三角函数巧用1
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浅议“1”在三角函数中的作用作者:赵春燕来源:《散文百家·下旬刊》2016年第01期在数学中,数字“1”可以说是无处不在,无时不有。
尽管它只是一个普通的小数字,但在解决某些数学问题中却起着不可忽视的大作用。
尤其是在三角函数问题中,如果能够巧妙、合理地使用“1”,那么在解题中就能化繁为简,化难为易。
当你在题海中“山重水复疑无路”时,它就可让你“柳暗花明又一村”,从而思路豁然开朗,效果事半功倍。
下面就结合我个人的教学实践,谈谈“1”在三角函数中的作用。
一、直接利用sin2α+cos2α=1进行解题在题中如果出现了sin2α+cos2α或1,可以根据需要互相替换,从而迅速解决问题。
例1:已知α是第一象限角,化简:1+2sinαcosα解析:对于根式的化简,思路主要是去根号,而对这个题目首先要考虑根号下是否能够配成完全平方式,沿着这个思路我们可以联想到把“1”化成“sin2α+cos2α”,根号下就成了完全平方式,然后再根据α是第一象限角,即sinα+cosα>0,从而得出结果。
解:1+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosα+cos2α=(sinα+cosα)2=sinα+cosαΘα是第一象限角∴sinα+cosα>0∴1+2sinαcosα=sinα+cosα例2:已知sinx=m-3[]m+5,cosx=4-2m[]m+5求m的值。
解析:本题要求的结果是m的值,而含有m的式子分别表示了sinx和cosx,利用sin2α+cos2α=1就可以把含有m的两个式子联系在一起,从而得到一个关于m的一元二次方程,解方程就可以得到m。
解:Θsin2α+cos2α=1 ∴(m-3[]m+5)2+(4-2m[]m+5)2=1即m(m-8)=0 ∴m=0或m=8二、利用特殊角的三角函数值为1进行解题在有些三角题中,1会直接出现在题目中,而1=tan45°=cos0°=sin90°=…,能否将1恰当地换成上述的这些量,将对我们的解题大有帮助。
浅谈三角函数中“1”的妙用三角函数内容是新课程标准中删减、变化最大的内容之一,但是它仍然是高考的重点。
许多同学在学习三角函数的时候感到很吃力,认为计算量很大,公式很多。
下面笔者就从下面几道题为例,谈谈“1”在解某些三角函数问题时的妙用。
一 巧用sin 2a+cos 2a=12tan 3,2sin 3sin cos a a a a =-例1:已知求的值本题有多种解法,最常见的是根据tana 的值,求出sina 和cosa 的值,然后代入计算,但是这里要注意到a 所在的象限。
这里介绍如何巧用“1”来求值。
222222222sin 3sin cos 12sin 3sin cos sin cos 2tan 3tan tan 1233331910a a aa a aa a a aa -=-=+-=+⨯-⨯=+=解:原式这里用到了平方关系sin 2a+cos 2a=1,就不用考虑a 所在的象限,计算也比较简便。
221,1a b+=+=例2:已知求证22101011baa b -≥-≥≤≤由于,,得,,根究结构特点,可考虑利用三角代换来解答本题。
证明:由已知可得221010b a -≥-≥,,所以11a b ≤≤,, 设a=cos ,b=cos 00αβαπβπ≤≤≤≤,且,,由已知得22222222cos cos 1,cos sin cos sin 1,sin()10222cos cos cos cos sin cos 12a bαβαββααβππαβπαββαπαβαααα+=+=+=≤+≤+==-+=+=+-=+=即所以又,所以,即所以()二 巧用tan450=1000003(1tan 1)(1tan 2)(1tan 3)...(1tan 44)(1tan 45)+++++例计算2345(1tan )(1tan )1tan tan tan tan 1tan 1tan tan tan tan 2[(1tan 1)(1tan 44)][(1tan 2)(1tan 43)]...[(1tan 22)(1tan 23)](1tan 45)2αβαβαβαβαβαβαβ=++=+++=++-+==+++++++=解:当+时,()()所以原式 三 巧用tanacota=14tan 6730'tan 2230'-例计算本题看似无从下手,但如果我们能够发现0006730'2230'45-=,解本题也就不难了。
三角函数中“1”的妙用宁夏银川市高级中学 王波 750004在我们学习三角函数这一部分内容的时候,我们会发现经常会与“1”有些合作,下面我就自己在教学中,利用“1”进行解题的体会与大家共同探讨。
理论一:sin 2α+cos 2α=1应用举例例1. 已知α是第一象限角,化简下式ααcos sin 21+解析:对于根式的化简,思路主要是去根号,而对这个题目首先要考虑根式下的ααcos sin 21+是否能够配成完全平方式,沿着这个思路我们可以联想到221b a +=,自然会想到ααcos sin 21+=αα22cos sin ++ααcos sin 2,到此时解题思路豁然开朗 解:ααcos s in 21+=ααααcos sin 2cos sin 22++=2)cos (sin αα+=ααcos sin +∵α是第一象限角∴0cos ,0sin >>αα ∴ααcos sin 21+=ααcos sin +例2:已知3tan =α,求ααcossin 的值 解析:这道题目是一个齐次式,这类题目的特点是已知角α的正切值,求含有正弦和余弦的三角多项式的值,解题的方法是化弦为切,而这道题目要用化弦为切有困难,所以我们就要观察它的特点,没有分母是它无法直接利用传统方法解题。
我们发现ααcos sin 的分母是1,而1=αα22cos sin +,这样题目就迎刃而解了解:∵3tan =α∵ααcos sin =1cos sin αα=αααα22cos sin cos sin +=ααααcos sin cos sin 122+=ααtan 1tan 1+ ∴ααcos sin =3131+=103 理论二:14tan=π(145tan 0=)应用举例 例3:求值015tan 115tan 1-+ 解析:题目的形式是分式,联想到两角和的正切公式,而两角和的正切公式)tan(βα+=βαβαtan tan 1tan tan -+与题目给出的形式有区别,这时我们观察到公式中的αtan 与题目中1的位置相同,则自然会想到令1=tan450,后面的问题自然容易解决 解:0015tan 115tan 1-+=000015tan 45tan 115tan 45tan -+=)1545tan(00+=3 理论三:形如θθcos sin b a +的三角函数式的化简与求最值问题θθcos sin b a +=)cos sin (222222θθb a b ba ab a ++++ ∵1)()(222222=+++b a b b a a∴可以联想到1cos sin 22=+ϕϕ 则由此可设ϕcos 22=+b a a ,ϕsin 22=+b a b 或设ϕs in 22=+b a a ,ϕcos 22=+b a b此时可得θθcos sin b a +=)sin(ϕθ+ 或θθcos sin b a +=)cos(ϕθ- 应用举例 例4:化简x x cos sin 3+解析:化简x x c o s s i n 3+,就意味着将原式化成)s in (ϕ+xa 或)cos(ϕ+x a 的形式,由理论三我们可得解题方法 解:x x cos s in 3+=)cos 21sin 23(13x x ++ =2(x x cos 6sin sin 6cos ππ+) =2)6sin(π+x例5:求函数x x x x x f 22cos 3cos s in 2s in )(++=的最大值,并求出此时的x 的值解:x x x x y 22cos 3cos s in 2s in ++= =212cos 22sin cos sin 22++++x x x x =22cos 2sin ++x x =2)42sin(2++πx , 当2242πππ+=+k x , 即)(8Z k k x ∈+=ππ时,22m a x +=y理论四:单位圆中的三角函数线的应用单位圆中,令半径1=r ,给出了任意角的三角函数的几何形式,为后面推倒两角差的余弦公式做了很好的铺垫;同时三角函数线也是精确作出正弦函数,余弦函数,正切函数图象的理论依据,这为后面的学习打下了很好的基础。
