人教版高中数学必修一《基本初等函数》章末复习学案

新课标人教A版数学必修1第二章基本初等函数复习导学案一、指数函数：1.指数与指数幕：(1)根式的概念：一般地，如果x" = a ,那么x叫a的n次方根，n>i且n € N*,当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，a的n次方根用符号n a表示，式子：a叫根式，n叫根指数，a叫被开方数，当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们是互为相反数，正数a的正的n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号-n a表示，正的n次方根与负的n次方根可以合并成土n a ( a >0)，负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0，记作&0 =0。

当n是奇数时，、:a = a，当n是偶数时，，(2)分数指数m m幕：a n=Qa m(a >0，m,N*，n >1)，a_n=^=(a >0，m,n N*，n>1)，零的正分数指数幕为0,零的负分数指■n n a ■. a数幕没有意义，整数指数幕的运算性质可以推广到有理数指数幕，(3)实数指数幕的运算性质：(1) a r a s =a r卡(a x0,r，s己R)，(2) (a r)s = a rs (a a 0，r，SE R)，(3) (a b)r = a r，b r (a a 0,b a 0, r R)。

2.指数函数及其性质：(1)指数函数的概念：一般地，函数y二a x(a 0,且a=1)叫指数函数，x是自变量，函数的定义域为R，(2)指数函数的图象和性质：a>1) y a x(0y —( a (a y — a (u < i 1、1 1—'——向x轴正负方向无限延伸，函数的定义域为R,函数图象都在x轴上方，值域为(0,+辺)即R+图象关于原点和x轴及y轴都不对称，是非奇非偶函数，函数图象都过定点(0,1) , a°=1(a^0)在f (x) = a x中，总有f (0)=1 和f (1) = a图象从左到右逐渐上升，从右到左逐渐下降图象从左到右逐渐下降，从右到左逐渐上升增函数，当x > 0时y = a x：> 1,当x c 0时0 < y = a x c 1 减函数，当x > 0 时0 cy = a x c1,当xc0时y = a x>1 二、对数函数：1.对数：(1) 一般地，如果a x=N (a ・0,a =1),那么数x叫做以a为底N的对数，记作x = log a N(a叫底数，N 叫真数，log a N叫对数式),a x = N log a N = x ,两个重要对数：①常用对数：以10为底的对数lg N ,②自然对数：以无理数e=2.71828… 为底的对数ln N ,(2)对数的运算性质：①log a(M N)=log a M log a N,② log a M^log a M -log a N,③ log a M n=n log a M (n R),④换底公式：log a b二誥(a 0 且a=1 , c 0 且c=1, b 0),(1) log a m b^^log a b,(2) log a b=g-a,2.对数函数：(1)对数函数的概念：函数y = log a x(a 0且a=1)叫对数函数，x是自变量，函数的定义域是(0,+ g ),对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，y=2log 2 x, y二log5 5都不是对数函数，只能称其为对数型函数,(2)对数函数的图像和性质：函数图象都在y轴右侧，函数的定义域为(0, ),向y轴正负方向无限延伸，函数的值域为R函数图象关于原点和x轴及y轴都不对称，是非奇非偶函数，函数图象都过定点(1,0), log a 1 = 0在f(x)=log a x中，总有f(1)=0和f(a)=1增函数，图像从左到右逐渐上升，从右到左逐渐下降减函数，图像从左到右逐渐下降，从右到左逐渐上升当x >1时，y = log a x >0 ,当0 £x 时，y = log a x v0 当0 £x £1时，y = log a x > 0 ,当x a 1时，y=log a x £0三、幕函数:1.定义：一般地，形如y =X〉(a • R)的函数称为幕函数，：•为常数。

指数与指数函数复习学案一，基础知识回顾1，n 次方根一般地，若n x a =，则x 叫做a 的 ，其中1n >,n *∈N .当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个________，负数的n 次实数才根是一个_______，此时a 的n 次实数方根只有一个，把它记作____________；当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有_____个，它们互为_______，正数a 的正的n 次方根用符号_______表示，负的n 次方根用符号____表示，正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写为____________(a >0);负数没有n 次方根 零的任何次方根都是0 2，根式式子________叫做根式，n 叫做__________，a 叫做____________。

3，根式的性质()n n a = .当n 是奇数时，n n a = ； 当n 是偶数时，n n a = .4，分数指数幂我们规定：正数的正分数指数幂的意义是=nm a_______________)n ,N n ,m ,a (*1且0>∈>正数的负分数指数幂的意义是=-nm a_________________________)n ,N n ,m ,a (*1且0>∈>零的正分数指数幂是___，零的负分数指数幂____________。

5，实数指数幂的运算性质即对任意实数r ，s ，均有=s r a .a ____________ (a >0，r ，s ∈R)； =s r )a (____________ (a >0，r ，s ∈R)； =r )ab (____________ (a >0，b >0，r ∈R )5,指数函数的定义：形如xy a =（0a >且1a ≠）的函数叫做________，其中x 是自变量。

6，指数函数xy a =的图象和性质： 图 象二，典例分析例1， 计算与化简下列各式：（1）021231)12()972()71()027.0(--+----（2）()032312328.4125134331216-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--（3）625625++- （4 （51⎛÷- ⎝例2，已知32121=+-aa ，求下列各式的值。

