中央电大《微积分初步》模拟试题

微积分初步模拟试题一一、填空题（每小题4分，本题共20分）⒈函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ．答案：),3()3,2(+∞⋃ 提示：对于)2ln(1-x f，分母不能为0，即3≠x ；对于)2ln(-x ，要求02>-x ，即2>x 。

所以函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是),3()3,2(+∞⋃⒉函数1322+--=x x x y 的间断点是= ．答案：1-=x提示：若)(x f 在0x 有下列三种情况之一，则)(x f 在0x 间断：①在0x 无定义；②在0x 极限不存在；③在0x 处有定义，且)(lim 0x f x x →存在，但)()(lim 00x f x f x x ≠→。

题中在10-=x 处无定义 ⒊曲线1)(+=x x f 在)1,0(点的斜率是 ．答案：21提示：若已知曲线方程)(x f y =，则它在任一点x 处的斜率为)(x f k '=。

题中，121)(+='x x f ，将0=x 代入上式得21)0(='f ⒋若⎰+=c x x x f 2cos d )(，则)(x f ' ．答案：x 2cos 4-提示：x c x x f 2sin 2)2(cos )(-='+=x x x f 2c o s 4)2s i n2()(-='-=' ⒌微分方程0)(3='+''y y x 的阶数是 ．答案：2提示：微分方程的阶数是微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶次。

二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B提示：)(sin )sin()(x f x x x x x f ==--=-，所以函数x x y sin =是偶函数。

⒉若函数xxx f 2sin )(=，则=→)(lim 0x f x （ ）.A ．21B ．0C ．1D ．不存在 答案：A 提示：2121121sin lim 2sin lim00=⨯=∙=→→x x x x x x⒊函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先减后增D ．先增后减 答案：C提示：)1(2+='x y ，令0='y ，得驻点1-=x 。

当12-<<-x 时，0<'y ，函数单调减少；当21<<-x 时，0>'y ，函数单调增加；即函数先减后增。

⒋下列无穷积分收敛的是（ ）． A ．⎰∞+0d in x x s B ．⎰∞+-02d e x xC ．⎰∞+1d 1x x D ．⎰∞+1d 1x x答案：B 提示：1cos cos d in 00+∞-=-=+∞∞+⎰x x x s 发散212112121d e 20202=+∙-=-=∞-+∞-∞+-⎰e e x xx 收敛1ln ln d 101-∞==∞++∞⎰x x x发散 ∞==+∞+∞⎰22d 101xx x发散⒌微分方程1+='y y 的通解是（ ）A. c x y +=221； B. c x y +=2； C.c y x +=e ； D.1e -=xc y答案：D提示：原方程经移项得，1=-'y y ，可见1)(,1)(=-=x q x p⎰-=x dx x p )(，x dx x p e e =⎰-)(，x dxx p e e -=⎰)(x x x x x dxx p dx x p ce c e e c dx e e c dx e x q e y ---+-=+-=+=+⎰⎰=⎰⎰1)()(])([)()(三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈ 计算极限123lim 221-+-→x x x x ．解 2112lim )1)(1()2)(1(lim 123lim 11221-=+-=-+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x x ⒉ 设x x y cos ln 23+=，求y '.解 )s i n (c o s 12321x x x y -+='x x t a n 2321-=3．计算不定积分x xxd e 5e ⎰+解 c x x x xx x x ++=++=+⎰⎰e 52d e 5)e d (5d e 5e4．计算定积分⎰2d sin πx x x解⎰20d sin πx x x 1sin d cos cos 202020==+-=⎰πππx x x x x四、应用题（本题16分）用钢板焊接一个容积为43m 的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？解：设水箱的底边长为x ，高为h ，表面积为S ，且有24xh = 所以,164)(22xx xh x x S +=+= 2162)(xx x S -=' 令0)(='x S ，得2=x ， 因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当1,2==h x 时水箱的表面积最小. 此时的费用为 1604010)2(=+⨯S （元）.微积分初步模拟试题二一、填空题（每小题4分，本题共20分）⒈函数x x x f 2)1(2+=+，则=)(x f ．答案：12-x提示：1)1(2)1(22-+=+=+x x x x f ，所以1)(2-=x x f⒉函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,20,2sin )(x x k xx x f 在0=x 处连续，则k = ． 答案：2提示：因为2)0(0)2sin(lim 0==+=+→f k k xx x ，所以0=k ⒊曲线1)(+=x x f 在)1,0(点的斜率是 ．答案：21 提示：若已知曲线方程)(x f y =，则它在任一点x 处的斜率为)(x f k '=。

