数字信号处理复习资料

2、对一个带限为3f kHz ≤的连续时间信号采样构成一离散信号，为了保证从此离散信号中能恢复出原信号，每秒钟理论上的最小采样数为多少？如将此离散信号恢复为原信号，则所用的增益为1，延迟为0的理想低通滤波器的截止频率该为多少？答：由奈奎斯特采样定理，采样频率必须大于两倍的信号最高频率，236s f kHz kHz >⨯=每秒钟理论上得最小采样数为6000。

如将此离散信号恢复为原信号，为避免混淆，理想低通滤波器的截止频率为采样频率的一半，即32skHz Ω=。

3、有限频带信号11()52cos(2)cos(4)f t f t f t ππ=++，式中，11f kHz =。

用5s f kHz =的冲激函数序列()T t δ进行取样。

（1）画出()f t 及采样信号()s f t 在频率区间(10,10)kHz kHz -的频谱图。

（2）若由()s f t 恢复原信号，理想低通滤波器的截止频率c f 。

解：（1）()f t 在频率区间(10,10)kHz kHz -的频谱图/kHz-10 0 1 2 10()s f t 在频率区间(10,10)kHz kHz -的频0谱图（2）25002s c f f Hz ≥=4、有一连续正弦信号cos(2)ft πϕ+，其中20f Hz =，6πϕ=。

（1）求其周期0T ；（2）在t nT =时刻对其采样，0.02T s =，写出采样序列()x n 的表达式； （3）求()x n 的周期N 。

解：（1）0110.0520T s f === （2）在t nT =时刻，4()cos(2)cos(2200.02)cos()656x n f nT n n πππϕππ=+=⨯+=+（3）25425ππ=，所以5N =。

5、设线性时不变系统的单位脉冲响应()h n 和输入()x n 分别有以下两种情况，分别求输出()y n 。

（1）()()h n u n =，()()2(1)(2)x n n n n δδδ=+-+-（2）()()n h n u n α=，01α<<，()()n x n u n β=，01β<<，βα≠。

数字信号处理总复习第1章时域离散信号与系统1.1信号：传载信息的函数。

（1）模拟信号：在规定的连续时间内，信号的幅值可以取连续范围内的任意值，如正弦、指数信号等，即时间连续、幅值连续的信号。

（2）时域连续信号：在连续时间范围内定义的信号，信号的幅值可以是连续的任意值，也可以是离散（量化）的。

模拟信号是连续信号的特例，一般可以通用。

（3）时域离散信号：在离散的时间上定义的信号，独立（自）变量仅取离散值。

其幅值可以是连续的，也可以是离散（量化）的。

如理想抽信号是典型的离散信号，其幅值是连续的。

（4）数字信号：是量化的离散信号，或时间与幅值均离散的信号，即时间离散幅度被量化的信号为数字信号。

1．2 序列1．2.1序列的定义离散时闻信号可用序列来表示。

序列是一串以序号为自变量的有序数字的集合，简写作x(n)。

x(n)可看作对模拟信号x a(n)的脉冲，即x(n)=x a(n)也可以看作一组有序的数据集合。

1.2．2常用的序列（熟练掌握）数字信号处理中常用的典型序列列举如下：1．单位脉冲序列 2. 单位阶跃序列 3. 矩形序列 4. 实指数序列 5. 复指数序列 6. 正弦7. 周期序列及判别 1.2.3 序列运算（掌握） 1.3 时域离散系统（掌握特性） 1.4 卷积（掌握）例1.4－1、例1.4－21、图表法；2、表格阵法；3、相乘对位相加法；4、卷积的性质（了解）。

1.5 常系数线性差分方程1.6 数字化处理方法 理解物理概念及采样过程：熟练掌握采样定理：()()r n x b k n y a r Mr k Nk -=-∑∑==00()()()k n y a r n x b n y k Nk r M r ---=∑∑==1或：1.6－8、9式第2章 Z 变换与离散系统的频域分析2.1 Z 变换z 变换的定义可由抽样信号的拉氏变换引出的定义及过程。

