人教版高中数学必修一《基本初等函数》章末复习学案

新课标人教A版数学必修1第二章基本初等函数复习导学案一、指数函数：1.指数与指数幕：(1)根式的概念：一般地，如果x" = a ,那么x叫a的n次方根，n>i且n € N*,当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，a的n次方根用符号n a表示，式子：a叫根式，n叫根指数，a叫被开方数，当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们是互为相反数，正数a的正的n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号-n a表示，正的n次方根与负的n次方根可以合并成土n a ( a >0)，负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0，记作&0 =0。

当n是奇数时，、:a = a，当n是偶数时，，(2)分数指数m m幕：a n=Qa m(a >0，m,N*，n >1)，a_n=^=(a >0，m,n N*，n>1)，零的正分数指数幕为0,零的负分数指■n n a ■. a数幕没有意义，整数指数幕的运算性质可以推广到有理数指数幕，(3)实数指数幕的运算性质：(1) a r a s =a r卡(a x0,r，s己R)，(2) (a r)s = a rs (a a 0，r，SE R)，(3) (a b)r = a r，b r (a a 0,b a 0, r R)。

2.指数函数及其性质：(1)指数函数的概念：一般地，函数y二a x(a 0,且a=1)叫指数函数，x是自变量，函数的定义域为R，(2)指数函数的图象和性质：a>1) y a x(0y —( a (a y — a (u < i 1、1 1—'——向x轴正负方向无限延伸，函数的定义域为R,函数图象都在x轴上方，值域为(0,+辺)即R+图象关于原点和x轴及y轴都不对称，是非奇非偶函数，函数图象都过定点(0,1) , a°=1(a^0)在f (x) = a x中，总有f (0)=1 和f (1) = a图象从左到右逐渐上升，从右到左逐渐下降图象从左到右逐渐下降，从右到左逐渐上升增函数，当x > 0时y = a x：> 1,当x c 0时0 < y = a x c 1 减函数，当x > 0 时0 cy = a x c1,当xc0时y = a x>1 二、对数函数：1.对数：(1) 一般地，如果a x=N (a ・0,a =1),那么数x叫做以a为底N的对数，记作x = log a N(a叫底数，N 叫真数，log a N叫对数式),a x = N log a N = x ,两个重要对数：①常用对数：以10为底的对数lg N ,②自然对数：以无理数e=2.71828… 为底的对数ln N ,(2)对数的运算性质：①log a(M N)=log a M log a N,② log a M^log a M -log a N,③ log a M n=n log a M (n R),④换底公式：log a b二誥(a 0 且a=1 , c 0 且c=1, b 0),(1) log a m b^^log a b,(2) log a b=g-a,2.对数函数：(1)对数函数的概念：函数y = log a x(a 0且a=1)叫对数函数，x是自变量，函数的定义域是(0,+ g ),对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，y=2log 2 x, y二log5 5都不是对数函数，只能称其为对数型函数,(2)对数函数的图像和性质：函数图象都在y轴右侧，函数的定义域为(0, ),向y轴正负方向无限延伸，函数的值域为R函数图象关于原点和x轴及y轴都不对称，是非奇非偶函数，函数图象都过定点(1,0), log a 1 = 0在f(x)=log a x中，总有f(1)=0和f(a)=1增函数，图像从左到右逐渐上升，从右到左逐渐下降减函数，图像从左到右逐渐下降，从右到左逐渐上升当x >1时，y = log a x >0 ,当0 £x 时，y = log a x v0 当0 £x £1时，y = log a x > 0 ,当x a 1时，y=log a x £0三、幕函数:1.定义：一般地，形如y =X〉(a • R)的函数称为幕函数，：•为常数。

指数与指数函数复习学案一，基础知识回顾1，n 次方根一般地，若n x a =，则x 叫做a 的 ，其中1n >,n *∈N .当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个________，负数的n 次实数才根是一个_______，此时a 的n 次实数方根只有一个，把它记作____________；当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有_____个，它们互为_______，正数a 的正的n 次方根用符号_______表示，负的n 次方根用符号____表示，正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写为____________(a >0);负数没有n 次方根 零的任何次方根都是0 2，根式式子________叫做根式，n 叫做__________，a 叫做____________。

3，根式的性质()n n a = .当n 是奇数时，n n a = ； 当n 是偶数时，n n a = .4，分数指数幂我们规定：正数的正分数指数幂的意义是=nm a_______________)n ,N n ,m ,a (*1且0>∈>正数的负分数指数幂的意义是=-nm a_________________________)n ,N n ,m ,a (*1且0>∈>零的正分数指数幂是___，零的负分数指数幂____________。

5，实数指数幂的运算性质即对任意实数r ，s ，均有=s r a .a ____________ (a >0，r ，s ∈R)； =s r )a (____________ (a >0，r ，s ∈R)； =r )ab (____________ (a >0，b >0，r ∈R )5,指数函数的定义：形如xy a =（0a >且1a ≠）的函数叫做________，其中x 是自变量。