题型一 指数、对数的运算1． 指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．2． 对于底数相同的对数式的化简，常用的方法：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．例1 (1)化简;)21(24833323323134ab ab a ab b ba a ⨯-÷++- (2)计算：2log 32－log 3329＋log 38－25log 53. 解 (1)原式＝.8)8(331313131b a b a a b a b a a =⨯⨯--(2)原式＝log 34－log 3329＋log 38－52log 53 ＝log 3⎝⎛⎭⎫4×932×8－5log 59 ＝log 39－9＝2－9＝－7.跟踪训练1 计算80.25×42＋(32×3)6＋log 32×log 2(log 327)的值为________．答案 111解析 ∵log 32×log 2(log 327)＝log 32×log 23＝lg 2lg 3×lg 3lg 2＝1， ∴原式＝234×214＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111. 题型二 数的大小比较数的大小比较常用方法：(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．例2 比较下列各组数的大小：(1)40.9,80.48，⎝⎛⎭⎫12－1.5；(2)log 20.4，log 30.4，log 40.4.解 (1)40.9＝21.8,80.48＝21.44，⎝⎛⎭⎫12－1.5＝21.5， ∵y ＝2x 在(－∞，＋∞)上是增函数，∴40.9>⎝⎛⎭⎫12－1.5>80.48.(2)∵对数函数y ＝log 0.4x 在(0，＋∞)上是减函数，∴log 0.44<log 0.43<log 0.42<log 0.41＝0.又幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是减函数，所以1log 0.42<1log 0.43<1log 0.44， 即log 20.4<log 30.4<log 40.4.跟踪训练2 比较下列各组数的大小：(1)27,82；(2)log 0.22，log 0.049；(3)a 1.2，a 1.3；(4)0.213,0.233.解 (1)∵82＝(23)2＝26，由指数函数y ＝2x 在R 上单调递增知26<27即82<27.(2)∵log 0.049＝lg 9lg 0.04＝lg 32lg 0.22＝2lg 32lg 0.2＝lg 3lg 0.2＝log 0.23. 又∵y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上单调递减，∴log 0.22>log 0.23，即log 0.22>log 0.049.(3)因为函数y ＝a x (a >0且a ≠1)，当底数a 大于1时在R 上是增函数；当底数a 小于1时在R 上是减函数，而1.2<1.3，故当a >1时，有a 1.2<a 1.3；当0<a <1时，有a 1.2>a 1.3.(4)∵y ＝x 3在R 上是增函数，且0.21<0.23，∴0.213<0.233.题型三 复合函数的单调性1．一般地，对于复合函数y ＝f (g (x ))，如果t ＝g (x )在(a ，b )上是单调函数，并且y ＝f (t )在(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，那么y ＝f (g (x ))在(a ，b )上也是单调函数．2．对于函数y ＝f (t )，t ＝g (x )．若两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，即“同增异减”，但一定要注意考虑复合函数的定义域． 例3 已知a >0，且a ≠1，试讨论函数f (x )＝1762++x x a的单调性．解 设u ＝x 2＋6x ＋17＝(x ＋3)2＋8，则当x ≤－3时，其为减函数，当x >－3时，其为增函数，又当a >1时，y ＝a u 是增函数，当0<a <1时，y ＝a u 是减函数，所以当a >1时，原函数f (x )＝1762++x xa 在(－∞，－3]上是减函数，在(－3，＋∞)上是增函数．当0<a <1时，原函数f (x )＝1762++x x a在(－∞，－3]上是增函数，在(－3，＋∞)上是减函数．跟踪训练3 求下列函数的单调区间：(1)y ＝log 0.2(9x －2×3x ＋2)；(2)y ＝log a (a －a x )．解 (1)令t ＝3x ，u ＝9x －2×3x ＋2＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2＋1≥1>0.又y ＝log 0.2u 在定义域内递减，∴当3x ≥1(t ≥1)，即x ≥0时，u ＝9x －2×3x ＋2递增，∴y ＝log 0.2(9x －2×3x ＋2)递减．同理，当x ≤0时，y ＝log 0.2(9x －2×3x ＋2)递增．故函数y ＝log 0.2(9x －2×3x ＋2)的递增区间为(－∞，0]，递减区间为[0，＋∞)．(2)①若a >1，则y ＝log a t 递增，且t ＝a －a x 递减，而a －a x >0，即a x <a ，∴x <1， ∴y ＝log a (a －a x )在(－∞，1)上递减．②若0<a <1，则y ＝log a t 递减，且t ＝a －a x 递增，而a －a x >0，即a x <a ，∴x >1， ∴y ＝log a (a －a x )在(1，＋∞)上递减．综上所述，函数y ＝log a (a －a x )在其定义域上递减．题型四 幂、指数、对数函数的综合应用指数函数与对数函数性质的对比：指数函数、对数函数是一对“姊妹”函数，它们的定义、图象、性质、运算既有区别又有联系．(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)，对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)的图象和性质都与a的取值有密切的联系．a 变化时，函数的图象和性质也随之变化．(2)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点(0,1)，对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)的图象恒过定点(1,0)．(3)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)具有相同的单调性．(4)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)互为反函数，两函数图象关于直线y ＝x 对称．例4 已知函数f (x )＝lg 1＋2x ＋a ·4x 3在x ∈(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围． 解 因为f (x )＝lg 1＋2x ＋a ·4x 3在(－∞，1]上有意义， 所以1＋2x ＋a ·4x >0在(－∞，1]上恒成立．因为4x >0，所以a >－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，1]上恒成立． 令g (x )＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ，x ∈(－∞，1]． 由y ＝－⎝⎛⎭⎫14x 与y ＝－⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，1]上均为增函数，可知g (x )在(－∞，1]上也是增函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝－⎝⎛⎭⎫14＋12＝－34. 因为a >－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，1]上恒成立， 所以a 应大于g (x )的最大值，即a >－34. 故所求a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 跟踪训练4 已知函数f (x )＝lg(1＋x )＋lg(1－x )．(1)判断函数的奇偶性；(2)若f (x )＝lg g (x )，判断函数g (x )在(0,1)上的单调性并用定义证明．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >01－x >0， 得－1<x <1，∴x ∈(－1,1)，又f (－x )＝lg(1－x )＋lg(1＋x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(2)g (x )在(0,1)上单调递减．证明如下：∵f(x)＝lg(1－x2)＝lg g(x)，∴g(x)＝1－x2，任取0<x1<x2<1，则g(x1)－g(x2)＝1－x21－(1－x22)＝(x1＋x2)(x2－x1)，∵0<x1<x2<1，∴x1＋x2>0，x2－x1>0，∴g(x1)－g(x2)>0，∴g(x)在(0,1)上单调递减．1．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，纵观历年高考试题，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．。

新人教A版高中数学必修一教案第二章基本初等函数（Ⅰ）一、课标要求：教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题.1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）.4.通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.5.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.6.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）.7.知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义.8.通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数1312,,,y x y x y x y x-====的图象，了解它们的变化情况.二、编写意图与教学建议：1.教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设.2.在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容做了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想. 建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展.4.教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担.5. 通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能 ..6. 教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.三、教学内容与课时安排的建议 本章教学时间约为14课时. 2.1 指数函数： 6课时 2.2 对数函数： 6课时 2.3 幂函数： 1课时 小结： 1课时§2.1.1 指数（第1—2课时）一．教学目标：1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念； （2）掌握分数指数幂和根式之间的互化； （3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力。

【点评】 (1)求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)，通常可用
三角函数的图象或三角函数线来求解．
(2)求函数 y＝Asin(ωx＋φ)或 y＝Acos(ωx＋φ)(其中 A≠0，ω≠0)的单调区间时，
若ω<0，可先利用诱导公式将 x 前的系数ω变成正值，再把ωx＋φ视为一个整体，由 A 的
＝－1，
因为 0<φ<π， 2
4π 4π 11π
所以 < ＋φ< ，
33
6
4π
3π
所以 ＋φ＝ ，
3
2
π
π
2x＋
所以φ＝ ，所以 f(x)＝2sin
6.
6
2x＋π 横坐标伸长到原来
(2)y＝2sin
6 的――2 ―倍―（―纵―坐―标―不――变→）
4
———————欢迎下载，祝您学习进步，成绩提升———————
而非φ个单位长度． (2)平移前后两个三角函数的名称如果不一致，应先利用诱导公式化为同名函数，ω为
负时应先变成正值．
同角三角函数的基本关系式和诱导公式[学生用书 P31]
已知 f(α)＝ sin2（π－α）·cos（2π－α）·tan（－π＋α）
sin（－π＋α）·tan（－α＋3π）
(1)化简 f(α)；
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
1
———————欢迎下载，祝您学习进步，成绩提升———————
图象
定义域 值域
周期性 奇偶性
单调性
对称中心 对称轴
R [－1，1]
R [－1，1]
{x|x∈R，且 x≠kπ
＋π，k∈Z} 2

