单级倒立摆的LQR控制和DMC控制Matlab仿真比较

上显得有所不足。
，一 舶 ～。Ｑ ｌ
、 ● ●
～、
本 文 以 一 阶 直 线 倒 立 摆 实 验 对 象 ， 首 先 在 Ｍａｌｂ 的 ｔ ａ
Ｓｍｕｉ ｉ ｌｋ环 境 下 ， 计 Ｌ ｎ 设 ＱＲ控 制 器 ， 真 所 建 立 的 倒 立 摆 模 型 ， 仿
并 对 实 验 结 果 进 行 分 析 ，发 现 Ｌ ＱＲ控 制加 权 阵 Ｑ 和 Ｒ很 难 确
Ｊ ｙ ：（ － （－ ＋ ｙ ＸＡＵＴ Ｕ △
Ｊ
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Ｉ Ｉ ］＇ ｔｉ ，ｉ ｊ
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用Ｙ 替 ， 令 代 并
ｄ △ Ｕ
一 ＝ 求得 ： ｏ，
）其 中 Ｃ ［ ， ＝ １ ０… ０ ］
ａＵ Ｃ （ ＋ １ ＝ Ａ Ａ Ｘ） （ Ａ
／
角 懂
√ ∑［ 』 ）Ｔ Ｈ ］ ∑ Ａ （ 一） 的最小值来确 ： （ 一（ ） ＋ （［ ｕ Ｈ ７ （ 叫 ｋ ） ｋ ］
ｉ＝ Ｉ ｉ； Ｉ
／
．
定的 ， 以使 系统 在 未 来 某 个 时 刻 的 输 出 值尽 可能 接 近 期 望 值 。
指标函数也可简记为 ：
ｃ ｎｔｏｌ ｄ ｓｉ ｄ ｏ ｒｌ ｅｒ ｅ ｇｎ ａｎ ＤＭＣ ｃｏ ｔｏｌ ｒ ｅｓｇｎ ｎ Ａ丁Ｌ ｎ ｒ ｌ ｄ ｉ ｉ Ｍ ｅ ＡＢ／ Ｍ Ｕ Ｊ ｅ ｉ ｎｍｅｎ ｓｎ ｅ ｎｖ ｒｅ ｐｅｎ ｌｍ ｓａｔ ｓｐ ｅ ＳＩ ＬＮＫ ｎｖｒ ｏ ｔｏｎ ａ ｉｇｌ ｉ ｅ ｔｄ ｄｕｕ ｔ ｅ— ａｃ
（ 误 差校 正 ３）
由 于 对象 及环 境 的不 确 定 性 ， ｋ时 刻 实 施 控 制 作 用 后 ， 在 在 ｋ ＋ｌ时刻 的 实 际输 出 ｙ ｋ １ 与 预 测 输 出ｙ ）Ｙ （＋ ）ａ △ｕ （＋ ） （＋１＝ ｏ ７＋ ， （） 一 定相 等 ， 此 构 造 预 测误 差 不 因
求 ， 因此 ，本 文 引入 基 于近 似线 性 状 态空 间 的 动 态矩 阵 控 制算
法 ， 用 建 立 预 测 模 型 ， 态 优 化 参 数 ， 馈 校 正 控 制 逐 步 最 优 采 动 反 的方 法 ，并 在 Ｍａｌ ｔ ｂ模 型 预 测 工 具 箱 环 境 下 进 行 仿 真 实 验 ， ａ 表
现出 比 Ｌ ＱＲ方 法 更 好 的 控 制 效 果 。 表 明 ， 为 先进 的过 程控 制 作
最 佳 控 制 量 ｕ 一 Ｘ（） 的反 馈 增 益 矩 阵 Ｋ 使 得 控 制 性 能 指 标 ＝ Ｋ ｔ中 ，
算 法 的动 态 矩 阵控 制 ， 适 用 于 传 统 的 状 态 空 间 模 型 对 象 ， 且 也 并 表 现 出较 好 的 控 制 效果 。
Ｋ ｙ ｒ ｓａ ｓｎ ｌ ｉ ｅ ｔ ｄ ｐ ｎ ｕｕ ｓａｅ ｓ ａ ｅ ｓ ｓｅ Ｌ ｏ ｔ ｌ ｒ ｄ ｌｐ ｅ ｉｔ ｅ ｃ ｎ ｒ １ ＭＣ ｃ ｎ ｒ ｌ ｒ ｅ ｗｏ ｄ ： ｉｇｅ ｎ ｒ ｅ ｄ ｌｍ， ｔ － ｐ ｃ ｙ ｔ ｍ，ＱＲ ｃ ｎｒ ｌ ， ｖ ｅ ｔ ｏ ｅ ｍｏ ｅ ｒ ｄ ｃｉ ｏ ｔ ． ｖ ｏＤ ｏｔ ｌ ｏｅ