6，指数函数xy a =的图象和性质： 图 象二，典例分析例1， 计算与化简下列各式：（1）021231)12()972()71()027.0(--+----（2）()032312328.4125134331216-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+--（3）625625++- （4 （51⎛÷- ⎝例2，已知32121=+-aa ，求下列各式的值。

题型一 指数、对数的运算1． 指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．2． 对于底数相同的对数式的化简，常用的方法：(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．例1 (1)化简;)21(24833323323134ab ab a ab b ba a ⨯-÷++- (2)计算：2log 32－log 3329＋log 38－25log 53. 解 (1)原式＝.8)8(331313131b a b a a b a b a a =⨯⨯--(2)原式＝log 34－log 3329＋log 38－52log 53 ＝log 3⎝⎛⎭⎫4×932×8－5log 59 ＝log 39－9＝2－9＝－7.跟踪训练1 计算80.25×42＋(32×3)6＋log 32×log 2(log 327)的值为________．答案 111解析 ∵log 32×log 2(log 327)＝log 32×log 23＝lg 2lg 3×lg 3lg 2＝1， ∴原式＝234×214＋22×33＋1＝21＋4×27＋1＝111. 题型二 数的大小比较数的大小比较常用方法：(1)比较两数(式)或几个数(式)大小问题是本章的一个重要题型，主要考查幂函数、指数函数、对数函数图象与性质的应用及差值比较法与商值比较法的应用．常用的方法有单调性法、图象法、中间搭桥法、作差法、作商法．(2)当需要比较大小的两个实数均是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．(3)比较多个数的大小时，先利用“0”和“1”作为分界点，即把它们分为“小于0”，“大于等于0小于等于1”，“大于1”三部分，然后再在各部分内利用函数的性质比较大小．例2 比较下列各组数的大小：(1)40.9,80.48，⎝⎛⎭⎫12－1.5；(2)log 20.4，log 30.4，log 40.4.解 (1)40.9＝21.8,80.48＝21.44，⎝⎛⎭⎫12－1.5＝21.5， ∵y ＝2x 在(－∞，＋∞)上是增函数，∴40.9>⎝⎛⎭⎫12－1.5>80.48.(2)∵对数函数y ＝log 0.4x 在(0，＋∞)上是减函数，∴log 0.44<log 0.43<log 0.42<log 0.41＝0.又幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是减函数，所以1log 0.42<1log 0.43<1log 0.44， 即log 20.4<log 30.4<log 40.4.跟踪训练2 比较下列各组数的大小：(1)27,82；(2)log 0.22，log 0.049；(3)a 1.2，a 1.3；(4)0.213,0.233.解 (1)∵82＝(23)2＝26，由指数函数y ＝2x 在R 上单调递增知26<27即82<27.(2)∵log 0.049＝lg 9lg 0.04＝lg 32lg 0.22＝2lg 32lg 0.2＝lg 3lg 0.2＝log 0.23. 又∵y ＝log 0.2x 在(0，＋∞)上单调递减，∴log 0.22>log 0.23，即log 0.22>log 0.049.(3)因为函数y ＝a x (a >0且a ≠1)，当底数a 大于1时在R 上是增函数；当底数a 小于1时在R 上是减函数，而1.2<1.3，故当a >1时，有a 1.2<a 1.3；当0<a <1时，有a 1.2>a 1.3.(4)∵y ＝x 3在R 上是增函数，且0.21<0.23，∴0.213<0.233.题型三 复合函数的单调性1．一般地，对于复合函数y ＝f (g (x ))，如果t ＝g (x )在(a ，b )上是单调函数，并且y ＝f (t )在(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，那么y ＝f (g (x ))在(a ，b )上也是单调函数．2．对于函数y ＝f (t )，t ＝g (x )．若两个函数都是增函数或都是减函数，则其复合函数是增函数；如果两个函数中一增一减，则其复合函数是减函数，即“同增异减”，但一定要注意考虑复合函数的定义域． 例3 已知a >0，且a ≠1，试讨论函数f (x )＝1762++x x a的单调性．解 设u ＝x 2＋6x ＋17＝(x ＋3)2＋8，则当x ≤－3时，其为减函数，当x >－3时，其为增函数，又当a >1时，y ＝a u 是增函数，当0<a <1时，y ＝a u 是减函数，所以当a >1时，原函数f (x )＝1762++x xa 在(－∞，－3]上是减函数，在(－3，＋∞)上是增函数．当0<a <1时，原函数f (x )＝1762++x x a在(－∞，－3]上是增函数，在(－3，＋∞)上是减函数．跟踪训练3 求下列函数的单调区间：(1)y ＝log 0.2(9x －2×3x ＋2)；(2)y ＝log a (a －a x )．解 (1)令t ＝3x ，u ＝9x －2×3x ＋2＝t 2－2t ＋2＝(t －1)2＋1≥1>0.又y ＝log 0.2u 在定义域内递减，∴当3x ≥1(t ≥1)，即x ≥0时，u ＝9x －2×3x ＋2递增，∴y ＝log 0.2(9x －2×3x ＋2)递减．同理，当x ≤0时，y ＝log 0.2(9x －2×3x ＋2)递增．故函数y ＝log 0.2(9x －2×3x ＋2)的递增区间为(－∞，0]，递减区间为[0，＋∞)．(2)①若a >1，则y ＝log a t 递增，且t ＝a －a x 递减，而a －a x >0，即a x <a ，∴x <1， ∴y ＝log a (a －a x )在(－∞，1)上递减．②若0<a <1，则y ＝log a t 递减，且t ＝a －a x 递增，而a －a x >0，即a x <a ，∴x >1， ∴y ＝log a (a －a x )在(1，＋∞)上递减．综上所述，函数y ＝log a (a －a x )在其定义域上递减．题型四 幂、指数、对数函数的综合应用指数函数与对数函数性质的对比：指数函数、对数函数是一对“姊妹”函数，它们的定义、图象、性质、运算既有区别又有联系．(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)，对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)的图象和性质都与a的取值有密切的联系．a 变化时，函数的图象和性质也随之变化．(2)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点(0,1)，对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)的图象恒过定点(1,0)．(3)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)具有相同的单调性．(4)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1，x >0)互为反函数，两函数图象关于直线y ＝x 对称．例4 已知函数f (x )＝lg 1＋2x ＋a ·4x 3在x ∈(－∞，1]上有意义，求实数a 的取值范围． 解 因为f (x )＝lg 1＋2x ＋a ·4x 3在(－∞，1]上有意义， 所以1＋2x ＋a ·4x >0在(－∞，1]上恒成立．因为4x >0，所以a >－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，1]上恒成立． 令g (x )＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ，x ∈(－∞，1]． 由y ＝－⎝⎛⎭⎫14x 与y ＝－⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，1]上均为增函数，可知g (x )在(－∞，1]上也是增函数， 所以g (x )max ＝g (1)＝－⎝⎛⎭⎫14＋12＝－34. 因为a >－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x 在(－∞，1]上恒成立， 所以a 应大于g (x )的最大值，即a >－34. 故所求a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 跟踪训练4 已知函数f (x )＝lg(1＋x )＋lg(1－x )．(1)判断函数的奇偶性；(2)若f (x )＝lg g (x )，判断函数g (x )在(0,1)上的单调性并用定义证明．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >01－x >0， 得－1<x <1，∴x ∈(－1,1)，又f (－x )＝lg(1－x )＋lg(1＋x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(2)g (x )在(0,1)上单调递减．证明如下：∵f(x)＝lg(1－x2)＝lg g(x)，∴g(x)＝1－x2，任取0<x1<x2<1，则g(x1)－g(x2)＝1－x21－(1－x22)＝(x1＋x2)(x2－x1)，∵0<x1<x2<1，∴x1＋x2>0，x2－x1>0，∴g(x1)－g(x2)>0，∴g(x)在(0,1)上单调递减．1．函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，纵观历年高考试题，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题．2．从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查．。

