第1章 信号与系统

Sa(t)= ，为偶函数，图形如图11示
特性：
定义函数
特性：
抽样信号不是实际物理装置能产生的信号，但在信号分析中有重要地位。图11
4.符号函数
定义为：
符号函数与单位阶跃函数关系：
5. 离散正弦序列
式中： 为常数，称为正弦序列的频率。一般通过对周期为T的正弦序列进行抽样（抽样周期为Ts），就可得到正弦序列。图12
•现代通讯方式：网络通讯、视频电视传播、卫星传输、移动通讯
1.2 信 号
一、信号的描述
信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或位置变化的物理量。信号可以是时间的一元函数，也可以是空间和时间的二元函数，还可以是变换域中变量的函数。
信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们可以相互转换。电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课程讨论电信号----简称“信号”。
离散正弦序列图形如图12所示。
6. 复指数序列
当 时，则
注意：对于连续的正弦/余弦信号，抽样得到的离散序列信号未必是周期序列，对于形如 、 和 的离散序列而言，其周期性判断准则如下：
（1）当 为整数时， 为周期性且周期为 。
（2）当 为有理数时（P,Q为互素的整数）， 为周期性且周期P。
（3）当 为无理数时， 为非周期性序列。
研究确定性信号是研究随机信号的基础。本课程只讨论确定性信号。
2.连续信号和离散信号
根据信号定义域的特点可分为连续时间信号和离散时间信号。
（1）连续时间信号：
在连续的时间范围内(-∞<t<∞)有定义的信号称为连续时间信号，简称连续信号。实际中也常称为模拟信号。
这里的“连续”指函数的定义域----时间是连续的，但可含间断点，至于值域可连续也可不连续。
满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。
不具有周期性的信号称为非周期信号。
例题：判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。
（1）f1(t) = sin2t + cos3t（2）f2(t) = cos2t + sinπt
判断准则：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。
，
则有 ，
二、信号的时间变换
1.反转
将f(t)→f(–t)，f(k)→f(–k)称为对信号f(·)的反转或反折。从图形上看是将f(·)以纵坐标为轴反转180度。如图3所示。
图3
2.平移
将f(t)→f(t–t0)，f(k)→f(k–k0)称为对信号f(·)的平移或移位。若t0 (或k0) >0，则将f(·)右移；否则左移。如图4所示。
图8
总结：正时间变换的顺序最好为：平移→压缩/展开→反转
若已知f(-4-2t)，画出f(t),如图9所示。
图9
总结：逆时间变换的顺序最好为：反转→压缩/展开→平移
三、某些典型信号
1.正弦连续信号
式中：A为幅值； 为初相位。其周期 、频率 、角频率 之间的关系为：
连续正弦信号图形如图10所示。图10
2. 连续指数信号
（6）冲激函数的广义函数定义；冲激函数的导数与积分；冲激函数的性质；
（7）连续系统和离散系统的数学模型；系统的表示方法；
（8）线性时不变系统的基本特性；线性、时不变性的判断。
1.1 绪 言
什么是信号？什么是系统？为什么把这两个概念连在一起？信号、系统能不能相互独立而存在？
一、信号的概念
1.消息(message):
式中：A为常数， 可为常数也可为复常数。
（1） 若为实常数，f(t)为实指数信号
此时特性：
实际中使用较多的是单边指数信号
常令 ，称为时间常数
（2） 若为复常数，f(t)为复指数信号
，其中
尽管实际的装置不可能产生复指数信号，但它在信号分析理论中占有重要的位置。
因此，当 ， ，
可见
3.抽样信号Sa(t)
信号我们并不陌生，如刚才铃声—声信号，表示该上课了；十字路口的红绿灯—光信号，指挥交通；电视机天线接受的电视信息—电信号；广告牌上的文字、图象信号等等。
二、系统的概念
信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样的物理装置常称为系统。一般而言，系统(system)是指若干相互关联的事物组合而成具有特定功能的整体。
有理数：也即分数，包括：正、负整数；正、负分数；零。
解：（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为ω1= 2 rad/s，T1= 2π/ω1=2π/2 =π
cos3t也是周期信号，其角频率和周期分别为ω2= 3 rad/s，T2= 2π/ω2= (2π/3)
由于T1/T2=3/2为有理数，故f1(t)为周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数2π。
