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单级倒立摆稳定控制摘要单级倒立摆是一种受控系统，在工业控制和机器人技术中有着广泛的应用。
这篇文档将介绍单级倒立摆的结构、原理和控制方法，特别是借助PID控制系统来实现单级倒立摆的稳定控制。
单级倒立摆是一种类人形机器人，它通常由一个水平旋转的轮子和一个通过电机传动的滑移杆组成，最后再由摆杆上的陀螺控制实现倒立。
这种结构使得单级倒立摆成为了机器人应用领域中的一个挑战问题。
为了实现单级倒立摆的稳定控制，需要在控制系统中引入一个合适的控制机制。
PID控制算法是一种最为通用的控制算法之一，常被用于像单级倒立摆这样的机器人平衡控制。
PID控制PID控制是一种基于反馈的控制系统，在工业和机器人技术中得到了广泛的应用。
PID控制通过比较实际的输出值与期望的输入值之间的差异，来作出对输出值的控制。
PID控制可以对输出值的稳定性、可靠性和精度进行控制，适用于不同类型的工业和机器人控制系统。
PID控制通常由三个部分组成：比例(P)、积分(I)和微分(D)控制。
比例控制反馈调整输出值，使得实际输出值逼近期望输入值。
积分控制记录过去所有误差，并将这些误差相乘来调整输出值。
微分控制通过记录过去的误差变化率，来防止输出值的快速变化。
在单级倒立摆稳定控制中，采用PID控制可以较好地解决因摩擦力、惯性、重心偏移等因素导致的系统不稳定问题，进而实现系统的平衡控制。
单级倒立摆的稳定控制实现单级倒立摆的稳定控制需要进行以下步骤：步骤1：系统建模将单级倒立摆系统建模，根据运动学和动力学原理，得到系统的运动方程。
步骤2：PID参数调节通过对PID控制算法中比例、积分、微分三个部分的参数进行调整，得到较好的控制效果。
步骤3：PID控制实现将PID控制器与单级倒立摆系统进行连接，实现单级倒立摆的稳定控制。
本文档介绍了单级倒立摆的结构、原理和控制方法，分析了PID控制算法在单级倒立摆稳定控制中的应用。
通过对步骤进行深入的解析，得到了单级倒立摆的稳定控制方法。
单级倒立摆课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握单级倒立摆的基本概念、原理和数学模型；2. 使学生了解单级倒立摆在实际工程中的应用和价值；3. 引导学生运用物理知识分析单级倒立摆的动态特性及稳定性。
技能目标：1. 培养学生运用数学、物理知识解决实际问题的能力；2. 提高学生动手实践能力，学会设计、搭建和调试单级倒立摆控制系统；3. 培养学生团队协作、沟通表达及分析问题的能力。
情感态度价值观目标：1. 激发学生对物理科学研究的兴趣，培养创新意识和探索精神；2. 引导学生关注我国在倒立摆技术领域的发展，增强国家认同感；3. 培养学生严谨的科学态度和良好的学习习惯。
课程性质：本课程为物理学科实验课程，旨在通过实践操作，让学生深入理解单级倒立摆的原理和应用。
学生特点：本课程针对高中学生，他们在数学、物理基础知识方面有较好的储备，具备一定的动手能力和探究精神。
教学要求：结合学生特点，注重理论与实践相结合，引导学生主动参与，提高综合运用知识解决实际问题的能力。
将课程目标分解为具体的学习成果，便于后续教学设计和评估。
二、教学内容1. 理论知识：- 单级倒立摆的基本概念、原理及数学模型；- 倒立摆系统的动态特性分析；- 倒立摆稳定性判据及控制方法。
2. 实践操作：- 搭建单级倒立摆实验装置；- 设计并实现单级倒立摆控制系统；- 调试优化控制系统，实现倒立摆的稳定控制。
3. 教学大纲：- 第一周：单级倒立摆基本概念、原理及数学模型学习；- 第二周：倒立摆系统的动态特性分析；- 第三周：稳定性判据及控制方法学习；- 第四周：实践操作，搭建实验装置；- 第五周：设计并实现单级倒立摆控制系统；- 第六周：调试优化控制系统，总结交流。
教材章节：本教学内容参考课本第十章“自动控制”，具体涉及第1节“倒立摆控制”和第2节“倒立摆控制系统设计”。
教学内容安排和进度：按照教学大纲，每周安排一次课，共计6周。
理论教学与实践操作相结合，保证学生充分理解并掌握单级倒立摆相关知识。
单级倒立摆系统建模倒立摆倒立摆(Inverted Pendulum)作为一个被控对象，是快速、多变量、开环不稳定、非线性的高阶系统，必须施加强有力的控制手段才能使之稳定。
许多新的实时控制理论，都通过倒立摆控制试验来加以验证。
从工程背景来讲，小到日常生活中所见到的各种重心在上、支点在下的物体的稳定问题，大到火箭的垂直发射控制等关键技术问题，都与倒立摆控制有很大的相似性。
小车倒立摆系统建模图1所示的是人手保持倒立摆平衡的问题，相应的平衡条件是和。
人手保持倒立摆平衡与导弹在发射初始阶段的状态控制没有本质差异。