《基本初等函数》复习小结一、知识点梳理 1、指数与指数幂的运算（1）根式与指数幂互化:________=nm a (1,,,0*>∈>n N n m a 且)（2）=n n a n 为奇数时，当__________;=n na n 为偶数时，当____________（3）指数运算性质：=sr a a _______;s r a )(=__________;=r ab )(________ 2、指数函数的图象与性质3、对数与对数运算（1）指数式与对数式的互化：当___0,0⇔=≠>N a a a x时，（2）__log _______,1log ==a a a__________log _________log ________)(log )3(===⋅n a a a M NM N M 4、4、对数函数及其性质二、练习：1、下列函数是幂函数的是………………………………………………………………（ ）Ａ、22y x = B 、3y x x =+ C 、3xy = D 、12y x =4、若210,5100==ba，则b a +2=………………………………………………（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、35、函数12y=l o g (21)x -的定义域为 …………………………………………………( ) A ．（21，+∞） B ．［1，+∞) C ．（21，1] D ．（－∞，1） 6、已知f (x )=|l g x |,则11()()(2)43f f f 、、的大小关系是……………………………（ ） A. )41()31()2(f f f >> B. )2()31()41(f f f >> C. )31()41()2(f f f >> D. )2()41()31(f f f >> 7、方程：l g l g (3)1x x +-=的解为x = （ ）A 、5或-2B 、5C 、-2D 、无解8、若集合xP ={y |y =2,x R }∈，2M ={y |y =x ,xR }∈，则下列结论中正确的是…（ ） A.M ∩P={2，4} B. M ∩P ={4，16} C.M=P D.P M9、已知()l o g a f x x =，()l o g b gx x =，()l o g c rx x=，()l o g d hx x=的图象如图所示则a,b,c,d 的大小为 （ ）A.c d a b <<<B.c d b a <<<C.d c a b <<<D.d c b a <<<10．在(2)l o g (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是 （ ） A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 11、已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是………………………………………（ ）a>10<a<1图 象性质（1）定义域：（2）值域：（3）过定点 ，即x= 时，y= 。