新人教A版高中数学必修一教案第二章基本初等函数（Ⅰ）一、课标要求：教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题.1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）.4.通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.5.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.6.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）.7.知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义.8.通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数1312,,,y x y x y x y x-====的图象，了解它们的变化情况.二、编写意图与教学建议：1.教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设.2.在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容做了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想. 建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展.4.教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担.5. 通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能 ..6. 教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.三、教学内容与课时安排的建议 本章教学时间约为14课时. 2.1 指数函数： 6课时 2.2 对数函数： 6课时 2.3 幂函数： 1课时 小结： 1课时§2.1.1 指数（第1—2课时）一．教学目标：1．知识与技能：（1）理解分数指数幂和根式的概念； （2）掌握分数指数幂和根式之间的互化； （3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力。

《基本初等函数》复习小结一、知识点梳理 1、指数与指数幂的运算（1）根式与指数幂互化:________=nm a (1,,,0*>∈>n N n m a 且)（2）=n n a n 为奇数时，当__________;=n na n 为偶数时，当____________（3）指数运算性质：=sr a a _______;s r a )(=__________;=r ab )(________ 2、指数函数的图象与性质3、对数与对数运算（1）指数式与对数式的互化：当___0,0⇔=≠>N a a a x时，（2）__log _______,1log ==a a a__________log _________log ________)(log )3(===⋅n a a a M NM N M 4、4、对数函数及其性质二、练习：1、下列函数是幂函数的是………………………………………………………………（ ）Ａ、22y x = B 、3y x x =+ C 、3xy = D 、12y x =4、若210,5100==ba，则b a +2=………………………………………………（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、35、函数12y=l o g (21)x -的定义域为 …………………………………………………( ) A ．（21，+∞） B ．［1，+∞) C ．（21，1] D ．（－∞，1） 6、已知f (x )=|l g x |,则11()()(2)43f f f 、、的大小关系是……………………………（ ） A. )41()31()2(f f f >> B. )2()31()41(f f f >> C. )31()41()2(f f f >> D. )2()41()31(f f f >> 7、方程：l g l g (3)1x x +-=的解为x = （ ）A 、5或-2B 、5C 、-2D 、无解8、若集合xP ={y |y =2,x R }∈，2M ={y |y =x ,xR }∈，则下列结论中正确的是…（ ） A.M ∩P={2，4} B. M ∩P ={4，16} C.M=P D.P M9、已知()l o g a f x x =，()l o g b gx x =，()l o g c rx x=，()l o g d hx x=的图象如图所示则a,b,c,d 的大小为 （ ）A.c d a b <<<B.c d b a <<<C.d c a b <<<D.d c b a <<<10．在(2)l o g (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是 （ ） A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 11、已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是………………………………………（ ）a>10<a<1图 象性质（1）定义域：（2）值域：（3）过定点 ，即x= 时，y= 。