0)(=t θ0d /d =tθ图1 手持倒立摆小车倒立摆动力学分析(3)单级旋转倒立摆系统结构单级旋转倒立摆系统结构表1 旋转式倒立摆系统符号意义及参数值符号意义数值与单位M驱动臂的总质量 0.285kg 1M摆杆的总质量 0.175kg 2G转动力矩与控制电压之比 0.0508Nm/V 0U控制输入电压VJ驱动臂对其质心处的转动惯量 0.00185kgm²1J摆杆对其质心处的转动惯量 0.00137kg m²2L驱动臂的质心到转轴的距离0.119m1L摆杆的质心到转轴的距离 0.24m2表1 旋转式倒立摆系统符号意义及参数值符号意义数值与单位L从关节到转轴的距离0.127m12F转轴处的摩擦阻力矩系数0.05Nms1F关节处的摩擦阻力矩系数 0.0026 Nms 2f驱动臂与摆杆作用力的水平分力N1xf驱动臂与摆杆作用力的垂直分力N1yθ驱动臂相对垂直线的角位移rad1θ摆杆相对垂直线的角位移rad2g重力加速度9.8m/s²。
单级倒立摆系统课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解单级倒立摆系统的基本原理，掌握其数学模型和动力学特性；2. 学会分析单级倒立摆系统的稳定性，并掌握相应的控制策略；3. 掌握利用传感器和执行器实现单级倒立摆系统的实时控制方法。
技能目标：1. 能够运用所学的理论知识，设计并搭建单级倒立摆实验系统；2. 能够编写程序，实现对单级倒立摆系统的实时控制，使系统保持稳定；3. 能够分析实验数据，优化控制参数，提高系统性能。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对物理系统控制原理的兴趣，激发学生探索科学技术的热情；2. 培养学生的团队协作意识和解决问题的能力，增强学生的自信心；3. 引导学生关注科技创新，认识到所学知识在实际应用中的价值。
课程性质：本课程为理论与实践相结合的课程，旨在帮助学生将所学的理论知识应用于实际系统中，提高学生的实践能力和创新能力。
学生特点：学生具备一定的物理、数学基础，对控制原理有一定了解，但实践经验不足。
教学要求：注重理论与实践相结合，鼓励学生动手实践，培养解决实际问题的能力。
在教学过程中，注重引导学生自主学习，培养学生的创新意识和团队协作精神。
通过本课程的学习，使学生能够将所学知识应用于实际系统，提高自身综合素质。
二、教学内容1. 理论知识：- 单级倒立摆系统的基本原理及数学模型；- 单级倒立摆系统的稳定性分析；- 控制策略及控制算法在单级倒立摆系统中的应用；- 传感器和执行器在单级倒立摆系统中的作用及选型。
2. 实践操作：- 搭建单级倒立摆实验系统；- 编写程序实现实时控制；- 调试优化控制参数；- 分析实验数据，提高系统性能。
3. 教学大纲：- 第一周：介绍单级倒立摆系统基本原理，学习数学模型，进行稳定性分析；- 第二周：学习控制策略及控制算法，探讨其在单级倒立摆系统中的应用；- 第三周：了解传感器和执行器，学习其在单级倒立摆系统中的作用及选型；- 第四周：分组搭建单级倒立摆实验系统，进行程序编写和实时控制；- 第五周：调试优化控制参数，分析实验数据，提高系统性能。
单级倒立摆系统的分析与设计小组成员：武锦张东瀛杨姣李邦志胡友辉一．倒立摆系统简介倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。
由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性，因而对其研究具有重大的理论和实践意义。
由于倒立摆系统本身所具有的上述特点，使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。
单级倒立摆系统（Simple Inverted Pendulum System）是一种广泛应用的物理模型，其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有很多相似之处，因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途，倒立摆控制理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器入技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。
倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案。
最初研究开始于二十世纪50年代，单级倒立摆可以看作是一个火箭模型，相比之下二阶倒立摆就复杂得多。
1972年，Sturgen等采用线性模拟电路实现了对二级倒立摆的控制。