2.1.1指数与指数幂的运算[学习目标] 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化.3.掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质.知识点一根式的定义1.n次方根的定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2.n次方根的性质(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a的n次.(2)当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a的正的n次n.正的n次方根与负的n次方根可以合(3)0的任何次方根都是0(4)负数没有偶次方根.3.根式的定义式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.4.两个等式(1)(na)n＝a(n∈N*).(2)na n＝⎩⎨⎧a(n为奇数，且n∈N*)，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)，－a(a<0)(n为偶数，且n∈N*).知识点二 分数指数幂(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：m naa ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1). (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：-m n a＝nm a1(a ＞0，m ，n ∈N *, 且n ＞1).(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 思考 (1)分数指数幂m na 能否理解为mn个a 相乘？(2)在分数指数幂与根式的互化公式m na ＝na m 中，为什么必须规定a >0? 答 (1)不能.m na 不可以理解为mn 个a 相乘，事实上，它是根式的一种新写法.(2)①若a ＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即na m＝m na ＝0，无研究价值.②若a <0，mn a ＝na m 不一定成立，如(－2)32＝2(－2)3无意义，故为了避免上述情况规定了a >0.知识点三 有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； (2)(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q ). 知识点四 无理数指数幂无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.题型一 根式的运算 例1 求下列各式的值.(1)3(－2)3；(2)4(－3)2；(3)8(3－π)8； (4)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9，x ∈(－3,3). 解 (1)3(－2)3＝－2. (2)4(－3)2＝432＝ 3. (3)8(3－π)8＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|， 当－3＜x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1＜x ＜3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ≤1，－4，1＜x ＜3.反思与感悟 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.2.开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论.跟踪训练1 化简下列各式.(1)5(－2)5；(2)4(－10)4；(3)4(a －b )4. 解 (1)5(－2)5＝－2. (2)4(－10)4＝|－10|＝10. (3)4(a －b )4＝|a －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b (a ≥b )，b －a (a ＜b ).题型二 根式与分数指数幂的互化 例2 将下列根式化成分数指数幂形式. (1)3a ·4a ； (2)a a a ；(3)3a 2·a 3； (4)(3a )2·ab 3. 解 (1)3a ·4a ＝a 31·a 41＝a 127.(2)原式＝a 21·a 41·a 81＝a 87. (3)原式＝a 23·a 32＝a136.(4)原式＝(a 31)2·a 21·b 32＝a 76b 32.反思与感悟 在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：mna ＝na m 和-m na＝nm a1＝1n a m，其中字母a 要使式子有意义.跟踪训练2 用分数指数幂表示下列各式： (1)3a ·6－a (a ＜0)；(2)3ab 2(ab )3(a ，b ＞0)；(3)23)(b ＜0)； (4)13x (5x 2)2(x ≠0).解 (1)原式＝a 31·(－a )61＝－(－a )31·(－a )61＝－(－a )21(a ＜0). (2)原式＝323232b a ab ⋅＝32725b a ＝157322()⋅a b ＝5766a b (a ，b ＞0). (3)原式＝212343⨯⨯b ＝(－b )91(b ＜0).(4)原式＝3154311⨯⋅xx ＝531x＝x35-(x ≠0).题型三 分数指数幂的运算 例3 (1)计算：0.06431-－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3]34-＋16－0.75＋|－0.01|21；(2)化简：3329-a a÷3a －7·3a 13(a ＞0).解 (1)原式＝(0.43)31-－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)21＝0.4－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(2)原式＝191317113()()32322323[][]⨯⨯-⨯-⨯⋅÷⋅a aaa＝937136666-+-a＝a 0＝1.反思与感悟 指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 跟踪训练3 计算或化简：(1)⎝⎛⎭⎫－33823-＋(0.002)21-－10(5－2)－1＋(2－3)0；.解 (1)原式＝(－1)23-⎝⎛⎭⎫33823-＋⎝⎛⎭⎫150021-－105－2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫27823-＋(500)21－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝133111513322222()[()()]----⋅⋅⋅a a a a＝1513103222()()-⋅⋅a a a＝(a －4)21＝a －2.题型四 条件求值 例4 已知a 21＋a21-＝3，求下列各式的值.(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)33221122----a a a a.解 (1)将a 21＋a 21-＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，即a ＋a －1＝7.(2)对(1)中的式子平方，得a 2＋a －2＋2＝49， 即a 2＋a －2＝47.(3)33221122----a a a a＝1111122221122()()-----⋅⋅-a a a+a +a a a a＝a ＋a －1＋1＝8.反思与感悟 1.条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程.本题若通过1122-+a a＝3(a >0)解出a 的值代入求值则非常复杂.解决此类问题的一般步骤是：2.注意运用平方差公式、立方和公式、立方差公式对代数式进行变形，如： (1)a －b ＝(a 21)2－(b 21)2＝(a 21＋b 21)(a 21－b 21).(2)a ±b ＝(a 31)3±(b 31)3＝(a 31±b 31)(a 23∓a 31b 31＋b 23). 跟踪训练4 已知a ＋a －1＝5(a >0)，求下列各式的值： (1)a 2＋a －2；(2)a 21－a21-；(3)a 3＋a －3.解 (1)方法一 由a ＋a －1＝5两边平方，得a 2＋2aa －1＋a －2＝25，即a 2＋a －2＝23. 方法二 a 2＋a －2＝a 2＋2aa －1＋a －2－2aa －1＝(a ＋a －1)2－2＝25－2＝23. (2)∵(a 21－a 21-)2＝a ＋a －1－2＝5－2＝3，∴|a 21－a21-|＝3，∴a 21－a21-＝± 3.(3)a 3＋a －3＝(a ＋a －1)(a 2－aa －1＋a －2) ＝(a ＋a －1)(a 2＋2aa －1＋a －2－3) ＝(a ＋a －1)[(a ＋a －1)2－3] ＝5×(25－3)＝110.因忽略对指数的讨论及被开方数的条件致误例5 化简：(1－a )[(a －1)－2·(－a )21]21. 错解 原式＝(1－a )(a －1)－1·(－a )41＝－(－a )41. 正解 因为(－a )21存在， 所以－a ≥0，故a －1<0，原式＝(1－a )(1－a )－1(－a )41＝(－a )41.错误原因 因题中有(－a )21，所以－a ≥0，即a ≤0，则[(a －1)－2]21≠(a －1)－1，错解中忽略了这一条件.跟踪训练5 求[(1－2)2]21－(1＋2)－1－1＋213÷47的值. 解 原式＝2－1－(2－1)－1＋2－1＝－12.1.下列各式正确的是( ) A.(3a )3＝aB.(47)4＝－7C.(5a )5＝|a | D.6a 6＝a答案 A解析 (47)4＝7，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |. 2.(a －b )2＋5(a －b )5的值是( ) A.0B.2(a －b )C.0或2(a －b )D.a －b答案 C解析 当a －b ≥0时， 原式＝a －b ＋a －b ＝2(a －b )； 当a －b ＜0时，原式＝b －a ＋a －b ＝0. 3.化简(1－2x )2(2x >1)的结果是( ) A.1－2x B.0 C.2x －1 D.(1－2x )2答案 C解析 ∵2x >1，∴1－2x <0. ∴(1－2x )2＝|1－2x |＝2x －1. 4.化简－x 3x 的结果是________.答案 －－x5.已知10m ＝2,10n ＝3，则103m －n ＝________. 答案 83解析103m －n ＝103m 10n ＝(10m )310n ＝233＝83.1.掌握两个公式：(1)(n a )n ＝a (n ∈N *)；(2)n 为奇数且n ∈N *，na n ＝a ，n 为偶数且n ∈N *，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a ＜0).2.根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.一、选择题1.下列等式一定成立的是( ) A.a 31·a 32＝a B.a31-·a 31＝0C.(a m )n＝nm aD.a m ÷a n ＝a m －n答案 D解析 由指数运算的性质可知D 正确. 2.化简3a a 的结果是( )A.aB.aC.a 2D.3a 答案 B 解析3a a ＝(a ·a 21)31＝(a 32)31＝a 21＝a .3.化简(a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)的结果为( ) A.1 B.－1 C.a 2－1a 2＋1 D.a 2＋1a 2－1答案 C 解析(a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)＝(a －a －1)2÷[(a ＋a －1)(a －a －1)]＝a －a －1a ＋a －1＝aa －a －1aa ＋a －1＝a 2－1a 2＋1. 4.若(1－2x )－34有意义，则x 的取值范围是( )A.x ∈RB.x ∈R 且x ≠12C.x ＞12D.x ＜12答案 D 解析 ∵(1－2x )43-＝14(1－2x )3，∴1－2x ＞0，得x ＜12.5.化简a 3b 23ab 2(a 41b 21)4·3ba(a ，b ＞0)的结果是( )A.b aB.abC.ab D.a 2b 答案 C解析 原式＝[a 3b 2(ab 2)13]12÷(a 1b 2b 13a －13)＝1121275247(3)(2)3232333333()+⨯+⨯--÷=⨯aba b ab＝a b. 6.已知x 21＋x21-＝5，则x 2＋1x的值为( )A.5B.23C.25D.27 答案 B解析 x 2＋1x ＝x ＋1x＝x ＋x －1＝(x 21＋x 21-)2－2＝52－2＝23.故选B.二、填空题 7.221-＋(－4)02＋12－1－(1－5)0·823＝________.答案 22－3 解析 原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3. 8.计算：(π)0＋2－2×(214)21＝________.答案118解析 原式＝1＋14×(94)21＝1＋14×32＝118.9.设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝_______，(2α)β＝_______. 答案 14 215解析 利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝251.10.设2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y ＝________. 答案 27解析 由2x ＝8y ＋1，得2x ＝23y ＋3， 所以x ＝3y ＋3.①由9y ＝3x －9，得32y ＝3x －9， 所以2y ＝x －9.②由①②联立方程组，解得x ＝21，y ＝6， 所以x ＋y ＝27.三、解答题11.计算下列各式的值：(1)(0.027)31－⎝⎛⎭⎫61421＋25634＋(22)23－3－1＋π0；(2)733－3324－6319＋4333；(3)861552()--⋅a b ·5a 4÷5b 3(a ＞0，b ＞0).解(1)原式＝[(0.3)3]31－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫52221＋(44)34＋(232)23－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝96715. (2)原式＝7×331－3323×3－63⎝⎛⎭⎫132＋ 43×331＝7×331－6×331－6×323-＋331＝2×331－2×3×323-＝2×331－2×331＝0. (3)原式＝861431(()())552552⨯--⨯-⋅⋅÷a ba b＝43435555-⋅⋅÷a b a b ＝44335555-+-ab＝a 0b 0＝1.12.已知a ＝－827，b ＝1771，求a 23＋33ab ＋9b 23a 43－27a 13b ÷a313a －33b 的值. 解 原式＝a 32＋3a 31·b 31＋(3b 31)2a 31(a －27b )·a 31－3b31a 31＝(a 31)3－(3b 31)3a 32(a －27b )＝a 23-＝(－827)23-＝(－23)－2＝94.13.(1)已知2x ＋2－x ＝a (常数)，求8x ＋8－x 的值；第11页 共11页 (2)已知x ＋y ＝12，xy ＝9且x ＜y ，求x 21－y 21x 21＋y 21的值. 解 (1)∵4x ＋4－x ＝(2x )2＋(2－x )2＝(2x ＋2－x )2－2·2x ·2－x ＝a 2－2，∴8x ＋8－x ＝23x ＋2－3x ＝(2x )3＋(2－x )3＝(2x ＋2－x )·[(2x )2－2x ·2－x ＋(2－x )2]＝(2x ＋2－x )(4x ＋4－x －1)＝a (a 2－2－1)＝a 3－3a .(2)x 21－y 21x 21＋y 21＝(x 21－y 21)2(x 21＋y 21)(x 21－y 21)＝(x ＋y )－2(xy )21x －y.① ∵x ＋y ＝12，xy ＝9，②∴(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝122－4×9＝108.又∵x ＜y ，∴x －y ＝－6 3.③将②③代入①，得x 21－y 21x 21＋y 21＝12－2×921－63＝－33.。