三角函数诀窍三角函数是高中数学中的重要内容,也是后续学习数学和物理领域中的基础。
它们在解决几何问题、分析问题以及工程应用中都有着广泛的应用。
掌握好三角函数的性质和技巧,对于提高数学水平和解决实际问题都非常有帮助。
下面我将介绍一些三角函数的诀窍,希望能对大家的学习有所帮助。
诀窍一:记住常用角度的三角函数值。
我们在学习三角函数的时候,经常会遇到一些特殊的角度。
例如,30°、45°、60°等,这些角度的三角函数值是非常常用的。
要牢记这些特殊角度的正弦、余弦和正切的值,不仅可以避免频繁计算,还可以方便地应用到各种问题中。
诀窍二:运用“合并”和“拆分”的技巧。
合并是指将多个三角函数的和差进行合并,转化为一个三角函数。
例如,sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB。
拆分则是将一个三角函数分解成两个三角函数的和差。
通过合并和拆分的技巧,我们可以简化计算,转化复杂的题目为简单的计算。
诀窍三:掌握半角公式和倍角公式。
半角公式和倍角公式是三角函数运算中常用的重要公式。
半角公式有sin(A/2)、cos(A/2)和tan(A/2)的表达式,通过这些公式,我们可以将一个三角函数的半角值表示为角度A的三角函数的表达式。
倍角公式则是将一个三角函数的倍角值表示为角度A的三角函数的表达式,如sin2A、cos2A和tan2A。
对于复杂的三角函数运算,半角公式和倍角公式可以大大简化计算过程。
诀窍四:利用图形直观理解三角函数的性质。
三角函数与单位圆的关系是高中三角函数的重点内容。
通过绘制单位圆和三角函数图像,我们可以直观地理解三角函数的周期性、周期、奇偶性和单调性等性质。
通过观察图形,我们可以更好地理解三角函数的性质,从而更灵活地运用到问题中。
诀窍五:多做题、多总结。
三角函数的学习需要大量的练习和巩固。
多做题可以加深对知识点的理解和掌握,同时也可以提高解题的速度和准确性。
在做题的过程中,及时总结解题的方法和技巧,形成自己的解题思路和方法,从而可以更好地解决类似的问题。
三角变换中“1”的妙用作者:陈秀娟来源:《中学教学参考·理科版》2010年第07期三角式的变形问题,包括三角式的简化、求三角式的值、证明恒等式、条件等式和三角不等式内容.特别是三角式的求值、化简是三角函数的重要内容.在三角函数中“1”的变换有--等等.在具体变换中根据题目的不同特征选择不同的变换,在三角函数的变形时,若能把常数“1”恰当处理,并灵活运用三角基本公式,变形起来就比较顺利.现举例说明.第一,三角函数式如含有1时可将1变换为【例1】已知-1=-1,求的值.分析:由已知可以求出再由同角三角函数关系式可以求得和进而求出关系式的值,但实际操作中,往往借助题目条件的特殊性来整体考虑使用条件.解析=135.评析:形如的式子称为关于、的二次齐次式,对涉及它们的三角式通常利用进行变换.【例2】若、是关于方程的两个实根,求k的值.解:由题意知-6k8=-3k4,∵-4×8×(2k+1)≥0,∴k≥8+2349或k≤8-2349.又∵---2×2k+18,∴-8k-20=0,解得k=-109或k=2(舍去),∴k=-109.第二,三角式中有1和、时,则利用-进行变换.【例3】化简-解--------第三,在含有根号的三角函数等式的变形中、时1可以不变,但为“脱”去根号常借助三角函数的平方关系.【例4】化简三角函数式--1--1--分析:利用同角三角函数平方关系式化简.原式-(1----1----1-4(当α在第一、三象限时-4(当α在第二、四象限时).评析:解该题时易犯的错误是缺少对、正负的讨论,直接“脱去”分母中的绝对值符号,或是不注意正、余函数的有界性,盲目对、的正负进行讨论.第四,三角式中有1和有时把1换成【例5】化简-解:原式-第五,三角式中含有则有时不宜变动1,而将化为将1-化为【例6】化简-解:原式-----又∵00.∴上式-=-第六的妙用.【例7】已知实数x,y满足-若对满足条件的任意x,y都有x+y-c≤0恒成立,求参数c的取值范围.解:设-即则x+y-c≤0恒成立转化为-c≤0恒成立,即恒成立.设则恒成立等价于下面我们求函数的最大值.由正弦函数的有界性知当时,函数取得最大值,即所以c≥2+1.即c取值范围是[2+1,+∞).评析:本题考查不等式的恒成立问题中参数范围的确定,集圆的参数方程、二元不等式、三角函数的性质等于一体,是一道好题,利用圆的参数方程(即是解决问题的关键.(责任编辑金铃)。
三角函数中“1”的妙用宁夏银川市高级中学 王波 750004在我们学习三角函数这一部分内容的时候,我们会发现经常会与“1”有些合作,下面我就自己在教学中,利用“1”进行解题的体会与大家共同探讨。
理论一:sin 2α+cos 2α=1应用举例例1. 已知α是第一象限角,化简下式ααcos sin 21+解析:对于根式的化简,思路主要是去根号,而对这个题目首先要考虑根式下的ααcos sin 21+是否能够配成完全平方式,沿着这个思路我们可以联想到221b a +=,自然会想到ααcos sin 21+=αα22cos sin ++ααcos sin 2,到此时解题思路豁然开朗 解:ααcos sin 21+=ααααcos sin 2cos sin 22++=2)cos (sin αα+=ααcos sin +∵α是第一象限角∴0cos ,0sin >>αα ∴ααcos sin 21+=ααcos sin +例2:已知3tan =α,求ααcos sin 的值解析:这道题目是一个齐次式,这类题目的特点是已知角α的正切值,求含有正弦和余弦的三角多项式的值,解题的方法是化弦为切,而这道题目要用化弦为切有困难,所以我们就要观察它的特点,没有分母是它无法直接利用传统方法解题。
我们发现ααcos sin 的分母是1,而1=αα22cos sin +,这样题目就迎刃而解了解:∵3tan =α∵ααcos sin =1cos sin αα=αααα22cos sin cos sin +=ααααcos sin cos sin 122+=ααtan 1tan 1+ ∴ααcos sin =3131+=103 理论二:14tan=π(145tan 0=)应用举例 例3:求值0015tan 115tan 1-+ 解析:题目的形式是分式,联想到两角和的正切公式,而两角和的正切公式)tan(βα+=βαβαtan tan 1tan tan -+与题目给出的形式有区别,这时我们观察到公式中的αtan 与题目中1的位置相同,则自然会想到令1=tan450,后面的问题自然容易解决 解:0015tan 115tan 1-+=000015tan 45tan 115tan 45tan -+=)1545tan(00+=3 理论三:形如θθcos sin b a +的三角函数式的化简与求最值问题θθcos sin b a +=)cos sin (222222θθb a b ba ab a ++++ ∵1)()(222222=+++b a b b a a∴可以联想到1cos sin 22=+ϕϕ 则由此可设ϕcos 22=+b a a ,ϕsin 22=+b a b 或设ϕsin 22=+b a a ,ϕcos 22=+b a b此时可得θθcos sin b a +=)sin(ϕθ+ 或θθcos sin b a +=)cos(ϕθ- 应用举例 例4:化简x x cos sin 3+解析:化简x x cos sin 3+,就意味着将原式化成)sin(ϕ+x a 或)cos(ϕ+x a 的形式,由理论三我们可得解题方法 解:x x cos sin 3+=)cos 21sin 23(13x x ++ =2(x x cos 6sin sin 6cos ππ+) =2)6sin(π+x例5:求函数x x x x x f 22cos 3cos sin 2sin )(++=的最大值,并求出此时的x 的值解:x x x x y 22cos 3cos sin 2sin ++= =212cos 22sin cos sin 22++++x x x x =22cos 2sin ++x x =2)42sin(2++πx , 当2242πππ+=+k x , 即)(8Z k k x ∈+=ππ时,22max +=y 理论四:单位圆中的三角函数线的应用单位圆中,令半径1=r ,给出了任意角的三角函数的几何形式,为后面推倒两角差的余弦公式做了很好的铺垫;同时三角函数线也是精确作出正弦函数,余弦函数,正切函数图象的理论依据,这为后面的学习打下了很好的基础。