目前，一级倒立摆控制的仿真或实物系统已广泛用于教学。
二．系统建模1．单级倒立摆系统的物理模型图1：单级倒立摆系统的物理模型单级倒立摆系统是如下的物理模型：在惯性参考系下的光滑水平平面上，放置一个可以在平行于纸面方向左右自由移动的小车（cart ），一根刚性的摆杆（pendulum leg ）通过其末端的一个不计摩擦的固定连接点（flex Joint ）与小车相连构成一个倒立摆。
倒立摆和小车共同构成了单级倒立摆系统。
倒立摆可以在平行于纸面180°的范围内自由摆动。
倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然保持竖直向上状态。
在小车静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆受到微小的摄动时就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位，这时必须使小车在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。
基于极点配置的单级倒立摆t-s模糊控制
基于极点配置的单级倒立摆T-S模糊控制是一种控制方法，旨在实现单级倒立摆的控制。
T-S模糊控制又称为模糊控制器，是一种具有适应性的控制方法，可以应对非线性系统。
单级倒立摆是指一个质量集中在底部的刚性杆，这个杆可以绕着水平轴旋转，并在其顶端悬挂一个质量。
单级倒立摆是一种经典的非线性控制问题。
极点配置是一种控制系统设计方法，它是基于控制系统的极点位置来调整控制器参数，以达到预期的控制性能。
在基于极点配置的单级倒立摆T-S模糊控制中，控制器的设计包括两个部分。
第一部分是基于极点配置的控制器设计，这个部分主要是确定控制器的极点位置，以实现所需的控制性能。
第二部分是基于T-S模糊控制的控制器设计，这个部分主要是设计模糊规则和隶属函数，以实现在不同状态下的控制。
总体来说，基于极点配置的单级倒立摆T-S模糊控制是一种创新性的控制方法，它可以应对非线性系统的控制问题，并具有良好的控制性能。
单级倒立摆控制系统设计及MATLAB中的仿真第一步是建立单级倒立摆的数学模型。
单级倒立摆可以通过旋转关节将一根质量均匀的细杆与一个平台相连。
细杆的一端固定在平台上，另一端可以自由旋转。
细棒的旋转角度用θ表示，质心的位置用x表示。
根据牛顿力学和杆的动力学方程，可以得到如下数学模型：1.摆杆的运动方程：Iθ'' + mgl sin(θ) = u - F (1)其中，I是摆杆的转动惯量，m是摆杆的质量，g是重力加速度，l是摆杆的长度，u是控制输入（摆杆上的转动力矩），F是摩擦力。
2.质心的运动方程：m(x'' - lθ'²cos(θ)) = F (2)接下来是设计控制器来控制单级倒立摆。
一个常用的控制方法是使用线性化控制理论，其中线性化是将系统在一些工作点附近线性近似。
在这种情况下，将摆杆保持在垂直方向，并使质心静止作为工作点。
线性化系统的转移函数为：H(s) = θ(s)/u(s) = (ml²s² + mg)/(s(ml² + I))为了稳定单级倒立摆，可以使用自动控制理论中的反馈控制方法，特别是状态反馈。
状态反馈根据系统的状态变量来计算控制器输入。
为了设计状态反馈控制器，首先需要判断系统的可控性和可观测性。
根据控制系统理论，如果系统是可控和可观测的，则可以设计一个线性状态反馈控制器来稳定系统。
在MATLAB中，可以使用控制系统工具箱来设计单级倒立摆的控制系统。
首先，通过建立系统的传递函数模型（由线性化系统得到）来定义系统。
然后，使用控制系统工具箱中的函数来计算系统的稳定极点，并确定所需的反馈增益以稳定系统。
最后，可以使用MATLAB的仿真工具来模拟单级倒立摆的响应，并进行性能分析。
在进行仿真时，可以将倒立摆的初始状态设置为平衡位置，并应用一个输入来观察系统的响应。
可以通过调整控制器增益和系统参数来改变系统响应的性能，例如收敛时间、超调量和稳态误差。
基于拉格朗日建模的单级倒立摆起摆与稳定控制拉格朗日建模是一种经典的用来描述物体运动的数学方法。
倒立摆是一个典型的动态系统，在控制领域中有着广泛的应用。
通过拉格朗日建模可以描述单级倒立摆的运动方程，进而实现其起摆和稳定控制。
单级倒立摆由一个固定在支撑平面上的杆和一个可以沿杆轴旋转的质量小车组成。
杆的角度记为θ，小车的位置记为x。
首先，通过拉格朗日方程可以得到倒立摆的动力学方程：L = T - U其中，L为系统的拉格朗日函数，T为系统的动能，U为系统的势能。
对于单级倒立摆，可以将系统的动能和势能表示为：T = 1/2*m*ẋ^2 + 1/2*I*θ̇^2U = m*g*l*cos(θ)其中，m为小车的质量，I为杆的转动惯量，g为重力加速度，l为杆的长度。