第二章 基本初等函数 §2．1指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算（三课时）第一课时：教学目标：1.理解n 次方根、根式的概念；2.正确运用根式运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教学重点：根式的概念、运算性质 教学难点：根式概念的理解 教学方法：学导式 教学过程：（Ⅰ）创设情景；阅读问题1、问题2，认识将指数的取值范围进行推广的重要性和必要性。

（Ⅱ）复习回顾 ___； -9)0a _____(2≥=；（Ⅲ）讲授新课 22=4 ，（-2）2=4 ⇒ 2，-2叫4的平方根 23=8 ⇒ 2叫8的立方根； （-2）3=-8⇒-2叫-8的立方根 25=32 ⇒ 2叫32的5次方根 … 2n =a ⇒2叫a 的n 次方根 1.n 次方根的定义：（板书）问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？na x =是否正确？次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。

此时，a 的n 次方根可表示为na x =。

从而有：3273=，2325-=-，236a a =数，负数没有n 次方根。

此时正数a 的n 次方根可表示为：)0a (a n >± 其中n a 表示a 的正的n 次方根，n a -表示a 的负的n 次方根。

结论3：0的n 次方根是0，记作n n a ,00即=当a=0时也有意义。

这样，可在实数范围内，得到n 次方根的性质： 3.n 次方根的性质：（板书）*)(2,12,N k kn a k n a x n n ∈⎪⎩⎪⎨⎧=±+== 其中叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。

注意：根式是n 次方根的一种表示形式，并且，由n 次方根的定义，可得到根式的运算性质。

4.根式运算性质：（板书）①a a nn =）（，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。

问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？ ②⎩⎨⎧=为偶数为奇数；n a n a a nn|,|,性质的推导（略）： （III ）课堂练习：求下列各式的值通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。

第2章 基本初等函数（Ⅰ）【例1】 计算：(1)2log 32－log 39＋log 38－5log 53；(2)1.5－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋80.25×42＋(32×3)6[解] (1)原式＝log 322×8329－3＝2－3＝－1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＋234×214＋22×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝21＋4×27＝110.指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．1.设3x ＝4y＝36，则2x ＋1y的值为( )A ．6B ．3C ．2D ．1D [由3x＝4y＝36得x ＝log 336，y ＝log 436，∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 369＋log 364＝log 3636＝1.]aA B C D(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.①如图，画出函数f (x )的图象；②根据图象写出f (x )的单调区间，并写出函数的值域．(1)B [由已知函数图象可得，log a 3＝1，所以a ＝3.A 项，函数解析式为y ＝3－x，在R 上单调递减，与图象不符；C 项中函数的解析式为y ＝(－x )3＝－x 3，当x >0时，y <0，这与图象不符；D 项中函数解析式为y ＝log 3(－x )，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B 项中对应函数解析式为y ＝x 3，与图象相符．故选B.](2)[解] ①先作出当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，利用偶函数的图象关于y 轴对称，再作出f (x )在x ∈(－∞，0)时的图象．②函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1]．1．识别函数的图象从以下几个方面入手： (1)单调性：函数图象的变化趋势； (2)奇偶性：函数图象的对称性； (3)特殊点对应的函数值．2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a 0＝1，log a 1＝0.2．函数y ＝1＋log 12(x －1)的图象一定经过点( )A ．(1，1)B ．(1，0)C ．(2，1)D ．(2，0)C [把y ＝log 12x 的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到y ＝1＋log 12(x－1)的图象，故其经过点(2，1)．]A ．3y<3xB ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4yD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭⎪⎫14yC [因为0<x <y <1，则对于A ，函数y ＝3x在R 上单调递增，故3x<3y，A 错误．对于B ，根据底数a 对对数函数y ＝log a x 的影响：当0<a <1时，在x ∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0<x <y <1，所以log x 3>log y 3，B 错误．对于C ，函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，故log 4x <log 4y ，C 正确．对于D ，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 在R 上单调递减，故⎝ ⎛⎭⎪⎫14x >⎝ ⎛⎭⎪⎫14y，D 错误．]1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．4．含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论．3.设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >b >aC [∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π<log 121＝0，c ＝π－2＝1π2，即0<c <1，∴a >c >b ，故选C.]A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数(2)已知a >0，a ≠1且log a 3>log a 2，若函数f (x )＝log a x 在区间[a ，3a ]上的最大值与最小值之差为1.①求a 的值；②若1≤x ≤3，求函数y ＝(log a x )2－log a x ＋2的值域．(1)A [由题意可得，函数f (x )的定义域为(－1，1)，且f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1，易知y ＝21－x －1在(0，1)上为增函数，故f (x )在(0，1)上为增函数．](2)[解] ①因为log a 3>log a 2，所以f (x )＝log a x 在[a ，3a ]上为增函数．又f (x )在[a ，3a ]上的最大值与最小值之差为1， 所以log a (3a )－log a a ＝1，即log a 3＝1，所以a ＝3. ②函数y ＝(log 3x )2－log 3x ＋2＝(log 3x )2－12log 3x ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 3x －142＋3116. 令t ＝log 3x ，因为1≤x ≤3， 所以0≤log 3x ≤1，即0≤t ≤1.所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋3116∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3116，52，所以所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3116，52.1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u ＝log a x 或u ＝a x，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要注意换元后u 的取值范围．3(1)求该函数的定义域；(2)若该函数的图象经过点M (2，1)，讨论f (x )的单调性并证明． 思路点拨：(1)分a >1和0<a <1两类分别解不等式a x－1>0； (2)借助单调性的定义求证．[解] (1)要使函数f (x )有意义，只需a x－1>0，即a x >1. ①当a >1时，解得x >0，②当0<a <1时，解得x <0，故当a >1时，函数的定义域为(0，＋∞)； 当0<a <1时，函数的定义域为(－∞，0)． (2)由f (2)＝1得，log 3(a 2－1)＝1， ∴a 2＝4，即a ＝2.故函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 设x 2>x 1>0，则2x 2>2x 1>1， 即2x 2－1>2x 1－1>0， ∴2x 2－12x 1－1>1， ∴log 32x 2－12x 1－1>log 31＝0，即f (x 2)－f (x 1)>0.∴f (x 2)>f (x 1)，故f (x )在(0，＋∞)上是增函数．在解决底数中含字母参数的指数或对数函数问题时，常对底数进行分类讨论，一般分a >1与0<a <1两种情况．4.已知函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．[解] ①若a >1，则f (x )是增函数，∴f (x )在[1，2]上的最大值为f (2)，最小值为f (1)， ∴f (2)－f (1)＝a2，即a 2－a ＝a2，解得a ＝32.②若0<a <1，则f (x )是减函数，∴f (x )在[1，2]上的最大值为f (1)，最小值为f (2)， ∴f (1)－f (2)＝a2，即a －a 2＝a2，解得a ＝12.1 2或a＝32.综上所述，a＝。