第一课时 三角函数的应用(一)任务一、整体感知问题 1 你能列举一些生活中具有周期性现象的例子吗?前面已经用三角函数模型刻画过哪些周期性现象?答案:生活中周期性现象的例子大致有三种类型:(1)匀速圆周运动.如水流量稳定条件下的筒车运动,钟表指针的转动,摩天轮的运动等;(2)物理学中的周期性现象.如弹簧振子运动,交变电流等;(3)生活中的周期性现象.如潮汐变化,一天当中的气温变化,四季变化,生物钟,波浪,音乐等.已经用三角函数模型刻画过匀速圆周运动.例如筒车运动、摩天轮的运动、钟表指针的转动等.任务二、新知探究1.问题研究1——简谐运动问题 2 观看弹簧振子的运动视频,振子运动过程中有哪些周期性现象?可以利用哪些变量之间的函数关系来刻画振子运动过程中的周期性现象?弹簧振子的运动(如图1).答案:振子离开中心位置的位移随着时间呈周期性变化;振子所受的回复力随着时间呈周期性变化.所以可以用振子离开中心位置的位移s 与时间t 之间的函数关系,也可以用振子所受的回复力F 与时间t 之间的函数关系来刻画其运动过程中周期性现象.例1 某个弹簧振子在完成一次全振动的过程中,时间t (单位:s )与位移y (单位:mm )之间的对应数据如表1所示.试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式.图12.建模解模问题3 例1中没有给出振子的位移关于时间的函数模型,根据以往的数学建模经验,我们应该按照什么样的流程完成这个建模过程?答案:搜集数据,画散点图——观察散点图并进行函数拟合,选择函数模型——利用数据信息,求解函数模型.活动:教师或者学生画出散点图.问题4观察画出的散点图,你认为可以用怎样的函数模型进行刻画位移y 随时间t 的变化规律?答案:根据散点图(如图2),分析得出可以用y =A sin(ωt +φ)这个函数模型进行刻画. 问题5 由数据表和散点图,你将如何求出函数的解析式?答案: 依据数据表和散点图,可得A =20,T =60s ,求得ω=3π10,然后将点(0,-20)的坐标代入解析式y =20sin(3π10t +φ),解得φ=-2π+2k π,k ∈Z ,所以函数的解析式为y =20sin(3π10t -2π),t ∈[0,+∞). 教师补充:现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动,如钟摆的摆动,水中浮标的上下浮动,琴弦的震动,等等.这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动.在物理学中,把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.可以证明,在适当的坐标系下,简谐运动可以用函数y =A sin(ωx +φ),x ∈[0,+∞)表示,其中A >0,ω>0.描述简谐运动的物理量,如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关:图2表1A 就是这个简谐运动的振幅,它是作简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离; 简谐运动的周期是2π=T ω,它是作简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间; 简谐运动的频率是π21ω==T f ,它是作简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数; ωx +φ称为相位;x =0时的相位φ称为初相.问题6 例1中简谐运动的振幅、周期与频率各是多少?相位、初相分别是什么?答案:振幅A =20mm ,周期T =53s ,频率f =35次,相位为3π10t -2π,初相为-2π. 3.问题研究2——交变电流例2 如图3(1)所示的是某次实验测得的交变电流i (单位:A )随时间t (单位:s )变化的图象.将测得的图象放大,得到图3(2).(1)求电流i 随时间t 变化的函数解析式;(2)当601,6007,1501,6001,0=t 时,求电流i .4.建模解模问题7 观察图象,交变电流i 随时间t 的变化满足怎样的函数模型?其中每个参数的物理意义是什么?答案:由交变电流的产生原理可知,电流i 随时间t 的变化规律可以用i =A sin(ωt +φ),t ∈[0,+∞)来刻画.其中A 为振幅,ωπ2为周期,ωt +φ为相位,φ为初相.问题8 根据图象3(2),你能说出电流的的最大值A ,周期T ,初始状态(t =0)的电流吗?由这些值,你能进一步完成例2的解答吗?答案:由图可知,A =5,T =501s ,初始状态的电流为4.33A . 解:由图3(2)可知,电流最大为5A ,因此A =5;电流变化的周期T =501s ,即ωπ2=501s ,解得ω=100π;再由初始状态(t =0)的电流约为4.33A ,可得sin φ=0.866,因此φ约为3π.所图3(1) 图3(2)以电流i 随时间t 变化的函数解析式是 π5sin(100π)[0,)3i t t =+∈+∞,. 当0=t 时,235=i ; 当6001=t 时,5=i ; 当1501=t 时,0=i ; 当6007=t 时,5-=i ; 当601=t 时,0=i . 练习1 如图4,一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线,一端固定,另一端悬挂一个沙漏.让沙漏在偏离平衡位置一定角度(最大偏角)后在重力作用下铅锤面内做周期摆动.若线长l cm ,沙漏摆动时离开平衡位置的位移为s (单位:cm )与时间t (单位:s )的函数关系是).∞,0[∈),3cos(3++=t t l g s π (1)当l =25时,求沙漏的最大偏角(精确到0.0001rad );(2)已知g =9.8m/s 2,要使沙漏摆动的周期是1s ,线的长度应当是多少(精确到0.1cm )?解:(1)∵)3cos(3π+=t l g s ,∴可得s 的最大值为3. 设偏角为θ,可得最大偏角满足sin θ=253.利用计算器计算可得θ=0.1203rad . 答:当l =25时,沙漏的最大偏角为0.1203rad .(2)沙漏摆动的周期为1π2==lgT ,解得2)π2(g l =,故cm 8.2)π2(8.92≈=l . 图4答:要使沙漏摆动的周期是1s,线的长度l应当为24.8cm.任务三、归纳小结问题9 对于一个周期性现象,你该如何利用三角函数来刻画?在本节课中,涉及哪些数学思想?答案:利用三角函数刻画周期性现象,就是要找出这一现象中哪两个变量满足“当其中一个变量增加相同的常数时,另一个变量的值重复出现”,然后通过数学建模,求出这两个变量之间满足的三角函数关系.在本节课的学习中,涉及到数形结合思想和数学建模思想.。