2.1.1指数与指数幂的运算[学习目标] 1.理解根式的概念及分数指数幂的含义.2.会进行根式与分数指数幂的互化.3.掌握根式的运算性质和有理数指数幂的运算性质.知识点一根式的定义1.n次方根的定义一般地，如果x n＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.2.n次方根的性质(1)当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.这时，a的n次.(2)当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数a的正的n次n.正的n次方根与负的n次方根可以合(3)0的任何次方根都是0(4)负数没有偶次方根.3.根式的定义式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.4.两个等式(1)(na)n＝a(n∈N*).(2)na n＝⎩⎨⎧a(n为奇数，且n∈N*)，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a(a≥0)，－a(a<0)(n为偶数，且n∈N*).知识点二 分数指数幂(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：m naa ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1). (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：-m n a＝nm a1(a ＞0，m ，n ∈N *, 且n ＞1).(3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 思考 (1)分数指数幂m na 能否理解为mn个a 相乘？(2)在分数指数幂与根式的互化公式m na ＝na m 中，为什么必须规定a >0? 答 (1)不能.m na 不可以理解为mn 个a 相乘，事实上，它是根式的一种新写法.(2)①若a ＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即na m＝m na ＝0，无研究价值.②若a <0，mn a ＝na m 不一定成立，如(－2)32＝2(－2)3无意义，故为了避免上述情况规定了a >0.知识点三 有理数指数幂的运算性质 (1)a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； (2)(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； (3)(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q ). 知识点四 无理数指数幂无理数指数幂a α(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对于无理数指数幂同样适用.题型一 根式的运算 例1 求下列各式的值.(1)3(－2)3；(2)4(－3)2；(3)8(3－π)8； (4)x 2－2x ＋1－x 2＋6x ＋9，x ∈(－3,3). 解 (1)3(－2)3＝－2. (2)4(－3)2＝432＝ 3. (3)8(3－π)8＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝(x －1)2－(x ＋3)2＝|x －1|－|x ＋3|， 当－3＜x ≤1时，原式＝1－x －(x ＋3)＝－2x －2. 当1＜x ＜3时，原式＝x －1－(x ＋3)＝－4.因此，原式＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，－3＜x ≤1，－4，1＜x ＜3.反思与感悟 1.解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质进行化简或求值.2.开偶次方时，先用绝对值表示开方的结果，再去掉绝对值符号化简，化简时要结合条件或分类讨论.跟踪训练1 化简下列各式.(1)5(－2)5；(2)4(－10)4；(3)4(a －b )4. 解 (1)5(－2)5＝－2. (2)4(－10)4＝|－10|＝10. (3)4(a －b )4＝|a －b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a －b (a ≥b )，b －a (a ＜b ).题型二 根式与分数指数幂的互化 例2 将下列根式化成分数指数幂形式. (1)3a ·4a ； (2)a a a ；(3)3a 2·a 3； (4)(3a )2·ab 3. 解 (1)3a ·4a ＝a 31·a 41＝a 127.(2)原式＝a 21·a 41·a 81＝a 87. (3)原式＝a 23·a 32＝a136.(4)原式＝(a 31)2·a 21·b 32＝a 76b 32.反思与感悟 在解决根式与分数指数幂互化的问题时，关键是熟记根式与分数指数幂的转化式子：mna ＝na m 和-m na＝nm a1＝1n a m，其中字母a 要使式子有意义.跟踪训练2 用分数指数幂表示下列各式： (1)3a ·6－a (a ＜0)；(2)3ab 2(ab )3(a ，b ＞0)；(3)23)(b ＜0)； (4)13x (5x 2)2(x ≠0).