1.1集合的基本概念(离散数学)

离散知识点公式总结1. 集合论集合是离散数学中的基本概念，它是由一些确定的对象所组成的一个整体。

集合之间的运算包括并集、交集、差集、补集等。

其相关公式如下：- 并集：对于集合A和B，它们的并集定义为包含A和B中所有元素的集合，记作A∪B。

公式：A∪B={x|x∈A或x∈B}- 交集：对于集合A和B，它们的交集定义为同时属于A和B的所有元素的集合，记作A∩B。

公式：A∩B={x|x∈A且x∈B}- 差集：对于集合A和B，A与B的差集定义为属于A但不属于B的元素所组成的集合，记作A-B。

公式：A-B={x|x∈A且x∉B}- 补集：对于集合A，相对于全集合U而言，A的补集定义为全集合中不属于A的元素所组成的集合，记作A'。

公式：A'={x|x∈U且x∉A}2. 关系和函数关系是一种描述元素之间的对应关系的数学工具，而函数则是一种特殊的关系。

在离散数学中，关系和函数的定义和性质是非常重要的内容。

其相关公式如下：- 关系R：对于集合A和B，关系R定义为A和B的笛卡尔积中的元素对所组成的集合。

公式：R={(a,b)|a∈A且b∈B}- 函数f：对于集合A和B，如果f是从A到B的一个映射，那么对于任意元素a∈A，都有唯一的元素b∈B与之对应。

公式：f:A→B3. 图论图论是离散数学中的一个重要分支，它研究的是由顶点和边组成的数学结构。

图论的基本概念包括图的类型、路径和回路、连通性、树等。

其相关公式如下：- 有向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是有方向的，则称G为有向图。

公式：G=(V,E)，E={(u,v)|u,v∈V，u→v}- 无向图：对于图G=(V,E)，如果E中的边是无方向的，则称G为无向图。

公式：G=(V,E)，E={{u,v}|u,v∈V，u≠v}- 路径：在图G中，顶点v1,v2,...,vn的一个路径是图G中的一个顶点序列，其中相邻的顶点用一条边连接。

公式：v1,v2, (v)- 回路：在图G中，如果一条路径的起点和终点是同一个顶点，则称其为回路。

离散数学第一章知识点总结离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。

第一章通常是对离散数学的基础概念和预备知识进行介绍，为后续的学习打下坚实的基础。

以下是对离散数学第一章知识点的详细总结。

一、集合的基本概念集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。

集合中的对象称为元素。

我们通常用大写字母来表示集合，用小写字母表示元素。

如果一个元素 a 属于集合 A，记作 a ∈ A；如果一个元素 b 不属于集合 A，记作 b ∉ A。

集合有两种常见的表示方法：列举法和描述法。

列举法是将集合中的元素一一列举出来，例如 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。

描述法是通过描述元素的共同特征来表示集合，例如 B ＝｛x ｜ x 是大于 0 小于 10 的整数}。

集合之间的关系包括子集、真子集和相等。

如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。

如果 A 是 B 的子集，且 B 中存在元素不属于 A，那么 A 是 B 的真子集，记作 A ⊂ B。

如果 A 和 B 包含相同的元素，那么 A 和 B 相等，记作 A ＝ B。

二、集合的运算集合的基本运算有并集、交集和差集。

集合 A 和集合 B 的并集，记作 A ∪ B，是由属于 A 或者属于 B 的所有元素组成的集合。

集合 A 和集合 B 的交集，记作A ∩ B，是由同时属于 A 和 B 的所有元素组成的集合。

集合 A 与集合 B 的差集，记作 A B，是由属于 A 但不属于 B 的所有元素组成的集合。

此外，还有补集的概念。

如果给定一个全集 U，集合 A 的补集记作A，是由属于 U 但不属于 A 的所有元素组成的集合。

集合运算满足一些重要的定律，如交换律、结合律、分配律等。

例如，A ∪ B ＝ B ∪ A（并集的交换律），A ∩ B ＝B ∩ A（交集的交换律），（A ∪ B) ∪ C ＝ A ∪（B ∪ C)（并集的结合律），（A ∩B) ∩ C ＝A ∩ （B ∩ C)（交集的结合律）等。

离散数学集合的基本概念(一)离散数学集合的基本概念集合是离散数学中最基本的概念之一，它是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。