专题1-1 三角函数重难点、易错点突破(建议用时:180分钟)1 同角三角函数关系巧应用同角三角函数的用途主要体现在三角函数的求值和恒等变形中各函数间的相互转化,下面结合常见的应用类型举例分析,体会其转化作用,展现同角三角函数关系的巧应用.一、知一求二例1 已知sin α=255,π2≤α≤π,则tan α=_________________________________.二、“1”的妙用例2 证明:1-sin 6x -cos 6x 1-sin 4x -cos 4x =32.三、齐次式求值例3 已知tan α=2,求值:(1)2sin α-3cos α4sin α-9cos α=________; (2)2sin 2α-3cos 2α=________.2 三角函数的性质总盘点三角函数的性质是高考考查的重点和热点内容之一,应用“巧而活”.要能够灵活地运用性质,必须在脑海中能及时地浮现出三角函数的图象.下面通过典型例题对三角函数的性质进行盘点,请同学们用心体会.一、定义域例1 函数y =cos x -12的定义域为________.二、值域与最值例2 函数y =cos(x +π3),x ∈(0,π3]的值域是________.三、单调性例3 已知函数f (x )=sin(π3-2x ),求: (1)函数f (x )的单调减区间;(2)函数f (x )在[-π,0]上的单调减区间.四、周期性与对称性例4 已知函数f (x )=sin(2ωx -π3)(ω>0)的最小正周期为π,则函数f (x )的图象的对称轴方程是________.五、奇偶性例5 若函数f (x )=sin x +φ3(φ∈[0,2π))是偶函数,则φ=________.1 善用数学思想——巧解题一、数形结合思想例1 在(0,2π)内,使sin x >cos x 成立的x 的取值范围是________.二、分类讨论思想例2 已知角α的终边在直线3x +4y =0上,求sin α,cos α,tan α的值.三、函数与方程的思想例3 函数f (x )=3cos x -sin 2x (π6≤x ≤π3)的最大值是________.四、转化与化归思想例4 比较下列两个数的大小tan(-13π4)与tan(-17π5).2 三角恒等变形的几个技巧三角函数是高考的热点,素以“小而活”著称.除了掌握基础知识之外,还要注意灵活运用几个常用的技巧.下面通过例题进行解析,希望对同学们有所帮助.一、灵活降幂例1 3-sin 70°2-cos 210°=________. 二、化平方式例2 化简求值:12-1212+12cos 2α(α∈(3π2,2π)).三、灵活变角例3 已知sin(π6-α)=13,则cos(2π3+2α)=________. 四、构造齐次弦式比,由切求弦例4 已知tan θ=-12,则cos 2θ1+sin 2θ的值是________. 五、分子、分母同乘以2n sin α求cos αcos 2αcos 4α·cos 8α…cos 2n -1α的值例5 求值:sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.1 数形结合百般好,形象直观烦琐少——构建正弦、余弦函数图象解题正弦、余弦函数的图象是本章的重点,也是高考的一个热点,它不仅能直观反映三角函数的性质,而且它还有着广泛的应用,若能根据问题的题设特点灵活构造图象,往往能直观、准确、快速解题.一、确定函数的值域例1 定义运算a ※b =⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≤b ,b ,a >b ,例如,1※2=1,则函数f (x )=sin x ※cos x 的值域为________.二、确定零点个数例2 函数f (x )=⎝⎛⎭⎫12x -sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为________.三、确定参数的值例3 已知f (x )=sin(ωx +π3)(ω>0),f ⎝⎛⎭⎫π6=f ⎝⎛⎭⎫π3,且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6,π3上有最小值,无最大值,则ω=_________.四、判断函数单调性例4 设函数f (x )=⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x +π3(x ∈R ),则f (x )________.(将正确说法的序号填上) ①在区间⎣⎡⎦⎤2π3,4π3上是单调增函数 ②在区间⎣⎡⎦⎤3π4,13π12上是单调增函数 ③在区间⎣⎡⎦⎤-π8,π4上是单调减函数 ④在区间⎣⎡⎦⎤π3,5π6上是单调减函数 五、确定参数范围例5 当0≤x ≤1时,不等式sinπx 2≥kx 恒成立,则实数k 的取值范围是________. 六、研究方程的实根例6 已知方程2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4=k 在[0,π]上有两个实数根x 1,x 2,求实数k 的取值范围,并求x 1+x 2的值.2 聚焦三角函数最值的求解策略一、化为y =A sin(ωx +φ)+B 的形式求解例1 求函数f (x )=sin 4x +cos 4x +sin 2x cos 2x 2-sin 2x的最值.例2 求函数y =sin 2x +2sin x cos x +3cos 2x 的最小值,并写出y 取最小值时x 的集合.二、利用正弦、余弦函数的有界性求解例3 求函数y =2sin x +12sin x -1的值域.例4 求函数y =sin x +3cos x -4的值域.三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值例5 设关于x 的函数y =cos 2x -2a cos x -2a 的最小值为f (a ),写出f (a )的表达式.四、利用函数的单调性求解例7 求函数y =(1+sin x )(3+sin x )2+sin x的最值.例8 在Rt △ABC 内有一内接正方形,它的一条边在斜边BC 上,设AB =a ,∠ABC =θ,△ABC 的面积为P ,正方形面积为Q .求P Q的最小值.易错问题盘点一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1 已知sin α=55,sin β=1010,α和β都是锐角,求α+β的值.二、忽视条件中隐含的角的范围而致错例2 已知tan 2α+6tan α+7=0,tan 2β+6tan β+7=0,α、β∈(0,π),且α≠β,求α+β的值.三、忽略三角形内角间的关系而致错例3 在△ABC 中,已知sin A =35,cos B =513,求cos C .四、忽略三角函数的定义域而致错例4 判断函数f (x )=1+sin x -cos x 1+sin x +cos x的奇偶性.五、误用公式a sin x +b cos x =a 2+b 2sin(x +φ)而致错例5 若函数f (x )=sin(x +θ)+cos(x -θ),x ∈R 是偶函数,求θ的值.专题1-1 三角函数重难点、易错点突破参考答案1 同角三角函数关系巧应用例1 解析 由sin α=255,且sin 2α+cos 2α=1得cos α=±55, 因为π2≤α≤π,可得cos α=-55,所以tan α=sin αcos α=-2. 答案 -2点评 已知某角的弦函数值求其他三角函数值时,先利用平方关系求另一弦函数值,再求切函数值,需要注意的是利用平方关系时,若没有角度的限制,要注意分类讨论.例2 证明 因为sin 2x +cos 2x =1,所以1=(sin 2x +cos 2x )3,1=(sin 2x +cos 2x )2,所以1-sin 6x -cos 6x 1-sin 4x -cos 4x =(sin 2x +cos 2x )3-sin 6x -cos 6x (sin 2x +cos 2x )2-sin 4x -cos 4x=3sin 4x cos 2x +3cos 4x sin 2x 2sin 2x cos 2x =3(sin 2x +cos 2x )2=32. 即原命题得证.点评 本题在证明过程中,充分利用了三角函数的平方关系,对“1”进行了巧妙的代换,使问题迎刃而解.