2.2.1 Z 变换的收敛区理解Z 变换的收敛区的概念。

线性系统：系统的输入、输出之间满足线性叠加原理的系统。

时不变系统：若系统对输入信号的运算关系][∙T 在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关。

时域离散线性时不变系统：同时满足线性和时不变特性的系统。

系统的因果性：如果系n 时刻的输出只取决于n 时刻以及n 时刻以前的输入序列，而和n 时刻以后的输入序列无关，满足00)(<=n n h ，式的序列称为因果序列， 因果系统的单位脉冲响应必然是因果序列 稳定系统：是指对有界输入，系统输出也是有界的。

系统稳定的充分必要条件：系统的单位脉冲响应绝对可和 ，∞<∑∞-∞=n n h ][ 线性移不变系统是因果稳定系统的充要条件：|()|n h n ∞=-∞<∞∑，()0,0h n n =<采样定理表示的是采样信号X （t)的频谱与原模拟信号X （t ）的频谱之间的关系，以及由采样信号不失真地恢复原模拟信号的条件。

采样以后的频谱与原频谱的关系：1.采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的2.理想低通滤波器从采样信号中不失真地提取原模拟信号−−→−)(t x a −→− −→− −→− −→−−→− 预滤：在采样之前加一抗混叠的低通滤波器，滤去高于的一些无用的高频分量，以及滤除其他的一些杂散信号。

A/DC ：将模拟信号转换成数字信号，分为采样和量化两个过程。

数字信号处理：对采样信号进行处理。

D/AC ：将数字信号转换成模拟信号，包括解码器、零阶保持器和平滑滤波器。

平滑滤波：滤除多余的高频分量，对时间波形其平滑作用。

信号与系统的分析方法有时域分析方法和频域分析方法。

序列的共轭对称性设序列满足)()(*n x n x e e -=，则称为共轭对称序列。

其中)()()(n jx n x n x ei er e +=、)()()(***n jx n x n x ei er e ---=-，共轭对称序列其实部是偶函数（即)()(*n x n x erer -=），而虚部是奇函数（即)()(*n x n x ei ei --=）。

课程主要内容及基本要求一、离散傅里叶变换及应用（DFT & FFT）1.DFT的定义、性质、计算及应用——第3章2.DFT的快速算法（FFT）——第4章➢傅里叶变换的4种形式，傅里叶变换形式与时域信号的对应关系。

➢DFS的定义性质计算，理解周期卷积过程。

➢DFT的定义、计算、性质，掌握圆周移位、共轭对称性、圆周卷积与线性卷积的关系。

➢理解掌握频谱分析过程，频谱分析参数（DFT点数、频谱分辨力F、记录长度Tp等）的计算，存在的误差及减少措施。

➢理解掌握DIT和DIF的基2-FFT算法原理、运算流图、计算量➢理解IFFT算法原理➢了解CZT算法及分段卷积方法（重叠相加法、重叠保留法）二、数字滤波器设计与实现（IIR Filter & FIR Filter）1.IIR Filter 设计与实现——第6、5章2.线性相位FIR Filter 设计与实现——第7、5章➢掌握IIR滤波器结构、FIR滤波器结构，结构形式的主要特点、与H(z)表达式的关系➢冲激响应不变及双线性变换法原理、变换方法、特点、适用场合➢巴特沃思和切比雪夫Ⅰ型低通滤波器设计方法、频响特点、极点分布特点➢掌握利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计过程➢了解利用频带变换法设计各种类型数字滤波器的方法➢掌握线性相位FIR滤波器的特点➢理解掌握窗函数设计方法，窗函数主要指标和特点，影响过渡带宽度与阻带衰减的因素➢了解频率采样设计法第3章 离散傅里叶变换——复习1. 基本概念➢ 信号：信息的物理表现形式。