组成的系统 ， 右图所示。 如
假 设 ： 车 质 量 Ｍ ， 杆 质 量 ｍ ， 车 摩 擦 系 数 ｂ 摆 杆转 动 小 摆 小 ，
轴 心 到 杆 质 心 的长 度 ， 杆 惯 量 ｌ加 在 小 车 上 的力 Ｆ 小 车 位 移 摆 ， ，
要 求 反 馈 增 益矩 阵 Ｋ， 先 确 定 Ｑ 和 Ｒ， 们 用 于 平 衡 状 态 首 它
关 键 词 ： 态空 间模 型 ， ＱＲ控 制 器 ， 型 预 测 控 制 ， Ｍ 状 Ｌ 模 Ｄ Ｃ控 制 器
Ａｂｓｒ ｔ ｔａｃ
Ｂ ｓ ｄ ｏ ｈ ａ ｉ ｒ ｃｐ ｅ ｆ Ｌ ｎ ｒ ｌａ ｄ Ｍｏ ｅ Ｐ ｅ ｉｔ ｅ Ｃ ｎｒ ｌ ｈ ａ ｅ ｎ ｒｄ ｃ ｓ ｔ ｅ ｒ ｃ ｓ ｏ ＱＲ ａ ｅ ｎ ｔ ｅ ｂ ｓｃ ｐ ｉ ｉｌｓ ｏ ＱＲ Ｃｏ ｔ ｎ ｄ ｌ ｒ ｄ ｃｉ ｏ ｔ ， ｅ ｐ ｐ ｒ ｉｔ ｕ ｅ ｈ ｐ ｏ ｅ ｓ ｆ Ｌ ｎ ｏ ｖ ｏｔ ｏ
胡 蓉 （ 广东工程职业技术学院机电工程 系， 广东 广州 ５ ０ ２ ） １５ ０
陶 雪 华 （ 中原工学院信 息商务学院机 电工程系， 河南 郑’ ４ １ ７ ） 州 ５ １ １
摘 要
建立 了单级 直线倒立摆 的状态 空间模 型 ， 分别从线性 最优二 次型（ＱＲ 控 制和模 型预 测控制 的原理 出发 ， ＭＡ — Ｌ ） 在 Ｔ Ｌ ／ Ｉ ＩＫ环境 下 ， ＡＢ ＳＭＵＬＮ 设计 了 Ｌ ＱＲ控 制器和动态矩 阵控 制（ ＤＭＣ） 制器 ， 控 对所 建立的倒 立摆模 型对 象进行 系统控 制仿 真 。 仿 真 结 果表 明 ， 为 先 进控 制 的 ＤＭＣ 控 制 的 效 果 比作 为 最优 控 制 的 Ｌ 作 ＱＲ控 制 效 果 更好 ， 鲁棒 性 更 强 。
（ ｍ） ＋ ｘ ｍ ＝ｕ Ｍ＋ ｘ ｂ — （） １
０
， ＝ ， Ｍ ｔ ｂ中 运 用 命 令 Ｋ ｌｒＡ， Ｑ， Ｒ １ 在 ａｌ ａ ＝ｑ （ Ｂ，
《 业 控 制计 算 机 ） ０ １年 第 ２ 工 ２１ ４卷 第 ８期 Ｒ 可 首 先 求 出反 馈 增 益 矩 阵 Ｋ 在 Ｍａｌｂ Ｓｍｕｎ ） 。 ｔ ｉ ｌ ｋ中建 立 仿 ａ ｉ
真 模 块 进 行 仿 真 ， 始 参 考 输 入 阶跃 信 号 ， 真 结 果 （ 图 ２ 显 初 仿 如 ） 的 ｎ步 预估 值 ， 预 测 模 型 用 矩 阵 表述 为 ： 则
０
示 出 ， 车 位 移 能 够 跟 踪 输 入 信 号 ， 究 Ｑ 和 Ｒ发 现 ， 意 改 变 小 研 随
Ｑ 和 Ｒ， 杆 超 调 量 和 调 整 时 间 都 会 不 断 变 化 ， 统 产 生 振 荡 ， 摆 系
＋ ｌ ７ ） Ｉ
一
）
、
当 Ｒ增 大 时 ， 控 量 幅值 显 著 减 小 ， 对应 的动 态 性 能指 标 有 所 被 其
ｍ＋Ｔ
ｆ ｍ一７ （ ＋ ）
改 善 ， 不 显 著 ； Ｑ 矩 阵 中某 一 元 素 的值 增 大 时 ， 其 对 应 的 但 当 与
Ｘ（ ：
广 一
。 。 Ｄ一
０ Ｄ
Ｕ
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定 ， 者之 间存 在 相 互 影 响 此 消 彼 长 的 关 系 。 文 献 ［ ］ 从算 法 二 ３也