例3 解析 (1)因为cos α≠0,分子分母同除以cos α,得2sin α-3cos α4sin α-9cos α=2tan α-34tan α-9=2×2-34×2-9=-1. (2)2sin 2α-3cos 2α=2sin 2α-3cos 2αsin 2α+cos 2α, 因为cos 2 α≠0,分子分母同除以cos 2α,得2sin 2α-3cos 2αsin 2α+cos 2α=2tan 2α-3tan 2α+1=2×22-322+1=1. 答案 (1)-1 (2)1点评 这是一组在已知tan α=m 的条件下,求关于sin α、cos α的齐次式值的问题.解这类问题需注意以下几点:(1)一定是关于sin α、cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式;(2)因为cos α≠0,所以分子、分母可同时除以cos n α(n ∈N +).这样可以将所求式化为关于tan α的表达式,整体代入tan α=m 的值求解.2 三角函数的性质总盘点例1解析 由题意得cos x ≥12,所以2k π-π3≤x ≤2k π+π3,k ∈Z . 即函数的定义域是[2k π-π3,2k π+π3],k ∈Z . 答案 [2k π-π3,2k π+π3],k ∈Z 点评 解本题的关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式,然后利用三角函数的图象或者单位圆中三角函数线求解.例2 解析 因为0<x ≤π3,所以π3<x +π3≤23π,f (x )=cos x 的图象如图所示: 可知cos 23π≤cos(x +π3)<cos π3,即-12≤y <12.故函数的值域是[-12,12). 答案 [-12,12) 点评 解本题的关键是从x 的范围入手,先求得ωx +φ的范围,再结合余弦函数的图象对应得出cos(ωx +φ)的范围,从而可得函数的值域或者最值.例3 解 由f (x )=sin(π3-2x )可化为f (x )=-sin(2x -π3). 所以原函数的单调减区间即为函数y =sin(2x -π3)的单调增区间. (1)令2k π-π2≤2x -π3≤2k π+π2,k ∈Z , 解得k π-π12≤x ≤k π+5π12,k ∈Z . 所以f (x )=sin(π3-2x )的单调减区间为[k π-π12,k π+5π12],k ∈Z . (2)在减区间[k π-π12,k π+5π12],k ∈Z 中, 令k =-1、0时,可以得到当x ∈[-π,0]时,f (x )=sin(π3-2x )的单调减区间为[-π,-7π12],[-π12,0]. 点评 解本题的关键是先把函数化为标准形式y =sin(ωx +φ),ω>0,然后把ωx +φ看做一个整体,根据y =sin x 的单调性列出不等式,求得递减区间的通解;如果要求某一个区间上的单调区间,再对通解中的k 进行取值,便可求得函数在这个区间上的单调区间.例4 解析 由T =π=2π2ω得ω=1, 所以f (x )=sin(2x -π3), 由2x -π3=π2+k π,k ∈Z ,解得f (x )的对称轴为x =5π12+k π2,k ∈Z . 答案 x =5π12+k π2,k ∈Z 点评 解本题的关键是先由周期公式求得ω的值,再解决对称轴问题,求解对称轴有两种方法:一种是直接求得函数的对称轴;另一种是根据对称轴的特征——对应的函数值为函数的最值解决.同样地,求解对称中心也有两种方法.例5 解析 函数是偶函数,所以函数关于x =0对称.由x +φ3=π2+k π,k ∈Z ,可得函数的对称轴方程是x =x 3π2+3k π-φ,k ∈Z .令3π2+3k π-φ=0,k ∈Z , 解得φ=3π2+3k π,k ∈Z ,又φ∈[0,2π),故φ=3π2. 答案 3π2点评 解本题的关键是把奇偶性转化为对称性解决:偶函数⇔函数图象关于y 轴对称;奇函数⇔函数图象关于原点对称.1 善用数学思想——巧解题例1 解析 在同一坐标系中画出y =sin x ,y =cos x ,x ∈(0,2π)的图象如图: 由图知,x ∈(π4,5π4).答案 (π4,5π4)点评 求解三角函数的方程、不等式时,通常利用函数的图象使问题变得更简单. 例2 解 角α的终边在直线3x +4y =0上, 在角α的终边上任取一点P (4t ,-3t )(t ≠0),则x =4t ,y =-3t , r =x 2+y 2=(4t )2+(-3t )2=5|t |.当t >0时,r =5t ,sin α=y r =-3t 5t =-35,cos α=x r =4t 5t =45,tan α=y x =-3t 4t =-34;当t <0时,r =-5t ,sin α=y r =-3t -5t =35,cos α=x r =4t -5t =-45,tan α=y x =-3t 4t =-34,综上可知,sin α=-35,cos α=45,tan α=-34; 或sin α=35,cos α=-45,tan α=-34.点评 (1)若角的终边位置象限不确定,应分类讨论.(2)若三角函数值含有变量,因变量取不同的值会导致不同的结果,需要讨论.例3 解析 f (x )=3cos x -sin 2x =cos 2x +3cos x -1=(cos x +32)2-74, 设cos x =t ,因为π6≤x ≤π3,所以由余弦函数的单调性可知,12≤cos x ≤32,即12≤t ≤32,又函数f (t )=(t +32)2-74在[12,32]上是单调增函数,故f (t )max =f (32)=54,所以f (x )的最大值为54. 答案 54点评 遇平方关系,可想到构造二次函数,再利用二次函数求解最大值. 例4 解 tan(-13π4)=-tan π4,tan(-17π5)=-tan 2π5.因为0<π4<2π5<π2,且y =tan x 在(0,π2)上是单调增函数,所以tan π4<tan 2π5.所以-tan π4>-tan 2π5,即tan(-13π4)>tan(-17π5).点评 三角函数值比较大小问题一般将其转化到某一三角函数的一个单调区间内,然后利用三角函数的单调性比较大小.另外诱导公式的使用也充分体现了将未知化为已知的化归与转化思想.2 三角恒等变形的几个技巧例1 解析3-sin 70°2-cos 210°=3-sin 70°2-1+cos 20°2=3-cos 20°3-cos 20°2=2.答案 2点评 常用的降幂技巧还有:因式分解降幂、用平方关系sin 2θ+cos 2θ=1进行降幂:如cos 4θ+sin 4θ=(cos 2θ+sin 2θ)2-2cos 2θsin 2θ=1-12sin 22θ,等等.例2 解 因为α∈(3π2,2π),所以α2∈(3π4,π), 所以cos α>0,sin α2>0,故原式=12-121+cos 2α2= 12-12cos α= sin 2α2=sin α2.点评 一般地,在化简求值时,遇到1+cos 2α、1-cos 2α、1+sin 2α、1-sin 2α常常化为平方式:2cos 2α、2sin 2α、(sin α+cos α)2、(sin α-cos α)2.例3 解析 cos(2π3+2α)=2cos 2(π3+α)-1=2sin 2(π6-α)-1=2×(13)2-1=-79.答案 -79点评 正确快速求解本题的关键是灵活运用已知角“π6-α”表示待求角“2π3+2α”,善于发现前者和后者的一半互余.例4 解析 cos 2θ1+sin 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ+2sin θcos θ=1-tan 2θ1+tan 2θ+2tan θ=1-141+14+2×(-12)=3414=3.答案 3点评 解本题的关键是先由二倍角公式和平方关系把“cos 2θ1+sin 2θ”化为关于sin θ和cos θ的二次齐次弦式比.例5 解 原式=12cos 20°cos 40°cos 80°=4sin 20°cos 20°cos 40°cos 80°8sin 20°=2sin 40°cos 40°cos 80°8sin 20°=sin 80°cos 80°8sin 20°=116·sin 160°sin 20°=116.