∴A
B,
∵3b-2=3(b-1)+1,∴B=C. ∴A∪B=C.
答案
∪
=
跟踪练习1
(2010·无锡模拟)设集合A={1,a,b},B=
{a,a2,ab},且A=B,则实数a=___, =___. -1 b0
解析 由元素的互异性知:a≠1,b≠1,a≠0, 又由A=B,
2 2 a 1 a b 即 或 解得 a 1 , b 0 . ， ab b ab 1
①若a=0，则A=R；
4 1 a a 1 4 ③若a>0,则 A {x| x }. a a (1)当a=0时，若AB，此种情况不存在.
②若a<0，则 A {x| x };
[2分]
当a<0时，若AB，如图,
1 4 a 8 a 2, 则 a 8. 1, a 1 2 2 a
1 ∴ UP={x|x≤0或x> 2
1 P={x|0<x≤ 2
}, },
1 2
∴(
UM)∩(
UP)={x|x≤0或
<x<1}.
5.(2010·常州模拟)已知全集U=R,集合M={x|x≥ x 1 1},N={x| ≥0},则 U(M∩N)=__________. {x|x≤2} x2 解析 因为M={x|x≥1},N={x|x>2或x≤-1},
25 2 2 1 {( m , n ) | m n 或 m n } 成的集合为___________________________. 9 9
2 2
解析
因为A∩B为单元素集,即圆x2+(y+n)2=4与圆
2 2 3 m ) ( n 2 n ) 3 2 (x-3m)2+(y-2n)2=9相切,此时(
2 2 2 2 25 2 21 或 ( 3 m ) ( n 2 n ) 3 2 , 即 m n 或 m n . 9 9
9.(2010·盐城模拟)设全集U=R,A={x|2x(x-2)<1}, B={x|y=ln(x-1)},则图中阴影部分表示的集合为 ____________. {x|0<x≤1}
所以M-N=(3,+∞),N-M=［-3,0), 所以M*N=［-3,0)∪(3,+∞).
8.(2010·南通模拟)已知集合A={(x,y)|x2+y2+2ny+ n2-4=0,x,y∈R},B={(x,y)|x2+y2-6mx-4ny+9m2+4n2
-9=0,x,y∈R},若A∩B为单元素集,则点P(m,n)构
1.高考中会以填空题的形式考查元素与集合,集合与
集合的关系及集合中的元素个数等知识，属容易题,
送分题.
2.高考中以考查集合的交、并、补等运算为主,同时 考察集合特性及集合、元素间的关系，注意利用
Venn图、数轴求集合的交、并、补等运算.
方法规律总结
1.解题时要特别关注集合中元素的三个特性,特别是 互异性,要进行解题后的检验,注意将数学语言与集
},
P={x|y= log x
1 2
,y∈M},则(
UM)∩( UP)=
1 { x | x 0 或 x 1 } __________________. 2
解析
∴
∵M是y= x 1 的定义域,即M={x|x≥1},
UM={x|x<1}.
∵P是值域为M时, ∴y= log x 的定义域为
1 2
当a>0时，若A B，如图,
1 1 a 2 a 2 则 , a 2. 4 a 2. 2 a 综上知，当A B时,a<-8或a≥2.
[6分]
（2）当a=0时，显然B A； 当a<0时，若B A，如图,
1 4 a 8 1 a 2 则 , a0 ; 1. 1 2 a 2 2 a 当a>0时，若B A，如图,
【例2】定义集合运算:A⊙B={z|z=xy(x+y),x∈A,y∈
B}.设集合A={0,1},B={2,3},则集合A⊙B的所有元
素之和为_____. 18
分析 注意元素的互异性,并利用分类讨论使问题 得以解决.
解析 (1)当x=0时,无论y为何值,都有z=0;
(2)当x=1,y=2时,由题意得z=6;
UB={1,3,5,7,9},故B={2,4,6,8}.
2.(2009·广东改编)已知全集U=R，
集合M={x|-2≤x-1≤2}和集合
N={x|x=2k-1,k=1,2,…}的关系的
韦恩图如图所示,则阴影部分所表示的集合的元素
的个数为____. 2 解析 由题意知M={x|-1≤x≤3},则M∩N={1,3},
(3)当x=1,y=3时,由题意得z=12. 故集合A⊙B={0,6,12},故元素之和为0+6+12=18.