➢ 序列（离散时间信号）：时间离散，幅值连续（无限精度）。

➢ 数字信号：时间离散，幅值量化（有限精度）。

➢ 信号处理：从信号中提取有用信息。

➢ 数字信号处理：用数字方法去处理。

或者说：用数字或符号表示的序列来描述信号，再用计算机或专用处理设备以数值计算的方法来处理这些序列，得到所需序列，提取信息。

2. Z 变换➢ Z 变换的定义：对离散时间信号（序列）的变换。

《数字信号处理》辅导一、离散时间信号和系统的时域分析（一） 离散时间信号（1）基本概念信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。

连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。

模拟信号：是连续信号的特例。

时间和幅度均连续。

离散信号：时间上不连续，幅度连续。

常见离散信号——序列。

数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。

（2）基本序列（课本第7——10页）1）单位脉冲序列 2）单位阶跃序列 1,0()0,0n n n δ=⎧=⎨≠⎩1,0()0,0n u n n ≥⎧=⎨≤⎩3）矩形序列 4）实指数序列1,01()0,0,N n N R n n n N≤≤-⎧=⎨<≥⎩()n a u n 5）正弦序列6）复指数序列0()sin()x n A n ωθ=+()j n nx n e e ωσ=（3）周期序列1）定义：对于序列，若存在正整数使()x n N ()(),x n x n N n =+-∞<<∞则称为周期序列，记为，为其周期。

()x n ()xn N 注意正弦周期序列周期性的判定（课本第10页）2）周期序列的表示方法：a.主值区间表示法b.模N 表示法3）周期延拓设为N 点非周期序列，以周期序列L 对作无限次移位相加，即可得到()x n ()x n 周期序列，即()xn ()()i xn x n iL ∞=-∞=-∑ 当时， 当时，L N ≥()()()N x n xn R n = L N <()()()N x n xn R n ≠ （4）序列的分解序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数M ，任何序列都可以分解成()x n 关于共轭对称的序列和共轭反对称的序列之和，即/2c M =()e x n ()o x n()()(),e o x n x n x n n =+-∞<<∞并且1()[()()]2e x n x n x M n *=+-1()[()()]2o x n x n x M n *=--（4）序列的运算1）基本运算运算性质描述序列相乘12()()()()()y n x n x n y n ax n ==序列相加12()()()y n x n x n =+序列翻转 （将以纵轴为对称轴翻转）()()y n x n =-()x n 尺度变换（序列每隔m-1点取一点形成的序列）()()y n x mn =()x n 用单位脉冲序列表示()()()i x n x i n i δ∞=-∞=-∑2）线性卷积：将序列以y 轴为中心做翻转，然后做m 点移位，最后与对应点相()x n ()x n 乘求和——翻转、移位、相乘、求和定义式： 1212()()()()()m y n x m x n m x n x n ∞=-∞=-=*∑线性卷积的计算：A 、图解B 、解析法C 、不进位乘法（必须掌握）3）单位复指数序列求和（必须掌握）/2/2/2/2/2/21/2/2/2/2/2/2(1)/21()()/(2)1()()/(2)sin(/2)sin(/2)j N j N j N j N j N j N j N N j nj j j j j j j n j N e e e e e e e j ee e e e e e e j N e ωωωωωωωωωωωωωωωωωω------------=-----===---=∑如果，那么根据洛比达法则有2/k N ωπ=sin(/2)(0)(0)(()())sin(/2)N N k N N k N ωδδω===或可以结合作业题3.22进行练习（5）序列的功率和能量能量：2|()|n E x n ∞=-∞=∑功率：21lim |()|21NN n NP x n N →∞=-=+∑（6）相关函数——与随机信号的定义运算相同（二） 离散时间系统1．系统性质（1）线性性质定义：设系统的输入分别为和，输出分别为和，即1()x n 2()x n 1()y n 2()y n 1122()[()],()[()]y n T x n y n T x n ==统的输对于任意给定的常数、，下式成立a b 1212()[()()]()()y n T ax n bx n a y n by n =+=+则该系统服从线性叠加原理，为线性系统，否则为非线性系统。