ẋ和θ̇分别表示小车和杆的速度。
将动能和势能代入拉格朗日方程，即可得到系统的动力学方程：d/dt(∂L/∂ẋ) - ∂L/∂x = Fd/dt(∂L/∂θ̇) - ∂L/∂θ = 0其中，F为施加在小车上的外力。
经过计算，可以得到如下的方程：m*ẍ - m*l*θ̈*cosθ + m*l*θ̇^2*sinθ = FI*θ̈+ m*l*ẍ*cosθ - m*g*l*sinθ = 0这就是单级倒立摆的动力学方程，描述了杆的运动以及小车的受力等关系。
接下来，可使用控制理论中的各种控制方法，例如线性控制、非线性控制等，来实现单级倒立摆的起摆和稳定控制。
通过施加合适的控制输入F，使得杆保持在垂直位置附近，并稳定在指定的位置。
总之，基于拉格朗日建模的单级倒立摆起摆与稳定控制，通过分析系统的动能和势能，得到系统的动力学方程，然后使用控制理论中的方法进行控制设计，从而实现摆杆的起摆与稳定控制。
基于拉格朗日建模的单级倒立摆起摆与稳定控制1. 引言在探讨基于拉格朗日建模的单级倒立摆起摆与稳定控制之前，我们先来了解一下拉格朗日力学。
拉格朗日力学是一种研究物体运动的动力学方法，通过建立适当的广义坐标和拉格朗日函数，可以得到物体的运动方程。
倒立摆是一种典型的非线性控制系统，通过拉格朗日建模可以对其进行深入理解，从而实现稳定控制。
2. 基本概念拉格朗日力学的基本概念包括广义坐标、广义速度、拉格朗日函数等。
在单级倒立摆系统中，我们可以选取摆角作为广义坐标，角速度作为广义速度，通过拉格朗日函数可以描述系统的动力学行为。
在这里，我们要重点介绍拉格朗日方程，它是描述系统运动方程的核心。
3. 拉格朗日建模在单级倒立摆系统中，我们可以利用拉格朗日方程对系统进行建模。
我们需要确定系统的动能和势能函数，然后通过拉格朗日方程得到系统的运动学和动力学方程。
拉格朗日建模可以将系统的非线性特性充分考虑，从而更准确地描述系统的运动规律。
4. 单级倒立摆起摆单级倒立摆是一种经典的非线性控制系统，其起摆过程表现出了复杂的动力学行为。
在起摆过程中，系统需要克服重力和惯性力的作用，通过拉格朗日建模可以对系统的起摆过程进行深入分析。
在实际控制中，了解起摆过程的特点对于设计稳定控制很有帮助。
5. 稳定控制基于拉格朗日建模的单级倒立摆系统稳定控制是一个研究热点。
稳定控制的目标是使倒立摆在外部扰动的作用下能够保持平衡状态。
通过拉格朗日建模可以建立系统的控制方程，然后设计合适的控制器来实现稳定控制。
在稳定控制中，需要考虑系统的非线性特性和外部环境的影响，这就需要充分利用拉格朗日建模的优势。
6. 个人观点基于拉格朗日建模的单级倒立摆起摆与稳定控制是一个非常有挑战性的课题。
在研究和应用中，我认为需要充分理解拉格朗日力学的基本原理，深入掌握拉格朗日方程的推导和应用，同时结合倒立摆系统的动力学特性，才能够实现有效的稳定控制。
拉格朗日建模为我们提供了一种非常有力的工具，可以帮助我们更准确地描述和分析系统的动力学行为，从而实现高效稳定的控制。
《自动控制原理》课程设计之二基于状态空间法单级倒立摆的控制系统设计一、 单级倒立摆介绍倒立摆系统具有高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合等特性，是控制理论的典型研究对象。
如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等均涉及到倒置问题对倒立摆系统的研究在理论上和方法论上均有着深远意义。
单级倒立摆系统的原理图，如图1所示。
假设已知摆的长度为2l ，质量为m ，用铰链安装在质量为M 的小车上。
小车由一台直流电动机拖动，在水平方向对小车施加控制力u ，相对参考系差生的位移s 。
若不给小车实施控制力，则倒置摆会向左或向右倾倒，因此，它是个不稳定的系统。
控制的目的是通过控制力u 的变化，使小车在水平方向上运动，达到设定的位置，并将倒置摆保持在垂直位置上。
已知单级倒立摆的各项数据如下所示：,5.0,1.0,2m l kg m kg M ===g m g kgm I /8.9,025.02==图1 单级倒立摆模型二、 控制系统设计任务1、 查阅文献，建立单级倒立摆的状态空间数学模型。
取状态变量[]T ss x θθ =。
测试系统的开环特性。
2、用Matlab 分析系统能控性，能观性及稳定性。
3、 通过状态反馈配置改变闭环系统极点。
闭环极点自行决定。
采用极点配置后，闭环系统的响应指标满足如下要求为：● 摆杆角度和小车位移的稳定时间小于5秒● 位移的上升时间小于2秒● 角度的超调量小于20度● 位移的稳态误差小于2%。