这些对象被称为集合的元素，可以是任何事物，比如数字、字母、人、动物等。

在集合中，元素的顺序和重复是无关紧要的。

集合的表示集合通常用大写字母表示，如A、B。

元素属于集合时，通常用小写字母表示，如a、b。

一个元素a属于某个集合A时，表示为a∈A。

不属于某个集合时表示为a∉A。

集合的表示形式1.列举法：通过逐个列举出集合中的元素来表示集合。

例如，集合A={1, 2, 3}表示A为包含元素1、2、3的集合。

2.描述法：通过描述元素的特征来表示集合。

例如，集合A={x|x为正整数，且x<4}表示A为包含不大于3的正整数的集合。

1.并集：将两个集合中的元素合并在一起，形成的新集合包含了两个集合中的所有元素，且没有重复。

用符号∪表示。

例如，A∪B 表示集合A和集合B的并集。

2.交集：求两个集合中共有的元素，形成的新集合包含了两个集合中的所有共有元素。

用符号∩表示。

例如，A∩B表示集合A和集合B的交集。

3.差集：求一个集合中去除另一个集合中的元素后的剩余元素。

用符号-表示。

例如，A-B表示集合A去除集合B的元素后的剩余元素。

4.补集：求一个集合关于全集的差集。

用符号’表示。

例如，A’表示集合A的补集。

集合的性质1.互斥性：两个集合没有共同的元素时，称为互斥的。

两个互斥的集合的交集为空集。

2.包含关系：一个集合包含另一个集合时，称为包含关系。

包含关系可以是真包含或假包含，当一个集合包含另一个集合且两者不相等时，称为真包含。

3.幂集：一个集合所有可能的子集的集合称为幂集。

离散数学中的集合理论在计算机科学、信息技术、逻辑学、概率论等领域有着广泛的应用。

集合的概念和基本操作可以用于解决各种问题，例如数据处理、算法设计、数据库管理等。

以上是对离散数学集合的基本概念及相关内容的简要介绍，希望可以对读者有所帮助。

高三离散数学知识点归纳离散数学是一门重要的数学学科，它针对离散对象及其相互关系展开研究，对于培养学生的逻辑思维能力和抽象思维能力具有重要作用。

在高三阶段，学生需要系统学习离散数学的知识点，为高考备战做好准备。

本文将对高三离散数学知识点进行归纳，包括集合论、命题逻辑、组合数学等内容。

一、集合论1. 集合的基本概念集合是由确定的、无序的、互异的对象组成的总体。

集合的元素可以是数字、字母、符号等。

2. 集合的运算交集、并集、差集和补集是集合的四种基本运算，它们分别表示两个集合的共有元素、所有元素和剩余元素。

3. 集合的关系包含关系、相等关系和互斥关系是集合之间的三种常见关系，它们描述了集合之间的包含、相等和互斥的关系。

二、命题逻辑1. 命题与命题联结词命题是陈述句，它可以为真或者为假。

命题联结词包括非、与、或、蕴含和等价等，用于描述命题之间的逻辑关系。

2. 命题的真值表和逻辑运算真值表是描述命题与命题联结词之间关系的表格，通过真值表可以确定复合命题的真假性。

3. 命题的等价和蕴含两个命题等价表示它们具有相同的真值，而一个命题蕴含另一个命题表示当前者为真时，后者一定为真。

三、组合数学1. 排列与组合排列是从一组元素中取出若干元素进行排序，组合是从一组元素中取出若干元素不考虑排序。

排列和组合分别具有不同的计算公式。

2. 二项式定理二项式定理描述了两个数的幂展开的结果，它在组合数学中有重要应用。

四、图论1. 图的基本概念图由顶点和边组成，可以分为有向图和无向图。

顶点之间的边表示两个顶点之间的联系。

2. 图的遍历算法深度优先搜索和广度优先搜索是两种常见的图的遍历算法，用于查找图中的特定路径或者寻找与某个顶点相关的其他顶点。

五、数理逻辑1. 数理逻辑的基本概念数理逻辑是研究逻辑的形式系统化的学科，主要包括语言、公式、推理规则等内容。

2. 形式系统和推导规则形式系统是由一组公理和一组推导规则组成的，通过推导规则可以从公理出发推导出其他命题。

离散数学知识点摘要：离散数学是计算机科学和数学的一个分支，它专注于非连续结构的研究。

本文旨在概述离散数学的核心知识点，包括集合论、逻辑、关系、函数、图论、组合数学和递归等。

1. 集合论- 集合的基本概念：集合是离散数学的基础，它是一组明确的、无重复的对象的集合。

- 集合运算：包括并集、交集、差集、补集等。

- 幂集：一个集合所有子集的集合。

- 笛卡尔积：两个集合所有可能的有序对的集合。

2. 逻辑- 命题逻辑：研究命题（声明的真值）和它们之间的关系，如合取、析取、否定等。

- 谓词逻辑：使用量词（如全称量词和存在量词）来表达更复杂的逻辑关系。

- 逻辑推理：包括直接证明、间接证明和归谬法等。

3. 关系- 关系的定义：一个集合到另一个集合的有序对的集合。

- 关系的类型：自反性、对称性和传递性等。

- 关系的闭包：在给定关系下，集合的最小闭包。

4. 函数- 函数的定义：一个集合到另一个集合的映射，每个元素有唯一的像。

- 函数的类型：单射、满射和双射。

- 复合函数：两个函数可以组合成一个新的函数。

5. 图论- 图的基本概念：由顶点（节点）和边组成的结构。