1.设计低通数字滤波器， 要求通带内频率低于0.2π rad 时， 容许幅度误差在1 dB 之内； 频率在0.3π到π之间的阻带衰减大于10 dB 。

试采用巴特沃斯型模拟滤波器进行设计， 用脉冲响应不变法进行转换， 采样间隔T =1 ms 。

解: 本题要求用巴特沃斯型模拟滤波器设计，所以由巴特沃斯滤波器的单调下降特性， 数字滤波器指标描述如下： ωp=0.2 π rad, αp=1 dB, ωs=0.3 π rad, αs=10 dB%用脉冲相应不变法设计数字滤波程序 T=1; %T=1swp=0.2*pi/T; ws=0.3*pi/T; rp=1; rs=10; %T=1s 的模拟滤波器指标 [N, wc]=buttord(wp,ws,rp,rs,’s ’); %计算相应的模拟滤波器阶数N 和3dB 截止频率wc[B, A]=butter(N,wc,’s ’); %计算相应的模拟滤波器系统函数[Bz, Az]=impinvar(B,A); %用脉冲响应不变法将模拟滤波器转换成数字滤波器%用双线性变换法设计数字滤波程序 T=1; Fs=1/T wpz=0.2; wsz=0.3;wp=2*tan(wpz*pi/2); ws=2*tan(wsz*pi/2); rp=1; rs=1; % 预畸变校正转换指标 [N, wc]=buttord(wp,ws,rp,rs,’s ’);% 设计过渡模拟滤波器 [B, A]=butter(N,wc,’s ’); % 计算相应的模拟滤波器系统函数 [Bz, Az]=bilinear(B,A,Fs); % 用双线性法转换成数字滤波器[Nd,wdc]=buttord(wpz,wsz,rp,rs) :%调用buttord 和butter 直接设计数字滤波器 [Bdz,Adz]=butter(Nd,wdc); %绘制滤波器的损耗函数曲线2因果序列（1）若序列h(n)是实因果序列， 其傅里叶变换的实部如下式： HR (ej ω)=1+cos ω 求序列h (n )及其傅里叶变换H (ej ω)。

1正弦序列数字频率与模拟角频率Ω的关系为=ΩT,模拟角频率Ω与序列的数字频率成线性关系。

=Ω/Fs表示数字域频率是模拟角频率对采样频率的归一化频率。

2线性系统T[x1(n)+x2(n)]=y1(n)+y2(n)表征线性系统的可加性；T[ax1(n)]=ay1(n)表征线性系统的比例性或齐次性（a位常数）。

y(n)=T[ax1(n)+bx2(n)]=ay1(n)+by2(n3检查仪的系统是否是时不变系统，就是检查其是否满足y(n)=T[x(n)] y(n-n0)= T[x(n-n0)]4线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位脉冲响应满足下式：h(n)=0 n<05系统稳定的充分必要条件是系统的单位脉冲响应绝对可和，用公式表示为系统稳定的条件是H(z)的收敛域包含单位圆。

如果系统因果且稳定，收敛域包含点和单位圆，那么收敛域可表示为r<≤ 0<r<1 这样H(z)的极点集中在单位圆的内部。

最小相位系统：如果因果稳定系统H(z)的所有零点都在单位圆内，则称之为“最小相位系统”特点：1、任何一个非最小相位系统的系统函数H(z)均可由一个最小相位系统（z）和一个全通系统（z）级联而成，即H(z)=（z）（z） 2、在幅频响应特性相同的所有因果稳定系统集中，最小相位系统的相位延迟最小。

3最小相位系统保证其逆系统存在。

、6FT[x(n)]存在的哇充分条件是序列x(n)绝对可和，既满足下式：7序列x(n)的Z变换定义为X(z)式中z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。

Z变化存在的条件是等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即. Z变量取值的域称为收敛域，一般收敛域位环状域，即8用DFT进行谱分析产生误差的现象：1、混叠现象。

2、栅栏效应。

3、阶段效应。

原因:1、泄露2、谱间干扰。

循环卷积等于线性卷积的条件是L≥N+M-19 DIT-FFT算法的分解过程可见，N=时，其运算流图应有M级蝶形，每一级都有N/2个蝶形运算构成。