点评 这类问题的解决方法是分子、分母同乘以最小角的正弦的倍数即可.1 数形结合百般好,形象直观烦琐少——构建正弦、余弦函数图象解题例1 解析 根据题设中的新定义,得f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧sin x ,sin x ≤cos x ,cos x ,sin x >cos x ,作出函数f (x )在一个周期内的图象,如图可知函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤-1,22. 答案 ⎣⎡⎦⎤-1,22点评 有关三角函数的值域的确定,常常作出函数的图象,借助于图象直观、准确地求解. 例2 解析 在同一直角坐标系内,画出y =⎝⎛⎭⎫12x及y =sin x 的图象,由图象可观察出交点个数为2. 答案 2点评 有关三角函数的交点个数的确定,常常作出函数的图象,借助于图象直观、准确求解.例3 解析 ∵f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π3(ω>0)且f ⎝⎛⎭⎫π6=f ⎝⎛⎭⎫π3, 又f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6,π3内只有最小值、无最大值,画出函数大致图象,如图所示, ∴f (x )在π6+π32=π4处取得最小值.∴π4ω+π3=2k π-π2(k ∈Z ).∴ω=8k -103(k ∈Z ). ∵ω>0,∴当k =1时,ω=8-103=143;当k =2时,ω=16-103=383,此时在区间⎝⎛⎭⎫π6,π3内已存在最大值.故ω=143. 答案143点评 本小题考查对y =A sin(ωx +φ)的图象及性质的理解与应用,求解本题应注意两点:一是f (x )在π4处取得最小值;二是在区间⎝⎛⎭⎫π6,π3内只有最小值而无最大值,求解时作出其草图可以帮助解题.例4 解析 作出函数y =⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x +π3的图象如图所示.由图象可知②正确. 答案 ②点评 形如f (x )=|A sin(ωx +φ)+k |(A ≠0,ω≠0)的函数性质,可作出其图象,利用数形结合思想求解. 例5 解析 作出函数y =sinπx2,y =kx 的函数图象,如图所示.当k ≤0时,显然成立;当0<k ≤1时,由图象可知: sinπx2≥kx 在[0,1]上成立.综上所述,k ≤1. 答案 (-∞,1]点评 数形结合时,函数图象要根据题目需要作得精确可信,必要时应结合计算判断.本题讨论y =kx 与y =sinπx2的图象关系时,不要忘记k ≤0的情况. 例6 解 在同一坐标系内作出函数y 1=2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4(0≤x ≤π)与y 2=k 的图象,如图所示.当x =0时,y 1=2sin ⎝⎛⎭⎫0+π4=1. 所以当k ∈[1,2)时,两曲线在[0,π]上有两个交点,即方程有两个实数根x 1、x 2,且x 1、x 2关于x =π4对称,x 1+x 2=π2.故实数k 的取值范围是[1,2),且x 1+x 2=π2.点评 本题通过函数图象的交点个数判断方程实数根的个数,应重视这种方法.2 聚焦三角函数最值的求解策略例1 解 原函数变形得:f (x )=(sin 2x +cos 2x )2-sin 2x cos 2x2-sin 2x=1-14sin 22x 2-sin 2x=⎝⎛⎭⎫1+12sin 2x ⎝⎛⎭⎫1-12sin 2x 2⎝⎛⎭⎫1-12sin 2x =14sin 2x +12.∴f (x )max =34,f (x )min =14.例2 解 原函数化简得:y =sin 2x +cos 2x +2=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4+2. 当2x +π4=2k π+32π,k ∈Z ,即x =k π+58π,k ∈Z 时,y min =2- 2.此时x 的集合为{x |x =k π+58π,k ∈Z }.点评 形如y =a sin 2ωx +b sin ωx cos ωx +c cos 2ωx +d (a ,b ,c ,d 为常数)的式子,都能转化成y =A sin(2ωx +φ)+B 的形式求最值.例3 解 原函数整理得sin x =y +12(y -1).∵|sin x |≤1,∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪y +12(y -1)≤1,解出y ≤13或y ≥3.即函数的值域为⎝⎛⎦⎤-∞,13∪[3,+∞). 例4解 原函数整理得sin x -y cos x =-4y -3,∴y 2+1sin(x +φ)=-4y -3, ∴sin(x +φ)=-4y -31+y 2.∵|sin(x +φ)|≤1,解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪-4y -31+y 2≤1得:-12-2615≤y ≤-12+2615. 即值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12-2615,-12+2615.点评 对于形如y =a sin x +b c sin x +d 或y =a sin x +bc cos x +d 的这类函数,均可利用三角函数中弦函数的有界性去求最值.例5 解y =cos 2x -2a cos x -2a =2cos 2x -2a cos x -(2a +1)=2⎝⎛⎭⎫cos x -a 22-⎝⎛⎭⎫a 22+2a +1.当a2<-1,即a <-2时,f (a )=y min =1,此时cos x =-1. 当-1≤a 2≤1,即-2≤a ≤2时,f (a )=y min =-a 22-2a -1,此时cos x =a2.当a2>1,即a >2时,f (a )=y min =1-4a ,此时cos x =1. 综上所述,f (a )=⎩⎪⎨⎪⎧1(a <-2),-a22-2a -1(-2≤a ≤2),1-4a (a >2).点评 形如y =a sin 2x +b sin x +c 的三角函数可转化为二次函数y =at 2+bt +c 在区间[-1,1]上的最值问题解决.例6 解 设sin x +cos x =t ,t ∈[-2, 2 ],则2sin x cos x =t 2-1,原函数变为y =t 2+t +1,t ∈[-2,2 ],当t =-12时,y min =34;当t =2时,y max =3+ 2.点评 一般地,既含sin x +cos x (或sin x -cos x )又含sin x cos x 的三角函数采用换元法可以转化为t 的二次函数解最值.注意以下结论的运用,设sin x +cos x =t ,则sin x cos x =12(t 2-1);sin x -cos x =t ,则sin x cosx =12(1-t 2). 例7 解 y =sin 2x +4sin x +3sin x +2=(sin x +2)2-1sin x +2=(sin x +2)-1(sin x +2),令t =sin x +2,则t ∈[1,3],y =t -1t.利用函数单调性的定义易证函数y =t -1t 在[1,3]上为增函数.故当t =1即sin x =-1时,y min =0; 当t =3即sin x =1时,y max =83.例8 解 AC =a tan θ,P =12AB ·AC =12a 2tan θ.设正方形边长为x ,AG =x cos θ,BC =acos θ.BC 边上的高h =a sin θ,∵AG AB =h -x h ,即x cos θa =a sin θ-x a sin θ, ∴x =a sin θ1+sin θcos θ, ∴Q =x 2=a 2sin 2θ(1+sin θcos θ)2. 