新教材人教A版高中数学必修第二册第十章概率知识点汇总及解题规律方法提炼第十章概率10.1.1有限样本空间与随机事件10.1.2事件的关系和运算1．随机试验(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验．(2)特点：①试验可以在相同条件下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．2．样本点和样本空间(1)定义：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间．(2)表示：一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点．如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．3．事件的分类(1)随机事件：①我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件．②随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．③在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A 发生．(2)必然事件：Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件．(3)不可能事件：空集?不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称?为不可能事件．■名师点拨必然事件和不可能事件不具有随机性，它是随机事件的两个极端情况．4．事件的关系或运算的含义及符号表示(1)如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B?A且A?B，则称事件A与事件B相等，记作A＝B.(2)类似地，可以定义多个事件的和事件以及积事件．例如，对于三个事件A，B，C，A∪B∪C(或A＋B＋C)发生当且仅当A，B，C中至少一个发生，A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A，B，C同时发生．典型应用1事件类型的判断指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件．(1)中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军．(2)出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯．(3)若x∈R，则x2＋1≥1.(4)抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.【解】由题意知(1)(2)中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件；(3)中事件一定会发生，是必然事件；由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以(4)中事件不可能发生，是不可能事件．判断事件类型的思路要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件．典型应用2样本点与样本空间同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验的样本点的总数；(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个样本点？“x<3且y>1”呢？(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个样本点？“x＝y”呢？【解】(1)Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}．(2)样本点的总数为16.(3)“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1，4)，(2，3)，(3，2)，(1，4)；“x<3且y>1”包含以下6个样本点：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)．(4)“xy＝4”包含以下3个样本点：(1，4)，(2，2)，(4，1)；“x ＝y”包含以下4个样本点：(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)．确定样本空间的方法(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．典型应用3事件的运算盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．求：(1)事件D与A、B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？【解】(1)对于事件D，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.[变条件、变问法]在本例中，设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与A、B、E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？解：由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故A?C，B?C，E?C，所以C＝A∪B∪C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.(1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算．(2)利用Venn图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算．典型应用4互斥事件与对立事件的判定某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件．(1)恰有1名男生与恰有2名男生；(2)至少有1名男生与全是男生；(3)至少有1名男生与全是女生；(4)至少有1名男生与至少有1名女生．【解】判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生；判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生．(1)因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件；当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件．(2)因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥；由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．(4)由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．(1)包含关系、相等关系的判定①事件的包含关系与集合的包含关系相似；②两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生．(2)判断事件是否互斥的两个步骤第一步，确定每个事件包含的结果；第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的．(3)判断事件是否对立的两个步骤第一步，判断是互斥事件；第二步，确定两个事件必然有一个发生，否则只有互斥，但不对立．10.1.3古典概型1．古典概型具有以下特征的试验叫做古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．■名师点拨古典概型的判断一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性．并不是所有的试验都是古典概型．下列三类试验都不是古典概型：①样本点个数有限，但非等可能．②样本点个数无限，但等可能．③样本点个数无限，也不等可能．2．古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝kn＝n（A）n（Ω）.其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．典型应用1样本点的列举一只口袋内装有5个大小相同的球，白球3个，黑球2个，从中一次摸出2个球．(1)共有多少个样本点？(2)“2个都是白球”包含几个样本点？【解】(1)法一：采用列举法．分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，则样本点如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)共10个(其中(1，2)表示摸到1号，2号球)．法二：采用列表法．设5个球的编号分别为a，b，c，d，e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：事件，故共有10个样本点．(2)法一中“2个都是白球”包括(1，2)，(1，3)，(2，3)，共3个样本点，法二中“2个都是白球”包括(a，b)，(b，c)，(a，c)，共3个样本点．。
概率论基础教程原书第10版_(美)罗斯著介绍概率论是数学中的一个分支，研究随机现象的规律性及其概率的理论基础。
本文将介绍概率论的基础知识，主要参考了美国数学家罗斯的著作《概率论基础教程》的第10版。
概率论的应用非常广泛，涵盖了统计学、经济学、物理学、计算机科学等多个领域。
通过学习概率论，我们可以更好地理解和处理不确定性和随机性。
概率的定义概率可以简单地理解为某个事件发生的可能性。
在概率论中，概率是一个介于0和1之间的实数。
事件发生的概率为0意味着该事件不可能发生，而概率为1则表示该事件必定发生。
对于一个随机试验，所有可能结果的概率之和为1。
概率的计算方法在概率论中，我们可以使用不同的方法来计算概率。
一种常用的方法是古典概率计算法，适用于随机试验中所有可能结果都等可能发生的情况。
古典概率计算法的公式为：$P(A) = \\frac{n(A)}{n(S)}$，其中P(P)表示事件A发生的概率，P(P)表示事件A包含的基本事件的个数，P(P)表示样本空间中基本事件的总个数。
另一种常用的方法是频率概率计算法，适用于复杂的随机试验中。
频率概率计算法的公式为：$P(A) = \\frac{n(A)}{n}$，其中P(P)表示事件A发生的概率，P(P)表示事件A发生的次数，P表示试验总次数。
概率的性质概率具有以下几个重要的性质：1.非负性：概率值始终为非负数，即P(P)>=0。
2.完全性：样本空间的概率为1，即P(P)=1。
3.加法性：对于两个互斥事件A和B，它们的概率之和等于它们各自的概率的和，即$P(A \\cup B) = P(A) +P(B)$。
4.乘法性：对于两个独立事件A和B，它们同时发生的概率等于它们各自概率的乘积，即$P(A \\cap B) = P(A)\\times P(B)$。
条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率可以用P(P|P)来表示，读作“在B发生的条件下，A发生的概率”。