对于函数的定义域为连续，而值域为离散的信号，也称此信号为“量化取值信号”，可见这种信号不过是连续时间信号的一种特例。
（2）离散时间信号：
仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号，简称离散信号。实际中也常称为数字信号。
这里的“离散”指信号的定义域----时间是离散的，它只在某些规定的离散瞬间给出函数值，其余时间无定义。
若信号f(t)的功率有界，即P <∞,则称其为功率有限信号，简称功率信号。此时E =∞，即一般能量无限信号的平均功率是有限的。
相应地，对于离散信号，也有能量信号、功率信号之分。
若满足 的离散信号，称为能量信号。
若满足 的离散信号，称为功率信号。
时限信号(仅在有限时间区间不为零的信号)为能量信号;周期信号属于功率信号，而非周期信号可能是能量信号，也可能是功率信号。
（7）熟悉系统的数学模型和描述方法
（8）了解系统的基本分析方法；掌握系统的基本特性及其判断
本章重点
（1）离散时间信号的表示；
（2）离散周期序列的判断、周期的计算；
（3）能量信号的定义、判断；功率信号的定义、判断；
（4）信号的加法、乘法；信号的反转、平移；信号的尺度变换；
（5）阶跃函数的极限定义、冲激函数的极限定义；阶跃函数与冲激函数的关系；
有些信号既不是属于能量信号也不属于功率信号，如 。
5．一维信号与多维信号
从数学表达式来看，信号可以表示为一个或多个变量的函数，称为一维或多维函数。
语音信号可表示为声压随时间变化的函数，这是一维信号。而一张黑白图像每个点(像素)具有不同的光强度，任一点的光强度又是二维平面坐标中两个变量的函数，这是二维信号。还有更多维变量的函数的信号。
或写为
通常将对应某序号m的序列值称为第m个样点的“样值”。
3.周期信号和非周期信号
周期信号(period signal)是定义在(-∞，∞)区间，每隔一定时间T(或整数N)，按相同规律重复变化的信号。
连续周期信号f(t)满足：f(t) =f(t+mT)，m = 0,±1,±2,…
离散周期信号f(k)满足：f(k) =f(k+ mN)，m = 0,±1,±2,…
•工业监控、生产调度、质量分析、资源遥感、地震预报
•人工术、安全报警、指挥系统
•经济预测、财务统计、市场信息、股市分析
•电子出版、新闻传媒、影视制作
•远程教育、远程医疗、远程会议
•虚拟仪器、虚拟手术
如对于通讯：
•古老通讯方式：烽火、旗语、信号灯
•近代通讯方式：电报、电话、无线通讯
通常，系统分析是针对已有的系统，系统综合往往意味着做出新系统。显然，前者属于认识世界的问题，后者则是改造世界的问题，且是人们追求的最终目的。一般来说，系统分析是系统综合的基础，只有精于分析，才能善于综合。本课程主要侧重于系统分析。
三、信号与系统概念无处不在
信息科学已渗透到所有现代自然科学和社会科学领域，因此可以说信号与系统在当今社会无处不在，大致列举的应用领域如下：
如下图2所示的f(t)仅在一些离散时刻 (k = 0,±1,±2,…)才有定义，其余时间无定义。
图2
相邻离散点的间隔 可以相等也可不等。通常取等间隔T，离散信号可表示为f(kT)，简写为f(k)，这种等间隔的离散信号也常称为序列。其中k称为序号。（注意：k也经常用符号n来表示）
离散信号也可按如下方式表示
如手机（可以用手机举例）、电视机、通信网、计算机网等都可以看成系统。它们所传送的语音、音乐、图象、文字等都可以看成信号。信号的概念与系统的概念常常紧密地联系在一起。
系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将其转换为所需要的输出信号，如图1所示。
图1
从系统的角度出发，系统理论包括系统的分析与综合两个方面。简单地说，系统分析是对已知的系统做各种特性的分析；系统综合又称系统的设计或实现，它是指根据需要去设计构成满足性能要求的系统。
人们常常把来自外界的各种报道统称为消息。
2.信息(information):
通常把消息中有意义的内容称为信息。
本课程中对“信息”和“消息”两词不加严格区分。
3.信号(signal):
信号是信息的载体。通过信号传递信息。
为了有效地传播和利用信息，常常需要将信息转换成便于传输和处理的信号,由此再次说明“信号是信息的载体，信息是信号的内涵”。
例题：判断下列每个序列是否具有周期性；若是周期性的，试确定其周期。
（1） （2）
解：（1）因为 ，所以 为周期性，周期为14。
（2）因为 为无理数，所以 是非周期性的。
1.4阶跃函数与冲击函数
阶跃函数和冲激函数不同于普通函数，称为奇异函数或奇异信号。研究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函数）的理论。这里将直观地引出阶跃函数和冲激函数。
第一章信号与系统
本章学习要求
（1）了解信号与系统的基本概念；信号的不同类型与特点；系统的类型与特点；