从而P Q =sin θ2cos θ·(1+sin θcos θ)2sin 2θ=(2+sin 2θ)24sin 2θ=1+⎝⎛⎭⎫sin 2θ4+1sin 2θ. 易知函数y =1t +t 4在区间(0,1]上是减少的, 所以当sin 2θ=1时,⎝⎛⎭⎫P Q min =94. 点评 一些复杂的三角函数最值问题,可以通过适当换元转化为简单的代数函数后,利用函数单调性巧妙解决.易错问题盘点例1 [错解] 因为α和β都是锐角,且sin α=55,sin β=1010,所以cos α=255,cos β=31010, sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=55×31010+255×1010=22. 因为α,β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,则α+β∈(0,π). 所以α+β=π4或3π4. [剖析] 由sin α=55,sin β=1010,α和β都是锐角,可以知道α和β都是定值,因此α+β也是定值,因此上述解法出现两个答案,其中就有一个是错误的.这是因为sin(α+β)在第一、第二象限没有区分度,应选择计算cos(α+β)的值.[正解] 因为α和β都是锐角,且sin α=55,sin β=1010,所以cos α=255,cos β=31010, cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=255×31010-55×1010=22.因为α,β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,则α+β∈(0,π), 所以α+β=π4.温馨点评 根据条件求角,主要有两步:(1)求角的某种三角函数值;(2)确定角的范围,从而确定所求角的值.完成第一步一般要选择相对角的范围区分度比较大的三角函数,且确定范围要尽量缩小.例2 [错解] 由题意知tan α、tan β是方程x 2+6x +7=0的两根,由根与系数的关系得:⎩⎪⎨⎪⎧tan α+tan β=-6 ①tan αtan β=7 ②∴tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β=-61-7=1.∵0<α<π,0<β<π,∴0<α+β<2π, ∴α+β=π4或α+β=54π.[剖析] 由①②知tan α<0,tan β<0,角α、β都是钝角.上述解法忽视了这一隐含条件.[正解] 由⎩⎪⎨⎪⎧tan α+tan β=-6,tan αtan β=7易知tan α<0,tan β<0.∵α、β∈(0,π), ∴π2<α<π,π2<β<π.∴π<α+β<2π.又∵tan(α+β)=1,∴α+β=54π.例3 [错解] 由sin A =35,得cos A =±45,由cos B =513,得sin B =1213,当cos A =45时,cos C =-cos(A +B )=sin A sin B -cos A cos B =1665.当cos A =-45时,cos C =-cos(A +B )=sin A sin B -cos A cos B =5665.[剖析] 在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 的和为π,解题时要充分利用这一定理.本题得到cos A =±45后,没有对cos A =-45这一结果是否合理进行检验,从而导致结论不正确.[正解] 由cos B =513>0,∴B ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,且sin B =1213. 由sin A =35,得cos A =±45,当cos A =-45时,cos A <-12.∴A >2π3.∵sin B =1213>32,B ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,∴B >π3. 故当cos A =-45时,A +B >π,与A 、B 是△ABC 的内角矛盾.∴cos A =45,cos C =-cos(A +B )=sin A sin B -cos A cos B =1665.例4 [错解] f (x )=1+sin x -cos x 1+sin x +cos x=1+2sin x 2cos x 2-⎝⎛⎭⎫1-2sin 2x 21+2sin x 2cos x 2+⎝⎛⎭⎫2cos 2x 2-1=2sin x2⎝⎛⎭⎫cos x 2+sin x 22cos x 2⎝⎛⎭⎫sin x 2+cos x 2=tan x2,由此得f (-x )=tan ⎝⎛⎭⎫-x 2=-tan x2=-f (x ), 因此函数f (x )为奇函数.[剖析] 运用公式后所得函数f (x )=tan x2的定义域为{}x |x ∈R ,x ≠2k π+π,k ∈Z .两函数的定义域不同,变形后的函数定义域扩大致错.[正解] 事实上,由1+sin x +cos x ≠0可得sin x +cos x ≠-1, 即2sin ⎝⎛⎭⎫x +π4≠-1,从而sin ⎝⎛⎭⎫x +π4≠-22, 所以x +π4≠2k π+5π4且x +π4≠2k π+7π4(k ∈Z ),故函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠2k π+π,且x ≠2k π+3π2,k ∈Z ,显然该定义域不关于原点对称. 所以函数f (x )为非奇非偶函数.例5 [错解] ∵f (x )=sin(x +θ)+cos(x -θ), ∴f (0)=sin θ+cos θ=2sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4. ∵f (x )=sin(x +θ)+cos(x -θ)是偶函数, ∴|f (0)|=f (x )max = 2. ∴f (0)=2sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=±2, ∴sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=±1,∴θ+π4=k π+π2,k ∈Z . 即θ=k π+π4,k ∈Z .[剖析] 因为x +θ与x -θ是不同的角,所以函数f (x )的最大值不是2,上述解答把f (x )的最大值误当作2来处理.[正解] 因为f (x )=sin(x +θ)+cos(x -θ)是偶函数,所以f (x )=f (-x )对一切x ∈R 恒成立.即sin(x +θ)+cos(x -θ)=sin(-x +θ)+cos(-x -θ)恒成立. ∴[sin(x +θ)+sin(x -θ)]+[cos(x -θ)-cos(x +θ)]=0. ∴2sin x cos θ+2sin x sin θ=0恒成立. 即2sin x (cos θ+sin θ)=0恒成立. ∴cos θ+sin θ=0.∵cos θ+sin θ=2sin ⎝⎛⎭⎫θ+π4=0, ∴θ+π4=k π,即θ=k π-π4,k ∈Z .。
三角函数是高中数学的重要内容,与数列、立体几何、平面向量、方程等都有密切的联系。
这部分中基本计算公式特别的多,而且在解决三角函数问题时又是基础工具,能够熟练而又灵活的运用这些公式成了学习的难点。
这部分公式大致分为三类,现和大家一起来研究下同角基本函数关系式中与“1”有关的问题,希望能给同学们带来帮助。
在三角函数的求值,化简,证明时,常把数1表示为三角函数式或特殊角的三角函数值参与运算,使问题得以简化。
常见的代换有:
22222221sin cos 1(sin cos )2sin cos 1sec tan csc cot 1cos sec sin csc tan cot 1tan cot 44
αα
αααα
αααα
αααααα
π
π
=+=+-=-=-=⋅=⋅=⋅== 等等。
下面例析几道题,供同学们参考。
例1
已知sin cos 2
αα-=-tan cot αα+的值为 .