4、 假设系统的状态[]T ss x θθ =均无法测量，为实现上述控制方案建立系统的全维观测器，观测器极点自行决定。
采用带有观察器极点配置后，闭环系统的响应指标满足如下要求为： ● 摆杆角度和小车位移的稳定时间小于5秒● 位移的上升时间小于2秒● 角度的超调量小于20度● 位移的稳态误差小于2%。
5、 假设系统的状态[]T ss x θθ =中，只用位移s 可以测量，其他状态变量均无法测量，为实现极点配置，建立系统的降维观测器，观测器极点自行决定。
单级倒立摆实验报告1. 单级倒立摆系统的建模单级倒立摆系统的建模可采用受力分析或Lagrange 方程建立得到。
这里采用受力分析方法建模。
如图所示：根据牛顿第二定律：(cos )0Mx m x L u θθ++-= (2-1) cos sin 0mLxI mLg θθθ--= (2-2)以摆杆偏角θ、角速度θ 、小车的位移x 和小车速度x为状态变量，即令： ()TX x x θθ=(2-3)同时假设倒立摆摆杆的垂直倾斜角度θ与1（单位为rad ）相比很小，即1θ 。
则可以近似处理：cos θ≈1，sin 0θ≈，并忽略高阶小量，则可得：2222()()m L g Ix u I m M mML I m M mML θ=+++++ （2-4）22()()()mL m M g mLu I m M mML I m M mMLθθ+=-+++++ （2-5）摆杆系统的状态方程为： 12222122344122()()()()()x x m L g I x x u I m M mML I m M mMLx x mL m M g mL x x u I m M mML I m M mML =⎧⎪⎪=+⎪++++⎨=⎪⎪+=-+⎪++++⎩（2-6） 写成向量的形式为：XAX Bu y CX Du ⎧=+⎨=+⎩(2-7)其中0100000A 0001000a b⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 00c B d ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,10000010C ⎛⎫= ⎪⎝⎭,00D ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2-8） 参数a 、b 、c 、d 分别为：222()m L gb I m M mML =++ （2-9）2()()mL m M ga I m M mML +=-++（2-10）2()Ic I m M mML =++ （2-11）2()mLd I m M mML =++（2-12）选择摆杆的倾斜角度θ和小车的水平位移x 作为系统的输出，则输出方程为：y CX = (2-13)根据金棒-2型倒立摆系统实验平台的参数，m=0.2kg ，M=0.6kg ，L=0.158m ，I=0.001654kg.m 2 ，g=10N/kg.同时，这里建模时候使用的ｕ是以力作为输入信号的，实际上采用的是以电压作为输入信号，通过电机作了一定的转化，这里我们约定：先暂时以力作为输入信号，最后再统一处理。
《现代控制理论》课程综合设计单级旋转倒立摆系统1 引言单级旋转倒立摆系统一种广泛应用的物理模型，其物理模型如下：图示为单级旋转倒立摆系统原理图。
其中摆的长度1l =1m ，质量1m =0.1kg ，横杆的长度2l =1 m ，质量2m =0.1kg ，重力加速度20.98/g m s =。
以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移1θ为输出。
控制的目的是当横杆在水平方向上旋转时，将倒立摆保持在垂直位置上。
图1 单级旋转倒立摆系统模型单级旋转倒立摆可以在平行于纸面3600的范围内自由摆动。
倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的推动下，摆杆仍然保持竖直向上状态。
在横杆静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆微小的扰动下，就会使倒立摆的平衡无法复位，这时必须使横杆在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。
作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，故单级倒立摆系统是一个非线性系统。
本文综合设计以以在水平方向对横杆施加的力矩M 为输入，横杆相对参考系产生的角位移1θ为输出，建立状态空间模型，在原有系统上中综合带状态观测器状态反馈系统，从而实现当横杆在旋转运动时，将倒立摆保持在垂直位置上。