第五课时 函数的概念和图象例1：求下列函数的定义域：（1）；24)(++=x x x f （2）131-+--x x ； （3）1()2f x x=-． 例2: 已知函数2361y x x =-+，利用函数图象分别求它在下列区间上的值域：（1）[1,2]x ∈-； （2）[4,0]x ∈-； （3）[2,5]x ∈．追踪训练一1．已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<+)1(,)1(-1,)1(322x x x x x ，x(1)画出函数图象；(2)求f{f[f(－2)]}(3)求当f(x)= －7时，x 的值；第六课时 函数的表示方法1．二次函数的形式：（1）一般式：()c bx ax x f ++=2()0,,,≠∈a R c b a ； （2）交点式：()()()21x x x x a x f --= ，其中，21,x x 分别是()x f 的图象与x 轴的两个交点的横坐标；（3）顶点式：()()121y x x a x f +-=， 其中()11,y x 是抛物线顶点的坐标； 例1: 已知2211()1f x x x x-=++，求函数()f x 的解析式。

例2：（1）已知2()43f x x x =-+，(1)f x +；（2）已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．例3．（1）已知一次函数()f x 满足(0)5f =，图象过点(2,1)-，求()f x ；（2）已知二次函数()g x 满足(1)1g =，(1)5g -=，图象过原点，求()g x ；（3）已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ；1．下列函数中，与2(2)y x x =->相同的函数是 （ ）A ．2-=x yB ．2-=x yC ．22--=x x yD ．2)22(--=x x y 2．下列图象中，表示函数关系()y f x =的是 （ ）第七课时 函数的单调性1．单调增函数的定义：2．单调减函数的定义：3．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是 图像；而函数在其单调减区间上的图像是 的图像。

第二章根本初等函数〔Ⅰ〕本章复习整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律重要数学模型，面对纷繁复杂变化现象，我们还可以根据变化现象懂得对不同特征进展分类研究．而指数函数、对数函数以及幂函数是研究客观世界变化规律三类重要且常用根本初等函数，本章学习了这三类根本初等函数概念与性质，因此我们对这一些根本知识与三类根本初等函数学完前提下，综合复习所学知识，进展知识梳理与整合，同时通过进展知识梳理与整合，使学生形成知识网络，强化数学思想与方法运用，通过复合函数与抽象函数复习，提高学生综合能力．三维目标1．理解指数与对数，指数函数与对数函数及幂函数概念与联系，通过提问，提高学生认知水平，为学生塑造良好数学认知构造．2．让学生熟悉，能更加熟练地解决与指数函数、对数函数、幂函数有关问题，培养学生数形结合思想观念及抽象思维能力．3．对复合函数，抽象函数有一个新认识，培养学生分析、解决问题与交流以及分类讨论能力．重点难点教学重点：指数函数、对数函数及幂函数图象与性质．教学难点：灵活运用函数性质解决有关问题．课时安排1课时教学过程应用例如思路11计算： (1)20.52130.25323435(0.008)(0.2)0.062 589---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⋅+÷÷ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；(2)2lg 5lg8000(lg 11lg 600lg 0.36lg 0.122⋅+--. 活动：学生观察、思考，学生观察式子特点，特别是指数与真数特点，教师引导学生考虑题目思路，对有困难学生及时提示，组织学生讨论交流，并对学生作及时评价．解：(1)原式＝()()()23()21133()()420.532437()0.20.20.523⨯-⨯--⨯⨯⎡⎤⎛⎫⎢⎥⋅÷÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＋＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫49×73＋52÷5÷0.5＝5627＋105＝56＋270527. (2) 2lg 5lg8000(lg 11lg 600lg 0.36lg 0.122⋅+--221lg(2310)lg(0.6)lg1022-⨯⨯--＝223lg 5lg 3lg 53(lg 2)3[lg 5lg 2(lg 5lg 2)]15lg 2lg 32lg 0.6lg 6lg 0.622⋅++++=++-+-+＝67. 点评：在指数运算中，一定要注意运算顺序与灵活运用乘法公式，注意立方与立方差公式在分数指数幂当中应用.活动：学生思考，观察题目特点，教师引导学生考虑问题思路，从整体上看，应先化简，然后再求值，要有预见性，1n a 与1na -具有对称性，它们积是常数1，为我们解题提供了思路，必要时给予提示． x 2－1＝－1＝＝＝.这时应看到x 2－1111||2n n a a -=-. 解：将x ＝代入x 2－1，得x 2－1＝11112211()1()44n n n n a a a a --+-=-.所以x 2－1111||2n n a a -=-，x ＋x 2－1＝111111()||22n n n n a a a a --++-＝ 所以(x ＋x 2－1)n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ，a >1，1a ，0<a <1.点评：运用整体思想与完全平方公式是解决此题关键，要深刻理解这种做法．3假设函数f (x )定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，3，求f (log 3x )定义域． 活动：学生思考，小组讨论，教师引导，学生展示思维过程，教师评价．根据你学习经历，回忆求一个函数定义域方法．抽象函数f (x )定义域，求抽象函数f [g(x )]定义域，要借助于f (x )定义域来求，由于函数f(x )定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，3，所以f (log 3x )中log 3x 范围就是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，3，从中解出x ，即为f (log 3x )定义域．解：因为函数f (x )定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，3，所以f (log 3x )中log 3x 范围就是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤12，3， 即0.5＜log 3x ≤3，即3＜xf (log 3x )定义域为(3，27]． 点评：求函数定义域就是求使函数解析式有意义自变量取值范围，对复合函数定义域要严格注意对应法那么.例1 求函数y ＝1－2x4x 定义域、值域与单调区间． 活动：学生观察，思考交流，独立解题，教师要求学生展示自己思维过程．求函数定义域就是求使函数解析式有意义自变量取值范围；函数值域要根据定义域来求；求函数单调区间一般用定义法，有时也借助复合函数单调性．由于自变量处在指数位置上，分母是一个指数式，因此自变量取值无限制；值域转化为二次函数，单调区间用复合函数单调性确定．解：函数y ＝1－2x 4x 定义域是全体实数，因为y ＝1－2x 4x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x 2－12x ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －122－14≥－14，所以函数值域为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫－14，＋∞. 设u ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ，那么它在(－∞，＋∞)上单调递减， 而二次函数y ＝u －122－14在u ≤12时是减函数，在u ≥12时是增函数，令⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ≤12，那么x ≥1，令⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x ≥12，那么x ≤1， 所以函数y ＝1－2x4x 在[1，＋∞)上是增函数，在(－∞，1]上是减函数．点评：这里求函数值域方法是配方法，求单调区间是用复合函数单调性确定．例2 函数f(x )＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －1＋12. (1)指出函数奇偶性，并予以证明；(2)求证：对任何x (x ∈R 且x ≠0)，都有f (x )＞0.(1)解：函数f (x )是偶函数，证明如下：因为f (x )定义域是不为0实数，关于原点对称，又f (－x )＝－x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－x －1＋12＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2x －1－12＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2x －1－1＋12＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12x －1＋12＝f (x )，所以f (x )是偶函数． (2)证明：当x ＞0时，2x ＞1，所以f (xx ＜0时，由f (x )为偶函数，有f (x )＝f (－x )＞0.所以对一切x ∈R ，x ≠0，恒有f (x )＞0.点评：利用函数奇偶性常可使解法简化，如此题，当x ＜0时，证明f (x )＞0较繁，假设注意到f (x )为偶函数，那么只需证明当x ＞0时，f (x )＞0，而这是显然．知能训练课本本章复习参考题A 组 1、3、4、6、8、10.拓展提升问题：过原点O 一条直线与函数y ＝log 8x 图象交于A 、B 两点，过A 作x 轴垂线，垂足为E ，过点B 作y 轴垂线，交EA 于C ，假设C 恰好在函数y ＝log 2x 图象上，试求A ，B ，C 三点坐标．活动：学生先仔细审题，理解题目含义，然后思考交流，教师适当时候提示指导．画出函数图象，设出点坐标，由图形间关系建立方程求解． 解：先画出函数图象如图．图1设A (x 1，log 8x 1)、B (x 2，log 8x 2)，那么C (x 1，log 8x 2)．因为C 在函数y ＝log 2x 图象上，所以log 8x 2＝log 2x 1，即13log 2x 2＝log 2x 1.所以x 2＝x 31.又OE EA＝OF FB ，即x 1log 8x 1＝x 2log 8x 2， 所以x 1log 8x 31＝x 31log 8x 1.所以3x 1log 8x 1＝x 31log 8x 1.由x 1＞1，所以log 8x 1≠0.从而有3x 1＝x 31.所以x 1＝3，x 2＝3 3.所以A ，B ，C 三点坐标分别为A (3，log 83)，B (33，log 833)，C (3，log 23)．课后作业课本本章复习参考题A 组 2,5,7,9.设计感想本堂课是对过去学过一章知识进展复习，目是构建知识体系，形成知识网络，总结解题方法规律与思想，以便综合运用这些知识，使学生能够见题想法，见题有法，能够做到一题多解，触类旁通，由于涉及知识点与方法思想较多，所以设计题目也较多，要注意解题方法总结与提炼，希望加快处理速度，提高课堂复习效果，做到以不变应万变，使全体同学在知识与技能上都有较大提高．备课资料【备用习题】1．函数y ＝log 2x －2定义域是( )A ．(3，＋∞) B．[3，＋∞)C ．(4，＋∞) D．[4，＋∞)2．函数f (x )＝a －12x ＋1，假设f (x )为奇函数，那么a ＝__________. 3．函数y ＝log 2x 2＋16值域是__________．4．函数y ＝2x 图象与y ＝f (x )图象关于直线y ＝x 对称，那么f (16)＝__________.5．假设函数y ＝log 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ax 2＋(a －1)x ＋14定义域为R ，那么a 取值范围是__________．参考答案：1．D 2．12 3．[2，＋∞) 4.4 5．3－52＜a ＜3＋52。