跟踪练习2
(2010·盐城调研)给定集合A,B,定义
A B={x|x=m-n，m∈A,n∈B}.若A={4,5,6}， B={1,2,3}，则集合AB中所有元素之和为____. 15 解析 由新的集合运算定义知AB={1,2,3,4,5},
1275 C { , , , , , }, 6363 ∴A B,B=C,即A∪B=C.
方法二
判断集合中元素的共性和差异
6 a 1 3 b 2 A { x |x , a Z} ， B { x |x , b Z}, 6 6 3 c 1 C { x |x , c Z}. 6
AB （或______ B A ）；若A 则_______ B,且在B中至少有
一个元素x∈B但x A,则_______（或______）;
若A含有n个 A ; A A ; A B , B C A C ; 元素，则A的子集有___ 2n-1 个， 2n 个，非空子集有_____
故元素之和为15.
【例3】(14分)已知集合A={x|0<ax+1≤5},集合B= 1 {x| x 2 }. 2 （1）若A B，求实数a的取值范围；
（2）若B A，求实数a的取值范围；
（3）A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能， 试说明理由.
解题示范
解
A中不等式的解集应分三种情况讨论：
UA)∪( UB)中有n个元素.若A∩B非空，则
A∩B的元素个数为_____. m-n 因为A∩B=
U[( UA)∪( UB)]，所以A∩B
共有m-n个元素,故答案为m-n.
典型例题
c 2
深度剖析
1 6
【例1】已知集合A={x|x=a+
,a∈Z},B={x|x= ,
b 2
1 3
b∈Z},C={x|x=
解析
因为A={x|2x(x-2)<1},
编集合与常用逻辑用语
§1.1集合的概念及其基本运算 基础知识自主学习
互异性 ∈
要点梳理
确定性
无序性
4.常用数集:自然数集___; N+ 整 N* 或___); N 正整数集____(
数集___; Q ；实数集___. Z 有理数集___ R
5.集合的分类:按集合中元素个数划分，集合可分为 ______ 有限集、______ 无限集、_____. 空集 6.子集、真子集及其性质:对任意的x∈A,都有x∈B,
有两个元素,故答案为2.
3.(2009·山东改编)集合A={0,2,a}，B={1,a2}，若
A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为_____. 4
解析 ∵A={0,2,a},B={1,a2}, A∪B={0,1,2,4,16} a 2 16 ∴ , ∴a=4,故答案为4. a 4 4.（2009·江西改编）已知全集U=A∪B中有m个元 素,( 解析
1 1 a2 a 2, 则 . 0a2 . 4 a2 2 a 1 综上知，当B A时， [12分] a 2. 2 （3）当且仅当A、B两个集合互相包含时，A=B.
由（1）、（2）知，a=2.
[14分]
跟踪练习3
已知A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},
非空真子集有______ 2n-2 个.
7.集合相等：若 A B 且 B A ， 则 A B .
8.集合的交、并、补运算：并集A∪B={x|x∈A或x∈ B}；交集A∩B={x|x∈A且x∈B}；补集 U且x A}，U为全集，
UA={x|x∈ UA表示A相对于全集U的
补集.
9.集合的运算性质:并集的性质A∪=A,A∪A=A,A∪ B=B∪A,A∪B=A ∩ = B A;交集的性质A ,
则M∩N={x|x>2},
所以
U(M∩N)={x|x≤2}.
6.(2009·珠海模拟)已知集合A中有10个元素，集
合B中有6个元素,全集U中有18个元素，且有A∩B ≠ ,设集合 解析
U(A∪B)中有x个元素,则x的取值范
围是__________________. 3≤x≤8且x为整数 因为当集合A∩B中仅有一个元素时,
U(A∪B)中有3个元素,
集合
当A∩B中有6个元素时,
U(A∪B)中有8个元素,
即3≤x≤8且x为整数.
7.(2010·淮安模拟)对于任意两个集合M,N,定义： M-N={x|x∈M, x N},M*N=(M-N)∪(N-M),设 M={y|y=x2,x∈R},N={y|y=3sin x,x∈R},则M*N= [-3,0)∪(3,+∞) _______________. 解析 因为M=［0,+∞),N=［-3,3］,