- 图的类型：无向图、有向图、连通图、树等。

- 图的算法：如最短路径、最小生成树、图的着色等。

6. 组合数学- 排列和组合：从n个不同元素中取出r个元素的不同排列和组合的数量。

- 二项式定理：描述了二项式的幂展开的系数。

- 生成函数：一种编码序列的方法，用于解决复杂的计数问题。

7. 递归- 递归定义：一个对象通过引用比自己更小的版本来定义。

- 递归函数：在计算机程序中，一个函数调用自身来解决问题。

结论：离散数学为理解和设计计算机系统提供了基础工具和理论。

它的知识点广泛应用于算法设计、数据结构、编程语言理论和数据库等领域。

掌握离散数学对于任何希望在计算机科学领域取得进展的人来说都是至关重要的。

本文提供了一个简洁的离散数学知识点概述，每个部分都直接针对一个主题，避免了不必要的背景信息和解释。

离散数学知识点归纳一、集合论。

1. 集合的基本概念。

- 集合是由一些确定的、彼此不同的对象组成的整体。

这些对象称为集合的元素。

例如，A = {1,2,3}，其中1、2、3是集合A的元素。

- 集合的表示方法有列举法（如上述A的表示）和描述法（如B={xx是偶数且x < 10}）。

2. 集合间的关系。

- 子集：如果集合A的所有元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作A⊆ B。

例如，{1,2}⊆{1,2,3}。

- 相等：如果A⊆ B且B⊆ A，则A = B。

- 真子集：如果A⊆ B且A≠ B，则A是B的真子集，记作A⊂ B。

3. 集合的运算。

- 并集：A∪ B={xx∈ A或x∈ B}。

例如，A = {1,2}，B={2,3}，则A∪B={1,2,3}。

- 交集：A∩ B = {xx∈ A且x∈ B}。

对于上述A和B，A∩ B={2}。

- 补集：设全集为U，集合A相对于U的补集¯A=U - A={xx∈ U且x∉ A}。

二、关系。

1. 关系的定义。

- 设A、B是两个集合，A× B的子集R称为从A到B的关系。

当A = B时，R称为A上的关系。

例如，A={1,2}，B = {3,4}，R={(1,3),(2,4)}是从A到B的关系。

2. 关系的表示。

- 关系矩阵：设A={a_1,a_2,·s,a_m}，B={b_1,b_2,·s,b_n}，R是从A到B的关系，则R的关系矩阵M_R=(r_ij)，其中r_ij=<=ft{begin{matrix}1,(a_i,b_j)∈ R0,(a_i,b_j)∉ Rend{matrix}right.。

- 关系图：对于集合A上的关系R，用节点表示A中的元素，若(a,b)∈ R，则用有向边从a指向b。

3. 关系的性质。

- 自反性：对于集合A上的关系R，如果对任意a∈ A，都有(a,a)∈ R，则R 是自反的。

例如，A={1,2,3}，R = {(1,1),(2,2),(3,3)}是自反关系。

第1章集合1.1 集合的基本概念1. 集合、元（元素）、有限集、无限集、空集2. 表示集合的方法：列举法、描述法3. 定义1.1.1（子集）：给定集合A和B，如果集合A的任何一个元都是集合B中的元，则称集合A包含于B或B包含A，记为或，并称A为B的一个子集。

如果集合A和B满足，但B中有元不属于A，则称集合A真包含于B，记为，并且称A为B的一个真子集。

4. 定义（幂集）：给定集合A，以A的所有子集为元构成的一个集合，这个集合称为A的幂集，记为或1.2 集合的运算定义1.2.1（并集）：设A和B是两个集合，则包含A和B的所有元，但不包含其他元的集合，称为A和B的并集，记为.定义1.2.2（交集）：A和B是两个集合，包含A和B的所有公共元，但不包含其他元的集合，称为A和B的交集，记为.定义1.2.3（不相交）：A和B是两个集合，如果它们满足，则称集合A和B是不相交的。

定义1.2.4（差集）：A和B是两个集合，属于A而不属于B的所有元构成集合，称为A和B 的差集，记为.定义1.2.5（补集）：若A是空间E的集合，则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集，记为.定义（对称差）：A和B是两个集合，则定义A和B的对称差为1.3 包含排斥原理定理设为有限集，其元素个数分别为，则定理设为有限集，其元素个数分别为，则定理设为有限集，则重要例题P11 例第2章二元关系2.1 关系定义（序偶）：若和是两个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个序偶。

※对于序偶和，当且仅当并且时，才称和相等，记为定义（有序元组）：若是个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个有序元组（简称元组）。

定义（直接积）：和是两个集合，则所有序偶的集合，称为和的直接积（或笛卡尔积），记为. 定义（直接积）：设是个集合，，则所有元组的集合，称为的笛卡尔积（或直接积），记为.定义（二元关系）若和是两个集合，则的任何子集都定义了一个二元关系，称为上的二元关系。