解 (1)原式＝a 31·(－a )61＝－(－a )31·(－a )61＝－(－a )21(a ＜0). (2)原式＝323232b a ab ⋅＝32725b a ＝157322()⋅a b ＝5766a b (a ，b ＞0). (3)原式＝212343⨯⨯b ＝(－b )91(b ＜0).(4)原式＝3154311⨯⋅xx ＝531x＝x35-(x ≠0).题型三 分数指数幂的运算 例3 (1)计算：0.06431-－⎝⎛⎭⎫－780＋[(－2)3]34-＋16－0.75＋|－0.01|21；(2)化简：3329-a a÷3a －7·3a 13(a ＞0).解 (1)原式＝(0.43)31-－1＋(－2)－4＋(24)－0.75＋(0.12)21＝0.4－1－1＋116＋18＋0.1＝14380.(2)原式＝191317113()()32322323[][]⨯⨯-⨯-⨯⋅÷⋅a aaa＝937136666-+-a＝a 0＝1.反思与感悟 指数幂的一般运算步骤是：有括号先算括号里的；无括号先做指数运算.负指数幂化为正指数幂的倒数.底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 跟踪训练3 计算或化简：(1)⎝⎛⎭⎫－33823-＋(0.002)21-－10(5－2)－1＋(2－3)0；.解 (1)原式＝(－1)23-⎝⎛⎭⎫33823-＋⎝⎛⎭⎫150021-－105－2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫27823-＋(500)21－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝133111513322222()[()()]----⋅⋅⋅a a a a＝1513103222()()-⋅⋅a a a＝(a －4)21＝a －2.题型四 条件求值 例4 已知a 21＋a21-＝3，求下列各式的值.(1)a ＋a －1；(2)a 2＋a －2；(3)33221122----a a a a.解 (1)将a 21＋a 21-＝3两边平方，得a ＋a －1＋2＝9，即a ＋a －1＝7.(2)对(1)中的式子平方，得a 2＋a －2＋2＝49， 即a 2＋a －2＝47.(3)33221122----a a a a＝1111122221122()()-----⋅⋅-a a a+a +a a a a＝a ＋a －1＋1＝8.反思与感悟 1.条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代入等，可以简化解题过程.本题若通过1122-+a a＝3(a >0)解出a 的值代入求值则非常复杂.解决此类问题的一般步骤是：2.注意运用平方差公式、立方和公式、立方差公式对代数式进行变形，如： (1)a －b ＝(a 21)2－(b 21)2＝(a 21＋b 21)(a 21－b 21).(2)a ±b ＝(a 31)3±(b 31)3＝(a 31±b 31)(a 23∓a 31b 31＋b 23). 跟踪训练4 已知a ＋a －1＝5(a >0)，求下列各式的值： (1)a 2＋a －2；(2)a 21－a21-；(3)a 3＋a －3.解 (1)方法一 由a ＋a －1＝5两边平方，得a 2＋2aa －1＋a －2＝25，即a 2＋a －2＝23. 方法二 a 2＋a －2＝a 2＋2aa －1＋a －2－2aa －1＝(a ＋a －1)2－2＝25－2＝23. (2)∵(a 21－a 21-)2＝a ＋a －1－2＝5－2＝3，∴|a 21－a21-|＝3，∴a 21－a21-＝± 3.(3)a 3＋a －3＝(a ＋a －1)(a 2－aa －1＋a －2) ＝(a ＋a －1)(a 2＋2aa －1＋a －2－3) ＝(a ＋a －1)[(a ＋a －1)2－3] ＝5×(25－3)＝110.因忽略对指数的讨论及被开方数的条件致误例5 化简：(1－a )[(a －1)－2·(－a )21]21. 错解 原式＝(1－a )(a －1)－1·(－a )41＝－(－a )41. 正解 因为(－a )21存在， 所以－a ≥0，故a －1<0，原式＝(1－a )(1－a )－1(－a )41＝(－a )41.错误原因 因题中有(－a )21，所以－a ≥0，即a ≤0，则[(a －1)－2]21≠(a －1)－1，错解中忽略了这一条件.跟踪训练5 求[(1－2)2]21－(1＋2)－1－1＋213÷47的值. 解 原式＝2－1－(2－1)－1＋2－1＝－12.1.下列各式正确的是( ) A.(3a )3＝aB.(47)4＝－7C.(5a )5＝|a | D.6a 6＝a答案 A解析 (47)4＝7，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |. 2.(a －b )2＋5(a －b )5的值是( ) A.0B.2(a －b )C.0或2(a －b )D.a －b答案 C解析 当a －b ≥0时， 原式＝a －b ＋a －b ＝2(a －b )； 当a －b ＜0时，原式＝b －a ＋a －b ＝0. 3.化简(1－2x )2(2x >1)的结果是( ) A.1－2x B.0 C.2x －1 D.(1－2x )2答案 C解析 ∵2x >1，∴1－2x <0. ∴(1－2x )2＝|1－2x |＝2x －1. 4.化简－x 3x 的结果是________.答案 －－x5.已知10m ＝2,10n ＝3，则103m －n ＝________. 答案 83解析103m －n ＝103m 10n ＝(10m )310n ＝233＝83.1.