§2.1 基本概念
再证唯一性: 设 [a1]=[a2], [b1]=[b2] ⇒ n | (a1−a2), n | (b1−b2), ⇒ n | (a1−a2)(b1−b2) ⇒ n | (a1b1+a2b2−a1b2−a2b1) ⇒ n | {a1b1− a2b2+(a2−a1)b2+ a2(b2−b1)}⇒ n | (a1b1− a2b2), 所以 [a1a2]=[b1b2]. 所以模 n 的乘法是 Zn*中的一个二元运算. 结合律显然满足. 单位元是 [1]. 对任何 [a]∈Zn*, 由 (a, n)=1 知存在 p, q ∈ Z 使 pa +qn=1, 因而有 pa ≡ l
§2.1 基本概念
定理 4 半群 (G, ·) 是群的充要条件是: 对任何 a,b ∈G, 方程 ax=b 和 ya=b 在 G 中均有解. 必要性: 证 必要性 因为 G 是群, a 有逆元 a-1, 故可得 ax=b 的解为 x=a-1b, ya=b 的解是 y=ba-1. 充分性: 充分性 由定理 3, 只要证明 G 中有左单位元和任 意一个元素 a 有左逆元. 有左单位元: 先证 G 有左单位元 任取 a∈G, 方程 ya=a 有解, 设 其解为 e, 任取 g∈G, 方程 ax=g 有解, 设其解为 b, 即 ab=g, 于是有 eg= eab=ab=g, 因而 e 是左单位元. 有左逆元: 再证 ∀a∈G 有左逆元 因方程 ya=e 有解, 则其解就 是 a 的左逆元.
§2.1 基本概念
一个群的乘法表称为群表 群表有以下性质: 群表, 群表 (1) 每行(列)包含每一个元素. (2) 若 G 是可换群, 则它的乘法表对称于主对角线. 很容易用乘法表来定义一个集合中的二元运算, 但要 定义一个乘法表是群表就不很容易了. 一个乘法表是 群表的充分必要条件请看本节习题第 7 题. 如果一个群 G 是个有限集, 则称 G 是有限群 否则 有限群, 有限群 无限群. 称为无限群 G 的元素个数 |G| 称为群的阶. 无限群 阶 常把可换群中的运算称为加法, 故可换群又叫加群 加群. 加群 加群中的单位元叫做零元 逆元叫做负元 例如 (Z, +) 零元, 负元, 零元 负元 中零元就是 0, x 的负元是 −x.