上研究 了二者的关系 ， 样表 明 ， 于精确数学模 型的 Ｌ 同 基 ＱＲ控 制 ， 由于 加 权 阵 的选 取 的 随 意性 ，导 致 很 难 达 到理 想 的 设计 要
１解 黎 卡 提 方 程 Ｐ Ａ — Ｂ Ｐ Ｑ＝ ， 得 矩 阵 Ｐ ） Ａ＋ Ｔ Ｐ Ｒ Ｂ 十 ０ 求 。 ● ●
２ 按 Ｋ Ｒ ‘Ｔ 算 反 馈 增 益 矩 阵 Ｋ。 ） ＝ 。 ｐ计 Ｂ ３ 得 到 最 优 控 制 律 Ｕ ｔ＝ Ｋ ｔ。 ） （） 一 Ｘ（）
单 阶 倒 立 摆 系 统 简 化 为 小 车 和 均 匀 质 杆
ｓ ｓ ｅ ｗ ｉｈ ｉ ｆ ｓ ｌ ｇｖ ｎＴ ｅ ｓｍｕａｉｎ ｒｓ ｌ ｅ ｅ ｌ ｈ ｔＤＭＣ ｃ ｎｒ ｌ ｒｓ ｏ ｅ ｔ ｒ ｐ ｒ ｒ ｎ ｅ ｔ ａ ＱＲ ｃ ｎ ｒ ｌ ｒ ｙ ｔ ｍ ｈｃ ｓ ｉ ｔ ｉ ．ｈ ｉ ｌｔ ｅ ｕ ｓ ｒｖ ａ ｔ ａ ｒ ｙ ｅ ｏ ｔ ｏ ｔ ｌ ｈ ｗｓ ｂ ｔ ｅ ｆ ｍａ ｃ ｈ ｎ Ｌ ｏ ｔ ｌ ｏｅ ｅ ｏ ｏｅ
单 级倒 立 摆 的 Ｌ ＱＲ控 制 和 ＤＭＣ 控 制 Ｍａｌｂ仿 真 比较 ｔ ａ
单级倒立摆的 Ｌ ＱＲ控制和 Ｄ ＭＣ控制 Ｍａｌ ｔ ｂ仿真比较 ａ
Ｃｏ ｍｐ ｒ ｏ ｔ ｄ ｆ Ｌ ｎｒ ｌａ ｄ ＤＭＣ Ｃｏ ｔ ｌ ｎ Ｓ ｎ ｌ ｎ ｅ ｔ ｄ ｅ ｄｕｕ ａ ｉ ｎ Ｓ ｕ ｙ ｏ ＱＲ Ｃｏ ｔ ｎ ｓ ｏ ｎ ｒ Ｏ ｉ ｇｅ Ｉ ｖ ｒ Ｐ ｎ ｌｍ ｏ ｅ
ｌ 一 Ｄ 一 Ｄ ｇ＝ ８ ０ １ ， ９． Ｅ Ｄ型
２ Ｌ ＱＲ 控 制器 设 计 及 Ｓｍｕｎ ｉ ｌ ｋ仿 真 ｉ 根据 Ｌ ＱＲ 的原 理 ， 对 状 态 空 间方 程 Ｘ Ａ ＋ ｕ 通 过 确 定 针 ＝Ｘ Ｂ ，
＼、 ●● ● ， ｝● ●● ● ．’＼
固高科技公 司 ２ 直线倒立 摆物理建模 和机 理建模人 手 ， 从 利 用 Ｍａｌｂ工 具 箱 详 细 深 入 地 进 行 了 仿 真 实 验 ， 效启 发 了读 ｔ ａ 有 者 对 高 复 杂 、 线 性 系 统 的 控制 研 究 。文 献 ［ ］ 将 近似 模 型线 非 ３在
性化 ， 即摆 杆 倾 斜 角 是 小 角 度 （ － Ｏ ） 基 础 上 用 ＰＤ 控 制 和 ＜ １。的 Ｉ Ｌ ＱＲ控 制 的 方 法 进 行 了 仿 真 实 验 ，并 且 取 得 了 较 好 的 控 制 效 果 。 献 ［ ］ ＰＤ和 Ｌ 文 １用 Ｉ ＱＲ两 种 方 法 对 倒 立 摆控 制 对 比研 究 ， 结
其 中 ， ＝ （ ｍ） Ｍｍｌ Ｄ Ｉ Ｍ＋ ＋ 。
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以 下 仿 真 实 验 中 ， Ｏ１ Ｍ＝ ， ＝ ．， ０２ ，＝ ． ３ ｍ＝ ． ， １ ｂ ０１ Ｉ ．５ ｌ００ ４， ＝ ０
（ ｍ ）一 ｇ ： 『 广 ｍ ／ ｍ ＋ ￣
（） ２
设， 由上 述 的微 分 方 程 模 型 转 化 为 系统 的状 态 空 间方 程 为 ：
、
果表 明 Ｌ ＱＲ要 比 ＰＤ控 制效 果 好 ， 是 由 于这 两种 方法 都是 线 Ｉ 但 性 控 制 器 ， 于像 倒 立 摆 这 样 的非 线 性 、 稳 定 系 统 ， 制 效 果 对 不 控