掌握两个公式：(1)(n a )n ＝a (n ∈N *)；(2)n 为奇数且n ∈N *，na n ＝a ，n 为偶数且n ∈N *，na n＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a ＜0).2.根式一般先转化成分数指数幂，然后利用有理数指数幂的运算性质进行运算.在将根式化为分数指数幂的过程中，一般采用由内到外逐层变换的方法，然后运用运算性质准确求解.一、选择题1.下列等式一定成立的是( ) A.a 31·a 32＝a B.a31-·a 31＝0C.(a m )n＝nm aD.a m ÷a n ＝a m －n答案 D解析 由指数运算的性质可知D 正确. 2.化简3a a 的结果是( )A.aB.aC.a 2D.3a 答案 B 解析3a a ＝(a ·a 21)31＝(a 32)31＝a 21＝a .3.化简(a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)的结果为( ) A.1 B.－1 C.a 2－1a 2＋1 D.a 2＋1a 2－1答案 C 解析(a 2－2＋a －2)÷(a 2－a －2)＝(a －a －1)2÷[(a ＋a －1)(a －a －1)]＝a －a －1a ＋a －1＝aa －a －1aa ＋a －1＝a 2－1a 2＋1. 4.若(1－2x )－34有意义，则x 的取值范围是( )A.x ∈RB.x ∈R 且x ≠12C.x ＞12D.x ＜12答案 D 解析 ∵(1－2x )43-＝14(1－2x )3，∴1－2x ＞0，得x ＜12.5.化简a 3b 23ab 2(a 41b 21)4·3ba(a ，b ＞0)的结果是( )A.b aB.abC.ab D.a 2b 答案 C解析 原式＝[a 3b 2(ab 2)13]12÷(a 1b 2b 13a －13)＝1121275247(3)(2)3232333333()+⨯+⨯--÷=⨯aba b ab＝a b. 6.已知x 21＋x21-＝5，则x 2＋1x的值为( )A.5B.23C.25D.27 答案 B解析 x 2＋1x ＝x ＋1x＝x ＋x －1＝(x 21＋x 21-)2－2＝52－2＝23.故选B.二、填空题 7.221-＋(－4)02＋12－1－(1－5)0·823＝________.答案 22－3 解析 原式＝12＋12＋2＋1－22＝22－3. 8.计算：(π)0＋2－2×(214)21＝________.答案118解析 原式＝1＋14×(94)21＝1＋14×32＝118.9.设α，β是方程5x 2＋10x ＋1＝0的两个根，则2α·2β＝_______，(2α)β＝_______. 答案 14 215解析 利用一元二次方程根与系数的关系，得α＋β＝－2，αβ＝15.则2α·2β＝2α＋β＝2－2＝14，(2α)β＝2αβ＝251.10.设2x ＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y ＝________. 答案 27解析 由2x ＝8y ＋1，得2x ＝23y ＋3， 所以x ＝3y ＋3.①由9y ＝3x －9，得32y ＝3x －9， 所以2y ＝x －9.②由①②联立方程组，解得x ＝21，y ＝6， 所以x ＋y ＝27.三、解答题11.计算下列各式的值：(1)(0.027)31－⎝⎛⎭⎫61421＋25634＋(22)23－3－1＋π0；(2)733－3324－6319＋4333；(3)861552()--⋅a b ·5a 4÷5b 3(a ＞0，b ＞0).解(1)原式＝[(0.3)3]31－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫52221＋(44)34＋(232)23－13＋1＝0.3－52＋43＋2－13＋1＝96715. (2)原式＝7×331－3323×3－63⎝⎛⎭⎫132＋ 43×331＝7×331－6×331－6×323-＋331＝2×331－2×3×323-＝2×331－2×331＝0. (3)原式＝861431(()())552552⨯--⨯-⋅⋅÷a ba b＝43435555-⋅⋅÷a b a b ＝44335555-+-ab＝a 0b 0＝1.12.已知a ＝－827，b ＝1771，求a 23＋33ab ＋9b 23a 43－27a 13b ÷a313a －33b 的值. 解 原式＝a 32＋3a 31·b 31＋(3b 31)2a 31(a －27b )·a 31－3b31a 31＝(a 31)3－(3b 31)3a 32(a －27b )＝a 23-＝(－827)23-＝(－23)－2＝94.13.(1)已知2x ＋2－x ＝a (常数)，求8x ＋8－x 的值；第11页 共11页 (2)已知x ＋y ＝12，xy ＝9且x ＜y ，求x 21－y 21x 21＋y 21的值. 解 (1)∵4x ＋4－x ＝(2x )2＋(2－x )2＝(2x ＋2－x )2－2·2x ·2－x ＝a 2－2，∴8x ＋8－x ＝23x ＋2－3x ＝(2x )3＋(2－x )3＝(2x ＋2－x )·[(2x )2－2x ·2－x ＋(2－x )2]＝(2x ＋2－x )(4x ＋4－x －1)＝a (a 2－2－1)＝a 3－3a .(2)x 21－y 21x 21＋y 21＝(x 21－y 21)2(x 21＋y 21)(x 21－y 21)＝(x ＋y )－2(xy )21x －y.① ∵x ＋y ＝12，xy ＝9，②∴(x －y )2＝(x ＋y )2－4xy ＝122－4×9＝108.又∵x ＜y ，∴x －y ＝－6 3.③将②③代入①，得x 21－y 21x 21＋y 21＝12－2×921－63＝－33.。