分析:本题解法有二,一种是将sin cos 2αα-=-
与22sin cos 1αα+=联立成方程组求出sin α与cos α,再运用sin tan cos ααα=与cos cot sin ααα
=求出所求值;一种是先利用sin tan cos ααα=与cos cot sin ααα
=对tan cot αα+化简变形,发现只需要求出sin cos αα的
值即可,而将sin cos 2αα-=-
平方就能完成sin cos αα的求解,进而问题得以解决。
两种方法对比,显然后者简单,而且运算量很少。
解析:sin cos αα-= 222225(sin cos )sin cos 2sin cos 4
1sin cos 8
sin cos sin cos tan cot 8cos sin sin cos αααααααααααααααααα
∴=-=+-∴=-+∴+=+==- 例2 已知1tan 3
α=-,求下列各式的值: (1)2232sin sin cos 5cos 2
αααα-+
(2)1
1sin cos αα-
分析:这道题很多同学可能会去求解sin α与cos α的值,然后代入即解决了问题,这种思想简单直接,但运用起来却很繁琐,费力。
解决这道题简便的方法是将所求直接转化为tan α的关系式,这就需要将原来代数式中的“1”用22
sin cos αα+来代换。
解析:(1)原式2232sin sin cos 5cos 21
αααα-+= 222232sin sin cos 5cos 2sin cos αααααα
-+=+(分子分母同时除以2cos α) 2232tan tan 51032tan 120
ααα-+==+ (2)原式2222sin cos sin cos sin cos αααααα
+=+-(分子分母同时除以2cos α) 22tan 110tan 1tan 13
ααα+==+- 例3 化简:1tan 1tan θθ
+- 分析:可能会有很多同学认为这已经是最简形式,其实它还有更简单的形式——利用两角和的正切公式变化,这就需要对原式中的相关“1”用tan 4π
代换。
解析:原式tan
tan 4tan()41tan tan 4
πθ
πθπθ+==+- 例4 证明:2222tan sin tan sin αααα-=
分析:本题可以由左证到右,或者由右证到左。
无论哪种方式都需要利用“1”的代换,下面我们一起来看看这两种方式,自己来体会。
解析:方法一(由右到左)
右边22222
tan (1cos )tan tan cos ααααα=-=- 22
2222sin tan cos tan sin cos αααααα=-=-=左边 因此 2222
tan sin tan sin αααα-=
方法二(由左到右)
左边2222222sin 1sin sin (1)sin (sec 1)cos cos ααααααα
=-=-=- 22
sin tan αα==右边
因此 2222tan sin tan sin αααα-=
“1”的这种代换应用在这部分是一个重要内容,利用它能使运算由繁变简,提高解题速度,但是这种题变换万千,要想能灵活解决还需要同学们积累解题经验,参透其中的奥秘。
一、任意角的三角函数的定义
教材中,根据初中学过的锐角三角函数的定义:sina=MP/OP=b/r,cosa=OM/OP=a/r,tana=MP/OM=b/a.
此是”终边定义法”。
在高中,已将角的范围扩展到任意角,为全体实数,仍然用这种定义,就比较繁琐,这样可引导学生如何将问题简化,自然地联想到“1”这个单位。
P 点就是α的终边与单位圆的交点,锐角三角函数可以用单位圆上点的坐标表示,同样的可以用单位圆定义任意角的三角函数。
设P (x,y )那么有
Sina=y,cosa=x,tana=y/x(x ≠0).此是“单位圆定义法”。
比较这两种定义,可以看出“单位圆定义法”不仅简单方便,而且清晰易懂,更加反映本质,这是由于三角函数与单位圆之间的这种紧密的内部联系,从而可以圆的性质中得到启发,更好的研究三角函数的性质。
例:已知角的终边上有一点的坐标是P (3a,4a ),其中a ≠0,求sin ,cos ,tan 的三角函数值。
二、正切线的定义
由正、余弦函数的定义可知有向线段MP,OP 分别表示的正弦和余弦,故而得出正弦线与余弦线,那么如何定义正切线呢?t an应该用一条有向线段表示,tan=AT,而tan=MP/OM,A在哪里,T是哪一点?可以引导学生得出MP/OM=AT,将该式转化联想到MP/OM=AT/1,这样1用哪条线段表示?要与ΔOMP联系,运用相似,有OA=1,即A(1,0),T为过A 点与的终边(或反向延长线)的交点,我们就可以得到正切线的定义。
三、三角函数的基本关系式:sin2a+cos2a =1
在许多三角函数式中,常有“1”用:sin2a+cos2a来代换,达到化简得目的。
例如:tana=-1/3,计算1/(2sinacosa+cos2a)的值。
在该题中,分母是关于正余弦函数的二次齐次式,分子式1,1可以用sin2a+cos2a转化成为正余弦函数的二次齐次式。
解:1/(2sinacosa+cos2a)= (sin2a+cos2a)/
(2sinacosa+cos2a)=(tan2a+1)/(2tana+1)=10/3
四、三角函数的特殊值
1.sin 90º=1
例如:在ΔABC中sinB=1/3,sin(C-A)=1,求sinA。
在该题中,1作为特殊值,可用来sin 90º=1换。
解:由sin(C-A)=1有C-A=90º∴C=A+90º又∵B=180º-2A-90º=90º-2A,
∴sinB=sin(90º-2A)=cos2A=1-2sin2A=1/3得sinA=±/3 (负值舍去)sinA=/3。
2. tan45º=1
例如:求(1+tan15º)/(1-tan15º)
在该题中,表面上观察很难化简,但对比正切的和角公式可以得到tan45º=1转化。
解:(1+tan15º)/(1-tan15º)=(tan45º+tan15º)/(1-tan45ºtan15º)
=tan(45º+15º)=3。