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例1 某校新选出的学生会 6 名女委员, 文、 理、工科各占1/6、1/3、1/2，现从中随机 指定 2 人为学生会主席候选人. 令X , Y 分 别为候选人中来自文、理科的人数.
求(X, Y) 的联合分布律和边缘分布律.
解 X 与Y 的可能取值分别为0 , 1与0 , 1 , 2. 由乘法公式
P(X 0,Y 0) P(x 0)P(Y 0 X 0)
C
2 5
C
2 6
C C
2 3
2 5
3/15,
或由古典概型
P( X
0,Y
0)
C
2 3
/
C
2 6
3/15,
相仿有
P(X
0,Y
1)
C12C13
/
C
2 6
6 /15,
P(X
0,Y
2)
C
2 2
/
C
2 6
1/ 15;
P(X
1,Y
0)
C11C13
/
C
2 6
3/15,
P(X 1,Y 1) C11C12 / C62 2 /15,
联合分布律
设( X ,Y )的所有可能的取值为
则称 (xi , y j ), i, j 1,2,
P( X xi ,Y y j ) pij , i, j 1,2,
为二维 r.v.( X ,Y ) 的联合概率分布
也简称 概率分布 或 分布律 解析表示法
性质: pij 0, i, j 1,2,
F(x, y)
pij , x , y .
第八讲 二维离散随机变量的概率
分布
教学目的： 1.讲解二维离散随机变量的概率分布 （联合、边缘）； 2. 讲解二维随机变量的分布函数 (联合、边缘；离散→连续） ; 3. 讲解随机变量的独立性.
教学内容：§ 2.9 ～ 2.11(与书上不 同)
多 维 分 布
在实际问题中, 试验结果有时需要同 时用两个或两个以上的 r.v.来描述.
讨论： 二维r.v.作为一个整体的概率特性 其中每一个r.v.的概率特性与整体 的概率特性之间的关系
二维离散型 r.v.及其概率特性
定义 若二维 r.v.(X ,Y )所有可能的取值
为有限多个或无穷可列多个, 则称 (X ,Y ) 为二维离散型 r.v.
要描述二维离散型 r.v.的概率特性及 其与每个 r.v.之间的关系常用其联合 概率分布和边缘概率分布
y (x, y)
x
(, )
联合分布函数的性质
y
① 0 F(x, y) 1
F(, ) 1
y
F(, ) 0
(,)
(,)
x
(x, y)
x
F(x, ) 0
F(, y) 0
y
x
y
x
② 对每个变量单调不减 固定 x , 对任意的 y1< y2 , F (x, y1) F (x, y2) 固定 y , 对任意的 x1< x2 , F (x1,y) F (x2, y)
3 P(X 0,Y 1) 0
(X, Y) 的联合分布律及边缘分布为pij X Y0 Nhomakorabea1
p• j
-1
0
1
1
3
0
0
pi•
1 3
1
1
3
3
1
0
3
1
1
3
3
2
3
二维随机变量的联合分布函数
定义 设( X , Y ) 为二维 r.v. 对任何一对 实数( x , y ), 事件
(X x) (Y y) (记为X x,Y y )
的概率 PX x,Y y 定义了一个二元
实函数 F ( x , y )，称为二维 r.v.( X ,Y ) 的分布函数，即
F(x, y) PX x,Y y
分布函数的几何意义
如果用平面上的点 (x, y) 表示二维r.v. (X , Y )的一组可能的取值，则 F (x, y) 表示 (X , Y ) 的取值落入图所示角形区域的概率.
联合分布律 及边缘分布律
Y X x1 xi
p• j
y1
p11 pi1
p•1
yj
p1 j pij
p•
j
pi•
p1• pi
1
•
pij P(X xi , Y y j ) 的求法
⑴ 利用古典概型直接求； ⑵ 利用乘法公式
pij P(X xi)P(Y yj X xi) .
③ 对每个变量右连续 F (x0 , y0) = F (x0+ 0 , y0 )
F (x0 , y0) = F (x0 , y0 + 0 )
④ 对于任意 a < b , c < d
F (b,d) – F (b,c) – F (a,d) + F (a,c) 0
事实上
d
F (b,d) – F (b,c)
P(X 1,Y 2) 0.
故联合分布律与边缘分布律为
XY 0 1
p•
j
01
2
pi
•
3/15 6/15 1/15 2/3
3/15 2/15 0 1/3
6/15 8/15 1/15 1
例2 二元两点分布
pij X
1
Y
1
p
0
p• j
0p
0
0
qq
pi•
p
q1
p + q = 1 ，0 < p < 1
例3 设 X的分布为
c
– F (a,d) + F (a,c)
Pa
X
b, c
Y
d
a
0
b
注意 对于二维 r.v.
PX a,Y c 1 F(a,c)
PX a,Y c
(a,+) (+,+)
P(a X ,c Y ) y
1 F(,c)
c (a,c) (+,c)
F(a,) F(a,c)
a
x
二维离散 r.v.的联合分布函数
pij 1
i1 j1
( X ,Y ) 的联合分布律表
X Y
y1
x1
p11
xi
pi1
yj
p1 j
pij
二维离散 r.v.的边缘分布律
记作
P(X xi ) pij pi•, i 1,2,
j1
记作
P(Y y j ) pij p•j , j 1,2,
i1
由联合分布可确定边缘分布,其逆不真.
P(X 1) P(X 0) P(X 1) 1 3
Y X 2, 求(X, Y) 的联合分布律及边缘分布.
P(X 1,Y 0) P(X 1)P(Y 0 X 1) 0 P(X 1,Y 1) P(X 1)P(Y 1 X 1) 1 P(X 0,Y 0) P(X 0)P(Y 0 X 0) 1 3
例如 用温度和风力来描述天气情况. 通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究 钢的成分. 要研究这些 r.v.之间的联系, 就 需考虑多维 r.v.及其取值规律—多维分布.
二维随机变量及其分布
定义 设为随机试验的样本空间，
一定法则 X (),Y () R2
则称( X , Y )为二维r.v.或二维随机向量