2 模型建立本文将横杆和摆杆分别进行受力分析，定义以下物理量：本文将横杆和摆杆分别进行受力分析，定义以下物理量：M 为加在横杆上的力矩；1m 为摆杆质量；1l 为摆杆长度；1I 为摆杆的转动惯量；2m 为横杆的质量；2l 为横杆的长度；2I 为横杆的转动惯量；1θ为横杆在力矩作用下转动的角度；2θ为摆杆与垂直方向的夹角；N 和H 分别为摆杆与横杆之间相互作用力的水平和垂直方向的分量。
倒立摆模型受力分析如图2所示。
图2 倒立摆模型受力分析摆杆水平方向受力平衡方程：2111222(0sin )2l d N m l dt θθ=++（1θ2l —横杆的转动弧长即位移）摆杆垂直方向受力平衡方程：2111122(cos )22l l d H m g m dt θ-=-摆杆转矩平衡方程：22111222sin cos 22d l lJ H N dt θθθ=-横杆转矩平衡方程：21222d M Nl J dt θ-=考虑到摆杆在设定点12,=0θθ附近做微小振动，对上式进行线性化，即N22sin θθ≈，2cos 1θ≈ ，20θ≈&，其中23ml J =，近似线性化得到，()212222222120.10.50.98010.50.5130130d N dt H d H N dt d M N dt θθθθθ⎧=+⎪⎪-=⎪⎪⎨=⋅-⋅⋅⎪⎪⎪-=⎪⎩整理上式可得倒立摆的状态方程：21221114.71524110032M M θθθθθ∙∙∙∙∙∙∙∙⎧-+-⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩ 本文参数代入计算可得：12224.64211.05312.3799.474MMθθθθ∙∙⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩&& 取状态变量如下：11213242x x x x x θθθθ∙⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦&112233440010000 4.642011.053000100012.37909.474x x x x M x x xx ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&&&故[]1211341000x x y x x θ⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦3 稳定性和能控性分析3.1 稳定性分析判断一个系统是否稳定，只需判断该系统传递函数的极点是否都在左半平面。
单级倒立摆单级倒立摆评分：_________ SHANGHAI UNIVERSITY课程论文COURSE PAPER 单级倒立摆学院机自学院专业电气工程及其自动化学号12121696 学生姓名王龙康课程现代控制理论打印日期目录一、倒立摆的概述··················3二、单级倒立摆····················4三、倒立摆状态空间描述················5四、使用MATLAB·················· 8（1）状态反馈系统的极点配置··········· 8 （2）状态观测器实现状态反馈极点配置·······10一、倒立摆的概述：倒立摆控制系统：Inverted Pendulum System （IPS）倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。
2011级自动化1班 杨辉云 P111813841一级倒立摆的模糊控制一．倒立摆的模型搭建1. 单级倒立摆系统的数学模型对于单级倒立摆，如果忽略了空气阻力和各种摩擦阻力之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成沿着光滑导轨运动的小车和通过轴承链接的均质摆杆组成，如图所示，其中小车的质量M=1.40kg ，摆杆质量m=0.08kg ，摆杆质心到转动轴心距离L=0,.2m ，摆杆与垂直向下方向的夹角为，小车华东摩擦系数fc=0.1。
摆杆θ传送带导轨直线单级倒立摆2. 倒立摆控制系统数学模型的建立方法利用PID 控制和拉格朗日方程两种建模。
一级倒立摆系统的拉格朗日方程应为L （q ，。
.q ）=V （q ，。
q ）—G （q ，。
q ） （1）式中：L 是拉格朗日算子，V 是系统功能；G 系统势能。
dt d x ∂∂L — x ∂∂L + x∂∂D= fi （2）式中：D 是系统耗散能，fc为系统的第i 个广义坐标上的外力。
一级倒立摆系统的总动能为：V=θθcos x ml ml 32)(21222。
+++x m M （3）一级倒立摆系统的势能为：G=θcos mgl θ （4）一级倒立摆系统的耗散能为：D=221。