第二章 基本初等函数 §2．1指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算（三课时）第一课时：教学目标：1.理解n 次方根、根式的概念；2.正确运用根式运算性质；3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教学重点：根式的概念、运算性质 教学难点：根式概念的理解 教学方法：学导式 教学过程：（Ⅰ）创设情景；阅读问题1、问题2，认识将指数的取值范围进行推广的重要性和必要性。

（Ⅱ）复习回顾 ___； -9)0a _____(2≥=；（Ⅲ）讲授新课 22=4 ，（-2）2=4 ⇒ 2，-2叫4的平方根 23=8 ⇒ 2叫8的立方根； （-2）3=-8⇒-2叫-8的立方根 25=32 ⇒ 2叫32的5次方根 … 2n =a ⇒2叫a 的n 次方根 1.n 次方根的定义：（板书）问题1：n 次方根的定义给出了，x 如何用a 表示呢？na x =是否正确？次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。

此时，a 的n 次方根可表示为na x =。

从而有：3273=，2325-=-，236a a =数，负数没有n 次方根。

此时正数a 的n 次方根可表示为：)0a (a n >± 其中n a 表示a 的正的n 次方根，n a -表示a 的负的n 次方根。

结论3：0的n 次方根是0，记作n n a ,00即=当a=0时也有意义。

这样，可在实数范围内，得到n 次方根的性质： 3.n 次方根的性质：（板书）*)(2,12,N k kn a k n a x n n ∈⎪⎩⎪⎨⎧=±+== 其中叫根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。

注意：根式是n 次方根的一种表示形式，并且，由n 次方根的定义，可得到根式的运算性质。

4.根式运算性质：（板书）①a a nn =）（，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。

问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？ ②⎩⎨⎧=为偶数为奇数；n a n a a nn|,|,性质的推导（略）： （III ）课堂练习：求下列各式的值通过本节学习，大家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。

第2章 基本初等函数（Ⅰ）【例1】 计算：(1)2log 32－log 39＋log 38－5log 53；(2)1.5－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－760＋80.25×42＋(32×3)6[解] (1)原式＝log 322×8329－3＝2－3＝－1.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＋234×214＋22×33－⎝ ⎛⎭⎪⎫2313＝21＋4×27＝110.指数、对数的运算应遵循的原则指数式的运算首先注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为分数指数幂运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价，熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式，换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．1.设3x ＝4y＝36，则2x ＋1y的值为( )A ．6B ．3C ．2D ．1D [由3x＝4y＝36得x ＝log 336，y ＝log 436，∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 369＋log 364＝log 3636＝1.]aA B C D(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.①如图，画出函数f (x )的图象；②根据图象写出f (x )的单调区间，并写出函数的值域．(1)B [由已知函数图象可得，log a 3＝1，所以a ＝3.A 项，函数解析式为y ＝3－x，在R 上单调递减，与图象不符；C 项中函数的解析式为y ＝(－x )3＝－x 3，当x >0时，y <0，这与图象不符；D 项中函数解析式为y ＝log 3(－x )，在(－∞，0)上为单调递减函数，与图象不符；B 项中对应函数解析式为y ＝x 3，与图象相符．故选B.](2)[解] ①先作出当x ≥0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，利用偶函数的图象关于y 轴对称，再作出f (x )在x ∈(－∞，0)时的图象．②函数f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为[0，＋∞)，值域为(0，1]．1．识别函数的图象从以下几个方面入手： (1)单调性：函数图象的变化趋势； (2)奇偶性：函数图象的对称性； (3)特殊点对应的函数值．2．指数函数与对数函数图象经过定点的实质是a 0＝1，log a 1＝0.2．函数y ＝1＋log 12(x －1)的图象一定经过点( )A ．(1，1)B ．(1，0)C ．(2，1)D ．(2，0)C [把y ＝log 12x 的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到y ＝1＋log 12(x－1)的图象，故其经过点(2，1)．]A ．3y<3xB ．log x 3<log y 3C ．log 4x <log 4yD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14x <⎝ ⎛⎭⎪⎫14yC [因为0<x <y <1，则对于A ，函数y ＝3x在R 上单调递增，故3x<3y，A 错误．对于B ，根据底数a 对对数函数y ＝log a x 的影响：当0<a <1时，在x ∈(1，＋∞)上“底小图高”．因为0<x <y <1，所以log x 3>log y 3，B 错误．对于C ，函数y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，故log 4x <log 4y ，C 正确．对于D ，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 在R 上单调递减，故⎝ ⎛⎭⎪⎫14x >⎝ ⎛⎭⎪⎫14y，D 错误．]1．比较两数大小常用的方法有单调性法、图象法、中间值法等．2．当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数值，然后利用该函数的单调性比较．3．比较多个数的大小时，先利用“0”“1”作为分界点，然后在各部分内再利用函数性质比较大小．4．含参数的问题，要根据参数的取值进行分类讨论．3.设a ＝log 2π，b ＝log 12π，c ＝π－2，则( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >b >aC [∵a ＝log 2π>log 22＝1，b ＝log 12π<log 121＝0，c ＝π－2＝1π2，即0<c <1，∴a >c >b ，故选C.]A ．奇函数，且在(0，1)上是增函数B ．奇函数，且在(0，1)上是减函数C ．偶函数，且在(0，1)上是增函数D ．偶函数，且在(0，1)上是减函数(2)已知a >0，a ≠1且log a 3>log a 2，若函数f (x )＝log a x 在区间[a ，3a ]上的最大值与最小值之差为1.①求a 的值；②若1≤x ≤3，求函数y ＝(log a x )2－log a x ＋2的值域．(1)A [由题意可得，函数f (x )的定义域为(－1，1)，且f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．又f (x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x －1，易知y ＝21－x －1在(0，1)上为增函数，故f (x )在(0，1)上为增函数．](2)[解] ①因为log a 3>log a 2，所以f (x )＝log a x 在[a ，3a ]上为增函数．又f (x )在[a ，3a ]上的最大值与最小值之差为1， 所以log a (3a )－log a a ＝1，即log a 3＝1，所以a ＝3. ②函数y ＝(log 3x )2－log 3x ＋2＝(log 3x )2－12log 3x ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 3x －142＋3116. 令t ＝log 3x ，因为1≤x ≤3， 所以0≤log 3x ≤1，即0≤t ≤1.所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋3116∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3116，52，所以所求函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3116，52.1．研究函数的性质要树立定义域优先的原则．2．换元法的作用是利用整体代换，将问题转化为常见问题．该类问题中，常设u ＝log a x 或u ＝a x，转化为一元二次方程、二次函数等问题．要注意换元后u 的取值范围．3(1)求该函数的定义域；(2)若该函数的图象经过点M (2，1)，讨论f (x )的单调性并证明． 思路点拨：(1)分a >1和0<a <1两类分别解不等式a x－1>0； (2)借助单调性的定义求证．[解] (1)要使函数f (x )有意义，只需a x－1>0，即a x >1. ①当a >1时，解得x >0，②当0<a <1时，解得x <0，故当a >1时，函数的定义域为(0，＋∞)； 当0<a <1时，函数的定义域为(－∞，0)． (2)由f (2)＝1得，log 3(a 2－1)＝1， ∴a 2＝4，即a ＝2.故函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． 设x 2>x 1>0，则2x 2>2x 1>1， 即2x 2－1>2x 1－1>0， ∴2x 2－12x 1－1>1， ∴log 32x 2－12x 1－1>log 31＝0，即f (x 2)－f (x 1)>0.∴f (x 2)>f (x 1)，故f (x )在(0，＋∞)上是增函数．在解决底数中含字母参数的指数或对数函数问题时，常对底数进行分类讨论，一般分a >1与0<a <1两种情况．4.已知函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大a2，求a 的值．[解] ①若a >1，则f (x )是增函数，∴f (x )在[1，2]上的最大值为f (2)，最小值为f (1)， ∴f (2)－f (1)＝a2，即a 2－a ＝a2，解得a ＝32.②若0<a <1，则f (x )是减函数，∴f (x )在[1，2]上的最大值为f (1)，最小值为f (2)， ∴f (1)－f (2)＝a2，即a －a 2＝a2，解得a ＝12.1 2或a＝32.综上所述，a＝。