第二章 基本初等函数 §2.1 指数函数§2.1.1 指数及指数幂运算（一）学习目标1.理解n 次方根及根式的概.2.正确运用根式运算性质进行运算.自学导航自主梳理1.2x a =,那么x 叫做a 的 ,(想一想:这样的x 有______个）；3x a =,那么x 叫做a 的 ,(想一想:这样的x 有______个）； 一般地，若n x a =（1n >,且n N *∈），那么x 叫做a 的 次方根；2.①n 是奇数时，正数的n 次方根是 数，负数的n 次方根是 数，a 的n 次方根用符号 ______表示②n 是偶数时，正数a 的n 次方根有 个，这两个数互为 ____，a 的正n 次方根用符号 _表示，负n 次方根用符号 表示，合并写成 ； ③负数 __偶次方根④0的任何次方根都是 ，记作：0=.3.式子.n 叫做 ______，a 叫做 _________；可得______n=,预习检测求下列各式的值：= =____= 3)=互动探究●问题探究1na 的n a =一定成立吗？如果不一定成立，那么得：n = ，a ，a ，a -n ___,0________,0a a ≥⎧==⎨<⎩●问题探究2：求下列各式的值：⑴ ⑵⑶ ⑷()a b >变式：求下列各式的值：⑴ ⑵巩固拓展课堂练习： 1.求下列各式的值：⑴ ⑵⑶ ⑷2.求设33x -<<-.反思总结：（1）这节课你学到了哪些知识和解题技能？ （2）这节课你学到了哪些数学思想方法？ （3）你还有哪些收获？选作：1、式子a ⋅ ）（A ） （B ） （C ） （D ）23、若0x <，化简x x-2.1.1 指数及指数幂运算（二）自学导航学习目标1.理解分数指数幂的概念.2.掌握有理指数幂的运算性质.自主梳理1.根式与分数指数幂互化mn a = (0,,,1)a m n N n *>∈>m na-= (0,,,1)a m n N n *>∈>2.0的正分数指数幂等于____.0的负分数指数幂________.3.有理数指数幂运算性质:当0,0a b >>， ,r s Q ∈时（1）r sa a ⋅= （2）r sa a=（3）()r s a = （4）()r ab = （5）()r ab=预习检测1.请将下列根式写成分数指数幂形式或将根式写成分数指数幂形式.= （0a >）= = （0c >） 12a = （0a >） 13b = 32b = （0b >）2.求值238= 1225-= 51()2-= 2316()81-=3.用分数指数幂的形式表示下列各式（0a >）（1）3a ⋅= （2）2a = （3=互动探究●问题探究1：例、计算下列各式（字母为正数）（1）211511336622(2)(6)(3)a b a b a b ⋅-÷- （2）31884()m n -4a 23m n（3）÷（42(0)a >5巩固拓展课堂练习：1．已知11223a a -+=，则1a a -+的值为_________. 72. 2416x =，则1__________4x-⎛⎫= ⎪⎝⎭. 43.若104,103m n ==，则 6210______m n-=.227反思总结：（1）这节课你学到了哪些知识和解题技能？ （2）这节课你学到了哪些数学思想方法？ （3）你还有哪些收获？选作： 1．1.1.3集合的运算自学导航学习目标1．能用集合语言表述交集、并集、补集的含义，并能进行交集、并集、补集的基本运算．2．在已知集合间交集、并集、补集的情况下，能求相关参数的取值范围． 自主梳理1．集合A B⋂=，A B⋃=，U C A =．2．A B A ⋂=⇔，A BA ⋃=⇔．()U A C A ⋂= ，()U A C A ⋃= ，()U U C C A = ．3．()U C A B ⋂= ，()U C A B ⋃= ． 预习检测1．满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．设集合2{|1,},{|1,}A y y x x R B y y x x R ==+∈==+∈，则A B = ＿＿ ＿＿． 3．设全集{}{})(,31,213,A C B x x B m x m x A R U U ⊆<<-=<<-==，求实数m 的取值范围．互动探究问题探究1：例、已知{}{}{}22,1,3,3,21,1,3A a a B a a a A B =+-=--+⋂=-，则a = ．变式： 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4●问题探究2：例、设全集{}{}{}22,3,23,21,2,5U U m m A m C A =+-=-=，求实数m 的值．变式：全集(){},,U x y x y R =∈,集合()3,12y A x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭,(){},1B x y y x =≠+,则()U C A B ⋃=（ ）A ．φB ．(2,3)C ．{(2,3)}D ．(){},1x y y x =+ ●问题探究3：例、已知{}22190A x x ax a =-+-=，{}2560B x x x =-+=，{}2280C x x x =+-=（1）若A B A B ⋂=⋃，求a ； （2）若A B A ⋂=，求a ； （3）若∅ A B ⋂，A C ⋂=∅，求a 。