x fc（5）一级倒立摆系统的拉格朗日方程为：0=∂∂+∂∂-∂∂θθθDL L dt d (6) F XDX L X L dt d =∂∂+∂∂-∂∂ (7)将（1）到（5）式带入（6）式得到如下：0sin sin sin cos m 3422=-+。
——θθθθθθθθmgl x ml x ml x l ml （8）（M+m ）F x ml ml x fc=++θθθθsin cos 2。
— （9）一级倒立摆系统有四个变量：。
，，，θθx x 根据（7）式中的方程写出系统的状态方程，并在平衡点进行线性化处理，得到系统的状态空间模型如下：=。
X ⎢⎢⎢⎢⎣⎡00000189.000748.01-- 579.20386.00⎥⎥⎥⎥⎦⎤0100+x ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-8173.007467.00Y= ⎢⎣⎡01 010 ⎥⎦⎤00x二．倒立摆特性分析1. LQR 控制器的设计系统的能控性是控制器设计的前提，所以在设计前进行能控性分析，根据能控性矩阵[B TO =，AB ，B A 2，]B A 3，利用Matlab 中的rank 命令，可以得到r amk （TO ）=4。
由此可知，因为能控性矩阵满秩，所以系统是完全可控的，因此可以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。
线性二次型调节器的控制对象时线性系统，这个线性系统必须是状态空间的形式，其表示方式如下Bu Ax X +=。
Du Cx Y +=通过确定最佳控制量U=R —1BTPX= —KX 的矩阵，使性能指标为一下方程[]dt U R U QX X J T+=⎰τ21上式的值很小，其中，加权矩阵Q 和R 是用来平衡状态变量和输入变量的圈重；P 是Recite 方程的解，Recite 方程如下：PA + 01=+--Q P B PBR P A TT可以得到P 的值以及最有反馈增益矩阵的K 值：K=P B R T1-LQR 用于单级的原理图如下所示R +_KCxY Bu Ax X =+=。
Y综合上述考虑得知，现在取Q=drag（[110，110，110,110]），R=1，利用MATLAB 提供的LQR函数，可得控制器的增益矩阵：K=[00024.- 8 250.312 0 158.534 ]- 0 210.10通过算法即可确定使目标函数值最小加权矩阵Q中优化元素的值，从而确定反馈控制规律的向量K。
三．合计方案方案一：由于倒立摆有4个输入量，对于一个多输入多输出（MIMO）系统，为了获得满意的控制精度和响应速度，通常需要在输入输出空间的每一维上定义多个语言变量使模糊语言规则数显著增加，而且由于各规则之间的耦合作用，使某一条规则的修改给整个模糊控制器带来的影响难以控制。
而模糊模型可以显著减少模糊语言变量和隐含条件句的数目，而且便于对控制系统进行分析、调试、和控制。
单级倒立摆是一个多输入多输出系统，因此选用拉格朗日方程建立模糊模型。
方案二：由倒立摆系统数学模型，倒立摆系统是一个具有两输出变量的不稳定系统，按照传统模糊控制设计方法，一个两输入的模糊控制器不可能实现对输出变量摆角和小车位移的控制，得需要一个四输入的模糊控制器。
对于多变量模糊控制系统，由于可能的控制规则数目是输入变量数的指数，但模糊规则的建立给系统的设计带来了很大难度，为此，系统采用双闭环的模糊控制器控制策略。
采用Mamdani模糊模型，分别设计角度和位移模糊控制器。
1.控制器设计模糊控制理论是建立在模糊集合论、模糊语言变量及模糊逻辑推理基础上的一种计算机数字控制理论。
‘模糊控制是一种非线性控制，属于智能控制的范畴，目前它己经成为智能控制的一种重要而有效的形式。
模糊控制是通过模拟人脑的模糊思维方法, 从而实现被控系统的控制的。
模糊控制器和模糊控制规则是设计的核心环节。
模糊控制器由4部分组成：模糊化、知识库、模糊推理、清晰化。
图示表示了模糊控制器的基本结构。
图中，R为系统设定值(精确量)；e,e分别为系统误差与误差变化率(精确量)；反映系统误差与误差变化的语言变量的模糊集合(模糊量)；u为模糊控制器输出的控制作用(精确量)：y为系统输出(精确量)。
含模糊控制器的系统基本方框图系统采用双闭环的模糊控制器控制，分别设计角度和位移模糊控制器。
图中，e ø,ec1分别为倒立摆的摆角偏差和摆角偏差变化率，作为角度模糊控制器的输入，分别为倒立摆的位移偏差和位移偏差变化率，作为位移模糊控制器的输入，控制系统在第一阶段先控制摆杆摆角的平衡，所以当输出量摆角|φ |≥5°时，a=1，控制量u=u 1，当摆杆接近平衡范围时系统进入第二控制阶段，即输出量摆角|φ |<5°时，控制量u=au1=(1-a )u2，逐渐将输出量位移控制在平衡点。