第五课时 函数的概念和图象例1：求下列函数的定义域：（1）；24)(++=x x x f （2）131-+--x x ； （3）1()2f x x=-． 例2: 已知函数2361y x x =-+，利用函数图象分别求它在下列区间上的值域：（1）[1,2]x ∈-； （2）[4,0]x ∈-； （3）[2,5]x ∈．追踪训练一1．已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤-<+)1(,)1(-1,)1(322x x x x x ，x(1)画出函数图象；(2)求f{f[f(－2)]}(3)求当f(x)= －7时，x 的值；第六课时 函数的表示方法1．二次函数的形式：（1）一般式：()c bx ax x f ++=2()0,,,≠∈a R c b a ； （2）交点式：()()()21x x x x a x f --= ，其中，21,x x 分别是()x f 的图象与x 轴的两个交点的横坐标；（3）顶点式：()()121y x x a x f +-=， 其中()11,y x 是抛物线顶点的坐标； 例1: 已知2211()1f x x x x-=++，求函数()f x 的解析式。

例2：（1）已知2()43f x x x =-+，(1)f x +；（2）已知2(1)2f x x x +=-，求()f x ．例3．（1）已知一次函数()f x 满足(0)5f =，图象过点(2,1)-，求()f x ；（2）已知二次函数()g x 满足(1)1g =，(1)5g -=，图象过原点，求()g x ；（3）已知二次函数()h x 与x 轴的两交点为(2,0)-，(3,0)，且(0)3h =-，求()h x ；1．下列函数中，与2(2)y x x =->相同的函数是 （ ）A ．2-=x yB ．2-=x yC ．22--=x x yD ．2)22(--=x x y 2．下列图象中，表示函数关系()y f x =的是 （ ）第七课时 函数的单调性1．单调增函数的定义：2．单调减函数的定义：3．函数图像与单调性：函数在单调增区间上的图像是 图像；而函数在其单调减区间上的图像是 的图像。