题中，121)(+='x x f ，将0=x 代入上式得21)0(='f ⒋=+-⎰-x x x d )253(113 ．答案：4提示：注意被积函数的第一、二项是奇函数，其积分结果为0，第三项是偶函数，因此 原式=44221012==⎰x dx⒌微分方程0sin )(3=-'+''y y y x 的阶数是 ．答案：2提示：微分方程的阶数是微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶次。

二、单项选择题（每小题4分，本题共20分） ⒈函数2312+--=x x x y 的定义域（ ）． A ．2≠x B ．1≠x C ．2≠x 且0≠x D ．2≠x 且1≠x 答案：D 提示：)2)((1(12312---=+--=x x x x x x y ，为要求分母不能为0 ，必须有2,1≠≠x x⒉若函数xx x f 1sin)(=，则=∞→)(lim x f x （ ）.A ． 0B ．21C ．1D ．不存在 答案：C提示：111sinlim 1sinlim )(lim 01===→∞→∞→xx x x x f xx x⒊函数742++=x x y 在区间)5,5(-是（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先减后增D ．先增后减 答案：C提示：42+='x y ，令0='y ，得驻点2-=x 。

当0,25<'-<<-y x ，函数单调减少；当0,52>'<<-y x ，函数单调增加。

所以函数先减和增。

⒋下列无穷积分收敛的是（ ）． A ．⎰+∞12d 1x x B ．⎰+∞13d 1x x C ．⎰∞+1d 1x x D ．⎰∞+1d 1x x答案：A 提示：A .1101d 1112=+=-=+∞∞+⎰x x x ，收敛 B .2323d 113213-∞==+∞∞+⎰x x x，发散 C .∞==∞++∞⎰11ln d 1x x x，发散 D .22d 111-∞==+∞+∞⎰xx x，发散⒌下列微分方程中为一阶线性微分方程的是（ ） A. yx e y +='； B. x y y =+'sin ；C. x y y sin ='；D. x xy y tan sin =+''答案：B提示：所谓“线性”是指方程中含有未知数y 和它的导数y '的项都是关于y 、y '的一次项。

三、计算题（本题共44分，每小题11分）⒈ 计算极限286lim 221--+-→x x x x x ．解 286lim 221--+-→x x x x x 32)1()4(l i m )1)(2()4)(2(lim 22-=+-=+---=→→x x x x x x x x⒉ 设x x y 3ln 5cos +=，求y '.解 xxx x x x x x x y 223l n 35s i n 5)(l n l n 3)5(5s i n )(l n )5(c o s +-='+'-='+'='3. 计算不定积分x xxd sin ⎰解 x xxd s i n ⎰=2c x x x +-=⎰cos 2d sin⒌ 计算定积分⎰20d cos πx x x解⎰20d cos πx x x 12cos 2d sin sin 202020-=+=-=⎰πππππx x x x x四、应用题（本题16分）欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x ，高为h ，容器的表面积为y ，由已知5.622=h x ，25.62x h =x x xx x xh x y 2505.62442222+=⋅+=+= 22502xx y -=' 令0='y ，解得5=x 是唯一驻点，易知5=x 是函数的极小值点，此时有5.255.622==h ，所以当5=x ，5.2=h 时用料最省．微积分初步期末模拟试题三一、填空题（每小题4分，本题共20分）⒈函数241)(xx f -=的定义域是 ．答案：)2,2(-提示：要求分母不能为0，即2,2-≠≠x x ；对于根号内，要求042>-x ，即2,2-><x x 。

所以函数241)(xx f -=的定义域是)2,2(-。

⒉若24sin lim0=→kxxx ，则=k ．答案：2 提示：24444sin lim 4sin lim00==∙=→→kk x x kx x x x ，所以2=k 。

⒊已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ．答案：21x-提示：x x x f 1)(ln )(='='，21)1()(xx x f -='='' ⒋若⎰=x x s d in ．答案：c x +-cos提示：c x x x s +-=⎰cos d in⒌微分方程y x e x y y x +='+'''sin )(4的阶数是 ． 答案：3二、单项选择题（每小题4分，本题共20分）⒈设函数x x y sin =，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B提示：)(sin )sin()(x f x x x x x f ==--=-，所以函数x x y sin =是偶函数。