双闭环模糊控制器系统结构2.角度模糊控制器模糊推理系统中e1和e2为控制器输入，控制电压u 1为控制器的输出。
取输入e和输出u 1的模糊子集{NB,NM,NS,ZE,PS,PM,PB}，其中论域为[-0.526,0.526]，论域为[-1,1]，u1论域为[-6,6]。
选择输入量、输出u1的隶属函数为三角形(trimf)。
根据电机输出力的大小与摆杆角度、角速度的关系，确定角度控制的模糊规库如表所示。
在设计控制规则时，有些特殊情况必须予以考虑，如倒立摆摆杆出现最大偏角时，不再考虑角速度的变化，应及时输出最大控制力使摆杆不倒。
控制器的搭建表 1 角度模糊规则表3.位移模糊控制器小车位移模糊控制器的两个输入变量为位移偏差ex和位移偏差变化率，其中论域为 [-0.3,0.3]，论域为[-1,1]，分别定义5个模糊子{NB,NS,ZE,PS,PB}，输出u 2控制论域为[-2，4，2 ，4 ] ，分割成5级模糊子集，分别为{ NB,NS ,ZE ,PS ,PB }，量化等级为{-2.4,-1.2,0,1.2,2.4}。
选择输入量的隶属函数为三角形（trimf）。
输出u2的隶属函数为单点常数。
根据电机输出力的大小与小车位移、速度的关系，小车位移模糊控制规则库如表所示，考虑到有些情况不允许发生，不设定模糊规则，如小车位移为NB的同时小车速度为NB的状态不可控，应预先加以调整。
设定模糊决策采用Mamdani型推理算法，解模糊用重心平均法。
表2 位移模糊控制器四．建模仿真用Simulink来搭建角度模糊控制器和位移模糊控制器[3-6]，其仿真框图如图所示。
通过模糊控制器模块，可以和包含模糊控制器的fis文件联系起来，还可以随时改变输入输出论域，隶属度函数以及模糊规则，方便仿真和调试。
双闭环模糊控制在simulink环境下构建模糊控制系统，完成系统中各参数的整定，即系统中加权系数a取0.3，比例因子ke,kecku对控制效果的影响很显著,因而对量化因子的优化设计就显得非常重要[8]，经过大量仿真实验，不断调整角度模糊控制器输入比例因子kφ、keφ，输出比例因子ku1。
以及位移模糊控制器输入比例因子kx、kex，输出比例因子ku2。
根据实际系统参数及状态方程，在matlab 环境下编写控制程序，进行仿真试验研究，双模糊控制器的输出权重经过不断地试验得到，仿真后的系统输出曲线如下所示。
情况一：通过实验，保持输入比例因子不变，仅改变输出比例因子ku1、ku2时，角度和位移响应曲线如图所示。
随着输出比例因子(ku1、ku2)增大，上升速率加快,响应时间减小。
通过仿真还可得知: Ku1、Ku2 过大时,系统输出上升速率过大，从而产生过大的超调乃至振荡和发散,严重时将会影响系统的稳态工作；而Ku1、Ku2 过小时,系统的增益很小,系统输出上升速率较小,调节速度变慢,即系统的过渡过程较长。
输出比例因子较大的仿真曲线分析：输出比例因子增大后，角度的响应曲线一直震荡，位移的响应曲线不在收敛，超调过大，以致系统发散而不稳定。
输出比例因子较小的仿真曲线分析：调小输出比例因子，系统的超调量减小，但过渡时间较长。
在20s左右，系统趋于稳定。
由仿真曲线可知，摆杆随后一直处于倒立位置,角度偏差几乎为零，小车位置保持在平衡位置附近。
情况二：保持输出比例因子不变，仅改变输出比例因子k、k时，角度和位移响应曲线如图5-4、5-5所示。
K增大, 反应变迟钝,调节时间变短,超调量增大; K减小, 反应加快, 上升速率小, 调节时间长, 超调量小. 通过仿真还可发现, K过小时, 调节时间就会过长, 严重时系统无法稳定工作。
分析：减小输入比例因子，降低了对误差和误差变化率的分辨能力，超调量较小，但调节时间较长，反应较慢，调节惰性加大，稳定精度降低。
摆角稳定在10左右。
输入比例因子较小的仿真曲线输入比例因子增大的仿真曲线五．仿真结果与分析去Q=diag（[110，110，110，110]），R=1时，得到的一级倒立摆仿真波形如图所示。
由图可知，小车经过 s时达到平衡，二摆角经过 s达到平衡。
对Q阵优化后系统响应超调量减少，响应速度加快，调节时间减少，系统的静差特性和动态特性都得到改善，如图所示六．结论利用拉格朗日方程建立了只想的单级倒立摆控制系统数学模型，在此基础上分析了该系统的控制性能，同时利用LQR控制器进行控制，通过仿真结果表明，LQR控制器对该系统具有良好的控制作用。
倒立摆系统作为典型的快速、多变量、非线性的系统，对控制性能的要求不断提高,传统控制理论对解决复杂系统效果不好.该论文将人工智能中的模糊控制引入控制系统,以提高控制要求,改善控制精度.通过仿真实验表明这种控制思路是可行的,其效果良好。
