk k k +=1，dk k k -=2；ωωωd +=1，ωωωd -=2所以 )cos()cos()(20t d z dk t kz ⋅-⋅-=ωωx E E 用复数表示 )](exp[)cos()(20t kz i t d z dk ωω-⋅-⋅=x E E相速由 t kz ωφ-=确定，k dt dz v p //ω==群速由 t d z dk ⋅-⋅=ωφ'确定，dk d dt dz v g //ω==2. 一平面电磁波以=θ45°从真空入射到2=r ε的介质，电场强度垂直于入射面，求反射系数和折射系数。

解：设 n 为界面法向单位矢量，S 、'S 、"S 分别为入射波、反射波和折射波的玻印亭矢量的周期平均值，则反射系数R 和折射系数T 定义为：2020''E E R =⋅⋅=n S nS ， 201202cos ""cos "E n E n T θθ=⋅⋅=n S n S 又根据电场强度垂直于入射面的菲涅耳公式，可得22121"cos cos "cos cos ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=θεθεθεθεR ， R T -=+=1)"cos cos ("cos cos 422121θεθεθθεε 根据折射定律可得：︒=30"θ，代入上式，得3232+-=R ， 3232+=T 3. 有一可见平面光波由水入射到空气，入射角为60°，证明这时将会发生全反射，并求折射波沿表面传播的相速度和透入空气的深度。

电动力学答案第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：B A B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A 解：（1）)()()(c c A B B A B A ⋅∇+⋅∇=⋅∇B A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=c c c cB A B A A B A B )()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=（2）在（1）中令B A =得：A A A A A A )(2)(2)(∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇，所以 A A A A A A )()()(21∇⋅-⋅∇=⨯∇⨯即 A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u u f u f ∇=∇d d )( ， u u u d d )(A A ⋅∇=⋅∇， uu u d d )(A A ⨯∇=⨯∇ 证明： （1）z y x z u f y u f x u f u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=∇)()()()(z y x z uu f y u u f x u u f e e e ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d d u uf z u y u x u u f z y x ∇=∂∂+∂∂+∂∂=d d )(d d e e e （2）z u A y u A x u A u z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)()()()(A zuu A y u u A x u u A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=d d d d d duu z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (Ae e e e e e ⋅∇=∂∂+∂∂+∂∂⋅++= （3）uA u A u A z u y u x u uu z y x zy x d /d d /d d /d ///d d ∂∂∂∂∂∂=⨯∇e e e Azx y y z x x y z yu u A x u u A x u u A z u u A z uu A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=z x y y z x x y z y u A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([])()([∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂=)(u A ⨯∇=3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。