2 2
,
1
小结：1、构造两个函数，研究函数图象， 利用数形结合求解；
2、数形结合是解决方程、不等式的重要工具；
3、考查函数思想、数形结合思想、分类讨论思想
四、核心考点 突破练
例2：复习参考题B组第3题 (课后练习）
对于函数f
x
a
2 2x 1
a
R ：
1 探索函数f x的单调性；
2是否存在实数a使函数f x为奇函数？
•
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。

基本初等函数复习（一）一、内容与解析（一）内容：基本初等函数复习。

（二）解析：本节课要学的内容有指数式与根式的互化，对含有指数式(或根式)的乘除运算要善于利用幂的运算法则，注意表达式中出现的数量之间的关系，利用分数指数幂进行根式运算的顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行运算。

应用指数函数y＝a x 的图象和性质时，若底数含有字母，要特别注意a>1还是0<a<1.比较大小问题：先判断幂与1的大小，然后分类比较．同底数的幂用指数函数单调性比较；同指数的幂用幂函数的单调性比较，也可以利用图象比较大小．准确地掌握对数的运算法则是正确进行对数运算的前提，利用对数运算可以把乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，从而显示了对数计算的优越性．二、目标及其解析：（一）教学目标（1）使学用能够熟练掌握指数式与对数式的相互转化以及运算技巧；（二）解析（1）一般当给出的等式是指数形式时，通常对等式两边取对数，这是一种常用的解题技巧．（2）应用换底公式时，应注意选择恰当的底，既要善于“正用”，还要注意它的“逆用”．（3）比较对数大小时，应先区分各对数值是正还是负，再区分是大于1的数还是小于1的正数，然后分类比较．同底数的对数大小比较，利用对数函数单调性；不同底数同真数的对数大小比较可取倒数，化为同底数比较，亦可使用图象；真数、底数都不同的对数比较大小要借助中介值或图象比较大小.三、问题诊断分析在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是不易将指数式与对数式的相互转化，对公式的结构记忆不清从而不容易熟练运用，在学习时，学生应当在理解的基础上理解记忆并会转化运用。

四、教学支持条件分析在本节课一次递推的教学中，准备使用PowerPoint 2003。

因为使用PowerPoint 2003，有利于提供准确、最核心的文字信息，有利于帮助学生顺利抓住老师上课思路，节省老师板书时间，让学生尽快地进入对问题的分析当中。

基本初等函数复习教学设计一．指数函数：1. 函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R.2.指数函数的图像及性质二．对数函数：1.函数0(log >=a x y a ，且)1≠a叫做对数函数。

其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）值域为R.2.对数函数的图像及性质三．幂函数定义：1.函数αx y =叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。

2．幂函数的图象与性质图象: 绿色,蓝色,棕色,黄色,紫色分别表示:132,,,,y x y x y x y x y -=====性质:（1）幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）0>α时，幂函数的图象都通过原点，抛物线型图象，并且在),0[+∞上是增函数； 0<α时，幂函数的图象都不过原点，双曲线型图象，在区间（0，+∞）上是减函数. 典例精析：例1：当x ∈(1,2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，试求底数a 的取值范围.【解析】设y ＝(x －1)2，y ＝log a x .在同一坐标系中作出它们的图象，如右图所示．若0<a <1，则当x ∈(1,2)时，(x －1)2<log a x 是不可能的，所以a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >1，log a 2≥1，解得1<a ≤2. 所以，a 的取值范围为{a |1<a ≤2}．例2：已知偶函数f (x )在x ∈0，＋∞)上是增函数，f (12)＝0，求不等式f (log a x )>0(a >0，且a ≠1)的解集.例3.函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，在x ∈1,2]时的最大值比最小值大a 2，则a 的值为________． 【解析】注意进行分类讨论：(1)当a >1时，f(x)＝a x 为增函数，此时f(x)max ＝f(2)＝a 2，f(x)min ＝f(1)＝a ，∴a 2－a ＝a 2，解得a ＝32>1.(2)当0<a <1时，f(x)＝a x 为减函数，此时f(x)max ＝f(1)＝a ，f(x)min ＝f(2)＝a 2∴a －a 2＝a 2，解得a ＝12∈(0,1)，综上所述：a ＝32或12. 例4. 对于函数26171()2xx y -+=，(1)求函数的定义域、值域；(2)确定函数的单调性． 【解析】(1)设2617u x x =-+，∵函数1()2u y =及2617u x x =-+的定义域是R ，∴函数2617u x x =-+的定义域是R .∵22617(3)88u x x x =-+=-+≥， ∴8111()()22256u ≤=，又∵1()02u >，∴函数的值域为1(0,]256． (2)函数2617u x x =-+在[3,)+∞上是增函数，在(,3]-∞上是减函数 1012<<，所以26171()2x x y -+=的单调性与2617u x x =-+相反,所以26171()2x x y -+=在3，＋∞)上是减函数，在（－∞，3]上是增函数.例5.已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，(a ＞0，a ≠1).(1)设a ＝2，函数f (x )的定义域为3,63]，求f (x )的最值；(2)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围．【解析】(1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(1＋x )，在3,63]上为增函数，因此当x ＝3时，f (x )最小值为2.当x ＝63时f (x )最大值为6.(2)f (x )－g (x )＞0,即f (x )＞g (x ),当a ＞1时，log a (1＋x )＞log a (1－x )。

基本初等函数的习题课编制人：陈纪刚 审核人：张志勇 使用时间：三、知识点回顾1.指数函数的图像与性质： x a y =a>1 0<a<1 图 象性 质(1)定义域： （2）值域： （3）过定点： （4）在 R 上是 函数（4）在R 上是 函数2．对数函数的图像性质x y a log =0<a<1a>1图象定义域 值域 单调性 过定点y<0时 ∈x __________ ∈x __________y>0时∈x __________ ∈x __________3.幂函数的性质 幂函数y x =2y x = 3y x = 1y x -=12y x =2x y -=图象定义域值域 奇偶性单调性公共点四、预习自测1．设]1,(,2),1(,log 81{)(-∞∈+∞∈-=x x x x x f ，则满足41)(=x f 的x 的值为 2．下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为减函数的是 （ ）x y A )21(.= 2x y .B -= 3x y .C -= x log y .D 32=3．不论为何正实数,函数的图象一定通过一定点,则该定点的坐标是_________4．如果,10<<a 那么下列不等式中正确的是（ ）2131)1()1.(a a A ->- 0)1(log .1>+-a B a 23)1()1.(a a C +>- 1)1.(1>-+a a D5．已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是( )五、典型例题：例1．已知函数）1a ,0a (,1])21[(log )x (f x 3≠>-= （1）求函数的定义域；（2）求使0)x (f >的x 的取值范围。

例2．已知函数).1(log )1(log )x (f x x a a +--= （1）求)x (f 的定义域;（2）求使0)(>x f 的x 的取值范围。